Ang pormula sa ibaba ay ang kahulugan degree na may natural na tagapagpahiwatig (a ay ang batayan ng exponent at ang paulit-ulit na kadahilanan, at n ang exponent, na nagpapakita kung gaano karaming beses na naulit ang kadahilanan):

Ang expression na ito ay nangangahulugan na ang degree ng bilang a na may natural na exponent n ay ang produkto ng n mga kadahilanan, habang ang bawat isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng a.

17 ^ 5 \u003d 17 \\ cdot 17 \\ cdot 17 \\ cdot 17 \\ cdot 17 \u003d 1 \\, 419 \\, 857

17 - ang batayan ng degree,

5 - exponent,

Ang 1419857 ay ang halaga ng degree.

Ang exponent zero ay 1, sa kondisyon na isang \\ neq 0:

a ^ 0 \u003d 1.

Halimbawa: 2 ^ 0 \u003d 1

Kapag kailangan mong magsulat ng isang malaking bilang, karaniwang ginagamit ang lakas na 10.

Halimbawa, ang isa sa pinakamatandang dinosauro sa Lupa ay nabuhay mga 280 milyong taon na ang nakalilipas. Ang kanyang edad ay nakasulat tulad ng sumusunod: 2.8 \\ cdot 10 ^ 8.

Ang bawat bilang na mas malaki sa 10 ay maaaring maisulat bilang isang \\ cdot 10 ^ n, sa kondisyon na 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют karaniwang numero.

Mga halimbawa ng mga naturang numero: 6978 \u003d 6.978 \\ cdot 10 ^ 3, 569000 \u003d 5.69 \\ cdot 10 ^ 5.

Maaari mong sabihin ang parehong "a sa n-th power", at "n-th power ng bilang a" at "a in power n".

4 ^ 5 - "apat sa kapangyarihan ng 5" o "4 hanggang sa ikalimang degree" o maaari mo ring sabihin na "ang ikalimang lakas ng bilang 4"

SA ang halimbawang ito 4 ang batayan ng degree, 5 ang exponent.

Magbigay tayo ngayon ng isang halimbawa na may mga praksyon at negatibong numero. Upang maiwasan ang pagkalito, kaugalian na magsulat ng mga base na iba sa mga natural na numero sa mga braket:

(7,38)^2 , \\ kaliwa (\\ frac 12 \\ kanan) ^ 7, (-1) ^ 4, atbp.

Tandaan din ang pagkakaiba:

(-5) ^ 6 - nangangahulugang ang lakas ng isang negatibong numero −5 na may natural na exponent 6.

5 ^ 6 - tumutugma sa kabaligtaran na bilang 5 ^ 6.

Mga pag-aari ng natural exponents

Ang pangunahing pag-aari ng degree

a ^ n \\ cdot a ^ k \u003d a ^ (n + k)

Ang batayan ay mananatiling pareho, ngunit ang mga exponents ay idinagdag.

Halimbawa: 2 ^ 3 \\ cdot 2 ^ 2 \u003d 2 ^ (3 + 2) \u003d 2 ^ 5

Pag-aari ng mga pribadong degree na may parehong mga base

a ^ n: a ^ k \u003d a ^ (n-k) kung n\u003e k.

Ang mga exponents ay binawas at ang base ay nananatiling pareho.

Ang paghihigpit na ito n\u003e k ay ipinakilala upang hindi lumampas sa mga natural na tagalabas. Sa katunayan, para sa n\u003e k, ang exponent na a ^ (n-k) ay magiging isang natural na numero, kung hindi man ay magiging isang negatibong numero (k< n ), либо нулем (k-n ).

Halimbawa: 2 ^ 3: 2 ^ 2 \u003d 2 ^ (3-2) \u003d 2 ^ 1

Pag-aari ng exponentiation

(a ^ n) ^ k \u003d a ^ (nk)

Ang batayan ay mananatiling pareho, ang mga exponents lamang ang pinarami.

Halimbawa: (2 ^ 3) ^ 6 \u003d 2 ^ (3 \\ cdot 6) \u003d 2 ^ (18)

Ang pag-aari ng pagtaas sa kapangyarihan ng isang produkto

Ang bawat kadahilanan ay itinaas sa lakas n.

a ^ n \\ cdot b ^ n \u003d (ab) ^ n

Halimbawa: 2 ^ 3 \\ cdot 3 ^ 3 \u003d (2 \\ cdot 3) ^ 3 \u003d 6 ^ 3

Pag-aari ng exponentiation

\\ frac (a ^ n) (b ^ n) \u003d \\ left (\\ frac (a) (b) \\ kanan) ^ n, b \\ neq 0

Parehong ang numerator at denominator ng isang maliit na bahagi ay itinaas sa isang lakas. \\ kaliwa (\\ frac (2) (5) \\ kanan) ^ 3 \u003d \\ frac (2 ^ 3) (5 ^ 3) \u003d \\ frac (8) (125)

Sa loob ng balangkas ng materyal na ito, susuriin namin kung ano ang antas ng isang numero. Bilang karagdagan sa pangunahing mga kahulugan, bubuo kami ng kung anong mga degree ang may natural, buo, makatuwiran at hindi makatuwiran na mga exponent. Tulad ng dati, ang lahat ng mga konsepto ay ilalarawan sa mga halimbawa ng mga gawain.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Una, bumubuo kami ng isang pangunahing kahulugan ng isang degree na may isang likas na exponent. Upang magawa ito, kailangan nating tandaan ang mga pangunahing alituntunin ng pagpaparami. Linawin natin nang maaga na sa ngayon ay kukuha kami ng isang tunay na numero bilang isang batayan (ipahiwatig ito sa pamamagitan ng titik a), at bilang isang tagapagpahiwatig - isang natural na numero (ipahiwatig ito ng titik n).

Kahulugan 1

Ang lakas ng bilang a na may natural na exponent n ay ang produkto ng n -th bilang ng mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng bilang a. Ang degree ay nakasulat tulad nito: isang n, at sa anyo ng isang pormula, ang komposisyon nito ay maaaring kinatawan bilang mga sumusunod:

Halimbawa, kung ang exponent ay 1 at ang base ay a, kung gayon ang unang lakas ng a ay nakasulat bilang isang 1... Dahil sa ang a ay ang halaga ng multiplier at ang 1 ay ang bilang ng mga kadahilanan, maaari nating tapusin iyon isang 1 \u003d a.

Sa pangkalahatan, maaari nating sabihin na ang degree ay isang maginhawang anyo ng pagsulat ng isang malaking bilang ng mga pantay na kadahilanan. Kaya, isang entry ng form 8 8 8 8 maaaring mabawasan sa 8 4 ... Sa halos katulad na paraan, ang isang piraso ay tumutulong sa amin na maiwasan ang pagsusulat isang malaking bilang mga term (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 4); nasuri na namin ito sa artikulong nakatuon sa pagpaparami ng mga natural na numero.

Paano basahin nang tama ang tala ng degree? Ang pangkalahatang tinatanggap na pagpipilian ay "a sa kapangyarihan ng n". O maaari mong sabihin ang "n -th degree ng isang" o "isang n -th degree". Kung, sabihin, ang halimbawa ay naglalaman ng entry 8 12 , mababasa natin ang "8 to the 12th power", "8 to the 12th power" o "12th power by 8th".

