Unang antas

Mga quadratic equation. Komprehensibong gabay (2019)

Sa term na " quadratic equation"Ang pangunahing salita ay" parisukat ". Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat magkaroon ng isang variable (pareho x) na parisukat, at dapat walang x sa pangatlo (o mas mataas) na degree.

Ang solusyon ng maraming mga equation ay nabawasan sa solusyon ng mga quadratic equation.

Alamin natin kung paano tukuyin na mayroon kaming isang quadratic equation, at hindi sa iba pa.

Halimbawa 1.

Tanggalin natin ang denominator at i-multiply ang bawat term sa equation ng

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang parte at ayusin ang mga termino sa pagbawas ng pagkakasunud-sunod ng mga degree na x

Ngayon ay ligtas nating masasabi na ang equation na ito ay quadratic!

Halimbawa 2.

Paramihin natin ang kaliwa at kanang panig sa pamamagitan ng:

Ang equation na ito, kahit na ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi parisukat!

Halimbawa 3.

Paramihin natin ang lahat sa pamamagitan ng:

Nakakatakot? Pang-apat at pangalawang degree ... Gayunpaman, kung gumawa kami ng isang pagpapalit, makikita natin na mayroon kaming isang simpleng quadratic equation:

Halimbawa 4.

Mukhang nandiyan, ngunit tingnan natin nang mas malapitan. Ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi:

Kita mo, lumiliit ito - at ngayon ito ay isang simpleng linear equation!

Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:

Mga halimbawa:

Mga sagot:

1. parisukat;
2. parisukat;
3. hindi parisukat;
4. hindi parisukat;
5. hindi parisukat;
6. parisukat;
7. hindi parisukat;
8. parisukat

May kundisyon na hinati ang lahat ng mga quadratic equation sa sumusunod na form:

• Kumpletuhin ang mga quadratic equation - mga equation kung saan ang mga coefficients at, pati na rin ang libreng term c ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, kabilang sa kumpletong mga quadratic equation, mayroong binigay - ito ang mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)

• Hindi kumpleto ang mga quadratic equation - mga equation kung saan ang coefficient at o ang libreng term c ay katumbas ng zero:

  Hindi kumpleto ang mga ito, dahil kulang sila sa ilang elemento. Ngunit sa equation dapat mayroong palaging isang x na parisukat !!! Kung hindi man, hindi na ito magiging isang parisukat, ngunit ilang iba pang equation.

Bakit ka nagkaroon ng ganoong paghati? Mukhang mayroong isang x parisukat, at okay. Ang paghati na ito ay sanhi ng mga pamamaraan ng solusyon. Isaalang-alang natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.

Paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation

Upang magsimula, mag-focus tayo sa paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation - mas madali ang mga ito!

Ang hindi kumpletong mga quadratic equation ay ng mga sumusunod na uri:

1. , sa equation na ito ang coefficient ay.
2. , sa equation na ito ang libreng term ay.
3. , sa equation na ito ang coefficient at ang intercept ay pantay.

1.at. Dahil alam namin kung paano kumuha pang-ugat na ugat, pagkatapos ay ipahayag natin mula sa equation na ito

Ang ekspresyon ay maaaring maging negatibo o positibo. Ang bilang na parisukat ay hindi maaaring maging negatibo, dahil kapag nagparami ka ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

At kung, pagkatapos ay nakakakuha tayo ng dalawang mga ugat. Ang mga formula na ito ay hindi kailangang kabisaduhin. Ang pangunahing bagay ay dapat mong malaman at palaging tandaan na hindi maaaring maging mas kaunti.

Subukan nating malutas ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 5:

Malutas ang equation

Ngayon ay nananatili itong makuha ang ugat mula sa kaliwa at kanang mga gilid. Naaalala mo ba kung paano kumuha ng mga ugat?

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga negatibong ugat !!!

Halimbawa 6:

Malutas ang equation

Sagot:

Halimbawa 7:

Malutas ang equation

Oh! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring maging negatibo, na nangangahulugang ang equation

walang ugat!

Para sa mga equation na walang mga ugat, ang mga matematiko ay nakagawa ng isang espesyal na icon - (walang laman na hanay). At ang sagot ay maaaring nakasulat ng ganito:

Sagot:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang mga ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:

Malutas ang equation

Alisin natin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng panaklong:

Sa ganitong paraan,

Ang equation na ito ay may dalawang ugat.

Sagot:

Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong mga quadratic equation (bagaman ang lahat ay simple, hindi ba?). Malinaw na, ang equation na ito ay laging may isang ugat lamang:

Gagawin namin nang walang mga halimbawa dito.

Paglutas ng kumpletong mga quadratic equation

Pinapaalala namin sa iyo na ang isang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan

Ang solusyon upang makumpleto ang mga quadratic equation ay medyo mahirap (kaunti lamang) kaysa sa mga ibinigay.

Tandaan, ang anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang diskriminante! Kahit hindi kumpleto.

Ang natitirang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa mga quadratic equation, alamin muna ang solusyon gamit ang diskriminante.

1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang diskriminant.

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay napaka-simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula.

Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. espesyal na pansin humakbang. Ang diskriminante () ay nagpapahiwatig sa amin ng bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, pagkatapos ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon ng buong ugat.
• Kung, kung gayon hindi namin magagawang kunin ang ugat mula sa diskriminante sa hakbang. Ipinapahiwatig nito na ang equation ay walang mga ugat.

Balikan natin ang ating mga equation at tingnan ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9:

Malutas ang equation

Hakbang 1 laktawan

Hakbang 2.

Natagpuan namin ang diskriminante:

Kaya't ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3.

Sagot:

Halimbawa 10:

Malutas ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang form, samakatuwid Hakbang 1 laktawan

Hakbang 2.

Natagpuan namin ang diskriminante:

Kaya't ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11:

Malutas ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang form, samakatuwid Hakbang 1 laktawan

Hakbang 2.

Natagpuan namin ang diskriminante:

Samakatuwid, hindi namin magagawang kunin ang ugat mula sa diskriminasyon. Walang mga ugat ng equation.

Ngayon alam namin kung paano isulat nang tama ang mga naturang tugon.

Sagot:Walang ugat

2. Solusyon ng mga quadratic equation na gumagamit ng teorama ng Vieta.

Kung natatandaan mo, mayroong isang uri ng mga equation na tinatawag na nabawasan (kapag ang coefficient a ay pantay-pantay):

Ang mga nasabing equation ay napakadaling malutas gamit ang teorya ng Vieta:

Kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay, at ang produkto ng mga ugat ay.

Halimbawa 12:

Malutas ang equation

Ang equation na ito ay angkop para sa paglutas ng paggamit ng teorama ng Vieta, mula pa ...

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay, ibig sabihin nakukuha namin ang unang equation:

At ang produkto ay katumbas ng:

Bumuo at malutas natin ang system:

• at Ang halaga ay pantay;
• at Ang halaga ay pantay;
• at Ang halaga ay pantay.

at ang solusyon ng system:

Sagot: ; .

Halimbawa 13:

Malutas ang equation

Sagot:

Halimbawa 14:

Malutas ang equation

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Sagot:

QUADRATIC EQUATIONS. GITNANG ANTAS

Ano ang isang Quadratic Equation?

Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan ay hindi kilala, ang ilang mga numero, at.

Ang bilang ay tinatawag na nakatatanda o unang logro quadratic equation, - pangalawang logro, a - libreng kasapi.

Bakit? Dahil kung, ang equation kaagad ay nagiging linear, dahil mawawala.

Bukod dito, at maaaring katumbas ng zero. Sa upuang ito, ang equation ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga term ay nasa lugar, iyon ay, kumpleto ang equation.

Mga solusyon sa iba`t ibang mga uri ng mga quadratic equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation:

Upang magsimula, tingnan natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation - mas simple ang mga ito.

Ang mga sumusunod na uri ng mga equation ay maaaring makilala:

I., sa equation na ito ang coefficient at ang intercept ay pantay.

II. , sa equation na ito ang coefficient ay.

III. , sa equation na ito ang libreng term ay.

Ngayon tingnan natin ang isang solusyon sa bawat isa sa mga subtypes na ito.

Malinaw na, ang equation na ito ay laging may isang ugat lamang:

Ang bilang na parisukat ay hindi maaaring maging negatibo, dahil kapag nagparami ka ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. Samakatuwid:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;

kung, mayroon tayong dalawang ugat

Ang mga formula na ito ay hindi kailangang kabisaduhin. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas kaunti.

Mga halimbawa:

Mga Solusyon:

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga negatibong ugat!

Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring maging negatibo, na nangangahulugang ang equation

walang ugat.

Upang madaling maitala na ang problema ay walang mga solusyon, ginagamit namin ang walang laman na icon na itinakda.

Sagot:

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang mga ugat: at.

Sagot:

Hilahin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng panaklong:

Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Malutas ang equation.

Desisyon:

Isaalang-alang ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong mga quadratic equation:

1. Mapagkakaiba

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay alalahanin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, ang anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang diskriminante! Kahit hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat ng diskriminante sa root formula? Ngunit ang diskriminante ay maaaring maging negatibo. Anong gagawin? Kailangan mong bigyan ng espesyal na pansin ang hakbang 2. Ang diskriminante ay nagpapahiwatig sa amin ng bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, kung gayon ang equation ay may ugat:
• Kung, kung gayon ang equation ay may parehong ugat, ngunit sa katunayan, isang ugat:

  Ang mga nasabing ugat ay tinatawag na doble na ugat.

• Kung, kung gayon ang ugat ng diskriminante ay hindi nakuha. Ipinapahiwatig nito na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit posible magkakaibang halaga mga ugat? Bumaling tayo sa kahulugan ng geometriko ng quadratic equation. Ang function graph ay isang parabola:

Sa espesyal na kaso, na kung saan ay isang quadratic equation,. At nangangahulugan ito na ang mga ugat ng quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa abscissa axis (axis). Ang parabola ay maaaring hindi lumusot sa axis sa lahat, o intersect ito sa isa (kapag ang tuktok ng parabola ay namamalagi sa axis) o dalawang puntos.

Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung - pagkatapos ay pababa.

Mga halimbawa:

Mga Solusyon:

Sagot:

Sagot:

Sagot:

Kaya walang mga solusyon.

Sagot:

2. Teorya ni Vieta

Napakadaling gamitin ang teorama ng Vieta: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero, ang produkto na kung saan ay katumbas ng libreng term ng equation, at ang kabuuan ay ang pangalawang koepisyent, kinuha kasama ang kabaligtaran na pag-sign.

Mahalagang tandaan na ang teorya ng Vieta ay maaari lamang mailapat nabawasan ang mga quadratic equation ().

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

Halimbawa # 1:

Malutas ang equation.

Desisyon:

Ang equation na ito ay angkop para sa paglutas ng paggamit ng teorama ng Vieta, mula pa ... Iba pang mga coefficients :; ...

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:

At ang produkto ay katumbas ng:

Kunin natin ang mga nasabing pares ng numero, na ang produkto ay pantay, at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

• at Ang halaga ay pantay;
• at Ang halaga ay pantay;
• at Ang halaga ay pantay.

at ang solusyon ng system:

Sa gayon, at ang mga ugat ng aming equation.

Sagot :; ...

Halimbawa # 2:

Desisyon:

Piliin natin ang mga nasabing pares ng numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:

at: magdagdag.

at: ibigay ang kabuuan. Upang makuha ito, kailangan mo lamang baguhin ang mga palatandaan ng hinihinalang mga ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang trabaho.

Sagot:

Halimbawa # 3:

Desisyon:

Ang libreng term ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay isang negatibong numero... Posible lamang ito kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga ugat ay pagkakaiba ng kanilang mga modyul.

Piliin natin ang mga nasabing pares ng numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay pantay - hindi magkasya;

at: - ay hindi umaangkop;

at: - ay hindi umaangkop;

at: - umaangkop. Nananatili lamang ito upang tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, ang ugat ay dapat na negatibo sa ganap na halaga:. Sinusuri namin:

Sagot:

Halimbawa # 4:

Malutas ang equation.

Desisyon:

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Ang libreng term ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At posible lamang ito kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.

Piliin natin ang mga nasabing pares ng numero, na ang produkto ay pantay, at pagkatapos ay matukoy kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng isang negatibong pag-sign:

Malinaw na, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:

Sagot:

Halimbawa # 5:

Malutas ang equation.

Desisyon:

Ang equation ay nabawasan, na nangangahulugang:

Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugang hindi bababa sa isa sa mga ugat ay negatibo. Ngunit dahil positibo ang kanilang produkto, pagkatapos ang parehong mga ugat ay may isang minus sign.

Piliin natin ang mga nasabing pares ng numero, na ang produkto ay katumbas ng:

Malinaw na, ang mga ugat ay ang mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, napaka-maginhawa upang makabuo ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang hindi magandang diskriminasyon na ito. Subukang gamitin ang teorama ng Vieta nang madalas hangga't maaari.

Ngunit ang teorama ni Vieta ay kinakailangan upang mapabilis at mapabilis ang paghanap ng mga ugat. Upang magamit ito nang may kita, dapat mong dalhin ang mga pagkilos sa pagiging awtomatiko. At para dito, magpasya sa limang iba pang mga halimbawa. Ngunit huwag manloko: hindi mo magagamit ang diskriminante! Ang teorya lamang ni Vieta:

Paglutas ng mga gawain para sa independiyenteng trabaho:

Gawain 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Sa pamamagitan ng teorya ni Vieta:

Tulad ng dati, sinisimulan namin ang pagpipilian sa isang piraso:

Hindi angkop dahil ang halaga;

: ang dami mo kailangan

Sagot :; ...

Gawain 2.

At muli, ang aming paboritong teorya ng Vieta: dapat na gumana ang kabuuan, ngunit ang produkto ay pantay.

Ngunit dahil hindi ito dapat, ngunit, binabago namin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).

Sagot :; ...

Gawain 3.

Hmm ... Nasaan yun?

Kinakailangan na ilipat ang lahat ng mga term sa isang bahagi:

Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.

Kaya tigilan mo na! Hindi ibinigay ang equation. Ngunit ang teorya ng Vieta ay nalalapat lamang sa mga nasa itaas na mga equation. Kaya muna kailangan mong dalhin ang equation. Kung hindi mo ito madala, i-drop ang pakikipagsapalaran na ito at lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng diskriminasyon). Hayaan mo akong ipaalala sa iyo na magdala ng isang quadratic equation na nangangahulugang gawing pantay ang nakatatandang koepisyent:

Ayos lang Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay pantay, at ang produkto.

Madali itong kunin dito: pagkatapos ng lahat - isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautology).

Sagot :; ...

Gawain 4.

Negatibo ang libreng term. Ano ang espesyal dito? At ang katunayan na ang mga ugat ay magkakaiba ng mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba ng kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit ang produkto.

Kaya, ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa mga ito ay may isang minus. Sinasabi sa amin ng teorya ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na karatula, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng isang minus: at, mula pa.

Sagot :; ...

Gawain 5.

Ano ang unang dapat gawin? Tama iyan, ibigay ang equation:

Muli: pipiliin namin ang mga kadahilanan ng numero, at ang pagkakaiba nito ay dapat:

Ang mga ugat ay pantay at, ngunit ang isa sa mga ito ay may isang minus. Alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugang sa isang minus magkakaroon ng isang mas malaking ugat.

Sagot :; ...

Upang buod:

1. Ang teorya ng Vieta ay ginagamit lamang sa mga ibinigay na quadratic equation.
2. Gamit ang teorama ng Vieta, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, nang pasalita.
3. Kung ang equation ay hindi ibinigay o walang angkop na pares ng mga libreng term multiplier, pagkatapos ay walang buong mga ugat, at kailangan mong lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng diskriminasyon).

3. Paraan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat

Kung ang lahat ng mga term na naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan sa anyo ng mga termino mula sa dinaglat na mga pormula ng pagpaparami - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos pagkatapos baguhin ang mga variable, ang equation ay maaaring kinatawan bilang isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.

Halimbawa:

Halimbawa 1:

Lutasin ang equation:

Desisyon:

Sagot:

Halimbawa 2:

Lutasin ang equation:

Desisyon:

Sagot:

SA pangkalahatang pananaw ganito ang magiging hitsura ng pagbabago:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Wala bang hitsura? Ito ay isang nagtatangi! Tama iyon, nakakuha kami ng diskriminasyon na formula.

QUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Quadratic equationay isang equation ng form, kung saan ang hindi kilalang, ay ang mga coefficients ng quadratic equation, ay ang libreng term.

Buong quadratic equation - isang equation kung saan ang mga coefficients ay hindi katumbas ng zero.

Nabawasan ang quadratic equation - isang equation kung saan ang koepisyent, iyon ay:

Hindi kumpleto ang quadratic equation - isang equation kung saan ang coefficient at o ang libreng term c ay katumbas ng zero:

• kung ang koepisyent, ang equation ay may form :,
• kung ang libreng term, ang equation ay may form :,
• kung at, ang equation ay mayroong form:

1. Algorithm para sa paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation

1.1. Hindi kumpleto ang quadratic equation ng form, kung saan ,:

1) Ipahayag natin ang hindi alam :,

2) Suriin ang pag-sign ng expression:

• kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
• kung, kung gayon ang equation ay may dalawang mga ugat.

1.2. Hindi kumpleto ang quadratic equation ng form, kung saan ,:

1) Kunin ang karaniwang kadahilanan sa labas ng mga braket :,

2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang mga ugat:

1.3. Hindi kumpleto ang quadratic equation ng form, kung saan:

Ang equation na ito ay laging may isang ugat lamang:

2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong mga quadratic equation ng form kung saan

2.1. Discriminant solution

1) Bawasan natin ang equation sa karaniwang form :,

2) Kalkulahin ang diskriminante sa pamamagitan ng pormula :, na nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

• kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat, na matatagpuan ng pormula:
• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan ng pormula:
• kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang teorya ng Vieta

Ang kabuuan ng mga ugat ng nabawasan na quadratic equation (isang equation ng form, kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, ibig sabihin , a.

2.3. Kumpletuhin ang parisukat na solusyon

2.5 Form ng Vieta para sa mga polynomial (equation) mas mataas na degree

Ang mga formula na nagmula sa Viet para sa mga quadratic equation ay may bisa din para sa mga polynomial na mas mataas ang degree.

Hayaan ang polynomial

P (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n -1 +… + a n

Ay may iba't ibang mga ugat x 1, x 2…, x n.

Sa kasong ito, mayroon itong factorization ng form:

a 0 x n + a 1 x n-1 +… + a n \u003d a 0 (x - x 1) (x - x 2)… (x - x n)

Hinahati namin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng isang 0 ≠ 0 at palawakin ang mga braket sa unang bahagi. Nakakuha kami ng pagkakapantay-pantay:

xn + () xn -1 +… + () \u003d xn - (x 1 + x 2 +… + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + xn -1 xn) xn - 2 +… + (- 1) nx 1 x 2… xn

Ngunit ang dalawang polynomial ay magkatulad na pantay kung at kung ang mga coefficients sa parehong degree ay pantay. Samakatuwid sumusunod ito na ang pagkakapantay-pantay

x 1 + x 2 +… + x n \u003d -

x 1 x 2 + x 2 x 3 +… + x n -1 x n \u003d

x 1 x 2 ... x n \u003d (-1) n

Halimbawa, para sa mga third degree polynomial

isang 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Mayroon kaming mga pagkakakilanlan

x 1 + x 2 + x 3 \u003d -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 \u003d

x 1 x 2 x 3 \u003d -

Tulad ng para sa mga quadratic equation, ang formula na ito ay tinatawag na mga form ng Vieta. Ang mga kaliwang panig ng mga formula na ito ay simetriko polynomial mula sa mga ugat x 1, x 2 ..., x n ng equation na ito, at ang mga kanang bahagi ay ipinahayag sa pamamagitan ng koepisyent ng polynomial.

2.6 Mga equation na nababawasan sa parisukat (biquadratic)

Ang mga equation ng ika-apat na degree ay nabawasan sa mga quadratic equation:

palakol 4 + bx 2 + c \u003d 0,

tinawag na biquadratic, at, at ≠ 0.

Sapat na itong ilagay sa equation na ito x 2 \u003d y, samakatuwid,

ay² + ni + c \u003d 0

hanapin ang mga ugat ng nagresultang quadratic equation

y 1,2 \u003d

Upang hanapin ang mga ugat x 1, x 2, x 3, x 4 nang sabay-sabay, palitan ang y ng x at makuha

x² \u003d

x 1,2,3,4 \u003d .

Kung ang equation ng ika-apat na degree ay may x 1, pagkatapos ito ay mayroon ding isang ugat x 2 \u003d -x 1,

Kung mayroong x 3, pagkatapos x 4 \u003d - x 3. Ang kabuuan ng mga ugat ng naturang isang equation ay zero.

2x 4 - 9x² + 4 \u003d 0

Palitan ang equation sa formula para sa mga ugat ng mga biquadratic equation:

x 1,2,3,4 \u003d ,

alam na x 1 \u003d -x 2, at x 3 \u003d -x 4, pagkatapos ay:

x 3.4 \u003d

Sagot: x 1.2 \u003d ± 2; x 1.2 \u003d

2.7 Imbestigasyon ng mga biquadratic equation

Kunin ang biquadratic equation

palakol 4 + bx 2 + c \u003d 0,

kung saan ang a, b, c ay totoong mga numero, at isang\u003e 0. Ipinakikilala ang isang pantulong na hindi kilalang y \u003d x², sinisiyasat namin ang mga ugat ng equation na ito, at ipasok ang mga resulta sa talahanayan (tingnan ang Apendise # 1)

2.8 Formula ng Cardano

Gamit ang modernong simbolismo, maaaring magmukhang ganito ang paghula ng pormula ng Cardano:

x \u003d

Tinutukoy ng formula na ito ang mga ugat ng pangkalahatang equation ng pangatlong degree:

palakol 3 + 3bx 2 + 3cx + d \u003d 0.

Ang formula na ito ay napaka-abala at kumplikado (naglalaman ito ng maraming mga kumplikadong radical). Hindi ito laging nalalapat, dahil napakahirap punan.

F ¢ (xо) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Ilista o pumili mula sa 2-3 na mga teksto ang pinaka-kagiliw-giliw na mga lugar. Sa gayon, isinasaalang-alang namin ang mga pangkalahatang probisyon para sa paglikha at pag-uugali ng mga kursong elektibo, na isasaalang-alang kapag nagkakaroon ng isang elective course sa algebra para sa grade 9 na "Quadratic equation at inequalities na may isang parameter." Kabanata II. Mga pamamaraan ng pagsasagawa ng isang elective course na "Mga quadratic equation at inequalities na may isang parameter" 1.1. Karaniwan ...

Ang mga solusyon mula sa mga pamamaraan ng pagkalkula ng bilang. Upang matukoy ang mga ugat ng isang equation, walang kaalaman sa mga teorya ng mga Abel, Galois, Lie group, atbp, at ang paggamit ng mga espesyal na terminolohiya sa matematika: mga singsing, larangan, ideals, isomorphism, atbp. Upang malutas ang isang equation ng algebraic ng n-th degree, kailangan mo lamang ng kakayahang malutas ang mga quadratic equation at kunin ang mga ugat mula sa isang kumplikadong numero. Ang mga ugat ay maaaring makilala mula sa ...

Sa mga yunit ng pagsukat ng mga pisikal na dami sa sistema ng MathCAD? 11. Ilarawan nang detalyado ang teksto, graphics at mga bloke ng matematika. Lecture number 2. Mga problema sa linear na algebra at paglutas ng mga pagkakapantay-pantay na equation sa kapaligiran ng MathCAD Sa mga linear na problema sa algebra, halos palaging kinakailangan upang maisagawa ang iba't ibang mga operasyon na may mga matris. Ang panel ng operator na may mga matrice ay matatagpuan sa panel ng Math. ...

Pagbubuo at patunay ng teorama ng Vieta para sa mga quadratic equation. Teorya ng pakikipag-usap ni Vieta. Teorya ni Vieta para sa mga cubic equation at equation ng di-makatwirang pagkakasunud-sunod.

Mga quadratic equation

Teorya ni Vieta

Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng nabawasan na quadratic equation
(1) .
Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng koepisyent sa, kinuha kasama ang kabaligtaran na pag-sign. Ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng term:
;
.

Isang tala sa maraming mga ugat

Kung ang diskriminante ng equation (1) ay katumbas ng zero, kung gayon ang equation na ito ay may isang ugat. Ngunit, upang maiwasan ang masalimuot na pagbabalangkas, tinatanggap sa pangkalahatan na sa kasong ito, ang equation (1) ay may dalawang dalawahan, o pantay, na mga ugat:
.

Isa sa patunay

Hahanapin natin ang mga ugat ng equation (1). Upang magawa ito, inilalapat namin ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
;
;
.

Hanapin ang kabuuan ng mga ugat:
.

Upang makahanap ng trabaho, ilapat ang formula:
.
Tapos

.

Pinatunayan ang teorya.

Pangalawang patunay

Kung ang mga numero at ang mga ugat ng quadratic equation (1), kung gayon
.
Palawakin ang mga braket.

.
Kaya, ang equation (1) ay kukuha ng form:
.
Paghahambing sa (1) mahahanap namin:
;
.

Pinatunayan ang teorya.

Teorya ng pakikipag-usap ni Vieta

Hayaan mayroong mga di-makatwirang mga numero. Pagkatapos at ang mga ugat ng quadratic equation
,
Kung saan
(2) ;
(3) .

Katibayan ng teorya ng pakikipag-usap ni Vieta

Isaalang-alang ang quadratic equation
(1) .
Kailangan nating patunayan na kung at, kung gayon ikaw ang mga ugat ng equation (1).

Kapalit (2) at (3) sa (1):
.
Pinangkat namin ang mga term sa kaliwang bahagi ng equation:
;
;
(4) .

Kapalit sa (4):
;
.

Kapalit sa (4):
;
.
Natupad ang equation. Iyon ay, ang numero ay ang ugat ng equation (1).

Pinatunayan ang teorya.

Teorya ni Vieta para sa isang kumpletong quadratic equation

Isaalang-alang ngayon ang kumpletong quadratic equation
(5) ,
kung saan, at may ilang mga numero. Bukod dito.

Hatiin ang equation (5) ng:
.
Iyon ay, nakuha namin ang nabawasan na equation
,
kung saan; ...

Pagkatapos ang teorama ni Vieta para sa kumpletong quadratic equation ay may sumusunod na form.

Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng kumpletong quadratic equation
.
Pagkatapos ang kabuuan at produkto ng mga ugat ay natutukoy ng mga formula:
;
.

Teorema ni Vieta para sa equation ng cubic

Sa katulad na paraan, maaari naming maitaguyod ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat ng isang cubic equation. Isaalang-alang ang cubic equation
(6) ,
kung saan ,,, ang ilang mga numero. Bukod dito.
Hatiin natin ang equation na ito sa:
(7) ,
saan ,,.
Hayaan ,, ang mga ugat ng equation (7) (at equation (6)). Tapos

.

Paghahambing sa equation (7) nakita namin:
;
;
.

Teorya ni Vieta para sa isang equation ng degree n

Sa parehong paraan, mahahanap mo ang mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat ,, ... ,, para sa isang equation ng nth degree
.

Ang teorya ni Vieta para sa isang equation ng nth degree ay may sumusunod na form:
;
;
;

.

Upang makuha ang mga formula na ito, isusulat namin ang equation sa sumusunod na form:
.
Pagkatapos ihambing namin ang mga coefficients sa ,,, ..., at ihambing ang libreng term.

Mga Sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Matematika para sa Mga Engineer at Mga Mag-aaral ng Mga Institusyong Teknikal, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: isang aklat-aralin para sa grade 8 na mga institusyong pang-edukasyon, Moscow, Education, 2006.

Sa matematika, may mga espesyal na diskarte na kung saan maraming mga quadratic equation ay malulutas nang napakabilis at walang mga diskriminasyon. Bukod dito, sa wastong pagsasanay, marami ang nagsisimulang malutas ang mga quadratic equation na pasalita, literal na "sa unang tingin."

Sa kasamaang palad, sa modernong kurso ng matematika sa paaralan, ang mga naturang teknolohiya ay halos hindi pinag-aaralan. Ngunit kailangan mong malaman! At ngayon isasaalang-alang namin ang isa sa mga naturang diskarte - teorama ni Vieta. Una, ipakilala natin ang isang bagong kahulugan.

Ang isang quadratic equation ng form x 2 + bx + c \u003d 0 ay tinawag na nabawasan. Mangyaring tandaan na ang koepisyent para sa x 2 ay 1. Walang iba pang mga paghihigpit sa mga koepisyent.

1. x 2 + 7x + 12 \u003d 0 ay ang nabawasan na quadratic equation;
2. x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - ibinigay din;
3. 2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - ngunit hindi ito ipinakita, dahil ang koepisyent sa x 2 ay 2.

Siyempre, ang anumang quadratic equation ng form ax 2 + bx + c \u003d 0 ay maaaring mabawasan - sapat na itong hatiin ang lahat ng mga coefficients ng bilang a. Palagi natin itong magagawa, dahil sumusunod ito mula sa kahulugan ng isang parisukat na equation na isang ≠ 0.

Totoo, ang mga pagbabagong ito ay hindi palaging magiging kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng mga ugat. Makalipas ang kaunti masisigurado namin na dapat itong gawin lamang kapag sa huling parisukat na equation ang lahat ng mga coefficients ay integer. Sa ngayon, isaalang-alang ang pinakasimpleng mga halimbawa:

Isang gawain. I-convert ang quadratic equation sa nabawasan:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

Hatiin ang bawat equation ng koepisyent ng variable x 2. Nakukuha namin:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - hinati sa 3 ang lahat;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 \u003d 0 - hinati ng −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - hinati sa 1.5, lahat ng mga coefficients ay naging integer;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - hinati sa 2. Sa kasong ito, lumitaw ang mga maliit na koepisyent ng praksyonal.

Tulad ng nakikita mo, ang mga naibigay na quadratic equation ay maaaring magkaroon ng mga integer coefficients kahit na sa kaso kung ang orihinal na equation ay naglalaman ng mga praksyon.

Ngayon ay palagayin natin ang pangunahing teorama, kung saan, sa katunayan, ang konsepto ng isang pinababang quadratic equation ay ipinakilala:

Teorya ni Vieta. Isaalang-alang ang isang pinababang quadratic equation ng form x 2 + bx + c \u003d 0. Ipagpalagay na ang equation na ito ay may tunay na ugat x 1 at x 2. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

1. x 1 + x 2 \u003d −b. Sa madaling salita, ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng koepisyent ng variable x, na kinunan ng kabaligtaran na pag-sign;
2. x 1 x 2 \u003d c. Ang produkto ng mga ugat ng isang quadratic equation ay katumbas ng libreng coefficient.

Mga halimbawa. Para sa pagiging simple, isasaalang-alang lamang namin ang nabawasan na mga quadratic equation na hindi nangangailangan ng mga karagdagang pagbabago:

1. x 2 - 9x + 20 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d - (−9) \u003d 9; x 1 x 2 \u003d 20; mga ugat: x 1 \u003d 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d −2; x 1 x 2 \u003d −15; mga ugat: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d −5;
3. x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d 4; mga ugat: x 1 \u003d −1; x 2 \u003d −4.

Nagbibigay sa amin ng teorya ng Vieta ang karagdagang impormasyon tungkol sa mga ugat ng isang quadratic equation. Sa unang tingin, mukhang mahirap ito, ngunit kahit may kaunting pagsasanay, matututunan mong "makita" ang mga ugat at literal na hulaan ang mga ito sa loob ng ilang segundo.

Isang gawain. Lutasin ang quadratic equation:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

Subukan nating isulat ang mga coefficients ayon sa teorama ni Vieta at "hulaan" ang mga ugat:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0 ay ang nabawasan na quadratic equation.
   Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta mayroon kaming: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 14. Madaling makita na ang mga ugat ay bilang 2 at 7;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - ibinigay din.
   Sa pamamagitan ng teorya ni Vieta: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12; x 1 x 2 \u003d 27. Samakatuwid ang mga ugat: 3 at 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0 - ang equation na ito ay hindi nabawasan. Ngunit ayusin namin ito ngayon sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation ng coefficient a \u003d 3. Nakukuha namin ang: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Malutas sa pamamagitan ng teorama ni Vieta: x 1 + x 2 \u003d −11; x 1 x 2 \u003d 10 ⇒ mga ugat: −10 at −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - muli ang koepisyent sa x 2 ay hindi katumbas ng 1, ibig sabihin hindi ibinigay ang equation. Hatiin ang lahat sa bilang a \u003d −7. Nakukuha namin ang: x 2 - 11x + 30 \u003d 0.
   Sa pamamagitan ng teorya ni Vieta: x 1 + x 2 \u003d - (- 11) \u003d 11; x 1 x 2 \u003d 30; mula sa mga equation na ito ay madaling hulaan ang mga ugat: 5 at 6.

Mula sa pangangatuwiran sa itaas, makikita ng isang tao kung paano pinapasimple ng teorya ng Vieta ang solusyon ng mga quadratic equation. Walang mga kumplikadong kalkulasyon, walang mga ugat ng aritmetika o mga praksyon. At hindi namin kailangan ang diskriminante (tingnan ang aralin na "Paglutas ng mga quadratic equation").

Siyempre, sa lahat ng aming pagsasalamin, nagpatuloy kami mula sa dalawang mahahalagang palagay, na, sa pangkalahatan, ay hindi laging natutupad sa totoong mga problema:

1. Ang quadratic equation ay nabawasan, ibig sabihin ang koepisyent sa x 2 ay 1;
2. Ang equation ay may dalawang magkakaibang mga ugat. Mula sa pananaw ng algebra, sa kasong ito ang diskriminanteng D\u003e 0 - sa katunayan, una naming ipinapalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo.

Gayunpaman, sa mga tipikal na problema sa matematika, natutugunan ang mga kundisyong ito. Kung ang mga kalkulasyon ay nagreresulta sa isang "masamang" quadratic equation (ang koepisyent sa x 2 ay naiiba mula sa 1), madali itong ayusin - tingnan ang mga halimbawa sa simula ng aralin. Sa pangkalahatan ay tahimik ako tungkol sa mga ugat: ano ang problemang ito na walang sagot? Siyempre, magkakaroon ng mga ugat.

Sa ganitong paraan, pangkalahatang pamamaraan ang solusyon ng mga quadratic equation ng teorama ni Vieta ay ang mga sumusunod:

1. Bawasan ang quadratic equation sa nabawasan, kung hindi pa ito nagagawa sa pahayag ng problema;
2. Kung ang mga coefficients sa ibinigay na quadratic equation ay naging praksyonal, malulutas namin sa pamamagitan ng diskriminasyon. Maaari ka ring bumalik sa orihinal na equation upang gumana sa mas maraming "maginhawang" mga numero;
3. Sa kaso ng mga coefficients ng integer, nilulutas namin ang equation ayon sa teorama ni Vieta;
4. Kung sa loob ng ilang segundo ay hindi posible hulaan ang mga ugat, nagmartilyo kami sa teorama ni Vieta at nalulutas sa pamamagitan ng diskriminasyon.

Isang gawain. Lutasin ang equation: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

Kaya, mayroon kaming bago sa amin ng isang equation na hindi nabawasan, dahil coefficient a \u003d 5. Hatiin ang lahat sa 5, nakukuha natin ang: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Ang lahat ng mga coefficients ng quadratic equation ay integer - subukang lutasin ito ng teorama ni Vieta. Mayroon kaming: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7; x 1 · x 2 \u003d 10. Sa kasong ito, ang mga ugat ay madaling nahulaan - ito ay 2 at 5. Hindi kinakailangan upang mabilang sa pamamagitan ng diskriminasyon.

Isang gawain. Malutas ang equation: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0.

Hanapin: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 - ang equation na ito ay hindi nabawasan, hinahati namin ang magkabilang panig ng coefficient a \u003d −5. Nakukuha namin ang: x 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - isang equation na may mga maliit na coefficients ng praksyonal.

Mas mahusay na bumalik sa orihinal na equation at bilangin sa pamamagitan ng diskriminasyon: −5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 ⇒ D \u003d 8 2 - 4 (−5) (−2.4) \u003d 16 ⇒ ... ⇒ x 1 \u003d 1.2; x 2 \u003d 0.4.

Isang gawain. Malutas ang equation: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

Una, hatiin natin ang lahat sa pamamagitan ng coefficient a \u003d 2. Nakukuha namin ang equation x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Ang pinababang equation na ito, ayon sa teorya ng Vieta, mayroon kaming: x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d −300. Mahirap hulaan ang mga ugat ng quadratic equation sa kasong ito - nang personal, sineseryoso kong "makaalis" nang malulutas ko ang problemang ito.

Kailangan nating hanapin ang mga ugat sa pamamagitan ng diskriminasyon: D \u003d 5 2 - 4 · 1 · (−300) \u003d 1225 \u003d 35 2. Kung hindi mo matandaan ang ugat ng diskriminante, mapapansin ko lamang na 1225: 25 \u003d 49. Samakatuwid, 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2.

Ngayong alam na ang ugat ng diskriminante, ang paglutas ng equation ay hindi mahirap. Nakukuha namin ang: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d −20.

Ang teorama ng Vieta (mas tiyak, ang kabaligtaran ng teorya sa teorama ni Vieta) ay nagbibigay-daan sa iyo upang bawasan ang oras para sa paglutas ng mga quadratic equation. Kailangan mo lang na magamit ito. Paano matututunan upang malutas ang mga quadratic equation gamit ang teorama ng Vieta? Hindi ito mahirap, kung nag-iisip ka ng kaunti.

Ngayon ay pag-uusapan lamang natin ang tungkol sa solusyon ng nabawasan na quadratic equation ayon sa teorya ng Vieta. Ang nabawasan na quadratic equation ay isang equation kung saan ang a, iyon ay, ang coefficient sa harap ng x², ay katumbas ng isa. Posible ring malutas ang hindi nabawasan na mga quadratic equation na gumagamit ng teorama ng Vieta, ngunit mayroon nang hindi bababa sa isa sa mga ugat ay hindi isang integer. Mas mahirap hulaan ang mga ito.

Ang teoryang pinag-uusapan sa teorama ni Vieta ay nagsabi: kung ang mga bilang na x1 at x2 ay ganoon

pagkatapos x1 at x2 ang mga ugat ng quadratic equation

Kapag nalulutas ang isang quadratic equation ayon sa teorya ng Vieta, 4 na pagpipilian lamang ang posible. Kung naalala mo ang linya ng pangangatuwiran, maaari mong malaman na makahanap ng buong mga ugat nang napakabilis.

I. Kung ang q ay isang positibong numero,

nangangahulugan ito na ang mga ugat x1 at x2 ay mga numero ng parehong pag-sign (dahil lamang kapag ang pagpaparami ng mga numero na may parehong pag-sign ay isang positibong numero).

I.a. Kung -p ay isang positibong numero, (ayon sa pagkakabanggit, p<0), то оба корня x1 и x2 — positibong numero (dahil nagdagdag sila ng mga numero ng parehong pag-sign at nakakuha ng positibong numero).

I.b. Kung -p negatibo, (ayon sa pagkakabanggit, p\u003e 0), pagkatapos ang parehong mga ugat ay negatibong numero (pagdaragdag ng mga numero ng parehong pag-sign, nakakuha ng isang negatibong numero).

II. Kung ang q ay negatibo,

nangangahulugan ito na ang mga ugat x1 at x2 ay may magkakaibang mga palatandaan (kapag nagpaparami ng mga numero, ang isang negatibong numero ay makukuha lamang kapag magkakaiba ang mga palatandaan ng mga kadahilanan). Sa kasong ito, ang x1 + x2 ay hindi na isang kabuuan, ngunit isang pagkakaiba (pagkatapos ng lahat, kapag nagdaragdag ng mga numero na may iba't ibang mga palatandaan binabawas namin ang mas maliit mula sa mas malaki). Samakatuwid, ipinapakita ng x1 + x2 kung magkano ang pagkakaiba ng isang ugat sa x1 at x2, iyon ay, kung magkano ang isang ugat na mas malaki kaysa sa isa pa (modulo).

II.a. Kung -p ay isang positibong numero, (ibig sabihin p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Kung -p negatibo, (p\u003e 0), pagkatapos ang pinakamalaking (modulo) na ugat ay isang negatibong numero.

Isaalang-alang ang solusyon ng mga quadratic equation ng teorya ng Vieta gamit ang mga halimbawa.

Malutas ang nabawasan na quadratic equation ng teorya ni Vieta:

Dito q \u003d 12\u003e 0, kaya ang mga ugat x1 at x2 ay mga bilang ng parehong pag-sign. Ang kanilang kabuuan ay -p \u003d 7\u003e 0, kaya't ang parehong mga ugat ay positibong numero. Pinipili namin ang mga integer, ang produkto kung saan ay 12. Ito ang 1 at 12, 2 at 6, 3 at 4. Ang kabuuan ay 7 para sa pares na 3 at 4. Kaya, 3 at 4 ang mga ugat ng equation.

SA ang halimbawang ito q \u003d 16\u003e 0, samakatuwid ang mga ugat x1 at x2 ay mga bilang ng parehong pag-sign. Ang kanilang kabuuan -p \u003d -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Dito q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, kung gayon ang mas malaking bilang ay positibo. Kaya't ang mga ugat ay 5 at -3.

q \u003d -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.