Kahulugan Ang pinakamalaking likas na numero kung saan ang mga numero a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinawag pinakadakilang karaniwang kadahilanan (gcd) ang mga numerong ito.

Hanapin ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng 24 at 35.
Ang magbabahagi ng 24 ay ang mga bilang na 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, at ang maghati ng 35 ay ang mga bilang na 1, 5, 7, 35.
Nakita natin na ang mga bilang na 24 at 35 ay may isang karaniwang tagapamahagi lamang - ang bilang 1. Ang mga nasabing numero ay tinawag kapwa simple.

Kahulugan Tinawag ang mga natural na numero kapwa simplekung ang kanilang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi (GCD) ay 1.

Pinakamalaking karaniwang tagapamahagi (GCD) ay maaaring matagpuan nang hindi isinulat ang lahat ng mga divisors ng ibinigay na mga numero.

Isinasaalang-alang ang mga bilang na 48 at 36, nakukuha natin ang:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Mula sa mga kadahilanan na kasama sa agnas ng una sa mga numerong ito, tinatanggal namin ang mga hindi kasama sa agnas ng pangalawang numero (ibig sabihin, dalawang dalawa).
Ang mga kadahilanan ay mananatiling 2 * 2 * 3. Ang kanilang produkto ay 12. Ang numerong ito ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga bilang na 48 at 36. Ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng tatlo o higit pang mga numero ay natagpuan din.

Hanapin pinakadakilang karaniwang kadahilanan

2) mula sa mga salik na kasama sa agnas ng isa sa mga numerong ito, tanggalin ang mga hindi kasama sa agnas ng iba pang mga numero;
3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Kung ang lahat ng mga numerong ito ay nahahati sa isa sa mga ito, ang bilang na ito ay pinakadakilang karaniwang kadahilanan binigyan ng mga numero.
Halimbawa, ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng 15, 45, 75, at 180 ay 15, dahil ang lahat ng iba pang mga numero ay nahahati sa ito: 45, 75, at 180.

Hindi bababa sa Karaniwang Maramihang (LCM)

Kahulugan Hindi bababa sa Karaniwang Maramihang (LCM) ang mga natural na numero a at b ay tinawag na pinakamaliit na natural na numero, na kung saan ay isang maramihang mga parehong a at b. Ang pinakamaliit na karaniwang maramihang (LCM) ng mga bilang 75 at 60 ay maaaring matagpuan nang hindi isinulat ang mga multiply ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang magawa ito, nabubulok namin ang 75 at 60 sa pangunahing mga kadahilanan: 75 \u003d 3 * 5 * 5, at 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Isulat natin ang mga kadahilanan na kasama sa agnas ng una sa mga numerong ito, at idagdag sa kanila ang mga nawawalang kadahilanan 2 at 2 mula sa agnas ng pangalawang numero (ibig sabihin, pinagsasama namin ang mga kadahilanan).
Nakukuha namin ang limang mga kadahilanan 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ang produkto na kung saan ay 300. Ang bilang na ito ay ang hindi gaanong karaniwang maramihang 75 at 60.

Humanap din ang hindi gaanong karaniwang maramihang tatlo o higit pang mga numero.

Sa makahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang maraming mga natural na numero, kailangan mo:
1) mabulok ang mga ito sa pangunahing kadahilanan;
2) isulat ang mga salik na kasama sa agnas ng isa sa mga bilang;
3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang kadahilanan mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;
4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang kadahilanan.

Tandaan na kung ang isa sa mga numerong ito ay nahahati sa lahat ng iba pang mga numero, kung gayon ang bilang na ito ay ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga bilang na ito.
Halimbawa, ang hindi gaanong karaniwang maramihang 12, 15, 20, at 60 ay 60 dahil ito ay nahahati sa lahat ng mga numerong ito.

Pinag-aralan ni Pythagoras (VI siglo BC) at ng kanyang mga mag-aaral ang tanong ng pagkakaiba-iba ng mga numero. Ang isang bilang na katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga divisor nito (nang walang numero mismo), tinawag nila ang isang perpektong numero. Halimbawa, ang mga bilang na 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ay perpekto. Ang mga susunod na perpektong numero ay 496, 8128, 33 550 336. Ang mga Pythagoreans ay alam lamang ang unang tatlong perpektong numero. Ang pang-apat - 8128 - ay naging kilala noong unang siglo. n. e. Ang ikalima - 33 550 336 - ay natagpuan noong ika-15 siglo. Pagsapit ng 1983, 27 na perpektong numero ang alam na. Ngunit hanggang ngayon, hindi alam ng mga siyentista kung may mga kakatwang perpektong numero, kung mayroong ang pinakamalaking perpektong numero.
Ang interes ng mga sinaunang matematiko sa pangunahing mga numero ay dahil sa ang katunayan na ang anumang numero ay alinman sa kalakhan o maaaring kinatawan bilang isang produkto pangunahing numero, iyon ay, ang mga pangunahing numero ay tulad ng mga brick na kung saan itinayo ang natitirang mga natural na numero.
Marahil ay napansin mo na ang mga pangunahing numero sa isang serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay - sa ilang mga bahagi ng serye mayroong higit sa kanila, sa iba pa - mas kaunti. Ngunit ang karagdagang paglipat namin kasama ang serye ng numero, mas hindi gaanong karaniwang mga prima. Ang tanong ay arises: mayroon ba ang huling (pinakamalaking) kalakasan? Ang sinaunang Griyego na dalubbilang Euclid (III siglo BC) sa kanyang librong "Mga Panimula", na kung saan ay para sa dalawang libong taon ang pangunahing aklat sa matematika, pinatunayan na may maraming mga prime, iyon ay, sa likod ng bawat kalakasan mayroong isang mas higit pang kalakasan numero
Upang makahanap ng mga pangunahing numero, isa pang Greek matematikong kasabay nito, si Eratosthenes, ang gumawa ng gayong pamamaraan. Isinulat niya ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang sa ilang bilang, at pagkatapos ay nag-cross out ng isang yunit, na alinman ay hindi isang prime o isang pinagsamang numero, pagkatapos ay na-cross out ang lahat ng mga numero pagkatapos ng 2 (mga numero na multiply ng 2, ibig sabihin 4, 6 , 8, atbp.). Ang unang natitirang numero pagkatapos ng 2 ay 3. Pagkatapos ang lahat ng mga numero pagkatapos ng 3 (mga numero na multiply ng 3, ibig sabihin 6, 9, 12, atbp.) Ay na-cross pagkatapos ng dalawa. sa huli, ang pangunahing mga numero lamang ang nanatiling walang kros.

Ang mga ekspresyon at problema sa matematika ay nangangailangan ng maraming karagdagang kaalaman. Ang NOC ay isa sa mga pangunahing, lalo na madalas na ginagamit sa Ang paksa ay pinag-aaralan sa high school, habang hindi partikular na mahirap maunawaan ang materyal, ang isang taong pamilyar sa mga degree at ang talahanayan ng pagpaparami ay hindi mahihirapan na piliin ang mga kinakailangang numero at hanapin ang resulta.

Kahulugan

Ang karaniwang maramihang ay isang numero na maaaring ganap na nahahati sa dalawang numero nang sabay (a at b). Kadalasan, ang numerong ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga orihinal na numero a at b. Ang numero ay dapat nahahati sa parehong mga numero nang sabay-sabay, nang walang mga paglihis.

Ang NOC ay ang tinatanggap na pagtatalaga maikling pangalanna naipon mula sa mga unang titik.

Mga paraan upang makakuha ng isang numero

Upang hanapin ang LCM, ang pamamaraan ng pag-multiply ng mga numero ay hindi palaging naaangkop; ito ay mas mahusay na angkop para sa simpleng mga solong-digit o dalawang-digit na numero. kaugalian na hatiin ayon sa mga kadahilanan, mas malaki ang bilang, mas maraming mga kadahilanan ang magkakaroon.

Halimbawa Blg. 1

Para sa pinakasimpleng halimbawa, ang mga paaralan ay karaniwang gumagamit ng mga simple, solong, o dalawang digit na numero. Halimbawa, kailangan mong malutas ang sumusunod na problema, hanapin ang hindi gaanong karaniwang maramihang 7 at 3, ang solusyon ay medyo simple, i-multiply lamang ang mga ito. Bilang isang resulta, mayroong isang bilang 21, may simpleng walang mas maliit na bilang.

Halimbawa Blg 2

Ang pangalawang pagkakaiba-iba ng gawain ay mas mahirap. Dahil sa mga bilang na 300 at 1260, ang paghahanap ng NOC ay sapilitan. Upang malutas ang gawain, ipinapalagay ang mga sumusunod na aksyon:

Ang agnas ng una at pangalawang mga numero sa pinakasimpleng kadahilanan. 300 \u003d 2 2 * 3 * 5 2; 1260 \u003d 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Nakumpleto ang unang yugto.

Ang pangalawang yugto ay nagsasangkot ng pagtatrabaho sa natanggap na data. Ang bawat isa sa mga nakuha na numero ay dapat lumahok sa pagkalkula ng panghuling resulta. Para sa bawat kadahilanan, ang pinaka malaking bilang mga pangyayari NOC ay kabuuang bilang, samakatuwid, ang mga kadahilanan mula sa mga numero ay dapat na ulitin sa lahat ng ito sa isa, kahit na ang mga naroroon sa isang kopya. Ang parehong mga paunang numero ay nasa kanilang komposisyon ang mga bilang na 2, 3 at 5, sa iba't ibang degree, 7 ay nasa isang kaso lamang.

Upang makalkula ang pangwakas na resulta, kailangan mong kunin ang bawat numero sa pinakamalaking ng mga kapangyarihan na ipinakita sa equation. Ang natitira lamang ay upang dumami at makuha ang sagot, na may wastong pagpuno, ang gawain ay umaangkop sa dalawang pagkilos nang walang paliwanag:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM \u003d 6300.

Iyon ang buong problema, kung susubukan mong kalkulahin ang kinakailangang numero sa pamamagitan ng pag-multiply, kung gayon ang sagot ay tiyak na hindi magiging tama, dahil 300 * 1260 \u003d 378,000.

Suriin:

6300/300 \u003d 21 - totoo;

6300/1260 \u003d 5 - tama.

Ang kawastuhan ng resulta ay natutukoy sa pamamagitan ng pagsuri - paghati sa LCM ng parehong paunang numero, kung ang numero ay isang integer sa parehong mga kaso, kung gayon ang sagot ay tama.

Ano ang ibig sabihin ng LCM sa matematika

Tulad ng alam mo, sa matematika walang iisang walang silbi na pag-andar, ang isang ito ay walang kataliwasan. Ang pinakakaraniwang paggamit ng numerong ito ay ang pag-convert ng mga praksyon sa karaniwang denominator... Ano ang karaniwang itinuturo sa mga grade 5-6 ng high school. Bukod pa rito ay isang karaniwang pamamahagi para sa lahat ng mga multiply, kung ang mga naturang kondisyon ay nasa problema. Ang isang katulad na expression ay maaaring makahanap ng maramihang hindi lamang sa dalawang numero, ngunit din sa isang mas malaking bilang - tatlo, lima, at iba pa. Ang mas maraming mga numero - mas maraming mga aksyon sa gawain, ngunit ang pagiging kumplikado ay hindi tataas mula dito.

Halimbawa, binigyan ang mga bilang na 250, 600 at 1500, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuang LCM:

1) 250 \u003d 25 * 10 \u003d 5 2 * 5 * 2 \u003d 5 3 * 2 - inilalarawan ng halimbawang ito ang pag-factorize nang detalyado, nang walang pagkansela.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Upang makabuo ng isang expression, kinakailangang banggitin ang lahat ng mga kadahilanan, sa kasong ito 2, 5, 3 ay ibinigay, - para sa lahat ng mga numerong ito, kinakailangan upang matukoy ang maximum degree.

Pansin: ang lahat ng mga multiplier ay dapat dalhin upang makumpleto ang pagpapagaan, kung maaari, na lumalawak sa antas ng mga solong pinahahalagahan.

Suriin:

1) 3000/250 \u003d 12 - totoo;

2) 3000/600 \u003d 5 - totoo;

3) 3000/1500 \u003d 2 - totoo.

Ang pamamaraang ito ay hindi nangangailangan ng anumang mga trick o kakayahan ng antas ng henyo, ang lahat ay simple at prangka.

Ibang paraan

Sa matematika, maraming nakakonekta, maraming malulutas sa dalawa o higit pang mga paraan, ang parehong nalalapat sa paghahanap ng hindi gaanong karaniwang maramihang, LCM. Ang sumusunod na pamamaraan ay maaaring magamit sa kaso ng simpleng dalawang-digit at solong-digit na mga numero. Ang isang talahanayan ay naipon kung saan ang multiplier ay ipinasok nang patayo, ang multiplier nang pahalang, at ang produkto ay ipinahiwatig sa mga intersecting cell ng haligi. Maaari mong ipakita ang talahanayan sa pamamagitan ng isang linya, ang isang numero ay nakuha at ang mga resulta ng pagpaparami ng bilang na ito sa pamamagitan ng mga integer, mula sa 1 hanggang sa kawalang-hanggan, ay nakasulat sa isang hilera, kung minsan ay sapat na 3-5 na puntos, ang pangalawa at kasunod na mga numero ay napailalim sa parehong proseso ng computational Ang lahat ay nangyayari hanggang sa magkaroon ng isang karaniwang maramihang.

Sa ibinigay na mga numero 30, 35, 42, kailangan mong hanapin ang LCM na kumokonekta sa lahat ng mga numero:

1) Maramihang 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, atbp.

2) Maramihang 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, atbp.

3) Maramihang ng 42: 84, 126, 168, 210, 252, atbp.

Kapansin-pansin na ang lahat ng mga numero ay magkakaiba, ang karaniwang numero lamang sa kanila ay 210, kaya't ito ang LCM. Kabilang sa mga proseso na nauugnay sa pagkalkula na ito, mayroon ding pinakadakilang karaniwang tagapamahagi, na kinakalkula ayon sa mga katulad na prinsipyo at madalas na nakatagpo sa mga kalapit na problema. Ang pagkakaiba ay maliit, ngunit sapat na makabuluhan, ipinapalagay ng LCM ang pagkalkula ng isang numero na hinati sa lahat ng mga ibinigay na paunang halaga, at ipinapalagay ng GCD ang pagkalkula ang pinakadakilang halaga kung saan nahahati ang mga orihinal na numero.

Pangalawang numero: b \u003d

Paghihiwalay ng digit Walang separator space "´

Resulta:

Pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng GCD ( a,b)=6

Hindi bababa sa Karaniwang Maramihang LCM ( a,b)=468

Ang pinakamalaking likas na numero kung saan ang mga numero a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinawag pinakadakilang karaniwang kadahilanan (Gcd) ng mga numerong ito. Ipinahiwatig ng gcd (a, b), (a, b), gcd (a, b), o hcf (a, b).

Hindi bababa sa karaniwang maramihang Ang (LCM) ng dalawang integer a at b ay ang pinakamaliit na natural na bilang na nahahati ng a at b nang walang natitirang bahagi. Ang LCM ay itinalaga (a, b), o lcm (a, b).

Ang mga integer a at b ay tinawag kapwa simplekung wala silang karaniwang mga divisor maliban sa +1 at −1.

Pinakadakilang karaniwang tagapamahagi

Binigyan ng dalawa positibong numero a 1 at a 2 1). Kinakailangan na hanapin ang karaniwang pamamahagi ng mga numerong ito, ibig sabihin hanapin ang ganoong numero λ na naghahati ng mga numero a 1 at a 2 nang sabay. Ilarawan natin ang algorithm.

1) Sa artikulong ito, ang salitang numero ay nangangahulugang isang integer.

Hayaan mo a 1 ≥ a 2 at hayaan

kung saan m 1 , a 3 ilang mga integer, a 3 <a 2 (natitirang paghahati a 1 sa a 2 dapat mas mababa a 2).

Magpanggap tayo niyan λ naghahati a 1 at a 2, kung gayon λ naghahati m 1 a 2 at λ naghahati a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pahayag 2 ng artikulong "Pagkakaiba-iba ng mga numero. Mag-sign ng pagkakaiba-iba") Samakatuwid sumusunod ito sa bawat karaniwang pamamahagi a 1 at a Ang 2 ay isang pangkaraniwang kadahilanan a 2 at a 3. Ang paguusap ay totoo rin kung λ karaniwang tagahati a 2 at a 3, kung gayon m 1 a 2 at a 1 =m 1 a 2 +a Nahahati rin ang 3 sa λ ... Samakatuwid ang karaniwang tagahati a 2 at a Ang 3 ay isang pangkaraniwang tagahati din a 1 at a 2. Bilang a 3 <a 2 ≤a 1, pagkatapos ay maaari nating sabihin na ang solusyon sa problema ng paghahanap ng karaniwang tagahati ng mga numero a 1 at a 2 nabawasan sa mas simpleng problema ng paghahanap ng karaniwang tagahati ng mga numero a 2 at a 3 .

Kung a 3 ≠ 0, pagkatapos ay maaari tayong maghati a 2 sa a 3. Tapos

,

kung saan m 1 at a 4 ilang mga integer, ( a 4 na natitira a 2 sa a 3 (a 4 <a 3)). Sa pamamagitan ng magkatulad na pangangatuwiran, napagpasyahan namin na ang mga karaniwang paghati ng mga numero a 3 at a Ang 4 ay kapareho ng mga karaniwang divisor a 2 at a 3, at mayroon ding mga karaniwang kadahilanan a 1 at a 2. Bilang a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... mga numero na patuloy na bumababa, at dahil mayroong isang may hangganan na bilang ng mga integer sa pagitan a 2 at 0, pagkatapos ay sa ilang hakbang n, natitirang bahagi ng dibisyon a n sa a Ang n + 1 ay katumbas ng zero ( a n + 2 \u003d 0).

.

Ang bawat karaniwang tagapamahagi λ numero a 1 at a Ang 2 ay isang tagahati din ng mga numero a 2 at a 3 , a 3 at a 4 , .... a n at a n + 1. Ang pag-uusap ay totoo din, karaniwang mga divisor ng mga numero a n at a Ang n + 1 ay mga namamahagi din ng mga numero a n - 1 at a n, ...., a 2 at a 3 , a 1 at a 2. Ngunit ang karaniwang pamamahagi ng mga numero a n at a n + 1 ang numero a n + 1, sapagkat a n at a Ang n + 1 ay mahahati ng a n + 1 (tandaan mo yan a n + 2 \u003d 0). Dahil dito a Ang n + 1 ay isang tagahati din ng mga numero a 1 at a 2 .

Tandaan na ang numero a Ang n + 1 ay ang pinakamalaking tagahati ng mga numero a n at a n + 1, mula noong pinakadakilang tagahati a ang n + 1 ay mismo a n + 1. Kung a Ang n + 1 ay maaaring kinatawan bilang isang produkto ng mga integer, kung gayon ang mga bilang na ito ay karaniwang mga namamahagi din ng mga numero a 1 at a 2. Bilang a n + 1 ang tinawag pinakadakilang karaniwang kadahilanan numero a 1 at a 2 .

Numero a 1 at a Ang 2 ay maaaring parehong positibo at negatibong mga numero. Kung ang isa sa mga numero ay zero, kung gayon ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga numerong iyon ay katumbas ng ganap na halaga ng ibang numero. Ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga zero na numero ay hindi natukoy.

Tinawag ang algorithm sa itaas ang algorithm ng Euclidupang makahanap ng pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng dalawang integer.

Isang halimbawa ng paghahanap ng pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng dalawang numero

Hanapin ang pinakadakilang karaniwang kadahilanan ng dalawang numero 630 at 434.

• Hakbang 1. Hatiin ang bilang 630 ng 434. Ang natitira ay 196.
• Hakbang 2. Hatiin ang 434 hanggang 196. Ang natitira ay 42.
• Hakbang 3. Hatiin ang 196 ng 42. Ang natitira ay 28.
• Hakbang 4. Hatiin ang 42 sa 28. Ang natitira ay 14.
• Hakbang 5. Hatiin ang bilang 28 sa 14. Ang natitira ay 0.

Sa hakbang 5, ang natitirang bahagi ng dibisyon ay 0. Samakatuwid, ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng 630 at 434 ay 14. Tandaan na ang 2 at 7 ay mga tagahati din ng 630 at 434.

Magkaparehong pangunahing numero

Kahulugan 1. Hayaan ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga numero a 1 at a Ang 2 ay katumbas ng isa. Pagkatapos ang mga numerong ito ay tinawag magkabilang pangunahing numerona walang karaniwang tagapamahagi.

Teorama 1. Kung a 1 at a 2 mga numero ng coprime, at λ ilang numero, pagkatapos ay anumang karaniwang pamamahagi ng mga numero a 1 at a Ang 2 ay isang pangkaraniwang tagahati din ng mga numero λ at a 2 .

Katibayan. Isaalang-alang ang algorithm ng Euclid para sa paghahanap ng pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga numero a 1 at a 2 (tingnan sa itaas).

.

Sumusunod ito mula sa mga kundisyon ng teorama na ang pinakadakilang karaniwang pamamahagi ng mga numero a 1 at a 2, at samakatuwid a n at a n + 1 ay 1. Iyon ay, a n + 1 \u003d 1.

Pinarami namin ang lahat ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng λ tapos

.

Hayaan ang karaniwang tagahati a 1 λ at a 2 ay δ ... Tapos δ ay isang kadahilanan sa a 1 λ , m 1 a 2 λ at sa a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (tingnan ang "Pagkakaiba-iba ng mga numero", Pahayag 2). Dagdag pa δ ay isang kadahilanan sa a 2 λ at m 2 a 3 λ , at, samakatuwid, ay isang kadahilanan sa a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Sa pamamagitan ng pangangatuwiran sa ganitong paraan nakakumbinsi tayo na δ ay isang kadahilanan sa a n - 1 λ at m n - 1 a n λ , at samakatuwid sa a n - 1 λ −m n - 1 a n λ =a n + 1 λ ... Bilang a n + 1 \u003d 1, kung gayon δ ay isang kadahilanan sa λ ... Samakatuwid ang numero δ ay karaniwang pamamahagi ng mga numero λ at a 2 .

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso ng Theorem 1.

Kinahinatnan 1. Hayaan mo a at c pangunahing numero ay kamag-anak b... Pagkatapos ang kanilang produkto ac ay isang pangunahing numero na may kaugnayan sa b.

Talaga. Mula sa Theorem 1 ac at b may parehong mga karaniwang kadahilanan bilang c at b... Ngunit ang mga numero c at b kapwa simple, ibig sabihin magkaroon ng natatanging karaniwang tagahati 1. Pagkatapos ac at b mayroon ding natatanging karaniwang tagahati 1. Samakatuwid ac at b kapwa simple.

Kinahinatnan 2. Hayaan mo a at b mga numero ng coprime at hayaan b naghahati ak... Tapos b naghahati at k.

Talaga. Mula sa kundisyon ng pahayag ak at b magkaroon ng isang karaniwang tagapamahagi b... Sa pamamagitan ng Theorem 1, b dapat maging isang karaniwang tagapamahagi b at k... Dahil dito b naghahati k.

Ang Corollary 1 ay maaaring gawing pangkalahatan.

Kinahinatnan 3. 1. Hayaan ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m prime na may kaugnayan sa isang numero b... Tapos a 1 a 2 , a 1 a 2 a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 a m, ang produkto ng mga numerong ito ay kalakasan na may paggalang sa numero b.

2. Hayaan mayroon kaming dalawang mga hilera ng mga numero

tulad na ang bawat numero sa unang hilera ay kalakasan na may kaugnayan sa bawat numero sa pangalawang hilera. Pagkatapos ang produkto

Kinakailangan upang makahanap ng mga nasabing numero na mahahati sa bawat isa sa mga numerong ito.

Kung ang numero ay mahahati ng a 1, pagkatapos ay mayroon itong form sa 1, saan s kahit anong numero. Kung q ay ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga numero a 1 at a 2, kung gayon

kung saan s Ang 1 ay isang integer. Tapos

ay isang hindi gaanong karaniwang mga multiply a 1 at a 2 .

a 1 at a 2 coprime, pagkatapos ay ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga numero a 1 at a 2:

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga bilang na ito.

Mula sa itaas sumusunod ito sa anumang maramihang mga numero a 1 , a 2 , a Ang 3 ay dapat na isang maramihang mga numero ε at a 3, at kabaliktaran. Hayaan ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga numero ε at a 3 ay ε isa Dagdag dito, isang maramihang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ay dapat na isang maramihang mga numero ε 1 at a 4. Hayaan ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga numero ε 1 at a 4 ay ε 2. Kaya, nalaman namin na lahat ng mga multiply ng mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m kasabay sa mga multiply ng ilang tiyak na numero ε n, na kung saan ay tinatawag na hindi bababa sa karaniwang maramihang mga ibinigay na numero.

Sa espesyal na kaso kapag ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay coprime, pagkatapos ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga numero a 1 , a 2, tulad ng ipinakita sa itaas, ay mayroong form (3). Dagdag pa, mula pa a 3 prime na may kaugnayan sa mga numero a 1 , a 2, kung gayon a 3 prime sa numero a isa · a 2 (Corollary 1). Hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero a 1 ,a 2 ,a 3 ang numero a isa · a 2 a 3. Ang pagtatalo sa katulad na paraan, nakarating kami sa mga sumusunod na pahayag.

Pahayag 1. Hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a Ang m ay katumbas ng kanilang produkto a isa · a 2 a 3 a m

Pahayag 2. Anumang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay mahahati din ng kanilang produkto a isa · a 2 a 3 a m

Paano makahanap ng LCM (hindi bababa sa karaniwang maramihang)

Ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga dalawang integer ay ang pinakamaliit sa lahat ng mga integer, na pantay na mahahati sa parehong ibinigay na mga numero.

Paraan 1... Mahahanap mo ang LCM, sa turn, para sa bawat isa sa mga ibinigay na numero, na isinusulat nang pataas nang maayos ang lahat ng mga numero na nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga ito ng 1, 2, 3, 4, at iba pa.

Halimbawa para sa mga numero 6 at 9.
Pinarami namin ang bilang 6, sunud-sunod, ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin ang: 6, 12, 18 , 24, 30
Pinarami namin ang bilang 9, sunud-sunod, ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin ang: 9, 18 , 27, 36, 45
Tulad ng nakikita mo, ang LCM para sa mga numero 6 at 9 ay magiging 18.

Maginhawa ang pamamaraang ito kapag ang parehong mga numero ay maliit at madaling i-multiply sa pamamagitan ng isang pagkakasunud-sunod ng mga integer. Gayunpaman, may mga oras na kailangan mong hanapin ang LCM para sa dalawang-digit o tatlong-digit na mga numero, pati na rin kapag ang mga orihinal na numero ay tatlo o higit pa.

Paraan 2... Mahahanap mo ang LCM sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga orihinal na numero sa pangunahing mga kadahilanan.
Matapos ang pagpapalawak, kinakailangan upang i-cross out ang parehong mga numero mula sa nagresultang serye ng mga pangunahing kadahilanan. Ang mga natitirang numero ng unang numero ay magiging isang kadahilanan para sa pangalawa, at ang natitirang mga numero ng pangalawa ay magiging isang kadahilanan para sa una.

Halimbawapara sa bilang na 75 at 60.
Ang pinakamaliit na karaniwang maramihang 75 at 60 ay maaaring matagpuan nang hindi isinusulat ang maramihang mga bilang na ito sa isang hilera. Upang magawa ito, pinalawak namin ang 75 at 60 sa pangunahing mga kadahilanan:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Tulad ng nakikita mo, ang mga kadahilanan 3 at 5 ay matatagpuan sa parehong mga linya. Sa pag-iisip "tinatawid" natin sila.
Isulat natin ang natitirang mga kadahilanan na kasama sa agnas ng bawat isa sa mga numerong ito. Kapag pinapalawak ang bilang na 75, mayroon kaming bilang 5, at kapag nagpapalawak ng bilang 60, mayroon kaming 2 * 2
Kaya, upang matukoy ang LCM para sa mga bilang na 75 at 60, kailangan nating i-multiply ang natitirang mga numero mula sa agnas ng 75 (ito ay 5) ng 60, at ang mga natitirang numero mula sa agnas ng bilang 60 (ito ay 2 * 2) na multiply ng 75. Iyon ay, para sa kadalian ng pag-unawa , sinasabi namin na dumarami kami ng "crosswise".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Sa gayon, nahanap namin ang LCM para sa mga bilang na 60 at 75. Ito ang bilang na 300.

Halimbawa... Tukuyin ang LCM para sa mga bilang 12, 16, 24
Sa kasong ito, ang aming mga aksyon ay magiging mas kumplikado. Ngunit, una, tulad ng lagi, isinasama namin ang lahat ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Upang matukoy nang tama ang LCM, pipiliin namin ang pinakamaliit sa lahat ng mga numero (ito ang bilang 12) at sunud-sunod na dumaan sa mga kadahilanan nito, tawirin sila kung hindi bababa sa isa sa iba pang serye ng mga numero ay pareho, hindi pa naka-cross factor.

Hakbang 1. Nakita namin na ang 2 * 2 ay nangyayari sa lahat ng mga hilera ng mga numero. Tinawid namin sila.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Hakbang 2. Sa pangunahing mga kadahilanan ng bilang 12, ang bilang lamang 3. ang mananatili. Ngunit naroroon ito sa pangunahing mga kadahilanan ng bilang na 24. I-cross ang bilang 3 mula sa parehong mga hilera, habang para sa bilang na 16 walang aksyon na ipinapalagay.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Tulad ng nakikita mo, kapag pinalawak ang bilang 12, "na-cross" namin ang lahat ng mga numero. Nangangahulugan ito na ang paghanap ng NOC ay nakumpleto. Nananatili lamang ito upang makalkula ang halaga nito.
Para sa bilang 12, kinukuha namin ang natitirang mga kadahilanan ng bilang 16 (ang pinakamalapit sa pataas na pagkakasunud-sunod)
12 * 2 * 2 = 48
Ito ang NOC

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito, ang paghahanap ng LCM ay medyo mahirap, ngunit kapag kailangan mong hanapin ito para sa tatlo o higit pang mga numero, pinapayagan ka ng pamamaraang ito na gawin mo ito nang mas mabilis. Gayunpaman, ang parehong pamamaraan ng paghahanap ng LCM ay tama.

Ngunit maraming mga natural na numero ay pantay na nahahati sa iba pang mga natural na numero.

Halimbawa:

Ang bilang 12 ay hinati sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Ang bilang 36 ay nahahati sa 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Ang mga numero kung saan pantay-pantay na nahahati ang numero (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinawag divisors... Tagapagbahagi ng natural na numero a ay isang natural na numero na naghahati sa isang naibigay na numero a nang walang natitira. Ang isang natural na numero na mayroong higit sa dalawang divisors ang tinawag pinaghalong .

Tandaan na ang mga bilang 12 at 36 ay may mga karaniwang kadahilanan. Ito ang mga bilang: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking tagahati ng mga numerong ito ay 12. Karaniwang tagahati ng dalawang ibinigay na numero a at b ay isang numero kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira aat b.

Karaniwang maramihang ang maramihang mga numero ay isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga bilang na 9, 18 at 45 ay may isang karaniwang maramihang 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang karaniwang mga multiply. Kabilang sa lahat ng kabuuang bilang ng mga multiply, laging may pinakamaliit, sa kasong ito ay 90. Ang numerong ito ay tinawag ang pinakamaliitkaraniwang maramihang (LCM).

Ang LCM ay palaging isang natural na numero, na dapat ay mas malaki sa pinakamalaking ng mga numero kung saan ito natutukoy.

Hindi bababa sa Karaniwang Maramihang (LCM). Ari-arian.

Commutibility:

Pagkaugnay:

Sa partikular, kung at mga numero ng coprime, pagkatapos ay:

Hindi bababa sa karaniwang maramihang mga dalawang integer mat n ay ang tagahati ng lahat ng iba pang karaniwang mga multiply mat n... Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiply m, n kasabay ng hanay ng mga multiply para sa LCM ( m, n).

Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga pag-andar na bilang-theoretiko.

Kaya, Pag-andar ng Chebyshev ... At:

Sumusunod ito mula sa kahulugan at katangian ng pagpapaandar ng Landau g (n).

Ano ang sumusunod mula sa batas sa pamamahagi ng mga pangunahing numero.

Paghanap ng pinakamaliit na karaniwang maramihang (LCM).

LCM ( a, b) maaaring kalkulahin sa maraming paraan:

1. Kung kilala ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi, maaari mong gamitin ang ugnayan nito sa LCM:

2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa pangunahing mga kadahilanan:

kung saan p 1, ..., p k - iba't ibang mga prima, at d 1, ..., d k at e 1, ..., e k - mga hindi negatibong integer (maaari silang maging mga zero kung ang kaukulang kalakasan ay wala sa pagpapalawak).

Pagkatapos LCM ( a,b) ay kinakalkula ng formula:

Sa madaling salita, ang pagkabulok ng LCM ay naglalaman ng lahat ng mga pangunahing kadahilanan na kasama sa hindi bababa sa isa sa bilang ng pagpapalawak a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponents ng factor na ito ay nakuha.

Halimbawa:

Ang pagkalkula ng hindi gaanong karaniwang maramihang mga bilang ay maaaring mabawasan sa maraming magkakasunod na mga kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:

Panuntunan Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:

- upang mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

- ilipat ang pinakamalaking pagpapalawak sa mga kadahilanan ng nais na produkto (ang produkto ng mga kadahilanan ng pinakamalaking bilang ng mga ibinigay), at pagkatapos ay magdagdag ng mga kadahilanan mula sa pagpapalawak ng iba pang mga numero na hindi nangyari sa unang numero o nasa loob nito ng isang mas maliit na bilang ng mga beses;

- ang nagresultang produkto ng pangunahing mga kadahilanan ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.

Anumang dalawa o higit pang mga natural na numero ay mayroong kanilang LCM. Kung ang mga numero ay hindi multiply ng bawat isa o walang parehong mga kadahilanan sa paglawak, kung gayon ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Ang pangunahing mga kadahilanan ng bilang 28 (2, 2, 7) ay suplemento ng isang kadahilanan ng 3 (bilang 21), ang nagresultang produkto (84) ay ang pinakamaliit na numero na nahahati sa 21 at 28.

Ang pangunahing kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay suplemento ng isang kadahilanan ng 5 ng 25, ang nagresultang produkto na 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitirang. Ito ang pinakamaliit na posibleng produkto (150, 250, 300 ...), na kung saan ay isang maramihang ng lahat ng naibigay na mga numero.

Ang mga numero na 2,3,11,37 ay simple, kaya't ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.

Ang panuntunan... Upang makalkula ang LCM ng mga pangunahing numero, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito sa kanilang sarili.

Iba pang Pagpipilian:

Upang makahanap ng pinakamaliit na karaniwang maramihang (LCM) ng maraming mga numero, kailangan mo:

1) kumakatawan sa bawat numero bilang isang produkto ng pangunahing mga kadahilanan, halimbawa:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing kadahilanan:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) isulat ang lahat ng mga pangunahing kadahilanan (kadahilanan) ng bawat isa sa mga bilang na ito;

4) piliin ang pinakamataas na antas ng bawat isa sa kanila, na matatagpuan sa lahat ng mga pagpapalawak ng mga bilang na ito;

5) paramihin ang mga degree na ito.

Halimbawa ... Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.

Desisyon ... 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 \u003d 2 2 2 2 3 3 3 7 \u003d 2 4 3 3 7 1.

Isusulat namin ang pinakadakilang kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan at i-multiply ito:

LCM \u003d 2 4 3 3 5 1 7 1 \u003d 15 120.