Ang paksang "Maramihang numero" ay pinag-aralan sa ika-5 baitang sekondaryang paaralan. Ang layunin nito ay pahusayin ang nakasulat at oral na kasanayan ng mga kalkulasyon sa matematika. Sa araling ito, ipinakilala ang mga bagong konsepto - "multiple numbers" at "divisors", ang pamamaraan ng paghahanap ng mga divisors at multiple ng isang natural na numero, ang kakayahang mahanap ang LCM sa iba't ibang paraan ay naisasagawa.

Napakahalaga ng paksang ito. Ang kaalaman tungkol dito ay maaaring magamit kapag nilulutas ang mga halimbawa na may mga fraction. Para dito kailangan mong hanapin karaniwang denominador sa pamamagitan ng pagkalkula ng least common multiple (LCM).

Ang multiple ng A ay isang integer na nahahati sa A na walang nalalabi.

Ang bawat natural na numero ay may walang katapusang bilang ng mga multiple nito. Ito ay itinuturing na pinakamaliit. Ang isang maramihan ay hindi maaaring mas mababa sa numero mismo.

Kinakailangang patunayan na ang numero 125 ay isang maramihang ng numero 5. Upang gawin ito, kailangan mong hatiin ang unang numero sa pangalawa. Kung ang 125 ay nahahati sa 5 na walang natitira, ang sagot ay oo.

Ang pamamaraang ito ay naaangkop para sa maliliit na numero.

Kapag kinakalkula ang LCM, may mga espesyal na kaso.

1. Kung kailangan mong humanap ng common multiple para sa 2 numero (halimbawa, 80 at 20), kung saan ang isa sa mga ito (80) ay mahahati nang walang natitira sa isa pa (20), kung gayon ang numerong ito (80) ang pinakamaliit maramihan sa dalawang numerong ito.

LCM (80, 20) = 80.

2. Kung ang dalawa ay walang karaniwang divisor, maaari nating sabihin na ang kanilang LCM ay produkto ng dalawang numerong ito.

LCM (6, 7) = 42.

Isaalang-alang ang huling halimbawa. Ang 6 at 7 na may kaugnayan sa 42 ay mga divisors. Hinahati nila ang maramihang walang natitira.

Sa halimbawang ito, ang 6 at 7 ay mga pares na divisors. Ang kanilang produkto ay katumbas ng pinakamaraming numero (42).

Ang isang numero ay tinatawag na prime kung ito ay nahahati lamang sa sarili o sa pamamagitan ng 1 (3:1=3; 3:3=1). Ang natitira ay tinatawag na composite.

Sa isa pang halimbawa, kailangan mong tukuyin kung ang 9 ay isang divisor na may kinalaman sa 42.

42:9=4 (natitira 6)

Sagot: Ang 9 ay hindi divisor ng 42 dahil ang sagot ay may natitira.

Ang isang divisor ay naiiba mula sa isang maramihan dahil ang divisor ay ang bilang kung saan ang mga natural na numero ay hinahati, at ang maramihang ay mismong nahahati sa numerong iyon.

pinakamalaki karaniwang divisor numero a at b, na pinarami ng kanilang pinakamaliit na maramihan, ay magbibigay ng produkto ng mga numero mismo a at b.

Namely: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Ang mga karaniwang multiple para sa mas kumplikadong mga numero ay matatagpuan sa sumusunod na paraan.

Halimbawa, hanapin ang LCM para sa 168, 180, 3024.

Binubulok namin ang mga numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan, isulat ang mga ito bilang produkto ng mga kapangyarihan:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Mga palatandaan ng divisibility ng mga natural na numero.

Ang mga numerong nahahati sa 2 na walang natitira ay tinatawagkahit .

Ang mga numero na hindi pantay na nahahati sa 2 ay tinatawagkakaiba .

Tanda ng divisibility ng 2

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa isang kahit na digit, kung gayon ang numerong ito ay mahahati ng 2 nang walang natitira, at kung ang talaan ng isang numero ay nagtatapos sa isang kakaibang digit, kung gayon ang numerong ito ay hindi mahahati ng 2 nang walang natitira.

Halimbawa, ang mga numero 60 , 30 8 , 8 4 ay nahahati nang walang natitira sa 2, at ang mga numero ay 51 , 8 5 , 16 7 ay hindi nahahati sa 2 nang walang natitira.

Tanda ng divisibility ng 3

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 3, kung gayon ang numero ay mahahati din ng 3; Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hindi nahahati sa 3, kung gayon ang numero ay hindi mahahati ng 3.

Halimbawa, alamin natin kung ang numerong 2772825 ay nahahati sa 3. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - ay nahahati sa 3 . Kaya, ang numerong 2772825 ay nahahati sa 3.

Tanda ng divisibility ng 5

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa numerong 0 o 5, kung gayon ang numerong ito ay mahahati nang walang nalalabi sa pamamagitan ng 5. Kung ang talaan ng isang numero ay nagtatapos sa ibang digit, ang bilang na walang natitira ay hindi mahahati ng 5.

Halimbawa, ang mga numero 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 ay nahahati nang walang natitira sa 5, at ang mga numero 17 , 37 8 , 9 1 huwag ibahagi.

Tanda ng divisibility ng 9

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 9, kung gayon ang numero ay mahahati din ng 9; Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hindi nahahati sa 9, kung gayon ang numero ay hindi mahahati ng 9.

Halimbawa, alamin natin kung ang numerong 5402070 ay nahahati sa 9. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ay hindi nahahati ng 9. Nangangahulugan ito na ang numerong 5402070 ay hindi nahahati ng 9.

Tanda ng divisibility ng 10

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa digit na 0, kung gayon ang numerong ito ay mahahati sa 10 na walang nalalabi.

Halimbawa, ang mga numero 40 , 17 0 , 1409 0 ay nahahati nang walang natitira sa 10, at ang mga numero 17 , 9 3 , 1430 7 - huwag ibahagi.

Ang panuntunan para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor (gcd).

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang natural na numero, kailangan mong:

2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;

3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Halimbawa. Hanapin natin ang GCD (48;36). Gamitin natin ang panuntunan.

1. Binubulok namin ang mga numero 48 at 36 sa mga pangunahing kadahilanan.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng numero 48, tinanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng numero 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Mayroong mga kadahilanan 2, 2 at 3.

3. I-multiply ang natitirang mga salik at makakuha ng 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 48 at 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Ang panuntunan para sa paghahanap ng least common multiple (LCM).

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang natural na numero, kailangan mong:

1) mabulok ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;

2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;

3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;

4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

Halimbawa. Hanapin natin ang LCM (75;60). Gamitin natin ang panuntunan.

1. Binubulok namin ang mga numerong 75 at 60 sa mga pangunahing kadahilanan.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng bilang na 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik mula sa agnas ng bilang na 60, i.e. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Hanapin ang produkto ng mga resultang salik

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Simulan natin ang pag-aaral ng least common multiple ng dalawa o higit pang mga numero. Sa seksyon, magbibigay kami ng kahulugan ng termino, isaalang-alang ang isang theorem na nagtatatag ng ugnayan sa pagitan ng least common multiple at greatest common divisor, at magbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga problema.

Common multiples - kahulugan, mga halimbawa

Sa paksang ito, magiging interesado lamang kami sa mga karaniwang multiple ng mga integer maliban sa zero.

Kahulugan 1

Common multiple ng integer ay isang integer na isang multiple ng lahat ng ibinigay na mga numero. Sa katunayan, ito ay anumang integer na maaaring hatiin ng alinman sa mga ibinigay na numero.

Ang kahulugan ng common multiples ay tumutukoy sa dalawa, tatlo, o higit pang mga integer.

Halimbawa 1

Ayon sa kahulugan na ibinigay sa itaas para sa bilang 12, ang mga karaniwang multiple ay 3 at 2. Gayundin ang numerong 12 ay magiging isang karaniwang multiple ng mga numerong 2, 3 at 4. Ang mga numerong 12 at -12 ay karaniwang multiple ng mga numero ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Kasabay nito, ang common multiple para sa mga numero 2 at 3 ay ang mga numerong 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 at isang numero ng anumang iba pa.

Kung kukuha kami ng mga numero na nahahati sa unang numero ng isang pares at hindi nahahati sa pangalawa, kung gayon ang mga numerong iyon ay hindi magiging common multiple. Kaya, para sa mga numero 2 at 3, ang mga numero 16 , − 27 , 5009 , 27001 ay hindi magiging common multiple.

Ang 0 ay isang karaniwang multiple ng anumang hanay ng mga non-zero integer.

Kung ating aalalahanin ang ari-arian ng divisibility na may kinalaman sa magkasalungat na numero, pagkatapos ay lumalabas na ang ilang integer k ay magiging isang karaniwang multiple ng mga numerong ito sa parehong paraan tulad ng numero - k . Nangangahulugan ito na ang mga karaniwang divisors ay maaaring maging positibo o negatibo.

Posible bang makahanap ng LCM para sa lahat ng numero?

Ang common multiple ay makikita para sa anumang integer.

Halimbawa 2

Kumbaga binibigyan tayo k mga integer a 1 , a 2 , … , a k. Ang bilang na nakukuha natin sa panahon ng pagpaparami ng mga numero a 1 a 2 … a k ayon sa divisibility property, hahatiin ito ng bawat isa sa mga salik na kasama sa orihinal na produkto. Nangangahulugan ito na ang produkto ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito.

Ilang karaniwang multiple ang maaaring magkaroon ng mga integer na ito?

Ang isang pangkat ng mga integer ay maaaring magkaroon ng malaking bilang ng mga karaniwang multiple. Sa katunayan, ang kanilang bilang ay walang hanggan.

Halimbawa 3

Ipagpalagay na mayroon kaming ilang numero k . Pagkatapos ang produkto ng mga numero k · z , kung saan ang z ay isang integer, ay magiging isang karaniwang multiple ng mga numero k at z . Dahil ang bilang ng mga numero ay walang katapusan, ang bilang ng mga karaniwang multiple ay walang katapusan.

Least Common Multiple (LCM) - Kahulugan, Simbolo at Mga Halimbawa

Alalahanin ang konsepto ng pinakamaliit na bilang mula sa ibinigay na set mga numero, na tinalakay namin sa seksyong Paghahambing ng mga Integer. Sa pag-iisip ng konseptong ito, binubuo namin ang kahulugan ng least common multiple, na may pinakamalaking praktikal na kahalagahan sa lahat ng common multiple.

Kahulugan 2

Pinakamababang karaniwang multiple ng mga ibinigay na integer ay ang hindi bababa sa positibong common multiple ng mga numerong ito.

Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang umiiral para sa anumang bilang ng mga ibinigay na numero. Ang abbreviation na NOK ay ang pinakakaraniwang ginagamit upang magtalaga ng isang konsepto sa reference na literatura. Shorthand para sa Least Common Multiple para sa Mga Numero a 1 , a 2 , … , a k magmumukhang LCM (a 1 , a 2 , … , a k).

Halimbawa 4

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 6 at 7 ay 42. Yung. LCM(6, 7) = 42. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng apat na numero - 2, 12, 15 at 3 ay magiging katumbas ng 60. Ang shorthand ay magiging LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​​​= 60 .

Hindi para sa lahat ng pangkat ng mga ibinigay na numero, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay halata. Kadalasan kailangan itong kalkulahin.

Relasyon sa pagitan ng NOC at NOD

Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang at ang pinakamalaking karaniwang divisor ay magkakaugnay. Ang ugnayan sa pagitan ng mga konsepto ay itinatag ng teorama.

Teorama 1

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positibong integer a at b ay katumbas ng produkto ng mga numerong a at b na hinati ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong a at b , ibig sabihin, LCM (a , b) = a b: gcd (a , b).

Patunay 1

Ipagpalagay na mayroon kaming ilang numero M na isang maramihang mga numero a at b . Kung ang numerong M ay nahahati sa a , mayroon ding ilang integer z , sa ilalim kung saan ang pagkakapantay-pantay M = isang k. Ayon sa kahulugan ng divisibility, kung ang M ay nahahati din ng b, kaya pagkatapos isang k hinati ng b.

Kung magpapakilala kami ng bagong notasyon para sa gcd (a , b) bilang d, pagkatapos ay magagamit natin ang mga pagkakapantay-pantay a = a 1 d at b = b 1 · d . Sa kasong ito, ang parehong pagkakapantay-pantay ay magiging coprime na mga numero.

Na-establish na namin sa itaas iyon isang k hinati ng b. Ngayon ang kundisyong ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
isang 1 d k hinati ng b 1 d, na katumbas ng kundisyon isang 1k hinati ng b 1 ayon sa mga katangian ng divisibility.

Ayon sa ari-arian ng medyo prime number, kung a 1 at b 1 ay magkaparehong prime number, a 1 hindi mahahati ng b 1 sa kabila ng katotohanan na isang 1k hinati ng b 1, pagkatapos b 1 dapat ibahagi k.

Sa kasong ito, magiging angkop na ipagpalagay na mayroong isang numero t, para sa k = b 1 t, at mula noon b1=b:d, pagkatapos k = b: d t.

Ngayon sa halip na k ilagay sa pagkakapantay-pantay M = isang k pagpapahayag ng anyo b: d t. Ito ay nagpapahintulot sa amin na makarating sa pagkakapantay-pantay M = a b: d t. Sa t=1 maaari nating makuha ang hindi bababa sa positibong karaniwang multiple ng a at b , pantay isang b: d, sa kondisyon na ang mga numerong a at b positibo.

Kaya napatunayan namin na ang LCM (a , b) = a b: GCD (a,b).

Ang pagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang least common multiple sa pamamagitan ng pinakamalaking common divisor ng dalawa o higit pang ibinigay na numero.

Kahulugan 3

Ang teorama ay may dalawang mahalagang kahihinatnan:

• ang mga multiple ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero ay kapareho ng mga karaniwang multiple ng dalawang numerong iyon;
• hindi bababa sa karaniwang maramihang ng coprime mga positibong numero a at b ay katumbas ng kanilang produkto.

Hindi mahirap patunayan ang dalawang katotohanang ito. Ang anumang karaniwang multiple ng M na numero a at b ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay na M = LCM (a, b) t para sa ilang integer value na t. Dahil ang a at b ay coprime, kung gayon ang gcd (a, b) = 1, samakatuwid, LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero, dapat mong sunud-sunod na hanapin ang LCM ng dalawang numero.

Teorama 2

Magkunwari tayo a 1 , a 2 , … , a k ay ilang positibong integer. Upang kalkulahin ang LCM m k ang mga numerong ito, kailangan nating kalkulahin nang sunud-sunod m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , isang k) .

Patunay 2

Ang unang corollary ng unang theorem na tinalakay sa paksang ito ay makakatulong sa atin na patunayan ang kawastuhan ng pangalawang theorem. Ang pangangatwiran ay binuo ayon sa sumusunod na algorithm:

• karaniwang multiple ng mga numero a 1 at a 2 coincided with multiples ng kanilang LCM, in fact, they coincided with multiples of the number m2;
• karaniwang multiple ng mga numero a 1, a 2 at a 3 m2 at a 3 m 3;
• karaniwang multiple ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k tumutugma sa karaniwang multiple ng mga numero m k - 1 at isang k, samakatuwid, ay tumutugma sa mga multiple ng numero m k;
• dahil sa katotohanan na ang pinakamaliit na positibong multiple ng numero m k ay ang numero mismo m k, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k ay isang m k.

Kaya napatunayan namin ang teorama.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Binibigyang-daan ka ng online na calculator na mabilis na mahanap ang pinakamalaking common divisor at least common multiple ng dalawa o anumang iba pang bilang ng mga numero.

Calculator para sa paghahanap ng GCD at NOC

Hanapin ang GCD at NOC

Nakita ang GCD at NOC: 6433

Paano gamitin ang calculator

• Maglagay ng mga numero sa input field
• Sa kaso ng pagpasok ng mga maling character, ang input field ay iha-highlight sa pula
• pindutin ang button na "Hanapin ang GCD at NOC"

Paano magpasok ng mga numero

• Ang mga numero ay ipinasok na pinaghihiwalay ng mga puwang, tuldok o kuwit
• Ang haba ng mga inilagay na numero ay hindi limitado, kaya hindi magiging mahirap ang paghahanap ng gcd at lcm ng mahahabang numero

Ano ang NOD at NOK?

Pinakamahusay na Common Divisor ng ilang mga numero ay ang pinakamalaking natural na integer kung saan ang lahat ng orihinal na mga numero ay nahahati nang walang natitira. Ang pinakadakilang karaniwang divisor ay dinaglat bilang GCD.
Hindi bababa sa karaniwang maramihang maramihang mga numero ay pinakamaliit na bilang, na nahahati sa bawat orihinal na numero nang walang nalalabi. Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay dinaglat bilang NOC.

Paano suriin kung ang isang numero ay nahahati sa isa pang numero nang walang natitira?

Upang malaman kung ang isang numero ay nahahati sa isa pang walang natitira, maaari mong gamitin ang ilang mga katangian ng divisibility ng mga numero. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga ito, masusuri ng isa ang divisibility ng ilan sa kanila at ng kanilang mga kumbinasyon.

Ang ilang mga palatandaan ng divisibility ng mga numero

1. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 2
Upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa dalawa (kung ito ay kahit), sapat na upang tingnan ang huling digit ng numerong ito: kung ito ay katumbas ng 0, 2, 4, 6 o 8, kung gayon ang numero ay pantay, na nangangahulugang ito ay nahahati sa 2.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 2.
Desisyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa dalawa.

2. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 3
Ang isang numero ay nahahati sa 3 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3. Kaya, upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa 3, kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng mga digit at suriin kung ito ay mahahati ng 3. Kahit na ang kabuuan ng mga numero ay naging napakalaki, maaari mong ulitin ang parehong proseso muli.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 3.
Desisyon: binibilang namin ang kabuuan ng mga digit: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 3, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa tatlo.

3. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 5
Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay zero o lima.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 5.
Desisyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay HINDI nahahati sa lima.

4. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 9
Ang sign na ito ay halos kapareho ng sign ng divisibility ng tatlo: ang isang numero ay nahahati ng 9 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 9.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 9.
Desisyon: kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 9, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa siyam.

Paano mahanap ang GCD at LCM ng dalawang numero

Paano mahanap ang GCD ng dalawang numero

Karamihan sa simpleng paraan Ang pagkalkula ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero ay upang mahanap ang lahat ng posibleng divisors ng mga numerong iyon at piliin ang pinakamalaki sa kanila.

Isaalang-alang ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng paghahanap ng GCD(28, 36):

1. Pinagsasama namin ang parehong numero: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Nakahanap kami ng mga karaniwang salik, iyon ay, ang parehong mga numero ay may: 1, 2 at 2.
3. Kinakalkula namin ang produkto ng mga salik na ito: 1 2 2 \u003d 4 - ito ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 28 at 36.

Paano mahanap ang LCM ng dalawang numero

Mayroong dalawang pinakakaraniwang paraan upang mahanap ang pinakamaliit na multiple ng dalawang numero. Ang unang paraan ay maaari mong isulat ang mga unang multiple ng dalawang numero, at pagkatapos ay pumili sa kanila ng isang numero na magiging karaniwan sa parehong mga numero at sa parehong oras ang pinakamaliit. At ang pangalawa ay upang mahanap ang GCD ng mga numerong ito. Isaalang-alang na lang natin.

Upang kalkulahin ang LCM, kailangan mong kalkulahin ang produkto ng mga orihinal na numero at pagkatapos ay hatiin ito sa dating nakitang GCD. Hanapin natin ang LCM para sa parehong mga numero 28 at 36:

1. Hanapin ang produkto ng mga numero 28 at 36: 28 36 = 1008
2. Ang gcd(28, 36) ay kilala na bilang 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Paghahanap ng GCD at LCM para sa Maramihang Numero

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan para sa ilang mga numero, at hindi lamang para sa dalawa. Para dito, ang mga numero na mahahanap para sa pinakadakilang karaniwang divisor ay nabubulok sa mga pangunahing kadahilanan, pagkatapos ay ang produkto ng mga karaniwang kadahilanan ay matatagpuan pangunahing mga kadahilanan ang mga numerong ito. Gayundin, upang mahanap ang GCD ng ilang numero, maaari mong gamitin ang sumusunod na kaugnayan: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Ang isang katulad na kaugnayan ay nalalapat din sa hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Halimbawa: hanapin ang GCD at LCM para sa mga numero 12, 32 at 36.

1. Una, i-factorize natin ang mga numero: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Maghanap tayo ng mga karaniwang salik: 1, 2 at 2 .
3. Ang kanilang produkto ay magbibigay ng gcd: 1 2 2 = 4
4. Ngayon, hanapin natin ang LCM: para dito ay unang hanapin natin ang LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Upang mahanap ang LCM ng lahat ng tatlong numero, kailangan mong hanapin ang GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Ipagpatuloy natin ang talakayan tungkol sa least common multiple na sinimulan natin sa LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples section. Sa paksang ito, titingnan natin ang mga paraan upang mahanap ang LCM para sa tatlong numero o higit pa, susuriin natin ang tanong kung paano hanapin ang LCM ng isang negatibong numero.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd

Naitatag na namin ang relasyon sa pagitan ng least common multiple at ng greatest common divisor. Ngayon, alamin natin kung paano tukuyin ang LCM sa pamamagitan ng GCD. Una, alamin natin kung paano ito gagawin para sa mga positibong numero.

Kahulugan 1

Mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple sa pamamagitan ng pinakamalaking karaniwang divisor gamit ang formula na LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Halimbawa 1

Kinakailangang hanapin ang LCM ng mga numerong 126 at 70.

Desisyon

Kunin natin ang a = 126 , b = 70 . Palitan ang mga value sa formula para sa pagkalkula ng least common multiple sa pamamagitan ng greatest common divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Hinahanap ang GCD ng mga numerong 70 at 126. Para dito kailangan namin ang Euclid algorithm: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , kaya gcd (126 , 70) = 14 .

Kalkulahin natin ang LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Sagot: LCM (126, 70) = 630.

Halimbawa 2

Hanapin ang nok ng mga numerong 68 at 34.

Desisyon

GCD sa kasong ito Ang paghahanap nito ay madali, dahil ang 68 ay nahahati ng 34. Kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple gamit ang formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Sagot: LCM(68, 34) = 68.

Sa halimbawang ito, ginamit namin ang panuntunan para sa paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng positive integers a at b: kung ang unang numero ay nahahati sa pangalawa, ang LCM ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng unang numero.

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors

Ngayon tingnan natin ang isang paraan upang mahanap ang LCM, na batay sa pagkabulok ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Kahulugan 2

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, kailangan nating magsagawa ng ilang simpleng hakbang:

• binubuo natin ang produkto ng lahat ng pangunahing salik ng mga numero kung saan kailangan nating hanapin ang LCM;
• ibinubukod namin ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan mula sa kanilang mga nakuhang produkto;
• ang produktong nakuha pagkatapos alisin ang mga karaniwang prime factor ay magiging katumbas ng LCM ng mga ibinigay na numero.

Ang paraan ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa pagkakapantay-pantay na LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Kung titingnan mo ang formula, ito ay nagiging malinaw: ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga kadahilanan na kasangkot sa pagpapalawak ng dalawang numerong ito. Sa kasong ito, ang GCD ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na nasa mga factorization ng dalawang numerong ito.

Halimbawa 3

Mayroon kaming dalawang numero 75 at 210 . Maaari naming i-factor ang mga ito tulad nito: 75 = 3 5 5 at 210 = 2 3 5 7. Kung gagawin mo ang produkto ng lahat ng mga salik ng dalawang orihinal na numero, makakakuha ka ng: 2 3 3 5 5 5 7.

Kung ibubukod namin ang mga salik na karaniwan sa parehong numero 3 at 5, makakakuha kami ng produkto ng sumusunod na anyo: 2 3 5 5 7 = 1050. Ang produktong ito ang ating magiging LCM para sa mga numerong 75 at 210.

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numero 441 at 700 , na nabubulok ang parehong mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Desisyon

Hanapin natin ang lahat ng prime factor ng mga numerong ibinigay sa kondisyon:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Nakakuha tayo ng dalawang kadena ng mga numero: 441 = 3 3 7 7 at 700 = 2 2 5 5 7 .

Ang produkto ng lahat ng mga salik na lumahok sa pagpapalawak ng mga numerong ito ay magiging ganito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hanapin natin ang mga karaniwang salik. Ang numerong ito ay 7. Ibinubukod namin ito sa pangkalahatang produkto: 2 2 3 3 5 5 7 7. NOC pala (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Sagot: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Magbigay tayo ng isa pang pormulasyon ng pamamaraan para sa paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng pag-decomposing ng mga numero sa prime factor.

Kahulugan 3

Dati, hindi namin isinama sa kabuuang bilang ng mga salik na karaniwan sa parehong numero. Ngayon ay gagawin natin ito sa ibang paraan:

• I-decompose natin ang parehong mga numero sa mga pangunahing kadahilanan:
• idagdag sa produkto ng pangunahing mga kadahilanan ng unang numero ang nawawalang mga kadahilanan ng pangalawang numero;
• makuha namin ang produkto, na magiging ninanais na LCM ng dalawang numero.

Halimbawa 5

Bumalik tayo sa mga numerong 75 at 210 , kung saan hinanap na natin ang LCM sa isa sa mga nakaraang halimbawa. Hatiin natin ang mga ito sa mga simpleng kadahilanan: 75 = 3 5 5 at 210 = 2 3 5 7. Sa produkto ng mga salik 3 , 5 at 5 numero 75 idagdag ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 7 mga numero 210 . Nakukuha namin ang: 2 3 5 5 7 . Ito ang LCM ng mga numerong 75 at 210.

Halimbawa 6

Kinakailangang kalkulahin ang LCM ng mga numero 84 at 648.

Desisyon

I-decompose natin ang mga numero mula sa kundisyon sa mga pangunahing kadahilanan: 84 = 2 2 3 7 at 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Idagdag sa produkto ng mga salik 2 , 2 , 3 at 7 mga numero 84 nawawalang mga salik 2 , 3 , 3 at
3 mga numero 648 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Sagot: LCM (84, 648) = 4536.

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Hindi alintana kung gaano karaming mga numero ang ating kinakaharap, ang algorithm ng ating mga aksyon ay palaging magiging pareho: sunud-sunod nating hahanapin ang LCM ng dalawang numero. Mayroong teorama para sa kasong ito.

Teorama 1

Ipagpalagay na mayroon kaming mga integer a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k sa mga numerong ito ay matatagpuan sa sunud-sunod na pagkalkula m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Ngayon tingnan natin kung paano mailalapat ang teorama sa mga partikular na problema.

Halimbawa 7

Kailangan mong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .

Desisyon

Ipakilala natin ang notasyon: isang 1 \u003d 140, isang 2 \u003d 9, isang 3 \u003d 54, isang 4 \u003d 250.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagkalkula ng m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Gamitin natin ang Euclidean algorithm upang kalkulahin ang GCD ng mga numerong 140 at 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Nakukuha namin ang: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Samakatuwid, m 2 = 1 260 .

Ngayon kalkulahin natin ayon sa parehong algorithm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Sa kurso ng mga kalkulasyon, nakukuha namin ang m 3 = 3 780.

Nananatili para sa amin na kalkulahin ang m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Kumilos kami ayon sa parehong algorithm. Nakukuha namin ang m 4 \u003d 94 500.

Ang LCM ng apat na numero mula sa halimbawang kundisyon ay 94500 .

Sagot: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Tulad ng nakikita mo, ang mga kalkulasyon ay simple, ngunit medyo matrabaho. Upang makatipid ng oras, maaari kang pumunta sa ibang paraan.

Kahulugan 4

Inaalok namin sa iyo ang sumusunod na algorithm ng mga aksyon:

• mabulok ang lahat ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
• sa produkto ng mga kadahilanan ng unang numero, idagdag ang nawawalang mga kadahilanan mula sa produkto ng pangalawang numero;
• idagdag ang nawawalang mga salik ng ikatlong numero sa produktong nakuha sa nakaraang yugto, atbp.;
• ang magreresultang produkto ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng lahat ng numero mula sa kundisyon.

Halimbawa 8

Kinakailangang hanapin ang LCM ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Desisyon

I-decompose ang lahat ng limang numero sa prime factor: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . mga pangunahing numero, na siyang numerong 7 , ay hindi maisasaalang-alang sa mga pangunahing kadahilanan. Ang ganitong mga numero ay nag-tutugma sa kanilang pagkabulok sa mga pangunahing kadahilanan.

Ngayon kunin natin ang produkto ng prime factor 2, 2, 3 at 7 ng numero 84 at idagdag sa kanila ang nawawalang mga kadahilanan ng pangalawang numero. Na-decompose namin ang numero 6 sa 2 at 3. Ang mga salik na ito ay nasa produkto na ng unang numero. Samakatuwid, tinanggal namin ang mga ito.

Patuloy kaming nagdaragdag ng mga nawawalang multiplier. Bumaling tayo sa numerong 48, mula sa produkto ng mga pangunahing kadahilanan kung saan kinukuha natin ang 2 at 2. Pagkatapos ay nagdaragdag kami ng isang simpleng kadahilanan ng 7 mula sa ikaapat na numero at mga kadahilanan ng 11 at 13 ng ikalima. Nakukuha natin ang: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ito ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng limang orihinal na numero.

Sagot: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Paghahanap ng Pinakamaliit na Karaniwang Multiple ng mga Negatibong Numero

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga negatibong numero, ang mga numerong ito ay dapat munang mapalitan ng mga numerong may kabaligtaran ng tanda, at pagkatapos ay magsagawa ng mga kalkulasyon ayon sa mga algorithm sa itaas.

Halimbawa 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) at LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Ang ganitong mga aksyon ay pinahihintulutan dahil sa ang katunayan na kung ito ay tinanggap na a at − a- magkasalungat na numero
pagkatapos ay ang hanay ng mga multiple a tumutugma sa hanay ng mga multiple ng isang numero − a.

Halimbawa 10

Kinakailangang kalkulahin ang LCM ng mga negatibong numero − 145 at − 45 .

Desisyon

Palitan natin ang mga numero − 145 at − 45 sa kanilang kabaligtaran na mga numero 145 at 45 . Ngayon, gamit ang algorithm, kinakalkula namin ang LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , na dati nang natukoy ang GCD gamit ang Euclid algorithm.

Nakukuha namin na ang LCM ng mga numero − 145 at − 45 katumbas 1 305 .

Sagot: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter