Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng maraming gawain sa matematika. Kabilang sa mga ito, madalas na may mga problema sa sumusunod na pagbabalangkas: mayroong dalawang kahulugan. Paano mahahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga ibinigay na numero? Ito ay kinakailangan upang maisagawa ang mga naturang gawain, dahil ang nakuha na mga kasanayan ay ginagamit upang gumana sa mga fraction kapag iba't ibang denominador. Sa artikulong ito titingnan natin kung paano hanapin ang LOC at mga pangunahing konsepto.

Bago mahanap ang sagot sa tanong kung paano hanapin ang LCM, kailangan mong tukuyin ang terminong multiple. Kadalasan, ang pormulasyon ng konseptong ito ay ganito ang tunog: ang multiple ng isang tiyak na halaga A ay isang natural na numero na mahahati ng A nang walang natitira Kaya, para sa 4, ang mga multiple ay magiging 8, 12, 16, 20, at iba pa, sa kinakailangang limitasyon.

Bukod dito, ang bilang ng mga divisors para sa isang partikular na halaga ay maaaring limitado, ngunit ang mga multiple ay walang katapusan na marami. Mayroon ding parehong halaga para sa mga likas na halaga. Ito ay isang tagapagpahiwatig na nahahati sa kanila nang walang natitira. Ang pagkakaroon ng naunawaan ang konsepto ng pinakamaliit na halaga para sa ilang mga tagapagpahiwatig, magpatuloy tayo sa kung paano ito mahahanap.

Paghahanap ng NOC

Ang hindi bababa sa maramihang ng dalawa o higit pang mga exponent ay ang pinakamaliit na natural na numero na ganap na nahahati sa lahat ng tinukoy na mga numero.

Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang ganoong halaga, isaalang-alang ang mga sumusunod na pamamaraan:

1. Kung ang mga numero ay maliit, pagkatapos ay isulat sa isang linya ang lahat ng mahahati nito. Patuloy na gawin ito hanggang sa makakita ka ng isang bagay na karaniwan sa kanila. Sa pagsulat, ang mga ito ay tinutukoy ng titik K. Halimbawa, para sa 4 at 3, ang pinakamaliit na multiple ay 12.
2. Kung ang mga ito ay malaki o kailangan mong maghanap ng maramihang 3 o higit pang mga halaga, dapat kang gumamit ng ibang pamamaraan na kinabibilangan ng pag-decomposing ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan. Una, ilatag ang pinakamalaking nakalista, pagkatapos ang lahat ng iba pa. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling bilang ng mga multiplier. Bilang halimbawa, i-decompose natin ang 20 (2*2*5) at 50 (5*5*2). Para sa mas maliit, salungguhitan ang mga salik at idagdag ang mga ito sa pinakamalaki. Ang magiging resulta ay 100, na siyang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numero sa itaas.
3. Kapag nakahanap ng 3 numero (16, 24 at 36) ang mga prinsipyo ay kapareho ng para sa iba pang dalawa. Palawakin natin ang bawat isa sa kanila: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Dalawang dalawa lamang mula sa pagpapalawak ng bilang na 16 ang hindi kasama sa pagpapalawak ng pinakamalaki. Idinagdag namin ang mga ito at nakakuha ng 144, na siyang pinakamaliit na resulta para sa naunang ipinahiwatig na mga halagang numero.

Ngayon alam na natin kung ano ang pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng pinakamaliit na halaga para sa dalawa, tatlo o higit pang mga halaga. Gayunpaman, mayroon ding mga pribadong pamamaraan, tumutulong sa paghahanap ng NOC kung hindi makakatulong ang mga nauna.

Paano mahahanap ang GCD at NOC.

Mga pribadong paraan ng paghahanap

Tulad ng anumang seksyon ng matematika, may mga espesyal na kaso ng paghahanap ng LCM na tumutulong sa mga partikular na sitwasyon:

• kung ang isa sa mga numero ay mahahati ng iba nang walang natitira, kung gayon ang pinakamababang multiple ng mga numerong ito ay katumbas nito (ang LCM ng 60 at 15 ay 15);
• kapwa mga pangunahing numero walang karaniwang pangunahing mga kadahilanan. Ang kanilang pinakamaliit na halaga ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito. Kaya, para sa mga numero 7 at 8 ito ay magiging 56;
• ang parehong panuntunan ay gumagana para sa iba pang mga kaso, kabilang ang mga espesyal, na maaaring basahin tungkol sa espesyal na panitikan. Dapat din itong isama ang mga kaso ng agnas ng mga pinagsama-samang numero, na siyang paksa ng mga indibidwal na artikulo at maging ang mga disertasyon ng kandidato.

Ang mga espesyal na kaso ay mas karaniwan kaysa sa karaniwang mga halimbawa. Ngunit salamat sa kanila, maaari kang matutong gumawa ng mga fraction ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Ito ay totoo lalo na para sa mga fraction, kung saan may mga hindi pantay na denominator.

Ilang mga halimbawa

Tingnan natin ang ilang halimbawa na makakatulong sa iyong maunawaan ang prinsipyo ng paghahanap ng hindi bababa sa maramihang:

1. Hanapin ang LOC (35; 40). Una nating nabubulok ang 35 = 5*7, pagkatapos ay 40 = 5*8. Magdagdag ng 8 sa pinakamaliit na numero at makakuha ng LOC 280.
2. NOC (45; 54). Binubulok namin ang bawat isa sa kanila: 45 = 3*3*5 at 54 = 3*3*6. Idinaragdag namin ang numerong 6 hanggang 45. Makakakuha kami ng LCM na katumbas ng 270.
3. Well, ang huling halimbawa. Mayroong 5 at 4. Walang prime multiple ng mga ito, kaya ang hindi bababa sa common multiple sa kasong ito ay ang kanilang produkto, katumbas ng 20.

Salamat sa mga halimbawa, mauunawaan mo kung paano matatagpuan ang NOC, kung ano ang mga nuances at kung ano ang kahulugan ng naturang mga manipulasyon.

Ang paghahanap ng NOC ay mas madali kaysa sa tila sa una. Upang gawin ito, ang parehong simpleng pagpapalawak at pagpaparami ay ginagamit mga simpleng halaga sa ibabaw ng bawat isa. Ang kakayahang magtrabaho sa seksyong ito ng matematika ay nakakatulong sa karagdagang pag-aaral ng mga paksang pangmatematika, lalo na ang mga fraction ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado.

Huwag kalimutang lutasin ang mga halimbawa sa pana-panahon iba't ibang pamamaraan, ito ay bubuo ng lohikal na kagamitan at nagbibigay-daan sa iyo na matandaan ang maraming mga termino. Matutunan kung paano maghanap ng ganoong exponent at magagawa mong mahusay sa iba pang mga seksyon ng matematika. Maligayang pag-aaral ng matematika!

Video

Tutulungan ka ng video na ito na maunawaan at matandaan kung paano hanapin ang least common multiple.

Pangalawang numero: b=

Thousand separator Nang walang space separator "´

Resulta:

Pinakamalaki karaniwang divisor GCD( a,b)=6

Least common multiple ng LCM( a,b)=468

Ang pinakamalaking natural na bilang na maaaring hatiin nang walang natitira sa mga numerong a at b ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor(GCD) ng mga numerong ito. Tinutukoy ng gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) o hcf(a,b).

Hindi bababa sa karaniwang maramihang Ang LCM ng dalawang integer na a at b ay ang pinakamaliit na natural na bilang na nahahati ng a at b na walang natitira. Tinutukoy na LCM(a,b), o lcm(a,b).

Ang mga integer a at b ay tinatawag kapwa prime, kung wala silang karaniwang divisors maliban sa +1 at −1.

Pinakamahusay na karaniwang divisor

Ibigay ang dalawa mga positibong numero a 1 at a 2 1). Kinakailangang hanapin ang karaniwang divisor ng mga numerong ito, i.e. hanapin ang ganyang numero λ , na naghahati sa mga numero a 1 at a 2 sa parehong oras. Ilarawan natin ang algorithm.

1) Sa artikulong ito, mauunawaan ang salitang numero bilang isang integer.

Hayaan a 1 ≥ a 2 at hayaan

saan m 1 , a 3 ay ilang integer, a 3 <a 2 (natitira sa dibisyon a 1 bawat a 2 ay dapat na mas mababa a 2).

Ipagpalagay natin na λ naghahati a 1 at a 2 pagkatapos λ naghahati m 1 a 2 at λ naghahati a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pahayag 2 ng artikulong "Pagiging mahati ng mga numero. Pagsusulit sa divisibility"). Ito ay sumusunod na ang bawat karaniwang divisor a 1 at a 2 ang karaniwang divisor a 2 at a 3. Ang baligtad ay totoo rin kung λ karaniwang divisor a 2 at a 3 pagkatapos m 1 a 2 at a 1 =m 1 a 2 +a 3 ay nahahati din ng λ . Samakatuwid ang karaniwang divisor a 2 at a 3 ay isa ring karaniwang divisor a 1 at a 2. kasi a 3 <a 2 ≤a 1, pagkatapos ay maaari naming sabihin na ang solusyon sa problema ng paghahanap ng mga karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 nabawasan sa mas simpleng problema ng paghahanap ng karaniwang divisor ng mga numero a 2 at a 3 .

Kung a 3 ≠0, pagkatapos ay maaari nating hatiin a 2 sa a 3. Pagkatapos

,

saan m 1 at a 4 ay ilang integer, ( a 4 na natitira mula sa dibisyon a 2 sa a 3 (a 4 <a 3)). Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran dumating kami sa konklusyon na ang mga karaniwang divisors ng mga numero a 3 at a 4 coincides sa mga karaniwang divisors ng mga numero a 2 at a 3, at gayundin sa mga karaniwang divisors a 1 at a 2. kasi a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... ay mga numero na patuloy na bumababa, at dahil may hangganan na bilang ng mga integer sa pagitan a 2 at 0, pagkatapos ay sa ilang hakbang n, natitira sa dibisyon a n sa a n+1 ay magiging katumbas ng zero ( a n+2 =0).

.

Bawat karaniwang divisor λ mga numero a 1 at a Ang 2 ay isa ring divisor ng mga numero a 2 at a 3 , a 3 at a 4 , .... a n at a n+1 . Totoo rin ang kabaligtaran, karaniwang mga divisors ng mga numero a n at a Ang n+1 ay mga divisors din ng mga numero a n−1 at a n , .... , a 2 at a 3 , a 1 at a 2. Ngunit ang karaniwang divisor ng mga numero a n at a n+1 ay isang numero a n+1 , dahil a n at a ang n+1 ay nahahati ng a n+1 (tandaan mo yan a n+2 =0). Kaya naman a Ang n+1 ay isa ring divisor ng mga numero a 1 at a 2 .

Tandaan na ang numero a Ang n+1 ay ang pinakamalaking divisor ng mga numero a n at a n+1 , dahil ang pinakamalaking divisor a n+1 ay mismo a n+1 . Kung a Ang n+1 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga integer, kung gayon ang mga numerong ito ay karaniwang mga divisors ng mga numero a 1 at a 2. Numero a n+1 ang tawag pinakamalaking karaniwang divisor mga numero a 1 at a 2 .

Mga numero a 1 at a Ang 2 ay maaaring maging positibo o negatibong mga numero. Kung ang isa sa mga numero ay katumbas ng zero, kung gayon ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng ganap na halaga ng isa pang numero. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga zero na numero ay hindi natukoy.

Ang algorithm sa itaas ay tinatawag Euclidean algorithm upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang integer.

Isang halimbawa ng paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero

Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero 630 at 434.

• Hakbang 1. Hatiin ang numerong 630 sa 434. Ang natitira ay 196.
• Hakbang 2. Hatiin ang numerong 434 sa 196. Ang natitira ay 42.
• Hakbang 3. Hatiin ang numerong 196 sa 42. Ang natitira ay 28.
• Hakbang 4. Hatiin ang numero 42 sa 28. Ang natitira ay 14.
• Hakbang 5. Hatiin ang numerong 28 sa 14. Ang natitira ay 0.

Sa hakbang 5, ang natitira sa dibisyon ay 0. Samakatuwid, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 630 at 434 ay 14. Tandaan na ang mga numero 2 at 7 ay mga divisors din ng mga numerong 630 at 434.

Mga numero ng koprime

Kahulugan 1. Hayaan ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 ay katumbas ng isa. Pagkatapos ay tinawag ang mga numerong ito mga numero ng coprime, walang karaniwang divisor.

Teorama 1. Kung a 1 at a 2 coprime na numero, at λ ilang numero, pagkatapos ay anumang karaniwang divisor ng mga numero λa 1 at a Ang 2 ay isa ring karaniwang divisor ng mga numero λ At a 2 .

Patunay. Isaalang-alang ang Euclidean algorithm para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 (tingnan sa itaas).

.

Mula sa mga kondisyon ng teorama ito ay sumusunod na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 at samakatuwid a n at a Ang n+1 ay 1. Iyon ay a n+1 =1.

I-multiply natin ang lahat ng pagkakapantay-pantay na ito λ , Pagkatapos

.

Hayaan ang karaniwang divisor a 1 λ At a 2 oo δ . Pagkatapos δ ay kasama bilang isang multiplier sa a 1 λ , m 1 a 2 λ at sa a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (tingnan ang "Pagkakahati ng mga numero", Pahayag 2). Susunod δ ay kasama bilang isang multiplier sa a 2 λ At m 2 a 3 λ , at, samakatuwid, ay isang salik sa a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Nangangatuwiran sa ganitong paraan, kami ay kumbinsido na δ ay kasama bilang isang multiplier sa a n−1 λ At m n−1 a n λ , at samakatuwid ay sa a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . kasi a n+1 =1, pagkatapos δ ay kasama bilang isang multiplier sa λ . Samakatuwid ang numero δ ay ang karaniwang divisor ng mga numero λ At a 2 .

Isaalang-alang natin ang mga espesyal na kaso ng Theorem 1.

Bunga 1. Hayaan a At c Ang mga pangunahing numero ay medyo b. Tapos yung product nila ac ay isang prime number na may kinalaman sa b.

talaga. Mula sa Theorem 1 ac At b ay may parehong karaniwang divisors bilang c At b. Ngunit ang mga numero c At b medyo simple, i.e. magkaroon ng iisang common divisor 1. Pagkatapos ac At b mayroon ding iisang common divisor 1. Samakatuwid ac At b kapwa simple.

Bunga 2. Hayaan a At b coprime ang mga numero at hayaan b naghahati ak. Pagkatapos b naghahati at k.

talaga. Mula sa kondisyon ng pag-apruba ak At b magkaroon ng isang karaniwang divisor b. Sa bisa ng Theorem 1, b dapat ay isang karaniwang divisor b At k. Kaya naman b naghahati k.

Corollary 1 ay maaaring pangkalahatan.

Bunga 3. 1. Hayaan ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ay prime na may kaugnayan sa bilang b. Pagkatapos a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, ang produkto ng mga numerong ito ay prime sa bilang b.

2. Magkaroon tayo ng dalawang hanay ng mga numero

na ang bawat numero sa unang serye ay prime sa ratio ng bawat numero sa ikalawang serye. Pagkatapos ang produkto

Kailangan mong hanapin ang mga numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito.

Kung ang isang numero ay nahahati sa a 1, pagkatapos ay mayroon itong anyo sa 1 kung saan s ilang numero. Kung q ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2, pagkatapos

saan s 1 ay ilang integer. Pagkatapos

ay hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero a 1 at a 2 .

a 1 at a 2 ay relatibong prime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero a 1 at a 2:

Kailangan nating hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito.

Mula sa itaas ay sumusunod na ang anumang maramihang mga numero a 1 , a 2 , a Ang 3 ay dapat na maramihang mga numero ε At a 3 at pabalik. Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε At a 3 oo ε 1. Susunod, maramihang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , a Ang 4 ay dapat na maramihang mga numero ε 1 at a 4. Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε 1 at a 4 oo ε 2. Kaya, nalaman namin na ang lahat ng multiple ng mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay nag-tutugma sa multiple ng isang tiyak na numero ε n, na tinatawag na least common multiple ng mga binigay na numero.

Sa espesyal na kaso kapag ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay relatibong prime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 , a 2, tulad ng ipinapakita sa itaas, ay may anyo (3). Susunod, mula noong a 3 prime kaugnay ng mga numero a 1 , a 2 pagkatapos a 3 pangunahing numero a 1 · a 2 (Corollary 1). Nangangahulugan ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 ,a 2 ,a 3 ay isang numero a 1 · a 2 · a 3. Nangangatuwiran sa katulad na paraan, nakarating tayo sa mga sumusunod na pahayag.

Pahayag 1. Hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay katumbas ng kanilang produkto a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Pahayag 2. Anumang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay nahahati din sa kanilang produkto a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Paano mahanap ang LCM (least common multiple)

Ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng dalawang integer ay ang pinakamaliit sa lahat ng integer na nahahati sa parehong ibinigay na mga numero nang hindi nag-iiwan ng natitira.

Paraan 1. Maaari mong mahanap ang LCM, sa turn, para sa bawat isa sa mga ibinigay na numero, isinusulat sa pataas na pagkakasunud-sunod ang lahat ng mga numero na nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga ito sa 1, 2, 3, 4, at iba pa.

Halimbawa para sa mga numero 6 at 9.
I-multiply namin ang numero 6, sunud-sunod, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin: 6, 12, 18 , 24, 30
I-multiply namin ang numero 9, sunud-sunod, sa pamamagitan ng 1, 2, 3, 4, 5.
Nakukuha namin ang: 9, 18 , 27, 36, 45
Gaya ng nakikita mo, ang LCM para sa mga numero 6 at 9 ay magiging katumbas ng 18.

Ang pamamaraang ito ay maginhawa kapag ang parehong mga numero ay maliit at ito ay madaling i-multiply ang mga ito sa isang sequence ng integers. Gayunpaman, may mga kaso kung kailan kailangan mong hanapin ang LCM para sa dalawang-digit o tatlong-digit na mga numero, at gayundin kapag mayroong tatlo o higit pang mga unang numero.

Paraan 2. Mahahanap mo ang LCM sa pamamagitan ng pag-factor ng mga orihinal na numero sa prime factor.
Pagkatapos ng agnas, kinakailangan na i-cross out ang magkaparehong mga numero mula sa nagresultang serye ng mga pangunahing kadahilanan. Ang natitirang mga numero ng unang numero ay magiging multiplier para sa pangalawa, at ang natitirang mga numero ng pangalawa ay magiging multiplier para sa una.

Halimbawa para sa mga numero 75 at 60.
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60 ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Para magawa ito, i-factor natin ang 75 at 60 sa mga simpleng salik:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Gaya ng nakikita mo, lumalabas ang mga salik 3 at 5 sa magkabilang row. Sa isip ay "pinutol" natin sila.
Isulat natin ang natitirang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng bawat isa sa mga bilang na ito. Kapag nabubulok ang numero 75, naiwan tayo sa numero 5, at kapag nabubulok ang numero 60, naiwan tayo ng 2 * 2
Nangangahulugan ito na upang matukoy ang LCM para sa mga numero 75 at 60, kailangan nating i-multiply ang natitirang mga numero mula sa pagpapalawak ng 75 (ito ay 5) ng 60, at i-multiply ang mga numerong natitira mula sa pagpapalawak ng 60 (ito ay 2 * 2) sa pamamagitan ng 75. Iyon ay, para sa kadalian ng pag-unawa, sinasabi namin na kami ay nagpaparami ng "crosswise".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ganito namin nahanap ang LCM para sa mga numerong 60 at 75. Ito ang numerong 300.

Halimbawa. Tukuyin ang LCM para sa mga numero 12, 16, 24
Sa kasong ito, ang aming mga aksyon ay magiging mas kumplikado. Ngunit una, gaya ng dati, i-factorize natin ang lahat ng mga numero
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Upang matukoy nang tama ang LCM, pipiliin namin ang pinakamaliit sa lahat ng mga numero (ito ang numero 12) at sunud-sunod na dumaan sa mga salik nito, tinatawid ang mga ito kung sa kahit isa sa iba pang mga hanay ng mga numero ay nakatagpo kami ng parehong kadahilanan na hindi pa na-cross out.

Hakbang 1. Nakita namin na ang 2 * 2 ay nangyayari sa lahat ng serye ng mga numero. I-cross out natin sila.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Hakbang 2. Sa pangunahing mga kadahilanan ng numero 12, ang numero 3 lamang ang natitira Ngunit ito ay naroroon sa mga pangunahing kadahilanan ng numero 24. Tinatanggal namin ang numero 3 mula sa parehong mga hilera, habang walang mga aksyon na kinakailangan para sa numero 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Tulad ng nakikita mo, kapag nabubulok ang numero 12, "pinutol" namin ang lahat ng mga numero. Nangangahulugan ito na ang paghahanap ng LOC ay nakumpleto na. Ang natitira na lang ay kalkulahin ang halaga nito.
Para sa numero 12, kunin ang natitirang mga kadahilanan ng numero 16 (susunod sa pataas na pagkakasunud-sunod)
12 * 2 * 2 = 48
Ito ang NOC

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito, ang paghahanap ng LCM ay medyo mas mahirap, ngunit kapag kailangan mong hanapin ito para sa tatlo o higit pang mga numero, pinapayagan ka ng paraang ito na gawin ito nang mas mabilis. Gayunpaman, ang parehong paraan ng paghahanap ng LCM ay tama.

Tingnan natin ang tatlong paraan upang mahanap ang least common multiple.

Paghahanap sa pamamagitan ng factorization

Ang unang paraan ay upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga ibinigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Sabihin nating kailangan nating hanapin ang LCM ng mga numero: 99, 30 at 28. Para magawa ito, i-factor natin ang bawat isa sa mga numerong ito sa prime factor:

Upang ang nais na numero ay mahahati sa 99, 30 at 28, kinakailangan at sapat na kasama nito ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan ng mga divisors na ito. Upang gawin ito, kailangan nating kunin ang lahat ng pangunahing salik ng mga numerong ito sa pinakamaraming posibleng antas at i-multiply ang mga ito nang sama-sama:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

Kaya, LCM (99, 30, 28) = 13,860 Walang ibang numero na mas mababa sa 13,860 ang mahahati ng 99, 30, o 28.

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga ibinigay na numero, isasaalang-alang mo ang mga ito sa kanilang mga prime factor, pagkatapos ay kunin ang bawat prime factor na may pinakamalaking exponent kung saan ito lumalabas, at i-multiply ang mga salik na iyon nang magkasama.

Dahil ang mga relatibong prime na numero ay walang karaniwang prime factor, ang kanilang hindi bababa sa karaniwang multiple ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito. Halimbawa, ang tatlong numero: 20, 49 at 33 ay medyo prime. kaya lang

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Ang parehong ay dapat gawin kapag naghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng iba't ibang mga prime number. Halimbawa, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Paghahanap sa pamamagitan ng pagpili

Ang pangalawang paraan ay ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pagpili.

Halimbawa 1. Kapag ang pinakamalaki sa mga ibinigay na numero ay hinati sa isa pang ibinigay na numero, kung gayon ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng pinakamalaki sa kanila. Halimbawa, binigyan ng apat na numero: 60, 30, 10 at 6. Ang bawat isa sa kanila ay nahahati sa 60, samakatuwid:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Sa ibang mga kaso, upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, ang sumusunod na pamamaraan ay ginagamit:

1. Tukuyin ang pinakamalaking bilang mula sa mga ibinigay na numero.
2. Susunod, makikita natin ang mga numero na multiple ng pinakamalaking numero, pinarami ito sa mga natural na numero sa pagtaas ng pagkakasunud-sunod at sinusuri kung ang nagreresultang produkto ay nahahati sa natitirang ibinigay na mga numero.

Halimbawa 2. Ibinigay ang tatlong numero 24, 3 at 18. Tinutukoy namin ang pinakamalaki sa kanila - ito ang numero 24. Susunod, nakita namin ang mga numero na multiple ng 24, tinitingnan kung ang bawat isa sa kanila ay nahahati sa 18 at 3:

24 · 1 = 24 - mahahati ng 3, ngunit hindi mahahati ng 18.

24 · 2 = 48 - mahahati ng 3, ngunit hindi mahahati ng 18.

24 · 3 = 72 - mahahati ng 3 at 18.

Kaya, LCM (24, 3, 18) = 72.

Paghahanap sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap sa LCM

Ang ikatlong paraan ay upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM.

Ang LCM ng dalawang ibinigay na numero ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito na hinati sa kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.

Halimbawa 1. Hanapin ang LCM ng dalawang ibinigay na numero: 12 at 8. Tukuyin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor: GCD (12, 8) = 4. I-multiply ang mga numerong ito:

Hinahati namin ang produkto sa kanilang gcd:

Kaya, LCM (12, 8) = 24.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, gamitin ang sumusunod na pamamaraan:

1. Una, hanapin ang LCM ng alinman sa dalawa sa mga numerong ito.
2. Pagkatapos, ang LCM ng nakitang least common multiple at ang pangatlong ibinigay na numero.
3. Pagkatapos, ang LCM ng nagreresultang hindi bababa sa karaniwang multiple at ang ikaapat na numero, atbp.
4. Kaya, ang paghahanap para sa LCM ay nagpapatuloy hangga't may mga numero.

Halimbawa 2. Hanapin natin ang LCM ng tatlong ibinigay na numero: 12, 8 at 9. Natagpuan na natin ang LCM ng mga numero 12 at 8 sa nakaraang halimbawa (ito ang numero 24). Ito ay nananatili upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng numero 24 at ang ikatlong ibinigay na numero - 9. Tukuyin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor: GCD (24, 9) = 3. I-multiply ang LCM sa numero 9:

Hinahati namin ang produkto sa kanilang gcd:

Kaya, LCM (12, 8, 9) = 72.

Kahulugan. Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) ang mga numerong ito.

Hanapin natin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 24 at 35.
Ang mga divisors ng 24 ay ang mga numero 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, at ang mga divisors ng 35 ay ang mga numero 1, 5, 7, 35.
Nakikita natin na ang mga numero 24 at 35 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag kapwa prime.

Kahulugan. Ang mga natural na numero ay tinatawag kapwa prime, kung ang kanilang greatest common divisor (GCD) ay 1.

Greatest Common Divisor (GCD) ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang lahat ng mga divisors ng mga ibinigay na numero.

Ang pag-factor ng mga numero 48 at 36, nakukuha natin:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, tinatanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero (ibig sabihin, dalawang dalawa).
Ang mga salik na natitira ay 2 * 2 * 3. Ang kanilang produkto ay 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 48 at 36. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay matatagpuan din.

Para mahanap pinakamalaking karaniwang divisor

2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;
3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.

Kung ang lahat ng ibinigay na numero ay nahahati sa isa sa kanila, ang numerong ito ay pinakamalaking karaniwang divisor binigay na mga numero.
Halimbawa, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 15, 45, 75 at 180 ay ang numero 15, dahil ang lahat ng iba pang mga numero ay nahahati nito: 45, 75 at 180.

Least common multiple (LCM)

Kahulugan. Least common multiple (LCM) Ang mga natural na numero a at b ay ang pinakamaliit na natural na numero na isang multiple ng parehong a at b. Ang least common multiple (LCM) ng mga numerong 75 at 60 ay makikita nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang gawin ito, i-factor natin ang 75 at 60 sa prime factor: 75 = 3 * 5 * 5, at 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Isulat natin ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, at idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero (i.e., pinagsama natin ang mga salik).
Nakukuha namin ang limang salik 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ang produkto nito ay 300. Ang numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60.

Nahanap din nila ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero.

Upang maghanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ilang natural na numero, kailangan mo:
1) isama ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;
2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;
3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;
4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.

Tandaan na kung ang isa sa mga numerong ito ay nahahati sa lahat ng iba pang mga numero, ang numerong ito ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito.
Halimbawa, ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 12, 15, 20, at 60 ay 60 dahil nahahati ito sa lahat ng mga numerong iyon.

Pinag-aralan ni Pythagoras (VI siglo BC) at ng kanyang mga estudyante ang tanong ng divisibility ng mga numero. Tinawag nila ang isang numero na katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga divisors nito (nang walang numero mismo) na isang perpektong numero. Halimbawa, ang mga numero 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ay perpekto. Ang susunod na perpektong numero ay 496, 8128, 33,550,336 ang alam lang ng mga Pythagorean ang unang tatlong perpektong numero. Ang ikaapat - 8128 - ay nakilala noong ika-1 siglo. n. e. Ang ikalima - 33,550,336 - ay natagpuan noong ika-15 siglo. Sa pamamagitan ng 1983, 27 perpektong numero ay kilala na. Ngunit hindi pa rin alam ng mga siyentipiko kung may mga kakaibang perpektong numero o kung mayroong pinakamalaking perpektong numero.
Ang interes ng mga sinaunang mathematician sa prime number ay dahil sa ang katunayan na ang anumang numero ay prime o maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng mga prime number, ibig sabihin, ang mga prime number ay parang mga brick kung saan ang natitirang natural na mga numero ay binuo.
Marahil ay napansin mo na ang mga pangunahing numero sa serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay - sa ilang bahagi ng serye ay mas marami sa kanila, sa iba - mas kaunti. Ngunit habang patuloy tayong gumagalaw sa serye ng numero, hindi gaanong karaniwan ang mga prime number. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang huling (pinakamalaking) prime number? Ang sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid (ika-3 siglo BC), sa kanyang aklat na "Mga Elemento," na siyang pangunahing aklat-aralin ng matematika sa loob ng dalawang libong taon, ay nagpatunay na mayroong walang hanggan na maraming prime number, ibig sabihin, sa likod ng bawat prime number ay mayroong mas malaking prime. numero.
Upang makahanap ng mga prime number, isa pang Greek mathematician ng parehong panahon, si Eratosthenes, ang gumawa ng pamamaraang ito. Isinulat niya ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang sa ilang numero, at pagkatapos ay nilagyan ng ekis ang isa, na hindi prime o composite na numero, pagkatapos ay i-cross out sa isa ang lahat ng mga numerong susunod sa 2 (mga numero na multiple ng 2, ibig sabihin, 4, 6, 8, atbp.). Ang unang natitirang numero pagkatapos ng 2 ay 3. Pagkatapos, pagkatapos ng dalawa, ang lahat ng mga numerong darating pagkatapos ng 3 (mga numero na multiple ng 3, ibig sabihin, 6, 9, 12, atbp.) ay na-cross out. sa huli tanging ang mga prime number lang ang nanatiling hindi natawid.