Pagbati, mga pusa! Huling oras, sinuri namin nang detalyado kung ano ang mga ugat (kung hindi mo matandaan, inirerekumenda kong basahin). Ang pangunahing pagkuha mula sa aralin na iyon ay mayroon lamang isang unibersal na kahulugan ng mga ugat na kailangan mong malaman. Ang natitira ay kalokohan at pag-aksaya ng oras.

Ngayon ay nagpapatuloy pa tayo. Malalaman naming magparami ng mga ugat, pag-aralan ang ilan sa mga problemang nauugnay sa pagpaparami (kung ang mga problemang ito ay hindi malulutas, pagkatapos ay maaari silang makamatay sa pagsusulit) at magsanay nang maayos. Kaya mag-stock sa popcorn, gawing komportable ang iyong sarili at magsisimula na kami. :)

Hindi mo pa natitikman 'di ba?

Ang aralin ay naging napakahaba, kaya't hinati ko ito sa dalawang bahagi:

1. Una, tatalakayin namin ang mga patakaran para sa pagpaparami. Cap na parang mga pahiwatig: ito ay kapag mayroong dalawang mga ugat, sa pagitan nila ay mayroong isang tanda na "dumami" - at nais naming gumawa ng isang bagay tungkol dito.
2. Pagkatapos ay susuriin namin ang kabaligtaran ng sitwasyon: mayroong isang malaking ugat, at napahanga kami na ipakita ito bilang isang produkto ng dalawang mas simpleng mga ugat. Sa anong takot ito kinakailangan - isang hiwalay na tanong. Susuriin lamang namin ang algorithm.

Para sa mga walang pasensya na dumiretso sa pangalawang bahagi - malugod kayo. Magsimula tayo sa natitirang pagkakasunud-sunod.

Pangunahing tuntunin ng pagpaparami

Magsimula tayo sa pinakasimpleng - ang klasikong mga square root. Ang mga itinalagang $ \\ sqrt (a) $ at $ \\ sqrt (b) $. Para sa kanila, ang lahat sa pangkalahatan ay halata:

Panuntunan sa pagpaparami. Upang maparami ang isang square root sa pamamagitan ng isa pa, kailangan mo lamang i-multiply ang kanilang radical expression, at isulat ang resulta sa ilalim ng karaniwang radical:

\\ [\\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (b) \u003d \\ sqrt (a \\ cdot b) \\]

Walang karagdagang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga numero sa kanan o kaliwa: kung mayroon ang mga ugat-factor, pagkatapos ay mayroon ding produkto.

Mga halimbawa. Tingnan natin ang apat na mga halimbawa na may mga numero nang sabay-sabay:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 4) \u003d \\ sqrt (100) \u003d 10; \\\\ & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8; \\\\ & \\ sqrt (54) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (54 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (324) \u003d 18; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (3) (17)) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (17) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (3) (17) \\ cdot \\ frac (17) (27 )) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (9)) \u003d \\ frac (1) (3). \\\\ \\ end (align) \\]

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing punto ng panuntunang ito ay upang gawing simple ang mga hindi makatuwirang ekspresyon. At kung sa unang halimbawang kami mismo ay nakakuha ng mga ugat mula sa 25 at 4 nang walang anumang bagong mga panuntunan, pagkatapos ay nagsisimula pa ang lata: $ \\ sqrt (32) $ at $ \\ sqrt (2) $ mismo ay hindi binibilang, ngunit ang kanilang produkto ay naging isang eksaktong parisukat, kaya ang ugat nito ay katumbas ng makatuwirang numero.

Nais ko ring tandaan ang huling linya. Doon, ang parehong radikal na expression ay praksyon. Salamat sa produkto, maraming mga kadahilanan ang nakansela, at ang buong ekspresyon ay nagiging isang sapat na numero.

Siyempre, hindi palaging magiging maganda ang lahat. Minsan magkakaroon ng isang kumpletong gulo sa ilalim ng mga ugat - hindi malinaw kung ano ang gagawin dito at kung paano magbago pagkatapos ng pagpaparami. Makalipas ang kaunti, kapag nagsimula kang mag-aral ng mga hindi makatwirang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, sa pangkalahatan ay magkakaroon ng lahat ng uri ng mga variable at pag-andar. At napakadalas, inaasahan lamang ng mga tagataguyod ng gawain na makakahanap ka ng ilang mga pagkansela ng mga term o kadahilanan, pagkatapos na ang gawain ay lubos na gawing simple.

Bilang karagdagan, hindi kinakailangan na dumami ng eksaktong dalawang ugat. Maaari mong paramihin ang tatlo nang sabay-sabay, apat - ngunit hindi bababa sa sampu! Hindi nito babaguhin ang panuntunan. Tingnan:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (2 \\ cdot 3 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (36) \u003d 6; \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (0.001) \u003d \\ sqrt (5 \\ cdot 2 \\ cdot 0.001) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (10 \\ cdot \\ frac (1) (1000)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (100)) \u003d \\ frac (1) (10). \\\\ \\ end (align) \\]

At muli maliit na pangungusap sa pangalawang halimbawa. Tulad ng nakikita mo, sa pangatlong kadahilanan sa ilalim ng ugat ay may isang maliit na bahagi ng maliit na bahagi - sa proseso ng mga kalkulasyon pinalitan namin ito ng karaniwang isa, pagkatapos kung saan ang lahat ay madaling nakansela. Kaya: lubos kong inirerekumenda ang pagtanggal ng mga decimal na praksyon sa anumang hindi makatuwirang ekspresyon (ibig sabihin naglalaman ng hindi bababa sa isang radikal na pag-sign). Makakatipid ito sa iyo ng maraming oras at pagkabigo sa hinaharap.

Ngunit ito ay isang lyrical digression. Ngayon isaalang-alang pa pangkalahatang kaso - kapag naglalaman ang root exponent di-makatwirang numero $ n $, hindi lamang ang "klasikong" dalawa.

Isang kaso ng di-makatwirang tagapagpahiwatig

Kaya, nalaman namin ang mga square root. At ano ang gagawin sa mga kubiko? O sa pangkalahatan na may mga ugat ng di-makatwirang degree na $ n $? Oo, lahat ay pareho. Ang panuntunan ay mananatiling pareho:

Upang maparami ang dalawang mga ugat ng degree na $ n $, sapat na upang maparami ang kanilang mga radikal na expression, at pagkatapos ay isulat ang resulta sa ilalim ng isang radikal.

Sa pangkalahatan, walang kumplikado. Maliban na ang dami ng pagkalkula ay maaaring higit pa. Tingnan natin ang isang pares ng mga halimbawa:

Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga produkto:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (20) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (20 \\ cdot \\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (625) \u003d 5; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (16) (625)) \\ cdot \\ sqrt (0.16) \u003d \\ sqrt (\\ frac (16) (625) \\ cdot \\ frac (16) (100)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (64) (((25) ^ (2)) \\ cdot 25)) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (\\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3 )))) \u003d \\ sqrt (((\\ left (\\ frac (4) (25) \\ kanan)) ^ (3))) \u003d \\ frac (4) (25). \\\\ \\ end (align) \\]

At muli, pansin sa pangalawang pagpapahayag. Dumami kami mga ugat ng kubiko, matanggal maliit na bahagi ng decimal at bilang isang resulta nakukuha natin sa denominator ang produkto ng mga bilang na 625 at 25. Maganda iyon malaking bilang - sa personal, hindi ko agad kalkulahin kung ano ito katumbas.

Samakatuwid, pinili lamang namin ang eksaktong kubo sa numerator at denominator, at pagkatapos ay ginamit ang isa sa mga pangunahing katangian (o, kung nais mo, ang kahulugan) ng $ n $ -th root:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) \u003d a; \\\\ & \\ sqrt ((((a) ^ (2n))) \u003d \\ kaliwa | isang \\ kanan |. \\\\ \\ end (align) \\]

Ang mga nasabing "pakana" ay maaaring makatipid sa iyo ng oras sa pagsusulit o pagsubok sa trabahokaya tandaan:

Huwag magmadali upang paramihin ang mga numero sa isang radikal na expression. Unang suriin: paano kung ang eksaktong antas ng ilang ekspresyon ay "naka-encrypt" doon?

Sa lahat ng halata ng pananalitang ito, dapat kong tanggapin na ang karamihan sa mga hindi nag-aaral na mag-aaral ay hindi nakikita ang eksaktong mga degree sa malapit na saklaw. Sa halip, pinarami nila ang lahat, at pagkatapos ay nagtaka: bakit nakakuha sila ng ganoong brutal na mga numero? :)

Gayunpaman, ang lahat ng ito ay parang bata kumpara sa kung ano ang pag-aaralan namin ngayon.

Pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang mga tagapagpahiwatig

Okay, ngayon alam namin kung paano i-multiply ang mga ugat na may parehong mga tagapagpahiwatig. Paano kung magkakaiba ang mga tagapagpahiwatig? Sabihin natin kung paano i-multiply ang karaniwang $ \\ sqrt (2) $ ng ilang mga basura tulad ng $ \\ sqrt (23) $? Maaari mo ba itong gawin?

Oo, syempre kaya mo. Ang lahat ay tapos na ayon sa formula na ito:

Panuntunan sa pagpaparami ng ugat. Upang maparami ang $ \\ sqrt [n] (a) $ by $ \\ sqrt [p] (b) $, kailangan mo lang gawin ang sumusunod na pagbabago:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Gayunpaman, gagana lamang ang pormulang ito kung ang mga radikal na expression ay hindi negatibo... Ito ay isang napakahalagang punto na babalik tayo nang kaunti sa paglaon.

Sa ngayon, tingnan natin ang isang pares ng mga halimbawa:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (((3) ^ (4)) \\ cdot ((2) ^ (3))) \u003d \\ sqrt (81 \\ cdot 8) \u003d \\ sqrt (648); \\\\ & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (7) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5)) \\ cdot ((7) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 49) \u003d \\ sqrt (1568); \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (625 \\ cdot 9) \u003d \\ sqrt (5625). \\\\ \\ end (align) \\]

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Ngayon ay alamin natin kung saan nagmula ang kinakailangan na hindi katutubo, at ano ang mangyayari kung lalabag tayo dito. :)

Bakit dapat na hindi negatibo ang mga radikal na expression?

Siyempre ang isang tao ay maaaring maging katulad mga guro ng paaralan at matalino upang quote ang tutorial:

Ang kinakailangan ng di-negatibiti ay nauugnay sa iba't ibang mga kahulugan ng mga ugat ng pantay at kakaibang degree (ayon sa pagkakabanggit, ang kanilang mga domain ng kahulugan ay magkakaiba din).

Kaya, naging mas malinaw na ito? Personal, nang binabasa ko ang kalokohan na ito sa ika-8 baitang, napagtanto ko ang isang bagay tulad nito: "Ang kinakailangan ng hindi negatibiti ay nauugnay sa * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%" - sa madaling salita, hindi ko naintindihan ang isang tae sa oras na iyon. :)

Kaya ngayon ipapaliwanag ko ang lahat sa isang normal na paraan.

Una, alamin natin kung saan nagmula ang pormula ng pagpaparami na ibinigay sa itaas. Para dito, ipaalala ko sa iyo ang isang mahalagang pag-aari ng ugat:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\]

Sa madaling salita, maaari nating ligtas na itaas ang radikal na ekspresyon sa anumang natural degree $ k $ - sa kasong ito, ang root exponent ay kailangang i-multiply ng parehong lakas. Samakatuwid, madali nating mabawasan ang anumang mga ugat sa isang pangkaraniwang tagapagpahiwatig, at pagkatapos ay magparami. Samakatuwid ang formula para sa pagpaparami ay kinuha:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot \\ sqrt (((b) ^ (n))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Ngunit may isang problema na mahigpit na nililimitahan ang aplikasyon ng lahat ng mga formula na ito. Isaalang-alang ang numerong ito:

Ayon sa formula na ibinigay lamang, maaari kaming magdagdag ng anumang degree. Subukan nating magdagdag ng $ k \u003d 2 $:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt ((((\\ left (-5 \\ kanan)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt ((((5) ^ (2))) \\]

Tinanggal namin nang eksakto ang minus dahil sinusunog ng parisukat ang minus (tulad ng anumang iba pang kahit na lakas). At ngayon isasagawa namin ang reverse transformation: "babawasan" natin ang dalawa sa exponent at degree. Pagkatapos ng lahat, ang anumang pagkakapantay-pantay ay maaaring mabasa parehong kaliwa-sa-kanan at kanan-pakaliwa:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\ Rightarrow \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n ] (a); \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n] (a) \\ Rightarrow \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt ((((5) ^ ( 2))) \u003d \\ sqrt (5). \\\\ \\ end (align) \\]

Ngunit pagkatapos ay naging isang uri ng basura:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (5) \\]

Hindi ito maaaring maging, dahil $ \\ sqrt (-5) \\ lt 0 $ at $ \\ sqrt (5) \\ gt 0 $. Nangangahulugan ito na para sa kahit na mga degree at negatibong numero, hindi na gagana ang aming formula. Pagkatapos nito mayroon kaming dalawang mga pagpipilian:

1. Sipa ang iyong sarili sa pader upang sabihin na ang matematika ay isang hangal na agham, kung saan "mayroong ilang mga patakaran, ngunit ito ay hindi tumpak";
2. Ipakilala ang mga karagdagang paghihigpit kung saan ang formula ay magiging 100% gumagana.

Sa unang pagpipilian, kailangan nating patuloy na mahuli ang mga "hindi gumagana" na mga kaso - mahirap, mahaba at sa pangkalahatan ay fu. Samakatuwid, ginusto ng mga matematiko ang pangalawang pagpipilian. :)

Ngunit huwag mag-alala! Sa pagsasagawa, ang limitasyon na ito ay hindi nakakaapekto sa mga kalkulasyon sa anumang paraan, dahil ang lahat ng mga problema ay inilarawan ang pag-aalala lamang ng mga ugat ng kakaibang degree, at mula sa kanila maaari mong alisin ang mga minus.

Samakatuwid, magbubuo kami ng isa pang panuntunan na nalalapat sa pangkalahatan sa lahat ng mga aksyon na may mga ugat:

Bago i-multiply ang mga ugat, siguraduhin na ang mga radikal na expression ay hindi negatibo.

Halimbawa. Sa numero na $ \\ sqrt (-5) $, maaari mong ilabas ang minus mula sa ilalim ng root sign - pagkatapos ay magiging maayos ang lahat:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\ Rightarrow \\\\ & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (25) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\\\ \\ end (align) \\]

Nararamdaman mo ba ang pagkakaiba? Kung iniwan mo ang minus sa ilalim ng ugat, pagkatapos kapag ang radikal na ekspresyon ay parisukat, nawala ito, at nagsimula ang dumi. At kung una mong inilabas ang minus, maaari mong itayo / alisin ang parisukat kahit na bago maging asul - ang numero ay mananatiling negatibo. :)

Kaya, ang pinaka tama at pinaka maaasahang paraan ang pagpaparami ng mga ugat ay ang mga sumusunod:

1. Alisin ang lahat ng mga minus mula sa ilalim ng mga radical. Mayroong mga kawalan lamang sa mga ugat ng kakaibang multiplicity - maaari silang mailagay sa harap ng ugat at, kung kinakailangan, paikliin (halimbawa, kung mayroong dalawa sa mga kawalan na ito).
2. Magsagawa ng pagpaparami alinsunod sa mga patakaran na tinalakay sa itaas sa aralin ngayon. Kung ang mga indeks ng mga ugat ay pareho, pinaparami namin ang mga radikal na expression. At kung magkakaiba ang mga ito, ginagamit namin ang masamang pormula \\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n) )) \\].
3. 3. Nasisiyahan kami sa resulta at magagandang marka. :)

Well Magpractice tayo?

Halimbawa 1. Pasimplehin ang ekspresyon:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (- \\ frac (4) (3)) \u003d \\ sqrt (48) \\ cdot \\ left (- \\ sqrt (\\ frac (4) (3 )) \\ kanan) \u003d - \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (4) (3)) \u003d \\\\ & \u003d - \\ sqrt (48 \\ cdot \\ frac (4) (3)) \u003d - \\ \\ end (align) \\]

Ito ang pinakasimpleng pagpipilian: ang mga indeks ng mga ugat ay pareho at kakaiba, ang problema ay nasa minus lamang ng pangalawang kadahilanan. Inilabas namin ang minus nafig na ito, kung saan pagkatapos ay madaling isaalang-alang ang lahat.

Halimbawa 2. Pasimplehin ang ekspresyon:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5)) \\ cdot \\ sqrt (((2) ^ (2))) \u003d \\ sqrt ((((\\ left (((2) ^ (5)) \\ kanan)) ^ (3)) \\ cdot ((\\ left (((2) ^ (2)) \\ kanan)) ^ (4) )) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((2) ^ (15)) \\ cdot ((2) ^ (8))) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (23))) \\\\ \\ end ( ihanay) \\]

Dito, maraming malito sa katotohanan na ang output ay isang hindi makatuwiran na numero. Oo, nangyayari ito: hindi namin ganap na natatanggal ang ugat, ngunit hindi bababa sa pinasimple namin ang pagpapahayag.

Halimbawa 3. Pasimplehin ang ekspresyon:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((\\ left ((( a) ^ (4)) \\ kanan)) ^ (6))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((a) ^ (24))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt ( ((a) ^ (27))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ end (align) \\]

Nais kong iguhit ang iyong pansin sa gawaing ito. Mayroong dalawang puntos nang sabay-sabay:

1. Ang ugat ay hindi isang tukoy na numero o degree, ngunit ang variable na $ a $. Sa unang tingin, ito ay medyo hindi pangkaraniwan, ngunit sa totoo lang, kapag nalulutas ang mga problema sa matematika, madalas kang makitungo sa mga variable.
2. Sa huli, nagawa naming "putulin" ang root exponent at ang degree sa radical expression. Madalas itong nangyayari. At nangangahulugan ito na posible na makabuluhang gawing simple ang mga kalkulasyon kung hindi mo ginamit ang pangunahing formula.

Halimbawa, magagawa mo ito:

\\ [\\ start (align) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((\\ left (((a) ^ ( 4)) \\ kanan)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (8))) \\\\ & \u003d \\ sqrt (a \\ cdot ((a) ^ ( 8))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 3))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ Sa katunayan, ang lahat ng mga pagbabago ay isinagawa lamang sa pangalawang radikal. At kung hindi mo ilalarawan nang detalyado ang lahat ng mga intermediate na hakbang, pagkatapos ay sa huli ang halaga ng mga kalkulasyon ay makabuluhang mabawasan.

Sa katunayan, nakaranas na kami ng katulad na gawain sa itaas nang malutas namin ang halimbawang $ \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) $. Ngayon maaari itong ilarawan nang mas simple:

\\ [\\ begin (align) & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (( (\\ kaliwa (((5) ^ (2)) \\ cdot 3 \\ kanan)) ^ (2))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((\\ left (75 \\ kanan)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (75). \\ end (align) \\]

{!LANG-c29791f18dd16ade86ce173c6f1e942b!}

Kaya, nalaman namin ang pagpaparami ng mga ugat. Isaalang-alang natin ngayon ang reverse operasyon: ano ang gagawin kapag ang produkto ay nasa ilalim ng ugat?

Ang pagkuha ng quadrant root ng isang numero ay hindi lamang ang operasyon na maaaring gampanan sa kababalaghang matematika na ito. Tulad ng mga ordinaryong numero, ang mga square root ay idinagdag at binabawas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mga panuntunan sa pagdaragdag at pagbabawas para sa mga square root

Ang mga pagkilos tulad ng pagdaragdag at pagbabawas ng square root ay posible lamang kung ang expression ay pareho.

Halimbawa 1

Maaari kang magdagdag o magbawas ng mga expression 2 3 at 6 3ngunit hindi 5 6 at 9 4. Kung posible na gawing simple ang ekspresyon at dalhin ito sa mga ugat na may parehong radikal na numero, pagkatapos ay gawing simple, at pagkatapos ay idagdag o ibawas.

Mga Na-root na Gawain: Ang Mga Pangunahin

6 50 - 2 8 + 5 12

Algorithm ng pagkilos:

1. Pasimplehin ang radikal na ekspresyon... Upang magawa ito, kailangan mong mabulok ang radikal na expression sa 2 mga kadahilanan, ang isa sa mga ito ay isang parisukat na numero (isang numero kung saan ang isang buong square root ay nakuha, halimbawa, 25 o 9).
2. Pagkatapos ay kailangan mong kunin ang ugat ng parisukat na numero at isulat ang nagresultang halaga bago ang root sign. Mangyaring tandaan na ang pangalawang kadahilanan ay ipinasok sa ilalim ng root sign.
3. Matapos ang proseso ng pagpapagaan, kinakailangang bigyang-diin ang mga ugat na may parehong radikal na mga expression - maaari lamang silang idagdag at ibawas.
4. Para sa mga ugat na may parehong mga radical expression, kinakailangan upang magdagdag o magbawas ng mga kadahilanan na nakatayo sa harap ng root sign. Ang radikal na ekspresyon ay mananatiling hindi nagbabago. Hindi ka maaaring magdagdag o magbawas ng mga radikal na numero!

Tip 1

Kung mayroon kang isang halimbawa sa isang malaking bilang ng mga magkaparehong radikal na expression, pagkatapos salungguhitan ang mga naturang expression na may solong, doble at triple na linya upang mapabilis ang proseso ng pagkalkula.