Ang pangalawa at pangatlong kapangyarihan ng bilang ay mayroong maayos na pangalan: parisukat at kubo. Kung nakikita natin ang pangalawang degree, halimbawa, ang bilang 7 (7 2), maaari nating sabihin na "7 parisukat" o "parisukat ng bilang 7". Katulad nito, ang pangatlong degree ay nabasa nang ganito: 5 3 Ay isang "kubo ng bilang 5" o "5 sa isang kubo". Gayunpaman, posible ring gamitin ang karaniwang pagbabalangkas "sa pangalawa / pangatlong degree", hindi ito magiging isang pagkakamali.

Halimbawa 1

Tingnan natin ang isang halimbawa ng isang degree na may isang likas na tagapagpahiwatig: para sa 5 7 lima ang magiging batayan at pito ang magiging tagapagpahiwatig.

Ang batayan ay hindi kailangang maging isang integer: para sa degree (4 , 32) 9 ang base ay ang maliit na bahagi 4, 32, at ang exponent ay siyam. Bigyang pansin ang panaklong: ang gayong pagpasok ay ginawa para sa lahat ng mga degree, ang mga base ay naiiba mula sa natural na mga numero.

Halimbawa: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Para saan ang panaklong? Tumutulong ang mga ito upang maiwasan ang mga pagkakamali sa pagkalkula. Sabihin nating mayroon kaming dalawang mga entry: (− 2) 3 at − 2 3 ... Ang una sa kanila ay nangangahulugang isang negatibong numero na minus dalawa, itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent three; ang pangalawa ay ang bilang na naaayon sa kabaligtaran na halaga ng kuryente 2 3 .

Minsan sa mga libro maaari kang makahanap ng isang bahagyang naiibang pagbaybay ng antas ng bilang - a ^ n (kung saan ang base at n ang tagapagtaguyod). Iyon ay, ang 4 ^ 9 ay kapareho ng 4 9 ... Kung ang n ay isang multi-digit na numero, nakapaloob ito sa mga panaklong. Halimbawa, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ngunit gagamitin namin ang notasyon isang nbilang mas karaniwan.

Madaling hulaan kung paano makalkula ang halaga ng isang degree na may isang likas na exponent mula sa kahulugan nito: kailangan mo lamang i-multiply ang isang n -th na bilang ng mga beses. Sumulat pa kami tungkol dito sa isa pang artikulo.

Ang konsepto ng isang degree ay ang kabaligtaran ng isa pang konsepto ng matematika - ang ugat ng isang numero. Kung alam natin ang halaga ng degree at exponent, maaari nating kalkulahin ang base nito. Ang degree ay may ilang mga tukoy na katangian na kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga problema na tinalakay sa isang magkahiwalay na materyal.

Sa mga exponent, hindi lamang mga natural na numero ang maaaring tumayo, ngunit sa pangkalahatan ang anumang mga halaga ng integer, kabilang ang mga negatibong at zero, sapagkat kabilang din sila sa hanay ng mga integer.

Kahulugan 2

Ang lakas ng isang numero na may positibong exponent ng integer ay maaaring ipakita bilang isang formula: .

Bukod dito, ang n ay anumang positibong integer.

Harapin natin ang konsepto ng zero degree. Upang magawa ito, gumagamit kami ng isang diskarte na isinasaalang-alang ang pag-aari ng quient para sa mga degree na may pantay na mga base. Ito ay formulated tulad ng sumusunod:

Kahulugan 3

Pagkakapantay-pantay isang m: a n \u003d a m - n ay totoo sa ilalim ng mga kundisyon: m at n ay natural na mga numero, m< n , a ≠ 0 .

Ang huling kondisyon ay mahalaga sapagkat iniiwasan nito ang paghahati ng zero. Kung ang mga halaga ng m at n ay pantay, nakukuha namin ang sumusunod na resulta: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0

Ngunit sa parehong oras ang isang n: a n \u003d 1 ay ang kabuuan pantay na bilang isang n at a. Ito ay lumalabas na ang zero degree ng anumang numero na nonzero ay katumbas ng isa.

Gayunpaman, ang naturang patunay ay hindi nalalapat sa zero hanggang degree zero. Para sa mga ito kailangan namin ng isa pang pag-aari ng degree - ang pag-aari ng mga produkto ng degree na may pantay na mga base. Parang ganito: a m a n \u003d a m + n .

Kung mayroon t t pantay sa 0, kung gayon isang m a 0 \u003d isang m (ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapatunay din sa atin na isang 0 \u003d 1). Ngunit kung ang a ay zero din, ang aming pagkakapantay-pantay ay kumukuha ng form 0 m 0 0 \u003d 0 m, Ito ay magiging totoo para sa anumang natural na halaga ng n, at hindi mahalaga kung ano ang eksaktong halaga ng degree 0 0 , iyon ay, maaari itong maging katumbas ng anumang bilang, at hindi ito makakaapekto sa katapatan ng pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, isang notasyon ng form 0 0 ay walang espesyal na kahulugan, at hindi namin ito ipatungkol sa kanya.

Kung ninanais, madali itong suriin isang 0 \u003d 1 nagtatagpo sa degree na pag-aari (a m) n \u003d a m n sa kondisyon na ang batayan ng degree ay hindi zero. Kaya, ang antas ng anumang numero na hindi nol na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa 2

Tingnan natin ang isang halimbawa na may tukoy na mga numero: Kaya, 5 0 - unit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 \u003d 1, at ang halaga 0 0 hindi natukoy.

Matapos ang zero degree, nananatili sa amin upang malaman kung ano ang negatibong degree. Upang magawa ito, kailangan namin ang parehong pag-aari ng produkto ng mga degree na may pantay na mga base, na ginamit na namin sa itaas: a m · a n \u003d a m + n.

Ipakilala natin ang kundisyon: m \u003d - n, kung gayon ang isang a ay hindi dapat katumbas ng zero. Sumusunod ito sa a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... Lumabas na isang n at a - n mayroon kaming kabaligtaran na mga numero.

Bilang isang resulta, isang nasa integer negatibong degree ay walang anuman kundi isang maliit na bahagi 1 a n.

Kinukumpirma ng pagbabalangkas na para sa isang degree na may isang integer negatibong exponent, ang lahat ng parehong mga pag-aari ay may bisa bilang isang degree na may isang natural na exponent (sa kondisyon na ang base ay hindi zero).

Halimbawa 3

Ang lakas ng a na may negatibong integer n ay maaaring kinatawan bilang isang maliit na bahagi 1 a n. Kaya, a - n \u003d 1 a n sa ilalim ng kundisyon isang ≠ 0 at n - anumang natural na numero.

Ilarawan natin ang ating kaisipan sa mga tiyak na halimbawa:

Halimbawa 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Sa huling bahagi ng talata, susubukan naming ilarawan ang lahat ng malinaw na sinabi sa isang pormula:

Kahulugan 4

Ang lakas ng bilang a na may natural na exponent z ay: az \u003d az, e na may l at z - integer positibo 1, z \u003d 0 at isang ≠ 0, (para sa at z \u003d 0 at a \u003d 0, nakukuha natin ang 0 0, ang mga halaga ng pagpapalawak ay 0 0 hindi KAHULUGAN) 1 az, kung at z ay isang integer at isang ≠ 0 (kung ang z ay isang integer at ang isang \u003d 0 ay magbubunga ng 0 z, ang ego z n sa n e n n d e d e n t)

Ano ang mga makatuwiran na degree na exponent

Sinuri namin ang mga kaso kung ang exponent ay naglalaman ng isang integer. Gayunpaman, maaari mo ring itaas ang isang numero sa isang lakas kapag mayroong isang praksyonal na numero sa exponent nito. Tinawag itong degree c makatuwirang tagapagpahiwatig... Sa subseksyon na ito mapatunayan namin na mayroon itong parehong mga katangian tulad ng iba pang mga degree.

Ano ang mga makatuwirang numero? Kasama sa kanilang hanay ang parehong buo at mga praksyonal na numero, habang ang mga numero ng praksyonal ay maaaring kinatawan bilang ordinaryong mga praksyon (parehong positibo at negatibo). Bumalangkas tayo sa kahulugan ng degree ng isang bilang a na may praksyonal na exponent m / n, kung saan ang n ay isang natural na numero at ang m ay isang integer.

Mayroon kaming ilang degree na may fractional exponent a m n. Upang masiyahan ang pag-aari ng degree hanggang degree, ang pagkakapantay-pantay a m n n \u003d a m n n \u003d a m ay dapat na totoo.

Dahil sa kahulugan ng nth root at na isang m n n \u003d a m, maaari nating tanggapin ang kundisyon a m n \u003d a m n kung ang isang m n ay may katuturan para sa mga ibinigay na halaga ng m, n at a.

Ang mga katangiang nasa itaas ng isang degree na may isang integer exponent ay wasto na ibinigay ng isang m n \u003d a m n.

Ang pangunahing konklusyon mula sa aming pangangatuwiran ay ang mga sumusunod: ang lakas ng ilang numero a na may praksyonal na exponent m / n ay ang n na ugat ng bilang a sa lakas ng m Ito ay totoo kung, para sa mga naibigay na halagang m, n, at a, ang pananalitang a m n ay mananatiling makabuluhan.

1. Maaari nating paghigpitan ang halaga ng base ng degree: kumuha ng isang, na para sa positibong halaga ng m ay magiging mas malaki sa o katumbas ng 0, at para sa mga negatibong halaga - mahigpit na mas mababa (dahil para sa m kumuha ka 0 m, ngunit ang degree na ito ay hindi tinukoy). Sa kasong ito, ang kahulugan ng isang degree na may isang maliit na exponent ay magiging ganito:

Ang lakas na may maliit na exponent m / n para sa ilang positibong numero a ay ang nth na ugat ng isang itataas sa lakas ng m. Sa anyo ng isang pormula, maaaring ito ay kinatawan bilang mga sumusunod:

Para sa isang degree na may zero base, ang posisyon na ito ay angkop din, ngunit kung ang exponent nito ay isang positibong numero.

Ang isang degree na may base zero at isang praksyonal na positibong exponent m / n ay maaaring ipahayag bilang

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 sa ilalim ng kundisyon ng positibong integer m at natural n.

Na may negatibong ratio m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Tandaan natin ang isang punto. Dahil ipinakilala namin ang kundisyon na ang a ay mas malaki sa o katumbas ng zero, pagkatapos ay bumagsak kami ng ilang mga kaso.

Ang expression na isang m n minsan ay may katuturan para sa ilang mga negatibong halaga ng a at ilang m. Kaya, ang mga entry (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 ay tama, kung saan ang base ay negatibo.

2. Ang pangalawang diskarte ay upang isaalang-alang nang magkahiwalay ang ugat ng isang n n na may pantay at kakaibang mga exponents. Pagkatapos ay kailangan nating ipakilala ang isa pang kundisyon: ang exponent a, sa exponent kung saan mayroong isang nakanselang ordinaryong maliit na bahagi, ay itinuturing na kapangyarihan ng a, sa exponent kung saan mayroong kaukulang irreducible maliit na bahagi. Mamaya ipapaliwanag namin kung bakit kailangan namin ang kondisyong ito at kung bakit ito napakahalaga. Kaya, kung mayroon kaming isang talaan ng isang m k n k, pagkatapos ay maaari nating bawasan ito sa isang m n at gawing simple ang mga kalkulasyon.

Kung ang n ay kakatwa at m ay positibo, ang a ay anumang hindi negatibong numero, kung gayon ang isang m n ay may katuturan. Ang kondisyon para sa isang hindi negatibong a ay kinakailangan, dahil ang isang pantay na ugat ng isang negatibong numero ay hindi nakuha. Kung ang halaga ng m ay positibo, pagkatapos ang isang ay maaaring maging negatibo o zero, mula noon ang isang kakatwang ugat ay maaaring makuha mula sa anumang tunay na numero.

Pagsamahin natin ang lahat ng kahulugan sa itaas ng data sa isang talaan:

Dito ang m / n ay nangangahulugang isang hindi mababawas na maliit na bahagi, ang m ay anumang integer, at ang n ay anumang natural na numero.

Kahulugan 5

Para sa anumang ordinaryong cancellable maliit na bahagi m · k n · k, ang degree ay maaaring mapalitan ng isang m n.

Ang kapangyarihan ng isang numero na may isang hindi mabawas na praksyonal na exponent m / n - ay maaaring ipahayag bilang isang m n sa mga sumusunod na kaso: - para sa anumang tunay na, integers positibong halaga m at kakaibang mga likas na halaga n. Halimbawa: 2 5 3 \u003d 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 \u003d 0 5 19.

Para sa anumang nonzero real a, negatibong integer m, at kakaibang n, halimbawa, 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7

Para sa anumang hindi negatibong a, positibong integer m at kahit n, halimbawa, 2 1 4 \u003d 2 1 4, (5, 1) 3 2 \u003d (5, 1) 3, 0 7 18 \u003d 0 7 18.

Para sa anumang positibong a, integer negatibong m at kahit n, halimbawa, 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 \u003d (5, 1) - 3,.

Para sa iba pang mga halaga, hindi tinukoy ang exponent ng praksyonal. Mga halimbawa ng mga nasabing degree: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Ipaliwanag natin ngayon ang kahalagahan ng kondisyong nabanggit sa itaas: bakit palitan ang maliit na bahagi ng isang nakanselang exponent na may isang maliit na bahagi na hindi maibabalik. Kung hindi namin ito ginawa, makukuha natin ang mga ganitong sitwasyon, sabihin nating, 6/10 \u003d 3/5. Kung gayon dapat itong totoo (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5, ngunit - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1, at (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.

Ang kahulugan ng degree na may isang praksyonal na tagapagpahiwatig, na ibinigay namin ang una, ay mas maginhawa upang magamit sa pagsasanay kaysa sa pangalawa, kaya't patuloy naming itong gagamitin.

Kahulugan 6

Kaya, ang antas ng isang positibong numero a na may isang praksyonal na exponent m / n ay tinukoy bilang 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0. Sa kaso ng negatibo a walang kabuluhan ang notasyong a m n. Kapangyarihan ng zero para sa mga positibong tagapakita ng praksyonal m / n ay tinukoy bilang 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0, para sa mga negatibong tagalabas ng exponents hindi namin tinukoy ang antas ng zero.

Sa mga konklusyon, tandaan namin na ang anumang tagapagpahiwatig ng praksyonal ay maaaring nakasulat tulad ng sa form halo-halong numero, at bilang isang maliit na bahagi ng decimal: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Kapag nagkakalkula, mas mahusay na palitan ang exponent karaniwang praksiyon at pagkatapos ay gamitin ang kahulugan ng degree na may isang exponent na praksyonal. Para sa mga halimbawa sa itaas, nakukuha namin ang:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Ano ang mga degree na may isang hindi makatuwiran at wastong exponent

Ano ang mga totoong numero? Kasama sa kanilang hanay ang parehong makatuwiran at hindi makatuwiran na mga numero. Samakatuwid, upang maunawaan kung ano ang isang degree na may isang tunay na tagapagpahiwatig, kailangan nating tukuyin ang mga degree na may makatuwiran at hindi makatwiran na mga tagapagpahiwatig. Nabanggit na namin ang mga makatuwiran sa itaas. Makitungo tayo sa mga hindi makatuwirang tagapagpahiwatig nang paunahin.

Halimbawa 5

Ipagpalagay na mayroon kaming isang hindi makatuwiran na numero a at isang pagkakasunud-sunod ng mga decimal na pagtatantya nito sa isang 0, isang 1, isang 2,. ... ... ... Halimbawa, kunin natin ang halagang a \u003d 1.67175331. ... ... tapos

isang 0 \u003d 1.6, isang 1 \u003d 1.67, isang 2 \u003d 1.671 ,. ... ... , isang 0 \u003d 1.67, isang 1 \u003d 1.6717, isang 2 \u003d 1.671753 ,. ... ...

Maaari naming maiugnay ang isang pagkakasunud-sunod ng mga pagtatantya sa isang pagkakasunud-sunod ng mga degree a a 0, a a 1, a a 2,. ... ... ... Kung naalala mo ang sinabi natin kanina tungkol sa pagtataas ng mga numero sa isang makatuwirang kapangyarihan, maaari nating kalkulahin ang mga halaga ng mga kapangyarihang ito mismo.

Kumuha halimbawa a \u003d 3, pagkatapos ay isang a 0 \u003d 31.67, isang a 1 \u003d 31.6717, a a 2 \u003d 31.671753 ,. ... ... atbp.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga degree ay maaaring mabawasan sa isang numero, na kung saan ay ang halaga ng degree na may isang batayang a at isang hindi makatuwiran exponent a. Bilang isang resulta: isang degree na may isang hindi makatuwiran exponent tulad ng 3 1, 67175331. ... maaaring mabawasan sa bilang 6, 27.

Kahulugan 7

Ang antas ng isang positibong numero a na may isang hindi makatuwiran exponent a ay nakasulat bilang isang a. Ang halaga nito ay ang hangganan ng pagkakasunud-sunod a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... , kung saan ang isang 0, isang 1, isang 2,. ... ... ay sunud-sunod na approximations ng decimal na numero ng a. Ang degree na may zero base ay maaari ring matukoy para sa mga positibong tagapagpahiwatig na hindi makatuwiran, habang 0 a \u003d 0 Kaya, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. At para sa mga negatibo, hindi ito magagawa, dahil, halimbawa, ang halagang 0 - 5, 0 - 2 π ay hindi tinukoy. Isang yunit na itinaas sa anumang hindi makatuwiran degree, mananatiling isa, halimbawa, at ang 1 2, 1 5 sa 2, at ang 1 - 5 ay katumbas ng 1.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Video tutorial 2: Likas na grado at mga katangian nito

Panayam:

Degree na may natural exponent

Sa ilalim ni degree ilang numero "at" na may ilang tagapagpahiwatig "n" maunawaan ang produkto ng isang numero "at" mag-isa "n" oras

Kapag pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang degree sa isang natural na exponent, nangangahulugan ito na ang bilang "n" dapat buo at hindi negatibo.

at - ang batayan ng degree, na nagpapahiwatig kung aling bilang ang dapat na dumami sa sarili,

n - exponent - sinasabi nito kung gaano karaming beses ang base ay kailangang paramihin nang mag-isa.

Halimbawa:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

Sa kasong ito, ang batayan ng degree ay nangangahulugang ang bilang na "8", ang exponent ay ang bilang na "4", at ang halaga ng degree ay nangangahulugang ang bilang na "4096".

Ang pinakamalaki at pinakakaraniwang pagkakamali kapag nagkakalkula ng lakas ay nagpaparami ng exponent ng isang base - HINDI TOTOO!

Kailan dumating na tungkol sa degree na may natural exponent, nangangahulugan ito na ang exponent lamang (n) dapat na isang natural na numero.

Bilang batayan, maaari kang kumuha ng anumang mga numero sa isang linya ng numero.

Halimbawa,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Ang pagkilos na matematika na isinasagawa sa base at exponent ay tinatawag na exponentiation.

Ang pagdaragdag / pagbabawas ay ang pagkilos ng matematika ng unang yugto, ang pagpaparami / dibisyon ay ang pagkilos ng ikalawang yugto, ang pagtaas ng isang lakas ay isang aksyon sa matematika ng ikatlong yugto, iyon ay, isa sa pinakamataas.

Ang hierarchy na ito aksyon sa matematika tumutukoy sa pagkakasunud-sunod sa pagkalkula. Kung ang aksyon na ito ay nangyayari sa mga gawain sa gitna ng naunang dalawa, pagkatapos ito ay unang ginagawa.

Halimbawa:

15 + 6 *2 2 = 39

Sa halimbawang ito, dapat mo munang itaas ang 2 sa isang kapangyarihan, iyon ay

pagkatapos ay i-multiply ang resulta ng 6, iyon ay

Ang isang degree na may isang likas na exponent ay ginagamit hindi lamang para sa mga tiyak na kalkulasyon, ngunit din para sa kaginhawaan ng pagsusulat ng maraming numero. Sa kasong ito, ginagamit pa rin ang konsepto "karaniwang numero"... Ang notasyong ito ay nagpapahiwatig ng pagpaparami ng ilang bilang mula 1 hanggang 9 sa pamamagitan ng batayan ng lakas na katumbas ng 10 na may ilang exponent.

halimbawa, upang maitala ang radius ng Daigdig sa isang karaniwang form, gamitin ang sumusunod na notasyon:

6400000 m \u003d 6.4 * 10 6 m,

at ang masa ng Daigdig, halimbawa, ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Mga katangian ng degree

Para sa kaginhawaan ng paglutas ng mga halimbawa sa mga degree, kailangan mong malaman ang kanilang pangunahing mga katangian:

1. Kung kailangan mong i-multiply ang dalawang degree na may parehong mga base, kung gayon sa kasong ito ang batayan ay dapat iwanang hindi nagbabago, at dapat idagdag ang mga tagapagpahiwatig.

isang n * a m \u003d a n + m

Halimbawa:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Kung kinakailangan upang hatiin ang dalawang degree na may magkatulad na mga base, kung gayon sa kasong ito ang batayan ay dapat iwanang hindi nagbabago, at ang mga tagapagpahiwatig ay dapat na ibawas. Mangyaring tandaan na para sa mga pagpapatakbo na may mga kapangyarihan na may likas na tagapagtaguyod, ang exponent ng dividend ay dapat na mas malaki kaysa sa exponent ng divisor. Kung hindi man, ang kabuuan ng aksyon na ito ay magiging isang bilang na may negatibong exponent.

isang n / a m \u003d isang n-m

Halimbawa,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Kung kinakailangan upang itaas ang isang degree sa isa pa, ang batayan ng resulta ay mananatiling parehong numero, at ang mga exponents ay pinarami.

