Ang denominator ng arithmetic fraction a / b ay ang bilang b, na nagpapakita ng laki ng mga fraction ng isang yunit kung saan binubuo ang fraction. Ang denominator ng algebraic fraction na A / B ay tinatawag algebraic expression B. Upang maisagawa ang aritmetika na may mga fraction, dapat na bawasan ang mga ito sa kanilang pinakamababang common denominator.

Kakailanganin mo

• Upang gumana sa mga algebraic fraction at mahanap ang pinakamababang common denominator, kailangan mong malaman kung paano i-factor ang mga polynomial.

Mga tagubilin

Isaalang-alang natin ang pagbabawas ng dalawang arithmetic fraction n/m at s/t sa pinakamaliit na common denominator, kung saan ang n, m, s, t ay mga integer. Malinaw na ang dalawang fraction na ito ay maaaring bawasan sa anumang denominator na mahahati ng m at t. Ngunit sinusubukan nilang humantong sa pinakamababang karaniwang denominator. Ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga denominador m at t ng mga ibinigay na fraction. Ang hindi bababa sa maramihang (LMK) ng isang numero ay ang pinakamaliit na mahahati ng lahat ng ibinigay na numero nang sabay-sabay. Yung. sa aming kaso, kailangan naming hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numerong m at t. Tinutukoy bilang LCM (m, t). Susunod, ang mga praksiyon ay pinarami ng kaukulang mga: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Hanapin natin ang pinakamababang common denominator ng tatlong fraction: 4/5, 7/8, 11/14. Una, palawakin natin ang mga denominator 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Susunod, kalkulahin ang LCM (5, 8, 14) sa pamamagitan ng pag-multiply lahat ng numerong kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Tandaan na kung ang isang salik ay nangyari sa pagpapalawak ng ilang mga numero (factor 2 sa pagpapalawak ng mga denominator 8 at 14), pagkatapos ay kunin natin ang salik sa isang mas mataas na antas (2^3 sa aming kaso).

Kaya, ang pangkalahatan ay nakuha. Ito ay katumbas ng 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Dito ay nakukuha natin ang mga numero kung saan kailangan nating i-multiply ang mga fraction na may katumbas na denominator upang madala ang mga ito sa pinakamababang common denominator. Nakukuha namin ang 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Ang pagbabawas ng mga algebraic fraction sa pinakamababang common denominator ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga arithmetic. Para sa kalinawan, tingnan natin ang problema gamit ang isang halimbawa. Hayaang ibigay ang dalawang fraction (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) at (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). I-factorize natin ang parehong denominator. Tandaan na ang denominator ng unang fraction ay isang perpektong parisukat: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Para sa

Ngunit maraming natural na numero ang nahahati din ng iba pang natural na numero.

Halimbawa:

Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;

Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.

Ang mga numero kung saan ang bilang ay nahahati sa kabuuan (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag divisors ng mga numero. Divisor ng isang natural na numero a- ay isang natural na numero na naghahati sa isang ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang divisors ay tinatawag pinagsama-sama .

Pakitandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang salik. Ang mga numerong ito ay: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. Ang karaniwang divisor ng dalawang numerong ito a At b- ito ang numero kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a At b.

Common multiples ilang mga numero ay isang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng mga karaniwang multiple, palaging may pinakamaliit, sa sa kasong ito ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag ang pinakamaliitkaraniwang maramihang (CMM).

Ang LCM ay palaging isang natural na numero na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.

Least common multiple (LCM). Mga Katangian.

Commutativity:

Pagkakaisa:

Sa partikular, kung at mga coprime na numero, kung gayon:

Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m At n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m At n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m, n tumutugma sa hanay ng mga multiple ng LCM( m, n).

Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.

Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. At din:

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).

Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi ng mga prime number.

Paghahanap ng least common multiple (LCM).

NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:

1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang koneksyon nito sa LCM:

2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa prime factor:

saan p 1 ,...,p k- iba't-ibang mga pangunahing numero, A d 1 ,...,d k At e 1 ,...,e k— non-negative integers (maaari silang maging mga zero kung ang kaukulang prime ay wala sa expansion).

