Sa artikulong ito malalaman natin kung ano ang degree ng... Dito bibigyan namin ang mga kahulugan ng degree ng isang numero, habang masusing pagtingin sa lahat ng mga posibleng exponents, nagsisimula sa isang natural na exponent at nagtatapos sa isang hindi makatuwiran. Sa materyal, mahahanap mo ang maraming mga halimbawa ng mga degree, na sumasakop sa lahat ng mga subtleties na lumitaw.

Pag-navigate sa pahina.

Degree na may natural na exponent, parisukat ng numero, kubo ng numero

Magsimula tayo sa. Sa pagtingin sa unahan, sinasabi namin na ang kahulugan ng antas ng isang numero a na may likas na exponent n ay ibinigay para sa isang, na tatawagin namin batayan degree, at n, na tatawagin namin tagapagpatawad... Tandaan din na ang degree na may isang likas na exponent ay natutukoy sa pamamagitan ng produkto, kaya upang maunawaan ang materyal sa ibaba, kailangan mong magkaroon ng isang ideya ng pagpaparami ng mga numero.

Kahulugan

Kapangyarihan ng bilang a na may likas na exponent n ay isang pagpapahayag ng form a n, na ang halaga nito ay katumbas ng produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a, iyon ay ,.
Sa partikular, ang lakas ng isang bilang a na may exponent 1 ay ang bilang a mismo, iyon ay, isang 1 \u003d a.

Dapat itong sabihin kaagad tungkol sa mga patakaran para sa mga degree sa pagbasa. Ang unibersal na paraan upang basahin ang isang record a n ay ang mga sumusunod: "a sa kapangyarihan ng n". Sa ilang mga kaso, ang mga sumusunod na pagpipilian ay katanggap-tanggap din: "a to the n-th power" at "n-th power of the number a". Halimbawa, kunin natin ang lakas ng 8 12, na kung saan ay "walo sa lakas ng labindalawa", o "walo hanggang sa ikalabindalawa na kapangyarihan", o "ikalabindal na kapangyarihan ng walong".

Ang pangalawang degree ng isang numero, pati na rin ang pangatlong degree ng isang numero, ay may kani-kanilang mga pangalan. Ang pangalawang lakas ng isang numero ay tinawag parisukat na numerohalimbawa, binabasa ng 7 2 ang "pitong parisukat" o "parisukat ng bilang pitong". Ang pangatlong lakas ng isang numero ay tinawag mga numero ng kubohalimbawa, ang 5 3 ay maaaring mabasa bilang "cube ng limang" o "cube ng bilang 5".

Oras na upang mamuno mga halimbawa ng degree na may natural na tagapagpahiwatig... Magsimula tayo sa lakas ng 5 7, narito ang 5 ay ang batayan ng lakas at ang 7 ay ang tagapagtaguyod. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa: 4.32 ay ang batayan, at ang natural na bilang 9 ay ang exponent (4.32) 9.

Tandaan na sa huling halimbawa, ang batayan ng degree na 4.32 ay nakasulat sa panaklong: upang maiwasan ang pagkalito, ilalagay namin sa panaklong ang lahat ng mga base ng degree na naiiba mula sa natural na mga numero. Bilang isang halimbawa, binibigyan namin ang mga sumusunod na degree na may natural na mga tagapagpahiwatig , ang kanilang mga base ay hindi natural na numero, kaya't nakasulat ito sa panaklong. Sa gayon, para sa kumpletong kalinawan, sa sandaling ito, ipapakita namin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga entry ng form (−2) 3 at −2 3. Ang expression (−2) 3 ay ang lakas ng −2 na may likas na exponent ng 3, at ang ekspresyong −2 3 (maaari itong isulat bilang - (2 3)) ay tumutugma sa bilang, ang halaga ng lakas 2 3.

