Exponential function. Mga layunin ng aralin: Isaalang-alang ang isang antas na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig; Ipakilala ang kahulugan ng exponential function. Bumuo ng mga pangunahing. Degree ng numero: mga kahulugan, notasyon, mga halimbawa

Mga seksyon ng site

Pinili ng Editor:

Advertising

bahay - Klima

Sa artikulong ito ay malalaman natin kung ano ang antas ng... Dito ay magbibigay kami ng mga kahulugan ng antas ng isang numero, habang isinasaalang-alang nang detalyado ang lahat ng posibleng exponent, na nagsisimula sa isang natural na exponent at nagtatapos sa isang hindi makatwiran. Sa materyal ay makakahanap ka ng maraming mga halimbawa ng mga degree, na sumasaklaw sa lahat ng mga subtleties na lumabas.

Pag-navigate sa pahina.

Degree na may natural na exponent, parisukat ng numero, kubo ng numero

Magsimula tayo sa. Sa hinaharap, sinasabi namin na ang kahulugan ng antas ng isang numero a na may natural na exponent n ay ibinigay para sa a, na tatawagin natin antas ng batayan, at n, na tatawagin natin exponent... Tandaan din namin na ang antas na may natural na exponent ay tinutukoy sa pamamagitan ng produkto, kaya upang maunawaan ang materyal sa ibaba, kailangan mong magkaroon ng ideya ng pagpaparami ng mga numero.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng numero a na may natural na exponent n ay isang pagpapahayag ng anyong a n, ang halaga nito ay katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a, ibig sabihin,.
Sa partikular, ang kapangyarihan ng isang numero a na may exponent 1 ay ang numero a mismo, iyon ay, a 1 = a.

Dapat itong sabihin kaagad tungkol sa mga patakaran para sa pagbabasa ng mga degree. Ang unibersal na paraan upang basahin ang isang tala a n ay ang mga sumusunod: "a sa kapangyarihan ng n". Sa ilang mga kaso, tinatanggap din ang mga sumusunod na opsyon: "a sa n-th power" at "n-th power ng number a". Halimbawa, kunin natin ang kapangyarihan ng 8 12, na "walo sa kapangyarihan ng labindalawa", o "walo hanggang sa ikalabindalawang kapangyarihan", o "ikalabindalawang kapangyarihan ng walo".

Ang pangalawang antas ng isang numero, pati na rin ang ikatlong antas ng isang numero, ay may sariling mga pangalan. Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag sa pamamagitan ng parisukat ng numero halimbawa, ang 7 2 ay nagbabasa ng "pitong parisukat" o "ang parisukat ng bilang pito". Ang pangatlong kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag mga numero ng kubo halimbawa, ang 5 3 ay maaring basahin bilang “cube of five” o “cube of number 5”.

Oras na para manguna mga halimbawa ng degree na may natural na halaga... Magsimula tayo sa exponent 5 7, dito 5 ang base ng exponent at 7 ang exponent. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa: 4.32 ang base, at natural na numero 9 - exponent (4.32) 9.

Tandaan na sa huling halimbawa, ang base ng 4.32 degree ay nakasulat sa panaklong: upang maiwasan ang pagkalito, ilalagay namin sa panaklong ang lahat ng mga base ng degree na iba sa natural na mga numero. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga sumusunod na degree na may mga natural na tagapagpahiwatig , ang kanilang mga base ay hindi natural na mga numero, kaya ang mga ito ay nakasulat sa panaklong. Well, para sa kumpletong kalinawan sa sandaling ito, ipapakita namin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga entry ng form (−2) 3 at −2 3. Ang expression (−2) 3 ay ang kapangyarihan ng −2 na may natural na exponent na 3, at ang expression na −2 3 (maaari itong isulat bilang - (2 3)) ay tumutugma sa numero, ang halaga ng kapangyarihan 2 3 .

Tandaan na mayroong notasyon para sa antas ng isang numero a na may exponent n ng anyong a ^ n. Bukod dito, kung ang n ay isang multivalued na natural na numero, kung gayon ang exponent ay kinuha sa mga panaklong. Halimbawa, ang 4 ^ 9 ay isa pang notasyon para sa kapangyarihan ng 4 9. At narito ang ilan pang halimbawa ng pagsulat ng mga degree gamit ang simbolo na "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Sa mga sumusunod, pangunahing gagamitin natin ang notasyon para sa antas ng anyo a n.

Ang isa sa mga gawain, ang kabaligtaran ng pagtaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent, ay ang problema sa paghahanap ng base ng isang degree mula sa isang kilalang halaga ng degree at isang kilalang exponent. Ang gawaing ito ay humahantong sa.

Ito ay kilala na ang hanay ng mga rational na numero ay binubuo ng mga integer at fractional na mga numero, at bawat isa isang fractional number maaaring ipakita bilang positibo o negatibo karaniwang fraction... Ang degree na may integer exponent na tinukoy namin sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may makatwirang tagapagpahiwatig, kinakailangang bigyan ng kahulugan ang kapangyarihan ng isang numero a na may fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may fractional exponent ng form. Para maging wasto ang ari-arian ng degree hanggang degree, ang pagkakapantay-pantay ... Kung isasaalang-alang natin ang nakuhang pagkakapantay-pantay at ang paraan ng pagtukoy natin dito, lohikal na tanggapin, sa kondisyon na para sa ibinigay na m, n at a, ang pagpapahayag ay may katuturan.

Madaling i-verify iyon para sa lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent (ito ay ginagawa sa seksyon ng mga katangian ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa atin na gawin ang mga sumusunod. output: kung para sa ibinigay na m, n at a ang expression ay may katuturan, kung gayon ang kapangyarihan ng numero a na may fractional exponent m / n ay tinatawag na nth root ng a sa kapangyarihan ng m.

Ang pahayag na ito ay nagdudulot sa amin ng napakalapit sa pagtukoy ng antas na may fractional exponent. Ito ay nananatiling lamang upang ilarawan kung saan ang m, n at a ang ekspresyon ay may katuturan. Mayroong dalawang pangunahing diskarte depende sa mga hadlang sa m, n at a.

Ang pinakamadaling paraan ay ang paghigpitan ang a sa pamamagitan ng pag-aakalang a≥0 para sa positibong m at a> 0 para sa negatibong m (dahil para sa m≤0 ang degree na 0 m ay hindi tinukoy). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng isang fractional exponent.

Kahulugan.

Ang kapangyarihan ng isang positibong numero a na may isang fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at ang n ay isang natural na numero, ay tinatawag na nth root ng numero a sa kapangyarihan ng m, iyon ay,.

Tinutukoy din ang fractional power ng zero na may tanging proviso na dapat na positibo ang indicator.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng zero na may positibong fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero, ay tinukoy bilang .
Kapag ang degree ay hindi natukoy, iyon ay, ang antas ng isang numerong zero na may fractional na negatibong exponent ay hindi makatwiran.

Dapat pansinin na sa ganoong kahulugan ng isang degree na may fractional exponent, mayroong isang nuance: para sa ilang negatibong a at ilang m at n, ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapakilala ng kundisyong a≥0. Halimbawa, makatuwirang magsulat o, at pinipilit tayo ng kahulugang ibinigay sa itaas na sabihin na ang mga degree na may fractional exponent ng form huwag magkaroon ng kahulugan, dahil hindi dapat negatibo ang base.

Ang isa pang diskarte sa pagtukoy ng exponent na may fractional exponent m / n ay upang isaalang-alang nang hiwalay ang kakaiba at kahit na mga exponent ng ugat. Ang pamamaraang ito ay nangangailangan ng karagdagang kundisyon: ang antas ng numero a, ang tagapagpahiwatig kung saan ay, ay itinuturing na kapangyarihan ng numero a, ang tagapagpahiwatig kung saan ay ang kaukulang hindi mababawasang bahagi (ang kahalagahan ng kundisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Iyon ay, kung ang m / n ay isang irreducible fraction, kung gayon para sa anumang natural na numero k, ang degree ay paunang pinalitan ng.

Para sa kahit na n at positibong m, ang expression ay may katuturan para sa anumang hindi negatibong a (ang pantay na ugat ng isang negatibong numero ay walang katuturan), para sa negatibong m, ang bilang na a ay dapat na nonzero pa rin (kung hindi, magkakaroon ng dibisyon ng zero. ). At para sa kakaibang n at positibong m, ang numero a ay maaaring maging anuman (ang ugat ng isang kakaibang antas ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na nonzero (upang walang dibisyon ng zero) .

Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent.

Kahulugan.

Hayaang ang m / n ay isang irreducible fraction, m isang integer, at n isang natural na numero. Para sa anumang nakanselang fraction, ang exponent ay pinapalitan ng. Ang kapangyarihan ng isang numero na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n ay para sa

Ipaliwanag natin kung bakit ang isang degree na may reducible fractional exponent ay dating pinalitan ng isang degree na may hindi mababawasan na exponent. Kung tinukoy lang natin ang degree bilang, at hindi gumawa ng isang reserbasyon tungkol sa hindi mababawas ng fraction m / n, pagkatapos ay mahaharap tayo sa mga sitwasyong katulad ng mga sumusunod: dahil 6/10 = 3/5, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay dapat hawakan , ngunit , isang .

Matapos matukoy ang antas ng numero, lohikal na pag-usapan antas ng mga katangian... Sa artikulong ito, ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng antas ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng antas, at ipapakita din kung paano inilalapat ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng mga natural na exponent

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, ang degree a n ay ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Batay sa kahulugan na ito, at gamit din tunay na mga katangian ng pagpaparami, maaari mong makuha at bigyang-katwiran ang mga sumusunod natural exponent grade properties:

ang pangunahing pag-aari ng antas a m · a n = a m + n, ang paglalahat nito;
ari-arian ng mga pribadong degree na may parehong mga base a m: a n = a m − n;
product degree property (a b) n = a n b n, extension nito;
pribadong ari-arian sa natural na antas(a: b) n = a n: b n;
pagtataas ng kapangyarihan sa isang kapangyarihan (a m) n = a mn, paglalahat nito (((a n 1) n 2)…) n k = a n 1 n 2… n k;
paghahambing ng antas sa zero:
- kung a> 0, pagkatapos ay a n> 0 para sa anumang natural na n;
- kung a = 0, pagkatapos ay a n = 0;
- kung ang<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 kung a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
kung ang a at b ay mga positibong numero at a
kung ang m at n ay natural na mga numero tulad ng m> n, pagkatapos ay para sa 0 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a m> a n ay totoo.

Tandaan kaagad na ang lahat ng pagkakapantay-pantay na nakasulat ay magkapareho napapailalim sa tinukoy na mga kundisyon, at ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction a m a n = a m + n para sa pagpapasimple ng mga expression kadalasang ginagamit bilang a m + n = a m a n.

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang detalyado.

Magsimula tayo sa pag-aari ng isang produkto ng dalawang degree na may parehong mga base, na tinatawag na ang pangunahing pag-aari ng degree: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang pagkakapantay-pantay a m · a n = a m + n ay totoo.

Patunayan natin ang pangunahing pag-aari ng degree. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, ang produkto ng mga degree na may parehong mga base ng anyong a m · a n ay maaaring isulat bilang isang produkto. Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, ang resultang expression ay maaaring isulat bilang , at ang produktong ito ay ang kapangyarihan ng numerong a na may natural na exponent na m + n, iyon ay, a m + n. Kinukumpleto nito ang patunay.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing katangian ng degree. Kumuha ng mga degree na may parehong mga base 2 at natural na degree 2 at 3, ayon sa pangunahing katangian ng degree, maaari naming isulat ang pagkakapantay-pantay 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5. Suriin natin ang bisa nito, kung saan kinakalkula natin ang mga halaga ng mga expression 2 2 · 2 3 at 2 5. Exponentiation, mayroon kami 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 at 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, dahil ang mga katumbas na halaga ay nakuha, kung gayon ang pagkakapantay-pantay 2 2 · 2 3 = 2 5 ay totoo, at kinukumpirma nito ang pangunahing pag-aari ng degree.

Ang pangunahing katangian ng isang degree na batay sa mga katangian ng multiplikasyon ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng tatlo o higit pang mga degree na may parehong mga base at natural na exponent. Kaya para sa anumang numero k natural na mga numero n 1, n 2, ..., n k ang pagkakapantay-pantay a n 1 a n 2… a n k = a n 1 + n 2 +… + n k.

Halimbawa, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Maaari kang pumunta sa susunod na pag-aari ng mga degree na may natural na exponent - ari-arian ng mga pribadong degree na may parehong mga base: para sa anumang nonzero real number a at arbitrary na natural na mga numero m at n na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon m> n, ang pagkakapantay-pantay ng a m ay totoo: a n = a m − n.

Bago patunayan ang ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kondisyon sa pagbabalangkas. Ang kundisyon a ≠ 0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati ng zero, dahil 0 n = 0, at nang makilala natin ang paghahati, napagkasunduan natin na hindi maaaring hatiin ng isa sa zero. Ang kundisyon m> n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa mga natural na exponent. Sa katunayan, para sa m> n ang exponent a m − n ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging alinman sa zero (na mangyayari para sa m − n) o isang negatibong numero (na nangyayari kapag m
Patunay. Ang pangunahing pag-aari ng isang fraction ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay a m − n a n = a (m − n) + n = a m... Mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay a m − n · a n = a m at mula rito ay sumusunod na ang a m − n ay isang quotient ng mga kapangyarihan a m at a n. Pinatutunayan nito ang pag-aari ng mga pribadong degree na may parehong mga base.

Magbigay tayo ng halimbawa. Kumuha ng dalawang degree na may parehong mga base π at natural exponents 5 at 2, ang itinuturing na pag-aari ng degree ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Ngayon isaalang-alang ari-arian ng antas ng produkto: ang natural na antas n ng produkto ng alinmang dalawang tunay na numero a at b ay katumbas ng produkto ng mga kapangyarihan ng a n at b n, iyon ay, (a b) n = a n b n.

Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, mayroon tayo ... Ang huling produkto, batay sa mga katangian ng pagpaparami, ay maaaring muling isulat bilang , na katumbas ng a n · b n.

Magbigay tayo ng halimbawa: .

Nalalapat ang property na ito sa antas ng produkto ng tatlo o higit pang mga salik. Iyon ay, ang pag-aari ng natural na antas n ng produkto ng k mga kadahilanan ay nakasulat bilang (a 1 a 2… a k) n = a 1 n a 2 n… a k n.

Para sa kalinawan, ipapakita namin ang property na ito sa pamamagitan ng isang halimbawa. Para sa produkto ng tatlong mga kadahilanan sa kapangyarihan ng 7, mayroon kami.

Ang susunod na ari-arian ay pribadong ari-arian sa uri: ang quotient ng mga tunay na numero a at b, b ≠ 0 sa natural na kapangyarihan n ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan ng a n at b n, iyon ay, (a: b) n = a n: b n.

Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Kaya (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n, at mula sa pagkakapantay-pantay (a: b) n · b n = a n sumusunod na ang (a: b) n ay ang quotient ng paghahati ng a n sa b n.

Isulat natin ang property na ito gamit ang halimbawa ng mga partikular na numero: .

Ngayon kami ay tutunog pag-aari ng exponentiation: para sa anumang tunay na numero a at anumang natural na mga numero m at n, ang antas ng a m sa kapangyarihan n ay katumbas ng kapangyarihan ng numero a na may exponent m n, iyon ay, (a m) n = a m n.

Halimbawa, (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6.

Ang patunay ng pag-aari ng antas sa antas ay ang sumusunod na kadena ng pagkakapantay-pantay: .

Ang itinuturing na ari-arian ay maaaring palawigin sa antas hanggang sa antas sa antas, atbp. Halimbawa, para sa anumang natural na numerong p, q, r, at s, ang pagkakapantay-pantay ... Para sa kalinawan, narito ang isang halimbawa na may mga partikular na numero: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ito ay nananatiling upang tumira sa mga katangian ng paghahambing ng mga degree sa isang natural na exponent.

Magsimula tayo sa pagpapatunay ng katangian ng paghahambing ng zero at degree sa natural na exponent.

Una, patunayan natin na ang a n> 0 para sa alinmang a> 0.

Ang produkto ng dalawang positibong numero ay isang positibong numero, na sumusunod mula sa kahulugan ng multiplikasyon. Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay ginagawang posible na igiit na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. At ang antas ng isang numero a na may natural na exponent n, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ang mga pagsasaalang-alang na ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na para sa anumang positibong base a, ang degree a n ay isang positibong numero. Sa bisa ng napatunayang ari-arian 3 5> 0, (0.00201) 2> 0 at .

Ito ay lubos na halata na para sa anumang natural n para sa a = 0 ang antas ng isang n ay zero. Sa katunayan, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Halimbawa, 0 3 = 0 at 0 762 = 0.

Lumipat sa mga negatibong batayan ng antas.

Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, ipahiwatig ito bilang 2 · m, kung saan ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos ... Para sa bawat isa sa mga produkto ng anyong a · a ay katumbas ng produkto ng mga ganap na halaga ng mga numerong a at a, na nangangahulugan na ito ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang produkto at ang degree na 2 m. Narito ang ilang halimbawa: (−6) 4> 0, (−2,2) 12> 0 at.

Sa wakas, kapag ang base ng exponent a ay negatibo at ang exponent ay isang kakaibang numero 2 m − 1, kung gayon ... Ang lahat ng produkto a · a ay mga positibong numero, ang produkto ng mga positibong numerong ito ay positibo rin, at ang pagpaparami nito sa natitirang negatibong numero a ay nagreresulta sa isang negatibong numero. Dahil sa property na ito (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Bumaling tayo sa pag-aari ng paghahambing ng mga degree na may parehong natural na mga tagapagpahiwatig, na may sumusunod na pagbabalangkas: ng dalawang degree na may parehong natural na mga tagapagpahiwatig, n ay mas mababa kaysa sa isa na ang base ay mas maliit, at ang mas malaki ay ang isa na ang base ay mas malaki. . Patunayan natin.

Hindi pagkakapantay-pantay a n katangian ng hindi pagkakapantay-pantay ang napatunayang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo a n .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian ng mga degree na may natural na exponents. Bumalangkas tayo. Sa dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at parehong positibong mga base, mas mababa sa isa, mas malaki ang antas, ang tagapagpahiwatig na kung saan ay mas mababa; at ng dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at parehong mga base, mas malaki kaysa sa isa, mas malaki ang antas, ang tagapagpahiwatig kung saan ay mas malaki. Dumaan kami sa patunay ng ari-arian na ito.

Patunayan natin na para sa m> n at 0 0 sa bisa ng paunang kundisyon m>n, kung saan sinusundan iyon para sa 0
Ito ay nananatiling patunayan ang ikalawang bahagi ng ari-arian. Patunayan natin na para sa m> n at a> 1, ang isang m> a n ay totoo. Ang pagkakaiba ng a m - a n, pagkatapos ilagay ang a n sa labas ng mga bracket, ay nasa anyong a n · (a m − n −1). Ang produktong ito ay positibo, dahil para sa a> 1 ang antas ng an ay isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng am − n −1 ay isang positibong numero, dahil ang m − n> 0 dahil sa paunang kondisyon, at para sa a> 1, ang antas ng am − n ay mas malaki kaysa sa isa ... Samakatuwid, a m - a n> 0 at a m> a n, kung kinakailangan. Ang ari-arian na ito ay inilalarawan ng hindi pagkakapantay-pantay 3 7> 3 2.

Mga katangian ng mga degree na may mga integer exponents
Dahil ang mga positibong integer ay natural na mga numero, ang lahat ng mga katangian ng mga degree na may positibong integer na mga exponent ay eksaktong tumutugma sa mga katangian ng mga degree na may mga natural na exponent na nakalista at napatunayan sa nakaraang seksyon.

Ang degree na may negatibong integer exponent, pati na rin ang degree na may zero exponent, natukoy namin upang ang lahat ng katangian ng mga degree na may natural na exponent, na ipinahayag ng mga pagkakapantay-pantay, ay nanatiling totoo. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa para sa parehong mga zero exponents at negatibong exponents, habang, siyempre, ang mga base ng mga exponents ay nonzero.

Kaya, para sa anumang tunay at nonzero na mga numero a at b, pati na rin ang anumang integer na m at n, ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga integer exponent:

a m a n = a m + n;

a m: a n = a m − n;

(a b) n = a n b n;

(a: b) n = a n: b n;

(a m) n = isang m n;

kung ang n ay isang positibong integer, ang a at b ay mga positibong numero, at a b −n;

kung ang m at n ay mga integer, at m>n, pagkatapos ay sa 0 1 ang hindi pagkakapantay-pantay a m> a n hawak.

Para sa a = 0, ang mga degree a m at a n ay may katuturan lamang kapag ang m at n ay positibong integer, iyon ay, natural na mga numero. Kaya, ang mga pag-aari na isinulat lamang ay may bisa din para sa mga kaso kapag ang a = 0, at ang mga numerong m at n ay mga positibong integer.

Hindi mahirap patunayan ang bawat isa sa mga pag-aari na ito, para dito sapat na upang gamitin ang mga kahulugan ng antas na may natural at integer exponents, pati na rin ang mga katangian ng mga aksyon na may totoong mga numero. Bilang isang halimbawa, patunayan natin na ang property ng degree to degree ay may hawak para sa parehong positive integer at non-positive integer. Para dito, kinakailangang ipakita na kung ang p ay zero o isang natural na numero at q ay zero o isang natural na numero, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (ap) q = ap q, (a −p) q = a (−p) q , (ap ) −q = ap (−q) at (a −p) −q = a (−p) (−q)... Gawin natin.

Para sa positibong p at q, ang pagkakapantay-pantay (a p) q = a p q ay napatunayan sa nakaraang subsection. Kung p = 0, kung gayon mayroon tayong (a 0) q = 1 q = 1 at isang 0 q = a 0 = 1, kung saan (a 0) q = a 0 q. Katulad nito, kung q = 0, kung gayon (a p) 0 = 1 at isang p · 0 = a 0 = 1, kung saan (a p) 0 = a p · 0. Kung parehong p = 0 at q = 0, kung gayon (a 0) 0 = 1 0 = 1 at a 0 0 = a 0 = 1, kung saan (a 0) 0 = a 0 0.

Ngayon patunayan natin na (a - p) q = a (- p) q. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may negatibong integer exponent, kung gayon ... Sa pamamagitan ng pag-aari ng quotient sa degree, mayroon kami ... Dahil 1 p = 1 · 1 ·… · 1 = 1 at, pagkatapos. Ang huling pagpapahayag, sa pamamagitan ng kahulugan, ay isang kapangyarihan ng anyong a - (p q), na, dahil sa mga tuntunin ng pagpaparami, ay maaaring isulat bilang isang (−p) q.

Ganun din .

AT .

Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo, mapapatunayan ng isa ang lahat ng iba pang mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Sa penultimate ng mga nakasulat na katangian, nararapat na pag-isipan ang patunay ng hindi pagkakapantay-pantay a - n> b - n, na wasto para sa anumang negatibong integer −n at anumang positibong a at b kung saan ang kundisyon a ... Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a 0. Ang produktong a n · b n ay positibo rin bilang produkto ng mga positibong numero a n at b n. Pagkatapos ang resultang fraction ay positibo bilang isang quotient ng mga positibong numero b n - a n at a n · b n. Kaya naman, saan a - n> b - n, kung kinakailangan.

Ang huling pag-aari ng mga degree na may mga integer na exponents ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng kahalintulad na katangian ng mga degree na may mga natural na exponents.

Mga katangian ng mga degree na may mga rational exponent

Tinukoy namin ang isang degree na may isang fractional exponent sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga katangian ng isang degree na may isang buong exponent dito. Sa madaling salita, ang mga fractional exponent ay may parehong mga katangian tulad ng integer exponents. Namely:

Ang patunay ng mga katangian ng mga degree na may mga fractional exponent ay batay sa kahulugan ng isang degree na may isang fractional exponent, sa at sa mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent. Narito ang mga patunay.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may fractional exponent at, pagkatapos ... Ang mga katangian ng arithmetic root ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay. Dagdag pa, gamit ang property ng isang degree na may integer exponent, nakukuha namin, kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent, mayroon kaming , at ang exponent ng nakuhang degree ay maaaring mabago tulad ng sumusunod:. Kinukumpleto nito ang patunay.

Ang pangalawang pag-aari ng mga degree na may fractional exponents ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan:

Ang iba pang pagkakapantay-pantay ay pinatutunayan ng magkatulad na mga prinsipyo:

Dumaan kami sa patunay ng sumusunod na ari-arian. Patunayan natin na para sa anumang positibong a at b, a b p. Isinulat namin ang rational number p bilang m / n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Ang mga kondisyon p<0 и p>0 sa kasong ito, ang mga kondisyon m<0 и m>0 ayon sa pagkakabanggit. Para sa m> 0 at a
Katulad nito, para sa m<0 имеем a m >b m, kung saan, iyon ay, at a p> b p.

Ito ay nananatiling patunayan ang huling ng mga nakalistang katangian. Patunayan natin na para sa mga rational na numero p at q, p> q para sa 0 0 - hindi pagkakapantay-pantay a p> a q. Maaari nating palaging dalhin ang mga rational na numerong p at q sa isang karaniwang denominator, makuha natin ang mga ordinaryong fraction at, kung saan ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay natural. Sa kasong ito, ang kundisyon p> q ay tumutugma sa kundisyon m 1> m 2, na sumusunod mula sa. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng paghahambing ng mga degree na may parehong mga base at natural na exponents sa 0 1 - hindi pagkakapantay-pantay a m 1> a m 2. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga tuntunin ng mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat nang naaayon bilang at ... At ang kahulugan ng antas na may makatwirang exponent ay nagpapahintulot sa iyo na pumunta sa mga hindi pagkakapantay-pantay at, ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid, iginuhit namin ang pangwakas na konklusyon: para sa p> q at 0 0 - hindi pagkakapantay-pantay a p> a q.

Mga katangian ng mga degree na may mga hindi makatwirang exponent

Mula sa kung paano tinukoy ang isang degree na may isang hindi makatwiran na exponent, maaari nating tapusin na mayroon itong lahat ng mga katangian ng mga degree na may isang rational exponent. Kaya para sa anumang a> 0, b> 0 at hindi makatwiran na mga numero p at q ang mga sumusunod ay totoo: mga katangian ng mga degree na may hindi makatwirang exponent:

a p a q = a p + q;

a p: a q = a p − q;

(a b) p = a p b p;

(a: b) p = a p: b p;

(a p) q = a p q;

para sa anumang positibong numero a at b, a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p b p;

para sa mga hindi makatwirang numero p at q, p> q sa 0 0 - hindi pagkakapantay-pantay a p> a q.

Kaya, maaari nating tapusin na ang mga degree na may anumang tunay na exponents p at q para sa a> 0 ay may parehong mga katangian.

Bibliograpiya.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. MathematicsZh textbook para sa ika-5 baitang. institusyong pang-edukasyon.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-7 baitang institusyong pang-edukasyon.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang institusyong pang-edukasyon.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-9 na baitang. institusyong pang-edukasyon.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook para sa 10 - 11 baitang ng mga institusyong pang-edukasyon.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (isang gabay para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

BAHAGI II. KABANATA 6
NUMBER SEQUENCS

Ang konsepto ng isang degree na may hindi makatwirang exponent

Hayaan ang isang positibong numero at isang hindi makatwiran.
Anong kahulugan ang dapat ibigay sa ekspresyong a *?
Upang gawing mas deskriptibo ang presentasyon, isasagawa namin ito nang pribado
halimbawa. Ibig sabihin, inilalagay namin ang a - 2 at a = 1. 624121121112. ... ... ...
Dito, ang a ay isang infinite decimal fraction, na pinagsama-sama ng ganoon
batas: simula sa ikaapat na decimal place, para sa larawan a
digit 1 at 2 lang ang ginagamit, at ang bilang ng mga digit ay 1,
naitala sa isang hilera bago ang numero 2, sa lahat ng oras ay tumataas ng
isa. Ang fraction a ay hindi pana-panahon, dahil kung hindi, ang bilang ng mga digit ay 1,
na naitala sa isang hilera sa kanyang larawan ay magiging limitado.
Samakatuwid, ang a ay isang hindi makatwirang numero.
Kaya, anong kahulugan ang dapat ibigay sa pagpapahayag
21, v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... R
Upang masagot ang tanong na ito, binubuo namin ang mga pagkakasunud-sunod ng mga halaga
at may kakulangan at labis na may katumpakan na (0.1) *. Nakukuha namin
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Buuin natin ang kaukulang mga pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng numero 2:
2M. 2M *; 21 * 624; 21'62 * 1; ..., (3)
21D. 21 "63; 2 * "62Ву 21.6 Ш; ... (4)
Tumataas ang sequence (3) habang tumataas ang sequence
(1) (Teorama 2 § 6).
Ang sequence (4) ay bumababa dahil ang sequence ay bumababa
(2).
Ang bawat miyembro ng sequence (3) ay mas mababa sa bawat miyembro ng sequence
(4), at sa gayon ang sequence (3) ay may hangganan
mula sa itaas, at ang sequence (4) ay bounded mula sa ibaba.
Batay sa monotone bounded sequence theorem
bawat isa sa mga sequence (3) at (4) ay may limitasyon. Kung