Pagkatapos NOC ( a,b) ay kinakalkula ng formula:

Sa madaling salita, ang LCM decomposition ay naglalaman ng lahat ng prime factor na kasama sa kahit isa sa mga decomposition ng mga numero. a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng multiplier na ito ay kinuha.

Halimbawa:

Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay maaaring bawasan sa ilang magkakasunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:

Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:

- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

- ilipat ang pinakamalaking agnas (ang produkto ng mga kadahilanan ng pinakamalaking bilang ng mga ibinigay) sa mga kadahilanan ng nais na produkto, at pagkatapos ay magdagdag ng mga kadahilanan mula sa pagkabulok ng iba pang mga numero na hindi lumilitaw sa unang numero o lumilitaw dito mas kaunting beses;

— ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.

Anumang dalawa o higit pang mga natural na numero ay may sariling LCM. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Ang pangunahing mga kadahilanan ng bilang 28 (2, 2, 7) ay pupunan ng kadahilanan 3 (ang numero 21), ang resultang produkto (84) ay ang pinakamaliit na bilang, na nahahati sa 21 at 28.

Ang pangunahing mga kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay pupunan ng kadahilanan 5 ng bilang 25, ang nagresultang produkto 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito ang pinakamaliit na posibleng produkto (150, 250, 300...) na isang multiple ng lahat ng ibinigay na numero.

Ang mga numerong 2,3,11,37 ay mga pangunahing numero, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.

Panuntunan. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang sama-sama.

Isa pang pagpipilian:

Upang mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:

1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;

4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;

5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.

Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.

Solusyon. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Isinulat namin ang pinakadakilang kapangyarihan ng lahat ng mga pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Karamihan sa mga operasyong may algebraic fraction, tulad ng karagdagan at pagbabawas, ay nangangailangan munang i-convert ang mga fraction na ito sa parehong denominador. Ang ganitong mga denominador ay madalas ding tinutukoy ng pariralang " karaniwang denominador" Sa paksang ito, titingnan natin ang kahulugan ng mga konseptong "common denominator ng algebraic fractions" at "least common denominator of algebraic fractions (LCD)", isaalang-alang ang algorithm para sa paghahanap ng common denominator point by point at lutasin ang ilang mga problema sa paksa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Common denominator ng algebraic fractions

Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga ordinaryong fraction, kung gayon ang common denominator ay isang numero na nahahati sa alinman sa mga denominator ng orihinal na mga fraction. Para sa ordinaryong fraction 1 2 At 5 9 ang bilang na 36 ay maaaring maging isang karaniwang denominador, dahil ito ay nahahati sa 2 at 9 nang walang nalalabi.

Ang karaniwang denominator ng mga algebraic fraction ay tinutukoy sa katulad na paraan, polynomials lamang ang ginagamit sa halip na mga numero, dahil sila ang mga numerator at denominator ng algebraic fraction.

Kahulugan 1

Common denominator ng isang algebraic fraction ay isang polynomial na nahahati sa denominator ng anumang fraction.

Dahil sa mga kakaibang bahagi ng algebraic fraction, na tatalakayin sa ibaba, madalas nating haharapin ang mga common denominator na kinakatawan bilang isang produkto sa halip na bilang isang karaniwang polynomial.

Halimbawa 1

Isinulat ang polynomial bilang isang produkto 3 x 2 (x + 1), ay tumutugma sa isang polynomial ng karaniwang anyo 3 x 3 + 3 x 2. Ang polynomial na ito ay maaaring maging common denominator ng mga algebraic fraction na 2 x, - 3 x y x 2 at y + 3 x + 1, dahil sa katotohanan na ito ay nahahati ng x, sa x 2 at sa x+1. Ang impormasyon sa divisibility ng polynomials ay makukuha sa kaukulang paksa ng aming mapagkukunan.

Least common denominator (LCD)

Para sa mga ibinigay na algebraic fraction, ang bilang ng mga common denominator ay maaaring walang katapusan.

Halimbawa 2

Kunin natin bilang halimbawa ang mga fraction 1 2 x at x + 1 x 2 + 3. Ang kanilang karaniwang denominator ay 2 x (x 2 + 3), pati na rin − 2 x (x 2 + 3), pati na rin x (x 2 + 3), pati na rin 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), pati na rin − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, atbp.