(a n) m \u003d a n * m

Halimbawa,

4. Kung sa ilang lawak kinakailangan upang itaas ang gawain di-makatwirang mga numero, pagkatapos ay maaari kang gumamit ng ilang uri ng batas sa pamamahagi, kung saan nakukuha namin ang produkto ng iba't ibang mga batayan sa parehong degree.

(a * b) m \u003d a m * b m

Halimbawa,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Ang isang katulad na pag-aari ay maaaring magamit upang hatiin ang mga kapangyarihan, sa madaling salita, upang itaas ang isang ordinaryong doble sa isang kapangyarihan.

(a / b) m \u003d a m / b m

6. Anumang numero na itinaas sa isang exponent na katumbas ng isa ay katumbas ng orihinal na numero.

isang 1 \u003d a

Halimbawa,

7. Kapag tumataas ang anumang numero sa isang lakas na may exponent zero, ang resulta ng pagkalkula na ito ay palaging magiging isa.

isang 0 \u003d 1

halimbawa,

Unang antas

Ang degree at mga katangian nito. Komprehensibong gabay (2019)

Bakit kailangan ng degree? Saan sila magiging kapaki-pakinabang sa iyo? Bakit kailangan mong maglaan ng oras upang pag-aralan ang mga ito?

Upang malaman ang lahat tungkol sa mga degree, para saan sila, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa araw-araw na buhay basahin ang artikulong ito.

At, syempre, ang kaalaman sa mga degree ay magpapalapit sa iyo sa matagumpay dumadaan sa OGE o ang Unified State Exam at pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Tayo na ... (Tayo na!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga pormula ay nakikita mo ang kalokohan, limasin ang cache. Upang magawa ito, pindutin ang CTRL + F5 (sa Windows) o Cmd + R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay pareho pagpapatakbo ng matematikatulad ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao simpleng mga halimbawa... Bigyang-pansin. Ang mga halimbawa ay pangunahing, ngunit ipinapaliwanag nila ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Wala namang dapat ipaliwanag. Alam mo na ang lahat: walo tayo. Ang bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Gaano karami ang cola? Tama yan - 16 na bote.

Ngayon pagpaparami.

Ang parehong halimbawa ng cola ay maaaring maisulat nang iba:. Ang mga matematiko ay tuso at tamad na tao. Napansin muna nila ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang mabilis na "mabilang" ang mga ito. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakagawa ng diskarteng tinatawag na multiplikasyon. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa sa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, madali at walang mga pagkakamali, kailangan mo lamang tandaan talaan ng multiplikasyon... Maaari mong, syempre, gawin ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Ngunit ...

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin

At isa pa, mas maganda:

Ano pa nakakalito trick ang mga tamad na matematiko ang naimbento ang mga account? Tama - pagtaas ng isang bilang sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang bilang sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero nang nag-iisa ng limang beses, sinabi ng mga matematiko na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang lakas. Halimbawa,. Naaalala ng mga matematiko na dalawa hanggang ikalimang degree ay. At nilulutas nila ang mga ganitong problema sa kanilang mga ulo - mas mabilis, madali at walang mga pagkakamali.

Ang kailangan mo lang gawin ay tandaan kung ano ang naka-highlight sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero... Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit tinawag ang pangalawang degree parisukat mga numero, at ang pangatlo - kubo? Ano ang ibig sabihin nito Mataas magandang tanong... Ngayon magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at cubes.

Halimbawa sa buhay # 1

Magsimula tayo sa isang parisukat o ang pangalawang lakas ng isang numero.

Mag-isip ng isang square meter by meter pool. Ang pool ay nasa iyong bahay bahay. Mainit at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kailangan mong takpan ang ilalim ng pool ng mga tile. Ilan ang mga tile na kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Maaari mo lamang bilangin, na sinusundot ang iyong daliri, na ang ilalim ng pool ay binubuo ng metro sa pamamagitan ng mga metro na cube. Kung mayroon kang isang tile meter ayon sa metro, kakailanganin mo ang mga piraso. Madali lang ... Ngunit saan mo nakita ang mga gayong tile? Ang tile ay sa halip ay cm ng cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka ng "bilang ng daliri". Pagkatapos kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, mga tile din. Pinaparami, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero sa ating sarili upang matukoy ang lugar sa ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito Kapag ang parehong numero ay na-multiply, maaari naming gamitin ang diskarteng "exponentiation". (Siyempre, kapag mayroon ka lamang dalawang numero, maaari mo pa ring i-multiply ang mga ito o itaas ang mga ito sa isang kapangyarihan. Ngunit kung marami ka sa kanila, mas madali ang pagtaas sa isang lakas at mas kaunti rin ang mga pagkakamali sa mga kalkulasyon. Para sa ang pagsusulit, napakahalaga nito).
Sa gayon tatlumpung sa ikalawang degree ang magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung parisukat na magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang lakas ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. Sa kabaligtaran, kung nakakita ka ng isang parisukat, palaging ito ang pangalawang lakas ng isang numero. Ang isang parisukat ay isang imahe ng pangalawang lakas ng isang numero.

Halimbawa ng totoong buhay # 2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang bahagi ng mga cell at sa kabilang panig, din. Upang mabilang ang kanilang numero, kailangan mong i-multiply ng walo ng walo o ... kung napansin mo na ang chessboard ay isang parisukat na may isang gilid, maaari mong i-square ang walo. Nakakuha ka ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa ng totoong buhay blg. 3

Ngayon ang kubo o ang pangatlong lakas ng numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang dapat mong ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang dami. (Ang dami at likido, sa pamamagitan ng paraan, ay sinusukat sa metro kubiko... Hindi inaasahan, tama?) Gumuhit ng isang pool: sa ibaba ay isang sukat ang sukat at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming mga cubes sa metro ayon sa metro ang pupunta sa iyong pool.

Ituro ang iyong daliri nang diretso at bilangin! Isa, dalawa, tatlo, apat ... dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo ... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang bilangin gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga matematiko. Tamad sila, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong paramihin ang haba, lapad at taas ng bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging pantay sa mga cube ... Mas madali, tama?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga matematiko kung pinasimple din nila ito. Binawasan nila ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong numero ay pinarami ng kanyang sarili ... Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong samantalahin ang degree. Kaya, kung ano ang dati mong binibilang ng iyong daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: ang tatlo sa isang kubo ay pantay. Ito ay nakasulat nang ganito:.

Ito ay nananatili lamang tandaan ang talahanayan ng mga degree... Maliban kung, syempre, ikaw ay tamad at tuso tulad ng mga matematiko. Kung nais mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong ipagpatuloy ang bilang sa iyong daliri.

Kaya, upang sa wakas ay kumbinsihin ka na ang mga degree ay naimbento ng mga tamad at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa ng buhay blg. 4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, nakakagawa ka ng isa pang milyon mula sa bawat milyon. Iyon ay, bawat milyon sa iyo sa simula ng bawat taon ay nagdoble. Gaano karaming pera ang magkakaroon ka sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri," kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. bobo. Ngunit malamang na magbibigay ka ng isang sagot sa loob ng ilang segundo, dahil ikaw ay matalino! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa pangalawang taon - kung ano ang nangyari ay dalawa pa, sa ikatlong taon ... Itigil! Napansin mo na ang bilang ay pinarami nang minsan. Kaya't dalawa hanggang sa ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang milyun-milyong iyon ay matatanggap ng isa na kumakalkula nang mas mabilis ... Mahalaga bang alalahanin ang mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa ng buhay blg. 5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng dalawa pa sa bawat milyon. Mahusay, hindi ba? Bawat milyong triple. Gaano karaming pera ang magkakaroon ka sa mga taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - i-multiply ng, pagkatapos ang resulta ng isa pa ... Nakakasawa na, dahil naintindihan mo na ang lahat: ang tatlong beses ay pinarami ng sarili nito. Kaya't ang ika-apat na kapangyarihan ay katumbas ng isang milyon. Kailangan mo lamang tandaan na ang tatlo hanggang ika-apat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na sa pamamagitan ng pagtaas ng bilang sa isang kapangyarihan, lubos mong mapadali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa kanila.

Mga tuntunin at konsepto ... upang hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Napakadali - ito ang bilang na "nasa tuktok" ng lakas ng numero. Hindi pang-agham, ngunit naiintindihan at madaling matandaan ...

Kaya, sa parehong oras na tulad ng isang degree na batayan? Kahit na mas simple ang bilang na nasa ilalim, sa base.

Narito ang isang guhit upang matiyak.

Sa gayon, sa pangkalahatang pananaw, upang buod at mas mahusay na matandaan ... Ang isang degree na may batayang "" at isang exponent "" ay binabasa bilang "sa degree" at nakasulat tulad ng sumusunod:

Degree ng bilang na may natural exponent

Marahil ay nahulaan mo na: sapagkat ang exponent ay isang natural na numero. Oo, ngunit ano natural na numero? Elementary! Ang mga natural na numero ay ang ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga bagay: isa, dalawa, tatlo ... Kapag binibilang namin ang mga bagay, hindi namin sasabihin: "minus five", "minus anim", "minus pito". Hindi rin namin sinabi: "isang ikatlong", o "zero point, limang ikasampu." Hindi ito natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numero?

Ang mga bilang tulad ng "minus five", "minus anim", "minus pito" ay tumutukoy buong numero. Sa pangkalahatan, ang mga buong numero ay may kasamang lahat ng mga natural na numero, mga numero na kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha na may isang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang zero, ito ay kapag wala. Ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na mga numero? Ngunit pangunahing naimbento ang mga ito upang ipahiwatig ang mga utang: kung mayroon kang mga rubles sa iyong telepono, nangangahulugan ito na may utang ka sa mga ruble ng operator.

Ang anumang mga praksiyon ay makatuwiran na mga numero. Sa palagay mo paano ito nagmula? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na kulang sila sa natural na mga numero upang masukat ang haba, bigat, lugar, atbp. At naisip nila mga makatuwirang numero... Kagiliw-giliw, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatuwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling sabi, walang katapusan decimal... Halimbawa, kung hinati mo ang paligid ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng isang hindi makatuwiran na numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng isang degree, ang exponent na kung saan ay isang natural na numero (iyon ay, isang integer at positibo).

1. Ang anumang numero sa unang lakas ay katumbas ng sarili nito:
2. Upang parisukat ang isang numero ay i-multiply ito nang mag-isa:
3. Upang i-cube ang isang numero ay i-multiply ito nang mag-isa nang tatlong beses:

Kahulugan Ang pagtaas ng isang numero sa isang likas na kapangyarihan ay nangangahulugang pag-multiply ng numero sa pamamagitan ng sarili nitong beses:
.

Mga katangian ng kuryente

Saan nagmula ang mga pag-aari na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin: ano ang at ?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Ilan ang salik sa kabuuan?

Napakadali: nagdagdag kami ng mga multiplier sa mga multiplier, at ang kabuuan ay multiplier.

Ngunit, sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay, tulad ng kinakailangan.

Halimbawa: Pasimplehin ang ekspresyon.

Desisyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang ekspresyon.

Desisyon: Mahalagang tandaan na sa aming panuntunan kinakailangan dapat may parehong mga base!
Samakatuwid, pinagsasama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lang sa produkto ng degree!

Walang kaso maaari mong isulat iyon.

2.na ay -th kapangyarihan ng isang numero

Tulad din ng nakaraang pag-aari, magbalik tayo sa kahulugan ng degree:

Ito ay lumalabas na ang ekspresyon ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-lakas ng numero:

Sa esensya, maaari itong tawaging "bracketing the tagapagpahiwatig". Ngunit hindi mo dapat gawin ito sa kabuuan:

Tandaan natin ang mga dinaglat na mga pormula ng pagpaparami: gaano karaming beses nais naming magsulat?

Ngunit ito ay hindi totoo, kung tutuusin.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lamang namin kung ano ang dapat maging tagapakita.

Ngunit ano ang dapat na pundasyon?

Sa degree na may natural na tagapagpahiwatig ang batayan ay maaaring kahit anong numero... Sa katunayan, maaari nating maparami ang anumang mga numero sa bawat isa, maging positibo, negatibo, o pantay.

Pag-isipan natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga kapangyarihan ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo o negatibo ang bilang? AT? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man maraming positibong numero na pinarami natin sa bawat isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "minus for minus ay nagbibigay ng plus". Iyon ay, o. Ngunit kung dumami tayo, gagana ito.

Magpasya sa iyong sarili kung aling pag-sign ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, inaasahan kong malinaw ang lahat? Titingnan lamang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na patakaran.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), \u200b\u200bang lahat ay hindi rin nakakatakot tulad ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - pantay ang degree, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo.

Kaya, maliban kung ang base ay zero. Ang pundasyon ay hindi pantay, hindi ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na madali!

6 mga halimbawa upang sanayin

Paglalagay ng solusyon ng 6 na halimbawa

Bukod sa ikawalong degree, ano ang nakikita natin dito? Naaalala namin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, naaalala? Ito ang pormula para sa dinaglat na pagpaparami, katulad ng pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong katulad ng isa sa mga multiplier sa numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga term. Kung baligtarin ang mga ito, maaaring mailapat ang panuntunan.

Ngunit paano ito gawin? Ito ay naging napakadali: isang pantay na antas ng denominator ang tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagtalikod. Ang "hindi pangkaraniwang bagay" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa pantay na antas: malaya nating mababago ang mga palatandaan sa mga braket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay!

Balikan natin ang halimbawa:

At muli ang pormula:

Buo tawagan namin ang mga natural na numero sa tapat ng mga ito (iyon ay, kinuha na may karatulang "") at ang numero.

positibong integer, ngunit hindi ito naiiba mula sa natural, pagkatapos ang lahat ay eksaktong hitsura sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang ilang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa:

Tulad ng dati, tanungin natin ang ating sarili sa tanong: bakit ganito?

Isaalang-alang ang isang degree na may isang batayan. Dalhin, halimbawa, at i-multiply ng:

Kaya, pinarami namin ang numero, at nakuha namin ang katulad nito -. At anong numero ang dapat mong i-multiply upang walang magbago? Tama yan, on. Ibig sabihin.

Maaari naming gawin ang pareho sa isang di-makatwirang numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito naroroon din ito - ito ay isang numero (bilang isang batayan).

Sa isang banda, dapat itong katumbas ng anumang degree - gaano man karami ang multiply mo sa iyong sarili, nakakakuha ka pa rin ng zero, malinaw ito. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong katumbas. Kaya alin sa mga ito ang totoo? Nagpasya ang mga matematiko na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero hanggang zero. Iyon ay, ngayon hindi lamang natin maaaring hatiin sa pamamagitan ng zero, ngunit itaas din ito sa isang zero na lakas.

Pumunta pa tayo sa malayo. Bilang karagdagan sa natural na mga numero at numero, ang mga negatibong numero ay nabibilang sa mga integer. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong lakas, gawin natin ang pareho sa huling oras: paramihin ang ilang normal na numero sa pamamagitan ng parehong negatibong kapangyarihan:

Mula dito madali na itong ipahayag kung ano ang iyong hinahanap:

Ngayon ay pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang degree:

Kaya, gumawa tayo ng isang panuntunan:

Ang isang numero sa negatibong lakas ay kabaligtaran sa parehong numero sa positibong lakas. Ngunit sa parehong oras ang batayan ay hindi maaaring maging null: (dahil hindi mo maaaring hatiin sa).

Ibuod natin:

I. Hindi tinukoy ang ekspresyon kung sakali. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng isa:.

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero ay nasa negatibong kapangyarihan na kabaligtaran sa parehong numero sa isang positibong lakas:

Mga gawain para sa isang malayang solusyon:

Sa gayon, at, tulad ng dati, mga halimbawa para sa isang malayang solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa malayang solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay kakila-kilabot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa para sa anumang bagay! Malutas ang mga halimbawang ito o pag-aralan ang kanilang solusyon kung hindi mo malulutas ang mga ito at malalaman mo kung paano madaling makayanan ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang bilog ng mga bilang na "naaangkop" bilang isang exponent.

Ngayon isaalang-alang mga makatuwirang numero. Anong mga numero ang tinatawag na makatuwiran?

Sagot: lahat ng maaaring mailarawan bilang isang maliit na bahagi, kung saan at mga integer, saka.

Upang maunawaan kung ano ang Fractional degree, isaalang-alang ang maliit na bahagi:

Taasan natin ang magkabilang panig ng equation sa lakas:

Tandaan natin ngayon ang panuntunan tungkol sa "Degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan upang makakuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika.

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo: ang ugat ng lakas ng ika ng isang numero () ay isang numero na, kapag naitaas sa isang lakas, ay katumbas ng.

Iyon ay, ang ugat ng ika-ika lakas ay ang kabaligtaran na pagpapatakbo ng exponentiation:.

Lumalabas na Malinaw na ito espesyal na kaso maaaring mapalawak:

Ngayon ay idinagdag namin ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang panuntunan sa antas-sa-degree:

Ngunit ang base ba ay maaaring maging anumang numero? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

Wala!

Tandaan ang panuntunan: ang anumang bilang na itinaas sa isang pantay na lakas ay isang positibong numero. Iyon ay, hindi ka makakakuha ng mga ugat ng pantay na degree mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang praksyonal na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay hindi magkaroon ng kahulugan.

Paano ang tungkol sa expression?

Ngunit narito ang problema.

Ang numero ay maaaring kinatawan bilang iba, mga nakansela na praksyon, halimbawa, o.

At lumalabas na mayroon pala ito, ngunit hindi umiiral, ngunit ito ay dalawa lamang magkakaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari kang magsulat. Ngunit kung isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, at muli nakakakuha kami ng istorbo: (iyon ay, nakakuha kami ng isang ganap na naiibang resulta!).

Upang maiwasan ang mga nasabing kabalintunaan, isinasaalang-alang namin positibo lamang ang radix na may exponent na praksyonal.

Kaya kung:

• - natural na numero;
• - isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga makatuwiran na tagapagpahiwatig ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pag-convert ng mga naka-root na expression, halimbawa:

5 mga halimbawa upang sanayin

Pagsusuri ng 5 mga halimbawa para sa pagsasanay

At ngayon ang pinakamahirap na bahagi. Ngayon ay susuriin namin hindi makatuwiran na grado.

Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may isang makatuwiran na exponent, maliban sa

Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatuwirang numero ay mga numero na hindi maaaring kumatawan bilang isang maliit na bahagi, kung saan at mga buong numero (iyon ay, ang mga hindi makatuwirang numero ay pawang mga totoong numero maliban sa mga makatuwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, buo at may talino na tagapagpahiwatig, sa tuwing makakagawa kami ng isang uri ng "imahe", "pagkakatulad", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.

Halimbawa, ang isang natural na exponent ay isang bilang na pinarami ng sarili nito nang maraming beses;

...zero na numero ng kuryente - ito ay, tulad ng ito ay, isang bilang na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang paramihin, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang uri lamang ng "blangkong numero ", katulad ang bilang;

...negatibong exponent ng integer - ito ay parang isang tiyak na " baligtarin ang proseso”, Iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng kanyang sarili, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong tagapagpahiwatig ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang tagapagpahiwatig ay hindi kahit isang tunay na numero.

Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga ganitong paghihirap, magkakaroon ka ng pagkakataon na maunawaan ang mga bagong konsepto sa instituto.

SAAN SIGURADO KAMING PUMUNTA! (kung matutunan mo kung paano malutas ang mga nasabing halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan:

Ngayon tingnan ang tagapagpahiwatig. May pinapaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa dinaglat na pagdaragdag, ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Ito ay:

Sagot: .

2. Nagdadala kami ng mga praksiyon sa mga exponente sa parehong form: alinman sa parehong decimal, o parehong ordinaryong. Kunin natin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Pagpapasiya ng degree

Ang degree ay isang pagpapahayag ng form :, kung saan:

• — batayan ng degree;
• - tagapagtaguyod

Degree na may natural na exponent (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Ang pagtataas ng isang numero sa isang likas na kapangyarihan n ay nangangahulugang pag-multiply ng bilang sa pamamagitan ng sarili nitong beses:

Integer degree (0, ± 1, ± 2, ...)

Kung ang exponent ay buong positibo numero:

Pagtayo hanggang sa zero:

Ang ekspresyon ay walang katiyakan, sapagkat, sa isang banda, sa anumang antas - ito, at sa kabilang banda - anumang numero sa ika-dalang degree - ito.

Kung ang exponent ay buong negatibo numero:

(dahil hindi mo maaaring hatiin sa).

Muli tungkol sa mga zero: ang expression ay hindi natukoy kung sakali. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Rational grade

• - natural na numero;
• - isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng kuryente

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukang unawain: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

Sa pamamagitan ng kahulugan:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, nakukuha namin ang sumusunod na produkto:

Ngunit sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay ang lakas ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang ekspresyon.

Desisyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang ekspresyon.

Desisyon : Mahalagang tandaan na sa aming panuntunan kinakailangandapat may parehong mga base. Samakatuwid, pinagsasama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito ay - para lamang sa produkto ng degree!

Hindi ko dapat isulat iyon.

Tulad din ng nakaraang pag-aari, magbalik tayo sa kahulugan ng degree:

Ayusin natin ang piraso na ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang ekspresyon ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-lakas ng numero:

Sa esensya, maaari itong tawaging "bracketing the tagapagpahiwatig". Ngunit hindi mo dapat gawin ito sa kabuuan :!

Tandaan natin ang mga dinaglat na mga pormula ng pagpaparami: gaano karaming beses nais naming magsulat? Ngunit ito ay hindi totoo, kung tutuusin.

Isang degree na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lamang namin kung paano ito dapat tagapagpahiwatig degree. Ngunit ano ang dapat na pundasyon? Sa degree na may natural tagapagpahiwatig ang batayan ay maaaring kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating maparami ang anumang mga numero sa bawat isa, maging positibo, negatibo, o pantay. Pag-isipan natin kung aling mga palatandaan ("" o "") ang magkakaroon ng mga kapangyarihan ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo o negatibo ang bilang? AT? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man maraming positibong numero na pinarami natin sa bawat isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "minus for minus ay nagbibigay ng plus". Iyon ay, o. Ngunit kung magpaparami tayo ng (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa hanggang sa kawalang-hanggan: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang pag-sign. Ang isa ay maaaring formulate tulad simpleng panuntunan:

1. kahit degree, - numero positibo.
2. Negatibong bilang na itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
3. Ang isang positibong numero sa anumang degree ay isang positibong numero.
4. Ang zero sa anumang lakas ay zero.

Magpasya sa iyong sarili kung aling pag-sign ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, inaasahan kong ang lahat ay malinaw? Titingnan lamang namin ang base at exponent at inilalapat ang naaangkop na patakaran.

Sa halimbawa 5), \u200b\u200bang lahat ay hindi rin nakakatakot tulad ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng base - pantay ang degree, na nangangahulugang ang resulta ay palaging magiging positibo. Kaya, maliban kung ang base ay zero. Ang pundasyon ay hindi pantay, hindi ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung naalala mo iyon, magiging malinaw na, at samakatuwid, ang batayan mas mababa sa zero... Iyon ay, inilalapat namin ang panuntunan 2: ang resulta ay magiging negatibo.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isusulat namin ang kahulugan ng mga degree at, hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago suriin ang huling panuntunan, malutas natin ang ilang mga halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Solusyon :

Bukod sa ikawalong degree, ano ang nakikita natin dito? Naaalala namin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, naaalala? Ito ang pormula para sa dinaglat na pagpaparami, katulad ng pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Tingnan natin nang mabuti ang denominator. Mukha itong katulad ng isa sa mga multiplier sa numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga term. Kung napalitan sila, maaaring mailapat ang Rule 3. Ngunit paano ito magagawa? Ito ay naging napakadali: isang pantay na antas ng denominator ang tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang nagbabago, tama ba? Ngunit ngayon lumalabas ang sumusunod:

Ang mga termino ay nakapagtalikod. Ang "hindi pangkaraniwang bagay" na ito ay nalalapat sa anumang ekspresyon sa pantay na antas: malaya nating mababago ang mga palatandaan sa mga braket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay!Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang kawalan na ayaw natin!

Balikan natin ang halimbawa:

At muli ang pormula:

Kaya ngayon ang huling panuntunan:

Paano natin ito mapatutunayan? Siyempre, tulad ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at gawing simple:

Ngayon buksan natin ang mga braket. Ilan ang mga letra? beses ng mga multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay hindi hihigit sa isang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: ang mga multiplier lang. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang antas ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Hindi makatuwiran na grado

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa antas ng intermediate, susuriin namin ang degree sa isang hindi makatuwiran na tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at pag-aari ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may isang makatuwiran na exponent, na may pagbubukod - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatuwirang numero ay mga numero na hindi maaaring kinatawan bilang isang maliit na bahagi, kung saan at mga buong numero (na ay, ang mga hindi makatuwirang numero ay lahat ng totoong mga numero maliban sa makatuwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, buo at may talino na tagapagpahiwatig, sa tuwing makakagawa kami ng isang uri ng "imahe", "pagkakatulad", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang isang natural na exponent ay isang bilang na pinarami ng sarili nito nang maraming beses; ang isang numero sa zero degree ay, tulad ng ito, isang bilang na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang paramihin, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang uri ng "blangko na numero", katulad ng numero; ang isang degree na may negatibong exponent ng integer ay para bang naganap ang ilang uri ng "reverse proseso", samakatuwid nga, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Ito ay lubos na mahirap na isipin ang isang degree na may isang hindi makatuwiran exponent (tulad ng ito ay mahirap na isipin ang isang 4-dimensional na puwang). Sa halip, ito ay isang pulos matematika na bagay na nilikha ng mga dalubbilang matematika upang mapalawak ang konsepto ng isang degree sa buong puwang ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong tagapagpahiwatig ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang tagapagpahiwatig ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan hindi namin iniisip ang tungkol sa mga ganitong paghihirap, magkakaroon ka ng pagkakataon na maunawaan ang mga bagong konsepto sa instituto.

Kaya ano ang gagawin natin kung nakikita natin hindi makatwirang tagapagpahiwatig degree? Sinusubukan namin nang buong lakas upang maalis ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Mga sagot:

1. Naaalala namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat. Sagot:
2. Nagdadala kami ng mga praksyon sa parehong form: alinman sa parehong decimal na lugar, o parehong ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa:.
3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULAS

Degree ay tinatawag na isang pagpapahayag ng form :, kung saan:

Integer degree

degree, ang exponent na kung saan ay isang natural na numero (iyon ay, isang integer at positibo).

Rational grade

degree, ang exponent na kung saan ay negatibo at praksyonal na numero.

Hindi makatuwiran na grado

degree, ang exponent na kung saan ay isang walang katapusang decimal maliit na bahagi o ugat.

Mga katangian ng kuryente

Mga tampok ng degree.

• Negatibong bilang na itinaas sa kahit degree, - numero positibo.
• Negatibong bilang na itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.
• Ang isang positibong numero sa anumang degree ay isang positibong numero.
• Ang zero ay pantay sa anumang degree.
• Ang anumang numero sa zero degree ay katumbas ng.

NGAYON ANG IYONG SALITA ...

Paano mo gusto ang artikulo? Isulat sa mga komento kung nagustuhan mo o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng degree.

Marahil ay may mga katanungan ka. O mga mungkahi.

Isulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!