Tandaan na mayroong isang notasyon para sa degree ng isang bilang a na may exponent n ng form na a ^ n. Bukod dito, kung ang n ay isang multivalued natural na numero, pagkatapos ang exponent ay dadalhin sa mga braket. Halimbawa, ang 4 ^ 9 ay isa pang notasyon para sa lakas ng 4 9. At narito ang ilan pang mga halimbawa ng mga degree sa pagsulat gamit ang simbolong "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Sa mga sumusunod, higit sa lahat gagamitin namin ang notasyon para sa degree ng form a n.

Ang isa sa mga gawain, kabaligtaran sa pagtaas sa isang kapangyarihan na may isang likas na exponent, ay ang problema ng paghahanap ng base ng degree mula sa isang kilalang halaga ng degree at isang kilalang exponent. Ang gawaing ito ay humahantong sa.

Alam na ang set mga makatuwirang numero binubuo ng mga integer at praksyonal na numero, at bawat isa isang praksyonal na numero maaaring ipakita bilang positibo o negatibo karaniwang praksiyon... Natukoy namin ang degree sa isang integer sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may makatuwirang tagapagpahiwatig, kinakailangang magbigay ng kahulugan sa lakas ng isang numero a na may isang praksyonal na exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at ang n ay isang natural na numero. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may isang praksyonal na tagapagpahiwatig ng form. Para sa pag-aari ng degree sa degree na maging wasto, ang pagkakapantay-pantay ... Kung isasaalang-alang natin ang nakuha na pagkakapantay-pantay at kung paano namin ito tinukoy, lohikal na tanggapin, na ibinigay na para sa ibinigay na m, n at a, ang ekspresyon ay may katuturan.

Madaling suriin na para sa lahat ng mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent (ginagawa ito sa seksyon sa mga katangian ng isang degree na may isang makatuwiran na exponent).

Pinapayagan kami ng pangangatuwiran sa itaas na gawin ang sumusunod. konklusyon: kung para sa ibinigay na m, n at a ang expression ay may katuturan, kung gayon ang lakas ng bilang a na may maliit na exponent na m / n ay tinatawag na ika-n na ugat ng a hanggang sa lakas ng m.

Ang pahayag na ito ay nagdadala sa amin ng napakalapit sa pagtukoy ng degree na may isang praksyonal na praksyonal. Nananatili lamang ito upang ilarawan kung aling m, n at a ang expression na may katuturan. Mayroong dalawang pangunahing diskarte depende sa mga hadlang sa m, n at a.

Ang pinakamadaling paraan upang paghigpitan ang a ay sa pag-aakalang a≥0 para sa positibong m at isang\u003e 0 para sa negatibong m (dahil para sa m0 ang degree na 0 m ay hindi tinukoy). Pagkatapos makuha namin ang sumusunod na kahulugan ng isang praksyonal na tagapagpahiwatig.

Kahulugan

Ang lakas ng isang positibong numero a na may isang praksyonal na exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero, ay tinatawag na ika-n na ugat ng a hanggang sa lakas ng m, iyon ay ,.

Ang isang lakas na praksyonal ng zero ay natutukoy din sa pamamagitan lamang ng proviso na dapat maging positibo ang tagapagpahiwatig.

Kahulugan

Lakas ng zero na may positibong praksyonal na exponent m / n, kung saan ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero, ay tinukoy bilang .
Kapag hindi natutukoy ang degree, iyon ay, ang degree ng bilang na zero na may isang praksyonal negatibong tagapagpahiwatig walang katuturan.

Dapat pansinin na sa naturang kahulugan ng isang degree na may isang praksyonal na tagapaglabas, mayroong isang pananarinari: para sa ilang negatibo a at ilang m at n, ang ekspresyon ay may katuturan, at tinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapakilala sa kundisyon a0. Halimbawa, makatuwiran na magsulat o, at ang kahulugan sa itaas ay pinipilit kaming sabihin na ang mga degree na may isang praksyonal na tagapagpahiwatig ng form huwag magkaroon ng kahulugan, dahil ang base ay hindi dapat maging negatibo.

Ang isa pang diskarte sa pagtukoy ng exponent na may isang praksyonal na exponent m / n ay upang isaalang-alang nang hiwalay ang pantay at kakaibang mga exponent ng ugat. Ang pamamaraang ito ay nangangailangan ng isang karagdagang kundisyon: ang antas ng bilang a, ang tagapagpahiwatig na kung saan ay, ay isinasaalang-alang ang lakas ng bilang a, ang tagapagpahiwatig na kung saan ay ang kaukulang irreducible maliit na bahagi (ang kahalagahan ng kondisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Iyon ay, kung ang m / n ay isang hindi mababawas na maliit na bahagi, kung gayon para sa anumang natural na bilang k ang degree ay dati nang pinalitan ng.

Para sa kahit n at positibong m, ang ekspresyon ay may katuturan para sa anumang di-negatibong a (isang pantay na ugat ng isang negatibong numero ay walang katuturan), para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat ding nonzero (kung hindi man ay magkakaroon ng paghahati sa zero). At para sa kakatwa n at positibong m ang bilang a ay maaaring maging anumang (ang ugat ng isang kakatwang degree ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibong m ang bilang a ay dapat na nonzero (upang walang paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pangangatuwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa gayong kahulugan ng isang praksyonal na tagapagpalabas.

Kahulugan

Hayaang ang m / n ay isang hindi mababagsak na praksiyon, isang integer, at isang natural na numero. Para sa anumang nakanselang maliit na bahagi, ang exponent ay pinalitan ng. Ang lakas ng isang numero na may isang hindi maibawas na praksyonal na exponent m / n ay para sa



Ipaliwanag natin kung bakit ang isang degree na may reducible fractional exponent ay dating pinalitan ng degree na may irreducible exponent. Kung tinukoy lamang namin ang degree bilang, at hindi nagpareserba tungkol sa hindi maibabalik ng maliit na bahagi m / n, pagkatapos ay makakaharap tayo sa mga sitwasyong katulad ng mga sumusunod: dahil 6/10 \u003d 3/5, kung gayon dapat magkaroon ng pagkakapantay-pantay pero , a.

BAHAGI II. KABANATA 6
BILANG SEQUENCES

Ang konsepto ng isang degree na may isang hindi makatuwiran exponent

Hayaan ang isang maging positibong numero at maging hindi makatuwiran.
Anong kahulugan ang dapat ibigay sa ekspresyong a *?
Upang gawing mas visual ang pagtatanghal, isasagawa namin ito sa isang pribado
halimbawa Namely, naglalagay kami ng isang - 2 at a \u003d 1. 624121121112. ... ... ...
Dito, ngunit - walang katapusan decimalbatay sa ganyan
batas: simula sa ika-apat na decimal na lugar, para sa imahe a
mga digit na 1 at 2 lamang ang ginagamit, at ang bilang ng mga digit ay 1,
naitala sa isang hilera bago ang numero 2, sa lahat ng oras ay nagdaragdag ng
isa Ang maliit na bahagi ng a ay hindi pana-panahon, dahil kung hindi man ang bilang ng mga digit ay 1,
naitala sa isang hilera sa kanyang imahe ay magiging limitado.
Samakatuwid, ang a ay isang hindi makatuwiran na numero.
Kaya, anong kahulugan ang dapat ibigay sa pagpapahayag
21, v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... R
Upang sagutin ang katanungang ito, bumubuo kami ng mga pagkakasunud-sunod ng mga halaga
at may kakulangan at labis na may katumpakan na (0.1) *. Nakukuha natin
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Isulat natin ang kaukulang mga pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng bilang 2:
2M. 2M *; 21 * 624; 21'62 * 1; ..., (3)
21D. 21 "63; 2 * "62В 21.6 Ш; ... (4)
Ang pagkakasunud-sunod (3) ay nagdaragdag bilang pagkakasunud-sunod
(1) (Theorem 2 § 6).
Ang pagkakasunud-sunod (4) ay bumababa dahil ang pagkakasunud-sunod ay bumababa
(2).
Ang bawat miyembro ng pagkakasunud-sunod (3) ay mas mababa kaysa sa bawat miyembro ng pagkakasunud-sunod
(4), at sa gayon ang pagkakasunud-sunod (3) ay may hangganan
mula sa itaas, at ang pagkakasunud-sunod (4) ay nalilimitahan mula sa ibaba.
Batay sa monotone bounded theorem ng pagkakasunud-sunod
bawat isa sa mga pagkakasunud-sunod (3) at (4) ay may isang limitasyon. Kung

384 Ang konsepto ng isang degree na may isang di-makatwirang tagapagpahiwatig . .

ngayon, lumalabas na ang pagkakaiba ng mga pagkakasunud-sunod (4) at (3) ay nagtatagpo
hanggang sa zero, pagkatapos ay susundan mula rito na pareho sa mga pagkakasunud-sunod na ito,
magkaroon ng isang karaniwang limitasyon.
Pagkakaiba ng mga unang tuntunin ng pagkakasunud-sunod (3) at (4)
21-7 - 21 '* \u003d 2 |, sa (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Pagkakaiba ng mga pangalawang termino
21'63 - 21.62 \u003d 21.62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Pagkakaiba ng mga n term
0,0000. ..0 1
2\u003e. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Batay sa Teorya 3 § 6
lim 10 ″ / 2 \u003d 1.
Kaya, ang mga pagkakasunud-sunod (3) at (4) ay may isang karaniwang limitasyon. Ito
ang limitasyon ay ang tunay na numero na mas malaki kaysa sa
ng lahat ng mga kasapi ng pagkakasunud-sunod (3) at mas mababa sa lahat ng mga kasapi ng pagkakasunud-sunod
(4), at ipinapayong isaalang-alang ito ang eksaktong halaga ng 2 *.
Sinusundan ito mula sa sinabi na sa pangkalahatan ay ipinapayong tanggapin
ang sumusunod na kahulugan:
Kahulugan Kung ang isang\u003e 1, kung gayon ang antas ng a na may isang hindi makatuwiran
exponent a ay isang tunay na numero,
na kung saan ay mas malaki kaysa sa lahat ng mga kapangyarihan ng bilang na ito, ang mga exponents na kung saan ay
nakapangangatwiran approximation a na may isang kakulangan at mas mababa sa lahat ng mga degree
ng bilang na ito, na ang mga tagapagtaguyod ay makatuwiran na mga pagtatantya at kasama
sobra
Kung ang<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
ay tinawag na isang tunay na numero na mas malaki kaysa sa lahat ng mga kapangyarihan
ang bilang na ito, na ang mga tagalabas ay makatuwiran na pagtatantya a
na may labis, at mas mababa sa lahat ng mga kapangyarihan ng bilang na ito, ang mga tagapagpahiwatig kung saan
- makatuwiran na mga pagtatantya at may kawalan.
Kung a- 1, kung gayon ang degree nito na may isang hindi makatuwiran na exponent a
ay 1.
Gamit ang konsepto ng isang limitasyon, maaaring mabuo ang kahulugan na ito
Kaya:
Ang lakas ng isang positibong numero na may isang hindi makatuwiran na exponent
at tinawag na hangganan na kinabibilangan ng pagkakasunud-sunod
nakapangangatwiran kapangyarihan ng bilang na ito, na ibinigay na ang pagkakasunud-sunod
ang mga tagapagpahiwatig ng mga degree na ito ay may kaugaliang a, i.
aa \u003d lim aH
B - *
13 D, K. Fatscheev, I. S. Sominsky

Degree na may isang makatuwiran na tagapagpahiwatig, mga katangian nito.

Pagpapahayag a n ay tinukoy para sa lahat ng a at n, maliban sa kaso a \u003d 0 para sa n≤0. Alalahanin natin ang mga katangian ng gayong mga degree.

Para sa anumang mga numero a, b at anumang mga integer m at n ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo:

Isang m * a n \u003d a m + n; isang m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); isang 1 \u003d a; isang 0 \u003d 1 (isang ≠ 0).

Napansin din namin ang sumusunod na pag-aari:

Kung m\u003e n, kung gayon ang isang m\u003e a n para sa isang\u003e 1 at isang m<а n при 0<а<1.

Sa subseksyon na ito, binubuo namin ang paniwala ng isang kapangyarihan ng isang numero, na nagbibigay ng kahulugan sa mga expression na tulad ng 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 at iba pa. Ito ay natural sa kasong ito na magbigay ng isang kahulugan upang ang mga degree na may mga makatuwiran na tagapagpahiwatig ay may parehong mga katangian (o hindi bababa sa bahagi ng mga ito) bilang mga degree na may isang buong exponent. Pagkatapos, sa partikular, ang ika-n lakas ng numero dapat katumbas ng a m ... Sa katunayan, kung ang pag-aari

(a p) q \u003d isang pq

ay naisakatuparan, kung gayon

Ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugang (sa pamamagitan ng kahulugan ng nth root) na ang bilang dapat ang ika-n na ugat ng bilang a m

Kahulugan

Ang antas ng isang bilang a\u003e 0 na may isang makatuwiran na exponent r \u003d, kung saan ang m ay isang integer at ang n ay isang natural na numero (n\u003e 1), ang numero

Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan

(1)

Ang lakas ng bilang 0 ay tinukoy lamang para sa mga positibong tagapagpahiwatig; sa kahulugan 0 r \u003d 0 para sa anumang r\u003e 0.

Isang degree na may isang di-makatwirang tagapagpahiwatig.

Hindi makatuwiran na numeromaaaring kinatawan bilangang hangganan ng pagkakasunud-sunod ng mga makatuwirang numero: .

Hayaan mo Pagkatapos ay may mga degree na may isang makatuwiran na exponent. Maaaring mapatunayan na ang pagkakasunud-sunod ng mga degree na ito ay nagtatagpo. Ang hangganan ng pagkakasunud-sunod na ito ay tinatawag na degree sa pagbibigay-katwiran at hindi makatuwiran na exponent: .

Gumuhit tayo ng maraming mga puntos ng graph ng pagpapaandar y \u003d 2 x paunang pagkalkula ng halaga 2 sa isang calculator x sa segment [–2; 3] na may hakbang na 1/4 (Larawan 1, a), at pagkatapos ay may hakbang na 1/8 (Larawan 1, b). Pagpapatuloy sa pag-iisip ng parehong mga konstruksyon na may hakbang na 1/16, 1/32, atbp. nakikita namin na ang mga nagresultang puntos ay maaaring konektado sa pamamagitan ng isang makinis na curve, na likas na isaalang-alang ang grap ng ilang pag-andar, tinukoy at pagtaas na sa buong linya ng numero at pagkuha ng mga halaga sa mga makatuwirang puntos (Larawan 1, c). Ang pagkakaroon ng sapat na binuo malaking bilang pag-andar ng mga puntos ng graph, maaari naming tiyakin na ang pagpapaandar na ito ay mayroon ding katulad na mga katangian (ang pagkakaiba ay ang pagpapaandar bumababa ng R).

Ang mga obserbasyong ito ay nagmumungkahi na maaari mong tukuyin ang mga numero 2 α at para sa bawat hindi makatuwiran α tulad na ang mga pagpapaandar na tinukoy ng mga formula y \u003d 2 x at ay magpapatuloy, at ang pagpapaandar y \u003d 2 x nagdaragdag, at ang pagpapaandar bumababa kasama ang buong linya ng numero.

Ilarawan natin sa pangkalahatang mga tuntunin kung paano ang bilang a α para sa hindi makatuwiran α para sa isang\u003e 1. Nais naming makamit ang pagpapaandar y \u003d a x ay dumarami. Pagkatapos para sa anumang makatuwiran r 1 at r 2 tulad ng r 1<α dapat masiyahan ang mga hindi pagkakapantay-pantay a r 1<а α <а r 1 .

Pagpili ng mga halagang r 1 at r 2 papalapit sa x, makikita natin na ang mga katumbas na halaga ng a r 1 at isang r 2 kakaiba ang kakaiba. Mapapatunayan na mayroon, at, saka, isa lamang, bilang y, na higit sa lahat a r 1 para sa lahat ng makatuwiran r 1 at higit sa lahat isang r 2 para sa lahat ng makatuwiran r 2 ... Ang bilang na y ay sa pamamagitan ng kahulugan a α .

Halimbawa, ang pagkalkula ng halaga 2 x sa mga puntong x n at x` n, kung saan x n at x` n - Mga pagtatantya ng decimal ng isang numero mahahanap natin iyon ng mas malapit x n at x` n k , mas mababa ang pagkakaiba ay 2 x n at 2 x` n.

Simula noon

at samakatuwid

Katulad nito, isinasaalang-alang ang mga sumusunod na decimal approximations sa pamamagitan ng kakulangan at labis, nakarating kami sa mga ratios

;

;

;

;

.

Halaga kinakalkula sa calculator ay:

.

Ang bilang a α para sa 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 para sa anumang α at 0 α \u003d 0 para sa α\u003e 0.

Exponential function.

Kailan a > 0, a = 1, tinukoy ang pagpapaandar y \u003d a x maliban sa pare-pareho. Ang tampok na ito ay tinawag exponential functionkasama ang pundasyona.

y\u003d a x sa a> 1:

Exponential function plot na may base 0< a < 1 и a \u003e 1 ay ipinapakita sa pigura.

Pangunahing katangian exponential function y\u003d a x sa 0< a < 1:

• Ang domain ng pagpapaandar ay ang buong linya ng numero.
• Saklaw ng pag-andar - span (0; + ) .
• Ang pagpapaandar ay mahigpit na monotonically pagtaas sa buong linya ng numero, iyon ay, kung x 1 < x 2, kung gayon isang x 1 \u003e isang x 2 .
• Kailan x \u003d 0, ang halaga ng pagpapaandar ay 1.
• Kung x\u003e 0, pagkatapos 0< a < 1 at kung x < 0, то isang x > 1.
SA pangkalahatang pag-aari exponential function na para sa 0< a < 1, так и при isang\u003e 1 isama ang:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, para sa lahat x 1 at x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax para kahit kanino x.
• na x= a

Degree na may isang makatuwiran na tagapagpahiwatig, mga katangian nito.

Pagpapahayag a n ay tinukoy para sa lahat ng a at n, maliban sa kaso a \u003d 0 para sa n≤0. Alalahanin natin ang mga katangian ng gayong mga degree.

Para sa anumang mga numero a, b at anumang mga integer m at n ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo:

Isang m * a n \u003d a m + n; isang m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); isang 1 \u003d a; isang 0 \u003d 1 (isang ≠ 0).

Napansin din namin ang sumusunod na pag-aari:

Kung m\u003e n, kung gayon ang isang m\u003e a n para sa isang\u003e 1 at isang m<а n при 0<а<1.

Sa subseksyon na ito, binubuo namin ang paniwala ng isang kapangyarihan ng isang numero, na nagbibigay ng kahulugan sa mga expression na tulad ng 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 at iba pa. Ito ay natural sa kasong ito na magbigay ng isang kahulugan upang ang mga degree na may mga makatuwiran na tagapagpahiwatig ay may parehong mga katangian (o hindi bababa sa bahagi ng mga ito) bilang mga degree na may isang buong exponent. Pagkatapos, sa partikular, ang ika-n lakas ng numero dapat katumbas ng a m ... Sa katunayan, kung ang pag-aari

(a p) q \u003d isang pq

ay naisakatuparan, kung gayon

Ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugang (sa pamamagitan ng kahulugan ng nth root) na ang bilang dapat ang ika-n na ugat ng bilang a m

Kahulugan

Ang antas ng isang bilang a\u003e 0 na may isang makatuwiran na exponent r \u003d, kung saan ang m ay isang integer at ang n ay isang natural na numero (n\u003e 1), ang numero

Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan

(1)

Ang lakas ng bilang 0 ay tinukoy lamang para sa mga positibong tagapagpahiwatig; sa kahulugan 0 r \u003d 0 para sa anumang r\u003e 0.

Isang degree na may isang di-makatwirang tagapagpahiwatig.

Hindi makatuwiran na numeromaaaring kinatawan bilangang hangganan ng pagkakasunud-sunod ng mga makatuwirang numero: .

Hayaan mo Pagkatapos ay may mga degree na may isang makatuwiran na exponent. Maaaring mapatunayan na ang pagkakasunud-sunod ng mga degree na ito ay nagtatagpo. Ang hangganan ng pagkakasunud-sunod na ito ay tinatawag na degree sa pagbibigay-katwiran at hindi makatuwiran na exponent: .

Gumuhit tayo ng maraming mga puntos ng graph ng pagpapaandar y \u003d 2 x paunang pagkalkula ng halaga 2 sa isang calculator x sa segment [–2; 3] na may hakbang na 1/4 (Larawan 1, a), at pagkatapos ay may hakbang na 1/8 (Larawan 1, b). Pagpapatuloy sa pag-iisip ng parehong mga konstruksyon na may hakbang na 1/16, 1/32, atbp. nakikita namin na ang mga nagresultang puntos ay maaaring konektado sa pamamagitan ng isang makinis na curve, na likas na isaalang-alang ang grap ng ilang pag-andar, tinukoy at pagtaas na sa buong linya ng numero at pagkuha ng mga halaga sa mga makatuwirang puntos (Larawan 1, c). Ang pagkakaroon ng nakabuo ng sapat na malaking bilang ng mga puntos ng grapiko ng pagpapaandar, maaari naming tiyakin na ang pagpapaandar na ito ay mayroon ding katulad na mga katangian (ang pagkakaiba ay ang pagpapaandar bumababa ng R).

Ang mga obserbasyong ito ay nagmumungkahi na maaari mong tukuyin ang mga numero 2 α at para sa bawat hindi makatuwiran α tulad na ang mga pagpapaandar na tinukoy ng mga formula y \u003d 2 x at ay magpapatuloy, at ang pagpapaandar y \u003d 2 x nagdaragdag, at ang pagpapaandar bumababa kasama ang buong linya ng numero.

Ilarawan natin sa pangkalahatang mga tuntunin kung paano ang bilang a α para sa hindi makatuwiran α para sa isang\u003e 1. Nais naming makamit ang pagpapaandar y \u003d a x ay dumarami. Pagkatapos para sa anumang makatuwiran r 1 at r 2 tulad ng r 1<α dapat masiyahan ang mga hindi pagkakapantay-pantay a r 1<а α <а r 1 .

Pagpili ng mga halagang r 1 at r 2 papalapit sa x, makikita natin na ang mga katumbas na halaga ng a r 1 at isang r 2 kakaiba ang kakaiba. Mapapatunayan na mayroon, at, saka, isa lamang, bilang y, na higit sa lahat a r 1 para sa lahat ng makatuwiran r 1 at higit sa lahat isang r 2 para sa lahat ng makatuwiran r 2 ... Ang bilang na y ay sa pamamagitan ng kahulugan a α .

Halimbawa, ang pagkalkula ng halaga 2 x sa mga puntong x n at x` n, kung saan x n at x` n - Mga pagtatantya ng decimal ng isang numero mahahanap natin iyon ng mas malapit x n at x` n k , mas mababa ang pagkakaiba ay 2 x n at 2 x` n.

Simula noon

at samakatuwid

Katulad nito, isinasaalang-alang ang mga sumusunod na decimal approximations sa pamamagitan ng kakulangan at labis, nakarating kami sa mga ratios

;

;

;

;

.

Halaga kinakalkula sa calculator ay:

.

Ang bilang a α para sa 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 para sa anumang α at 0 α \u003d 0 para sa α\u003e 0.

Exponential function.

Kailan a > 0, a = 1, tinukoy ang pagpapaandar y \u003d a x maliban sa pare-pareho. Ang tampok na ito ay tinawag exponential functionkasama ang pundasyona.

y\u003d a x sa a> 1:

Exponential function plot na may base 0< a < 1 и a \u003e 1 ay ipinapakita sa pigura.

Pangunahing mga katangian ng exponential function y\u003d a x sa 0< a < 1:

• Ang domain ng pagpapaandar ay ang buong linya ng numero.
• Saklaw ng pag-andar - span (0; + ) .
• Ang pagpapaandar ay mahigpit na monotonically pagtaas sa buong linya ng numero, iyon ay, kung x 1 < x 2, kung gayon isang x 1 \u003e isang x 2 .
• Kailan x \u003d 0, ang halaga ng pagpapaandar ay 1.
• Kung x\u003e 0, pagkatapos 0< a < 1 at kung x < 0, то isang x > 1.
Ang pangkalahatang mga katangian ng exponential function na bilang sa 0< a < 1, так и при isang\u003e 1 isama ang:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, para sa lahat x 1 at x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax para kahit kanino x.
• na x= a

Boom ng impormasyon Sa biology - mga kolonya ng microbial sa isang pinggan ng Petri na Kuneho sa Australia Mga reaksyon ng chain - sa kimika Sa pisika - pagkabulok ng radioaktif, pagbabago presyon ng atmospera na may pagbabago sa altitude, paglamig ng katawan. Sa pisika - pagkabulok ng radioaktif, isang pagbabago sa presyon ng atmospera na may pagbabago sa taas, paglamig ng katawan. Ang pagpapalabas ng adrenaline sa dugo at pagkasira nito Sinasabi din na ang dami ng impormasyon ay dumoble bawat 10 taon, at pinagtatalunan din na ang dami ng impormasyon ay dumoble bawat 10 taon.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a * 81 (1/2) -3 a -n 36 1/2 * 8 1 / / 3 2 -3.5

Ekspresyon 2 x 2 2 \u003d 4 2 5 \u003d \u003d \u003d 1/2 4 \u003d 1/16 2 4/3 \u003d 32 4 \u003d, 5 \u003d 1/2 3.5 \u003d 1/2 7 \u003d 1 / (8 2) \u003d 2/16 2) \u003d

3 \u003d 1, ... 1; 1.7 1.73; 1.732, 1.73205; 1,;… ang pagkakasunud-sunod ay tumataas 2 1; 2 1.7; 2 1.73; 2 1.732; 2 1.73205; 2 1,;… ang pagkakasunud-sunod ay nagdaragdag Limitado, at samakatuwid ay nagko-convert sa isang limitasyon - ang halagang 2 3

Maaaring tukuyin ng isa ang π 0

10 10 18 Mga Katangian ng pagpapaandar y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 10 10 10 10 pamagat \u003d "(! LANG: Mga katangian ng pagpapaandar y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 21

Ang dami ng impormasyon na dumoble bawat 10 taon Sa axis ng Ox - ayon sa batas ng pag-unlad ng arithmetic: 1,2,3,4…. Sa axis ng Oy - alinsunod sa batas pag-unlad na geometriko: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Ang exponential function graph, ito ay tinatawag na exponent (mula sa Latin exponere - upang ipakita)