Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng maraming mga takdang-aralin sa matematika. Kabilang sa mga ito, ang mga gawain na may sumusunod na pagbabalangkas ay napaka-pangkaraniwan: mayroong dalawang kahulugan. Paano ko mahahanap ang pinakamaliit na karaniwang maramihang mga ibinigay na numero? Kinakailangan upang magawa ang mga nasabing gawain, dahil ang nakuha na mga kasanayan ay ginagamit upang gumana sa mga praksyon kung kailan iba`t ibang denominator... Sa artikulong ito, susuriin namin kung paano hanapin ang LCM at ang pangunahing mga konsepto.

Bago hanapin ang sagot sa tanong kung paano hanapin ang LCM, kailangan mong magpasya sa term na maramihang... Kadalasan, ang pagbubuo ng konseptong ito ay ang mga sumusunod: ang isang maramihang mga ilang halaga ng A ay tinatawag na tulad natural na numero, na hahatiin ng A. Kaya, para sa 4, ang mga multiply ay 8, 12, 16, 20, at iba pa, hanggang sa kinakailangang limitasyon.

Sa kasong ito, ang bilang ng mga divisors para sa isang tukoy na halaga ay maaaring limitado, at walang hanggan maraming mga multiply. Mayroon ding parehong halaga para sa natural na mga halaga. Ito ay isang tagapagpahiwatig na hinati sa kanila nang walang natitirang. Nakipag-usap sa konsepto ng pinakamababang halaga para sa ilang mga tagapagpahiwatig, magpatuloy tayo sa kung paano ito makahanap.

Hanapin ang LCM

Ang pinakamaliit na maramihang mga dalawa o higit pang mga exponents ay ang pinakamaliit na natural na numero na ganap na nahahati sa lahat ng tinukoy na mga numero.

Mayroong maraming mga paraan upang makahanap ng tulad ng isang halaga., isaalang-alang ang mga sumusunod na pamamaraan:

1. Kung ang mga numero ay maliit, pagkatapos ay isulat ang lahat ng mahahati sa pamamagitan nito sa isang linya. Patuloy na gawin ito hanggang sa makahanap ka ng isang bagay na pareho. Sa talaan, ang mga ito ay tinukoy ng letrang K. Halimbawa, para sa 4 at 3, ang pinakamaliit na multiplikal ay 12.
2. Kung ang mga ito ay malaki o kailangan mong makahanap ng maraming 3 o higit pang mga halaga, pagkatapos ay dapat gamitin ang isa pang pamamaraan dito, na kinasasangkutan ng agnas ng mga numero sa pangunahing salik... Una, ilatag ang pinakamalaking ng ipinahiwatig, pagkatapos lahat ng natitira. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling bilang ng mga kadahilanan. Bilang isang halimbawa, palawakin natin ang 20 (2 * 2 * 5) at 50 (5 * 5 * 2). Para sa mas maliit, salungguhitan ang mga kadahilanan at idagdag sa pinakamalaki. Ang resulta ay 100, na kung saan ay ang pinakamaliit na karaniwang maramihang mga nasa itaas na numero.
3. Kapag naghahanap ng 3 mga numero (16, 24 at 36), ang mga prinsipyo ay pareho para sa iba pang dalawa. Palawakin natin ang bawat isa sa kanila: 16 = 2 * 2 * 2 * 2, 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3. Dalawang twos lamang mula sa pagpapalawak ng 16 ay hindi kasama sa paglawak ng pinakamalaki. Idagdag ang mga ito at makakuha ng 144, na kung saan ay ang pinakamaliit na resulta para sa dating ipinahiwatig na mga numerong halaga.

Ngayon alam namin kung ano ang pangkalahatang pamamaraan ng paghahanap ng pinakamaliit na halaga para sa dalawa, tatlo o higit pang mga halaga. Gayunpaman, mayroon ding mga pribadong pamamaraan pagtulong upang maghanap para sa isang NOC, kung ang mga nauna ay hindi makakatulong.

Paano makahanap ng GCD at LCM.

Pribadong paraan ng paghanap

Tulad ng anumang seksyon sa matematika, may mga espesyal na kaso ng paghahanap ng mga LCM na makakatulong sa mga tukoy na sitwasyon:

• kung ang isa sa mga numero ay nahahati sa iba nang walang natitirang, pagkatapos ang pinakamababang maramihang mga bilang na ito ay katumbas nito (LCM 60 at 15 ay 15);
• kapwa pangunahing numero walang karaniwang pangunahing mga kadahilanan. Ang kanilang pinakamaliit na halaga ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito. Kaya, para sa mga bilang na 7 at 8, ito ay magiging 56;
• gumagana ang parehong panuntunan para sa iba pang mga kaso, kabilang ang mga espesyal, na maaaring mabasa tungkol sa dalubhasang panitikan. Dapat ding isama ang mga kaso ng agnas ng mga pinaghalong numero, na paksa ng mga indibidwal na artikulo at maging ang mga disertasyon ng kandidato.

Ang mga partikular na kaso ay hindi gaanong karaniwan kaysa sa karaniwang mga halimbawa... Ngunit salamat sa kanila, maaari mong malaman na gumana sa mga praksyon ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Totoo ito lalo na para sa mga praksiyon. kung saan mayroong iba't ibang mga denominator.

Ilang halimbawa

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa, salamat kung saan maaari mong maunawaan ang prinsipyo ng paghahanap ng hindi bababa sa maraming:

1. Hanapin ang LCM (35; 40). Pinapalawak muna namin ang 35 = 5 * 7, pagkatapos ay 40 = 5 * 8. Idagdag ang 8 sa pinakamaliit na numero at kunin ang LCM 280.
2. LCM (45; 54). Inilatag namin ang bawat isa sa kanila: 45 = 3 * 3 * 5 at 54 = 3 * 3 * 6. Idagdag sa 45 ang bilang 6. Nakukuha namin ang LCM na katumbas ng 270.
3. Sa gayon, ang huling halimbawa. Mayroong 5 at 4. Walang mga pangunahing multiply para sa kanila, kaya ang hindi gaanong karaniwang maramihang sa kasong ito ay ang kanilang produkto na katumbas ng 20.

Salamat sa mga halimbawa, maaari mong maunawaan kung paano matatagpuan ang LCM, kung ano ang mga nuances at ano ang kahulugan ng naturang mga manipulasyon.

Ang paghanap ng isang NOC ay mas madali kaysa sa mukhang una. Para dito, ginagamit ang parehong simpleng pagpapalawak at pagpaparami simpleng halaga Isa't isa... Ang kakayahang magtrabaho kasama ang sangay ng matematika na ito ay makakatulong sa karagdagang pag-aaral ng mga paksang matematika, lalo na ang mga praksyon ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado.

Alalahaning talakayin ang mga halimbawa nang pana-panahon iba`t ibang pamamaraan, bumubuo ito ng isang lohikal na patakaran ng pamahalaan at pinapayagan kang kabisaduhin ang maraming mga term. Alamin ang mga pamamaraan ng paghahanap ng gayong sukatan at magagawa mong gumana nang maayos sa natitirang mga seksyon ng matematika. Maligayang pag-aaral ng matematika!

Video

Tutulungan ka ng video na ito na maunawaan at matandaan kung paano makahanap ng pinakamaliit na karaniwang maramihang.

Pangalawang numero: b =

Paghihiwalay ng digit Walang separator space "´

Resulta:

Ang pinakadakilang karaniwang tagahati GCD ( a,b)=6

Hindi bababa sa Karaniwang Maramihang LCM ( a,b)=468

Ang pinakamalaking likas na numero kung saan ang mga numero a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinawag pinakadakilang karaniwang kadahilanan(Gcd) ang mga numerong ito. Ipinahiwatig ng gcd (a, b), (a, b), gcd (a, b) o hcf (a, b).

Hindi bababa sa karaniwang maramihang Ang (LCM) ng dalawang integer a at b ay ang pinakamaliit na natural na bilang na nahahati ng a at b nang walang natitirang bahagi. Ang LCM ay itinalaga (a, b), o lcm (a, b).

Ang integers a at b ay tinawag kapwa simple kung wala silang karaniwang divisors maliban sa +1 at −1.

Pinakadakilang karaniwang tagapamahagi

Binigyan ng dalawang positibong numero a 1 at a 2 1). Kinakailangan upang mahanap ang karaniwang pamamahagi ng mga numerong ito, ibig sabihin hanapin ang ganoong numero λ na naghahati ng mga numero a 1 at a 2 nang sabay. Ilarawan natin ang algorithm.

1) Sa artikulong ito, ang salitang numero ay nangangahulugang isang integer.

Hayaan a 1 ≥ a 2 at hayaan

kung saan m 1 , a 3 ilang mga integer, a 3 <a 2 (natitirang paghahati a 1 sa a 2 dapat mas mababa a 2).

Magpanggap tayo niyan λ naghahati a 1 at a 2, kung gayon λ naghahati m 1 a 2 at λ naghahati a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pahayag 2 ng artikulong "Pagkakaiba-iba ng mga numero. Mag-sign ng pagkakaiba-iba"). Samakatuwid sumusunod ito sa bawat karaniwang pamamahagi a 1 at a Ang 2 ay isang pangkaraniwang tagahati a 2 at a 3. Ang paguusap ay totoo rin kung λ karaniwang tagahati a 2 at a 3, kung gayon m 1 a 2 at a 1 =m 1 a 2 +a Nahahati rin ang 3 sa λ ... Samakatuwid ang karaniwang tagahati a 2 at a Ang 3 ay isang pangkaraniwang tagahati din a 1 at a 2. Kasi a 3 <a 2 ≤a 1, pagkatapos ay maaari nating sabihin na ang solusyon sa problema ng paghahanap ng karaniwang tagahati ng mga numero a 1 at a 2 nabawasan sa mas simpleng problema ng paghahanap ng karaniwang tagahati ng mga numero a 2 at a 3 .

Kung a 3 ≠ 0, pagkatapos ay maaari tayong maghati a 2 sa a 3. Tapos

,

kung saan m 1 at a 4 ilang mga integer, ( a 4 na natitira a 2 sa a 3 (a 4 <a 3)). Sa pamamagitan ng magkatulad na pangangatuwiran, napagpasyahan namin na ang mga karaniwang divisor ng mga numero a 3 at a Ang 4 ay kapareho ng mga karaniwang divisor a 2 at a 3, at mayroon ding mga karaniwang kadahilanan a 1 at a 2. Kasi a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... mga numero na patuloy na bumababa, at dahil mayroong isang may hangganan na bilang ng mga integer sa pagitan a 2 at 0, pagkatapos ay sa ilang hakbang n, natitirang bahagi ng dibisyon a n sa a Ang n + 1 ay katumbas ng zero ( a n + 2 = 0).

.

Ang bawat karaniwang tagapamahagi λ numero a 1 at a Ang 2 ay isang tagahati din ng mga numero a 2 at a 3 , a 3 at a 4 , .... a n at a n + 1. Ang pag-uusap ay totoo din, karaniwang mga divisor ng mga numero a n at a Ang n + 1 ay mga namamahagi din ng mga numero a n - 1 at a n, ...., a 2 at a 3 , a 1 at a 2. Ngunit ang karaniwang pamamahagi ng mga numero a n at a n + 1 ang numero a n + 1, sapagkat a n at a Ang n + 1 ay mahahati ng a n + 1 (tandaan mo yan a n + 2 = 0). Dahil dito a Ang n + 1 ay isang tagahati din ng mga numero a 1 at a 2 .

Tandaan na ang numero a Ang n + 1 ay ang pinakamalaking tagahati ng mga numero a n at a n + 1, mula noong pinakadakilang tagahati a ang n + 1 ay mismo a n + 1. Kung a Ang n + 1 ay maaaring kinatawan bilang isang produkto ng mga integer, kung gayon ang mga bilang na ito ay karaniwang mga namamahagi din ng mga numero a 1 at a 2. Bilang a n + 1 ang tinawag pinakadakilang karaniwang kadahilanan numero a 1 at a 2 .

Ang mga numero a 1 at a Ang 2 ay maaaring parehong positibo at negatibong mga numero. Kung ang isa sa mga numero ay zero, kung gayon ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga numerong iyon ay katumbas ng ganap na halaga ng ibang numero. Ang pinakadakilang karaniwang pamamahagi ng mga zero na numero ay hindi natukoy.

Ang algorithm sa itaas ay tinawag Ang algorithm ng Euclid upang makahanap ng pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng dalawang integer.

Isang halimbawa ng paghahanap ng pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng dalawang numero

Hanapin ang pinakadakilang karaniwang kadahilanan ng dalawang numero 630 at 434.

• Hakbang 1. Hatiin ang bilang 630 ng 434. Ang natitira ay 196.
• Hakbang 2. Hatiin ang bilang 434 sa 196. Ang natitira ay 42.
• Hakbang 3. Hatiin ang bilang 196 sa 42. Ang natitira ay 28.
• Hakbang 4. Hatiin ang bilang 42 sa 28. Ang natitira ay 14.
• Hakbang 5. Hatiin ang bilang 28 sa 14. Ang natitira ay 0.

Sa hakbang 5, ang natitirang bahagi ng dibisyon ay 0. Samakatuwid, ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng 630 at 434 ay 14. Tandaan na ang 2 at 7 ay mga tagahati din ng 630 at 434.

Magkaparehong pangunahing numero

Kahulugan 1. Hayaan ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga numero a 1 at a Ang 2 ay katumbas ng isa. Pagkatapos ang mga numerong ito ay tinawag mga numero ng coprime na walang karaniwang tagapamahagi.

Teorama 1. Kung a 1 at a 2 mga numero ng coprime, at λ ilang numero, pagkatapos ay anumang karaniwang pamamahagi ng mga numero a 1 at a Ang 2 ay isang pangkaraniwang tagahati din ng mga numero λ at a 2 .

Patunay Isaalang-alang ang algorithm ng Euclid para sa paghahanap ng pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga numero a 1 at a 2 (tingnan sa itaas).

.

Sumusunod ito mula sa mga kundisyon ng teorama na ang pinakadakilang karaniwang pamamahagi ng mga numero a 1 at a 2, at samakatuwid a n at a n + 1 ay 1. Iyon ay, a n + 1 = 1.

Pinarami namin ang lahat ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng λ , kung gayon

.

Hayaan ang karaniwang tagahati a 1 λ at a 2 ay δ ... Tapos δ ay isang kadahilanan sa a 1 λ , m 1 a 2 λ at sa a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (tingnan ang "Pagkakaiba-iba ng mga numero", Pahayag 2). Dagdag pa δ ay isang kadahilanan sa a 2 λ at m 2 a 3 λ , at, samakatuwid, ay isang kadahilanan sa a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Sa pamamagitan ng pangangatuwiran sa ganitong paraan nakakumbinsi tayo na δ ay isang kadahilanan sa a n - 1 λ at m n - 1 a n λ , at, samakatuwid, sa a n - 1 λ −m n - 1 a n λ =a n + 1 λ ... Kasi a n + 1 = 1, kung gayon δ ay isang kadahilanan sa λ ... Samakatuwid ang numero δ ay karaniwang pamamahagi ng mga numero λ at a 2 .

Isaalang-alang ang mga partikular na kaso ng Theorem 1.

Kinahinatnan 1. Hayaan a at c pangunahing numero ay kamag-anak b... Pagkatapos ang kanilang produkto ac ay isang pangunahing numero na may paggalang sa b.

Talaga. Mula sa Theorem 1 ac at b may parehong mga karaniwang kadahilanan bilang c at b... Ngunit ang mga numero c at b kapwa simple, ibig sabihin magkaroon ng natatanging karaniwang tagahati 1. Pagkatapos ac at b mayroon ding natatanging karaniwang tagahati 1. Samakatuwid ac at b kapwa simple.

Kinahinatnan 2. Hayaan a at b mga numero ng coprime at hayaan b naghahati ak... Tapos b naghahati at k.

Talaga. Mula sa kundisyon ng pahayag ak at b magkaroon ng isang karaniwang tagapamahagi b... Sa bisa ng Theorem 1, b dapat maging isang karaniwang tagapamahagi b at k... Dahil dito b naghahati k.

Ang Corollary 1 ay maaaring gawing pangkalahatan.

Kinahinatnan 3. 1. Hayaan ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m prime na may kaugnayan sa isang numero b... Tapos a 1 a 2 , a 1 a 2 a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 a m, ang produkto ng mga numerong ito ay pangunahing tungkol sa bilang b.

2. Hayaan mayroon kaming dalawang mga hilera ng mga numero

tulad na ang bawat numero sa unang hilera ay kalakasan na may kaugnayan sa bawat numero sa pangalawang hilera. Pagkatapos ang produkto

Kinakailangan na maghanap ng mga nasabing bilang na mahahati sa bawat isa sa mga numerong ito.

Kung ang numero ay mahahati ng a 1, pagkatapos ay mayroon itong form sa 1, saan s kahit anong numero. Kung q ay ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga numero a 1 at a 2, kung gayon

kung saan s Ang 1 ay isang integer. Tapos

ay isang hindi bababa sa karaniwang mga multiply a 1 at a 2 .

a 1 at a 2 coprime, pagkatapos ay ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga numero a 1 at a 2:

Hanapin ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga bilang na ito.