384 Ang konsepto ng isang degree na may hindi makatwirang exponent . .

ngayon, lumalabas na ang pagkakaiba ng mga sequence (4) at (3) ay nagtatagpo
sa zero, pagkatapos ay susundan mula dito na ang parehong mga pagkakasunud-sunod na ito,
may karaniwang limitasyon.
Ang pagkakaiba ng mga unang termino ng mga sequence (3) at (4)
21-7 - 21 '* = 2 |, sa (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Pagkakaiba ng ikalawang termino
21'63 - 21.62 = 21.62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Pagkakaiba ng nth terms
0,0000. ..0 1
2>. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Batay sa Theorem 3 § 6
lim 10 ″ / 2 = 1.
Kaya, ang mga sequence (3) at (4) ay may karaniwang limitasyon. Ito
ang limitasyon ay ang tanging tunay na numero na mas malaki kaysa
ng lahat ng miyembro ng sequence (3) at mas mababa sa lahat ng miyembro ng sequence
(4), at ipinapayong isaalang-alang ito ang eksaktong halaga ng 2 *.
Ito ay sumusunod mula sa kung ano ang sinabi na ito ay karaniwang ipinapayong tanggapin
sumusunod na kahulugan:
Kahulugan. Kung a> 1, kung gayon ang antas ng a na may hindi makatwiran
Ang exponent a ay isang tunay na numero,
na mas malaki kaysa sa lahat ng kapangyarihan ng bilang na ito, ang mga exponent ay
rational approximations a na may kakulangan at mas mababa sa lahat ng degree
ng bilang na ito, ang mga exponent nito ay mga makatwirang pagtatantya at may
sobra.
Kung ang<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
ay tinatawag na tunay na numero na mas malaki kaysa sa lahat ng kapangyarihan
ng bilang na ito, na ang mga exponent ay mga makatwirang pagtatantya a
na may labis, at mas kaunti kaysa sa lahat ng kapangyarihan ng bilang na ito, ang mga exponent nito
- makatwirang pagtatantya at may kawalan.
Kung a- 1, ang antas nito na may hindi makatwirang exponent a
ay 1.
Gamit ang konsepto ng isang limitasyon, ang kahulugang ito ay maaaring buuin
Kaya:
Ang kapangyarihan ng isang positibong numero na may hindi makatwirang exponent
a ay ang limitasyon kung saan ang pagkakasunud-sunod
makatwirang kapangyarihan ng numerong ito, sa kondisyon na ang pagkakasunod-sunod
ang mga exponents ng mga degree na ito ay may posibilidad na a, i.e.
aa = lim aH
B - *
13 D, K. Fatshcheev, I. S. Sominsky

Sa loob ng balangkas ng materyal na ito, susuriin natin kung ano ang antas ng isang numero. Bilang karagdagan sa mga pangunahing kahulugan, bubuo tayo kung anong mga antas ang may natural, buo, makatuwiran at hindi makatwiran na mga exponent. Gaya ng dati, ang lahat ng mga konsepto ay ilalarawan kasama ng mga halimbawa ng mga gawain.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Una, bumubuo kami ng pangunahing kahulugan ng isang degree na may natural na exponent. Upang gawin ito, kailangan nating tandaan ang mga pangunahing patakaran ng pagpaparami. Ating linawin nang maaga na sa ngayon ay kukuha tayo ng isang tunay na numero bilang batayan (ipahiwatig ito sa pamamagitan ng titik a), at bilang isang tagapagpahiwatig - isang natural na numero (ipahiwatig ito ng titik n).
Kahulugan 1
Ang kapangyarihan ng isang numero a na may natural na exponent n ay ang produkto ng n -th na bilang ng mga salik, na ang bawat isa ay katumbas ng bilang a. Ang degree ay nakasulat tulad nito: isang n, at sa anyo ng isang formula, ang komposisyon nito ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:

Halimbawa, kung ang exponent ay 1 at ang base ay a, kung gayon ang unang kapangyarihan ng a ay nakasulat bilang a 1... Dahil ang a ay ang halaga ng salik at ang 1 ay ang bilang ng mga salik, maaari nating tapusin iyon a 1 = a.

Sa pangkalahatan, maaari nating sabihin na ang degree ay isang maginhawang paraan ng pagsulat ng isang malaking bilang ng mga pantay na kadahilanan. Kaya, isang entry ng form 8 8 8 8 maaaring bawasan sa 8 4 ... Sa halos parehong paraan, tinutulungan tayo ng produkto na maiwasan ang pagsulat ng malaking bilang ng mga termino (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); napagmasdan na natin ito sa artikulong nakatuon sa pagpaparami ng mga natural na numero.

Paano mababasa nang tama ang talaan ng degree? Ang karaniwang tinatanggap na opsyon ay "a sa kapangyarihan ng n". O maaari mong sabihin ang "n -th degree of a" o "a n -th degree". Kung, sabihin nating, ang halimbawa ay naglalaman ng entry 8 12 , mababasa natin ang "8 hanggang 12th degree", "8 hanggang 12th degree" o "12th degree by 8th".

Ang pangalawa at pangatlong kapangyarihan ng numero ay may mahusay na itinatag na mga pangalan: parisukat at kubo. Kung nakikita natin ang pangalawang antas, halimbawa, ang numero 7 (7 2), maaari nating sabihin na "7 squared" o "ang parisukat ng numero 7". Katulad nito, ang ikatlong antas ay binabasa tulad nito: 5 3 Ay isang "kubo ng numero 5" o "5 sa isang kubo". Gayunpaman, posible ring gamitin ang karaniwang pagbabalangkas "sa pangalawa / ikatlong antas", hindi ito magiging isang pagkakamali.
Halimbawa 1
Suriin natin ang isang halimbawa ng isang degree na may natural na tagapagpahiwatig: para sa 5 7 lima ang magiging base at pito ang magiging indicator.

Ang base ay hindi kailangang isang integer: para sa degree (4 , 32) 9 ang base ay ang fraction 4, 32, at ang exponent ay siyam. Bigyang-pansin ang mga panaklong: ang naturang entry ay ginawa para sa lahat ng degree, ang mga base nito ay naiiba sa mga natural na numero.

Halimbawa: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Para saan ang mga panaklong? Tumutulong sila upang maiwasan ang mga error sa pagkalkula. Sabihin nating mayroon tayong dalawang entry: (− 2) 3 at − 2 3 ... Ang una sa mga ito ay nangangahulugan ng isang negatibong numero minus dalawa, itinaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent tatlo; ang pangalawa ay ang bilang na katumbas ng kabaligtaran na halaga ng antas 2 3 .

Minsan sa mga aklat ay makakahanap ka ng bahagyang naiibang spelling ng antas ng numero - isang ^ n(kung saan ang a ay ang base at n ang exponent). Ibig sabihin, ang 4 ^ 9 ay kapareho ng 4 9 ... Kung ang n ay isang multi-digit na numero, ito ay nakapaloob sa mga panaklong. Halimbawa, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ngunit gagamitin namin ang notasyon isang n bilang mas karaniwan.

Madaling hulaan kung paano kalkulahin ang halaga ng isang degree na may natural na exponent mula sa kahulugan nito: kailangan mo lamang na i-multiply ang isang n -th na bilang ng beses. Sumulat kami ng higit pa tungkol dito sa isa pang artikulo.

Ang konsepto ng isang degree ay ang kabaligtaran ng isa pang matematikal na konsepto - ang ugat ng isang numero. Kung alam natin ang halaga ng degree at exponent, maaari nating kalkulahin ang base nito. Ang degree ay may ilang partikular na katangian na kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga problema na nasuri namin sa isang hiwalay na materyal.

Sa mga exponents, hindi lamang natural na mga numero ang maaaring tumayo, ngunit sa pangkalahatan anumang mga halaga ng integer, kabilang ang mga negatibo at mga zero, dahil kabilang din ang mga ito sa hanay ng mga integer.
Kahulugan 2
Ang kapangyarihan ng isang numero na may positibong integer ay maaaring ipakita bilang isang formula: .

Bukod dito, ang n ay anumang positibong integer.

Pag-usapan natin ang konsepto ng zero degree. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang diskarte na isinasaalang-alang ang pag-aari ng quotient para sa mga degree na may pantay na mga base. Ito ay nabuo bilang mga sumusunod:
Kahulugan 3
Pagkakapantay-pantay a m: a n = a m - n ay magiging totoo sa ilalim ng mga kundisyon: m at n ay natural na mga numero, m< n , a ≠ 0 .

Ang huling kondisyon ay mahalaga dahil iniiwasan nito ang paghahati ng zero. Kung ang mga halaga ng m at n ay pantay, pagkatapos ay makuha namin ang sumusunod na resulta: a n: a n = a n - n = a 0

Ngunit sa parehong oras a n: a n = 1 ay ang quotient ng pantay na mga numero isang n at a. Lumalabas na ang zero degree ng anumang nonzero na numero ay katumbas ng isa.

Gayunpaman, ang gayong patunay ay hindi nalalapat sa zero hanggang degree zero. Upang gawin ito, kailangan namin ng isa pang pag-aari ng mga degree - ang pag-aari ng mga produkto ng mga degree na may pantay na mga base. Mukhang ganito: a m a n = a m + n .

Kung mayroon tayong n katumbas ng 0, kung gayon a m a 0 = a m(Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapatunay din sa atin na a 0 = 1). Ngunit kung ang a ay katumbas din ng zero, ang ating pagkakapantay-pantay ay nasa anyo 0 m 0 0 = 0 m, Magiging totoo ito para sa anumang natural na halaga ng n, at hindi mahalaga kung ano ang eksaktong halaga ng antas 0 0 , iyon ay, maaari itong maging katumbas ng anumang numero, at hindi ito makakaapekto sa katapatan ng pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, isang notasyon ng form 0 0 ay walang espesyal na kahulugan, at hindi natin ito iuugnay sa kanya.

Kung ninanais, madaling suriin iyon a 0 = 1 converges sa antas ng ari-arian (a m) n = isang m n sa kondisyon na ang base ng degree ay hindi zero. Kaya, ang antas ng anumang nonzero na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa.
Halimbawa 2
Tingnan natin ang isang halimbawa na may mga tiyak na numero: Kaya, 5 0 - yunit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1, at ang halaga 0 0 hindi natukoy.

Pagkatapos ng zero degree, nananatili para sa amin na malaman kung ano ang negatibong degree. Upang gawin ito, kailangan namin ang parehong pag-aari ng produkto ng mga degree na may pantay na mga base, na nagamit na namin sa itaas: a m · a n = a m + n.

Ipakilala natin ang kundisyon: m = - n, kung gayon ang a ay hindi dapat katumbas ng zero. Sinusundan nito iyon a - n a n = a - n + n = a 0 = 1... Ito pala ay isang n at a - n mayroon tayong magkabaligtaran na mga numero.

Bilang resulta, ang a sa isang integer na negatibong kapangyarihan ay walang iba kundi isang fraction 1 a n.

Kinukumpirma ng formulation na ito na para sa isang degree na may integer negative exponent, lahat ng parehong property ay valid bilang isang degree na may natural na exponent (sa kondisyon na ang base ay hindi zero).
Halimbawa 3
Ang kapangyarihan ng a na may negatibong integer n ay maaaring katawanin bilang isang fraction 1 a n. Kaya, a - n = 1 a n sa ilalim ng kondisyon isang ≠ 0 at ang n ay anumang natural na numero.

Ilarawan natin ang ating kaisipan sa mga tiyak na halimbawa:
Halimbawa 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Sa huling bahagi ng talata, susubukan naming ilarawan ang lahat ng malinaw na sinabi sa isang formula:
Kahulugan 4
Ang kapangyarihan ng numero a na may natural na exponent z ay: az = az, e na may l at z - integer positive 1, z = 0 at a ≠ 0, (para sa at z = 0 at a = 0, makakakuha tayo ng 0 0, ang mga halaga ng expression ay 0 0 hindi ( kung z ay isang integer at a = 0 ay nagbubunga ng 0 z, ego z n sa n n e n d e d e n t)

Ano ang mga rational exponent degrees

Sinuri namin ang mga kaso kapag ang exponent ay naglalaman ng isang integer. Gayunpaman, maaari mo ring itaas ang isang numero sa isang kapangyarihan kapag mayroong isang fractional na numero sa exponent nito. Ito ay tinatawag na rational exponent degree. Sa subsection na ito, papatunayan namin na mayroon itong parehong mga katangian tulad ng iba pang mga degree.

Ano ang mga rational na numero? Kasama sa kanilang set ang parehong buo at fractional na mga numero, habang ang mga fractional na numero ay maaaring katawanin bilang mga ordinaryong fraction (parehong positibo at negatibo). Bumuo tayo ng kahulugan ng antas ng isang numero a na may isang fractional exponent na m / n, kung saan ang n ay isang natural na numero at ang m ay isang integer.

Mayroon kaming ilang degree na may fractional exponent a m n. Para matupad ang pag-aari ng degree hanggang degree, dapat na totoo ang pagkakapantay-pantay na a m n n = a m n · n = a m.

Dahil sa kahulugan ng nth root at na a m n n = a m, maaari nating tanggapin ang kondisyon na a m n = a m n kung a m n ay may katuturan para sa mga ibinigay na halaga ng m, n at a.

Ang mga katangian sa itaas ng isang degree na may integer exponent ay magiging tama kung a m n = a m n.

Ang pangunahing konklusyon mula sa aming pangangatwiran ay ang mga sumusunod: ang kapangyarihan ng ilang numero a na may fractional exponent m / n ay ang nth root ng numero a hanggang sa kapangyarihan ng m. Ito ay totoo kung, para sa mga ibinigay na halaga ng m, n, at a, ang expression na a m n ay nananatiling makabuluhan.

1. Maaari naming limitahan ang halaga ng base ng degree: kumuha ng a, na para sa mga positibong halaga ng m ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng 0, at para sa mga negatibong halaga ay mahigpit na mas mababa (dahil para sa m ≤ 0 nakukuha namin 0 m, ngunit ang antas na ito ay hindi tinukoy). Sa kasong ito, magiging ganito ang kahulugan ng isang degree na may fractional exponent:

Ang exponent na may fractional exponent na m / n para sa ilang positibong numero a ay ang ika-na ugat ng isang nakataas sa kapangyarihan ng m. Sa anyo ng isang formula, ito ay maaaring katawanin bilang mga sumusunod:

Para sa isang degree na may zero base, ang posisyon na ito ay angkop din, ngunit kung ang exponent nito ay isang positibong numero.

Ang isang degree na may base zero at isang fractional positive exponent m / n ay maaaring ipahayag bilang

0 m n = 0 m n = 0 sa ilalim ng kondisyon ng positive integer m at natural n.

Na may negatibong ratio m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Tandaan natin ang isang punto. Dahil ipinakilala namin ang kundisyon na ang a ay mas malaki sa o katumbas ng zero, pagkatapos ay ibinaba namin ang ilang mga kaso.

Ang ekspresyong a m n minsan ay may katuturan para sa ilang negatibong halaga ng a at ilang m. Kaya, ang tamang mga entry ay (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, kung saan negatibo ang base.

2. Ang pangalawang diskarte ay isaalang-alang nang hiwalay ang ugat a m n na may pantay at kakaibang exponent. Pagkatapos ay kailangan nating ipakilala ang isa pang kundisyon: ang kapangyarihan ng a, sa exponent kung saan mayroong isang nakanselang ordinaryong fraction, ay itinuturing na kapangyarihan ng a, sa exponent kung saan mayroong katumbas na irreducible fraction. Sa ibang pagkakataon, ipapaliwanag natin kung bakit kailangan natin ang kundisyong ito at kung bakit ito napakahalaga. Kaya, kung mayroon tayong record a m k n k, maaari nating bawasan ito sa a m n at pasimplehin ang mga kalkulasyon.

Kung ang n ay kakaiba at ang m ay positibo, ang a ay anumang di-negatibong numero, kung gayon ang isang m n ay may katuturan. Ang kundisyon para sa isang di-negatibong a ay kinakailangan, dahil ang isang pantay na ugat ng isang negatibong numero ay hindi nakuha. Kung ang halaga ng m ay positibo, ang a ay maaaring negatibo o zero, dahil ang isang kakaibang ugat ay maaaring makuha mula sa anumang tunay na numero.

Pagsamahin natin ang lahat ng data sa itaas ng kahulugan sa isang tala:

Dito ang m / n ay nangangahulugang isang hindi mababawasang bahagi, ang m ay anumang integer, at n ay anumang natural na numero.
Kahulugan 5
Para sa anumang ordinaryong nakanselang fraction m · k n · k, ang exponent ay maaaring palitan ng isang m n.

Ang kapangyarihan ng isang numero a na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n - ay maaaring ipahayag bilang isang m n sa mga sumusunod na kaso: - para sa anumang tunay na a, positibong integer na mga halaga m at kakaibang natural na mga halaga n. Halimbawa: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Para sa anumang nonzero real a, negatibong integer m, at odd n, halimbawa, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Para sa anumang di-negatibong a, positive integer m at kahit n, halimbawa, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Para sa anumang positibong a, integer negatibong m at kahit n, halimbawa, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Para sa iba pang mga halaga, ang fractional exponent ay hindi tinukoy. Mga halimbawa ng naturang mga degree: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Ngayon, ipaliwanag natin ang kahalagahan ng kundisyong nabanggit sa itaas: bakit palitan ang fraction ng isang nakanselang exponent ng isang fraction ng hindi mababawasan. Kung hindi natin ginawa ito, magkakaroon tayo ng mga ganitong sitwasyon, sabihin nating, 6/10 = 3/5. Kung gayon ito ay dapat na totoo (- 1) 6 10 = - 1 3 5, ngunit - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, at (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

Ang kahulugan ng degree na may fractional exponent, na ibinigay namin sa una, ay mas maginhawang gamitin sa pagsasanay kaysa sa pangalawa, kaya patuloy naming gagamitin ito.
Kahulugan 6
Kaya, ang antas ng isang positibong numero a na may fractional exponent m / n ay tinukoy bilang 0 m n = 0 m n = 0. Sa kaso ng negatibo a ang notasyon a m n ay walang kabuluhan. Power of zero para sa positive fractional exponents m / n ay tinukoy bilang 0 m n = 0 m n = 0, para sa mga negatibong fractional exponents hindi namin tinukoy ang antas ng zero.

Sa mga konklusyon, tandaan namin na maaari kang sumulat ng anumang fractional indicator kapwa bilang isang mixed number at bilang isang decimal fraction: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Kapag nagkalkula, mas mahusay na palitan ang exponent ng isang ordinaryong fraction at pagkatapos ay gamitin ang kahulugan ng isang exponent na may fractional exponent. Para sa mga halimbawa sa itaas, makuha namin ang:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Ano ang mga degree na may hindi makatwiran at wastong exponent

Ano ang mga tunay na numero? Kasama sa kanilang set ang parehong rational at irrational na mga numero. Samakatuwid, upang maunawaan kung ano ang isang degree na may isang tunay na tagapagpahiwatig, kailangan nating tukuyin ang mga degree na may makatwiran at hindi makatwiran na mga tagapagpahiwatig. Nabanggit na natin ang mga makatwiran sa itaas. Hayaan ang mga hindi makatwirang tagapagpahiwatig ng hakbang-hakbang.
Halimbawa 5
Ipagpalagay na mayroon tayong isang hindi makatwiran na numero a at isang pagkakasunod-sunod ng mga pagtatantya ng decimal nito a 0, a 1, a 2,. ... ... ... Halimbawa, kunin natin ang halaga a = 1.67175331. ... ... , pagkatapos

a 0 = 1.6, a 1 = 1.67, a 2 = 1.671,. ... ... , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753,. ... ...

Maaari naming iugnay ang isang sequence ng approximation sa isang sequence ng degrees a a 0, a a 1, a a 2,. ... ... ... Kung naaalala natin ang sinabi natin kanina tungkol sa pagtaas ng mga numero sa isang makatwirang kapangyarihan, maaari nating kalkulahin ang mga halaga ng mga kapangyarihang ito sa ating sarili.

Kunin halimbawa a = 3, pagkatapos ay a a 0 = 31.67, a a 1 = 31.6717, a a 2 = 31.671753,. ... ... atbp.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga degree ay maaaring bawasan sa isang numero, na magiging halaga ng degree na may base a at isang hindi makatwirang exponent a. Bilang resulta: isang degree na may hindi makatwirang exponent tulad ng 3 1, 67175331. ... maaaring bawasan sa bilang na 6, 27.
Kahulugan 7
Ang kapangyarihan ng isang positibong numero a na may hindi makatwirang exponent a ay isinusulat bilang a. Ang halaga nito ay ang limitasyon ng sequence a a 0, a a 1, a a 2,. ... ... , kung saan ang isang 0, isang 1, isang 2,. ... ... ay sunud-sunod na decimal approximation ng irrational number a. Ang antas na may zero base ay maaari ding matukoy para sa mga positibong hindi makatwiran na tagapagpahiwatig, habang 0 a = 0 Kaya, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. At para sa mga negatibo, hindi ito magagawa, dahil, halimbawa, ang halaga 0 - 5, 0 - 2 π ay hindi tinukoy. Ang isang itinaas sa anumang hindi makatwirang kapangyarihan ay nananatiling isa, halimbawa, at ang 1 2, 1 5 sa 2 at 1 - 5 ay magiging katumbas ng 1.

Kung may napansin kang error sa text, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Degree sa isang nakapangangatwiran na tagapagpahiwatig, ang mga katangian nito.
Pagpapahayag a n ay tinukoy para sa lahat ng a at n, maliban sa kaso a = 0 para sa n≤0. Alalahanin natin ang mga katangian ng gayong mga antas.

Para sa anumang mga numero a, b at anumang mga integer m at n, ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:
A m * a n = a m + n; a m: a n = a m-n (a ≠ 0); (a m) n = isang mn; (ab) n = a n * b n; (b ≠ 0); a 1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0).

Napansin din namin ang sumusunod na ari-arian:

Kung m> n, pagkatapos ay a m> a n para sa a> 1 at isang m<а n при 0<а<1.

Sa subsection na ito, ginagawa naming pangkalahatan ang konsepto ng kapangyarihan ng isang numero, na nagbibigay ng kahulugan sa mga expression tulad ng 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 at iba pa. Natural sa kasong ito na magbigay ng kahulugan upang ang mga degree na may mga rational exponent ay may parehong mga katangian (o hindi bababa sa bahagi ng mga ito) bilang mga degree na may isang buong exponent. Pagkatapos, sa partikular, ang ika-n na kapangyarihan ng numerodapat katumbas ng a m ... Sa katunayan, kung ang ari-arian
(a p) q = isang pq

ay pinaandar, pagkatapos

Ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugang (sa pamamagitan ng kahulugan ng nth root) na ang numerodapat ay ang ika-na ugat ng numero a m.

Kahulugan.

Ang antas ng isang numero a> 0 na may rational exponent r =, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero (n> 1), ay ang numero

Kaya ayon sa kahulugan
(1)

Ang kapangyarihan ng numero 0 ay tinukoy lamang para sa mga positibong tagapagpahiwatig; sa pamamagitan ng kahulugan 0 r = 0 para sa anumang r> 0.
Isang degree na may hindi makatwirang exponent.
Hindi makatwiran na numeromaaaring katawanin bilangang limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero: .
Hayaan . Pagkatapos ay mayroong mga degree na may makatwirang exponent. Mapapatunayan na ang pagkakasunod-sunod ng mga antas na ito ay nagtatagpo. Ang limitasyon ng sequence na ito ay tinatawag degree na may katwiran at hindi makatwiran na exponent: .
Inaayos namin ang isang positibong numero a at itinalaga sa bawat numero... Kaya, nakukuha natin ang numerical function f (x) = a x tinukoy sa set Q ng mga rational na numero at pagkakaroon ng mga dating nakalistang katangian. Para sa a = 1, ang function na f (x) = a x ay pare-pareho mula noong 1 x = 1 para sa anumang makatwirang x.

Gumuhit tayo ng ilang punto ng graph ng function na y = 2 x paunang pagkalkula ng halaga 2 gamit ang isang calculator x sa segment [–2; 3] na may hakbang na 1/4 (Larawan 1, a), at pagkatapos ay may hakbang na 1/8 (Larawan 1, b). Pagpapatuloy sa pag-iisip ng parehong mga konstruksyon na may hakbang na 1/16, 1/32 , atbp., nakikita natin na ang mga resultang punto ay maaaring konektado sa pamamagitan ng isang makinis na kurba, na natural na itinuturing na graph ng ilang function, tinukoy at tumataas na sa buong linya ng numero at pagkuha ng mga halagasa mga makatwirang punto(Larawan 1, c). Ang pagkakaroon ng sapat na binuo malaking numero function graph point, masisiguro ng isa na ang function na ito ay nagtataglay din ng mga katulad na katangian (ang pagkakaiba ay ang function bumababa ng R).

Iminumungkahi ng mga obserbasyong ito na maaari mong tukuyin ang mga numero 2 sa ganitong paraanα at para sa bawat hindi makatwiran na α na ang mga function na ibinigay ng mga formula y = 2 x at ay magiging tuluy-tuloy, at ang function na y = 2 x tumataas, at ang pag-andarbumababa sa buong linya ng numero.

Ilarawan natin sa mga pangkalahatang tuntunin kung paano ang bilang a α para sa hindi makatwiran α para sa a> 1. Gusto naming makamit na ang function na y = a x ay tumataas. Pagkatapos para sa anumang makatwirang r 1 at r 2 na ang r 1<αdapat matugunan ang mga hindi pagkakapantay-pantay a r 1<а α <а r 1 .

Pagpili ng mga halaga r 1 at r2 papalapit sa x, makikita na ang mga katumbas na halaga ng a r 1 at a r 2 ay mag-iiba ng kaunti. Mapapatunayan na mayroon, at, bukod dito, isa lamang, bilang y, na mas malaki kaysa sa lahat a r 1 para sa lahat ng makatwiran r 1 at hindi bababa sa lahat ay r 2 para sa lahat ng makatwiran r 2 ... Ang bilang na ito ay y ayon sa kahulugan a α .

Halimbawa, gamit ang calculator upang kalkulahin ang halaga 2 x sa mga puntong x n at x` n, kung saan x n at x` n - decimal na pagtatantya ng isang numeromalalaman natin na ang mas malapit na x n at x` n k , mas kaunti ang pagkakaiba ay 2 x n at 2 x` n.

Simula noon

at samakatuwid

Katulad nito, isinasaalang-alang ang mga sumusunod na pagtatantya ng decimalsa pamamagitan ng kakulangan at labis, nakarating tayo sa mga ratios
;

;

;

;

.

Ibig sabihin ang kinakalkula sa calculator ay ang mga sumusunod:
.

Ang bilang a α para sa 0<α<1. Кроме того полагают 1 α = 1 para sa alinmang α at 0α = 0 para sa α> 0.
Exponential function.

Sa a > 0, a = 1, ang function ay tinukoy y = a x maliban sa pare-pareho. Ang tampok na ito ay tinatawag na exponential function kasama ang pundasyona.

y= a x sa a> 1:

Mga plot ng exponential function na may base 0< a < 1 и a> 1 ay ipinapakita sa figure.

Ang mga pangunahing katangian ng exponential function y= a x sa 0< a < 1:
Ang domain ng function ay ang buong linya ng numero.

Saklaw ng pag-andar - span (0; + ) .

Ang function ay mahigpit na monotonically pagtaas sa buong numero ng linya, iyon ay, kung x 1 < x 2, pagkatapos isang x 1 > isang x 2 .

Sa x= 0, ang halaga ng function ay 1.

Kung x> 0, pagkatapos ay 0< a < 1 at kung x < 0, то isang x > 1.
SA pangkaraniwang katangian exponential function bilang para sa 0< a < 1, так и при a> 1 kasama ang:
a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, para sa lahat x 1 at x 2.

a - x= ( a x) − 1 = 1 ax para kahit kanino x.

na x= a

Basahin:

Biglang namatay si Oleg Grishchenko Biglang namatay si Oleg Grishchenko Nalaman ni Kommersant ang tungkol sa pag-aresto sa pinuno ng kumpanya ng IT na tinutupad ang utos ng Ministry of Internal Affairs na si Sergey Shilov sa pagkonsulta sa nakakulong Igor Artamonov: "Ang Central Russian na bangko ng Sberbank ay nakapasa sa Disyembre na pagsubok ng tibay Artamonov Igor Georgievich Sberbank talambuhay Yuri Trutnev Personal na buhay ni Yuri Trutnev

Basahin: