Ang paksang "Multiple" ay pinag-aralan sa grade 5 sekondaryang paaralan. Ang layunin nito ay pahusayin ang nakasulat at oral na mga kasanayan sa pagkalkula ng matematika. Sa araling ito, ipinakilala ang mga bagong konsepto - "multiple numbers" at "divisors", ang pamamaraan ng paghahanap ng divisors at multiples ng natural na numero, at ang kakayahang mahanap ang LCM sa iba't ibang paraan ay ginagawa.

Napakahalaga ng paksang ito. Ang kaalaman tungkol dito ay maaaring magamit sa paglutas ng mga halimbawa na may mga fraction. Upang gawin ito kailangan mong hanapin karaniwang denominador sa pamamagitan ng pagkalkula ng least common multiple (LCM).

Ang multiple ng A ay isang integer na nahahati sa A na walang natitira.

Ang bawat natural na numero ay may walang katapusang bilang ng mga multiple nito. Ito mismo ay itinuturing na pinakamaliit. Ang multiple ay hindi maaaring mas mababa sa numero mismo.

Kailangan mong patunayan na ang numero 125 ay isang multiple ng numero 5. Upang gawin ito, kailangan mong hatiin ang unang numero sa pangalawa. Kung ang 125 ay nahahati sa 5 nang walang natitira, ang sagot ay oo.

Ang pamamaraang ito ay naaangkop para sa maliliit na numero.

May mga espesyal na kaso kapag kinakalkula ang LOC.

1. Kung kailangan mong humanap ng common multiple ng 2 numero (halimbawa, 80 at 20), kung saan ang isa sa mga ito (80) ay nahahati sa isa pa (20), ang numerong ito (80) ay ang pinakamaliit na multiple ng mga ito. dalawang numero.

LCM(80, 20) = 80.

2. Kung ang dalawa ay walang karaniwang divisor, maaari nating sabihin na ang kanilang LCM ay produkto ng dalawang numerong ito.

LCM(6, 7) = 42.

Tingnan natin ang huling halimbawa. Ang 6 at 7 na may kaugnayan sa 42 ay mga divisors. Hinahati nila ang isang multiple ng isang numero nang walang natitira.

Sa halimbawang ito, ang 6 at 7 ay ipinares na mga kadahilanan. Ang kanilang produkto ay katumbas ng pinakamaraming numero (42).

Ang isang numero ay tinatawag na prime kung ito ay nahahati lamang sa sarili o sa pamamagitan ng 1 (3:1=3; 3:3=1). Ang natitira ay tinatawag na composite.

Kasama sa isa pang halimbawa ang pagtukoy kung ang 9 ay isang divisor ng 42.

42:9=4 (natitira 6)

Sagot: Ang 9 ay hindi divisor ng 42 dahil ang sagot ay may natitira.

Ang isang divisor ay naiiba sa isang multiple dahil ang divisor ay ang bilang kung saan ang mga natural na numero ay hinahati, at ang multiple mismo ay nahahati sa numerong ito.

Pinakamalaki karaniwang divisor numero a At b, na pinarami ng kanilang hindi bababa sa maramihang, ay magbibigay ng produkto ng mga numero mismo a At b.

Namely: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Ang mga karaniwang multiple para sa mas kumplikadong mga numero ay matatagpuan sa sumusunod na paraan.

Halimbawa, hanapin ang LCM para sa 168, 180, 3024.

Isinasaalang-alang namin ang mga numerong ito sa pangunahing mga kadahilanan at isinusulat ang mga ito bilang isang produkto ng mga kapangyarihan:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Mga palatandaan ng divisibility natural na mga numero.

Ang mga numerong nahahati sa 2 na walang natitira ay tinatawagkahit .

Ang mga numero na hindi pantay na nahahati sa 2 ay tinatawagkakaiba .

Subukan para sa divisibility ng 2

Kung ang isang natural na numero ay nagtatapos sa isang kahit na digit, ang numerong ito ay mahahati ng 2 nang walang natitira, at kung ang isang numero ay nagtatapos sa isang kakaibang digit, ang numerong ito ay hindi pantay na mahahati ng 2.

Halimbawa, ang mga numero 60 , 30 8 , 8 4 ay nahahati sa 2 nang walang natitira, at ang mga numero ay 51 , 8 5 , 16 7 ay hindi nahahati sa 2 nang walang natitira.

Subukan para sa divisibility ng 3

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 3, kung gayon ang numero ay mahahati ng 3; Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hindi nahahati sa 3, kung gayon ang numero ay hindi mahahati ng 3.

Halimbawa, alamin natin kung ang numerong 2772825 ay nahahati sa 3. Upang gawin ito, kalkulahin natin ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - nahahati sa 3. Nangangahulugan ito na ang numerong 2772825 ay nahahati sa 3.

Pagsusuri sa divisibility ng 5

Kung ang talaan ng isang natural na numero ay nagtatapos sa digit na 0 o 5, kung gayon ang numerong ito ay mahahati ng 5 nang walang natitira Kung ang talaan ng isang numero ay nagtatapos sa isa pang digit, kung gayon ang numero ay hindi mahahati ng 5 nang walang natitira.

Halimbawa, ang mga numero 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 ay nahahati sa 5 nang walang natitira, at ang mga numero ay 17 , 37 8 , 9 1 huwag ibahagi.

Pagsusuri sa divisibility ng 9

Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay nahahati sa 9, kung gayon ang numero ay mahahati ng 9; Kung ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay hindi nahahati sa 9, kung gayon ang numero ay hindi mahahati ng 9.

Halimbawa, alamin natin kung ang numerong 5402070 ay nahahati sa 9. Upang gawin ito, kalkulahin natin ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - hindi nahahati ng 9 . Nangangahulugan ito na ang numerong 5402070 ay hindi nahahati sa 9.

Pagsusuri sa divisibility ng 10

Kung ang isang natural na numero ay nagtatapos sa digit na 0, kung gayon ang numerong ito ay mahahati ng 10 nang walang natitira Kung ang isang natural na numero ay nagtatapos sa isa pang digit, kung gayon ito ay hindi pantay na mahahati ng 10.

Halimbawa, ang mga numero 40 , 17 0 , 1409 0 ay nahahati sa 10 nang walang natitira, at ang mga numero ay 17 , 9 3 , 1430 7 - huwag ibahagi.

Ang panuntunan para sa paghahanap ng greatest common divisor (GCD).

Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang natural na numero, kailangan mong:

2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;

3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Halimbawa. Hanapin natin ang GCD (48;36). Gamitin natin ang panuntunan.

1. I-factor natin ang mga numerong 48 at 36 sa prime factor.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng bilang 48, tinatanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng bilang 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Ang natitirang mga kadahilanan ay 2, 2 at 3.

3. I-multiply ang natitirang mga salik at makakuha ng 12. Ang numerong ito ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 48 at 36.

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Ang panuntunan para sa paghahanap ng least common multiple (LCM).

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang natural na numero, kailangan mong:

1) isama ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;

2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;

3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;

4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

Halimbawa. Hanapin natin ang LOC (75;60). Gamitin natin ang panuntunan.

1. I-factor natin ang mga numerong 75 at 60 sa prime factors.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Isulat natin ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng bilang na 75: 3, 5, 5.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang na 60, i.e. 2, 2.

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Hanapin ang produkto ng mga resultang salik

LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Simulan nating pag-aralan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawa o higit pang mga numero. Sa seksyong ito, tutukuyin natin ang termino, isaalang-alang ang theorem na nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng hindi bababa sa karaniwang maramihang at ang pinakamalaking karaniwang divisor, at magbigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga problema.

Common multiples – kahulugan, mga halimbawa

Sa paksang ito, magiging interesado lamang kami sa mga karaniwang multiple ng integer maliban sa zero.

Kahulugan 1

Common multiple ng integers ay isang integer na isang multiple ng lahat ng ibinigay na mga numero. Sa katunayan, ito ay anumang integer na maaaring hatiin ng alinman sa mga ibinigay na numero.

Ang kahulugan ng common multiples ay tumutukoy sa dalawa, tatlo, o higit pang mga integer.

Halimbawa 1

Ayon sa ibinigay na kahulugan sa itaas, ang mga karaniwang multiple ng numero 12 ay 3 at 2. Gayundin, ang numero 12 ay magiging isang karaniwang multiple ng mga numero 2, 3 at 4. Ang mga numerong 12 at -12 ay karaniwang multiple ng mga numero ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

Kasabay nito, ang karaniwang multiple ng mga numero 2 at 3 ay ang mga numerong 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 at isang buong serye ng iba pa.

Kung kukuha kami ng mga numero na nahahati sa unang numero ng isang pares at hindi nahahati sa pangalawa, kung gayon ang mga numerong iyon ay hindi magiging common multiple. Kaya, para sa mga numero 2 at 3, ang mga numero 16, − 27, 5009, 27001 ay hindi magiging common multiple.

Ang 0 ay isang karaniwang multiple ng anumang hanay ng mga integer maliban sa zero.

Kung ating aalalahanin ang ari-arian ng divisibility na may kinalaman sa magkasalungat na numero, pagkatapos ay lumalabas na ang ilang integer k ay magiging isang karaniwang multiple ng mga numerong ito, tulad ng numero - k. Nangangahulugan ito na ang mga karaniwang divisors ay maaaring maging positibo o negatibo.

Posible bang mahanap ang LCM para sa lahat ng numero?

Ang common multiple ay matatagpuan para sa anumang integer.

Halimbawa 2

Kumbaga binibigyan tayo k mga integer a 1 , a 2 , … , a k. Ang bilang na nakukuha natin kapag nagpaparami ng mga numero isang 1 · isang 2 · … · isang k ayon sa ari-arian ng divisibility, ito ay hahatiin sa bawat isa sa mga kadahilanan na kasama sa orihinal na produkto. Nangangahulugan ito na ang produkto ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito.

Ilang karaniwang multiple ang maaaring magkaroon ng mga integer na ito?

Ang isang pangkat ng mga integer ay maaaring magkaroon ng malaking bilang ng mga karaniwang multiple. Sa katunayan, ang kanilang bilang ay walang hanggan.

Halimbawa 3

Ipagpalagay na mayroon kaming ilang numero k. Pagkatapos ang produkto ng mga numerong k · z, kung saan ang z ay isang integer, ay magiging isang karaniwang multiple ng mga numerong k at z. Dahil ang bilang ng mga numero ay walang katapusan, ang bilang ng mga karaniwang multiple ay walang katapusan.

Least Common Multiple (LCM) – Kahulugan, Notasyon at Mga Halimbawa

Alalahanin natin ang konsepto ng pinakamaliit na bilang ng ibinigay na set mga numero, na tiningnan namin sa seksyong "Paghahambing ng mga Integer". Isinasaalang-alang ang konseptong ito, binubuo namin ang kahulugan ng least common multiple, na may pinakamalaking praktikal na kahalagahan sa lahat ng common multiple.

Kahulugan 2

Pinakamababang karaniwang multiple ng mga ibinigay na integer ay ang pinakamaliit na positive common multiple ng mga numerong ito.

Mayroong hindi bababa sa karaniwang multiple para sa anumang bilang ng mga ibinigay na numero. Ang pinakakaraniwang ginagamit na pagdadaglat para sa konsepto sa sangguniang panitikan ay NOC. Maikling notasyon para sa hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero a 1 , a 2 , … , a k magkakaroon ng form na LOC (a 1 , a 2 , … , a k).

Halimbawa 4

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 6 at 7 ay 42. Yung. LCM(6, 7) = 42. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng apat na numero 2, 12, 15 at 3 ay 60. Ang isang maikling notasyon ay magmumukhang LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60.

Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay hindi halata para sa lahat ng mga pangkat ng mga ibinigay na numero. Kadalasan kailangan itong kalkulahin.

Relasyon sa pagitan ng NOC at GCD

Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang at ang pinakamalaking karaniwang divisor ay magkakaugnay. Ang relasyon sa pagitan ng mga konsepto ay itinatag ng teorama.

Teorama 1

Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positibong integer a at b ay katumbas ng produkto ng a at b na hinati ng pinakamalaking karaniwang divisor ng a at b, iyon ay, LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b ).

Katibayan 1

Ipagpalagay na mayroon tayong ilang bilang na M, na isang multiple ng mga numerong a at b. Kung ang numerong M ay nahahati sa a, mayroon ding integer z , kung saan totoo ang pagkakapantay-pantay M = isang k. Ayon sa kahulugan ng divisibility, kung ang M ay nahahati ng b, kaya pagkatapos a · k hinati ng b.

Kung magpapakilala tayo ng bagong notasyon para sa gcd (a, b) bilang d, pagkatapos ay magagamit natin ang mga pagkakapantay-pantay a = a 1 d at b = b 1 · d. Sa kasong ito, ang parehong pagkakapantay-pantay ay magiging relatibong prime number.

Na-establish na namin sa itaas iyon a · k hinati ng b. Ngayon ang kundisyong ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
isang 1 d k hinati ng b 1 d, na katumbas ng kundisyon isang 1k hinati ng b 1 ayon sa mga katangian ng divisibility.

Ayon sa ari-arian ng mga numero ng coprime, kung a 1 At b 1- mga numero ng coprime, a 1 hindi mahahati ng b 1 sa kabila ng katotohanan na isang 1k hinati ng b 1, Iyon b 1 dapat ibahagi k.

Sa kasong ito, magiging angkop na ipagpalagay na mayroong isang numero t, para sa k = b 1 t, at mula noon b 1 = b: d, Iyon k = b: d t.

Ngayon sa halip na k palitan natin ng pagkakapantay-pantay M = isang k pagpapahayag ng anyo b: d t. Ito ay nagpapahintulot sa amin na makamit ang pagkakapantay-pantay M = a b: d t. Sa t = 1 maaari nating makuha ang hindi bababa sa positibong karaniwang multiple ng a at b , pantay isang b: d, sa kondisyon na ang mga numerong a at b positibo.

Kaya napatunayan namin na ang LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Ang pagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang least common multiple sa pamamagitan ng pinakamalaking common divisor ng dalawa o higit pang ibinigay na numero.

Kahulugan 3

Ang teorama ay may dalawang mahalagang kahihinatnan:

• ang mga multiple ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang numero ay kapareho ng mga karaniwang multiple ng dalawang numerong iyon;
• ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mutually prime positive na mga numerong a at b ay katumbas ng kanilang produkto.

Hindi mahirap patunayan ang dalawang katotohanang ito. Anumang karaniwang multiple ng M ng mga numerong a at b ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay na M = LCM (a, b) · t para sa ilang integer value na t. Dahil ang a at b ay medyo prime, kung gayon ang gcd (a, b) = 1, samakatuwid, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b.

Hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero, ito ay kinakailangan upang sequentially mahanap ang LCM ng dalawang numero.

Teorama 2

Magpanggap na tayo a 1 , a 2 , … , a k ay ilang positibong integer. Upang makalkula ang LCM m k ang mga numerong ito, kailangan nating kalkulahin nang sunud-sunod m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = NOC(m 2 , a 3) , … , m k = NOC(m k - 1 , isang k) .

Katibayan 2

Ang unang corollary mula sa unang teorama na tinalakay sa paksang ito ay makakatulong sa atin na patunayan ang bisa ng pangalawang teorama. Ang pangangatwiran ay batay sa sumusunod na algorithm:

• karaniwang multiple ng mga numero a 1 At a 2 coincide with multiples ng kanilang LCM, in fact, coincided sila with multiples of the number m 2;
• karaniwang multiple ng mga numero a 1, a 2 At a 3 m 2 At a 3 m 3;
• karaniwang multiple ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k tumutugma sa karaniwang multiple ng mga numero m k - 1 At isang k, samakatuwid, ay tumutugma sa mga multiple ng numero m k;
• dahil sa katotohanan na ang pinakamaliit na positibong multiple ng numero m k ay ang numero mismo m k, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 , a 2 , … , a k ay m k.

Ito ay kung paano namin napatunayan ang teorama.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Binibigyang-daan ka ng online na calculator na mabilis na mahanap ang pinakamalaking common divisor at least common multiple para sa dalawa o anumang iba pang bilang ng mga numero.

Calculator para sa paghahanap ng GCD at LCM

Hanapin ang GCD at LOC

Natagpuan ang GCD at LOC: 6433

Paano gamitin ang calculator

• Maglagay ng mga numero sa input field
• Kung naglagay ka ng mga maling character, ang input field ay iha-highlight sa pula
• i-click ang button na "Hanapin ang GCD at LOC".

Paano magpasok ng mga numero

• Ang mga numero ay ipinasok na pinaghihiwalay ng isang puwang, tuldok o kuwit
• Ang haba ng mga inilagay na numero ay hindi limitado, kaya hindi mahirap maghanap ng GCD at LCM ng mahahabang numero

Ano ang GCD at NOC?

Pinakamahusay na karaniwang divisor ang ilang mga numero ay ang pinakamalaking natural na integer kung saan ang lahat ng orihinal na numero ay nahahati nang walang natitira. Ang pinakadakilang karaniwang divisor ay dinaglat bilang GCD.
Hindi bababa sa karaniwang maramihang ilang mga numero ay pinakamaliit na bilang, na nahahati sa bawat orihinal na numero nang walang natitira. Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay dinaglat bilang NOC.

Paano suriin na ang isang numero ay nahahati sa isa pang numero nang walang natitira?

Upang malaman kung ang isang numero ay nahahati sa isa pa nang walang natitira, maaari mong gamitin ang ilang mga katangian ng divisibility ng mga numero. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga ito, maaari mong suriin ang divisibility ng ilan sa mga ito at ang kanilang mga kumbinasyon.

Ang ilang mga palatandaan ng divisibility ng mga numero

1. Pagsusuri sa divisibility para sa isang numero ng 2
Upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa dalawa (kung ito ay kahit), sapat na upang tingnan ang huling digit ng numerong ito: kung ito ay katumbas ng 0, 2, 4, 6 o 8, kung gayon ang numero ay pantay, na nangangahulugang ito ay nahahati sa 2.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay nahahati sa 2.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa dalawa.

2. Pagsusuri sa divisibility para sa isang numero ng 3
Ang isang numero ay nahahati sa 3 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa tatlo. Kaya, upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa 3, kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng mga digit at suriin kung ito ay mahahati ng 3. Kahit na ang kabuuan ng mga digit ay napakalaki, maaari mong ulitin ang parehong proseso muli.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay nahahati sa 3.
Solusyon: Binibilang namin ang kabuuan ng mga numero: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 3, na nangangahulugang ang numero ay nahahati sa tatlo.

3. Pagsusuri sa divisibility para sa isang numero ng 5
Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay zero o lima.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay nahahati sa 5.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay HINDI nahahati sa lima.

4. Pagsusuri sa divisibility para sa isang numero ng 9
Ang sign na ito ay halos kapareho ng sign ng divisibility ng tatlo: ang isang numero ay nahahati ng 9 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 9.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 9.
Solusyon: Binibilang namin ang kabuuan ng mga numero: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 9, na nangangahulugang ang numero ay nahahati sa siyam.

Paano mahanap ang GCD at LCM ng dalawang numero

Paano mahanap ang gcd ng dalawang numero

Karamihan sa simpleng paraan Ang pagkalkula ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero ay upang mahanap ang lahat ng posibleng divisors ng mga numerong ito at piliin ang pinakamalaki sa mga ito.

Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng paghahanap ng GCD(28, 36):

1. Isinasaalang-alang namin ang parehong numero: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Nakahanap kami ng mga karaniwang salik, iyon ay, ang parehong mga numero ay may: 1, 2 at 2.
3. Kinakalkula namin ang produkto ng mga salik na ito: 1 2 2 = 4 - ito ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 28 at 36.

Paano mahanap ang LCM ng dalawang numero

Mayroong dalawang pinakakaraniwang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa maramihang ng dalawang numero. Ang unang paraan ay maaari mong isulat ang mga unang multiple ng dalawang numero, at pagkatapos ay pumili sa kanila ng isang numero na magiging karaniwan sa parehong mga numero at sa parehong oras ang pinakamaliit. At ang pangalawa ay upang mahanap ang gcd ng mga numerong ito. Isaalang-alang natin ito lamang.

Upang kalkulahin ang LCM, kailangan mong kalkulahin ang produkto ng mga orihinal na numero at pagkatapos ay hatiin ito sa dating nakitang GCD. Hanapin natin ang LCM para sa parehong mga numero 28 at 36:

1. Hanapin ang produkto ng mga numero 28 at 36: 28·36 = 1008
2. Ang GCD(28, 36), tulad ng alam na, ay katumbas ng 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Paghahanap ng GCD at LCM para sa ilang numero

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan para sa ilang numero, hindi lamang dalawa. Para sa layuning ito, ang mga numerong mahahanap para sa pinakamalaking karaniwang divisor ay isinasali sa pangunahing mga kadahilanan, pagkatapos ay ang produkto ng mga karaniwang kadahilanan ay matatagpuan pangunahing mga kadahilanan ang mga numerong ito. Maaari mo ring gamitin ang sumusunod na kaugnayan upang mahanap ang gcd ng ilang numero: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Ang isang katulad na relasyon ay nalalapat sa hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Halimbawa: hanapin ang GCD at LCM para sa mga numero 12, 32 at 36.

1. Una, i-factor natin ang mga numero: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Hanapin natin ang mga karaniwang salik: 1, 2 at 2.
3. Ang kanilang produkto ay magbibigay sa GCD ng: 1·2·2 = 4
4. Ngayon hanapin natin ang LCM: para magawa ito, hanapin muna natin ang LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Upang mahanap ang LCM ng lahat ng tatlong numero, kailangan mong hanapin ang GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Ipagpatuloy natin ang pag-uusap tungkol sa least common multiple, na sinimulan natin sa seksyong “LCM - least common multiple, definition, examples.” Sa paksang ito, titingnan natin ang mga paraan upang mahanap ang LCM para sa tatlo o higit pang mga numero, at titingnan natin ang tanong kung paano hanapin ang LCM ng isang negatibong numero.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pagkalkula ng Least Common Multiple (LCM) sa pamamagitan ng GCD

Naitatag na namin ang ugnayan sa pagitan ng least common multiple at ng greatest common divisor. Ngayon, alamin natin kung paano tukuyin ang LCM sa pamamagitan ng GCD. Una, alamin natin kung paano ito gagawin para sa mga positibong numero.

Kahulugan 1

Mahahanap mo ang least common multiple sa pamamagitan ng greatest common divisor gamit ang formula na LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Halimbawa 1

Kailangan mong hanapin ang LCM ng mga numerong 126 at 70.

Solusyon

Kunin natin ang a = 126, b = 70. I-substitute natin ang mga value sa formula para sa pagkalkula ng least common multiple sa pamamagitan ng greatest common divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Hinahanap ang gcd ng mga numero 70 at 126. Para dito kailangan namin ang Euclidean algorithm: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, samakatuwid GCD (126 , 70) = 14 .

Kalkulahin natin ang LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Sagot: LCM(126, 70) = 630.

Halimbawa 2

Hanapin ang numerong 68 at 34.

Solusyon

GCD sa sa kasong ito Hindi ito mahirap, dahil ang 68 ay nahahati sa 34. Kalkulahin natin ang least common multiple gamit ang formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Sagot: LCM(68, 34) = 68.

Sa halimbawang ito, ginamit namin ang panuntunan para sa paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng positive integers a at b: kung ang unang numero ay nahahati sa pangalawa, ang LCM ng mga numerong iyon ay magiging katumbas ng unang numero.

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor

Ngayon tingnan natin ang isang paraan para sa paghahanap ng LCM, na batay sa mga factoring number sa prime factor.

Kahulugan 2

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, kailangan nating magsagawa ng ilang simpleng hakbang:

• binubuo namin ang produkto ng lahat ng pangunahing salik ng mga numero kung saan kailangan naming hanapin ang LCM;
• ibinubukod namin ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan mula sa kanilang mga resultang produkto;
• ang produktong nakuha pagkatapos alisin ang mga karaniwang prime factor ay magiging katumbas ng LCM ng mga ibinigay na numero.

Ang pamamaraang ito ng paghahanap ng pinakamaliit na common multiple ay batay sa pagkakapantay-pantay na LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Kung titingnan mo ang pormula, magiging malinaw: ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga salik na lumahok sa pagkabulok ng dalawang numerong ito. Sa kasong ito, ang gcd ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na nasa mga factorization ng ibinigay na dalawang numero.

Halimbawa 3

Mayroon kaming dalawang numero 75 at 210. Maaari naming i-factor ang mga ito tulad ng sumusunod: 75 = 3 5 5 At 210 = 2 3 5 7. Kung bubuo ka ng produkto ng lahat ng mga salik ng dalawang orihinal na numero, makakakuha ka ng: 2 3 3 5 5 5 7.

Kung ibubukod namin ang mga salik na karaniwan sa parehong numero 3 at 5, makakakuha kami ng produkto ng sumusunod na anyo: 2 3 5 5 7 = 1050. Ang produktong ito ang ating magiging LCM para sa mga numerong 75 at 210.

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numero 441 At 700 , pag-factor ng parehong mga numero sa prime factor.

Solusyon

Hanapin natin ang lahat ng prime factor ng mga numerong ibinigay sa kondisyon:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Nakakuha tayo ng dalawang kadena ng mga numero: 441 = 3 3 7 7 at 700 = 2 2 5 5 7.

Ang produkto ng lahat ng mga salik na lumahok sa pagkabulok ng mga numerong ito ay magkakaroon ng anyo: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Maghanap tayo ng mga karaniwang salik. Ito ang numero 7. Ibukod natin ito sa kabuuang produkto: 2 2 3 3 5 5 7 7. NOC pala (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Sagot: LOC(441, 700) = 44,100.

Magbigay tayo ng isa pang pormulasyon ng pamamaraan para sa paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng pag-decomposing ng mga numero sa prime factor.

Kahulugan 3

Dati, hindi namin isinama sa kabuuang bilang ng mga salik na karaniwan sa parehong numero. Ngayon ay gagawin natin ito nang iba:

• I-factor natin ang parehong numero sa prime factor:
• idagdag sa produkto ng pangunahing mga kadahilanan ng unang numero ang nawawalang mga kadahilanan ng pangalawang numero;
• makuha namin ang produkto, na siyang nais na LCM ng dalawang numero.

Halimbawa 5

Bumalik tayo sa mga numerong 75 at 210, kung saan hinanap na natin ang LCM sa isa sa mga naunang halimbawa. Hatiin natin ang mga ito sa mga simpleng kadahilanan: 75 = 3 5 5 At 210 = 2 3 5 7. Sa produkto ng mga salik 3, 5 at 5 mga numero 75 idagdag ang nawawalang mga salik 2 At 7 mga numero 210. Nakukuha namin: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Ito ang LCM ng mga numerong 75 at 210.

Halimbawa 6

Kinakailangang kalkulahin ang LCM ng mga numero 84 at 648.

Solusyon

Isaalang-alang natin ang mga numero mula sa kundisyon sa mga simpleng kadahilanan: 84 = 2 2 3 7 At 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Idagdag natin sa produkto ang mga salik 2, 2, 3 at 7 mga numero 84 nawawalang mga salik 2, 3, 3 at
3 mga numero 648. Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Sagot: LCM(84, 648) = 4,536.

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Hindi alintana kung gaano karaming mga numero ang ating kinakaharap, ang algorithm ng ating mga aksyon ay palaging magiging pareho: sunud-sunod nating hahanapin ang LCM ng dalawang numero. Mayroong teorama para sa kasong ito.

Teorama 1

Ipagpalagay natin na mayroon tayong mga integer a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ang mga numerong ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Ngayon tingnan natin kung paano mailalapat ang teorama upang malutas ang mga partikular na problema.

Halimbawa 7

Kailangan mong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero 140, 9, 54 at 250 .

Solusyon

Ipakilala natin ang notasyon: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Magsimula tayo sa pagkalkula ng m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Ilapat natin ang Euclidean algorithm upang kalkulahin ang GCD ng mga numerong 140 at 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Nakukuha namin ang: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1,260. Samakatuwid, m 2 = 1,260.

Ngayon kalkulahin natin gamit ang parehong algorithm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Sa panahon ng mga kalkulasyon, nakukuha namin ang m 3 = 3 780.

Ang kailangan lang nating gawin ay kalkulahin ang m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Sinusunod namin ang parehong algorithm. Nakukuha namin ang m 4 = 94 500.

Ang LCM ng apat na numero mula sa halimbawang kundisyon ay 94500.

Sagot: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Tulad ng nakikita mo, ang mga kalkulasyon ay simple, ngunit medyo matrabaho. Upang makatipid ng oras, maaari kang pumunta sa ibang paraan.

Kahulugan 4

Inaalok namin sa iyo ang sumusunod na algorithm ng mga aksyon:

• nabubulok namin ang lahat ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan;
• sa produkto ng mga kadahilanan ng unang numero idinaragdag namin ang nawawalang mga kadahilanan mula sa produkto ng pangalawang numero;
• sa produktong nakuha sa nakaraang yugto idinagdag namin ang nawawalang mga kadahilanan ng ikatlong numero, atbp.;
• ang magreresultang produkto ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng lahat ng numero mula sa kundisyon.

Halimbawa 8

Kailangan mong hanapin ang LCM ng limang numero 84, 6, 48, 7, 143.

Solusyon

I-factor natin ang lahat ng limang numero sa prime factor: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Pangunahing numero, na kung saan ay ang bilang 7, ay hindi maaaring i-factor sa mga pangunahing kadahilanan. Ang ganitong mga numero ay nag-tutugma sa kanilang pagkabulok sa mga pangunahing kadahilanan.

Ngayon kunin natin ang produkto ng prime factor 2, 2, 3 at 7 ng numero 84 at idagdag sa kanila ang nawawalang mga kadahilanan ng pangalawang numero. Na-decompose namin ang numero 6 sa 2 at 3. Ang mga salik na ito ay nasa produkto na ng unang numero. Samakatuwid, tinanggal namin ang mga ito.

Patuloy kaming nagdaragdag ng mga nawawalang multiplier. Lumipat tayo sa numerong 48, mula sa produkto kung saan ang pangunahing mga kadahilanan ay kinukuha natin ang 2 at 2. Pagkatapos ay idinagdag namin ang prime factor ng 7 mula sa ikaapat na numero at ang mga kadahilanan ng 11 at 13 ng ikalima. Nakukuha natin ang: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng orihinal na limang numero.

Sagot: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga negatibong numero

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga negatibong numero, ang mga numerong ito ay dapat munang mapalitan ng mga numerong may kabaligtaran ng tanda, at pagkatapos ay magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang mga algorithm sa itaas.

Halimbawa 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) at LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Ang ganitong mga aksyon ay pinahihintulutan dahil sa katotohanan na kung tatanggapin natin iyon a At − a- magkasalungat na numero,
pagkatapos ay ang hanay ng mga multiple ng isang numero a tumutugma sa hanay ng mga multiple ng isang numero − a.

Halimbawa 10

Kinakailangang kalkulahin ang LCM ng mga negatibong numero − 145 At − 45 .

Solusyon

Palitan natin ang mga numero − 145 At − 45 sa kanilang kabaligtaran na mga numero 145 At 45 . Ngayon, gamit ang algorithm, kinakalkula namin ang LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, na dati nang natukoy ang GCD gamit ang Euclidean algorithm.

Nakuha namin na ang LCM ng mga numero ay − 145 at − 45 katumbas 1 305 .

Sagot: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter