Kung para sa bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay pagkakasunod-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang function ng natural na argumento.

Numero a 1 tinawag unang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 2 — ikalawang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 3 — pangatlo at iba pa. Numero isang n tinawag nth term mga pagkakasunod-sunod , at isang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkatabing miyembro isang n At isang n +1 miyembro ng pagkakasunud-sunod isang n +1 tinawag kasunod (kamag-anak sa isang n ), A isang n — dati (kamag-anak sa isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, kailangan mong tukuyin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay tinukoy gamit nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang miyembro ng isang sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

isang pagkakasunud-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 At -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, ibig sabihin, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng sequence, simula sa ilan, sa pamamagitan ng mga nakaraang (isa o higit pa) na miyembro.

Halimbawa,

Kung a 1 = 1 , A isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ay ang unang pitong termino ng numerical sequence ay itinatag gaya ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas At walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli , kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan , kung ito ay may walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag bumababa , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — pagbaba ng pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa habang tumataas ang bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa alinman natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - isang tiyak na numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng kasunod at nakaraang mga termino ng isang ibinigay pag-unlad ng aritmetika palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.

Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

Kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng aritmetika na may unang termino a 1 at ang pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang pag-unlad ng arithmetic kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Mayroon kaming:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kaya naman,

◄

Tandaan na n Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

Para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

sinumang miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng pantay na espasyong miyembro ng arithmetic progression na ito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kasi

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n Ang mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga matinding termino at ang bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n AtS n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonic sequence. Sa kasong ito:

• Kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
• Kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
• Kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunod-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

Geometric na pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - isang tiyak na numero.

Kaya, ang ratio ng kasunod na termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng geometric progression.

Upang tukuyin ang isang geometric na pag-unlad, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

Kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n Ang ika-apat na termino ay matatagpuan gamit ang formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang geometric progression kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

Patunayan natin na ang pagkakasunod-sunod na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Mayroon kaming:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kaya naman,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa nais na pahayag. ◄

Tandaan na n Ang ika-kataga ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang sinumang nakaraang miyembro b k , kung saan ito ay sapat na upang gamitin ang formula

b n = b k · qn - k.

Halimbawa,

Para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng anumang termino ng isang geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga termino ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng isang geometric na progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga dami b 1 , b n, q, n At S n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At q> 1;

b 1 < 0 At 0 < q< 1;

• Ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At 0 < q< 1;

b 1 < 0 At q> 1.

Kung q< 0 , pagkatapos ay ang geometric na pag-usad ay papalit-palit: ang mga termino nito na may mga kakaibang numero ay may parehong tanda sa unang termino nito, at ang mga terminong may even na numero ay may kabaligtaran na tanda. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Si Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad tinatawag na walang katapusang geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa 1 , iyon ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Akma ito sa okasyon

1 < q< 0 .

Sa gayong denominator, ang pagkakasunud-sunod ay papalit-palit. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang bilang kung saan lumalapit ang kabuuan ng mga una nang walang limitasyon n mga miyembro ng isang pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang numerong ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Tingnan natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Iyon

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 At

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric progression na may denominator q , Iyon

mag-log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . - geometric progression na may denominator 6 At

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Ang matematika ay anokontrolado ng mga tao ang kalikasan at ang kanilang sarili.

Sobyet na matematiko, akademiko A.N. Kolmogorov

Geometric na pag-unlad.

Kasama ng mga problema sa mga pag-unlad ng aritmetika, ang mga problemang nauugnay sa konsepto ng geometric na pag-unlad ay karaniwan din sa mga pagsusulit sa pasukan sa matematika. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, kailangan mong malaman ang mga katangian ng geometric progressions at magkaroon ng mahusay na mga kasanayan sa paggamit ng mga ito.

Ang artikulong ito ay nakatuon sa pagtatanghal ng mga pangunahing katangian ng geometric na pag-unlad. Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga karaniwang problema ay ibinibigay din dito., hiniram mula sa mga gawain ng mga pagsusulit sa pasukan sa matematika.

Tandaan muna natin ang mga pangunahing katangian ng geometric progression at alalahanin ang pinakamahalagang mga formula at pahayag, nauugnay sa konseptong ito.

Kahulugan. Ang isang pagkakasunud-sunod ng numero ay tinatawag na isang geometric na pag-unlad kung ang bawat numero, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numero ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Para sa geometric na pag-unladvalid ang mga formula

, (1)

saan . Ang pormula (1) ay tinatawag na pormula ng pangkalahatang termino ng isang geometric na pag-unlad, at ang pormula (2) ay kumakatawan sa pangunahing katangian ng isang geometriko na pag-unlad: ang bawat termino ng pag-unlad ay tumutugma sa geometric na mean ng mga kalapit na termino nito at .

Tandaan, na ito ay tiyak na dahil sa pag-aari na ito na ang pag-unlad na pinag-uusapan ay tinatawag na "geometric".

Ang mga formula sa itaas (1) at (2) ay pangkalahatan gaya ng sumusunod:

, (3)

Upang kalkulahin ang halaga una mga tuntunin ng geometric na pag-unladnaaangkop ang formula

Kung ipahiwatig natin, kung gayon

saan . Dahil , ang formula (6) ay isang generalization ng formula (5).

Sa kaso kung kailan at geometric na pag-unladay walang katapusan na bumababa. Upang kalkulahin ang halagasa lahat ng termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang formula ay ginagamit

. (7)

Halimbawa, gamit ang pormula (7) maipapakita natin, Ano

saan . Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nakuha mula sa formula (7) sa ilalim ng kondisyon na , (unang pagkakapantay-pantay) at , (pangalawang pagkakapantay-pantay).

Teorama. Kung , kung gayon

Patunay. Kung , kung gayon

Ang teorama ay napatunayan.

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Geometric progression".

Halimbawa 1. Ibinigay: , at . Hanapin ang .

Solusyon. Kung ilalapat natin ang formula (5), kung gayon

Sagot: .

Halimbawa 2. Hayaan mo na. Hanapin ang .

Solusyon. Dahil at , gumagamit kami ng mga formula (5), (6) at kumuha ng sistema ng mga equation

Kung ang pangalawang equation ng system (9) ay hinati sa una, pagkatapos o . Ito ay sumusunod mula dito na . Isaalang-alang natin ang dalawang kaso.

1. Kung, pagkatapos ay mula sa unang equation ng system (9) mayroon tayo.

2. Kung , kung gayon .

Halimbawa 3. Hayaan , at . Hanapin ang .

Solusyon. Mula sa pormula (2) ito ay sumusunod na o . Mula noon o .

Ayon sa kondisyon. Gayunpaman, samakatuwid. Simula at pagkatapos dito mayroon kaming isang sistema ng mga equation

Kung ang pangalawang equation ng system ay hinati sa una, kung gayon o .

Dahil, ang equation ay may natatanging angkop na ugat. Sa kasong ito, sumusunod ito mula sa unang equation ng system.

Isinasaalang-alang ang formula (7), nakukuha namin.

Sagot: .

Halimbawa 4. Ibinigay: at . Hanapin ang .

Solusyon. Simula noon.

Mula noong , noon o

Ayon sa formula (2) mayroon tayong . Kaugnay nito, mula sa pagkakapantay-pantay (10) ay nakukuha natin o .

Gayunpaman, sa pamamagitan ng kondisyon, samakatuwid.

Halimbawa 5. Ito ay kilala na. Hanapin ang .

Solusyon. Ayon sa theorem, mayroon tayong dalawang pagkakapantay-pantay

Mula noon o . Dahil, kung gayon.

Sagot: .

Halimbawa 6. Ibinigay: at . Hanapin ang .

Solusyon. Isinasaalang-alang ang formula (5), nakukuha namin

Simula noon. Mula noon , at , noon .

Halimbawa 7. Hayaan mo na. Hanapin ang .

Solusyon. Ayon sa pormula (1) maaari tayong sumulat

Samakatuwid, mayroon tayong o . Ito ay kilala na at , samakatuwid at .

Sagot: .

Halimbawa 8. Hanapin ang denominator ng isang walang katapusang bumababa na geometric na pag-unlad kung

At .

Solusyon. Mula sa formula (7) ito ay sumusunod At . Mula dito at mula sa mga kondisyon ng problema ay nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation

Kung ang unang equation ng system ay parisukat, at pagkatapos ay hatiin ang resultang equation sa pangalawang equation, pagkatapos makuha namin

O kaya .

Sagot: .

Halimbawa 9. Hanapin ang lahat ng mga halaga kung saan ang sequence , , ay isang geometric na pag-unlad.

Solusyon. Hayaan , at . Ayon sa formula (2), na tumutukoy sa pangunahing katangian ng isang geometric na pag-unlad, maaari nating isulat o .

Mula dito nakukuha natin ang quadratic equation, na ang mga ugat ay At .

Suriin natin: kung, pagkatapos , at ;

kung , pagkatapos , at . Sa unang kaso mayroon kami

at , at sa pangalawa – at .

Sagot: , .Halimbawa 10.

, (11)

Lutasin ang equation

saan at .

Mula sa formula (7) ito ay sumusunod, Ano Solusyon. Ang kaliwang bahagi ng equation (11) ay ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, kung saan at , napapailalim sa: at .. Kaugnay nito, ang equation (11) ay nasa anyo o . Angkop na ugat quadratic equation

Sagot: .

ay Halimbawa 11. Ppagkakasunud-sunod ng mga positibong numero bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika , A- geometric na pag-unlad

Solusyon., at dito. Hanapin ang . kasi pagkakasunud-sunod ng aritmetika , Iyon(ang pangunahing pag-aari ng pag-unlad ng aritmetika). Since , pagkatapos o . Kasunod nito,na ang geometric progression ay may anyo. Ayon sa formula (2)

, pagkatapos ay isulat namin iyon. Simula at , noon. Sa kasong ito, ang expression tumatagal ang form o . Ayon sa kondisyon,kaya mula sa Eq. nakukuha namin ang tanging solusyon problemang isinasaalang-alang

Sagot: .

, ibig sabihin. . Halimbawa 12.

. (12)

Solusyon. Kalkulahin ang Sum

I-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (12) sa 5 at makuha pagkakasunud-sunod ng aritmetika

Kung ibawas natin ang (12) sa resultang expression

o .

Sagot: .

Upang makalkula, pinapalitan namin ang mga halaga sa formula (7) at makuha ang . Simula noon., Ang mga halimbawa ng paglutas ng problema na ibinigay dito ay magiging kapaki-pakinabang sa mga aplikante kapag naghahanda para sa mga pagsusulit sa pasukan. Para sa mas malalim na pag-aaral ng mga paraan ng paglutas ng problema, nauugnay sa geometric progression maaaring gamitin pantulong sa pagtuturo

1. Koleksyon ng mga problema sa matematika para sa mga aplikante sa mga kolehiyo / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir at Edukasyon, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika para sa mga mag-aaral sa high school: karagdagang mga seksyon kurikulum ng paaralan. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Buong kurso elementarya matematika sa mga gawain at pagsasanay. Aklat 2: Mga Pagkakasunud-sunod ng Numero at Pag-unlad. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

May mga tanong pa ba?

Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Nakapasok na Sinaunang Ehipto alam hindi lamang arithmetic, ngunit din geometric pag-unlad. Narito, halimbawa, ang isang problema mula sa Rhind papyrus: “Pitong mukha ay may pitong pusa; Ang bawat pusa ay kumakain ng pitong daga, bawat daga ay kumakain ng pitong uhay ng mais, at bawat uhay ng barley ay maaaring magtanim ng pitong takal ng barley. Gaano kalaki ang mga numero sa seryeng ito at ang kanilang kabuuan?

kanin. 1. Sinaunang Egyptian geometric progression problema

Ang gawaing ito ay inulit ng maraming beses na may iba't ibang mga pagkakaiba-iba sa iba pang mga tao sa ibang mga oras. Halimbawa, sa nakasulat noong ika-13 siglo. Ang “The Book of the Abacus” ni Leonardo ng Pisa (Fibonacci) ay may problema kung saan 7 matandang babae ang lumilitaw papunta sa Roma (malinaw na mga pilgrim), bawat isa ay may 7 mules, bawat isa ay may 7 bag, bawat isa ay naglalaman ng 7 tinapay, bawat isa ay may 7 kutsilyo, bawat isa ay may 7 kaluban. Ang problema ay nagtatanong kung gaano karaming mga bagay ang mayroon.

Ang kabuuan ng unang n termino ng geometric progression S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Ang formula na ito ay maaaring patunayan, halimbawa, tulad nito: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Idagdag ang numero b 1 q n sa S n at makuha ang:

Mula dito S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), at nakukuha namin ang kinakailangang formula.

Nasa isa na sa mga clay tablet ng Ancient Babylon, na itinayo noong ika-6 na siglo. BC e., naglalaman ng kabuuan na 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Totoo, tulad ng sa ilang iba pang kaso, hindi natin alam kung paano nalaman ng mga Babylonia ang katotohanang ito. .

Ang mabilis na pagtaas ng geometric na pag-unlad sa isang bilang ng mga kultura, lalo na sa Indian, ay paulit-ulit na ginagamit bilang isang visual na simbolo ng kalawakan ng uniberso. Sa sikat na alamat tungkol sa hitsura ng chess, binibigyan ng pinuno ang imbentor nito ng pagkakataon na pumili ng gantimpala sa kanyang sarili, at hinihiling niya ang bilang ng mga butil ng trigo na makukuha kung ang isa ay inilagay sa unang parisukat ng chessboard, dalawa sa ang pangalawa, apat sa ikatlo, walo sa ikaapat, at iba pa, sa bawat oras na ang bilang ay dumoble. Naisip ni Vladyka iyon pinag-uusapan natin, sa karamihan, mga ilang bag, ngunit nagkamali siya ng kalkula. Madaling makita na para sa lahat ng 64 na parisukat ng chessboard ang imbentor ay kailangang makatanggap ng (2 64 – 1) mga butil, na ipinapahayag bilang isang 20-digit na numero; kahit na ang buong ibabaw ng Earth ay ihasik, aabutin ng hindi bababa sa 8 taon upang mangolekta ng kinakailangang dami ng mga butil. Ang alamat na ito ay minsan ay binibigyang kahulugan bilang nagpapahiwatig ng halos walang limitasyong mga posibilidad na nakatago sa laro ng chess.

Madaling makita na ang numerong ito ay talagang 20-digit:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙10 19 (isang mas tumpak na pagkalkula ay nagbibigay ng 1.84∙10 19). Ngunit iniisip ko kung maaari mong malaman kung anong digit ang nagtatapos sa numerong ito?

Ang isang geometric progression ay maaaring tumaas kung ang denominator ay mas malaki sa 1, o bumaba kung ito ay mas mababa sa isa. Sa huling kaso, ang bilang na q n para sa sapat na malaking n ay maaaring maging arbitraryong maliit. Habang ang pagtaas ng geometric na pag-unlad ay mabilis na tumataas, ang bumababa na geometriko na pag-unlad ay bumababa nang kasing bilis.

Ang mas malaki n, mas mahina ang numero q n ay naiiba mula sa zero, at mas malapit ang kabuuan ng n termino ng geometric progression S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) sa numero S = b 1 / ( 1 – q). (Halimbawa, nangangatuwiran si F. Viet sa ganitong paraan). Ang bilang na S ay tinatawag na kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Gayunpaman, sa loob ng maraming siglo ang tanong kung ano ang kahulugan ng pagbubuod ng BUONG geometriko na pag-unlad, kasama ang walang katapusang bilang ng mga termino, ay hindi sapat na malinaw sa mga mathematician.

Ang isang bumababang geometric na pag-unlad ay makikita, halimbawa, sa aporias ni Zeno na "Half Division" at "Achilles and the Tortoise." Sa unang kaso, malinaw na ipinakita na ang buong kalsada (ipagpalagay na ang haba 1) ay ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga segment 1/2, 1/4, 1/8, atbp. Ito, siyempre, ang kaso mula sa ang punto ng view ng mga ideya tungkol sa isang finite sum infinite geometric progression. At gayon pa man - paano ito mangyayari?

Sa aporia tungkol kay Achilles, ang sitwasyon ay medyo mas kumplikado, dahil dito ang denominator ng pag-unlad ay hindi 1/2, ngunit ilang iba pang numero. Hayaan, halimbawa, tumakbo si Achilles nang may bilis na v, ang pagong ay gumagalaw nang may bilis na u, at ang unang distansya sa pagitan nila ay l. Sasakupin ni Achilles ang distansyang ito sa oras na l/v, at sa panahong ito ang pagong ay lilipat ng layo na lu/v. Kapag tinakbo ni Achilles ang segment na ito, ang distansya sa pagitan niya at ng pagong ay magiging katumbas ng l (u /v) 2, atbp. Lumalabas na ang paghabol sa pagong ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad sa una term l at ang denominator u /v. Ang kabuuan na ito - ang segment na sa huli ay tatakbo ni Achilles sa tagpuan kasama ang pagong - ay katumbas ng l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Ngunit, muli, paano dapat bigyang-kahulugan ang resultang ito at bakit may kabuluhan ito? sa mahabang panahon hindi masyadong malinaw.

Ginamit ni Archimedes ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad upang matukoy ang lugar ng isang segment ng parabola. Hayaang ang segment na ito ng parabola ay ma-delimited ng chord AB at hayaan ang padaplis sa punto D ng parabola ay parallel sa AB. Hayaang C ang midpoint ng AB, E ang midpoint ng AC, F ang midpoint ng CB. Gumuhit tayo ng mga linya parallel sa DC sa pamamagitan ng mga puntos A, E, F, B; Hayaang ang padaplis na iginuhit sa punto D ay magsalubong sa mga linyang ito sa mga puntong K, L, M, N. Gumuhit din tayo ng mga segment na AD at DB. Hayaang magsalubong ang linyang EL sa linyang AD sa punto G, at ang parabola sa punto H; Ang linya ng FM ay nag-intersect sa linya ng DB sa puntong Q, at ang parabola sa puntong R. Ayon sa pangkalahatang teorya ng mga conic na seksyon, ang DC ay ang diameter ng isang parabola (iyon ay, isang segment na kahanay sa axis nito); ito at ang tangent sa punto D ay maaaring magsilbi bilang coordinate axes x at y, kung saan ang equation ng parabola ay nakasulat bilang y 2 = 2px (x ay ang distansya mula D hanggang sa anumang punto ng isang binigay na diameter, y ang haba ng isang segment na parallel sa isang binigay na tangent mula sa puntong ito ng diameter hanggang sa ilang punto sa parabola mismo).

Sa bisa ng parabola equation, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, at dahil DK = 2DL, pagkatapos KA = 4LH. Dahil KA = 2LG, LH = HG. Ang lugar ng segment na ADB ng isang parabola ay katumbas ng lugar ng tatsulok na ΔADB at ang mga lugar ng mga segment na pinagsama ng AHD at DRB. Kaugnay nito, ang lugar ng segment AHD ay katulad na katumbas ng lugar ng tatsulok na AHD at ang natitirang mga segment na AH at HD, na ang bawat isa ay maaari mong isagawa ang parehong operasyon - hatiin sa isang tatsulok (Δ) at ang dalawang natitirang mga segment (), atbp.:

Ang lugar ng tatsulok ΔAHD ay katumbas ng kalahati ng lugar ng tatsulok ΔALD (mayroon silang isang karaniwang base AD, at ang taas ay naiiba ng 2 beses), na, naman, ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ​ang tatsulok ΔAKD, at samakatuwid ay kalahati ng lugar ng tatsulok ΔACD. Kaya, ang lugar ng tatsulok ΔAHD ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng tatsulok ΔACD. Gayundin, ang lugar ng tatsulok ΔDRB ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng tatsulok na ΔDFB. Kaya, ang mga lugar ng triangles ΔAHD at ΔDRB, na pinagsama, ay katumbas ng isang quarter ng lugar ng triangle ΔADB. Ang pag-uulit ng operasyon na ito kapag inilapat sa mga segment na AH, HD, DR at RB ay pipili ng mga tatsulok mula sa kanila, ang lugar kung saan, kapag pinagsama, ay 4 na beses na mas mababa kaysa sa lugar ng mga tatsulok ΔAHD at ΔDRB, na pinagsama, at samakatuwid 16 beses na mas mababa, kaysa sa lugar ng tatsulok ΔADB. At iba pa:

Kaya, pinatunayan ni Archimedes na "bawat segment na nasa pagitan ng isang tuwid na linya at isang parabola ay bumubuo ng apat na-katlo ng isang tatsulok na may parehong base at pantay na taas."

Ang geometric progression, kasama ng arithmetic, ay isang mahalagang serye ng numero na pinag-aaralan sa kurso sa paaralan algebra sa ika-9 na baitang. Sa artikulong ito titingnan natin ang denominator ng isang geometric na pag-unlad at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa mga katangian nito.

Kahulugan ng geometric progression

Una, bigyan natin ang kahulugan ng serye ng numerong ito. Ang geometric progression ay isang serye ng mga rational na numero na nabuo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng unang elemento nito sa isang pare-parehong numero na tinatawag na denominator.

Halimbawa, ang mga numero sa serye 3, 6, 12, 24, ... ay isang geometric na pag-unlad, dahil kung i-multiply mo ang 3 (ang unang elemento) sa 2, makakakuha ka ng 6. Kung i-multiply mo ang 6 sa 2, makakakuha ka ng 12, at iba pa.

Ang mga miyembro ng pagkakasunud-sunod na isinasaalang-alang ay karaniwang tinutukoy ng simbolong ai, kung saan ang i ay isang integer na nagpapahiwatig ng bilang ng elemento sa serye.

Ang kahulugan sa itaas ng pag-unlad ay maaaring isulat sa wikang matematika gaya ng sumusunod: an = bn-1 * a1, kung saan ang b ang denominator. Madaling suriin ang formula na ito: kung n = 1, kung gayon b1-1 = 1, at makuha natin ang a1 = a1. Kung n = 2, pagkatapos ay an = b * a1, at muli tayong dumating sa kahulugan ng serye ng mga numero na pinag-uusapan. Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring ipagpatuloy para sa malalaking halaga n.

Denominator ng geometric progression

Ang numerong b ay ganap na tumutukoy kung anong karakter ang magkakaroon ng buong serye ng numero. Ang denominator b ay maaaring positibo, negatibo, o mas malaki sa o mas mababa sa isa. Ang lahat ng mga opsyon sa itaas ay humahantong sa iba't ibang mga pagkakasunud-sunod:

• b > 1. Mayroong dumaraming serye ng mga rational na numero. Halimbawa, 1, 2, 4, 8, ... Kung ang elemento a1 ay negatibo, ang buong sequence ay tataas lamang sa ganap na halaga, ngunit bababa depende sa tanda ng mga numero.
• b = 1. Kadalasan ang kasong ito ay hindi tinatawag na progression, dahil mayroong isang ordinaryong serye ng magkaparehong rational na mga numero. Halimbawa, -4, -4, -4.

Formula para sa halaga

Bago magpatuloy sa pagsusuri mga tiyak na gawain Gamit ang denominator ng uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang, isang mahalagang pormula ang dapat ibigay para sa kabuuan ng unang n elemento nito. Ang formula ay mukhang: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Makukuha mo mismo ang expression na ito kung isasaalang-alang mo ang recursive sequence ng progression terms. Tandaan din na sa formula sa itaas ay sapat na malaman lamang ang unang elemento at ang denominator upang mahanap ang kabuuan anumang numero mga miyembro.

Walang katapusang pagbaba ng pagkakasunod-sunod

Ang isang paliwanag ay ibinigay sa itaas kung ano ito. Ngayon, alam ang formula para sa Sn, ilapat natin ito sa serye ng numerong ito. Dahil ang anumang numero na ang modulus ay hindi lalampas sa 1 ay may posibilidad na maging zero kapag itinaas sa malalaking kapangyarihan, ibig sabihin, b∞ => 0 kung -1

Dahil ang pagkakaiba (1 - b) ay palaging magiging positibo, anuman ang halaga ng denominator, ang tanda ng kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na S∞ ay katangi-tanging tinutukoy ng tanda ng unang elemento nito na a1.

Ngayon tingnan natin ang ilang mga problema kung saan ipapakita natin kung paano ilapat ang nakuhang kaalaman sa mga tiyak na numero.

Problema Blg. 1. Pagkalkula ng mga hindi kilalang elemento ng pag-unlad at kabuuan

Dahil sa geometric progression, ang denominator ng progression ay 2, at ang unang elemento nito ay 3. Ano ang magiging katumbas ng ika-7 at ika-10 termino nito, at ano ang kabuuan ng pitong paunang elemento nito?

Ang kondisyon ng problema ay medyo simple at nagsasangkot ng direktang paggamit ng mga formula sa itaas. Kaya, upang kalkulahin ang numero ng elemento n, ginagamit namin ang expression na an = bn-1 * a1. Para sa ika-7 elemento mayroon tayo: a7 = b6 * a1, pinapalitan ang kilalang data, nakukuha natin: a7 = 26 * 3 = 192. Ganoon din ang ginagawa natin para sa ika-10 termino: a10 = 29 * 3 = 1536.

Gamitin natin ang kilalang formula para sa kabuuan at tukuyin ang halagang ito para sa unang 7 elemento ng serye. Mayroon kaming: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problema Blg. 2. Pagtukoy sa kabuuan ng mga di-makatwirang elemento ng isang pag-unlad

Hayaan ang -2 ay katumbas ng denominator ng geometric progression bn-1 * 4, kung saan ang n ay isang integer. Kinakailangang matukoy ang kabuuan mula sa ika-5 hanggang ika-10 elemento ng seryeng ito, kasama.

Ang problema ay hindi malulutas nang direkta gamit ang mga kilalang formula. Maaari itong malutas sa 2 paraan iba't ibang pamamaraan. Para sa pagkakumpleto ng presentasyon ng paksa, ipinakita namin pareho.

Paraan 1. Ang ideya ay simple: kailangan mong kalkulahin ang dalawang katumbas na kabuuan ng mga unang termino, at pagkatapos ay ibawas ang isa sa isa. Kinakalkula namin ang mas maliit na halaga: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ngayon kinakalkula namin ang mas malaking kabuuan: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tandaan na sa huling expression ay 4 na termino lamang ang na-summed, dahil ang ika-5 ay kasama na sa halaga na kailangang kalkulahin ayon sa mga kondisyon ng problema. Sa wakas, kinukuha namin ang pagkakaiba: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Paraan 2. Bago palitan ang mga numero at pagbibilang, maaari kang kumuha ng pormula para sa kabuuan sa pagitan ng m at n termino ng seryeng pinag-uusapan. Nagpapatuloy kami sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa pamamaraan 1, tanging kami ay unang nagtatrabaho sa simbolikong representasyon ng halaga. Mayroon kaming: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Maaari mong palitan ang mga kilalang numero sa resultang expression at kalkulahin ang huling resulta: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problema Blg. 3. Ano ang denominator?

Hayaan ang a1 = 2, hanapin ang denominator ng geometric progression, sa kondisyon na ang infinite sum nito ay 3, at alam na ito ay isang bumababang serye ng mga numero.

Batay sa mga kondisyon ng problema, hindi mahirap hulaan kung aling formula ang dapat gamitin upang malutas ito. Siyempre, para sa kabuuan ng pag-unlad na walang katapusan na bumababa. Mayroon kaming: S∞ = a1 / (1 - b). Mula sa kung saan ipinapahayag namin ang denominator: b = 1 - a1 / S∞. Ito ay nananatiling palitan ang mga kilalang halaga at makuha ang kinakailangang numero: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 o -0.333(3). Maaari nating suriin nang husay ang resultang ito kung naaalala natin na para sa ganitong uri ng pagkakasunud-sunod ang modulus b ay hindi dapat lumampas sa 1. Gaya ng makikita, |-1 / 3|

Gawain Blg. 4. Pagpapanumbalik ng serye ng mga numero

Hayaang ibigay ang 2 elemento ng isang serye ng numero, halimbawa, ang ika-5 ay katumbas ng 30 at ang ika-10 ay katumbas ng 60. Kinakailangang muling buuin ang buong serye mula sa mga datos na ito, alam na natutugunan nito ang mga katangian ng isang geometric na pag-unlad.

Upang malutas ang problema, kailangan mo munang isulat ang kaukulang expression para sa bawat kilalang termino. Mayroon kaming: a5 = b4 * a1 at a10 = b9 * a1. Ngayon hatiin ang pangalawang expression sa una, nakukuha natin: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Mula dito matutukoy natin ang denominator sa pamamagitan ng pagkuha ng ikalimang ugat ng ratio ng mga terminong kilala mula sa pahayag ng problema, b = 1.148698. Pinapalitan namin ang resultang numero sa isa sa mga expression para sa kilalang elemento, nakukuha namin ang: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Kaya, nakita namin ang denominator ng progression bn, at ang geometric progression bn-1 * 17.2304966 = an, kung saan b = 1.148698.

Saan ginagamit ang mga geometric progression?

Kung walang praktikal na aplikasyon ng serye ng numerong ito, ang pag-aaral nito ay mababawasan sa puro teoretikal na interes. Ngunit umiiral ang gayong aplikasyon.

Nasa ibaba ang 3 pinakasikat na halimbawa:

• Ang kabalintunaan ni Zeno, kung saan ang maliksi na si Achilles ay hindi makahabol sa mabagal na pagong, ay nalutas gamit ang konsepto ng isang walang katapusang pagbaba ng pagkakasunod-sunod ng mga numero.
• Kung maglalagay ka ng mga butil ng trigo sa bawat parisukat ng isang chessboard upang sa 1st square ay maglagay ka ng 1 butil, sa ika-2 - 2, sa ika-3 - 3, at iba pa, pagkatapos ay upang punan ang lahat ng mga parisukat ng board na kakailanganin mo 18446744073709551615 butil!
• Sa larong "Tower of Hanoi", upang ilipat ang mga disk mula sa isang baras patungo sa isa pa, kinakailangan na magsagawa ng 2n - 1 na operasyon, iyon ay, ang kanilang bilang ay lumalaki nang malaki sa bilang ng n ng mga disk na ginamit.

Ang formula para sa ika-1 na termino ng isang geometric na pag-unlad ay napaka-simple. Parehong sa kahulugan at sa pangkalahatang hitsura. Ngunit mayroong lahat ng mga uri ng mga problema sa pormula ng ika-nth term - mula sa napaka-primitive hanggang sa medyo seryoso. At sa proseso ng aming pagkakakilala, tiyak na isasaalang-alang namin ang pareho. Well, magkakilala tayo?)

Kaya, sa simula, talaga pormulan

Narito ito:

b n = b 1 · qn -1

Ang formula ay formula lang, walang supernatural. Mukhang mas simple at mas compact kaysa sa isang katulad na formula para sa. Ang kahulugan ng formula ay kasing simple din ng felt boots.

Binibigyang-daan ka ng formula na ito na mahanap ang ANUMANG miyembro ng isang geometric na pag-unlad NG NITO NUMERO " n".

Tulad ng makikita mo, ang kahulugan ay kumpletong pagkakatulad sa isang pag-unlad ng aritmetika. Alam natin ang numero n - mabibilang din natin ang termino sa ilalim ng numerong ito. Alin man ang gusto natin. Nang walang paulit-ulit na pagpaparami ng "q" nang maraming, maraming beses. Iyon ang buong punto.)

Nauunawaan ko na sa antas na ito ng pagtatrabaho sa mga pag-unlad, ang lahat ng dami na kasama sa formula ay dapat na malinaw na sa iyo, ngunit itinuturing ko pa ring tungkulin kong tukuyin ang bawat isa. Kung sakali.

Kaya, narito tayo:

b 1 – una termino ng geometric progression;

q – ;

n- numero ng miyembro;

b n – nth (nika) termino ng isang geometric na pag-unlad.

Ang formula na ito ay nag-uugnay sa apat na pangunahing mga parameter ng anumang geometric na pag-unlad - bn, b 1 , q At n. At ang lahat ng mga problema sa pag-unlad ay umiikot sa apat na pangunahing figure na ito.

"Paano ito tinanggal?"– Naririnig kong tanong ng kakaiba... Elementary! Tingnan mo!

Ano ang katumbas ng pangalawa miyembro ng progreso? Walang tanong! Direkta kaming sumulat:

b 2 = b 1 ·q

Paano ang ikatlong miyembro? Hindi rin problema! Paramihin natin ang pangalawang termino muli saq.

ganito:

B 3 = b 2 q

Alalahanin natin ngayon na ang pangalawang termino, naman, ay katumbas ng b 1 ·q at palitan ang ekspresyong ito sa ating pagkakapantay-pantay:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Nakukuha namin:

B 3 = b 1 ·q 2

Ngayon basahin natin ang aming entry sa Russian: pangatlo ang termino ay katumbas ng unang termino na pinarami ng q in pangalawa digri. Naiintindihan mo ba? hindi pa? Okay, isang hakbang pa.

Ano ang ikaapat na termino? Ang lahat ay pareho! Paramihin dati(i.e. ang ikatlong termino) sa q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Kabuuan:

B 4 = b 1 ·q 3

At muli, isinalin namin sa Russian: pang-apat ang termino ay katumbas ng unang termino na pinarami ng q in pangatlo digri.

At iba pa. Kaya paano? Nahuli mo ba ang pattern? Oo! Para sa anumang termino na may anumang numero, ang bilang ng magkaparehong mga salik q (ibig sabihin, ang antas ng denominator) ay palaging magiging mas mababa ng isa sa bilang ng gustong miyembron.

Samakatuwid, ang aming formula ay magiging, nang walang mga pagkakaiba-iba:

b n =b 1 · qn -1

Iyon lang.)

Well, lutasin natin ang mga problema, sa palagay ko?)

Paglutas ng mga problema sa formulanika-kataga ng isang geometric na pag-unlad.

Magsimula tayo, gaya ng dati, sa direktang aplikasyon ng formula. Narito ang isang karaniwang problema:

Sa geometric progression, ito ay kilala na b 1 = 512 at q = -1/2. Hanapin ang ikasampung termino ng progression.

Siyempre, ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula. Direkta sa kahulugan ng geometric na pag-unlad. Pero kailangan nating mag-warm up sa formula for the nth term diba? Dito tayo nag-iinit.

Ang aming data para sa paglalapat ng formula ay ang mga sumusunod.

Ang unang miyembro ay kilala. Ito ay 512.

b 1 = 512.

Ang denominator ng pag-unlad ay kilala rin: q = -1/2.

Ang natitira na lang ay upang malaman kung ano ang bilang ng miyembro n. Walang tanong! Interesado ba tayo sa ikasampung termino? Kaya pinapalitan namin ang sampu sa halip na n sa pangkalahatang formula.

At maingat na kalkulahin ang aritmetika:

Sagot: -1

Tulad ng nakikita mo, ang ikasampung termino ng pag-unlad ay naging minus. Walang nakakagulat: ang aming progression denominator ay -1/2, i.e. negatibo numero. At ito ay nagsasabi sa amin na ang mga palatandaan ng aming pag-unlad ay kahalili, oo.)

Simple lang ang lahat dito. Narito ang isang katulad na problema, ngunit medyo mas kumplikado sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon.

Sa geometric progression, alam na:

b 1 = 3

Hanapin ang ikalabintatlong termino ng progression.

Ang lahat ay pareho, tanging sa pagkakataong ito ang denominator ng pag-unlad ay hindi makatwiran. ugat ng dalawa. Well, okay lang. Ang formula ay isang unibersal na bagay;

Direkta kaming nagtatrabaho ayon sa formula:

Ang formula, siyempre, ay gumana ayon sa nararapat, ngunit... dito ang ilang mga tao ay natigil. Ano ang susunod na gagawin sa ugat? Paano itaas ang isang ugat sa ikalabindalawang kapangyarihan?

Paano-paano... Dapat mong maunawaan na ang anumang formula, siyempre, ay isang magandang bagay, ngunit ang kaalaman sa lahat ng nakaraang matematika ay hindi nakansela! Paano bumuo? Oo, tandaan ang mga katangian ng mga degree! Gawin natin ang ugat sa fractional degree at – ayon sa pormula para sa pagtaas ng antas sa isang antas.

ganito:

Sagot: 192

At iyon lang.)

Ano ang pangunahing kahirapan sa direktang paglalapat ng nth term formula? Oo! Ang pangunahing kahirapan ay nagtatrabaho sa mga degree! Ibig sabihin, exponentiation mga negatibong numero, mga fraction, ugat at mga katulad na istruktura. Kaya't ang mga may problema dito, mangyaring ulitin ang mga degree at ang kanilang mga ari-arian! Kung hindi, babagal mo rin ang paksang ito, oo...)

Ngayon, lutasin natin ang mga karaniwang problema sa paghahanap isa sa mga elemento ng formula, kung lahat ng iba ay ibinigay. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, ang recipe ay pare-pareho at napakasimple - isulat ang formulanika-ka miyembro sa pangkalahatang pananaw! Nasa notebook na katabi ng kundisyon. At pagkatapos ay mula sa kondisyon ay nalaman natin kung ano ang ibinigay sa atin at kung ano ang kulang. At ipinapahayag namin mula sa formula ang kinakailangang halaga. Lahat!

Halimbawa, ang gayong hindi nakakapinsalang problema.

Ang ikalimang termino ng isang geometric progression na may denominator 3 ay 567. Hanapin ang unang termino ng progression na ito.

Walang kumplikado. Direkta kaming nagtatrabaho ayon sa spell.

Isulat natin ang formula para sa nth term!

b n = b 1 · qn -1

Ano ang ibinigay sa atin? Una, ang denominator ng pag-unlad ay ibinigay: q = 3.

Bukod dito, binibigyan tayo ikalimang miyembro: b 5 = 567 .

Lahat? Hindi! Binigyan din kami ng number n! Lima ito: n = 5.

Sana maintindihan mo na kung ano ang nasa recording b 5 = 567 dalawang parameter ang nakatago nang sabay-sabay - ito ang ikalimang termino mismo (567) at ang numero nito (5). Napag-usapan ko na ito sa isang katulad na aralin, ngunit sa palagay ko ito ay nagkakahalaga din na banggitin dito.)

Ngayon ay pinapalitan namin ang aming data sa formula:

567 = b 1 ·3 5-1

Ginagawa namin ang aritmetika, pinasimple at nakakakuha ng isang bagay na simple linear equation:

81 b 1 = 567

Malutas namin at makuha:

b 1 = 7

Tulad ng nakikita mo, walang mga problema sa paghahanap ng unang termino. Ngunit kapag naghahanap para sa denominator q at mga numero n Maaaring may mga sorpresa din. At kailangan mo ring maging handa para sa kanila (mga sorpresa), oo.)

Halimbawa, ang problemang ito:

Ang ikalimang termino ng isang geometric progression na may positibong denominator ay 162, at ang unang termino ng progression na ito ay 2. Hanapin ang denominator ng progression.

Sa pagkakataong ito, binibigyan tayo ng una at ikalimang termino, at hinihiling na hanapin ang denominator ng pag-unlad. Dito na tayo.

Sinusulat namin ang formulanika miyembro!

b n = b 1 · qn -1

Ang aming paunang data ay ang mga sumusunod:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nawawalang halaga q. Walang tanong! Hanapin natin ito ngayon.) Pinapalitan natin ang lahat ng alam natin sa formula.

Nakukuha namin:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Isang simpleng equation ng ikaapat na antas. At ngayon- maingat! Naka-on sa yugtong ito mga solusyon, maraming mga mag-aaral ang agad na masayang kunin ang ugat (ng ikaapat na antas) at makuha ang sagot q=3 .

ganito:

q4 = 81

q = 3

Ngunit sa totoo lang, ito ay isang hindi natapos na sagot. Mas tiyak, hindi kumpleto. Bakit? Ang punto ay ang sagot q = -3 angkop din: (-3) 4 ay magiging 81 din!

Ito ay dahil ang power equation x n = a laging meron dalawang magkasalungat na ugat sa kahitn . May plus at minus:

Parehong angkop.

Halimbawa, kapag nagpapasya (i.e. pangalawa grado)

x 2 = 9

Para sa ilang kadahilanan hindi ka nagulat sa hitsura dalawa mga ugat x=±3? Ganun din dito. At sa iba pa kahit degree (ikaapat, ikaanim, ikasampu, atbp.) ay magiging pareho. Ang mga detalye ay nasa paksa tungkol sa

kaya lang ang tamang desisyon magiging ganito:

q 4 = 81

q= ±3

Okay, inayos na namin ang mga palatandaan. Alin ang tama - plus o minus? Buweno, basahin natin muli ang pahayag ng problema sa paghahanap ng karagdagang impormasyon. Siyempre, maaaring hindi ito umiiral, ngunit sa problemang ito ang naturang impormasyon magagamit. Ang aming kundisyon ay nagsasaad sa payak na teksto na ang isang pag-unlad ay ibinigay kasama positibong denominador.

Samakatuwid ang sagot ay malinaw:

q = 3

Simple lang ang lahat dito. Ano sa palagay mo ang mangyayari kung ang pahayag ng problema ay ganito:

Ang ikalimang termino ng isang geometric progression ay 162, at ang unang termino ng progression na ito ay 2. Hanapin ang denominator ng progression.

Ano ang pinagkaiba? Oo! Sa kondisyon wala walang binanggit ang sign ng denominator. Hindi direkta o hindi direkta. At narito na ang problema dalawang solusyon!

q = 3 At q = -3

Oo, oo! Parehong may plus at may minus.) Sa matematika, ang katotohanang ito ay nangangahulugan na mayroong dalawang pag-unlad, na akma sa mga kondisyon ng problema. At bawat isa ay may kanya-kanyang denominator. Para lang masaya, magsanay at isulat ang unang limang termino ng bawat isa.)

Ngayon ay magsanay tayo sa paghahanap ng numero ng miyembro. Ang problemang ito ang pinakamahirap, oo. Ngunit mas malikhain din.)

Ibinigay ang isang geometric na pag-unlad:

3; 6; 12; 24; …

Anong numero sa progression na ito ang numerong 768?

Ang unang hakbang ay pareho pa rin: isulat ang formulanika miyembro!

b n = b 1 · qn -1

At ngayon, gaya ng dati, pinapalitan namin ang data na alam namin dito. Hm... hindi gumagana! Nasaan ang unang termino, nasaan ang denominator, nasaan ang lahat?!

Saan, saan... Bakit kailangan natin ng mata? Pag-flap ng iyong pilikmata? Sa pagkakataong ito, ang pag-unlad ay direktang ibinibigay sa amin sa anyo mga pagkakasunod-sunod. Maaari ba nating makita ang unang miyembro? nakikita natin! Ito ay isang triple (b 1 = 3). Paano ang denominator? Hindi pa namin nakikita, ngunit napakadaling bilangin. Kung, siyempre, naiintindihan mo ...

Kaya binibilang namin. Direkta ayon sa kahulugan ng isang geometric na pag-unlad: kinukuha namin ang alinman sa mga termino nito (maliban sa una) at hinahati sa nauna.

Hindi bababa sa ganito:

q = 24/12 = 2

Ano pa ang alam natin? Alam din natin ang ilang termino ng pag-unlad na ito, katumbas ng 768. Sa ilalim ng ilang bilang n:

b n = 768

Hindi namin alam ang kanyang numero, ngunit ang aming gawain ay tiyak na hanapin siya.) Kaya hinahanap namin. Na-download na namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagpapalit sa formula. Lingid sa iyong kaalaman.)

Dito namin pinapalitan:

768 = 3 2n -1

Gawin natin ang mga elementarya - hatiin ang magkabilang panig ng tatlo at muling isulat ang equation sa karaniwang anyo: ang hindi alam ay nasa kaliwa, ang kilala ay nasa kanan.

Nakukuha namin:

2 n -1 = 256

Ito ay isang kawili-wiling equation. Kailangan nating hanapin ang "n". Ano, hindi karaniwan? Oo, hindi ako nakikipagtalo. Sa totoo lang, ito ang pinakasimpleng bagay. Tinatawag itong gayon dahil ang hindi kilala (sa sa kasong ito ito ay isang numero n) gastos sa tagapagpahiwatig digri.

Sa yugto ng pag-aaral tungkol sa geometric progression (ito ang ika-siyam na baitang), hindi ka nila tinuturuan kung paano lutasin ang mga exponential equation, oo... Ito ay isang paksa para sa mataas na paaralan. Pero walang nakakatakot. Kahit na hindi mo alam kung paano nalulutas ang mga naturang equation, subukan nating hanapin ang ating n, ginagabayan ng simpleng lohika at sentido komun.

Magsimula na tayong mag-usap. Sa kaliwa ay mayroon kaming isang deuce sa ilang lawak. Hindi pa namin alam kung ano ang eksaktong degree na ito, ngunit hindi iyon nakakatakot. Ngunit alam nating sigurado na ang degree na ito ay katumbas ng 256! Kaya naaalala natin kung hanggang saan ang binibigay sa atin ng dalawa 256. Naaalala mo ba? Oo! SA ikawalo grado!

256 = 2 8

Kung hindi mo naaalala o nagkakaroon ng mga problema sa pagkilala sa mga degree, ayos lang: sunud-sunod lang tayong kuwadrado ng dalawa, kubo, ikaapat, ikalima, at iba pa. Ang pagpili, sa katunayan, ngunit sa antas na ito ay gagana nang maayos.

Sa isang paraan o iba pa, makukuha natin:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Kaya 768 ay ikasiyam miyembro ng ating pag-unlad. Iyon lang, nalutas ang problema.)

Sagot: 9

ano? Nakakatamad? Pagod na sa elementarya? Sumang-ayon. Ako din. Lumipat tayo sa susunod na antas.)

Mas kumplikadong mga gawain.

Ngayon, lutasin natin ang mas mapanghamong mga problema. Hindi eksaktong sobrang cool, ngunit ang mga nangangailangan ng kaunting trabaho upang makuha ang sagot.

Halimbawa, ang isang ito.

Hanapin ang pangalawang termino ng isang geometric progression kung ang ikaapat na termino nito ay -24 at ang ikapitong termino nito ay 192.

Ito ay isang klasiko ng genre. Ang ilang dalawang magkaibang termino ng pag-unlad ay kilala, ngunit isa pang termino ang kailangang mahanap. Bukod dito, ang lahat ng miyembro ay HINDI magkapitbahay. Na nakakalito sa una, oo...

Tulad ng sa, upang malutas ang mga naturang problema ay isasaalang-alang namin ang dalawang pamamaraan. Ang unang paraan ay unibersal. Algebraic. Gumagana nang walang kamali-mali sa anumang source data. Kaya diyan tayo magsisimula.)

Inilalarawan namin ang bawat termino ayon sa formula nika miyembro!

Ang lahat ay eksaktong kapareho ng sa isang pag-unlad ng aritmetika. Ngayon lang kami nagtatrabaho isa pa pangkalahatang pormula. Iyon lang.) Ngunit ang esensya ay pareho: kunin namin at isa-isa Pinapalitan namin ang aming paunang data sa pormula para sa ika-n na termino. Para sa bawat miyembro - kanilang sarili.

Para sa ikaapat na termino, isinulat namin:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Kumain. Handa na ang isang equation.

Para sa ikapitong termino isinusulat namin:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Sa kabuuan, nakakuha kami ng dalawang equation para sa ang parehong pag-unlad .

Nag-ipon kami ng isang sistema mula sa kanila:

Sa kabila ng nakakatakot na hitsura nito, ang sistema ay medyo simple. Ang pinaka-halatang solusyon ay simpleng pagpapalit. Nagpapahayag kami b 1 mula sa itaas na equation at palitan ito sa mas mababang isa:

Pagkatapos ng kalikot sa ilalim ng equation ng kaunti (pagbabawas ng mga kapangyarihan at paghahati ng -24), nakukuha natin ang:

q 3 = -8

Sa pamamagitan ng paraan, ang parehong equation na ito ay maaaring maabot sa isang mas simpleng paraan! alin? Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang isa pang lihim, ngunit napakaganda, makapangyarihan at kapaki-pakinabang na paraan mga solusyon para sa mga naturang sistema. Ang ganitong mga sistema, ang mga equation na kinabibilangan gumagana lang. Hindi bababa sa isa. Tinawag paraan ng paghahati isang equation sa isa pa.

Kaya, mayroon kaming isang sistema bago sa amin:

Sa parehong mga equation sa kaliwa - trabaho, at sa kanan ay isang numero lamang. Ito ay napaka magandang tanda.) Kunin natin at... hatiin, sabihin nating, ang lower equation sa upper one! Ano ang ibig sabihin nito hatiin natin ang isang equation sa isa pa? Napakasimple. Kunin natin kaliwang bahagi isang equation (mas mababa) at hatiin sa kanya kaliwang bahagi isa pang equation (itaas). Ang kanang bahagi ay magkatulad: kanang bahagi isang equation hatiin sa kanang bahagi isa pa.

Ang buong proseso ng paghahati ay ganito:

Ngayon, binabawasan ang lahat ng maaaring bawasan, nakukuha natin:

q 3 = -8

Ano ang mabuti sa pamamaraang ito? Oo, dahil sa proseso ng naturang dibisyon ang lahat ng masama at hindi maginhawa ay maaaring ligtas na mabawasan at ang isang ganap na hindi nakakapinsalang equation ay nananatili! Ito ang dahilan kung bakit napakahalaga na magkaroon multiplikasyon lamang sa hindi bababa sa isa sa mga equation ng system. Walang multiplikasyon - walang bawasan, oo...

Sa pangkalahatan, ang pamamaraang ito (tulad ng maraming iba pang mga di-maliit na pamamaraan ng paglutas ng mga sistema) ay nararapat sa isang hiwalay na aralin. Tiyak na titingnan ko ito nang mas detalyado. balang araw…

Gayunpaman, hindi mahalaga kung gaano mo eksaktong lutasin ang system, sa anumang kaso, ngayon kailangan nating lutasin ang resultang equation:

q 3 = -8

Walang problema: kunin ang cube root at tapos ka na!

Pakitandaan na hindi na kailangang maglagay ng plus/minus dito kapag nag-extract. Ang ating ugat ay kakaiba (ikatlong) antas. At pareho din ang sagot, oo.)

Kaya, ang denominator ng pag-unlad ay natagpuan. Minus dalawa. Mahusay! Ang proseso ay patuloy.)

Para sa unang termino (sabihin, mula sa itaas na equation) nakukuha natin:

Mahusay! Alam natin ang unang termino, alam natin ang denominator. At ngayon ay mayroon kaming pagkakataon na mahanap ang sinumang miyembro ng pag-unlad. Kasama ang pangalawa.)

Para sa pangalawang termino, ang lahat ay medyo simple:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Sagot: -6

Kaya, pinaghiwa-hiwalay namin ang algebraic na pamamaraan para sa paglutas ng problema. Mahirap? Hindi naman, pumayag ako. Mahaba at nakakapagod? Oo, tiyak. Ngunit kung minsan maaari mong makabuluhang bawasan ang dami ng trabaho. Para dito mayroong graphic na pamamaraan. Matanda at pamilyar sa amin.)

Gumuhit tayo ng problema!

Oo! tama yan. Muli naming inilalarawan ang aming pag-unlad sa axis ng numero. Hindi kinakailangang sundin ang isang pinuno, hindi kinakailangan na mapanatili ang pantay na agwat sa pagitan ng mga termino (na, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi magiging pareho, dahil ang pag-unlad ay geometric!), Ngunit simpleng eskematiko Iguhit natin ang ating pagkakasunod-sunod.

Nakuha ko ito ng ganito:

Ngayon tingnan ang larawan at alamin ito. Ilang magkaparehong salik na "q" ang hiwalay pang-apat At ikapito miyembro? Tama, tatlo!

Samakatuwid, mayroon kaming lahat ng karapatan na magsulat:

-24·q 3 = 192

Mula dito, madali nang mahanap q:

q 3 = -8

q = -2

Iyan ay mahusay, mayroon na tayong denominator sa ating bulsa. Ngayon tingnan natin muli ang larawan: kung gaano karaming mga denominator ang nakaupo sa pagitan pangalawa At pang-apat miyembro? Dalawa! Samakatuwid, upang maitala ang koneksyon sa pagitan ng mga terminong ito, itataas natin ang denominator parisukat.

Kaya sumulat kami:

b 2 · q 2 = -24 , saan b 2 = -24/ q 2

Pinapalitan namin ang aming nahanap na denominator sa expression para sa b 2, bilangin at makuha ang:

Sagot: -6

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay mas simple at mas mabilis kaysa sa pamamagitan ng system. Bukod dito, hindi na namin kinailangan pang bilangin ang unang termino! Sa lahat.)

Narito ang isang simple at visual na way-light. Ngunit mayroon din itong malubhang sagabal. nahulaan mo ba? Oo! Ito ay mabuti lamang para sa napakaikling piraso ng pag-unlad. Yaong kung saan ang mga distansya sa pagitan ng mga miyembro ng interes sa amin ay hindi masyadong malaki. Ngunit sa lahat ng iba pang mga kaso mahirap na gumuhit ng isang larawan, oo... Pagkatapos ay malulutas namin ang problema nang analytical, sa pamamagitan ng system.) At ang mga sistema ay mga unibersal na bagay. Kakayanin nila ang anumang numero.

Isa pang epikong hamon:

Ang pangalawang termino ng geometric progression ay 10 higit pa kaysa sa una, at ang ikatlong termino ay 30 higit pa kaysa sa pangalawa. Hanapin ang denominator ng progression.

Ano, cool? Hindi naman! Ang lahat ay pareho. Muli naming isinasalin ang pahayag ng problema sa purong algebra.

1) Inilalarawan namin ang bawat termino ayon sa formula nika miyembro!

Pangalawang termino: b 2 = b 1 q

Ikatlong termino: b 3 = b 1 q 2

2) Isinulat namin ang koneksyon sa pagitan ng mga miyembro mula sa pahayag ng problema.

Nabasa namin ang kondisyon: "Ang pangalawang termino ng geometric progression ay 10 mas malaki kaysa sa una." Tumigil, ito ay mahalaga!

Kaya sumulat kami:

b 2 = b 1 +10

At isinasalin namin ang pariralang ito sa purong matematika:

b 3 = b 2 +30

Nakakuha kami ng dalawang equation. Pagsamahin natin sila sa isang sistema:

Ang sistema ay mukhang simple. Ngunit napakaraming iba't ibang mga indeks para sa mga titik. Ipalit natin sa halip na pangalawa at pangatlong termino ang kanilang mga ekspresyon sa pamamagitan ng unang termino at ang denominator! Was it in vain na ipininta natin sila?

Nakukuha namin:

Ngunit ang ganitong sistema ay hindi na isang regalo, oo... Paano ito malulutas? Sa kasamaang palad, walang unibersal na lihim na spell para sa paglutas ng kumplikado nonlinear Walang mga sistema sa matematika at hindi maaari. Ito ay hindi kapani-paniwala! Ngunit ang unang bagay na dapat dumating sa iyong isip kapag sinusubukang pumutok tulad ng isang matigas nut ay upang malaman Ngunit hindi ba isa sa mga equation ng system ang mababawasan magandang tanawin, na nagpapahintulot, halimbawa, na madaling ipahayag ang isa sa mga variable sa mga tuntunin ng isa pa?

Alamin natin ito. Ang unang equation ng system ay malinaw na mas simple kaysa sa pangalawa. Pahirapan natin siya.) Di ba dapat subukan natin from the first equation isang bagay ipahayag sa pamamagitan ng isang bagay? Dahil gusto naming hanapin ang denominator q, kung gayon ito ay higit na kapaki-pakinabang para sa amin na ipahayag b 1 sa pamamagitan ng q.

Kaya't subukan nating gawin ang pamamaraang ito sa unang equation, gamit ang magagandang mga luma:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Lahat! Kaya nagpahayag kami hindi kailangan bigyan kami ng variable (b 1) hanggang kailangan(q). Oo, hindi ito ang pinakasimpleng ekspresyon na nakuha namin. Ilang uri ng fraction... Ngunit ang aming sistema ay nasa isang disenteng antas, oo.)

Karaniwan. Alam namin ang gagawin.

Nagsusulat kami ng ODZ (Kailangan!) :

q ≠ 1

I-multiply namin ang lahat sa denominator (q-1) at kanselahin ang lahat ng mga fraction:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng sampu, buksan ang mga bracket, at kinokolekta ang lahat mula sa kaliwa:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Nalulutas namin ang resulta at nakakuha ng dalawang ugat:

q 1 = 1

q 2 = 3

Mayroon lamang isang huling sagot: q = 3 .

Sagot: 3

Tulad ng nakikita mo, ang landas sa paglutas ng karamihan sa mga problema na kinasasangkutan ng formula ng ika-1 na termino ng isang geometric na pag-unlad ay palaging pareho: basahin matulungin kalagayan ng problema at gamit ang pormula ng nth term na isinasalin natin ang kabuuan kapaki-pakinabang na impormasyon sa purong algebra.

Namely:

1) Inilalarawan namin nang hiwalay ang bawat termino na ibinigay sa problema ayon sa formulanika miyembro.

2) Mula sa mga kondisyon ng problema, isinasalin namin ang koneksyon sa pagitan ng mga miyembro sa mathematical form. Bumubuo kami ng isang equation o sistema ng mga equation.

3) Nilulutas namin ang nagresultang equation o sistema ng mga equation, hanapin ang hindi kilalang mga parameter ng pag-unlad.

4) Sa kaso ng isang hindi maliwanag na sagot, maingat na basahin ang pahayag ng problema sa paghahanap ng karagdagang impormasyon (kung mayroon man). Sinusuri din namin ang natanggap na tugon sa mga tuntunin ng DL (kung mayroon man).

Ngayon ilista natin ang mga pangunahing problema na kadalasang humahantong sa mga pagkakamali sa proseso ng paglutas ng mga problema sa geometric progression.

1. Elementarya aritmetika. Mga operasyong may mga fraction at negatibong numero.

2. Kung may mga problema sa hindi bababa sa isa sa tatlong puntong ito, hindi maiiwasang magkamali ka sa paksang ito. Sa kasamaang palad... Kaya huwag maging tamad at ulitin ang nabanggit sa itaas. At sundin ang mga link - pumunta. Minsan nakakatulong ito.)

Binago at paulit-ulit na mga formula.

Ngayon tingnan natin ang ilang karaniwang problema sa pagsusulit na may hindi gaanong pamilyar na presentasyon ng kundisyon. Oo, oo, nahulaan mo ito! Ito binago At paulit-ulit nth term formula. Nakatagpo na kami ng gayong mga formula at nagtrabaho sa pag-unlad ng aritmetika. Lahat ay katulad dito. Ang kakanyahan ay pareho.

Halimbawa, ang problemang ito mula sa OGE:

Ang geometric progression ay ibinibigay ng formula b n = 3 2 n . Hanapin ang kabuuan ng una at ikaapat na termino nito.

Sa pagkakataong ito ang pag-unlad ay hindi tulad ng dati para sa amin. Sa anyo ng ilang uri ng formula. Kaya ano? Ang formula na ito ay isang formula dinnika miyembro! Alam mo at ako na ang pormula para sa ika-1 na termino ay maaaring isulat sa pangkalahatan, gamit ang mga titik, at para sa tiyak na pag-unlad. SA tiyak unang termino at denominador.

Sa aming kaso, kami ay, sa katunayan, ay binibigyan ng pangkalahatang terminong formula para sa isang geometric na pag-unlad na may mga sumusunod na parameter:

b 1 = 6

q = 2

Suriin ba natin?) Isulat natin ang formula para sa ika-n na termino sa pangkalahatang anyo at palitan ito b 1 At q. Nakukuha namin:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Pinapasimple namin ang paggamit ng factorization at mga katangian ng mga kapangyarihan, at nakukuha namin ang:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay patas. Ngunit ang aming layunin ay hindi ipakita ang derivation ng isang partikular na formula. Ito ay gayon, isang lyrical digression. Purely for understanding.) Ang layunin natin ay malutas ang problema ayon sa formula na ibinigay sa atin sa kondisyon. Nakukuha mo ba?) Kaya direkta kaming nagtatrabaho sa binagong formula.

Binibilang namin ang unang termino. Palitan natin n=1 sa pangkalahatang formula:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

ganito. Sa pamamagitan ng paraan, hindi ako magiging tamad at muling iguhit ang iyong pansin sa isang karaniwang pagkakamali sa pagkalkula ng unang termino. HUWAG, tumitingin sa formula b n= 3 2n, agad-agad na sumulat na ang unang termino ay isang tatlo! Ito ay isang malaking pagkakamali, oo...)

Ituloy natin. Palitan natin n=4 at bilangin ang ikaapat na termino:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

At sa wakas, kinakalkula namin ang kinakailangang halaga:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Sagot: 54

Isa pang problema.

Ang geometric progression ay tinukoy ng mga kondisyon:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Hanapin ang ikaapat na termino ng progression.

Dito ang pag-unlad ay ibinibigay ng paulit-ulit na formula. Well, okay.) Paano gamitin ang formula na ito - alam din namin.

Kaya kumilos kami. Hakbang-hakbang.

1) Magbilang ng dalawa magkasunod miyembro ng progreso.

Ang unang termino ay naibigay na sa atin. Minus pito. Ngunit ang susunod, pangalawang termino, ay madaling kalkulahin gamit ang formula ng pag-ulit. Kung naiintindihan mo ang prinsipyo ng pagpapatakbo nito, siyempre.)

Kaya binibilang namin ang pangalawang termino ayon sa kilalang una:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Kalkulahin ang denominator ng pag-unlad

Wala ring problema. Diretso, hatiin natin pangalawa titi sa una.

Nakukuha namin:

q = -21/(-7) = 3

3) Isulat ang formulanika miyembro sa karaniwang anyo at kalkulahin ang kinakailangang miyembro.

Kaya, alam natin ang unang termino, at gayon din ang denominator. Kaya sumulat kami:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Sagot: -189

Tulad ng nakikita mo, ang pagtatrabaho sa gayong mga formula para sa isang geometric na pag-unlad ay mahalagang hindi naiiba mula sa para sa isang pag-unlad ng aritmetika. Mahalaga lamang na maunawaan ang pangkalahatang kakanyahan at kahulugan ng mga formula na ito. Well, kailangan mo ring maunawaan ang kahulugan ng geometric progression, oo.) At pagkatapos ay walang mga hangal na pagkakamali.

Well, magdesisyon tayo sa ating sarili?)

Mga pangunahing gawain para sa pag-init:

1. Nabigyan ng geometric progression kung saan b 1 = 243, a q = -2/3. Hanapin ang ikaanim na termino ng progression.

2. Ang pangkalahatang termino ng geometric progression ay ibinibigay ng formula b n = 5∙2 n +1 . Hanapin ang bilang ng huling tatlong-digit na termino ng pag-unlad na ito.

3. Ang geometric progression ay ibinibigay ng mga kundisyon:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Hanapin ang ikalimang termino ng progression.

Medyo mas kumplikado:

4. Dahil sa isang geometric na pag-unlad:

b 1 =2048; q =-0,5

Ano ang katumbas ng ikaanim na negatibong termino?

Ano ang tila napakahirap? Hindi naman. Ang lohika at pag-unawa sa kahulugan ng geometric na pag-unlad ay magliligtas sa iyo. Well, ang formula para sa nth term, siyempre.

5. Ang ikatlong termino ng geometric progression ay -14, at ang ikawalong termino ay 112. Hanapin ang denominator ng progression.

6. Ang kabuuan ng una at ikalawang termino ng geometric progression ay 75, at ang kabuuan ng pangalawa at ikatlong termino ay 150. Hanapin ang ikaanim na termino ng progression.

Mga sagot (magulo): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Halos lahat yan. Ang kailangan lang nating gawin ay matutong magbilang ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad oo matuklasan walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad at ang dami nito. Isang napaka-interesante at hindi pangkaraniwang bagay, sa pamamagitan ng paraan! Higit pa tungkol dito sa susunod na mga aralin.)