Ang pagpapatuloy ng paksang "Paglutas ng mga Equation," ang materyal sa artikulong ito ay magpapakilala sa iyo sa mga kuwadrong pantay.

Isasaalang-alang namin ang lahat nang detalyado: ang kakanyahan at notasyon ng equation ng quadratic, itatakda namin ang mga kasamang termino, susuriin natin ang pamamaraan ng solusyon para sa hindi kumpleto at kumpletong mga equation, makikilala natin ang root formula at diskriminasyon, magtatatag tayo ng ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient, at siyempre bibigyan natin ng isang malinaw na solusyon sa mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang equation ng quadratic, ang mga uri nito

Quadratic equation  Ay isang equation na isinulat bilang   isang x 2 + b x x + c \u003d 0saan   x  - variable, a, b at   c  - ilang mga numero, habang ahindi zero.

Kadalasan, ang mga equation ng quadratic ay tinatawag ding mga equation ng pangalawang degree, dahil sa esensya ang quadratic equation ay isang algebraic equation ng pangalawang degree.

Nagbibigay kami ng isang halimbawa upang mailarawan ang ibinigay na kahulugan: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0, atbp. Ay mga parisukat na mga equation.

Kahulugan 2

Mga numero a, b at   c  Ang mga coefficient ng equation ng quadratic   isang x 2 + b x x + c \u003d 0, habang ang koepisyent   a  ay tinatawag na una, o matanda, o koepisyent sa x 2, b - ang pangalawang koepisyent, o koepisyent sa   x, at   c  tinawag na isang libreng miyembro.

Halimbawa, sa equation ng quadratic   6 x 2 - 2 x 11 \u003d 0  ang senior koepisyent ay 6, ang pangalawang koepisyent ay − 2 , at ang libreng term ay − 11 . Bigyang-pansin ang katotohanan na kapag ang mga koepisyent   bat / o c ay negatibo, kung gayon ang isang maikling anyo ng notasyon ng form ay ginagamit   6 x 2 - 2 x 11 \u003d 0ngunit hindi   6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Nilinaw din namin ang aspektong ito: kung ang mga koepisyent   a  at / o   b  pantay-pantay 1   o − 1 , pagkatapos ay maaaring hindi sila kumuha ng isang malinaw na bahagi sa pagsulat ng quadratic equation, na ipinaliwanag sa pamamagitan ng mga peculiarities ng pagsulat ng mga ipinahiwatig na mga koepisyent na numero. Halimbawa, sa equation ng quadratic   y 2 - y + 7 \u003d 0  ang senior coefficient ay 1, at ang pangalawang koepisyent ay − 1 .

Nabawasan at hindi nakikilalang mga equation ng quadratic

Ayon sa halaga ng unang koepisyent, ang mga equation ng quadratic ay nahahati sa nabawasan at hindi nabawasan.

Kahulugan 3

Quadratic equation  Ay isang quadratic equation kung saan ang nangungunang koepisyent ay 1. Para sa iba pang mga halaga ng pinakamataas na koepisyent, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Nagbibigay kami ng mga halimbawa: ang quadratic equation x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 ay nabawasan, sa bawat isa sa kung saan ang pinakamataas na koepisyent ay 1.

  9 x 2 - x - 2 \u003d 0  - unreduced quadratic equation, kung saan naiiba ang unang koepisyent 1 .

Posible na ibahin ang anyo ng anumang unreduced quadratic equation sa nabawasan na equation kung hinati natin ang parehong mga bahagi nito sa unang koepisyent (katumbas na pagbabagong-anyo). Ang binagong equation ay magkakaroon ng parehong mga ugat tulad ng ibinigay na unreduced equation o walang mga ugat.

Ang pagsasaalang-alang ng isang tiyak na halimbawa ay magpapahintulot sa amin na malinaw na ipakita ang pagpapatupad ng paglipat mula sa isang hindi kinikilingan na quadratic equation sa isang naibigay.

Halimbawa 1

Ibinibigay ang equation: 6x2 + 18x - 7 \u003d 0 .   Kinakailangan na i-convert ang orihinal na equation sa ibinigay na form.

Solusyon

Ayon sa pamamaraan sa itaas, hinati namin ang magkabilang panig ng orihinal na equation ng nangungunang koepisyent 6. Pagkatapos makuha namin:   (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3, at ito ay katulad ng:   (6 * x 2): 3 + (18 * x): 3 - 7: 3 \u003d 0  at higit pa:   (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0.  Mula rito:   x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Kaya, ang isang equation na katumbas ng ibinigay ay nakuha.

Ang sagot ay:   x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Kumpleto at hindi kumpletong mga equation ng quadratic

Bumaling kami sa kahulugan ng isang kuwadradong equation. Sa loob nito, nilinaw namin iyon   isang ≠ 0. Ang isang katulad na kondisyon ay kinakailangan para sa equation   isang x 2 + b x x + c \u003d 0  ay eksaktong parisukat, sapagkat kung kailan   isang \u003d 0  mahalagang ito ay nagko-convert sa isang linear equation   bx + c \u003d 0.

Sa kaso kapag ang mga koepisyent   b  at   cay pantay-pantay sa zero (na posible, kapwa nang paisa-isa at magkasanib), ang kuwadradong equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan 4

Hindi kumpletong quadratic equation  Ay tulad ng isang kuwadradong equation   isang x 2 + b x x + c \u003d 0,kung saan hindi bababa sa isa sa mga koepisyent   bat   c(o pareho) ay zero.

Buong quadratic equation - isang quadratic equation kung saan ang lahat ng mga de-numerong coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Talakayin natin kung bakit binibigyan ng ganitong mga pangalan ang mga uri ng mga kuwadrong equation.

Para sa b \u003d 0, tumatagal ang form ng quadratic equation   isang x 2 + 0 x x c \u003d 0pareho yan   isang x 2 + c \u003d 0. Sa   c \u003d 0  ang kuwadradong equation ay nakasulat bilang   isang x 2 + b x x 0 \u003d 0na katumbas   isang x 2 + b x \u003d 0. Sa   b \u003d 0  at   c \u003d 0  ang equation ay kukuha ng form   isang x 2 \u003d 0. Ang mga equation na nakuha namin ay naiiba mula sa buong quadratic equation na ang kanilang mga kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa isang term na may variable x, o isang libreng term, o pareho nang sabay-sabay. Sa totoo lang, ang katotohanang ito ay nagbigay ng pangalan sa ganitong uri ng mga equation - hindi kumpleto.

Halimbawa, ang x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 at - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 ay ang buong quadratic equation; x 2 \u003d 0, - 5 · x 2 \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - hindi kumpleto na mga equation ng quadratic.

Paglutas ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic

Ang kahulugan na ibinigay sa itaas ay posible upang makilala ang mga sumusunod na uri ng hindi kumpletong mga parisukat na parisukat:

•   isang x 2 \u003d 0, ang ekwasyong ito ay tumutugma sa mga koepisyent   b \u003d 0  at c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 sa b \u003d 0;
• isang x 2 + b x \u003d 0 para sa c \u003d 0.

Isaalang-alang nating isaalang-alang ang solusyon ng bawat uri ng hindi kumpletong kuwadradong equation.

Solusyon ng equation a · x 2 \u003d 0

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang mga coefficient ay tumutugma sa equation na ito   b  at   cpantay sa zero. Pagkakapantay-pantay   isang x 2 \u003d 0  posible na mag-convert sa isang equation na katumbas nito   x 2 \u003d 0na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghati sa magkabilang panig ng orihinal na equation ng isang numero   ahindi pantay sa zero. Ang halata na katotohanan ay ang ugat ng equation   x 2 \u003d 0  zero kasi 0 2 = 0 . Ang ekwasyong ito ay walang iba pang mga ugat, na ipinaliwanag ng mga katangian ng degree: para sa anumang numero   phindi pantay sa zero, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo   p 2\u003e 0, mula sa kung saan sumusunod ito sa   p ≠ 0  pagkakapantay-pantay   p 2 \u003d 0hindi makamit.

Kahulugan 5

Sa gayon, para sa isang hindi kumpletong quadratic equation a · x 2 \u003d 0 mayroong isang natatanging ugat   x \u003d 0.

Halimbawa 2

Halimbawa, malulutas namin ang isang hindi kumpletong equation ng kuwadratic   - 3 x 2 \u003d 0. Ang equation ay katumbas sa kanya   x 2 \u003d 0ang ugat lamang nito   x \u003d 0, kung gayon ang orihinal na equation ay may isang solong ugat - zero.

Sa madaling sabi, ang desisyon ay ginawa tulad ng mga sumusunod:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusyon ng equation a · x 2 + c \u003d 0

Ang susunod na hakbang ay upang malutas ang hindi kumpletong mga equation ng quadratic, kung saan b \u003d 0, c ≠ 0, iyon ay, mga equation ng form   isang x 2 + c \u003d 0. Binago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng paglipat ng termino mula sa isang bahagi ng equation sa isa pa, binabago ang tanda sa kabaligtaran at hinati ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang numero na hindi katumbas ng zero:

• maililipat   c sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation   isang x 2 \u003d - c;
• hatiin ang magkabilang panig ng equation ni   a, nakakuha tayo ng x \u003d - c a.

Ang aming mga pagbabagong-anyo ay katumbas, ayon sa pagkakabanggit, ang nagreresultang equation ay katumbas din sa orihinal, at ang katotohanang ito ay ginagawang posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa mga ugat ng ekwasyon. Mula sa kung ano ang mga kahulugan   a  at   cang halaga ng expression ay nakasalalay sa c a: maaari itong magkaroon ng isang minus sign (halimbawa, kung   isang \u003d 1  at   c \u003d 2, pagkatapos - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) o ang plus sign (halimbawa, kung   isang \u003d - 2  at   c \u003d 6, pagkatapos - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); hindi ito zero dahil   c ≠ 0. Maninirahan tayo sa mga sitwasyon kung - c a< 0 и - c a > 0 .

Sa kaso kung kailan - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа   p  ang pagkakapantay-pantay p 2 \u003d - c a hindi totoo.

Ang lahat ay naiiba kapag - c a\u003e 0: tandaan ang parisukat na ugat, at magiging malinaw na ang ugat ng equation x 2 \u003d - c a ay magiging bilang - c a, dahil - c a 2 \u003d - c a. Madaling maunawaan na ang bilang - - c a - ay din ang ugat ng equation x 2 \u003d - c a: sa katunayan, - - c a 2 \u003d - c a.

Ang equation ay walang ibang mga ugat. Maaari naming ipakita ito gamit ang kabaligtaran na pamamaraan. Una, ituro natin ang mga ugat na matatagpuan sa itaas bilang   x 1  at   - x 1. Gawin nating palagay na ang equation x 2 \u003d - c a mayroon ding ugat   x 2na naiiba sa mga ugat   x 1  at   - x 1. Alam namin na, ang paghalili sa equation sa halip   x  ang mga ugat nito, binago natin ang equation sa isang patas na pagkakapantay-pantay na numero.

Para sa   x 1  at   - x 1  sumulat kami: x 1 2 \u003d - c a, at para sa   x 2  - x 2 2 \u003d - c a. Batay sa mga katangian ng pantay-pantay na pagkakapareho, ibinabawas namin ang isang tunay na pagkakapantay-pantay mula sa isa pang term sa pamamagitan ng term, na nagbibigay sa amin:   x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Gamitin ang mga katangian ng pagkilos na may mga numero upang muling isulat ang huling pagkakapantay-pantay bilang   (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Alam na ang produkto ng dalawang numero ay zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga numero ay zero. Mula sa nabanggit ay sumusunod ito   x 1 - x 2 \u003d 0  at / o   x 1 + x 2 \u003d 0ang parehong bagay   x 2 \u003d x 1  at / o   x 2 \u003d - x 1. Mayroong isang malinaw na pagkakasalungatan, dahil sa una ay napagkasunduan na ang ugat ng ekwasyon   x 2  naiiba sa   x 1  at   - x 1. Kaya, napatunayan namin na ang equation ay walang mga ugat maliban sa x \u003d - c a at x \u003d - - c a.

Ibinubuod namin ang lahat ng mga argumento sa itaas.

Kahulugan 6

Hindi kumpletong quadratic equation   isang x 2 + c \u003d 0  ay katumbas ng equation x 2 \u003d - c a, na:

• ay walang mga ugat sa - c a< 0 ;
• magkakaroon ng dalawang ugat x \u003d - c a at x \u003d - - c a para - c a\u003e 0.

Nagbibigay kami ng mga halimbawa ng paglutas ng mga equation   isang x 2 + c \u003d 0.

Halimbawa 3

Ibinigay ang equation ng quadratic   9 x 2 + 7 \u003d 0.Ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang solusyon dito.

Solusyon

Inilipat namin ang libreng term sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ang equation ay tumatagal ng form   9 x 2 \u003d - 7.
Hatiin ang magkabilang panig ng nagresultang equation ni 9 , nakarating kami sa x 2 \u003d - 7 9. Sa kanang bahagi nakita namin ang isang numero na may minus sign, na nangangahulugang: ang ibinigay na equation ay walang mga ugat. Pagkatapos ang paunang hindi kumpletong kuwadrong equation   9 x 2 + 7 \u003d 0  ay walang mga ugat.

Ang sagot ay:  ang equation   9 x 2 + 7 \u003d 0walang ugat.

Halimbawa 4

Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation   - x 2 + 36 \u003d 0.

Solusyon

Ilipat ang 36 sa kanang bahagi:   - x 2 \u003d - 36.
  Hatiin ang magkabilang panig − 1 nakukuha namin   x 2 \u003d 36. Sa kanang bahagi ay isang positibong numero, kung saan maaari nating tapusin iyon   x \u003d 36 o   x \u003d - 36.
  Kinuha namin ang ugat at isulat ang pangwakas na resulta: isang hindi kumpletong kuwadradong equation   - x 2 + 36 \u003d 0  ay may dalawang ugat   x \u003d 6  o   x \u003d - 6.

Ang sagot ay:   x \u003d 6  o   x \u003d - 6.

Solusyon ng equation a · x 2 + b · x \u003d 0

Sinuri namin ang pangatlong anyo ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic kung kailan   c \u003d 0. Upang makahanap ng solusyon sa isang hindi kumpletong equation quadratic   isang x 2 + b x \u003d 0, ginagamit namin ang paraan ng factorization. Factor ang polynomial sa kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng pag-unawa sa karaniwang kadahilanan   x. Ang hakbang na ito ay gagawing posible upang ibahin ang anyo ng orihinal na hindi kumpletong kuwadradong equation sa katumbas nito   x · (a · x + b) \u003d 0. At ang equation na ito, sa turn, ay katumbas ng isang hanay ng mga equation   x \u003d 0  at   isang x + b \u003d 0. Pagkakapantay-pantay   isang x + b \u003d 0  linear, at ang ugat nito:   x \u003d - b a.

Kahulugan 7

Kaya ang hindi kumpletong kuwadrong equation   isang x 2 + b x \u003d 0  magkakaroon ng dalawang ugat   x \u003d 0  at   x \u003d - b a.

Ayusin ang materyal bilang isang halimbawa.

Halimbawa 5

Kinakailangan upang makahanap ng solusyon sa equation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Solusyon

Lumabas   x  labas ng mga bracket at makuha ang equation x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Ang equation na ito ay katumbas ng mga equation   x \u003d 0  at 2 3x - 2 2 7 \u003d 0. Ngayon ay kinakailangan upang malutas ang nakuha na pagkakatulad na linya: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Isulat namin sa madaling sabi ang solusyon ng equation tulad ng sumusunod:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 o 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 o x \u003d 3 3 7

Ang sagot ay:  x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Ang discriminant, ang pormula ng mga ugat ng equation ng quadratic

Upang mahanap ang solusyon ng mga kuwadrong equation, mayroong isang root formula:

Kahulugan 8

x \u003d - b ± D 2 · a, kung saan   D \u003d b 2 - 4  - ang tinaguriang discriminant ng quadratic equation.

Ang notasyon x \u003d - b ± D 2 · isang mahalagang nangangahulugan na x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Ito ay magiging kapaki-pakinabang upang maunawaan kung paano nagmula ang pormula na ito at kung paano ilapat ito.

Ang paglabas ng formula para sa mga ugat ng equation ng quadratic

Harapin natin ang hamon sa paglutas ng equation ng quadratic   isang x 2 + b x x + c \u003d 0. Nagsasagawa kami ng isang bilang ng katumbas na mga pagbabagong-anyo:

• hatiin ang magkabilang panig ng ekwasyon sa pamamagitan ng bilang anonzero, nakukuha namin ang nabawasan na kuwadradong equation: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• piliin ang buong parisukat sa kaliwang bahagi ng nagreresultang equation:
     x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
     Matapos ang ekwasyong ito ay tumatagal ng form: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• posible na ilipat ang huling dalawang term sa kanang bahagi sa pamamagitan ng pagpapalit ng tanda sa kabaligtaran, pagkatapos na makuha namin: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• sa wakas, binago namin ang expression na nakasulat sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay:
     b 2 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Sa gayon, nakarating kami sa equation x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, na kung saan ay katumbas ng orihinal na equation   isang x 2 + b x x + c \u003d 0.

Sinuri namin ang solusyon ng naturang mga equation sa nakaraang mga talata (ang solusyon ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic). Ang karanasan na nakuha na posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• sa b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kapag b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d 0, ang equation ay may form x + b 2 · a 2 \u003d 0, kung gayon ang x + b 2 · a \u003d 0.

Ang tanging ugat x \u003d - b 2 · a ay halata mula dito;

• para sa b 2 - 4 · a · c 4 · a 2\u003e 0 ang sumusunod ay magiging totoo: x + b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x \u003d b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, na kapareho ng x + - b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x \u003d - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, i.e. ang ekwasyon ay may dalawang ugat.

Posible na tapusin na ang pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng equation x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (at samakatuwid ang orihinal na equation) ay nakasalalay sa tanda ng expression b 2 - 4 · a · c 4 · Isang 2 naitala sa kanan. At ang pag-sign ng expression na ito ay ibinibigay ng pag-sign ng numerator, (denominator   4 · a 2  ay palaging magiging positibo), iyon ay, isang tanda ng pagpapahayag   b 2 - 4 · a · c. Sa expression na ito   b 2 - 4 · a · c  ang pangalan ay ibinigay - ang diskriminasyon ng kuwadradong equation at ang titik D ay tinukoy bilang pagtatalaga nito. Dito maaari mong isulat ang kakanyahan ng discriminant - sa pamamagitan ng halaga at mag-sign ay tapusin nila kung ang equation ng quadratic ay magkakaroon ng tunay na mga ugat, at kung gayon, ano ang bilang ng mga ugat - isa o dalawa.