Kapag nilulutas ang mga problema, maaari mong gawing mas madali ang iyong trabaho sa pamamagitan ng paggamit ng isang karaniwang denominator, na may pinakasimpleng anyo sa buong hanay ng mga denominator. Ang denominator na ito ay madalas na tinutukoy bilang ang pinakamababang karaniwang denominador.

Kahulugan 2

Hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga algebraic fraction ay ang karaniwang denominator ng mga algebraic fraction, na may pinakasimpleng anyo.

Sa pamamagitan ng paraan, ang terminong "pinakamababang karaniwang denominador" ay hindi karaniwang tinatanggap, kaya mas mahusay na limitahan ang ating sarili sa terminong "karaniwang denominador". At narito kung bakit.

Kanina namin itinuon ang iyong pansin sa pariralang “ang denominator ng karamihan simpleng uri" Ang pangunahing kahulugan ng pariralang ito ay ang sumusunod: ang denominator ng pinakasimpleng anyo ay dapat hatiin nang walang natitira sa anumang iba pang karaniwang denominator ng data sa kondisyon ng problema sa algebraic fractions. Sa kasong ito, sa produkto, na siyang karaniwang denominator ng mga fraction, maaaring gamitin ang iba't ibang mga numerical coefficient.

Halimbawa 3

Kunin natin ang mga fraction 1 2 · x at x + 1 x 2 + 3 . Nalaman na namin na magiging pinakamadali para sa amin na magtrabaho sa isang karaniwang denominator ng form 2 · x · (x 2 + 3). Gayundin, ang karaniwang denominator para sa dalawang fraction na ito ay maaaring x (x 2 + 3), na hindi naglalaman ng numeric coefficient. Ang tanong ay alin sa dalawang karaniwang denominador na ito ang itinuturing na hindi bababa sa karaniwang denominador ng mga fraction. Walang tiyak na sagot, samakatuwid ito ay mas tama na pag-usapan lamang ang tungkol sa karaniwang denominator, at magtrabaho kasama ang opsyon na pinaka-maginhawang gamitin. Kaya, maaari nating gamitin ang mga karaniwang denominador tulad ng x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) o − 15 x 5 (x 2 + 3) 3 na may higit pa kumplikadong hitsura, ngunit maaaring maging mas mahirap na kumilos kasama sila.

Paghahanap ng karaniwang denominator ng mga algebraic fraction: algorithm ng mga aksyon

Ipagpalagay na mayroon tayong ilang mga algebraic na praksiyon kung saan kailangan nating maghanap ng isang karaniwang denominator. Upang malutas ang problemang ito maaari naming gamitin ang sumusunod na algorithm ng mga aksyon. Una kailangan nating i-factor ang mga denominator ng orihinal na mga fraction. Pagkatapos ay bubuo kami ng isang gawain kung saan sunud-sunod naming kasama ang:

• lahat ng mga kadahilanan mula sa denominator ng unang bahagi kasama ng mga kapangyarihan;
• lahat ng mga salik na nasa denominator ng pangalawang bahagi, ngunit wala sa nakasulat na produkto o ang kanilang antas ay hindi sapat;
• lahat ng nawawalang salik mula sa denominator ng ikatlong bahagi, at iba pa.

Ang magreresultang produkto ang magiging common denominator ng mga algebraic fraction.

Bilang mga salik ng produkto, maaari nating kunin ang lahat ng mga denominador ng mga fraction na ibinigay sa pahayag ng problema. Gayunpaman, ang multiplier na makukuha natin sa huli ay malayo sa NCD sa kahulugan at ang paggamit nito ay magiging hindi makatwiran.

Halimbawa 4

Tukuyin ang common denominator ng mga fraction na 1 x 2 y, 5 x + 1 at y - 3 x 5 y.

Solusyon

Sa kasong ito, hindi natin kailangang i-factor ang mga denominator ng orihinal na mga fraction. Samakatuwid, magsisimula kaming ilapat ang algorithm sa pamamagitan ng pagbubuo ng trabaho.

Mula sa denominator ng unang bahagi ay kinukuha natin ang multiplier x 2 y, mula sa denominator ng pangalawang fraction ang multiplier x+1. Nakukuha namin ang produkto x 2 y (x + 1).

Ang denominator ng ikatlong bahagi ay maaaring magbigay sa atin ng multiplier x 5 y, gayunpaman, ang produkto na aming pinagsama-sama kanina ay mayroon nang mga kadahilanan x 2 At y. Samakatuwid, nagdaragdag kami ng higit pa x 5 − 2 = x 3. Nakukuha namin ang produkto x 2 y (x + 1) x 3, na maaaring bawasan sa anyo x 5 y (x + 1). Ito ang ating magiging NOZ ng mga algebraic fraction.

Sagot: x 5 · y · (x + 1) .

Ngayon tingnan natin ang mga halimbawa ng mga problema kung saan ang mga denominator ng algebraic fraction ay naglalaman ng integer numerical factor. Sa ganitong mga kaso, sinusunod din namin ang algorithm, na dati nang na-decompose ang integer numerical factor sa mga simpleng salik.

Halimbawa 5

Hanapin ang common denominator ng mga fraction na 1 12 x at 1 90 x 2.

Solusyon

Ang paghahati ng mga numero sa mga denominator ng mga fraction sa prime factor, makakakuha tayo ng 1 2 2 · 3 · x at 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Ngayon ay maaari na tayong magpatuloy sa pag-compile ng isang karaniwang denominator. Upang gawin ito, mula sa denominator ng unang bahagi ay kinukuha namin ang produkto 2 2 3 x at idagdag dito ang mga salik 3, 5 at x mula sa denominator ng ikalawang bahagi. Nakukuha namin 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Ito ang ating common denominator.

Sagot: 180 x 2.

Kung titingnan mong mabuti ang mga resulta ng dalawang nasuri na mga halimbawa, mapapansin mo na ang mga karaniwang denominador ng mga fraction ay naglalaman ng lahat ng mga salik na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga denominador, at kung ang isang tiyak na salik ay naroroon sa ilang mga denominador, kung gayon ito ay kukunin. na may pinakamalaking exponent na magagamit. At kung ang mga denominator ay may mga integer coefficient, ang karaniwang denominator ay naglalaman ng isang numerical factor na katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerical coefficient na ito.

Halimbawa 6

Ang mga denominator ng parehong algebraic fractions 1 12 x at 1 90 x 2 ay may factor x. Sa pangalawang kaso, ang factor x ay squared. Upang lumikha ng isang karaniwang denominator, kailangan nating gawin ang kadahilanan na ito sa pinakamalaking lawak, i.e. x 2. Walang ibang mga multiplier na may mga variable. Integer numeric coefficients ng mga orihinal na fraction 12 At 90 , at ang kanilang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay 180 . Ito ay lumiliko na ang nais na karaniwang denominador ay may anyo 180 x 2.

Ngayon ay maaari na nating isulat ang isa pang algorithm para sa paghahanap ng karaniwang salik ng mga algebraic fraction. Para dito kami:

• salik ang mga denominador ng lahat ng mga fraction;
• binubuo namin ang produkto ng lahat ng mga kadahilanan ng titik (kung mayroong isang kadahilanan sa ilang mga pagpapalawak, kinukuha namin ang opsyon na may pinakamalaking exponent);
• idinaragdag namin ang LCM ng mga numerical coefficient ng mga pagpapalawak sa resultang produkto.

Ang mga ibinigay na algorithm ay katumbas, kaya alinman sa mga ito ay maaaring gamitin upang malutas ang mga problema. Mahalagang bigyang-pansin ang detalye.

May mga kaso kapag ang mga karaniwang salik sa mga denominador ng mga fraction ay maaaring hindi nakikita sa likod ng mga numerical coefficient. Dito ipinapayong ilagay muna ang mga numerical coefficient sa mas mataas na kapangyarihan ng mga variable sa labas ng mga bracket sa bawat isa sa mga salik na nasa denominator.

Halimbawa 7

Anong common denominator mayroon ang mga fraction 3 5 - x at 5 - x · y 2 2 · x - 10?

Solusyon

Sa unang kaso, ang minus one ay dapat alisin sa mga bracket. Nakukuha namin ang 3 - x - 5 . I-multiply namin ang numerator at denominator sa - 1 upang maalis ang minus sa denominator: - 3 x - 5.

Sa pangalawang kaso, inilagay namin ang dalawa sa labas ng mga bracket. Nagbibigay-daan ito sa amin na makuha ang fraction 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Malinaw na ang common denominator ng mga algebraic fraction na ito - 3 x - 5 at 5 - x · y 2 2 · x - 5 ay 2 (x − 5).

Sagot:2 (x − 5).

Ang data sa kundisyon ng problema sa fraction ay maaaring may mga fractional coefficient. Sa mga kasong ito, kailangan mo munang alisin ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa isang tiyak na numero.

Halimbawa 8

Pasimplehin algebraic fractions 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 at - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , pagkatapos ay tukuyin ang kanilang karaniwang denominator.

Solusyon

Tanggalin natin ang mga fractional coefficient sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator sa unang kaso ng 14, sa pangalawang kaso ng 3. Nakukuha namin:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 at - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Pagkatapos ng mga pagbabago, nagiging malinaw na ang karaniwang denominador ay 2 (x 2 + 2).

Sagot: 2 (x 2 + 2).

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang multiple ay isang numero na nahahati sa isang naibigay na numero nang walang natitira. Ang least common multiple (LCM) ng isang pangkat ng mga numero ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa bawat numero sa pangkat nang hindi nag-iiwan ng natitira. Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, kailangan mong hanapin ang mga pangunahing kadahilanan ng mga ibinigay na numero. Ang LCM ay maaari ding kalkulahin gamit ang ilang iba pang mga pamamaraan na nalalapat sa mga pangkat ng dalawa o higit pang mga numero.

Mga hakbang

Serye ng multiple

Tingnan ang mga numerong ito. Ang pamamaraang inilarawan dito ay pinakamahusay na ginagamit kapag binigyan ng dalawang numero, ang bawat isa ay mas mababa sa 10. Kung mas malalaking numero ang ibinigay, gumamit ng ibang paraan.

• Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 5 at 8. Ito ay maliliit na numero, kaya maaari mong gamitin ang paraang ito.

1. Ang multiple ay isang numero na nahahati sa isang naibigay na numero nang walang natitira. Ang mga maramihan ay matatagpuan sa talahanayan ng pagpaparami.

   • Halimbawa, ang mga numero na multiple ng 5 ay: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Isulat ang isang serye ng mga numero na multiple ng unang numero. Gawin ito sa ilalim ng multiple ng unang numero upang paghambingin ang dalawang hanay ng mga numero.

   • Halimbawa, ang mga numero na multiple ng 8 ay: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, at 64.

3. Hanapin ang pinakamaliit na numero na nasa parehong hanay ng mga multiple. Maaaring kailanganin mong magsulat ng mahabang serye ng mga multiple upang mahanap kabuuang bilang. Ang pinakamaliit na bilang na naroroon sa parehong hanay ng mga multiple ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

   • Halimbawa, ang pinakamaliit na numero na lumilitaw sa serye ng mga multiple ng 5 at 8 ay ang numerong 40. Samakatuwid, ang 40 ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 5 at 8.

   Prime factorization

   1. Tingnan ang mga numerong ito. Ang pamamaraang inilarawan dito ay pinakamahusay na ginagamit kapag binigyan ng dalawang numero, ang bawat isa ay higit sa 10. Kung mas maliit na mga numero ang ibinigay, gumamit ng ibang paraan.

      • Halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 20 at 84. Ang bawat isa sa mga numero ay mas malaki sa 10, kaya maaari mong gamitin ang paraang ito.

   2. I-factor ang unang numero sa prime factor. Ibig sabihin, kailangan mong maghanap ng mga prime number na, kapag pinarami, ay magreresulta sa isang naibigay na numero. Kapag nahanap mo na ang mga pangunahing salik, isulat ang mga ito bilang pagkakapantay-pantay.

      • Halimbawa, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) At 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). kaya, simpleng mga kadahilanan ang mga numerong 20 ay ang mga bilang 2, 2 at 5. Isulat ang mga ito bilang isang pagpapahayag: .

   3. I-factor ang pangalawang numero sa prime factor. Gawin ito sa parehong paraan tulad ng pag-factor mo sa unang numero, iyon ay, hanapin ang mga prime number na, kapag pinarami, ay magbubunga ng ibinigay na numero.

      • Halimbawa, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) At 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Kaya, ang mga pangunahing kadahilanan ng bilang 84 ay ang mga numero 2, 7, 3 at 2. Isulat ang mga ito bilang isang expression: .

   4. Isulat ang mga salik na karaniwan sa parehong mga numero. Isulat ang mga salik bilang pagpaparami. Habang isinusulat mo ang bawat salik, i-cross out ito sa parehong mga expression (mga expression na naglalarawan sa factorization ng mga numero sa prime factor).

      • Halimbawa, ang parehong mga numero ay may isang karaniwang kadahilanan ng 2, kaya sumulat 2 × (\displaystyle 2\beses ) at ekis ang 2 sa parehong expression.
      • Ano ang parehong mga numero ay isa pang kadahilanan ng 2, kaya sumulat 2 × 2 (\displaystyle 2\beses 2) at ekis ang pangalawang 2 sa parehong mga expression.

   5. Idagdag ang natitirang mga kadahilanan sa pagpaparami ng pagpaparami. Ito ay mga salik na hindi natatanggal sa parehong mga expression, iyon ay, mga salik na hindi karaniwan sa parehong mga numero.

      • Halimbawa, sa expression 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\beses 2\beses 5) Parehong dalawa (2) ang natatanggal dahil sila ay karaniwang mga kadahilanan. Ang kadahilanan 5 ay hindi na-cross out, kaya isulat ang pagpaparami ng operasyon tulad nito: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5)
      • Sa pagpapahayag 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\beses 7\beses 3\beses 2) parehong dalawa (2) ay ekis din. Ang mga kadahilanan 7 at 3 ay hindi na-cross out, kaya isulat ang pagpaparami ng operasyon tulad nito: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5\beses 7\beses 3).

   6. Kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang. Upang gawin ito, i-multiply ang mga numero sa nakasulat na multiplication operation.

      • Halimbawa, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\beses 2\beses 5\beses 7\beses 3=420). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 84 ay 420.

   Paghahanap ng mga karaniwang salik

   1. Gumuhit ng grid tulad ng para sa isang laro ng tic-tac-toe. Ang nasabing grid ay binubuo ng dalawang parallel na linya na nag-intersect (sa tamang mga anggulo) sa isa pang dalawang parallel na linya. Bibigyan ka nito ng tatlong row at tatlong column (ang grid ay kamukha ng # icon). Isulat ang unang numero sa unang linya at ikalawang hanay. Isulat ang pangalawang numero sa unang hanay at ikatlong hanay.

      • Halimbawa, hanapin ang least common multiple ng mga numerong 18 at 30. Isulat ang numerong 18 sa unang hanay at ikalawang hanay, at isulat ang numerong 30 sa unang hanay at ikatlong hanay.

   2. Hanapin ang divisor na karaniwan sa parehong mga numero. Isulat ito sa unang hanay at unang hanay. Mas mainam na maghanap ng mga pangunahing kadahilanan, ngunit hindi ito kinakailangan.

      • Halimbawa, ang 18 at 30 ay mga numerong pantay, kaya ang karaniwang salik ng mga ito ay 2. Kaya't isulat ang 2 sa unang hanay at unang hanay.

   3. Hatiin ang bawat numero sa unang divisor. Isulat ang bawat quotient sa ilalim ng naaangkop na bilang. Ang quotient ay ang resulta ng paghahati ng dalawang numero.

      • Halimbawa, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), kaya sumulat ng 9 sa ilalim ng 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), kaya isulat ang 15 sa ilalim ng 30.

   4. Hanapin ang divisor na karaniwan sa parehong mga quotient. Kung walang ganoong divisor, laktawan ang susunod na dalawang hakbang. Kung hindi, isulat ang divisor sa ikalawang hanay at unang hanay.

      • Halimbawa, ang 9 at 15 ay nahahati sa 3, kaya isulat ang 3 sa pangalawang hanay at unang hanay.

   5. Hatiin ang bawat quotient sa pangalawang divisor nito. Isulat ang bawat resulta ng paghahati sa ilalim ng katumbas na quotient.

      • Halimbawa, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), kaya sumulat ng 3 sa ilalim ng 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), kaya sumulat ng 5 sa ilalim ng 15.

   6. Kung kinakailangan, magdagdag ng mga karagdagang cell sa grid. Ulitin ang inilarawang mga hakbang hanggang sa magkaroon ng karaniwang divisor ang mga quotient.

   7. Bilugan ang mga numero sa unang hanay at huling hilera ng grid. Pagkatapos ay isulat ang mga napiling numero bilang multiplication operation.

      • Halimbawa, ang mga numero 2 at 3 ay nasa unang hanay, at ang mga numero 3 at 5 ay nasa huling hilera, kaya't isulat ang pagpaparami nang ganito: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\beses 3\beses 3\beses 5).

   8. Hanapin ang resulta ng pagpaparami ng mga numero. Kakalkulahin nito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang ibinigay na numero.

      • Halimbawa, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\beses 3\beses 3\beses 5=90). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 18 at 30 ay 90.

   Ang algorithm ni Euclid

   1. Alalahanin ang terminolohiya na nauugnay sa operasyon ng paghahati. Ang dibidendo ay ang bilang na hinahati. Ang divisor ay ang bilang na hinahati ng. Ang quotient ay ang resulta ng paghahati ng dalawang numero. Ang natitira ay ang numerong natitira kapag hinati ang dalawang numero.

      • Halimbawa, sa expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 ang dibidendo
        6 ay isang divisor
        2 ay quotient
        3 ang natitira.

Pinakamahusay na karaniwang divisor

Kahulugan 2

Kung ang isang natural na numero a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, kung gayon ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.

Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang bilang na $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor ng parehong $a$ at $b$.

Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisor na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$ at tinutukoy ng mga sumusunod na notasyon:

$GCD\(a;b)\ o \D\(a;b)$

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero na kailangan mo:

1. Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

Halimbawa 1

Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$GCD=2\cdot 11=22$

Halimbawa 2

Hanapin ang gcd ng mga monomial na $63$ at $81$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Upang gawin ito:

I-factor natin ang mga numero sa prime factor

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.

$GCD=3\cdot 3=9$

Mahahanap mo ang gcd ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang isang hanay ng mga divisors ng mga numero.

Halimbawa 3

Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.

Solusyon:

Hanapin natin ang hanay ng mga divisors ng numerong $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga divisors ng numerong $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Pinakamalaking elemento sa ibinigay na set ang numero ay magiging $12$. Nangangahulugan ito na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $48$ at $60$ ay $12$.

Kahulugan ng NPL

Kahulugan 3

Mga karaniwang multiple ng natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.

Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa mga orihinal na numero na walang natitira Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200, atbp.

Ang pinakamaliit na common multiple ay tatawagin na least common multiple at ipapatalastas na LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mong:

1. I-factor ang mga numero sa prime factor
2. Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at hindi bahagi ng una

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.

Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito

I-factor ang mga numero sa prime factor

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Isulat ang mga salik na kasama sa una

idagdag sa kanila ang mga multiplier na bahagi ng pangalawa at hindi bahagi ng una

Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Ang pagsasama-sama ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang isang napakahirap na gawain. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclidean algorithm.

Mga pahayag kung saan nakabatay ang Euclidean algorithm:

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$

Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b

Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari nating sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot natin ang isang pares ng mga numero na ang isa sa mga ito ay mahahati ng isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang gustong pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.

Mga katangian ng GCD at LCM

1. Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati sa K$(a;b)$
2. Kung $a\vdots b$ , pagkatapos ay К$(a;b)=a$

Kung ang K$(a;b)=k$ at $m$ ay isang natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$

Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay ang common multiple ng $a$ at $b$

Para sa anumang natural na numerong $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Anumang karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$ ay isang divisor ng numerong $D(a;b)$