Arithmetic progression pangalanan ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero (mga tuntunin ng isang pag-unlad)

Kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong termino, na tinatawag ding pagkakaiba ng hakbang o pag-unlad.

Kaya, sa pamamagitan ng pagtukoy sa hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito gamit ang formula

Mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika

1) Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nakaraan at susunod na mga miyembro ng progression

Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng katabing odd (even) terms ng isang progression ay katumbas ng term na nasa pagitan ng mga ito, kung gayon ang sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression. Gamit ang pahayag na ito, napakadaling suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.

Gayundin, sa pamamagitan ng pag-aari ng pag-unlad ng arithmetic, ang formula sa itaas ay maaaring pangkalahatan sa mga sumusunod

Madali itong i-verify kung isusulat mo ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign

Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang gawing simple ang mga kalkulasyon sa mga problema.

2) Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula gamit ang formula

Alalahaning mabuti ang pormula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika; ito ay kailangang-kailangan sa mga kalkulasyon at kadalasang matatagpuan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.

3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit bahagi ng sequence simula sa ika-kth term nito, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo

4) Ang praktikal na interes ay ang paghahanap ng kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika simula sa kth na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula

Tinatapos nito ang teoretikal na materyal at nagpapatuloy sa paglutas ng mga karaniwang problema sa pagsasanay.

Halimbawa 1. Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng arithmetic 4;7;...

Solusyon:

Ayon sa kondisyon na mayroon tayo

Tukuyin natin ang hakbang ng pag-unlad

Gamit ang isang kilalang formula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad

Halimbawa 2. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.

Solusyon:

Isulat natin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad gamit ang mga formula

Ibinabawas namin ang una mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta nakita namin ang hakbang ng pag-unlad

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic

Kinakalkula namin ang kabuuan ng unang sampung termino ng pag-unlad

Nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, nakita namin ang lahat ng kinakailangang dami.

Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng denominator at isa sa mga termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression, ang kabuuan ng 50 termino nito simula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100.

Solusyon:

Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression

at hanapin ang una

Batay sa una, makikita natin ang ika-50 termino ng pag-unlad

Paghahanap ng kabuuan ng bahagi ng pag-unlad

at ang kabuuan ng unang 100

Ang halaga ng pag-unlad ay 250.

Halimbawa 4.

Hanapin ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic kung:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Solusyon:

Isulat natin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga termino sa kabuuan

Nagsasagawa kami ng mga pagpapasimple

at lutasin ang quadratic equation

Sa dalawang halaga na natagpuan, ang numero 8 lamang ang umaangkop sa mga kondisyon ng problema. Kaya, ang kabuuan ng unang walong termino ng pag-unlad ay 111.

Halimbawa 5.

Lutasin ang equation

1+3+5+...+x=307.

Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isulat natin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba sa progreso

Kung para sa bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay pagkakasunod-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang function ng natural na argumento.

Numero a 1 tinawag unang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 2 — ikalawang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 3 — pangatlo at iba pa. Numero isang n tinawag nth term mga pagkakasunod-sunod , at isang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkatabing miyembro isang n At isang n +1 miyembro ng pagkakasunud-sunod isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), A isang n — dati (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, kailangan mong tukuyin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay tinukoy gamit nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang miyembro ng isang sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

isang pagkakasunud-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 At -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng pagkakasunud-sunod, simula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa,

Kung a 1 = 1 , A isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ay ang unang pitong termino ng numerical sequence ay itinatag tulad ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas At walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli , kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan , kung ito ay may walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunod-sunod ng dalawang-digit natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag bumababa , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — pagbaba ng pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa habang tumataas ang bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - isang tiyak na numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng kasunod at nakaraang mga termino ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.

Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

Kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino a 1 at ang pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang pag-unlad ng arithmetic kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kaya naman,

◄

Tandaan na n Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

Para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

sinumang miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga miyembro ng pag-unlad ng aritmetika na ito na pantay na may pagitan dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kasi

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n Ang mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga matinding termino at ang bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n AtS n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonic sequence. kung saan:

• Kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
• Kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
• Kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunud-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

Geometric na pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - isang tiyak na numero.

Kaya, ang ratio ng kasunod na termino ng isang ibinigay geometric na pag-unlad mayroong pare-parehong numero sa nauna:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng geometric progression.

Upang tukuyin ang isang geometric na pag-unlad, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

Kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n Ang ika-apat na termino ay matatagpuan gamit ang formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang geometric progression kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

Patunayan natin na ang pagkakasunod-sunod na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kaya naman,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa nais na pahayag. ◄

Tandaan na n Ang ika-kataga ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang sinumang nakaraang miyembro b k , kung saan sapat na ang paggamit ng formula

b n = b k · qn - k.

Halimbawa,

Para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng anumang termino ng isang geometric na pag-unlad, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng pantay na pagitan ng mga termino ng pag-unlad na ito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng isang geometric na progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga dami b 1 , b n, q, n At S n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At q> 1;

b 1 < 0 At 0 < q< 1;

• Ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At 0 < q< 1;

b 1 < 0 At q> 1.

Kung q< 0 , pagkatapos ay ang geometric na pag-usad ay papalit-palit: ang mga termino nito na may mga kakaibang numero ay may parehong tanda sa unang termino nito, at ang mga terminong may even na numero ay may kabaligtaran na tanda. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad tinatawag na walang katapusang geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa 1 , yan ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Akma ito sa okasyon

1 < q< 0 .

Sa gayong denominator, ang pagkakasunod-sunod ay papalit-palit. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang bilang kung saan lumalapit ang kabuuan ng mga una nang walang limitasyon n mga miyembro ng isang pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang bilang na ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Tingnan natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Iyon

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 At

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric progression na may denominator q , Iyon

mag-log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . - geometric progression na may denominator 6 At

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Bago tayo magsimulang magdesisyon mga problema sa pag-unlad ng aritmetika, isaalang-alang natin kung ano ang pagkakasunod-sunod ng numero, dahil ang pag-unlad ng aritmetika ay espesyal na kaso pagkakasunud-sunod ng numero.

Ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang set ng numero, na ang bawat elemento ay may sariling serial number. Ang mga elemento ng set na ito ay tinatawag na mga miyembro ng sequence. Ang serial number ng isang sequence element ay ipinahiwatig ng isang index:

Ang unang elemento ng pagkakasunud-sunod;

Ikalimang elemento ng pagkakasunud-sunod;

- ang "nth" na elemento ng sequence, i.e. elementong "nakatayo sa pila" sa numero n.

May kaugnayan sa pagitan ng value ng isang sequence element at ang sequence number nito. Samakatuwid, maaari nating isaalang-alang ang isang sequence bilang isang function na ang argumento ay ang ordinal na numero ng elemento ng sequence. Sa madaling salita, masasabi natin iyan ang sequence ay isang function ng natural na argumento:

Maaaring itakda ang pagkakasunud-sunod sa tatlong paraan:

1 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod gamit ang isang talahanayan. Sa kasong ito, itinakda lang namin ang halaga ng bawat miyembro ng sequence.

Halimbawa, nagpasya ang isang tao na kumuha ng personal na pamamahala ng oras, at upang magsimula sa, bilangin kung gaano karaming oras ang ginugugol niya sa VKontakte sa isang linggo. Sa pamamagitan ng pagtatala ng oras sa talahanayan, makakatanggap siya ng isang sequence na binubuo ng pitong elemento:

Ang unang linya ng talahanayan ay nagpapahiwatig ng bilang ng araw ng linggo, ang pangalawa - ang oras sa minuto. Nakikita namin iyon, iyon ay, noong Lunes May isang taong gumugol ng 125 minuto sa VKontakte, iyon ay, noong Huwebes - 248 minuto, at, iyon ay, sa Biyernes 15 lamang.

2 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunod-sunod gamit ang nth term formula.

Sa kasong ito, ang pag-asa ng halaga ng isang elemento ng pagkakasunud-sunod sa numero nito ay direktang ipinahayag sa anyo ng isang formula.

Halimbawa, kung , pagkatapos

Upang mahanap ang halaga ng isang elemento ng pagkakasunud-sunod na may isang naibigay na numero, pinapalitan namin ang numero ng elemento sa formula ng nth term.

Ginagawa natin ang parehong bagay kung kailangan nating hanapin ang halaga ng isang function kung alam ang halaga ng argumento. Pinapalitan namin ang halaga ng argumento sa equation ng function:

Kung, halimbawa, , Iyon

Hayaan akong tandaan muli na sa isang pagkakasunud-sunod, hindi tulad ng isang arbitrary na pagpapaandar ng numero, ang argumento ay maaari lamang maging isang natural na numero.

3 . Maaaring tukuyin ang pagkakasunud-sunod gamit ang isang formula na nagpapahayag ng pagtitiwala sa halaga ng pagkakasunud-sunod na numero ng miyembro n sa mga halaga ng mga nakaraang miyembro. Sa kasong ito, hindi sapat na malaman lamang natin ang bilang ng miyembro ng sequence upang mahanap ang halaga nito. Kailangan nating tukuyin ang unang miyembro o unang ilang miyembro ng sequence.

Halimbawa, isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ,

Mahahanap natin ang mga halaga ng mga miyembro ng sequence sa pagkakasunod-sunod, simula sa pangatlo:

Iyon ay, sa bawat oras, upang mahanap ang halaga ng ika-n na termino ng pagkakasunud-sunod, bumalik tayo sa naunang dalawa. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy ng pagkakasunod-sunod ay tinatawag paulit-ulit, mula sa salitang Latin recurro- bumalik.

Ngayon ay maaari nating tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang simpleng espesyal na kaso ng pagkakasunod-sunod ng numero.

Arithmetic progression ay isang numerical sequence, ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay katumbas ng naunang idinagdag sa parehong numero.

Tinatawag ang numero pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika. Ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng arithmetic ay maaaring positibo, negatibo, o katumbas ng zero.

Kung title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} dumarami.

Halimbawa, 2; 5; 8; labing-isa;...

Kung , kung gayon ang bawat termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay mas mababa kaysa sa nauna, at ang pag-unlad ay bumababa.

Halimbawa, 2; -1; -4; -7;...

Kung , kung gayon ang lahat ng mga tuntunin ng pag-unlad ay katumbas ng parehong numero, at ang pag-unlad ay nakatigil.

Halimbawa, 2;2;2;2;...

Ang pangunahing katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika:

Tingnan natin ang larawan.

Nakikita natin yan

, at kasabay nito

Pagdaragdag ng dalawang pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin ang:

.

Hatiin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay ng 2:

Kaya, ang bawat miyembro ng arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawang magkalapit:

Bukod dito, mula noong

, at kasabay nito

, Iyon

, at samakatuwid

Ang bawat termino ng isang pag-unlad ng arithmetic, na nagsisimula sa title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formula ng ika-kataga.

Nakikita namin na ang mga tuntunin ng pag-unlad ng aritmetika ay nakakatugon sa mga sumusunod na ugnayan:

at sa wakas

Nakakuha kami formula ng nth term.

MAHALAGA! Ang sinumang miyembro ng isang arithmetic progression ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng at. Alam ang unang termino at ang pagkakaiba ng isang pag-unlad ng aritmetika, mahahanap mo ang alinman sa mga termino nito.

Ang kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Sa isang di-makatwirang pag-unlad ng arithmetic, ang mga kabuuan ng mga terminong katumbas ng layo mula sa mga sukdulan ay katumbas ng bawat isa:

Isaalang-alang ang isang arithmetic progression na may n termino. Hayaang ang kabuuan ng n mga tuntunin ng pag-unlad na ito ay katumbas ng .

Ayusin muna natin ang mga tuntunin ng pag-unlad sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga numero, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod:

Idagdag natin nang pares:

Ang kabuuan sa bawat bracket ay , ang bilang ng mga pares ay n.

Nakukuha namin:

Kaya, ang kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay matatagpuan gamit ang mga formula:

Isaalang-alang natin paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika.

1 . Ang pagkakasunud-sunod ay ibinibigay ng formula ng ika-n na termino: . Patunayan na ang sequence na ito ay isang arithmetic progression.

Patunayan natin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang magkatabing termino ng sequence ay katumbas ng parehong numero.

Nalaman namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang katabing miyembro ng sequence ay hindi nakasalalay sa kanilang bilang at ito ay pare-pareho. Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan, ang sequence na ito ay isang aritmetika na pag-unlad.

2 . Nabigyan ng aritmetika na pag-unlad -31; -27;...

a) Maghanap ng 31 termino ng progression.

b) Tukuyin kung ang bilang 41 ay kasama sa pag-unlad na ito.

A) Nakikita natin iyan;

Isulat natin ang formula para sa ika-n na termino para sa ating pag-unlad.

Sa pangkalahatan

Sa kaso natin , Kaya naman

O arithmetic ay isang uri ng ordered numerical sequence, ang mga katangian nito ay pinag-aaralan kurso sa paaralan algebra. Tinatalakay ng artikulong ito nang detalyado ang tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Anong uri ng pag-unlad ito?

Bago lumipat sa tanong (kung paano mahanap ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika), ito ay nagkakahalaga ng pag-unawa sa kung ano ang pinag-uusapan natin.

Anumang pagkakasunod-sunod ng mga tunay na numero na nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag (pagbabawas) ng ilang halaga mula sa bawat nakaraang numero ay tinatawag na algebraic (aritmetika) na pag-unlad. Ang kahulugang ito, kapag isinalin sa wikang matematika, ay nasa anyo:

Narito ang i ay ang serial number ng elemento ng row a i. Kaya, sa pag-alam lamang ng isang panimulang numero, madali mong maibabalik ang buong serye. Ang parameter d sa formula ay tinatawag na progression difference.

Madaling maipakita na para sa serye ng mga numerong isinasaalang-alang ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay taglay:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Iyon ay, upang mahanap ang halaga ng nth elemento sa pagkakasunud-sunod, dapat mong idagdag ang pagkakaiba d sa unang elemento a 1 n-1 beses.

Ano ang kabuuan ng isang arithmetic progression: formula

Bago ibigay ang formula para sa ipinahiwatig na halaga, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng espesyal na kaso. Dahil sa pag-unlad ng mga natural na numero mula 1 hanggang 10, kailangan mong hanapin ang kanilang kabuuan. Dahil kakaunti ang mga termino sa pag-unlad (10), posibleng malutas ang problema nang direkta, iyon ay, pagsama-samahin ang lahat ng mga elemento sa pagkakasunud-sunod.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Isang bagay na dapat isaalang-alang kawili-wiling bagay: dahil ang bawat termino ay naiiba mula sa susunod na isa sa pamamagitan ng parehong halaga d = 1, pagkatapos ay ang pairwise summation ng una sa ikasampu, ang pangalawa sa ikasiyam, at iba pa ay magbibigay ng parehong resulta. Talaga:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Tulad ng nakikita mo, mayroon lamang 5 sa mga kabuuan na ito, iyon ay, eksaktong dalawang beses na mas mababa kaysa sa bilang ng mga elemento ng serye. Pagkatapos ay i-multiply ang bilang ng mga kabuuan (5) sa resulta ng bawat kabuuan (11), makakarating ka sa resulta na nakuha sa unang halimbawa.

Kung i-generalize natin ang mga argumentong ito, maaari nating isulat ang sumusunod na expression:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Ang expression na ito ay nagpapakita na ito ay hindi sa lahat ng kailangan upang sum ang lahat ng mga elemento sa isang hilera ito ay sapat na upang malaman ang halaga ng unang a 1 at ang huling a n , pati na rin kabuuang bilang n mga tuntunin.

Ito ay pinaniniwalaan na si Gauss ang unang nag-isip ng pagkakapantay-pantay na ito noong siya ay naghahanap ng solusyon sa isang naibigay na problema. guro sa paaralan gawain: buuin ang unang 100 integer.

Kabuuan ng mga elemento mula m hanggang n: formula

Ang pormula na ibinigay sa nakaraang talata ay sumasagot sa tanong kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika (ang mga unang elemento), ngunit kadalasan sa mga problema ay kinakailangan na magsama ng isang serye ng mga numero sa gitna ng pag-unlad. Paano ito gagawin?

Ang pinakamadaling paraan upang masagot ang tanong na ito ay sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa sumusunod na halimbawa: hayaang kailanganin na hanapin ang kabuuan ng mga termino mula sa mth hanggang sa nth. Upang malutas ang problema, dapat mong ipakita ang ibinigay na segment mula m hanggang n ng pag-unlad sa anyo ng isang bagong serye ng numero. Sa ganyan ika-m-ika na representasyon ang terminong a m ang magiging una, at ang isang n ay mabibilang na n-(m-1). Sa kasong ito, ang paglalapat ng karaniwang formula para sa kabuuan, ang sumusunod na expression ay makukuha:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Halimbawa ng paggamit ng mga formula

Ang pag-alam kung paano hanapin ang kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika, ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng isang simpleng halimbawa ng paggamit ng mga formula sa itaas.

Nasa ibaba ang isang numerical sequence, dapat mong hanapin ang kabuuan ng mga termino nito, simula sa ika-5 at nagtatapos sa ika-12:

Ang mga ibinigay na numero ay nagpapahiwatig na ang pagkakaiba d ay katumbas ng 3. Gamit ang expression para sa ika-n na elemento, mahahanap mo ang mga halaga ng ika-5 at ika-12 na termino ng pag-unlad. Iyon pala:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Ang pag-alam sa mga halaga ng mga numero sa mga dulo ng algebraic progression na isinasaalang-alang, pati na rin ang pag-alam kung anong mga numero sa serye ang kanilang sinasakop, maaari mong gamitin ang formula para sa kabuuan na nakuha sa nakaraang talata. Ito ay lalabas:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Kapansin-pansin na ang halagang ito ay maaaring makuha sa ibang paraan: hanapin muna ang kabuuan ng unang 12 elemento gamit ang karaniwang formula, pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan ng unang 4 na elemento gamit ang parehong formula, pagkatapos ay ibawas ang pangalawa mula sa unang kabuuan.

I. V. Yakovlev | Mga materyales sa matematika | MathUs.ru

Arithmetic progression

Arithmetic progression ay espesyal na uri kasunod. Samakatuwid, bago tukuyin ang isang aritmetika (at pagkatapos ay geometriko) na pag-unlad, kailangan nating talakayin nang maikli mahalagang konsepto pagkakasunud-sunod ng numero.

Kasunod

Isipin ang isang aparato sa screen kung saan ang ilang mga numero ay ipinapakita nang paisa-isa. Sabihin nating 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ang hanay ng mga numerong ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod.

Kahulugan. Ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero kung saan ang bawat numero ay maaaring italaga ng isang natatanging numero (iyon ay, nauugnay sa isang solong natural na numero)1. Ang bilang n ay tinatawag na ika-n na termino ng pagkakasunod-sunod.

Kaya, sa halimbawa sa itaas, ang unang numero ay 2, ito ang unang miyembro ng sequence, na maaaring tukuyin ng a1; ang numero lima ay may bilang na 6 ay ang ikalimang termino ng pagkakasunod-sunod, na maaaring tukuyin ng a5. Sa pangkalahatan, ang nth term ng isang sequence ay tinutukoy ng isang (o bn, cn, atbp.).

Ang isang napaka-komportableng sitwasyon ay kapag ang ika-n na termino ng sequence ay maaaring tukuyin ng ilang formula. Halimbawa, ang formula an = 2n 3 ay tumutukoy sa pagkakasunod-sunod: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Tinutukoy ng formula an = (1)n ang sequence: 1; 1; 1; 1; : : :

Hindi lahat ng hanay ng mga numero ay isang pagkakasunod-sunod. Kaya, ang isang segment ay hindi isang sequence; naglalaman ito ng "napakaraming" mga numero upang muling lagyan ng numero. Ang set R ng lahat ng tunay na numero ay hindi rin isang sequence. Ang mga katotohanang ito ay napatunayan sa kurso ng mathematical analysis.

Arithmetic progression: pangunahing mga kahulugan

Ngayon ay handa na kaming tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika.

Kahulugan. Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat termino (nagsisimula sa pangalawa) ay katumbas ng kabuuan ng nakaraang termino at ilang nakapirming numero (tinatawag na pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika).

Halimbawa, sequence 2; 5; 8; labing-isa; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 2 at pagkakaiba 3. Sequence 7; 2; 3; 8; : : : ay isang arithmetic progression na may unang termino 7 at pagkakaiba 5. Sequence 3; 3; 3; : : : ay isang arithmetic progression na may pagkakaiba na katumbas ng zero.

Katumbas na kahulugan: ang isang sequence an ay tinatawag na isang arithmetic progression kung ang pagkakaiba ng an+1 an ay isang pare-parehong halaga (independent ng n).

Ang isang pag-unlad ng arithmetic ay tinatawag na pagtaas kung ang pagkakaiba nito ay positibo, at ang pagbaba kung ang pagkakaiba nito ay negatibo.

1 Ngunit narito ang isang mas maigsi na kahulugan: ang sequence ay isang function na tinukoy sa set ng mga natural na numero. Halimbawa, ang pagkakasunod-sunod ng mga tunay na numero ay ang function f: N ! R.

Bilang default, ang mga pagkakasunud-sunod ay itinuturing na walang hanggan, iyon ay, naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga numero. Ngunit walang bumabagabag sa amin na isaalang-alang ang mga may hangganang pagkakasunud-sunod; sa katunayan, anumang may hangganan na hanay ng mga numero ay maaaring tawaging may hangganang pagkakasunod-sunod. Halimbawa, ang ending sequence ay 1; 2; 3; 4; Ang 5 ay binubuo ng limang numero.

Formula para sa ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic

Madaling maunawaan na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ganap na tinutukoy ng dalawang numero: ang unang termino at ang pagkakaiba. Samakatuwid, ang tanong ay lumitaw: paano, alam ang unang termino at ang pagkakaiba, makahanap ng isang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika?

Kunin ang kinakailangang formula Ang nth term ng isang arithmetic progression ay hindi mahirap. Hayaan ang isang

Problema 1. Sa pag-unlad ng aritmetika 2; 5; 8; labing-isa; : : : hanapin ang formula para sa ika-n na termino at kalkulahin ang ika-daang termino.

Solusyon. Ayon sa formula (1) mayroon tayong:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Pag-aari at tanda ng pag-unlad ng aritmetika

Katangian ng pag-unlad ng aritmetika. Sa arithmetic progression an for any

Sa madaling salita, ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression (simula sa pangalawa) ay ang arithmetic mean ng mga kalapit na miyembro nito.

na kung ano ang kinakailangan.

Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng aritmetika ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay

a n = a n k+ a n+k

para sa anumang n > 2 at anumang natural na k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Lumalabas na ang pormula (2) ay nagsisilbi hindi lamang bilang isang kinakailangan kundi bilang isang sapat na kondisyon para ang pagkakasunud-sunod ay isang pag-unlad ng aritmetika.

Tanda ng pag-unlad ng aritmetika. Kung ang pagkakapantay-pantay (2) ay humahawak para sa lahat ng n > 2, kung gayon ang pagkakasunod-sunod ay isang pag-unlad ng aritmetika.

Patunay. Isulat muli natin ang formula (2) gaya ng sumusunod:

a na n 1= a n+1a n:

Mula dito makikita natin na ang pagkakaiba an+1 an ay hindi nakadepende sa n, at ito ay tiyak na nangangahulugan na ang pagkakasunod-sunod na an ay isang aritmetika na pag-unlad.

Ang ari-arian at tanda ng isang pag-unlad ng aritmetika ay maaaring mabalangkas sa anyo ng isang pahayag; Para sa kaginhawahan, gagawin namin ito para sa tatlong numero (ito ang sitwasyon na madalas na nangyayari sa mga problema).

Paglalarawan ng isang pag-unlad ng aritmetika. Ang tatlong numerong a, b, c ay bumubuo ng isang pag-unlad ng aritmetika kung at kung 2b = a + c lamang.

Problema 2. (MSU, Faculty of Economics, 2007) Tatlong numero na 8x, 3 x2 at 4 sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod ay bumubuo ng isang bumababa na pag-unlad ng aritmetika. Hanapin ang x at ipahiwatig ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.

Solusyon. Sa pamamagitan ng pag-aari ng arithmetic progression mayroon tayo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Kung x = 1, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang bumababa na pag-unlad ng 8, 2, 4 na may pagkakaiba na 6. Kung x = 5, pagkatapos ay makakakuha tayo ng pagtaas ng pag-unlad ng 40, 22, 4; hindi angkop ang kasong ito.

Sagot: x = 1, ang pagkakaiba ay 6.

Kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika

Ayon sa alamat, isang araw sinabi ng guro sa mga bata na hanapin ang kabuuan ng mga numero mula 1 hanggang 100 at tahimik na umupo upang magbasa ng pahayagan. Gayunpaman, sa loob ng ilang minuto, sinabi ng isang batang lalaki na nalutas na niya ang problema. Ito ay ang 9 na taong gulang na si Karl Friedrich Gauss, kalaunan ay isa sa pinakadakilang mathematician sa Kasaysayan.

Ang ideya ni Little Gauss ay ang mga sumusunod. Hayaan

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Isulat natin ang halagang ito sa reverse order:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

at idagdag ang dalawang formula na ito:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Ang bawat termino sa mga bracket ay katumbas ng 101, at mayroong 100 ganoong mga termino sa kabuuan

2S = 101 100 = 10100;

Ginagamit namin ang ideyang ito upang makuha ang sum formula

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Ang isang kapaki-pakinabang na pagbabago ng pormula (3) ay makukuha kung papalitan natin ang formula ng ika-n termino an = a1 + (n 1)d dito:

Problema 3. Hanapin ang kabuuan ng lahat ng positibong tatlong-digit na numero na nahahati sa 13.

Solusyon. Ang tatlong-digit na numero na mga multiple ng 13 ay bumubuo ng isang pag-unlad ng arithmetic na ang unang termino ay 104 at ang pagkakaiba ay 13; Ang ikasiyam na termino ng pag-unlad na ito ay may anyo:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Alamin natin kung ilang termino ang nilalaman ng ating pag-unlad. Upang gawin ito, lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay:

isang 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Kaya, mayroong 69 na miyembro sa aming pag-unlad. Gamit ang formula (4) hinahanap namin ang kinakailangang halaga:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2