Halimbawa 3

Subukan nating malutas ang halimbawang ito:

6 50 \u003d 6 (25 × 2) \u003d (6 × 5) 2 \u003d 30 2. Una, kailangan mong mabulok ang 50 sa 2 mga kadahilanan ng 25 at 2, pagkatapos ay kunin ang ugat ng 25, na 5, at kunin ang 5 mula sa ilalim ng ugat. Pagkatapos nito, kailangan mong paramihin ang 5 ng 6 (ang salik sa ugat) at makakuha ng 30 2.

2 8 \u003d 2 (4 × 2) \u003d (2 × 2) 2 \u003d 4 2. Una, kailangan mong i-factor ang 8 sa 2 mga kadahilanan: 4 at 2. Pagkatapos ay kunin ang ugat mula sa 4, na kung saan ay 2, at kunin ang 2 mula sa ilalim ng ugat. Pagkatapos nito, kailangan mong paramihin ang 2 sa pamamagitan ng 2 (ang salik sa ugat) at makakuha ng 4 2.

5 12 \u003d 5 (4 × 3) \u003d (5 × 2) 3 \u003d 10 3. Una, kailangan mong i-factor ang 12 sa 2 mga kadahilanan: 4 at 3. Pagkatapos ay kunin ang ugat mula sa 4, na kung saan ay 2, at ilabas ito mula sa ilalim ng ugat. Pagkatapos nito, kailangan mong i-multiply ang 2 ng 5 (ang salik sa ugat) at makakuha ng 10 3.

Resulta ng pagpapasimple: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Bilang isang resulta, nakita namin kung gaano karaming mga magkaparehong radikal na expression ang nakapaloob sa ang halimbawang ito... Ngayon ay magsanay tayo sa iba pang mga halimbawa.

Halimbawa 4

• Pinadadali namin (45). Kadahilanan 45: (45) \u003d (9 × 5);
• Kinukuha namin ang 3 mula sa ilalim ng ugat (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Idagdag ang mga kadahilanan sa mga ugat: 3 5 + 4 5 \u003d 7 5.

Halimbawa 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Pasimplehin ang 6 40. Kadahilanan 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
• Kinukuha namin ang 2 mula sa ilalim ng ugat (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Pinarami namin ang mga kadahilanan sa harap ng ugat: 12 10;
• Isusulat namin ang expression sa isang pinasimple na form: 12 10 - 3 10 + 5;
• Dahil ang unang dalawang kasapi ay may parehong mga radikal na numero, maaari nating ibawas ang mga ito: (12 - 3) 10 \u003d 9 10 + 5.

Halimbawa 6

Tulad ng nakikita natin, hindi posible na gawing simple ang mga radikal na numero, kaya naghahanap kami ng mga kasapi na may parehong mga radikal na numero sa halimbawa, nagsasagawa ng mga pagpapatakbo sa matematika (idagdag, ibawas, atbp.) At isulat ang resulta:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Payo:

• Bago idagdag o ibawas, kinakailangan na gawing simple (kung maaari) ang mga radikal na expression.
• Mahigpit na ipinagbabawal ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ugat na may iba't ibang mga radikal na expression.
• Ang integer o ugat ay hindi dapat idagdag o ibawas: 3 + (2 x) 1/2.
• Kapag nagsasagawa ng mga pagkilos sa mga praksiyon, kailangan mong makahanap ng isang numero na mahahati sa bawat denominator, pagkatapos ay bawasan ang mga praksyon sa karaniwang denominator, pagkatapos ay idagdag ang mga numerator at iwanan ang mga denominator na hindi nagbago.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, gumawa kami ng isang Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.

Koleksyon at paggamit ng personal na impormasyon

Ang ibig sabihin ng personal na impormasyon ay data na maaaring magamit upang makilala ang isang tukoy na tao o makipag-ugnay sa kanya.

Maaari kang hilingin na ibigay ang iyong personal na impormasyon sa anumang oras kapag makipag-ugnay ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang mga halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang kinokolekta namin:

• Kapag nag-iwan ka ng isang kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyon na kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin upang makipag-ugnay sa iyo at mag-ulat natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming magamit ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang notification at mensahe.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagtatasa ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at bibigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang draw ng premyo, kumpetisyon o katulad na pang-promosyong kaganapan, maaari naming magamit ang impormasyong iyong ibinibigay upang pangasiwaan ang mga nasabing programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga third party

Hindi namin isiwalat ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga third party.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng korte, sa paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang isiwalat ang iyong personal na impormasyon. Maaari din naming ibunyag ang impormasyon tungkol sa iyo kung natukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mahahalagang kadahilanan sa lipunan.
• Sa kaganapan ng muling pagsasaayos, pagsasama o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyon na kinokolekta namin sa isang naaangkop na third party - ang ligal na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng pag-iingat - kabilang ang pang-administratibo, panteknikal at pisikal - upang maprotektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, dinadala namin ang mga patakaran ng pagiging kompidensiyal at seguridad sa aming mga empleyado, at mahigpit na sinusubaybayan ang pagpapatupad ng mga hakbang sa pagiging kompidensiyal.

Ang pinakamadaling paraan upang bawasan ang ugat mula sa isang numero ay gamit ang isang calculator. Ngunit, kung wala kang isang calculator, kailangan mong malaman ang algorithm para sa pagkalkula ng square root. Ang katotohanan ay mayroong isang parisukat na numero sa ilalim ng ugat. Halimbawa, ang 4 na parisukat ay 16. Iyon ay, ang parisukat na ugat ng 16 ay magiging katumbas ng apat. Gayundin, 5 parisukat ay 25. Samakatuwid, ang ugat ng 25 ay magiging 5. At iba pa.

Kung ang bilang ay maliit, kung gayon madali itong ibabawas nang pasalita, halimbawa, ang ugat ng 25 ay magiging 5, at ang ugat ng 144 ay 12. Maaari mo ring kalkulahin ang calculator, mayroong isang espesyal na root icon, kailangan mong magmaneho sa isang numero at mag-click sa icon.

Makakatulong din ang square root table:

Mayroong maraming mga paraan na mas kumplikado, ngunit napaka epektibo:

Ang ugat ng anumang numero ay maaaring ibawas gamit ang isang calculator, lalo na't nasa bawat telepono sila ngayon.

Maaari mong subukang tantyahin kung paano makukuha ang numerong ito sa pamamagitan ng pag-multiply ng isang numero nang mag-isa.



Ang pagkalkula ng square root ng isang numero ay hindi mahirap, lalo na kung mayroon kang isang espesyal na talahanayan. Isang kilalang talahanayan mula sa mga aralin ng algebra. Ang operasyon na ito ay tinatawag na pagkuha ng parisukat na ugat ng bilang na aquot ;, sa madaling salita, paglutas ng equation. Halos lahat ng mga calculator sa mga smartphone ay may isang function para sa pagtukoy ng square root.



Ang resulta ng pagkuha ng parisukat na ugat ng isang kilalang numero ay magiging isa pang numero, kung saan, kapag itinaas sa pangalawang lakas (parisukat), ay magbibigay ng parehong numero na alam natin. Isaalang-alang ang isa sa mga paglalarawan ng mga kalkulasyon, na tila maikli at malinaw:







Narito ang isang nauugnay na video:

Mayroong maraming mga paraan upang makalkula ang square root ng isang numero.

Ang pinakatanyag na paraan ay ang paggamit ng isang espesyal na talahanayan ng ugat (tingnan sa ibaba).

Gayundin sa bawat calculator mayroong isang pagpapaandar kung saan maaari mong malaman ang ugat.

O gumagamit ng isang espesyal na formula.



Mayroong maraming mga paraan upang makuha ang parisukat na ugat ng isang numero. Ang isa sa mga ito ay ang pinakamabilis, gamit ang isang calculator.

Ngunit kung walang calculator, maaari mo itong gawin nang manu-mano.

Ang resulta ay magiging tumpak.

Ang prinsipyo ay halos kapareho ng mahabang paghati:



















Subukan natin, nang walang calculator, upang mahanap ang square root ng isang numero, halimbawa, 190969.







Kaya, ang lahat ay lubos na simple. Sa mga kalkulasyon, ang pangunahing bagay ay sumunod sa tiyak simpleng panuntunan at lohikal na mag-isip.

Nangangailangan ito ng isang talahanayan ng mga parisukat



Halimbawa, ang ugat ng 100 \u003d 10, ng 20 \u003d 400 ng 43 \u003d 1849

Ngayon halos lahat ng mga calculator, kabilang ang mga nasa smartphone, ay maaaring makalkula ang square root ng isang numero. NGUNIT kung wala kang isang calculator, maaari mong makita ang ugat ng numero sa maraming mga simpleng paraan:

Agnas sa pangunahing salik



I-factor ang radikal na numero na parisukat na numero... Nakasalalay sa root number, makakakuha ka ng isang tinatayang o eksaktong sagot. Ang mga parisukat na numero ay mga numero mula sa kung saan ang buong parisukat na ugat ay maaaring makuha. Mga kadahilanan ng numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng orihinal na numero. Halimbawa, ang mga kadahilanan ng 8 ay 2 at 4, dahil ang 2 x 4 \u003d 8, 25, 36, 49 ay mga parisukat na numero, dahil 25 \u003d 5, 36 \u003d 6, 49 \u003d 7. Ang mga kadahilanan ng square ay mga kadahilanan na parisukat na numero ... Una, subukang i-square ang root number.

Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 400 (manu-mano). Una, subukang i-square 400. 400 ay isang maramihang ng 100, iyon ay, nahahati sa pamamagitan ng 25 ay ang parisukat na numero. Ang paghati sa 400 ng 25 ay nagbibigay sa 16, na isang parisukat na numero din. Sa gayon, 400 ay maaaring isinasaalang-alang sa mga parisukat na kadahilanan ng 25 at 16, iyon ay, 25 x 16 \u003d 400.

Isulat ito bilang: 400 \u003d (25 x 16).



Ang square root ng produkto ng ilang mga term ay katumbas ng produkto ng square square ng bawat term, iyon ay, (a x b) \u003d a x b. Gamit ang panuntunang ito, kunin ang parisukat na ugat ng bawat square factor at i-multiply ang mga resulta upang mahanap ang iyong sagot.

Sa aming halimbawa, kunin ang ugat ng 25 at 16.



Kung ang root number ay hindi nahahati sa dalawa parisukat na kadahilanan (na nangyayari sa halos lahat ng oras), hindi mo mahahanap ang eksaktong sagot bilang isang integer. Ngunit maaari mong gawing simple ang problema sa pamamagitan ng pag-iingat ng root number sa isang parisukat na kadahilanan at isang ordinaryong kadahilanan (isang numero kung saan ang buong parisukat na ugat ay hindi maaaring makuha). Pagkatapos ay kukunin mo ang parisukat na ugat ng parisukat na kadahilanan at kukuha ka ng ugat ng ordinaryong kadahilanan.

Halimbawa, kalkulahin ang parisukat na ugat ng 147. Ang bilang na 147 ay hindi maaaring maiakto sa dalawang parisukat na kadahilanan, ngunit maaari itong maituring sa mga sumusunod na kadahilanan: 49 at 3. Malutas ang problema tulad ng sumusunod:



Ngayon ay maaari mong tantyahin ang halaga ng ugat (maghanap ng isang tinatayang halaga) sa pamamagitan ng paghahambing nito sa mga halaga ng mga square root na pinakamalapit (sa magkabilang panig ng linya ng numero) sa root number. Makukuha mo ang halaga ng ugat bilang isang decimal maliit na bahagi, na dapat na i-multiply ng numero sa likod ng root sign.

Balikan natin ang ating halimbawa. Ang radikal na bilang 3. Ang pinakamalapit na mga parisukat na numero dito ay ang mga bilang 1 (1 \u003d 1) at 4 (4 \u003d 2). Kaya't ang 3 ay nasa pagitan ng 1 at 2. Dahil ang 3 ay malamang na malapit sa 2 kaysa sa 1, ang aming tinatantiyang 3 \u003d 1.7. Pinarami namin ang halagang ito sa pamamagitan ng numero sa root sign: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Kung gagawin mo ang mga kalkulasyon sa isang calculator, makakakuha ka ng 12.13, na malapit sa aming sagot.

Gumagawa din ang pamamaraang ito nang may malaking bilang. Halimbawa, isaalang-alang ang 35. Ang root number ay 35. Ang pinakamalapit na mga square number ay 25 (25 \u003d 5) at 36 (36 \u003d 6). Kaya't ang 35 ay nasa pagitan ng 5 at 6. Dahil ang 35 ay mas malapit sa 6 kaysa sa 5 (dahil ang 35 ay 1 lamang mas mababa sa 36), pagkatapos ay maaari nating sabihin na 35 ay bahagyang mas mababa sa 6. Ang pagsuri sa calculator ay nagbibigay sa amin ng sagot 5.92 - tama kami.



Ang isa pang paraan ay upang isaalang-alang ang radikal na numero sa pangunahing mga kadahilanan. Punong mga kadahilanan ng mga numero na mahahati lamang sa 1 at sa kanilang mga sarili. Isulat ang pangunahing mga kadahilanan sa isang hilera at hanapin ang mga pares ng parehong mga kadahilanan. Ang mga nasabing kadahilanan ay maaaring makuha sa kabila ng root sign.

Halimbawa, kalkulahin ang parisukat na ugat ng 45. Nabulok namin ang radikal na numero sa pangunahing mga kadahilanan: 45 \u003d 9 x 5, at 9 \u003d 3 x 3. Sa gayon, 45 \u003d (3 x 3 x 5). Maaaring makuha ang 3 sa labas ng root sign: 45 \u003d 35. Ngayon ay maaari mong suriin ang 5.

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: 88.

\u003d (2 x 4 x 11)

\u003d (2 x 2 x 2 x 11). Nakakuha ka ng tatlong multiplier ng 2; kumuha ng isang pares sa kanila at ilagay ang mga ito sa labas ng root sign.

2 (2 x 11) \u003d 22 x 11. Ngayon ay maaari mong suriin ang 2 at 11 at makahanap ng isang magaspang na sagot.

Ang tutorial video na ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang:

Upang makuha ang ugat ng isang numero, dapat kang gumamit ng isang calculator, o kung walang angkop na isa, pinapayuhan kita na pumunta sa site na ito at lutasin ang problema gamit ang calculator sa onlinena magbibigay ng tamang halaga sa mga segundo.

Karagdagan at pagbabawas ng mga ugat ay isa sa pinakakaraniwang "mga hadlang" para sa mga kumukuha ng kursong matematika (algebra) sa high school. Gayunpaman, napakahalaga na malaman kung paano idagdag at ibawas ang mga ito nang tama, dahil ang mga halimbawa para sa kabuuan o pagkakaiba ng mga ugat ay kasama sa programa ng pangunahing Unified State Exam sa disiplina na "matematika".

Upang makabisado ang solusyon ng mga nasabing halimbawa, dalawang bagay ang kinakailangan - upang maunawaan ang mga patakaran, at upang makabuo din ng kasanayan. Ang pagkakaroon ng malutas ang isa o dalawang dosenang mga tipikal na halimbawa, ang mag-aaral ay magdadala ng kasanayang ito sa automatism, at pagkatapos ay wala siyang kinakatakutan sa pagsusulit. Inirerekumenda na simulan ang mastering ang mga pagpapatakbo ng arithmetic na may karagdagan, dahil ang pagdaragdag ng mga ito ay mas madali kaysa ibawas ang mga ito.

Ang pinakamadaling paraan upang ipaliwanag ito ay sa halimbawa ng parisukat na ugat. Sa matematika, mayroong isang matatag na term na "parisukat". Ang "to square" ay nangangahulugang i-multiply ang isang tukoy na numero nang isang beses nang mag-isa... Halimbawa, kung parisukat 2, makakakuha ka ng 4. Kung parisukat 7, makakakuha ka ng 49. Ang parisukat ng 9 ay 81. Kaya ang parisukat na ugat ng 4 ay 2, ng 49 ay 7, at ng 81 ay 9.

Bilang panuntunan, ang pag-aaral ng paksang ito sa matematika ay nagsisimula sa mga square root. Upang agad itong matukoy, dapat malaman ng isang mag-aaral sa high school ang talahanayan ng pagpaparami sa pamamagitan ng puso. Ang mga hindi sigurado sa talahanayan na ito ay kailangang gumamit ng mga pahiwatig. Karaniwan ang proseso ng pagkuha ng root square mula sa isang numero ay ibinibigay sa anyo ng isang talahanayan sa mga pabalat ng maraming mga notebook sa matematika sa paaralan.

Ang mga ugat ay sa mga sumusunod na uri:

• parisukat;
• kubiko (o tinatawag na pangatlong degree);
• ikaapat na degree;
• ikalimang degree.

Mga panuntunan sa pagdaragdag

Upang matagumpay na malutas tipikal na halimbawa, dapat tandaan na hindi lahat ng mga root number maaaring isalansan sa bawat isa... Upang ma-nakatiklop, dapat silang dalhin sa isang karaniwang pattern. Kung hindi ito posible, kung gayon ang problema ay walang solusyon. Ang mga ganitong problema ay madalas na matatagpuan sa mga aklat sa matematika bilang isang uri ng bitag para sa mga mag-aaral.

Hindi pinapayagan ang pagdaragdag sa mga gawain kung magkakaiba ang mga radikal na expression sa bawat isa. Maaari itong mailarawan sa isang nakalarawang halimbawa:

• nahaharap ang mag-aaral sa gawain: idagdag ang parisukat na ugat ng 4 at ng 9;
• isang walang karanasan na mag-aaral na hindi alam ang mga patakaran na karaniwang nagsusulat: "ugat ng 4 + ugat ng 9 \u003d ugat ng 13".
• napakasimple upang patunayan na ang solusyon na ito ay mali. Upang magawa ito, kailangan mong hanapin ang parisukat na ugat ng 13 at suriin kung ang halimbawa ay malulutas nang tama;
• gamit ang isang microcalculator, maaari mong matukoy na ito ay humigit-kumulang na 3.6. Ngayon ay nananatili itong suriin ang solusyon;
• ang ugat ng 4 \u003d 2, at ng 9 \u003d 3;
• Ang kabuuan ng mga bilang na "dalawa" at "tatlo" ay lima. Kaya, ang solusyon sa algorithm na ito ay maaaring maituring na hindi tama.

Kung ang mga ugat ay pareho ang degree ngunit magkakaiba mga ekspresyon ng numero, inilalagay ito sa labas ng mga braket, at ang kabuuan ng dalawang radikal na ekspresyon... Sa gayon, nakuha na ito mula sa halagang ito.

Algorithm ng karagdagan

Upang makagawa ng tamang pagpapasya ang pinakasimpleng gawain, Kailangan iyon:

1. Tukuyin kung ano ang eksaktong nangangailangan ng karagdagan.
2. Upang malaman kung posible na magdagdag ng mga halaga sa bawat isa, na ginagabayan ng mga panuntunang mayroon sa matematika.
3. Kung hindi sila maaaring nakatiklop, kailangan mong ibahin ang mga ito upang sila ay nakatiklop.
4. Natupad ang lahat ng kinakailangang mga pagbabago, kinakailangan upang magsagawa ng karagdagan at isulat ang natapos na sagot. Ang pagdaragdag ay maaaring gawin sa pag-iisip o paggamit ng isang micro calculator, depende sa pagiging kumplikado ng halimbawa.

Ano ang magkatulad na mga ugat

Upang malutas nang tama ang isang halimbawa ng pagdaragdag, dapat mo munang isipin kung paano mo ito gawing simple. Upang magawa ito, kailangan mong magkaroon ng pangunahing kaalaman sa kung ano ang pagkakapareho.

Ang kakayahang makilala ang mga katulad ay makakatulong upang mabilis na malutas ang mga katulad na halimbawa ng pagdaragdag, na dalhin sila sa isang pinasimple na form. Upang gawing simple ang isang karaniwang halimbawa ng pagdaragdag, kailangan mong:

1. Humanap ng mga katulad at piliin ang mga ito sa isang pangkat (o maraming pangkat).
2. Isulat muli ang mayroon nang halimbawa sa isang paraan na ang mga ugat na may parehong tagapagpahiwatig ay malinaw na magkakasunod-sunod (tinatawag itong "pagpapangkat").
3. Susunod, dapat mong muling isulat muli ang expression, oras na ito sa paraang ang mga katulad (na may parehong tagapagpahiwatig at magkaparehong radikal na numero) ay sumusunod din sa bawat isa.

Pagkatapos nito, ang isang pinasimple na halimbawa ay karaniwang madaling malutas.

Upang malutas nang tama ang anumang halimbawa ng pagdaragdag, kinakailangan upang malinaw na maunawaan ang mga pangunahing alituntunin ng pagdaragdag, at malaman din kung ano ang isang ugat at kung ano ito.

Minsan ang mga naturang gawain ay mukhang napakahirap sa unang tingin, ngunit kadalasan madali silang malulutas ng pagpapangkat ng mga katulad. Ang pinakamahalagang bagay ay ang pagsasanay, at pagkatapos ang mag-aaral ay magsisimulang "mag-click sa mga problema tulad ng mga mani." Ang pagdaragdag ng mga ugat ay isa sa pinakamahalagang larangan ng matematika, kaya dapat gastusin ng mga guro ang sapat na oras sa pag-aaral nito.

Video

Tutulungan ka ng video na ito na maunawaan ang mga equation na may square Roots.