Ayon sa sample na survey, ang mga depositor ay pinagsama ayon sa laki ng kanilang deposito sa Sberbank ng lungsod:

tukuyin:

1) saklaw ng pagkakaiba-iba;

2) average na laki ng deposito;

3) average na linear deviation;

4) pagpapakalat;

5) karaniwang paglihis;

6) koepisyent ng pagkakaiba-iba ng mga kontribusyon.

Solusyon:

Ang serye ng pamamahagi na ito ay naglalaman ng mga bukas na agwat. Sa naturang serye, ang halaga ng pagitan ng unang pangkat ay karaniwang ipinapalagay na katumbas ng halaga ng pagitan ng susunod, at ang halaga ng pagitan ng huling pangkat ay katumbas ng halaga ng pagitan ng nauna.

Ang halaga ng pagitan ng pangalawang pangkat ay katumbas ng 200, samakatuwid, ang halaga ng unang pangkat ay katumbas din ng 200. Ang halaga ng pagitan ng penultimate group ay katumbas ng 200, na nangangahulugan na ang huling pagitan ay magkakaroon din may halagang 200.

1) Tukuyin natin ang hanay ng variation bilang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamalaki at pinakamaliit na value ng attribute:

Ang saklaw ng pagkakaiba-iba sa laki ng deposito ay 1000 rubles.

2) Ang average na laki ng kontribusyon ay tutukuyin gamit ang weighted arithmetic average formula.

Alamin muna natin ang discrete value ng attribute sa bawat interval. Upang gawin ito, gamit ang simpleng arithmetic mean formula, makikita natin ang mga midpoint ng mga pagitan.

Ang average na halaga ng unang pagitan ay magiging:

ang pangalawa - 500, atbp.

Ilagay natin ang mga resulta ng pagkalkula sa talahanayan:

Ang average na deposito sa Sberbank ng lungsod ay magiging 780 rubles:

3) Ang average na linear deviation ay ang arithmetic mean ng absolute deviations ng mga indibidwal na halaga ng isang katangian mula sa pangkalahatang average:

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng average na linear deviation sa interval distribution series ay ang mga sumusunod:

1. Ang weighted arithmetic mean ay kinakalkula, tulad ng ipinapakita sa talata 2).

2. Natutukoy ang mga ganap na paglihis mula sa average:

3. Ang mga resultang deviations ay pinarami ng mga frequency:

4. Hanapin ang kabuuan ng mga weighted deviations nang hindi isinasaalang-alang ang sign:

5. Ang kabuuan ng mga weighted deviations ay hinati sa kabuuan ng mga frequency:

Maginhawang gamitin ang talahanayan ng data ng pagkalkula:

Ang average na linear deviation ng laki ng deposito ng mga kliyente ng Sberbank ay 203.2 rubles.

4) Ang dispersion ay ang arithmetic mean ng mga squared deviations ng bawat attribute value mula sa arithmetic mean.

Ang pagkalkula ng pagkakaiba-iba sa serye ng pamamahagi ng pagitan ay isinasagawa gamit ang formula:

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng pagkakaiba-iba sa kasong ito ay ang mga sumusunod:

1. Tukuyin ang weighted arithmetic mean, tulad ng ipinapakita sa talata 2).

2. Maghanap ng mga paglihis mula sa average:

3. Square ang deviation ng bawat opsyon mula sa average:

4. I-multiply ang mga parisukat ng mga deviation sa mga timbang (mga frequency):

5. Ibuod ang mga resultang produkto:

6. Ang resultang halaga ay hinati sa kabuuan ng mga timbang (mga frequency):

Ilagay natin ang mga kalkulasyon sa isang talahanayan:

Ang programang Excel ay lubos na pinahahalagahan ng parehong mga propesyonal at mga baguhan, dahil ang mga gumagamit ng anumang antas ng kasanayan ay maaaring gumana dito. Halimbawa, ang sinumang may kaunting kasanayan sa "komunikasyon" sa Excel ay maaaring gumuhit ng isang simpleng graph, gumawa ng isang disenteng plato, atbp.

Kasabay nito, pinapayagan ka ng program na ito na magsagawa ng iba't ibang uri ng mga kalkulasyon, halimbawa, mga kalkulasyon, ngunit nangangailangan ito ng bahagyang naiibang antas ng pagsasanay. Gayunpaman, kung nagsimula kang maging malapit na pamilyar sa program na ito at interesado sa lahat ng bagay na makakatulong sa iyong maging isang mas advanced na gumagamit, ang artikulong ito ay para sa iyo. Ngayon sasabihin ko sa iyo kung ano ang average karaniwang lihis formula sa Excel, kung bakit ito kailangan at, mahigpit na pagsasalita, kapag ito ay ginagamit. Go!

Ano ito

Magsimula tayo sa teorya. Ang karaniwang paglihis ay karaniwang tinatawag Kuwadrado na ugat, nakuha mula sa arithmetic mean ng lahat ng squared differences sa pagitan ng mga available na value, pati na rin ang arithmetic mean ng mga ito. Sa pamamagitan ng paraan, ang halagang ito ay karaniwang tinatawag na Greek letter na "sigma". Ang karaniwang paglihis ay kinakalkula gamit ang STANDARDEVAL na pormula nang naaayon, ginagawa ito ng programa para sa mismong gumagamit.

Ang kakanyahan ng konseptong ito ay upang matukoy ang antas ng pagkakaiba-iba ng isang instrumento, iyon ay, ito ay, sa sarili nitong paraan, isang tagapagpahiwatig na nagmula sa mga deskriptibong istatistika. Tinutukoy nito ang mga pagbabago sa pagkasumpungin ng isang instrumento sa isang tiyak na yugto ng panahon. Gamit ang mga STANDARDEVAL na formula, maaari mong tantiyahin ang karaniwang paglihis ng sample, habang lohikal at mga halaga ng teksto ay hindi pinapansin.

Formula

Tumutulong sa pagkalkula ng karaniwang paglihis sa formula ng excel, na awtomatikong ibinibigay sa Excel. Upang mahanap ito, kailangan mong hanapin ang seksyon ng formula sa Excel, at pagkatapos ay piliin ang tinatawag na STANDARDEVAL, kaya napakasimple nito.

Pagkatapos nito, lilitaw ang isang window sa harap mo kung saan kakailanganin mong magpasok ng data para sa pagkalkula. Sa partikular, dalawang numero ang dapat ipasok sa mga espesyal na patlang, pagkatapos kung saan ang programa mismo ay kalkulahin ang karaniwang paglihis para sa sample.

Walang alinlangan, ang mga mathematical formula at kalkulasyon ay medyo masalimuot na isyu, at hindi lahat ng user ay makakayanan ito kaagad. Gayunpaman, kung maghuhukay ka ng kaunti at titingnan ang isyu nang mas detalyado, lumalabas na hindi lahat ay napakalungkot. Sana ay kumbinsido ka dito gamit ang halimbawa ng pagkalkula ng standard deviation.

Video para makatulong

X i - random (kasalukuyang) variable;

Xᅳ– ang average na halaga ng mga random na variable para sa sample ay kinakalkula gamit ang formula:

Kaya, ang pagkakaiba ay ang average na parisukat ng mga deviations . Iyon ay, ang average na halaga ay unang kinakalkula, pagkatapos ay kinuha ang pagkakaiba sa pagitan ng bawat orihinal at average na halaga ay parisukat , ay idinagdag at pagkatapos ay hinati sa bilang ng mga halaga sa populasyon.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng isang indibidwal na halaga at ang average ay sumasalamin sa sukatan ng paglihis. Squared upang ang lahat ng mga paglihis ay maging eksklusibo mga positibong numero at upang maiwasan ang magkaparehong pagkasira ng positibo at negatibong mga paglihis kapag nagbubuod ng mga ito. Pagkatapos, dahil sa mga squared deviations, kinakalkula lang namin ang arithmetic mean.

Solusyon mahiwagang salita Ang “dispersion” ay binubuo lamang ng tatlong salitang ito: mean – square – deviations.

Standard deviation (MSD)

Ang pagkuha ng square root ng variance, nakuha namin ang tinatawag na " karaniwang lihis". May mga pangalan "standard deviation" o "sigma" (mula sa pangalan ng letrang Griyego σ .). Ang formula para sa karaniwang paglihis ay:

Kaya, ang dispersion ay sigma squared, o ang standard deviation squared.

Ang karaniwang paglihis, malinaw naman, ay nagpapakilala rin sa sukat ng pagpapakalat ng data, ngunit ngayon (hindi tulad ng pagpapakalat) maaari itong ihambing sa orihinal na data, dahil mayroon silang parehong mga yunit ng pagsukat (ito ay malinaw mula sa formula ng pagkalkula). Ang hanay ng variation ay ang pagkakaiba sa pagitan ng matinding mga halaga. Ang karaniwang paglihis, bilang isang sukatan ng kawalan ng katiyakan, ay kasangkot din sa maraming istatistikal na pagkalkula. Ginagamit ito upang maitaguyod ang antas ng katumpakan iba't ibang mga pagtatantya at mga pagtataya. Kung ang pagkakaiba-iba ay napakalaki, kung gayon ang karaniwang paglihis ay magiging malaki din, at samakatuwid ang pagtataya ay magiging hindi tumpak, na ipahahayag, halimbawa, sa napakalawak na mga pagitan ng kumpiyansa.

Samakatuwid, sa mga pamamaraan ng pagpoproseso ng istatistikal na data sa mga pagtatasa ng real estate, depende sa kinakailangang katumpakan ng gawain, ginagamit ang dalawa o tatlong panuntunan ng sigma.

Upang ihambing ang dalawang-sigma na panuntunan at ang tatlong-sigma na panuntunan, ginagamit namin ang formula ng Laplace:

F-F,

kung saan ang Ф(x) ay ang Laplace function;

Pinakamababang halaga

β = pinakamataas na halaga

s = halaga ng sigma (standard deviation)

a = karaniwan

Sa kasong ito ito ay ginagamit pribadong view Ang formula ng Laplace kapag ang mga hangganan α at β ng mga halaga ng random variable X ay pantay na pagitan mula sa gitna ng distribution a = M(X) ng isang tiyak na halaga d: a = a-d, b = a+d. O kaya (1) Tinutukoy ng Formula (1) ang posibilidad ng isang naibigay na paglihis d ng isang random na variable X c normal na batas pamamahagi mula sa kanya inaasahan sa matematika M(X) = a. Kung sa formula (1) ay kukuha tayo ng sunud-sunod na d = 2s at d = 3s, makukuha natin ang: (2), (3).

Dalawang sigma na panuntunan

Ito ay halos mapagkakatiwalaan (na may posibilidad ng kumpiyansa na 0.954) na ang lahat ng mga halaga ng isang random na variable X na may isang normal na batas sa pamamahagi ay lumihis mula sa kanyang inaasahan sa matematika M(X) = a sa halagang hindi hihigit sa 2s (dalawang standard deviations ). Ang posibilidad ng kumpiyansa (Pd) ay ang posibilidad ng mga kaganapan na karaniwang tinatanggap bilang maaasahan (ang kanilang posibilidad ay malapit sa 1).

Ilarawan natin ang dalawang-sigma na tuntunin sa geometriko. Sa Fig. Ang Figure 6 ay nagpapakita ng isang Gaussian curve na may sentro ng pamamahagi a. Ang lugar na limitado ng buong curve at ang Ox axis ay katumbas ng 1 (100%), at ang lugar ng curvilinear trapezoid sa pagitan ng abscissas a–2s at a+2s, ayon sa two-sigma rule, ay pantay. hanggang 0.954 (95.4% ng kabuuang lugar). Ang lugar ng mga shaded na lugar ay 1-0.954 = 0.046 (»5% ng kabuuang lugar). Ang mga lugar na ito ay tinatawag na kritikal na rehiyon ng random variable. Ang mga halaga ng isang random na variable na nahuhulog sa kritikal na rehiyon ay hindi malamang at sa pagsasanay ay karaniwang tinatanggap bilang imposible.

Kondisyon na maaaring mangyari mga imposibleng halaga ay tinatawag na antas ng kahalagahan ng isang random na variable. Ang antas ng kahalagahan ay nauugnay sa posibilidad ng kumpiyansa ng formula:

kung saan ang q ay ang antas ng kabuluhan na ipinahayag bilang isang porsyento.

Tatlong sigma na panuntunan

Kapag nilulutas ang mga isyu na nangangailangan ng higit na pagiging maaasahan, kapag ang posibilidad ng kumpiyansa (Pd) ay kinuha na katumbas ng 0.997 (mas tiyak, 0.9973), sa halip na ang dalawang-sigma na panuntunan, ayon sa formula (3), ang panuntunan ay ginagamit tatlong sigma

Ayon kay tatlong sigma na panuntunan na may posibilidad ng kumpiyansa na 0.9973, ang kritikal na lugar ay ang lugar ng mga halaga ng katangian sa labas ng pagitan (a-3s, a+3s). Ang antas ng kahalagahan ay 0.27%.

Sa madaling salita, ang posibilidad na ganap na halaga Ang mga paglihis ay lalampas sa tatlong beses sa karaniwang paglihis, napakaliit, katulad ng katumbas ng 0.0027 = 1-0.9973. Nangangahulugan ito na 0.27% lamang ng mga kaso ang mangyayari. Ang ganitong mga kaganapan, batay sa prinsipyo ng imposibilidad ng hindi malamang na mga kaganapan, ay maaaring ituring na halos imposible. Yung. ang sampling ay lubos na tumpak.

Ito ang kakanyahan ng tatlong sigma na panuntunan:

Kung ang isang random na variable ay ibinahagi nang normal, kung gayon ang ganap na halaga ng paglihis nito mula sa inaasahan sa matematika ay hindi lalampas sa tatlong beses sa standard deviation (MSD).

Sa pagsasagawa, ang tatlong-sigma na panuntunan ay inilalapat tulad ng sumusunod: kung ang distribusyon ng random na variable na pinag-aaralan ay hindi alam, ngunit ang kundisyon na tinukoy sa panuntunan sa itaas ay natutugunan, kung gayon may dahilan upang ipagpalagay na ang variable na pinag-aaralan ay normal na ipinamamahagi. ; kung hindi, ito ay hindi karaniwang ipinamamahagi.

Ang antas ng kahalagahan ay kinukuha depende sa pinahihintulutang antas ng panganib at ang gawaing nasa kamay. Para sa pagtatasa ng real estate, karaniwang ginagamit ang hindi gaanong tumpak na sample, na sumusunod sa panuntunang two-sigma.

Pagpapakalat. Karaniwang lihis

Pagpapakalat ay ang arithmetic mean ng squared deviations ng bawat attribute value mula sa pangkalahatang average. Depende sa pinagmulan ng data, ang pagkakaiba ay maaaring hindi natimbang (simple) o natimbang.

Ang pagkakaiba ay kinakalkula gamit ang mga sumusunod na formula:

· para sa ungrouped data

· para sa nakagrupong data

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng timbang na pagkakaiba:

1. tukuyin ang arithmetic weighted average

2. natutukoy ang mga paglihis ng variant mula sa average

3. parisukat ang paglihis ng bawat opsyon mula sa average

4. i-multiply ang mga parisukat ng mga deviation sa pamamagitan ng mga timbang (mga frequency)

5. ibuod ang mga resultang produkto

6. ang resultang halaga ay hinati sa kabuuan ng mga timbangan

Ang formula para sa pagtukoy ng pagkakaiba-iba ay maaaring ma-convert sa sumusunod na formula:

- simple

Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng pagkakaiba-iba ay simple:

1. tukuyin ang arithmetic mean

2. parisukat ang arithmetic mean

3. parisukat ang bawat opsyon sa hilera

4. hanapin ang kabuuan ng mga parisukat na opsyon

5. hatiin ang kabuuan ng mga parisukat sa kanilang bilang, i.e. tukuyin ang ibig sabihin ng parisukat

6. tukuyin ang pagkakaiba sa pagitan ng mean square ng katangian at square ng mean

Gayundin, ang formula para sa pagtukoy ng weighted variance ay maaaring ma-convert sa sumusunod na formula:

mga. ang dispersion ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng average ng squared values ​​ng attribute at square ng arithmetic mean. Kapag ginagamit ang binagong formula, ang karagdagang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga paglihis ng mga indibidwal na halaga ng isang katangian mula sa x ay tinanggal at ang error sa pagkalkula na nauugnay sa pag-ikot ng mga paglihis ay tinanggal.

Ang dispersion ay may ilang mga katangian, ang ilan sa mga ito ay nagpapadali sa pagkalkula:

1) ang pagpapakalat ng isang palaging halaga ay zero;

2) kung ang lahat ng mga variant ng mga halaga ng katangian ay nabawasan ng parehong numero, kung gayon ang pagkakaiba ay hindi bababa;

3) kung ang lahat ng mga variant ng mga halaga ng katangian ay nabawasan ng parehong bilang ng beses (tiklop), kung gayon ang pagkakaiba ay bababa ng isang kadahilanan

Standard deviations- kumakatawan sa square root ng variance:

· para sa hindi nakagrupong data:

;

· para sa serye ng variation:

Ang hanay ng variation, mean linear at standard deviation ay pinangalanang mga dami. Mayroon silang parehong mga yunit ng pagsukat bilang mga indibidwal na halaga tanda.

Ang pagkakaiba-iba at karaniwang paglihis ay ang pinakamalawak na ginagamit na mga sukat ng pagkakaiba-iba. Ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang mga ito ay kasama sa karamihan ng mga theorems ng probability theory, na nagsisilbing pundasyon ng matematikal na istatistika. Bilang karagdagan, ang pagkakaiba ay maaaring mabulok sa mga elemento ng bahagi nito, na nagpapahintulot sa isa na suriin ang impluwensya iba't ibang salik, na nagiging sanhi ng pagkakaiba-iba ng katangian.

Ang pagkalkula ng mga tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba para sa mga bangko na nakapangkat ayon sa margin ng tubo ay ipinapakita sa talahanayan.

Ang average na linear at standard deviation ay nagpapakita kung gaano nagbabago ang halaga ng isang katangian sa average sa mga yunit at populasyon na pinag-aaralan. Kaya, sa sa kasong ito average na halaga ang mga pagbabago sa halaga ng kita ay: ayon sa average na linear deviation, 0.882 milyong rubles; sa pamamagitan ng karaniwang paglihis - 1.075 milyong rubles. Ang standard deviation ay palaging mas malaki kaysa sa mean linear deviation. Kung ang distribusyon ng katangian ay malapit sa normal, pagkatapos ay mayroong relasyon sa pagitan ng S at d: S=1.25d, o d=0.8S. Ipinapakita ng standard deviation kung paano matatagpuan ang bulto ng mga unit ng populasyon na may kaugnayan sa arithmetic mean. Anuman ang hugis ng pamamahagi, 75 mga halaga ng katangian ay nahuhulog sa pagitan ng x 2S, at hindi bababa sa 89 ng lahat ng mga halaga ay nahulog sa pagitan ng x 3S (P.L. Chebyshev's theorem).

Ang square root ng variance ay tinatawag na standard deviation mula sa mean, na kinakalkula tulad ng sumusunod:

elementarya pagbabagong algebraic Ang standard deviation formula ay humahantong dito sa sumusunod na anyo:

Ang formula na ito ay madalas na nagiging mas maginhawa sa pagsasanay sa pagkalkula.

Ang karaniwang paglihis, tulad ng average na linear deviation, ay nagpapakita kung gaano kalaki sa average na partikular na mga halaga ng isang katangian ang lumihis mula sa kanilang average na halaga. Ang standard deviation ay palaging mas malaki kaysa sa mean linear deviation. Mayroong sumusunod na relasyon sa pagitan nila:

Alam ang ratio na ito, maaari mong gamitin ang mga kilalang tagapagpahiwatig upang matukoy ang hindi alam, halimbawa, ngunit (I kalkulahin ang a at vice versa. Ang karaniwang paglihis ay sumusukat sa ganap na sukat ng pagkakaiba-iba ng isang katangian at ipinahayag sa parehong mga yunit ng pagsukat bilang ang mga halaga ng katangian (rubles, tonelada, taon, atbp.). Ito ay isang ganap na sukatan ng pagkakaiba-iba.

Para sa mga alternatibong palatandaan, halimbawa presensya o kawalan mataas na edukasyon, insurance, dispersion at standard deviation formula ay ang mga sumusunod:

Ipakita natin ang pagkalkula ng standard deviation ayon sa data ng isang discrete series na nagpapakilala sa distribusyon ng mga mag-aaral sa isa sa mga faculty ng unibersidad ayon sa edad (Talahanayan 6.2).

Talahanayan 6.2.

Ang mga resulta ng auxiliary kalkulasyon ay ibinibigay sa mga hanay 2-5 ng talahanayan. 6.2.

Ang average na edad ng isang mag-aaral, mga taon, ay tinutukoy ng weighted arithmetic mean formula (column 2):

Ang mga squared deviations ng indibidwal na edad ng mag-aaral mula sa average ay nasa column 3-4, at ang mga produkto ng squared deviations at ang kaukulang frequency ay nasa column 5.

Nahanap namin ang pagkakaiba-iba ng edad ng mga mag-aaral, taon, gamit ang formula (6.2):

Pagkatapos o = l/3.43 1.85 *oda, i.e. Ang bawat partikular na halaga ng edad ng isang mag-aaral ay lumilihis mula sa average ng 1.85 taon.

Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba

Sa ganap na halaga nito, ang karaniwang paglihis ay nakasalalay hindi lamang sa antas ng pagkakaiba-iba ng katangian, kundi pati na rin sa ganap na antas ng mga opsyon at ang average. Samakatuwid, ihambing ang average standard deviations Direktang imposible ang mga serye ng variation na may iba't ibang average na antas. Upang magawa ang gayong paghahambing, kailangan mong hanapin tiyak na gravity ang average na paglihis (linear o quadratic) sa arithmetic average, na ipinahayag bilang isang porsyento, i.e. kalkulahin kamag-anak na mga sukat ng pagkakaiba-iba.

Linear coefficient ng variation kinakalkula ng formula

Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba tinutukoy ng sumusunod na formula:

Sa coefficients ng variation, hindi lamang ang incomparability na nauugnay sa iba't ibang unit ng pagsukat ng katangian na pinag-aaralan ay inaalis, kundi pati na rin ang incomparability na lumitaw dahil sa mga pagkakaiba sa halaga ng arithmetic means. Bilang karagdagan, ang mga tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba ay nagpapakilala sa homogeneity ng populasyon. Ang populasyon ay itinuturing na homogenous kung ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay hindi lalampas sa 33%.

Ayon sa talahanayan. 6.2 at ang mga resulta ng pagkalkula na nakuha sa itaas, tinutukoy namin ang koepisyent ng pagkakaiba-iba, %, ayon sa formula (6.3):

Kung ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay lumampas sa 33%, ito ay nagpapahiwatig ng heterogeneity ng populasyon na pinag-aaralan. Ang halaga na nakuha sa aming kaso ay nagpapahiwatig na ang populasyon ng mga mag-aaral ayon sa edad ay homogenous sa komposisyon. Kaya, isang mahalagang tungkulin ng pag-generalize ng mga tagapagpahiwatig ng pagkakaiba-iba ay upang masuri ang pagiging maaasahan ng mga average. Ang mas kaunti c1, a2 at V, mas homogenous ang resultang set ng phenomena at mas maaasahan ang resultang average. Ayon sa "three sigma rule" na isinasaalang-alang ng mathematical statistics, sa normal na distributed o malapit sa kanila series, deviations mula sa arithmetic mean na hindi hihigit sa ±3st ay nangyayari sa 997 cases out of 1000. Kaya, alam X at a, maaari kang makakuha ng pangkalahatang paunang ideya ng serye ng variation. Kung, halimbawa, ang average sahod ang empleyado sa kumpanya ay 25,000 rubles, at ang isang ay katumbas ng 100 rubles, pagkatapos ay may posibilidad na malapit sa katiyakan, maaari itong mapagtatalunan na ang sahod ng mga empleyado ng kumpanya ay nagbabago sa loob ng saklaw (25,000 ± ± 3 x 100), i.e. mula 24,700 hanggang 25,300 rubles.