Mula sa itaas sumusunod ito sa anumang maramihang mga numero a 1 , a 2 , a Ang 3 ay dapat na isang maramihang mga numero ε at a 3, at kabaliktaran. Hayaan ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga numero ε at a 3 ay ε 1. Dagdag dito, isang maramihang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ay dapat na isang maramihang mga numero ε 1 at a 4. Hayaan ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga numero ε 1 at a 4 ay ε 2. Kaya, nalaman namin na lahat ng mga multiply ng mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m kasabay sa mga multiply ng ilang tiyak na numero ε n, na kung saan ay tinatawag na hindi bababa sa karaniwang maramihang mga ibinigay na numero.

Sa espesyal na kaso kapag ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay coprime, pagkatapos ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga numero a 1 , a 2, tulad ng ipinakita sa itaas, ay mayroong form (3). Dagdag pa, mula pa a 3 prime na may kaugnayan sa mga numero a 1 , a 2, kung gayon a 3 prime sa numero a 1 · a 2 (Corollary 1). Hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero a 1 ,a 2 ,a 3 ang numero a 1 · a 2 a 3. Ang pagtatalo sa katulad na paraan, nakarating kami sa mga sumusunod na pahayag.

Pahayag 1. Hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a Ang m ay katumbas ng kanilang produkto a 1 · a 2 a 3 a m

Pahayag 2. Anumang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay mahahati din ng kanilang produkto a 1 · a 2 a 3 a m

Paano makahanap ng LCM (hindi bababa sa karaniwang maramihang)

Ang pinakamaliit na karaniwang maramihang mga dalawang integer ay ang pinakamaliit sa lahat ng mga integer na pantay na nahahati sa parehong ibinigay na mga numero.

Paraan 1... Mahahanap mo ang LCM, sa turn, para sa bawat isa sa mga ibinigay na numero, na isinusulat sa pataas na pagkakasunud-sunod ng lahat ng mga numero na nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga ito ng 1, 2, 3, 4, at iba pa.

Halimbawa para sa bilang 6 at 9.
Pinarami namin ang bilang 6, sunud-sunod, ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin ang: 6, 12, 18 , 24, 30
Pinarami namin ang bilang 9, sunud-sunod, ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin ang: 9, 18 , 27, 36, 45
Tulad ng nakikita mo, ang LCM para sa mga numero 6 at 9 ay magiging 18.

Maginhawa ang pamamaraang ito kapag ang parehong mga numero ay maliit at madaling i-multiply sa pamamagitan ng isang pagkakasunud-sunod ng mga integer. Gayunpaman, may mga oras na kailangan mong hanapin ang LCM para sa dalawang-digit o tatlong-digit na mga numero, pati na rin kapag ang mga orihinal na numero ay tatlo o higit pa.

Paraan 2... Mahahanap mo ang LCM sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga orihinal na numero sa pangunahing mga kadahilanan.
Matapos ang pagpapalawak, kinakailangan upang i-cross out ang parehong mga numero mula sa nagresultang serye ng mga pangunahing kadahilanan. Ang natitirang mga numero ng unang numero ay magiging isang multiplier para sa pangalawa, at ang natitirang mga numero ng pangalawa ay magiging isang kadahilanan para sa una.

Halimbawa para sa bilang na 75 at 60.
Ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga numero 75 at 60 ay maaaring matagpuan nang hindi isinusulat ang mga multiply ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang magawa ito, mabubulok namin ang 75 at 60 sa pangunahing mga kadahilanan:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Tulad ng nakikita mo, ang mga kadahilanan 3 at 5 ay matatagpuan sa parehong mga linya. Sa pag-iisip "tinatawid" natin sila.
Isulat natin ang natitirang mga kadahilanan na kasama sa agnas ng bawat isa sa mga numerong ito. Kapag pinalawak ang bilang na 75, mayroon kaming bilang na 5 na natitira, at kapag pinalawak ang bilang na 60, mayroon kaming 2 * 2
Kaya, upang matukoy ang LCM para sa mga bilang na 75 at 60, kailangan nating i-multiply ang natitirang mga numero mula sa agnas ng 75 (ito ay 5) ng 60, at ang mga natitirang numero mula sa agnas ng bilang 60 (ito ay 2 * 2 ) multiply ng 75. Iyon ay, para sa kadalian ng pag-unawa, sinasabi namin na dumarami kami ng "crosswise".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ganito namin nahanap ang LCM para sa mga bilang na 60 at 75. Ito ang bilang na 300.

Halimbawa... Tukuyin ang LCM para sa mga bilang 12, 16, 24
Sa kasong ito, ang aming mga aksyon ay magiging mas kumplikado. Ngunit, una, tulad ng lagi, nabulok namin ang lahat ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Upang matukoy nang tama ang LCM, pipiliin namin ang pinakamaliit sa lahat ng mga numero (ito ang bilang 12) at sunud-sunod na dumaan sa mga kadahilanan nito, tawirin sila kung hindi bababa sa isa sa iba pang serye ng mga numero ang naglalaman ng pareho, hindi pa naka-cross factor.

Hakbang 1. Nakita namin na ang 2 * 2 ay nangyayari sa lahat ng mga hilera ng mga numero. Tawirin sila.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Hakbang 2. Sa pangunahing mga kadahilanan ng bilang 12, ang bilang lamang 3. ang mananatili. Ngunit naroroon ito sa pangunahing mga kadahilanan ng bilang na 24. I-cross ang bilang 3 mula sa parehong mga hilera, habang para sa bilang 16 walang aksyon na ipinapalagay.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Tulad ng nakikita mo, kapag pinalawak ang bilang 12, "na-cross" namin ang lahat ng mga numero. Nangangahulugan ito na ang paghanap ng NOC ay nakumpleto. Nananatili lamang ito upang makalkula ang halaga nito.
Para sa bilang 12, kinukuha namin ang natitirang mga kadahilanan ng bilang 16 (ang pinakamalapit sa pataas na pagkakasunud-sunod)
12 * 2 * 2 = 48
Ito ang NOC

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito, ang paghahanap ng LCM ay medyo mahirap, ngunit kapag kailangan mong hanapin ito para sa tatlo o higit pang mga numero, pinapayagan ka ng pamamaraang ito na gawin mo ito nang mas mabilis. Gayunpaman, ang parehong pamamaraan ng paghahanap ng LCM ay tama.

Isaalang-alang ang tatlong paraan upang makahanap ng pinakamaliit na karaniwang maramihang.

Paghanap sa pamamagitan ng pag-iingat

Ang unang paraan ay upang makahanap ng pinakamaliit na karaniwang maramihang mga sa pamamagitan ng pag-factor ng mga bilang sa mga pangunahing kadahilanan.

Sabihin nating kailangan nating hanapin ang LCM ng mga numero: 99, 30 at 28. Upang magawa ito, nabubulok namin ang bawat isa sa mga numerong ito sa pangunahing mga kadahilanan:

Upang ang nais na numero ay mahati ng 99, 30 at 28, kinakailangan at sapat na lahat ng mga pangunahing kadahilanan ng mga divisor na ito ay pumasok dito. Upang magawa ito, kailangan nating gawin ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan ng mga numerong ito sa pinakamaraming posibleng kapangyarihan at i-multiply ang mga ito nang magkasama:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Kaya't ang LCM (99, 30, 28) = 13 860. Walang ibang numero na mas mababa sa 13 860 ang mahahati sa 99, 30, o 28.

Upang mahanap ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga bilang na ito, kailangan mong i-factor ang mga ito sa pangunahing kadahilanan, pagkatapos ay kunin ang bawat pangunahing kadahilanan na may pinakamalaking exponent na natutugunan nito, at i-multiply ang mga salik na ito nang magkasama.

Dahil ang mga numero ng coprime ay walang karaniwang pangunahing mga kadahilanan, ang kanilang pinaka-karaniwang karaniwang maramihang ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito. Halimbawa, tatlong numero: 20, 49 at 33 ang magkabilang kalakasan. Kaya pala

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Ang parehong ay dapat gawin kapag naghahanap para sa hindi bababa sa karaniwang maramihang mga iba't ibang mga prima. Halimbawa, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Paghahanap ayon sa pagpili

Ang pangalawang paraan ay upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-aakma.

Halimbawa 1. Kapag ang pinakamalaki sa mga ibinigay na bilang ay nahahati nang buo sa iba pang mga naibigay na numero, ang LCM ng mga bilang na ito ay katumbas ng mas malaki sa mga ito. Halimbawa, binigyan ng apat na numero: 60, 30, 10 at 6. Ang bawat isa sa kanila ay nahahati sa 60, samakatuwid:

LCM (60, 30, 10, 6) = 60

Kung hindi man, ang sumusunod na pamamaraan ay ginagamit upang makahanap ng pinakamaliit na karaniwang maramihang:

1. Tukuyin ang pinakamalaking bilang ng mga ibinigay na numero.
2. Susunod, mahahanap namin ang mga numero na mga multiply ng pinakamalaking bilang, pinaparami ito ng mga natural na numero sa pataas na pagkakasunud-sunod at suriin kung ang natitirang ibinigay na mga numero ay mahahati sa nagresultang produkto.

Halimbawa 2. Binigyan ng tatlong bilang 24, 3 at 18. Tukuyin ang pinakamalaki sa mga ito - ito ang bilang na 24. Susunod, hanapin ang mga bilang na multiply ng 24, suriin kung ang bawat isa sa kanila ay nahahati sa 18 at 3:

24 1 = 24 - nahahati sa 3, ngunit hindi nahahati ng 18.

24 2 = 48 - nahahati sa 3, ngunit hindi nahahati ng 18.

24 3 = 72 - mahahati sa 3 at 18.

Kaya ang LCM (24, 3, 18) = 72.

Paghahanap sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM

Ang pangatlong paraan ay upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM.

Ang LCM ng dalawang naibigay na numero ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito na hinati ng kanilang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi.

Halimbawa 1. Hanapin natin ang LCM ng dalawang ibinigay na numero: 12 at 8. Tukuyin ang kanilang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi: GCD (12, 8) = 4. I-multiply ang mga numerong ito:

Hinahati namin ang gawain sa kanilang GCD:

Kaya, LCM (12, 8) = 24.

Upang hanapin ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, gamitin ang sumusunod na pamamaraan:

1. Una, hanapin ang LCM ng alinman sa dalawa sa mga ibinigay na numero.
2. Pagkatapos, ang LCM ng nahanap na hindi gaanong karaniwang maramihang at ang pangatlong ibinigay na numero.
3. Pagkatapos, ang LCM ng nagresultang hindi gaanong karaniwang maramihang at ang ika-apat na numero, atbp.
4. Kaya, nagpapatuloy ang paghahanap para sa LCM hangga't may mga numero.

Halimbawa 2. Hanapin natin ang LCM ng tatlong ibinigay na mga numero: 12, 8 at 9. Ang LCM ng mga bilang 12 at 8 na nakita na natin sa nakaraang halimbawa (ito ang bilang 24). Nananatili ito upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang 24 at ang pangatlong ibinigay na numero - 9. Tukuyin ang kanilang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi: GCD (24, 9) = 3. I-multiply ang LCM na may bilang 9:

Hinahati namin ang gawain sa kanilang GCD:

Kaya ang LCM (12, 8, 9) = 72.

Kahulugan Ang pinakamalaking likas na numero kung saan ang mga numero a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinawag pinakadakilang karaniwang kadahilanan (gcd) ang mga numerong ito.

Hanapin ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga bilang 24 at 35.
Ang magbabahagi ng 24 ay ang mga bilang na 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, at ang maghati ng 35 ay ang mga bilang na 1, 5, 7, 35.
Nakita namin na ang mga bilang na 24 at 35 ay may isang karaniwang tagapamahagi lamang - ang bilang 1. Ang mga nasabing numero ay tinawag kapwa simple.

Kahulugan Tinawag ang mga natural na numero kapwa simple kung ang kanilang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi (GCD) ay 1.

Pinakamalaking karaniwang tagapamahagi (GCD) ay maaaring matagpuan nang hindi isinulat ang lahat ng mga divisors ng ibinigay na mga numero.

Isinasaalang-alang ang mga bilang na 48 at 36, nakukuha natin ang:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Mula sa mga kadahilanan na kasama sa agnas ng una sa mga numerong ito, tanggalin ang mga hindi kasama sa agnas ng pangalawang numero (iyon ay, dalawang dalawahan).
Ang mga kadahilanan ay mananatiling 2 * 2 * 3. Ang kanilang produkto ay 12. Ang bilang na ito ay ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng mga bilang na 48 at 36. Ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng tatlo o higit pang mga numero ay matatagpuan din.

Hanapin pinakadakilang karaniwang kadahilanan

2) mula sa mga salik na kasama sa agnas ng isa sa mga numerong ito, tanggalin ang mga hindi kasama sa agnas ng iba pang mga numero;
3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Kung ang lahat ng mga numerong ito ay nahahati sa isa sa mga ito, ang bilang na ito ay pinakadakilang karaniwang kadahilanan binigyan ng mga numero.
Halimbawa, ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi ng 15, 45, 75, at 180 ay 15, dahil ang lahat ng iba pang mga numero ay nahahati sa ito: 45, 75, at 180.

Hindi bababa sa Karaniwang Maramihang (LCM)

Kahulugan Hindi bababa sa Karaniwang Maramihang (LCM) ang mga natural na numero a at b ay tinawag na pinakamaliit na natural na numero, na kung saan ay isang maramihang mga parehong a at b. Ang pinakamaliit na karaniwang maramihang (LCM) ng mga bilang 75 at 60 ay maaaring matagpuan nang hindi isinulat ang mga multiply ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang magawa ito, nabubulok namin ang 75 at 60 sa pangunahing mga kadahilanan: 75 = 3 * 5 * 5, at 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Isulat natin ang mga salik na kasama sa agnas ng una sa mga numerong ito, at idagdag sa kanila ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 2 mula sa agnas ng pangalawang numero (ibig sabihin, pagsamahin ang mga kadahilanan).
Nakukuha namin ang limang mga kadahilanan 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ang produkto na kung saan ay 300. Ang bilang na ito ay ang hindi gaanong karaniwang maramihang 75 at 60.

Ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga tatlo o higit pang mga numero ay matatagpuan din.

Sa makahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang maraming mga natural na numero, kailangan mo:
1) mabulok ang mga ito sa pangunahing kadahilanan;
2) isulat ang mga salik na kasama sa agnas ng isa sa mga bilang;
3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang kadahilanan mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;
4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang kadahilanan.

Tandaan na kung ang isa sa mga numerong ito ay nahahati sa lahat ng iba pang mga numero, kung gayon ang numerong ito ay ang hindi gaanong karaniwang maramihang mga bilang na ito.
Halimbawa, ang hindi gaanong karaniwang maramihang 12, 15, 20, at 60 ay 60 dahil ito ay nahahati sa lahat ng mga numerong ito.

Pinag-aralan ni Pythagoras (VI siglo BC) at ng kanyang mga mag-aaral ang tanong ng pagkakaiba-iba ng mga numero. Ang isang bilang na katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga dibisyon nito (nang walang numero mismo), tinawag nila ang isang perpektong numero. Halimbawa, ang mga bilang na 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ay perpekto. Ang mga susunod na perpektong numero ay 496, 8128, 33 550 336. Ang mga Pythagoreans ay alam lamang ang unang tatlong perpektong numero. Ang pang-apat - 8128 - ay naging kilala noong unang siglo. n. NS. Ang ikalima - 33 550 336 - ay natagpuan noong ika-15 siglo. Pagsapit ng 1983, 27 na perpektong numero ang alam na. Ngunit hanggang ngayon, hindi alam ng mga siyentista kung may mga kakatwang perpektong numero, kung mayroong ang pinakamalaking perpektong numero.
Ang interes ng mga sinaunang matematika sa pangunahing mga numero ay dahil sa ang katunayan na ang anumang numero ay alinman sa kalakhan o maaaring kinatawan bilang isang produkto ng pangunahing mga numero, iyon ay, ang mga pangunahing numero ay tulad ng mga brick na kung saan ang natitirang mga natural na numero ay binuo.
Marahil ay napansin mo na ang mga pangunahing numero sa isang serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay - sa ilang mga bahagi ng serye mayroong higit sa kanila, sa iba pa - mas kaunti. Ngunit ang karagdagang paglipat namin kasama ang serye ng numero, ang hindi gaanong karaniwan ay mga pangunahing numero. Ang tanong ay arises: mayroon bang isang huling (pinakamalaking) pangunahing numero? Ang sinaunang Griyego na dalubbilang Euclid (III siglo BC) sa kanyang aklat na "Mga Panimula", na para sa dalawang libong taon ang pangunahing aklat sa matematika, ay pinatunayan na maraming mga prime, samakatuwid, sa likod ng bawat punong may higit na higit na punong numero .
Upang makahanap ng mga pangunahing numero, isa pang Greek matematikong kasabay nito, si Eratosthenes, ang gumawa ng gayong pamamaraan. Isinulat niya ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang sa ilang numero, at pagkatapos ay tumawid sa isang yunit, na alinman ay hindi pangunahin o isang pinagsamang numero, pagkatapos ay na-cross ang lahat ng mga numero pagkatapos ng 2 (mga numero na nahahati sa 2, ibig sabihin 4, 6, 8, at iba pa). Ang unang natitirang numero pagkatapos ng 2 ay 3. Susunod, ang lahat ng mga numero pagkatapos ng 3 (mga numero na multiply ng 3, iyon ay, 6, 9, 12, atbp.) Ay na-cross pagkatapos ng dalawa. sa huli, ang pangunahing mga numero lamang ang nanatiling walang kros.