Magbalik tayo sa equation x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2. Muling isulat namin ito gamit ang notasyon ng discriminant: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Bumuo ulit kami ng mga konklusyon:

Kahulugan 9

• sa   D< 0   ang equation ay walang tunay na ugat;
• sa   D \u003d 0  ang equation ay may isang solong ugat x \u003d - b 2 · a;
• sa   D\u003e 0 ang equation ay may dalawang ugat: x \u003d - b 2 · a + D 4 · a 2 o x \u003d - b 2 · a - D 4 · a 2. Batay sa mga katangian ng mga radikal, ang mga ugat na ito ay maaaring isulat sa anyo: x \u003d - b 2 · a + D 2 · a o - b 2 · a - D 2 · a. At, kapag pinalawak namin ang mga module at bawasan ang mga praksyon sa isang karaniwang denominador, nakukuha namin: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Kaya, ang resulta ng aming pangangatuwiran ay ang pagbuo ng pormula para sa mga ugat ng equation ng quadratic:

x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a, discriminant   D  kinakalkula ng formula   D \u003d b 2 - 4.

Ginagawang posible ang mga formula na ito, kung ang diskriminasyon ay mas malaki kaysa sa zero, upang matukoy ang parehong tunay na ugat. Kapag ang discriminant ay zero, ang aplikasyon ng parehong mga formula ay magbibigay ng parehong ugat bilang ang tanging solusyon sa quadratic equation. Sa kaso kapag ang diskriminasyon ay negatibo, sinusubukan na gamitin ang root formula ng quadratic equation, makatagpo kami ng pangangailangan upang kunin ang parisukat na ugat ng isang negatibong numero, na hahantong sa amin na lampas sa saklaw ng mga tunay na numero. Kung negatibo ang negatibo, ang pagkakapareho ng parisukat ay walang tunay na mga ugat, ngunit posible ang isang pares ng mga kumplikadong ugat ng conjugate, na tinutukoy ng parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga equation ng quadratic sa pamamagitan ng mga formula ng ugat

Posible na malutas ang equation ng quadratic sa pamamagitan ng agad na paglalapat ng formula ng ugat, ngunit talaga, kung kinakailangan, makahanap ng mga kumplikadong ugat.

Sa karamihan ng mga kaso, ang paghahanap para sa hindi kumplikado, ngunit ang tunay na mga ugat ng quadratic equation ay karaniwang ipinahiwatig. Pagkatapos ito ay pinakamainam, bago gamitin ang mga pormula ng mga ugat ng quadratic equation, upang matukoy muna ang diskriminasyon at tiyakin na hindi ito negatibo (kung hindi man, tapusin namin na ang equation ay walang tunay na ugat), at pagkatapos ay magpatuloy upang makalkula ang mga halaga ng mga ugat.

Ang pangangatuwiran sa itaas ay ginagawang posible upang magbalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng equation ng quadratic.

Kahulugan 10

Upang malutas ang equation ng quadratic   isang x 2 + b x x + c \u003d 0kinakailangan:

• ayon sa pormula   D \u003d b 2 - 4  hanapin ang kahulugan ng discriminant;
• sa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• para sa D \u003d 0, hanapin ang natatanging ugat ng equation ng formula x \u003d - b 2 · a;
• para sa D\u003e 0, matukoy ang dalawang totoong ugat ng equation ng quadratic sa pamamagitan ng formula x \u003d - b ± D 2 · a.

Tandaan na kapag ang diskriminante ay zero, maaari mong gamitin ang pormula x \u003d - b ± D 2 · a, bibigyan nito ang parehong resulta ng formula x \u003d - b 2 · a.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation ng quadratic

Nagbibigay kami ng isang solusyon ng mga halimbawa para sa iba't ibang mga halaga ng discriminant.

Halimbawa 6

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng equation   x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Solusyon

Sinusulat namin ang mga numerong coefficient ng quadratic equation: a \u003d 1, b \u003d 2 at   c \u003d - 6. Susunod, kumilos kami ayon sa algorithm, i.e. nagpapatuloy kami upang makalkula ang diskriminasyon, kung saan pinapalitan namin ang mga koepisyent a, b at   c  sa diskriminanteng pormula:   D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Kaya, nakuha namin ang D\u003e 0, na nangangahulugang ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang tunay na ugat.
  Upang mahanap ang mga ito, ginagamit namin ang root formula x \u003d - b ± D 2 · a at, paghahalili ng mga kaukulang halaga, nakuha namin: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Pasimplehin ang nagresultang expression sa pamamagitan ng pagkuha ng kadahilanan sa pamamagitan ng pag-sign ng ugat at pagkatapos ay bawasan ang bahagi:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 o x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 o x \u003d - 1 - 7

Ang sagot ay:  x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Halimbawa 7

Kinakailangan upang malutas ang equation ng quadratic   - 4x 2 + 28x - 49 \u003d 0.

Solusyon

Tukuyin ang discriminant:   D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Sa pamamagitan ng diskriminasyong halaga na ito, ang orihinal na equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat, na tinutukoy ng formula x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Ang sagot ay:   x \u003d 3, 5.

Halimbawa 8

Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation   5y 2 + 6y + 2 \u003d 0

Solusyon

Ang mga numerong coefficient ng equation na ito ay: a \u003d 5, b \u003d 6, at c \u003d 2. Ginagamit namin ang mga halagang ito upang mahanap ang may diskriminasyon: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Ang kinakalkula na diskriminasyon ay negatibo, kaya ang orihinal na pagkakapareho ng parisukat ay walang tunay na ugat.

Sa kaso kapag ang gawain ay upang magpahiwatig ng mga kumplikadong mga ugat, inilalapat namin ang root formula sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga aksyon na may mga kumplikadong numero:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · i 10 o x \u003d - 6 - 2 · i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i o x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Ang sagot ay:  walang wastong mga ugat; ang mga kumplikadong ugat ay ang mga sumusunod: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Sa kurikulum ng paaralan, walang pamantayang kinakailangan upang maghanap para sa mga kumplikadong ugat, samakatuwid, kung sa panahon ng solusyon ang diskriminasyon ay tinukoy bilang negatibo, ang tugon ay agad na naitala na walang tunay na mga ugat.

Ang pormula ng ugat para sa kahit pangalawang koepisyent

Ang pormula ng ugat x \u003d - b ± D 2 · a (D \u003d b 2 - 4 · a · c) ginagawang posible upang makakuha ng isa pang mas compact na pormula na nagbibigay-daan sa isa upang makahanap ng mga solusyon ng mga parisukat na equation na may isang kahit na koepisyent sa x (o may isang koepisyent ng form 2 · n, halimbawa, 2 · 3 o 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Ipakita natin kung paano nagmula ang pormula na ito.

Ipaalam sa amin ang gawain ng paghahanap ng isang solusyon sa kuwadradong equation a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Kumilos kami ayon sa algorithm: matukoy ang discriminant D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c), at pagkatapos ay gamitin ang root formula:

x \u003d - 2 · n ± D 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - n ± n 2 - a

Hayaan ang expression n 2 - a · c ay itinalaga bilang D 1 (kung minsan ito ay tinukoy ng D "). Kung gayon ang pormula ng mga ugat ng quadratic equation sa ilalim ng pagsasaalang-alang sa ikalawang koepisyentidad 2 · n ay tumatagal ng form:

x \u003d - n ± D 1 a, kung saan D 1 \u003d n 2 - a · c.

Madali itong makita na D \u003d 4 · D 1, o D 1 \u003d D 4. Sa madaling salita, ang D 1 ay isang quarter ng discriminant. Malinaw, ang pag-sign ng D 1 ay pareho sa pag-sign ng D, na nangangahulugang ang pag-sign ng D 1 ay maaari ring magsilbing isang tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng equation ng quadratic.

Kahulugan 11

Sa gayon, upang makahanap ng solusyon sa kuwadradong equation na may pangalawang koepisyent ng 2 · n, kinakailangan:

• hanapin D 1 \u003d n 2 - a · c;
• sa D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kung D 1 \u003d 0, alamin ang natatanging ugat ng equation ng formula x \u003d - n a;
• para sa D 1\u003e 0, matukoy ang dalawang tunay na ugat ng pormula x \u003d - n ± D 1 a.

Halimbawa 9

Kinakailangan upang malutas ang equation ng quadratic 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Solusyon

Ang pangalawang koepisyent ng naibigay na equation ay maaaring kinakatawan bilang 2 · (- 3). Pagkatapos ay muling isulat namin ang ibinigay na quadratic equation bilang 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, kung saan ang isang \u003d 5, n \u003d - 3 at c \u003d - 32.

Kinakalkula namin ang ika-apat na bahagi ng discriminant: D 1 \u003d n 2 - a · c \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Ang nagresultang halaga ay positibo, na nangangahulugang ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Tinukoy namin ang mga ito ayon sa kaukulang pormula ng ugat:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 o x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 o x \u003d - 2

Posible na gumawa ng mga kalkulasyon gamit ang karaniwang formula ng mga ugat ng quadratic equation, ngunit sa kasong ito ang solusyon ay magiging mas mahirap.

Ang sagot ay:  x \u003d 3 1 5 o x \u003d - 2.

Ang pagpapasimple ng anyo ng mga equation ng quadratic

Minsan posible na mai-optimize ang form ng orihinal na equation, na gawing simple ang proseso ng pagkalkula ng mga ugat.

Halimbawa, ang equation ng quadratic 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 ay malinaw na mas maginhawa para sa paglutas kaysa sa 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Mas madalas, ang pagpapasimple ng anyo ng equation ng quadratic ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga aksyon ng pagpaparami o paghati sa parehong mga bahagi nito sa isang tiyak na numero. Halimbawa, sa itaas ay ipinakita namin ang isang pinasimple na notasyon ng equation 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, na nakuha sa pamamagitan ng paghati sa parehong mga bahagi nito sa 100.

Ang ganitong pagbabagong-anyo ay posible kapag ang mga coefficient ng quadratic equation ay hindi coprime. Pagkatapos ay karaniwang hatiin nila ang parehong mga bahagi ng equation sa pamamagitan ng pinakamalaking karaniwang divisor ng ganap na mga halaga ng mga koepisyente.

Bilang isang halimbawa, ginagamit namin ang kuwadradong equation 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Tinukoy namin ang GCD ng mga ganap na halaga ng mga koepisyente: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Hinahati namin ang magkabilang panig ng orihinal na equation ng quadratic sa pamamagitan ng 6 at nakuha ang katumbas na parisukat na parisukat na quadratic 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation ng quadratic, ang mga fractional coefficients ay karaniwang tinanggal. Sa kasong ito, dumarami sa pamamagitan ng hindi bababa sa karaniwang mga maramihang mga denominator ng mga koepisyente. Halimbawa, kung ang bawat bahagi ng equation ng kuwadratik 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 ay pinarami ng NOC (6, 3, 1) \u003d 6, pagkatapos ay isusulat ito sa isang mas simpleng pormula x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Sa konklusyon, tandaan namin na halos palaging mapupuksa ang minus na may unang koepisyent ng kuwadradong equation, binabago ang mga palatandaan ng bawat miyembro ng equation, na nakamit sa pamamagitan ng pagpaparami (o paghati) sa parehong mga bahagi sa pamamagitan ng -1. Halimbawa, mula sa pagkakapareho ng quadratic - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, maaari kang pumunta sa pinasimple nitong bersyon 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Ang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at koepisyent

Ang pormula ng mga ugat ng mga equation ng quadratic x \u003d - b ± D 2 · isang kilalang kilala sa amin ay nagpapahiwatig ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga numerong coefficients nito. Batay sa pormula na ito, nagagawa naming tukuyin ang iba pang mga dependencies sa pagitan ng mga ugat at coefficients.

Ang pinakatanyag at naaangkop ay ang mga pormula ng teorema ng Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a at x 2 \u003d c a.

Sa partikular, para sa equation ng quadratic na ibinigay, ang kabuuan ng mga ugat ay pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng term. Halimbawa, sa pamamagitan ng form ng kuwadradong equation 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, agad na matukoy na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7 3 at ang produkto ng mga ugat ay 22 3.

Maaari ka ring makahanap ng isang bilang ng iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng quadratic equation. Halimbawa, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang kuwadradong equation ay maaaring ipahiwatig sa mga tuntunin ng mga koepisyente:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca 2.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Ang hindi kumpletong mga equation ng quadratic ay naiiba sa klasikal (kumpleto) na mga equation na ang mga kadahilanan o libreng term ay katumbas ng zero. Ang graph ng naturang pag-andar ay parabolas. Depende sa pangkalahatang hitsura, nahahati sila sa 3 grupo. Ang mga prinsipyo ng solusyon ay pareho para sa lahat ng mga uri ng mga equation.

Walang kumplikado sa pagtukoy ng uri ng isang hindi kumpletong polynomial. Pinakamabuting isaalang-alang ang pangunahing pagkakaiba sa mga halimbawa ng nakalarawan:

1. Kung b \u003d 0, kung gayon ang equation ay may form ax 2 + c \u003d 0.
2. Kung c \u003d 0, kung gayon ang expression axis 2 + bx \u003d 0 ay dapat malutas.
3. Kung b \u003d 0 at c \u003d 0, pagkatapos ang polynomial ay nagiging pagkakapantay-pantay ng uri ng ax 2 2 0.

Ang huling kaso ay sa halip isang posibilidad ng teoretikal at hindi kailanman nangyayari sa mga gawain para sa pagsubok sa kaalaman, dahil ang tanging tunay na halaga ng variable x sa expression ay zero. Sa hinaharap, ang mga pamamaraan at halimbawa ng paglutas ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic na 1) at 2) ay isasaalang-alang.

Pangkalahatang variable ng paghahanap ng algorithm at mga halimbawa ng solusyon

Anuman ang uri ng equation, ang algorithm ng solusyon ay nabawasan sa mga sumusunod na hakbang:

1. Dalhin ang expression sa isang hitsura maginhawa para sa paghahanap ng mga ugat.
2. Gumawa ng mga kalkulasyon.
3. Itala ang sagot.

Ang hindi kumpletong mga equation ay pinaka madaling malutas sa pamamagitan ng pag-alam sa kaliwang bahagi at nag-iiwan ng zero sa kanan. Kaya, ang pormula para sa isang hindi kumpletong kuwadradong equation para sa paghahanap ng mga ugat ay binabawasan sa pagkalkula ng halaga ng x para sa bawat isa sa mga kadahilanan.

Ang pag-aaral kung paano malutas ito ay maaari lamang gawin sa pagsasagawa, kaya isaalang-alang ang isang tiyak na halimbawa ng paghahanap ng mga ugat ng isang hindi kumpletong equation:

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito b \u003d 0. Factor sa kaliwang bahagi at makuha ang expression:

4 (x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) \u003d 0.

Malinaw, ang produkto ay zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay zero. Ang mga halaga ng variable x1 \u003d 0.5 at (o) x2 \u003d -0.5 nakakatugon sa magkatulad na kinakailangan.

Upang madali at mabilis na makayanan ang gawain ng pagpapatunay ng isang parisukat na trinomial, dapat tandaan ng isa ang sumusunod na pormula:

Kung ang expression ay walang libreng termino, ang gawain ay lubos na pinasimple. Ito ay sapat na lamang upang mahanap at bracket ang karaniwang denominador. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang isang halimbawa kung paano malutas ang hindi kumpletong mga parisukat na parisukat ng form ax2 + bx \u003d 0.

Ilagay ang variable x sa bracket at makuha ang sumusunod na expression:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Gabay sa lohika, tapusin namin na x1 \u003d 0, at x2 \u003d -3.

Ang tradisyunal na paraan ng paglutas at hindi kumpleto na mga equation ng kuwadratik

Ano ang mangyayari kung ilalapat natin ang diskriminanteng pormula at subukan upang mahanap ang mga ugat ng polynomial, na may mga koepisyent na katumbas ng zero? Kumuha tayo ng isang halimbawa mula sa koleksyon ng mga tipikal na gawain para sa PAGGAMIT sa matematika 2017, malutas natin ito gamit ang mga karaniwang pormula at ang pamamaraan ng factorization.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Kinakalkula namin ang halaga ng mga discriminant: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Ito ay lumiliko na ang polynomial ay may dalawang ugat:

Ngayon, lutasin ang equation sa pamamagitan ng factoring at ihambing ang mga resulta.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
  7x \u003d -3,
  x \u003d -.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga pamamaraan ay nagbibigay ng parehong resulta, ngunit ang paglutas ng equation sa pamamagitan ng pangalawang pamamaraan ay naging mas madali at mas mabilis.

Vieta Theorem

Ngunit ano ang gagawin sa paboritong teorema ni Vieta? Maaari bang gamitin ang pamamaraang ito sa isang hindi kumpletong trinomial? Subukan nating maunawaan ang mga aspeto ng pagbabawas ng hindi kumpletong mga equation sa klasikal na form ax2 + bx + c \u003d 0.

Sa katunayan, posible na mag-aplay sa teorema ng Vieta sa kasong ito. Kinakailangan lamang na dalhin ang expression sa isang pangkalahatang form, pinapalitan ang nawawalang mga term sa zero.

Halimbawa, para sa b \u003d 0 at isang \u003d 1, upang maalis ang posibilidad ng pagkalito, isulat ang gawain sa anyo: ax2 + 0 + c \u003d 0. Kung gayon ang ratio ng kabuuan at produkto ng mga ugat at mga kadahilanan ng polynomial ay maaaring ipahiwatig tulad ng sumusunod:

Ang mga kalkulasyong teoretikal ay nakakatulong upang makilala ang kakanyahan ng isyu, at palaging nangangailangan ng pagbuo ng mga kasanayan sa paglutas ng mga tiyak na problema. Muli kaming bumaling sa sangguniang aklat ng mga karaniwang gawain para sa pagsusulit at makahanap ng isang angkop na halimbawa:

Isinulat namin ang expression sa isang form na maginhawa para sa paglalapat ng teorema ng Vieta:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Ang susunod na hakbang ay ang lumikha ng isang sistema ng mga kondisyon:

Malinaw, ang mga ugat ng parisukat na polynomial ay x 1 \u003d 4 at x 2 \u003d -4.

Ngayon, magsanay tayo na dalhin ang equation sa isang pangkalahatang form. Dalhin ang sumusunod na halimbawa: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

Upang mailapat ang teorema ng Vieta sa pagpapahayag, kinakailangan na mapupuksa ang maliit na bahagi. Pinalaki namin ang kaliwa at kanang panig ng 4, at tiningnan ang resulta: x2–4 \u003d 0. Ang nagreresultang pagkakapantay-pantay ay handa na malutas ng teorya ng Vieta, ngunit mas madali at mas mabilis na makuha ang sagot sa pamamagitan lamang ng paglipat ng c \u003d 4 sa kanang bahagi ng equation: x2 \u003d 4.

Ang pagmumungkahi, dapat itong sabihin na ang pinakamahusay na paraan upang malutas ang hindi kumpletong mga equation ay factorization, ito ang pinakasimpleng at pinakamabilis na pamamaraan. Kung nakakaharap ka ng mga paghihirap sa proseso ng paghahanap ng mga ugat, maaari kang lumiko sa tradisyunal na pamamaraan ng paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng diskriminasyon.

Makikipagtulungan kami quadratic equation. Ito ay napaka-tanyag na mga equation! Sa pinaka pangkalahatang anyo nito, ang katumbas na kuwadradong ito ay ganito:

Halimbawa:

Dito ngunit =1; b = 3; c = -4

Dito ngunit =2; b = -0,5; c = 2,2

Dito ngunit =-3; b = 6; c = -18

Well, nakukuha mo ang punto ...

Paano malulutas ang mga equation ng quadratic?  Kung nakikita mo ang kuwadradong equation sa form na ito, kung gayon ang lahat ay simple. Alalahanin ang salitang magic may diskriminasyon . Ang isang bihirang estudyante ng high school ay hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "magpasiya sa pamamagitan ng diskriminasyon" ay pumukaw ng kumpiyansa at naghihikayat. Dahil hindi mo na kailangang maghintay ng mga trick mula sa discriminant! Ito ay simple at walang problema na mahawakan. Kaya, ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng kuwadradong equation ay ganito:

Ang expression sa ilalim ng pag-sign ng ugat ay pareho may diskriminasyon. Tulad ng nakikita mo, upang mahanap ang x, ginagamit namin lamang a, b at c. I.e. coefficient mula sa equation ng kuwadratik. Malumanay lamang na kapalit ang mga halaga a, b at c  sa pormula na ito at isaalang-alang. Kapalit sa iyong mga palatandaan!   Halimbawa, para sa unang equation ngunit =1; b = 3; c  \u003d -4. Kaya sumulat kami:

Ang halimbawa ay halos lutasin:

Iyon lang.

Anong mga kaso ang posible kapag gumagamit ng formula na ito? Tatlong kaso lang.

1. Ang diskriminaryo ay positibo. Nangangahulugan ito na ang isang ugat ay maaaring makuha mula dito. Ang mahusay na ugat ay nakuha, o masama - isa pang tanong. Mahalaga na nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang mga ugat. Dalawang magkakaibang solusyon.

2. Ang discriminant ay zero. Pagkatapos ay mayroon kang isang solusyon. Mahigpit na pagsasalita, hindi ito isang ugat, ngunit dalawang magkapareho. Ngunit ito ay gumaganap ng isang papel sa hindi pagkakapantay-pantay, doon natin pag-aralan ang isyu nang mas detalyado.

3. Ang diskriminaryo ay negatibo. Mula sa isang negatibong numero, ang square root ay hindi nakuha. Well, okay lang. Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Ang lahat ay napaka-simple. At ano, sa palagay mo, ay hindi maaaring magkakamali? Well, oo ...
  Ang pinaka-karaniwang pagkakamali ay pagkalito sa mga palatandaan ng halaga a, b at c. Sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan doon malilito?), Ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa formula para sa pagkalkula ng mga ugat. Narito nai-save ang isang detalyadong entry ng formula na may mga tiyak na numero. Kung may mga problema sa mga kalkulasyon, kaya gawin mo!

Ipagpalagay na kailangan nating malutas ang gayong halimbawa:

Dito isang \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1

Ipagpalagay na alam mong bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Ang pagsulat ng dagdag na linya ay tatagal ng 30 segundo at ang bilang ng mga pagkakamali tumulo nang matalim. Kaya't isinulat namin nang detalyado, kasama ang lahat ng mga bracket at mga palatandaan:

Mukhang hindi kapani-paniwalang mahirap ipinta nang maingat. Ngunit ito ay tila lamang. Subukan mo ito Well, o pumili. Alin ang mas mahusay, mabilis, o tama? Bilang karagdagan, gagawin kitang masaya. Pagkaraan ng ilang sandali, hindi na kailangang ipinta ang lahat nang maingat. Ito ay tama nang tama. Lalo na kung mag-apply ka ng mga praktikal na pamamaraan, na kung saan ay inilarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawa na ito na may isang bungkos ng mga minus ay malulutas nang madali at walang mga pagkakamali!

Kaya kung paano malutas ang mga equation ng quadratic  sa pamamagitan ng discriminant na naalala namin. O natutunan, na hindi rin masama. Alamin kung paano matukoy a, b at c. Alam mo kung paano maingat  palitan ang mga ito sa root formula at maingat  bilangin ang resulta. Naiintindihan mo na ang pangunahing salita dito maingat?

Gayunpaman, madalas na magkakaiba ang hitsura ng mga parisukat na parisukat. Halimbawa, tulad nito:

Ito ay hindi kumpleto na mga equation ng quadratic . Maaari rin silang malutas sa pamamagitan ng diskriminasyon. Kailangan mo lamang malaman kung ano ang mga pantay-pantay dito a, b at c.

Nalaman mo ba? Sa unang halimbawa isang \u003d 1; b \u003d -4;  ngunit c? Wala na siya! Well oo, tama. Sa matematika, nangangahulugan ito na c \u003d 0 ! Iyon lang. Palitin ang zero sa formula c  at magtatagumpay tayo. Katulad din sa pangalawang halimbawa. Ang zero lang dito ay hindi kasama, at b !

Ngunit ang hindi kumpletong kuwadrong mga equation ay maaaring malutas nang mas madali. Nang walang anumang diskriminasyon. Isaalang-alang ang unang hindi kumpletong equation. Ano ang maaaring gawin doon sa kaliwang bahagi? Maaari mong ilagay ang X sa labas ng mga bracket! Ilabas natin ito.

At ano ito? At ang katotohanan na ang produkto ay katumbas ng zero noon, at kapag ang alinman sa mga kadahilanan ay pantay sa zero! Hindi naniniwala? Kaya, pagkatapos ay makabuo ng dalawang nonzero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
  Hindi gumagana Ito na ...
  Samakatuwid, maaari kaming kumpiyansa na sumulat: x \u003d 0, o x \u003d 4

Iyon lang. Ito ang magiging ugat ng ating equation. Parehong magkasya. Pagsusulat ng anuman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha namin ang tamang pagkakakilanlan 0 \u003d 0. Tulad ng nakikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa pamamagitan ng diskriminasyon.

Ang pangalawang equation ay maaari ring malutas nang simple. Ilipat ang 9 sa kanan. Nakukuha namin:

Ito ay nananatiling i-extract ang ugat mula sa 9, at iyon iyon. Ito ay magiging:

Dalawang ugat din . x \u003d +3 at x \u003d -3.

Sa gayon, ang lahat ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic ay malulutas. Alinman sa pamamagitan ng paglalagay ng x sa labas ng mga bracket, o sa pamamagitan lamang ng paglipat ng numero sa kanan, kasunod ng pagkuha ng ugat.
  Ang pagkalito sa mga trick na ito ay napakahirap. Dahil lamang sa unang kaso kakailanganin mong kunin ang ugat mula sa X, na kung saan ay hindi maiintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang ilalagay sa mga bracket ...

Ngayon, tandaan ang mga praktikal na pamamaraan na kapansin-pansing bawasan ang bilang ng mga pagkakamali. Ang mismong mga dahil sa kawalang-ingat. ... Kung saan ito ay mangyayari na maging masakit at mapanlait ...

Unang pagtanggap. Huwag maging tamad bago malutas ang equation ng kuwadratik upang dalhin ito sa isang karaniwang form. Ano ang ibig sabihin nito?
  Ipagpalagay, pagkatapos ng lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha mo ang equation na ito:

Huwag magmadali upang isulat ang pormula ng mga ugat! Halos tiyak, ihahalo mo ang mga logro   a, b at c. Itayo ang halimbawa nang tama. X unang parisukat, pagkatapos ay walang isang parisukat, pagkatapos ay isang libreng miyembro. Tulad nito:

At muli, huwag magmadali! Ang minus sa harap ng X sa parisukat ay maaaring talagang mapabagabag ka. Nakalimutan ito ay madali ... Alisin ang minus. Paano? Oo, tulad ng itinuro sa nakaraang paksa! Ito ay kinakailangan upang maparami ang buong equation sa pamamagitan ng -1. Nakukuha namin:

At ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, isaalang-alang ang diskriminasyon at kumpletuhin ang halimbawa. Gawin mo ang iyong sarili. Dapat kang makakuha ng mga ugat 2 at -1.

Ang pagtanggap ng pangalawa.  Suriin ang mga ugat! Sa pamamagitan ng teorema ng Vieta. Huwag matakot, ipapaliwanag ko ang lahat! Suriin ang huli  equation. I.e. ang isa kung saan sinulat namin ang root formula. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang koepisyent isang \u003d 1Madaling suriin ang mga ugat. Ito ay sapat na upang maparami ang mga ito. Dapat kang makakuha ng isang libreng term, i.e. sa ating kaso, -2. Mangyaring tandaan, hindi 2, ngunit -2! Libreng miyembro gamit ang tanda mo . Kung hindi ito gumana, nangangahulugan ito na nagulo na sila sa kung saan. Maghanap ng isang pagkakamali. Kung gumagana ito, kailangan mong ihiga ang mga ugat. Huling at panghuling tseke. Dapat kang makakuha ng isang koepisyent b  kasama kabaligtaran   pamilyar Sa aming kaso, -1 + 2 \u003d +1. Isang koepisyent bna bago ang x ay -1. Kaya, tama!
  Nakakalungkot na ito ay sobrang simple lamang para sa mga halimbawa kung saan malinis ang x square, na may koepisyent isang \u003d 1.  Ngunit hindi bababa sa suriin sa mga naturang equation! Magkakaroon ng mas kaunting mga pagkakamali.

Pangatlong pagtanggap. Kung ang iyong equation ay may fractional coefficients, alisin ang mga praksyon! I-Multiply ang equation ng karaniwang denominator tulad ng inilarawan sa nakaraang seksyon. Kapag nagtatrabaho sa mga praksiyon ng isang error, sa ilang kadahilanan umakyat sila ...

Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko na gawing simple ang isang masamang halimbawa na may isang grupo ng mga minus. Mangyaring! Doon siya.

Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation sa pamamagitan ng -1. Nakukuha namin:

Iyon lang ang lahat! Ang paglutas ay isang kasiyahan!

Kaya, upang buod ang paksa.

Mga praktikal na tip:

1. Bago ang solusyon ay dinala namin ang kuwadradong equation sa karaniwang form, itinatayo namin ito tama.

2. Kung mayroong negatibong koepisyent sa harap ng x-square, inaalis natin ito sa pamamagitan ng pagdaragdag ng buong equation sa pamamagitan ng -1.

3. Kung ang coefficients ay fractional, tinanggal namin ang mga praksyon sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation ng kaukulang kadahilanan.

4. Kung puro ang x parisukat, ang koepisyent ay pantay sa pagkakaisa, ang solusyon ay madaling suriin ng teorema ng Vieta. Gawin mo!

Fractional equation. DLD.

Patuloy kaming namamalayan ang mga equation. Alam na natin kung paano magtrabaho kasama ang mga pagkakatugma sa linear at quadratic. Nanatili ang huling view - fractional equation. O tinatawag din silang mas matatag - fractional rational equation. Ito ay isa at pareho.

Fractional equation.

Tulad ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang mga praksyon ay kinakailangang naroroon sa mga equation na ito. Ngunit hindi lamang mga praksiyon, kundi mga praksiyon na mayroon hindi kilala sa denominador. Hindi bababa sa isa. Halimbawa:

Naaalala ko kung sa mga denominador lamang ang mga numero, ang mga ito ay mga guhit na equation.

Paano magpasya fractional equation? Una sa lahat, alisin ang mga praksyon! Pagkatapos nito, ang equation na madalas na lumiliko sa linear o square. At pagkatapos ay alam natin kung ano ang gagawin ... Sa ilang mga kaso, maaari itong maging isang pagkakakilanlan, tulad ng 5 \u003d 5 o isang hindi tamang expression, tulad ng 7 \u003d 2. Ngunit bihirang mangyari ito. Sa ibaba ay babanggitin ko ito.

Ngunit paano mapupuksa ang mga praksyon!? Napakasimple. Paglalapat ng lahat ng magkaparehong magkaparehong pagbabago.

Kailangan nating dumami ang buong equation sa pamamagitan ng parehong expression. Upang ang lahat ng mga denominador ay nabawasan! Ang lahat ay agad na magiging madali. Nagpapaliwanag ako sa isang halimbawa. Kailangan nating malutas ang equation:

Paano itinuro sa elementarya? Inilipat namin ang lahat sa isang direksyon, humantong sa isang karaniwang denominador, atbp. Kalimutan tulad ng isang bangungot! Ito ang kailangan mong gawin kapag nagdagdag ka o ibawas ang mga fractional expression. O magtrabaho sa mga hindi pagkakapantay-pantay. At sa mga equation, agad naming pinarami ang magkabilang panig sa pamamagitan ng isang expression na magbibigay sa amin ng pagkakataon na mabawasan ang lahat ng mga denominador (i.e., sa esensya, ng isang karaniwang denominador). At ano ang expression na ito?

Sa kaliwang bahagi, upang mabawasan ang denominator, ang pagdami ng x + 2  . At sa kanan kailangan mong dumami ng 2. Samakatuwid, ang equation ay dapat na dumami 2 (x + 2). Maramihang:

Ito ang karaniwang pagdaragdag ng mga praksyon, ngunit isusulat ko nang detalyado:

Mangyaring tandaan, hindi ko pa buksan ang bracket (x + 2)! Kaya, sa kabuuan, isinusulat ko ito:

Ang kaliwang bahagi ay nabawasan nang buo (x + 2), at nasa tamang 2. Ano ang kinakailangan! Pagkatapos ng pagbabawas, nakukuha namin linear  equation:

At lahat ay malulutas ang equation na ito! x \u003d 2.

Malutas natin ang isa pang halimbawa, isang maliit na mas kumplikado:

Kung maaalala natin ang 3 \u003d 3/1, at 2x \u003d 2x /1, maaari kang sumulat:

At muli namin tinanggal ang hindi namin gusto - mula sa mga praksyon.

Nakita namin na upang mabawasan ang denominator na may x, kailangan nating dagdagan ang maliit na bahagi (x - 2). At ang mga yunit ay hindi hadlang sa amin. Well, dumami. Sa buong  kaliwang bahagi at lahat  kanang bahagi:

Mga Bracket ulit (x - 2)  Hindi ko ibunyag. Nagtatrabaho ako sa bracket bilang isang buo, na parang isang solong numero! Dapat itong palaging gawin, kung hindi man ay mabawasan.

Sa isang pakiramdam ng labis na kasiyahan naputol kami (x - 2)  at makuha ang equation nang walang anumang mga praksyon, sa namumuno!

At ngayon binubuksan namin ang mga bracket:

Nagbibigay kami ng mga katulad nito, ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi at makuha:

Ang klasikong kuwadradong equation. Ngunit ang minus maaga ay hindi maganda. Maaari mong laging mapupuksa ito sa pamamagitan ng pagpaparami o paghahati ng -1. Ngunit kung titingnan mo nang mabuti ang halimbawa, mapapansin mo na pinakamahusay na hatiin ang equation na ito sa pamamagitan ng -2! Sa isang nahulog na swoop, mawawala ang minus, at magiging mas maganda ang mga logro! Hatiin -2. Sa kaliwang bahagi - term, at sa kanan - hatiin lamang ng zero sa pamamagitan ng -2, zero at makuha:

Malutas namin ito sa pamamagitan ng diskriminasyon at i-verify ng teorema ng Vieta. Kumuha kami x \u003d 1 at x \u003d 3. Dalawang ugat.

Tulad ng nakikita mo, sa unang kaso, ang equation pagkatapos ng pagbabago ay naging linear, ngunit narito - parisukat. Ito ay nangyayari na pagkatapos mapupuksa ang mga praksyon, ang lahat ng mga X ay nabawasan. Mayroong nananatiling isang bagay tulad ng 5 \u003d 5. Nangangahulugan ito na x ay maaaring maging anumang. Kung anuman ito, magkakasundo pa rin ito. At ang tunay na katotohanan ay lilipas, 5 \u003d 5. Ngunit, pagkatapos mapupuksa ang mga praksiyon, maaari itong maging ganap na hindi totoo, uri ng 2 \u003d 7. At ibig sabihin iyon walang solusyon! Sa anumang X, lumiliko ito.

Napagtanto ang pangunahing solusyon fractional equation? Ito ay simple at lohikal. Binago namin ang orihinal na expression upang ang lahat na hindi namin gusto mawala. O nakakasagabal. Sa kasong ito, ito ay mga praksiyon. Sa parehong paraan ay gagawin natin sa lahat ng uri ng mga kumplikadong halimbawa na may mga logarithms, kasalanan at iba pang mga kakila-kilabot. Kami palagi  tatanggalin natin ang lahat ng ito.

Gayunpaman, kailangan nating baguhin ang orihinal na expression sa direksyon na kailangan natin sa pamamagitan ng mga patakaran, oo ... Ang pag-unlad ng kung saan ay ang paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. Kaya master.

Ngayon matututunan natin kung paano makakapunta sa isa sa pangunahing ambushes sa pagsusulit! Ngunit una, tingnan natin kung nakapasok ka o hindi.

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa:

Ang bagay ay pamilyar na, pinarami namin ang parehong mga bahagi (x - 2)nakukuha namin:

Ipaalala sa mga bracket (x - 2)  nagtatrabaho kami tulad ng isa, integral na expression!

Dito hindi ako nagsulat ng isang pagkakaisa sa mga denominador, hindi ito solid ... At hindi ako gumuhit ng mga bracket sa mga denominador, maliban sa x - 2  wala, hindi ka maaaring gumuhit. Paikliin:

Binubuksan namin ang mga bracket, ilipat ang lahat sa kaliwa, bigyan ang mga katulad:

Nagpapasya kami, suriin, nakakakuha kami ng dalawang ugat. x \u003d 2  at x \u003d 3. Mahusay.

Ipagpalagay na ang gawain ay nagsasabi na isulat ang ugat, o ang kanilang kabuuan, kung mayroong higit sa isang ugat. Ano ang isusulat natin?

Kung magpapasya ka na ang sagot ay 5, ikaw ay ambush. At ang gawain ay hindi mabibilang sa iyo. Nagtrabaho sila nang walang kabuluhan ... Ang tamang sagot ay 3.

Ano bang bagay ?! At sinubukan mong gumawa ng isang tseke. Mapalit ang hindi kilalang mga halaga sa pinagmulan  isang halimbawa. At kung sa x \u003d 3  lahat ng bagay ay magtutulungan nang kamangha-mangha, nakakakuha tayo ng 9 \u003d 9, pagkatapos ay x \u003d 2  makakuha ng dibisyon sa pamamagitan ng zero! Ano ang hindi maaaring gawin ayon sa kategorya. Nangangahulugan x \u003d 2 hindi ito isang solusyon, at hindi isinasaalang-alang sa sagot. Ito ang tinatawag na extraction o labis na ugat. Ibagsak lang namin ito. Ang pangwakas na ugat ay isa. x \u003d 3.

Paano kaya ?! - Naririnig ko ang mga galit na libog. Tinuruan kami na ang isang equation ay maaaring dumami ng isang expression! Ito ay isang magkaparehong pagbabagong-anyo!

Oo, magkapareho. Sa ilalim ng isang maliit na kondisyon - ang expression na kung saan namin dumarami (hatiin) - nonzero. A x - 2  sa x \u003d 2  pantay sa zero! Kaya lahat ay patas.

At ano ang gagawin ngayon ?! Huwag magparami sa pamamagitan ng pagpapahayag? Suriin mo ba ang bawat oras? Muli hindi maintindihan!

Huminahon Walang gulat!

Sa mahirap na sitwasyong ito, ang tatlong magic sulat ay magliligtas sa amin. Alam ko ang naisip mo. Tama! Ito ay DLD . Wastong Mga Pinahahalagahang Area

Inaasahan ko, sa pag-aralan ang artikulong ito, malalaman mong hanapin ang mga ugat ng buong kuwadradong equation.

Sa tulong ng diskriminasyon, ang kumpletong mga equation na parisukat ay nalulutas; upang malutas ang hindi kumpletong mga equation ng quadratic, ginagamit ang iba pang mga pamamaraan, na makikita mo sa artikulong "Paglutas ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic."

Anong mga equation ng quadratic ang tinatawag na kumpleto? Ito ay mga equation ng form ax 2 + b x + c \u003d 0, kung saan ang mga koepisyent a, b at c ay hindi katumbas ng zero. Kaya, upang malutas ang kumpletong kuwadrong equation, dapat nating kalkulahin ang discriminant D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Depende sa kahalagahan ng discriminant, isusulat namin ang sagot.

Kung ang discriminant ay isang negatibong numero (D< 0),то корней нет.

Kung ang discriminant ay pantay sa zero, pagkatapos x \u003d (-b) / 2a. Kapag ang discriminant ay isang positibong numero (D\u003e 0),

pagkatapos x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, at x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Halimbawa.   Malutas ang equation x 2  - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Sagot: 2.

Malutas ang Equation 2 x 2   + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

  Sagot: walang mga ugat.

Malutas ang Equation 2 x 2   + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Sagot: - 3.5; 1.

Kaya, isipin ang solusyon ng kumpletong mga equation ng quadratic ng circuit sa Figure 1.

Gamit ang mga formula na ito, maaari mong malutas ang anumang kumpletong equation ng quadratic. Kailangan mo lamang na maingat na subaybayan iyon ang equation ay isinulat bilang isang pamantayang polynomial

ngunit x 2   + bx + c,  kung hindi man maaari kang magkamali. Halimbawa, sa talaan ng equation x + 3 + 2x 2 \u003d 0, maaari itong mali na napagpasyahan iyon

a \u003d 1, b \u003d 3 at c \u003d 2. Pagkatapos

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 at pagkatapos ay ang equation ay may dalawang ugat. At hindi ito totoo. (Tingnan ang solusyon ng halimbawa 2 sa itaas).

Samakatuwid, kung ang equation ay hindi isinulat ng isang polynomial ng standard form, una ang buong quadratic equation ay dapat isulat ng isang polynomial ng standard form (sa unang lugar ay dapat na isang monomial na may pinakamataas na exponent, i.e. ngunit x 2 pagkatapos ay may mas kaunti – bxat pagkatapos ay isang libreng miyembro s

Kapag nalutas ang equation ng quadratic at ang quadratic equation na may isang kahit na koepisyent sa ikalawang termino, maaaring magamit ang iba pang mga formula. Kilalanin natin ang mga formula na ito. Kung ang koepisyent sa buong quadratic equation na may pangalawang termino ay kahit na (b \u003d 2k), pagkatapos ay malulutas natin ang equation gamit ang mga formula na ibinigay sa diagram ng Figure 2.

Ang isang kumpletong quadratic equation ay tinatawag na nabawasan kung ang koepisyent ng x 2   pantay sa pagkakaisa at ang equation ay tumatagal ng form x 2 + px + q \u003d 0. Ang ganitong isang equation ay maaaring ibigay para sa solusyon, o makuha sa pamamagitan ng paghati sa lahat ng mga koepisyent, ang equation ng isang koepisyent ngunitnakatayo sa x 2 .

Ipinapakita ng Figure 3 ang isang diagram ng solusyon ng nabawasan na parisukat
  equation. Isaalang-alang natin na gamitin ang mga pormula na isinasaalang-alang sa artikulong ito bilang isang halimbawa.

Isang halimbawa. Malutas ang equation

3x 2   + 6x - 6 \u003d 0.

Malutas natin ang equation na ito gamit ang mga formula sa diagram ng Figure 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Sagot: –1 - √3; –1 + √3

Maaari mong makita na ang koepisyent ng x sa equation na ito ay isang numero, kahit na, b \u003d 6 o b \u003d 2k, kung saan k \u003d 3. Kung gayon susubukan nating lutasin ang equation gamit ang mga pormula na ipinapakita sa diagram ng Figure D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Sagot: –1 - √3; –1 + √3. Napansin na ang lahat ng mga koepisyent na ito sa kuwadradong equation ay nahahati sa pamamagitan ng 3 at pagkumpleto ng dibisyon, nakuha namin ang nabawasan na quadratic equation x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Malutas namin ang equation na ito gamit ang mga pormula para sa nabawasan na parisukat
equation figure 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

  Sagot: –1 - √3; –1 + √3.

Tulad ng nakikita mo, kapag nalutas ang equation na ito gamit ang iba't ibang mga formula, nakuha namin ang parehong sagot. Samakatuwid, mahusay na pinagkadalubhasaan ang mga formula na ibinigay sa diagram ng Larawan 1, maaari mong palaging malutas ang anumang kumpletong equation ng quadratic.

blog.site, na may ganap o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang sanggunian sa mapagkukunan.

Ang kuwadradong equation - ay malulutas nang simple! * Karagdagan sa teksto na "KU".Mga kaibigan, mukhang mas madali ito sa matematika kaysa sa paglutas ng tulad ng isang equation. Ngunit may nagsabi sa akin na marami ang may mga problema sa kanya. Nagpasya akong makita kung gaano karaming mga impression sa kahilingan bawat buwan na ibinibigay ni Yandex. Narito ang nangyari, tingnan mo:

Ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na ang tungkol sa 70,000 mga tao sa isang buwan ay naghahanap para sa impormasyong ito, kung ano ang kaugnayan sa tag-araw, at kung ano ang magiging kalagitnaan ng taon ng paaralan - magkakaroon ng dalawang beses sa maraming mga kahilingan. Hindi ito nakakagulat, dahil ang mga kalalakihan at batang babae na matagal nang nagtapos mula sa paaralan at naghahanda para sa pagsusulit, hinahanap ang impormasyong ito, pati na rin ang mga mag-aaral na naghangad na i-refresh ito sa memorya.

Sa kabila ng katotohanan na maraming mga site na nagpapaliwanag kung paano malulutas ang equation na ito, nagpasya akong mag-ambag at mai-publish ang materyal. Una, nais kong dumating ang mga bisita sa aking site sa kahilingan na ito; pangalawa, sa iba pang mga artikulo, pagdating sa pagsasalita "KU" Magbibigay ako ng isang link sa artikulong ito; pangatlo, sasabihin ko sa iyo ang tungkol sa kanyang solusyon nang kaunti kaysa sa karaniwang nakasaad sa iba pang mga site. Magsimula tayo!Ang nilalaman ng artikulo:

Ang isang parisukat na equation ay isang equation ng form:

kung saan ang mga koepisyentong,b  at c ay mga di-makatwirang numero, bukod pa, isang ≠ 0.

Sa kurso ng paaralan, ang materyal ay ibinibigay sa sumusunod na anyo - kondisyon na ang paghahati ng mga equation sa tatlong klase ay tapos na:

1. Magkaroon ng dalawang ugat.

2. * May isang ugat lamang.

3. Walang mga ugat. Ito ay nagkakahalaga na tandaan dito na wala silang wastong mga ugat

Paano kinakalkula ang mga ugat? Madali!

Kinakalkula namin ang discriminant. Sa ilalim ng salitang "nakakatakot" na ito ay namamalagi ng isang ganap na simpleng pormula:

Ang mga pormula ng ugat ay ang mga sumusunod:

* Kailangan mong malaman ang mga formula sa pamamagitan ng puso.

Maaari mong agad na itala at magpasya:

Isang halimbawa:

1. Kung D\u003e 0, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

2. Kung D \u003d 0, kung gayon ang equation ay may isang ugat.

3. Kung D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Tingnan natin ang equation:

Sa okasyong ito, kapag ang diskriminante ay zero, sinabi ng kurso ng paaralan na ang isang ugat ay nakuha, narito ang siyam. Tama na, ito ay, ngunit ...

Ang pananaw na ito ay medyo hindi wasto. Sa katunayan, lumiliko ito ng dalawang ugat. Oo, huwag magulat, nakakakuha ka ng dalawang pantay na ugat, at upang maging tumpak sa matematika, dapat kang sumulat ng dalawang ugat sa sagot:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Ngunit ito ay isang maliit na pagbabawas. Sa paaralan, maaari mong i-record at sabihin na ang ugat ay isa.

Ngayon ang sumusunod na halimbawa:

Tulad ng alam natin, ang ugat ay hindi nakuha mula sa isang negatibong numero, kaya walang solusyon sa kasong ito.

Iyon ang buong proseso ng desisyon.

Quadratic function.

Ipinapakita nito kung paano mukhang ang geometriko ang solusyon. Napakahalaga na maunawaan ito (sa hinaharap, sa isa sa mga artikulo na susuriin namin nang detalyado ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na parisukat).

Ito ay isang function ng form:

kung saan ang mga x at y ay variable

a, b, c ay bibigyan ng mga numero, at isang ≠ 0

Ang grapiko ay isang parabola:

Iyon ay, lumiliko na ang paglutas ng equation ng quadratic na may "y" na katumbas ng zero, nahanap namin ang mga punto ng intersection ng parabola na may axis oX. Ang mga puntong ito ay maaaring dalawa (positibo sa diskriminasyon), isa (diskriminasyon na katumbas ng zero) at wala (discriminant negatibo). Mga detalye ng pag-andar ng quadratic maaaring makita  artikulo ni Inna Feldman.

Isaalang-alang ang mga sumusunod na halimbawa:

Halimbawa 1: Malutas 2x 2 +8 x–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d –192

D \u003d b 2 -4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Sagot: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* Posible na agad na hatiin ang kaliwa at kanang panig ng equation sa pamamagitan ng 2, iyon ay, gawing simple. Ang mga kalkulasyon ay magiging mas simple.

Halimbawa 2: Upang magpasya x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484–484 \u003d 0

Nakuha namin ang x 1 \u003d 11 at x 2 \u003d 11

Pinapayagan na sumulat ng x \u003d 11 sa sagot.

Sagot: x \u003d 11

Halimbawa 3: Upang magpasya x 2 –8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64–288 \u003d –224

Ang diskriminado ay negatibo, walang solusyon sa mga tunay na numero.

Sagot: walang solusyon

Ang diskriminaryo ay negatibo. Mayroong solusyon!

Dito ay tututuunan natin ang paglutas ng equation sa kaso kapag nakuha ang isang negatibong diskriminasyon. May nalalaman ka ba tungkol sa mga kumplikadong numero? Hindi ko tatalakayin nang detalyado ang tungkol sa kung bakit at saan sila nanggaling at kung ano ang kanilang tiyak na papel at pangangailangan para sa matematika, ito ay isang paksa para sa isang malaking hiwalay na artikulo.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero.

Isang kaunting teorya.

Ang isang kumplikadong numero z ay isang bilang ng form

z \u003d a + bi

kung saan ang a at b ay mga tunay na numero, ako ang tinaguriang yunit ng haka-haka.

isang + bi   Ay isang SINGLE NUMBER, hindi karagdagan.

Ang haka-haka na yunit ay pantay sa ugat ng minus one:

Ngayon isaalang-alang ang equation:

Nakakuha ng dalawang ugat ng conjugate.

Hindi kumpletong quadratic equation.

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso, ito ay kapag ang koepisyent na "b" o "c" ay katumbas ng zero (o pareho ay pantay sa zero). Madali silang lutasin nang walang anumang diskriminasyon.

Kaso 1. Ang koepisyent b \u003d 0.

Ang equation ay tumatagal ng form:

I-convert:

Isang halimbawa:

4x 2 –16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d –2

Kaso 2. Ang koepisyent c \u003d 0.

Ang equation ay tumatagal ng form:

I-convert, ma-factorise:

* Ang produkto ay pantay sa zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay pantay sa zero.

Isang halimbawa:

9x 2 –45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 o x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Kaso 3. Ang mga koepisyent b \u003d 0 at c \u003d 0.

Malinaw dito na ang solusyon sa equation ay palaging magiging x \u003d 0.

Mga kapaki-pakinabang na katangian at mga pattern ng koepisyent.

Mayroong mga katangian na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga equation na may malalaking koepisyent.

ngunitx 2 + bx+ c=0   pagkakapantay-pantay ay humahawak

a + b  + c \u003d 0,pagkatapos

- kung para sa koepisyent ng equation ngunitx 2 + bx+ c=0   pagkakapantay-pantay ay humahawak

a  + c \u003db, pagkatapos

Ang mga katangiang ito ay makakatulong upang malutas ang isang tiyak na uri ng equation.

Halimbawa 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Ang kabuuan ng koepisyente ay 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, na nangangahulugang

Halimbawa 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Ang pagkakapantay-pantay ay natutupad a  + c \u003db,   ibig sabihin

Mga pattern ng koepisyent.

1. Kung sa equation ax 2 + bx + c \u003d 0 ang koepisyenteng "b" ay katumbas ng (a 2 +1), at ang koepisyenteng "c" ay ayon sa bilang na katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay

palakol 2 + (isang 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d –a x 2 \u003d –1 / a.

Isang halimbawa. Isaalang-alang ang equation 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6.

2. Kung sa equation ax 2 - bx + c \u003d 0, ang koepisyenteng "b" ay katumbas ng (a 2 +1), at ang koepisyenteng "c" ay ayon sa bilang na katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay

palakol 2 - (isang 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Isang halimbawa. Isaalang-alang ang equation 15x2 –226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Kung sa equationpalakol 2 + bx - c \u003d 0 koepisyent na "b" ay pantay sa (a 2 - 1), at ang koepisyent na "c" ayon sa bilang na pantay sa koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay

palakol 2 + (isang 2 –1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - isang x 2 \u003d 1 / a.

Isang halimbawa. Isaalang-alang ang equation 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Kung sa equation ax 2 - bx - c \u003d 0 ang koepisyent na "b" ay katumbas ng (a 2 - 1), at ang koepisyent c ay ayon sa bilang na katumbas ng koepisyent na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay pantay

palakol 2 - (isang 2 –1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Isang halimbawa. Isaalang-alang ang equation 10x 2 - 99x –10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta Theorem.

Ang teorema ng Vieta ay pinangalanan pagkatapos ng sikat na Pranses na matematika na si Francois Vieta. Gamit ang teorema ng Vieta, maaari nating ipahiwatig ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng isang di-makatwirang KU sa mga tuntunin ng mga koepisyales.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sa kabuuan, ang bilang 14 ay nagbibigay lamang ng 5 at 9. Ito ang mga ugat. Sa pamamagitan ng isang tiyak na kasanayan, gamit ang ipinakita teorema, maaari mong malutas agad ang maraming mga equation ng quadratic.

Teorema ni Vieta, bukod dito. ito ay maginhawa sa pagkatapos na malutas ang equation ng kuwadratik sa karaniwang paraan (sa pamamagitan ng diskriminasyon), ang nakuha na mga ugat ay maaaring suriin. Inirerekumenda kong gawin ito palagi.

HANDLING METHOD

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent na "a" ay pinarami ng isang libreng term, na parang "inilipat" dito, kaya't tinawag itong paraan ng "paglipat".Ginagamit ang pamamaraang ito kapag madaling mahanap ang mga ugat ng equation gamit ang Vieta teorem at, pinakamahalaga, kapag ang diskriminasyon ay isang eksaktong parisukat.

Kung ngunit± b + c≠ 0, pagkatapos ay ginagamit ang paraan ng paglipat, halimbawa:

2x 2 – 11x +5 = 0 (1) => x 2 – 11x +10 = 0 (2)

Sa pamamagitan ng Vieta theorem sa equation (2), madaling matukoy na x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Ang nakuha na mga ugat ng equation ay dapat nahahati sa 2 (dahil ang x 2 "itinapon" dalawa), nakuha namin

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Ano ang katwiran? Tingnan kung ano ang mangyayari.

Ang mga diskriminaryo ng mga equation (1) at (2) ay katumbas ng:

Kung titingnan mo ang mga ugat ng mga equation, kakaibang denominator lamang ang nakuha, at ang resulta ay nakasalalay sa koepisyent sa x 2:

Ang pangalawa (nabago) na mga ugat ay lumiliko ng 2 beses pa.

Samakatuwid, ang resulta ay nahahati sa 2.

* Kung maglilipat kami ng tatlo, pagkatapos ay hatiin ang resulta ng 3, atbp.

Sagot: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

Q ur-ie at pagsusulit.

Sasabihin ko sa madaling sabi tungkol sa kahalagahan nito - DAPAT DAPAT MAGING MABUTI nang mabilis at nang walang pag-iisip, kailangan mong malaman ang ugat at diskriminanteng mga pormula ng puso. Napakaraming mga gawain na bahagi ng mga gawain ng USE ay nabawasan sa paglutas ng equation ng quadratic (kabilang ang mga geometric).

Ano ang kapansin-pansin!

1. Ang anyo ng equation ay maaaring "implicit". Halimbawa, posible ang sumusunod na entry:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 o 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 o 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Kailangan mong dalhin ito sa karaniwang form nito (upang hindi malito kapag nagpapasya).

2. Alalahanin na ang x ay isang hindi kilalang dami at maaari itong maihatid ng anumang iba pang titik - t, q, p, h at iba pa.