Nai-post sa aming website. Ang pag-root ng isang numero ay madalas na ginagamit sa iba`t ibang mga kalkulasyon, at ang aming calculator ay isang mahusay na tool para sa naturang mga kalkulasyon sa matematika.

Papayagan ka ng online na calculator na may mga ugat na mabilis at madaling gumawa ng anumang mga kalkulasyon na kasangkot sa pagkuha ng ugat. Ang ugat ng pangatlong degree ay kasing madali upang makalkula bilang Pang-ugat na ugat ng bilang, ugat ng negatibong numero, ugat ng isang kumplikadong bilang, ugat ng pi, atbp.

Ang pagkalkula ng ugat ng isang numero ay posible nang manu-mano. Kung posible na kalkulahin ang buong ugat ng isang numero, pagkatapos ay makita lamang namin ang halaga ng radikal na ekspresyon gamit ang root table. Sa ibang mga kaso, ang tinatayang pagkalkula ng mga ugat ay nabawasan sa pagpapalawak ng radikal na expression sa produkto ng mas simpleng mga kadahilanan, na kung saan ay mga kapangyarihan at maaari silang alisin para sa root sign, na pinapasimple ang ekspresyon sa ilalim ng ugat hangga't maaari.

Ngunit huwag gumamit ng ganoong root solution. At dahil jan. Una, gagastos ka ng maraming oras sa mga naturang kalkulasyon. Ang mga numero sa ugat, o sa halip, ang mga expression ay maaaring maging kumplikado, at ang degree ay hindi kinakailangang quadratic o cubic. Pangalawa, ang kawastuhan ng naturang mga kalkulasyon ay hindi laging nasiyahan. At pangatlo, mayroong isang online root calculator na gagawa ng anumang pagkuha ng ugat para sa iyo sa loob ng ilang segundo.

Ang pagkuha ng isang ugat mula sa isang numero ay nangangahulugang paghahanap ng isang numero na, kapag itinaas sa lakas n, ay katumbas ng halaga ng radikal na ekspresyon, kung saan ang n ang lakas ng ugat, at ang numero mismo ang ugat ng ugat. Ang ugat ng ika-2 degree ay tinatawag na simple o parisukat, at ang ugat ng pangatlong degree ay tinatawag na cubic, na tinatanggal ang pahiwatig ng degree sa parehong mga kaso.

Root solution sa calculator sa online ay nabawasan lamang sa pagsusulat ng isang pagpapahayag na matematika sa linya ng pag-input. Ang pagkuha mula sa isang ugat sa calculator ay tinukoy bilang sqrt at isinasagawa gamit ang tatlong mga key - pagkuha ng square root sqrt (x), pagkuha ng cubic root sqrt3 (x) at pagkuha ng nth root ng sqrt (x, y) . Ang mas detalyadong impormasyon tungkol sa control panel ay ipinakita sa pahina.

Pagkuha ng parisukat na ugat

Ang pagpindot sa pindutan na ito ay magpapasok ng isang square root entry na pagkuha sa linya ng pag-input: sqrt (x), kailangan mo lamang ipasok ang radikal na ekspresyon at isara ang panaklong.

Halimbawa ng solusyon parisukat na mga ugat sa calculator:

Kung mayroong isang negatibong numero sa ilalim ng ugat, at ang antas ng ugat ay pantay, pagkatapos ang sagot ay ipapakita bilang isang kumplikadong numero na may isang haka-haka na yunit i.

Square root ng isang negatibong numero:

Pangatlong ugat

Gamitin ang key na ito kapag kailangan mong kunin ang cube root. Nagsisingit ito ng sqrt3 (x) sa linya ng pag-input.

Root 3 degree:

Root ng degree n

Naturally, pinapayagan ka ng online root calculator na mag-extract hindi lamang ng mga square at cube Roots ng isang numero, kundi pati na rin ang ugat ng lakas ng n. Ang pagpindot sa pindutan na ito ay magpapakita ng isang tala ng form sqrt (x x, y).

Root ng ika-4 na degree:

Ang isang eksaktong nth root ng isang numero ay maaaring makuha lamang kung ang numero mismo ay isang eksaktong nth root na halaga. Kung hindi man, ang pagkalkula ay magiging tinatayang, bagaman napakalapit sa perpekto, dahil ang kawastuhan ng mga kalkulasyon ng online na calculator ay umabot sa 14 decimal na lugar.

Ika-5 ugat na may tinatayang resulta:

Roots ng praksyon

Maaaring kalkulahin ng calculator ang ugat mula sa iba't ibang mga numero at expression. Ang paghahanap ng ugat ng isang maliit na bahagi ay nabawasan sa isang hiwalay na pagkuha ng ugat mula sa numerator at denominator.

Square root ng isang maliit na bahagi:

Root mula sa ugat

Sa mga kaso kung saan ang ugat ng pagpapahayag ay nasa ilalim ng ugat, ayon sa pag-aari ng mga ugat, maaari silang mapalitan ng isang ugat, ang antas na kung saan ay magiging katumbas ng produkto ng mga degree ng pareho. Sa madaling salita, upang makuha ang ugat mula sa ugat, sapat na ito upang maparami ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat. Sa halimbawang ipinakita sa pigura, ang ekspresyong ugat ng pangatlong degree ng isang ugat ng pangalawang degree ay maaaring mapalitan ng isang ugat ng ika-6 na degree. Tukuyin ang expression na angkop sa iyo. Kalkulahin ng calculator ang lahat nang tama pa rin.

Isang halimbawa ng kung paano kumuha ng ugat mula sa ugat:

Degree sa ugat

Pinapayagan ka ng calculator ng degree degree na kalkulahin ang isang hakbang, nang hindi muna binabawasan ang mga tagapagpahiwatig ng ugat at degree.

Kuwadradong ugat ng kapangyarihan:

Ang lahat ng mga pag-andar ng aming libreng calculator ay nakolekta sa isang seksyon.

Ang paglutas ng mga ugat sa isang online calculator ay huling nabago: Marso 3, 2016 ng Admin

Oras na upang maghiwalay mga pamamaraan ng pagkuha ng ugat... Ang mga ito ay batay sa mga katangian ng mga ugat, sa partikular, sa pagkakapantay-pantay, na may bisa para sa anumang hindi negatibong numero b.

Sa ibaba ay titingnan namin ang mga pangunahing pamamaraan ng pagkuha ng ugat sa pagliko.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso - pagkuha ng mga ugat mula sa natural na mga numero gamit ang isang talahanayan ng mga parisukat, isang mesa ng mga cube, atbp.

Kung mga talahanayan ng mga parisukat, cubes, atbp. wala sa kamay, pagkatapos ay lohikal na gamitin ang pamamaraan ng pagkuha ng ugat, na nagpapahiwatig ng agnas ng radikal na bilang sa pangunahing mga kadahilanan.

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng pagtutuon sa kung ano ang posible para sa mga ugat na may mga kakaibang tagapagpahiwatig.

Sa wakas, tingnan natin ang isang paraan upang hanapin ang mga digit ng root na halaga ng sunud-sunod.

Magsimula na tayo.

Paggamit ng isang mesa ng mga parisukat, isang mesa ng kubo, atbp.

Sa pinakasimpleng mga kaso, maaari mong gamitin ang mga talahanayan ng mga parisukat, cubes, atbp upang makakuha ng mga ugat. Ano ang mga talahanayan na ito?

Ang talahanayan ng mga parisukat ng mga integer mula 0 hanggang 99 na kasama (ipinapakita sa ibaba) ay binubuo ng dalawang mga zone. Ang unang zone ng talahanayan ay matatagpuan sa isang kulay-abo na background, pinapayagan kang lumikha ng isang numero mula 0 hanggang 99 sa pamamagitan ng pagpili ng isang tukoy na hilera at isang tukoy na haligi. Halimbawa, pumili tayo ng isang hilera ng 8 sampu at isang haligi ng 3, naayos namin ang bilang na 83. Ang pangalawang zone ay tumatagal ng natitirang talahanayan. Ang bawat isa sa mga cell nito ay matatagpuan sa intersection ng isang tiyak na hilera at isang tiyak na haligi, at naglalaman ng parisukat ng kaukulang numero mula 0 hanggang 99. Sa interseksyon ng aming napiling hilera na 8 sampu at haligi ng 3 mga yunit, mayroong isang cell na may bilang na 6 889, na kung saan ay ang parisukat ng bilang na 83.

Ang mga talahanayan ng mga cube, mga talahanayan ng ika-apat na kapangyarihan ng mga numero mula 0 hanggang 99, at iba pa ay katulad ng talahanayan ng mga parisukat, naglalaman lamang sila ng mga cube, ika-apat na kapangyarihan, atbp sa pangalawang zone. kaukulang numero.

Mga mesa ng mga parisukat, cubes, ika-apat na degree, atbp. payagan kang kumuha ng parisukat na mga ugat, ugat ng kubo, ika-apat na ugat, atbp. ayon sa pagkakabanggit mula sa mga numero sa mga talahanayan na ito. Ipaliwanag natin ang prinsipyo ng kanilang aplikasyon kapag kumukuha ng mga ugat.

Sabihin nating kailangan nating kunin ang n-th na ugat ng numero a, habang ang numero a ay nakapaloob sa n-th power table. Mula sa talahanayan na ito nakita namin ang isang numero b tulad ng a = b n. Tapos , samakatuwid, ang bilang b ay ang kinakailangang nth root.

Bilang isang halimbawa, ipinapakita namin kung paano nakuha ang cube root na 19,683 gamit ang isang cube table. Natagpuan namin ang bilang 19 683 sa talahanayan ng mga cube, mula dito nalaman natin na ang numerong ito ay ang kubo ng bilang 27, samakatuwid, .

Ito ay malinaw na ang mga t-power table ay napaka-maginhawa para sa pagkuha ng mga ugat. Gayunpaman, madalas na wala sila, at ang kanilang pagtitipon ay nangangailangan ng isang tiyak na tagal ng oras. Bukod dito, madalas na kinakailangan upang makuha ang mga ugat mula sa mga numero na hindi nilalaman sa mga kaukulang talahanayan. Sa mga kasong ito, kailangan mong gumamit ng iba pang mga pamamaraan ng pagkuha ng ugat.

Punong factorization ng isang radikal na numero

Ang isang medyo maginhawang paraan upang kunin ang ugat mula sa isang natural na numero (kung, syempre, ang ugat ay nakuha) ay ang pagpapalawak ng radikal na numero sa pangunahing mga kadahilanan. Ang kanyang ang kakanyahan ay ang mga sumusunod: pagkatapos nito ay sapat na madali upang kumatawan sa anyo ng isang kapangyarihan na may nais na exponent, na nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang halaga ng ugat. Linawin natin ang puntong ito.

Hayaang makuha ang nth root mula sa isang natural na numero a, at ang halaga nito ay katumbas ng b. Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay a = b n ay totoo. Ang bilang b, bilang anumang natural na numero, ay maaaring kinatawan bilang produkto ng lahat ng mga pangunahing kadahilanan p 1, p 2, ..., pm sa form p 1 p 2 ... 2 ·… · pm) n. Dahil ang agnas ng isang bilang sa pangunahing mga kadahilanan ay natatangi, ang agnas ng radikal na numero a sa pangunahing mga kadahilanan ay magkakaroon ng form (p 1 · p 2 ·… · pm) n, na ginagawang posible upang makalkula ang halaga ng ugat bilang

Tandaan na kung ang factorization ng isang radikal na numero a ay hindi maaaring kinatawan sa form (p 1 · p 2 ·… · p m) n, kung gayon ang n-th na ugat ng naturang bilang a ay hindi kumpletong nakuha.

Alamin natin ito kapag naglulutas ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kunin ang parisukat na ugat ng 144.

Solusyon

Kung babaling tayo sa talahanayan ng mga parisukat na ibinigay sa nakaraang talata, malinaw na nakikita na 144 = 12 2, kung saan malinaw na ang parisukat na ugat ng 144 ay 12.

Ngunit sa ilaw ng puntong ito, interesado kami sa kung paano ang ugat ay nakuha sa pamamagitan ng pagkabulok ng radikal na bilang 144 sa pangunahing mga kadahilanan. Pag-aralan natin ang solusyon na ito.

Palawakin na natin 144 sa pamamagitan ng pangunahing mga kadahilanan:

Iyon ay, 144 = 2 2 2 2 3 3. Batay sa nakuha na agnas, ang mga sumusunod na pagbabago ay maaaring isagawa: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... Dahil dito, .

Gamit ang mga katangian ng degree at mga katangian ng mga ugat, ang form ay maaaring formulate sa isang bahagyang naiiba paraan:

Sagot:

Upang pagsamahin ang materyal, isaalang-alang ang mga solusyon sa dalawa pang mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng ugat.

Solusyon

Ang pangunahing pagpapalisod ng radikal na bilang 243 ay 243 = 3 5. Kaya, .

Sagot:

Halimbawa.

Ang halaga ba ng ugat ay isang integer?

Solusyon

Upang sagutin ang katanungang ito, mabulok natin ang radikal na numero sa pangunahing mga kadahilanan at tingnan kung maaari itong mailarawan bilang isang kubo ng isang integer.

Mayroon tayong 285 768 = 2 3 3 6 7 2. Ang nagresultang agnas ay hindi kinakatawan bilang isang kubo ng isang integer, dahil ang degree pangunahing kadahilanan Ang 7 ay hindi isang maramihang ng tatlo. Samakatuwid, ang cube root ng bilang 285 768 ay hindi kumpletong nakuha.

Sagot:

Hindi.

Ang pagkuha ng mga ugat mula sa mga praksyonal na numero

Panahon na upang malaman kung paano nakuha ang ugat numero ng praksyonal... Hayaang maisulat ang bilang na praksyonal na radikal bilang p / q. Ayon sa pag-aari ng ugat ng kabuuan, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahiwatig ugat ng praksiyon: ang ugat ng maliit na bahagi ay katumbas ng kabuuan ng paghahati ng ugat ng numerator sa pamamagitan ng ugat ng denominator.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkuha ng isang ugat mula sa isang maliit na bahagi.

Halimbawa.

Ano ang parisukat na ugat ng karaniwang praksiyon 25/169 .

Solusyon

Mula sa talahanayan ng mga parisukat, nalaman namin na ang square root ng numerator ng orihinal na maliit na bahagi ay 5, at ang square root ng denominator ay 13. Tapos ... Nakumpleto nito ang pagkuha ng ugat mula sa karaniwang maliit na bahagi ng 25/169.

Sagot:

Ang ugat ng isang decimal o halo-halong numero ay nakuha pagkatapos palitan ang mga radikal na numero ng mga ordinaryong praksiyon.

Halimbawa.

I-extract ang cube root ng decimal 474.552.

Solusyon

Isipin ang orihinal decimal bilang isang ordinaryong praksyon: 474.552 = 474552/1000. Tapos ... Nananatili ito upang makuha ang mga ugat ng cube na nasa numerator at denominator ng nagresultang maliit na bahagi. Bilang 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 at 1000 = 10 3, pagkatapos at ... Nananatili lamang ito upang makumpleto ang mga kalkulasyon .

Sagot:

.

Kinukuha ang ugat ng isang negatibong numero

Hiwalay, sulit na manatili sa pagkuha ng mga ugat mula sa mga negatibong numero. Kapag pinag-aaralan ang mga ugat, sinabi namin na kapag ang root exponent ay isang kakaibang numero, kung gayon ang isang negatibong numero ay maaaring nasa ilalim ng root sign. Ibinigay namin ang mga nasabing mga entry sa sumusunod na kahulugan: para sa isang negatibong numero −a at isang kakaibang exponent ng root 2n - 1, mayroon kaming ... Nagbibigay ang pagkakapantay-pantay na ito panuntunan para sa pagkuha ng mga kakaibang ugat mula sa mga negatibong numero: upang makuha ang ugat ng isang negatibong numero, kailangan mong kunin ang ugat ng kabaligtaran positibong numero, at maglagay ng isang minus sign sa harap ng resulta.

Isaalang-alang natin ang solusyon ng isang halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng ugat.

Solusyon

Binabago namin ang orihinal na expression upang sa ilalim ng root sign lumitaw ito positibong numero: ... Ngayon halo-halong numero palitan ng isang ordinaryong praksyon: ... Inilalapat namin ang panuntunan sa pagkuha ng isang ugat mula sa isang ordinaryong maliit na bahagi: ... Nananatili ito upang makalkula ang mga ugat sa numerator at denominator ng nagresultang maliit na bahagi: .

Narito ang isang maikling tala ng solusyon: .

Sagot:

.

Paghahanap ng root halaga nang paitaas

SA pangkalahatang kaso sa ilalim ng ugat ay isang numero na hindi maaaring kumatawan bilang n -th na kapangyarihan ng isang numero gamit ang mga diskarteng tinalakay sa itaas. Ngunit sa kasong ito, kinakailangan upang malaman ang halaga ng isang naibigay na ugat, hindi bababa sa isang kawastuhan hanggang sa isang tiyak na pag-sign. Sa kasong ito, upang makuha ang ugat, maaari kang gumamit ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa iyong sunud-sunod na makakuha tama na ang mga halaga ng mga digit ng kinakailangang numero.

Sa unang hakbang ng algorithm na ito, kailangan mong malaman kung ano ang pinakamahalagang piraso ng root root. Upang magawa ito, ang mga bilang na 0, 10, 100, ... ay sunud-sunod na itinaas sa kapangyarihan n hanggang sa sandaling natanggap ang isang bilang na lumagpas sa radikal na numero. Pagkatapos ang numero na tinaasan namin sa lakas n sa nakaraang hakbang ay magpapahiwatig ng kaukulang pinaka makabuluhang bit.

Bilang isang halimbawa, isaalang-alang ang hakbang na ito ng algorithm kapag kumukuha ng parisukat na ugat ng lima. Kinukuha namin ang mga numero na 0, 10, 100, ... at parisukat ang mga ito hanggang sa makuha namin ang isang bilang na mas malaki sa 5. Mayroon kaming 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, na nangangahulugang ang pinakamahalagang piraso ay ang mga medyo. Ang halaga ng bit na ito, pati na rin ang mga mas mababa, ay matatagpuan sa mga susunod na hakbang ng root extraction algorithm.

Ang lahat ng mga susunod na hakbang ng algorithm ay naglalayong sunud-sunod na pagpino ng halaga ng ugat dahil sa ang katunayan na ang mga halaga ng mga susunod na digit ng nais na halaga ng ugat ay matatagpuan, na nagsisimula sa pinakamahalaga at gumagalaw patungo sa hindi bababa sa makabuluhang mga. Halimbawa, ang root root sa unang hakbang ay 2, sa pangalawa - 2.2, sa pangatlo - 2.23, at iba pa sa 2.236067977…. Ilarawan natin kung paano nangyayari ang paghahanap ng mga halaga ng mga digit.

Ang paghahanap ng mga digit ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-enumer ng kanilang mga posibleng halaga 0, 1, 2,…, 9. Sa kasong ito, ang mga n-th na kapangyarihan ng mga kaukulang numero ay kinakalkula nang parallel, at inihambing sila sa radikal na numero. Kung sa ilang yugto ang halaga ng degree ay lumampas sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng digit na naaayon sa nakaraang halaga ay isinasaalang-alang na natagpuan, at ang paglipat sa susunod na hakbang ng algorithm para sa pagkuha ng ugat ay ginawa, kung hindi ito mangyari, pagkatapos ang halaga ng digit na ito ay 9.

Ipaliwanag natin ang mga puntong ito sa parehong halimbawa ng pagkuha ng parisukat na ugat ng lima.

Una, nakita namin ang halaga ng mga nasa digit. Susulitin namin ang mga halagang 0, 1, 2,…, 9, kinakalkula ang 0 2, 1 2,…, 9 2, ayon sa pagkakabanggit, hanggang sa makakuha kami ng halagang mas malaki sa root number 5. Ang lahat ng mga kalkulasyon na ito ay maginhawang ipinakita sa anyo ng isang talahanayan:

Kaya ang halaga ng mga digit ay 2 (mula noong 2 2<5 , а 2 3 >lima). Bumabaling kami sa paghahanap ng halaga ng ikasampung digit. Sa kasong ito, itatama namin ang mga bilang na 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, na inihambing ang mga nakuha na halaga sa radikal na bilang 5:

Mula noong 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, pagkatapos ang halaga ng decimal place ay 2. Maaari kang pumunta sa paghahanap ng halaga ng pang-isandaang digit:

Kaya natagpuan susunod na halaga ugat ng lima, katumbas ito ng 2.23. At sa gayon maaari mong ipagpatuloy na makahanap ng mga halagang higit pa: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Upang pagsamahin ang materyal, susuriin namin ang pagkuha ng ugat na may katumpakan na mga sandaang bahagi gamit ang isinasaalang-alang na algorithm.

Una, natutukoy namin ang pinakamahalagang piraso. Upang magawa ito, i-cube namin ang mga bilang na 0, 10, 100, atbp. hanggang sa makuha natin ang isang bilang na mas malaki sa 2,151,186. Mayroon kaming 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, sa gayon ang pinakamahalagang digit ay ang sampung digit.

Tukuyin natin ang kahulugan nito.

Mula noong 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, pagkatapos ang halaga ng sampung digit ay 1. Lumipat tayo sa mga yunit.

Kaya, ang halaga ng mga lugar ay 2. Ang paglipat sa ikasampu.

Dahil kahit 12.9 3 ay mas mababa kaysa sa radikal na bilang 2 151.186, ang halaga ng ikasampung lugar ay 9. Ito ay mananatiling upang maisagawa ang huling hakbang ng algorithm, bibigyan kami ng halaga ng ugat na may kinakailangang kawastuhan.

Sa yugtong ito, ang halaga ng ugat ay matatagpuan na may katumpakan na mga sento: .

Bilang pagtatapos ng artikulong ito, nais kong sabihin na maraming iba pang mga paraan upang kumuha ng mga ugat. Ngunit para sa karamihan ng mga gawain, ang mga pinag-aralan natin sa itaas ay sapat.

Bibliograpiya.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa baitang 8 institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa. Algebra at ang simula ng pagtatasa: Teksbuk para sa 10 - 11 mga marka ng mga institusyong pang-edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (isang gabay para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Ang calculator ng engineering sa online

Masaya kaming ipakita sa lahat ng mga darating na isang libreng calculator sa engineering. Sa tulong nito, ang sinumang mag-aaral ay maaaring mabilis at, pinakamahalaga, madaling gumanap ng iba't ibang mga uri ng mga kalkulasyon ng matematika sa online.

Ang isang simple at madaling gamiting engineering calculator na may isang hindi nakakaabala at naiintindihan na interface ay tunay na magiging kapaki-pakinabang sa pinakamalawak na bilog ng mga gumagamit ng Internet. Ngayon, kapag kailangan mo ng isang calculator, bisitahin ang aming website at gumamit ng isang libreng calculator sa engineering.

Ang isang calculator sa engineering ay may kakayahang magsagawa ng parehong simpleng pagpapatakbo ng arithmetic at sa halip kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika.

Ang Web20calc ay isang calculator sa engineering na mayroong maraming bilang ng mga pagpapaandar, halimbawa, kung paano makalkula ang lahat ng mga pagpapaandar sa elementarya. Sinusuportahan din ng calculator ang mga trigonometric function, matrice, logarithms at kahit graphing.

Walang alinlangan, ang Web20calc ay magiging interes sa pangkat ng mga tao na, sa paghahanap ng mga simpleng solusyon, nagta-type ng isang query sa mga search engine: isang online na calculator sa matematika. Ang isang libreng web application ay makakatulong sa iyo na agad na kalkulahin ang resulta ng ilang pagpapahayag ng matematika, halimbawa, ibawas, idagdag, hatiin, kunin ang isang ugat, itaas sa isang kapangyarihan, atbp.

Sa expression, maaari mong gamitin ang mga pagpapatakbo ng exponentiation, karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, dibisyon, porsyento, pare-pareho ng PI. Para sa mga kumplikadong kalkulasyon, gumamit ng panaklong.

Mga tampok sa calculator ng engineering:

1. pangunahing pagpapatakbo ng aritmetika;
2. magtrabaho kasama ang mga numero sa isang karaniwang form;
3. pagkalkula ng mga ugat ng trigonometric, pag-andar, logarithms, exponentiation;
4. mga kalkulasyon ng istatistika: karagdagan, ibig sabihin ng arithmetic o karaniwang paglihis;
5. application ng isang memory cell at tinukoy ng gumagamit na mga pag-andar ng 2 variable;
6. magtrabaho kasama ang mga anggulo sa mga panukala sa radian at degree.

Pinapayagan ka ng calculator ng engineering na gumamit ng iba't ibang mga pag-andar sa matematika:

Pagkuha ng mga ugat (square root, cubic, at n-th root);
ex (e sa x kapangyarihan), tagapagtaguyod;
mga function na trigonometric: sine - kasalanan, cosine - cos, tangent - tan;
kabaligtaran na mga pagpapaandar ng trigonometric: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
mga pagpapaandar na hyperbolic: sine - sinh, cosine - cosh, tangent - tanh;
logarithms: base ng binary logarithm - log2x, decimal logarithm base ten - log, natural logarithm - ln.

Ang calculator ng engineering na ito ay nagsasama rin ng isang calculator ng dami na may kakayahang i-convert ang mga pisikal na dami para sa iba't ibang mga sistema ng pagsukat - mga yunit ng computer, distansya, timbang, oras, atbp. Sa pagpapaandar na ito, maaari mong agad na mai-convert ang mga milya sa mga kilometro, pounds sa kilo, segundo sa oras, atbp.

Upang makalkula ang matematika, ipasok muna ang isang pagkakasunud-sunod ng mga expression sa matematika sa naaangkop na patlang, pagkatapos ay mag-click sa pantay na pag-sign at makita ang resulta. Maaari kang magpasok ng mga halaga nang direkta mula sa keyboard (para dito, dapat na aktibo ang lugar ng calculator, samakatuwid, hindi ito magiging labis upang mailagay ang cursor sa input field). Kabilang sa iba pang mga bagay, maaaring ipasok ang data gamit ang mga pindutan sa calculator mismo.

Upang makabuo ng mga tsart, isulat ang pagpapaandar sa patlang ng pag-input tulad ng ipinahiwatig sa patlang na may mga halimbawa o gamitin ang espesyal na idinisenyong toolbar (upang puntahan ito, mag-click sa pindutan na may icon sa anyo ng isang tsart). Upang mai-convert ang mga halaga pindutin ang Unit, upang gumana sa mga matrices - Matrix.

Kung mayroon kang isang calculator sa kamay, maaari mong madaling makuha ang cube root ng anumang numero. Ngunit kung wala kang isang calculator, o nais mo lamang na mapahanga ang iba, manu-manong kunin ang cube root. Para sa karamihan ng mga tao, ang proseso na inilarawan dito ay tila kumplikado, ngunit sa pagsasagawa ay magiging mas madali ang pagkuha ng mga ugat ng kubo. Bago mo simulang basahin ang artikulong ito, alalahanin ang pangunahing pagpapatakbo at mga kalkulasyon sa matematika na may mga numero sa isang kubo.

Mga hakbang

Bahagi 1

Isulat ang gawain. Ang pagkuha ng manu-manong cube root ay katulad ng mahabang dibisyon, ngunit may ilang mga nuances. Una, isulat ang gawain sa isang tiyak na form.

• Isulat ang numero kung saan mo nais kunin ang cube root. Hatiin ang numero sa mga pangkat ng tatlong mga digit, at simulang magbilang sa isang decimal point. Halimbawa, kailangan mong kunin ang cube root ng 10. Isulat ang bilang tulad nito: 10,000,000. Ginagamit ang mga karagdagang zero upang mapabuti ang katumpakan ng resulta.
• Gumuhit ng isang root sign sa tabi at sa itaas ng numero. Isipin na ito ang mga pahalang at patayong mga linya na iginuhit mo sa mahabang paghati. Ang pagkakaiba lamang ay ang hugis ng dalawang tauhan.
• Maglagay ng decimal point sa itaas ng pahalang na linya. Gawin ito nang diretso sa itaas ng decimal point ng orihinal na numero.

1. Tandaan ang mga resulta ng mga cubing integer. Gagamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon.

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\ displaystyle 1 ^ (3) = 1 * 1 * 1 = 1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\ displaystyle 2 ^ (3) = 2 * 2 * 2 = 8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\ displaystyle 3 ^ (3) = 3 * 3 * 3 = 27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\ displaystyle 4 ^ (3) = 4 * 4 * 4 = 64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\ displaystyle 5 ^ (3) = 5 * 5 * 5 = 125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\ displaystyle 6 ^ (3) = 6 * 6 * 6 = 216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\ displaystyle 7 ^ (3) = 7 * 7 * 7 = 343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\ displaystyle 8 ^ (3) = 8 * 8 * 8 = 512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\ displaystyle 9 ^ (3) = 9 * 9 * 9 = 729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\ displaystyle 10 ^ (3) = 10 * 10 * 10 = 1000)

2. Hanapin ang unang digit ng sagot. Pumili ng isang integer cube na pinakamalapit sa ngunit maliit kaysa sa unang pangkat ng tatlong mga digit.

   • Sa aming halimbawa, ang unang pangkat ng tatlong mga digit ay 10. Hanapin ang pinakamalaking cube na mas mababa sa 10. Ang kubo na iyon ay 8, at ang cube root ng 8 ay 2.
   • Sa itaas ng pahalang na linya sa itaas ng bilang 10, isulat ang bilang 2. Pagkatapos isulat ang halaga ng operasyon 2 3 (\ displaystyle 2 ^ (3))= 8 sa ilalim ng 10. Gumuhit ng isang linya at ibawas ang 8 mula sa 10 (tulad ng sa mahabang paghati). Ang resulta ay 2 (ito ang unang natitira).
   • Sa gayon, nahanap mo ang unang bilang ng sagot. Isaalang-alang kung ang ibinigay na resulta ay sapat na tumpak. Sa karamihan ng mga kaso, ito ay magiging isang napaka-magaspang na sagot. Cub ang resulta upang malaman kung gaano ito kalapit sa orihinal na numero. Sa aming halimbawa: 2 3 (\ displaystyle 2 ^ (3))= 8, na kung saan ay hindi gaanong malapit sa 10, kaya't dapat na ipagpatuloy ang mga kalkulasyon.

3. Hanapin ang susunod na digit ng sagot. Idagdag ang pangalawang pangkat ng tatlong numero sa unang natitira, at iguhit ang isang patayong linya sa kaliwa ng nagresultang numero. Gamit ang nagresultang numero, mahahanap mo ang pangalawang digit ng sagot. Sa aming halimbawa, ang pangalawang pangkat ng tatlong mga digit (000) ay dapat idagdag sa unang natitirang (2) upang makuha ang bilang 2000.

   • Sa kaliwa ng patayong linya, sumulat ka ng tatlong mga numero, ang kabuuan nito ay katumbas ng ilang unang kadahilanan. Iwanan ang walang laman na mga puwang para sa mga numerong ito, at ilagay ang mga plus sign sa pagitan.

4. Hanapin ang unang term (mula sa tatlo). Sa unang walang laman na puwang, isulat ang resulta ng pagpaparami ng 300 sa parisukat ng unang digit ng sagot (nakasulat ito sa itaas ng root sign). Sa aming halimbawa, ang unang digit ng sagot ay 2, kaya 300 * (2 ^ 2) = 300 * 4 = 1200. Isulat ang 1200 sa unang blangkong puwang. Ang unang termino ay 1200 (kasama ang dalawa pang mga numero upang makita).

   Hanapin ang pangalawang digit ng sagot. Alamin kung anong bilang ang kailangan mong paramihin ang 1200 upang ang resulta ay malapit, ngunit hindi lalampas sa 2000. Ang numerong ito ay maaaring maging 1, dahil 2 * 1200 = 2400, na higit sa 2000. Sumulat ng 1 (pangalawang digit ng sagot) pagkatapos ng 2 at ang decimal point sa itaas ng root sign.

   Hanapin ang pangalawa at pangatlong termino (mula sa tatlo). Ang kadahilanan ay binubuo ng tatlong mga numero (mga termino), ang una na nahanap mo na (1200). Ngayon kailangan nating hanapin ang natitirang dalawang term.

   • I-multiply ang 3 ng 10 at ng bawat digit ng sagot (nakasulat ang mga ito sa itaas ng root sign). Sa aming halimbawa: 3 * 10 * 2 * 1 = 60. Idagdag ang resulta na ito sa 1200 at makakuha ng 1260.
   • Panghuli, parisukat ang huling digit ng iyong sagot. Sa aming halimbawa, ang huling digit ng sagot ay 1, kaya 1 ^ 2 = 1. Kaya ang unang kadahilanan ay ang kabuuan ng mga sumusunod na numero: 1200 + 60 + 1 = 1261. Isulat ang numerong ito sa kaliwa ng patayong bar .

5. I-multiply at ibawas. I-multiply ang huling digit ng sagot (sa aming halimbawa na ito ay 1) sa nahanap na kadahilanan (1261): 1 * 1261 = 1261. Isulat ang numerong ito sa ilalim ng 2000 at ibawas ito mula sa 2000. Makakakuha ka ng 739 (ito ang pangalawang natitira ).

6. Isaalang-alang kung ang sagot na iyong natanggap ay sapat na tumpak. Gawin ito sa bawat oras pagkatapos makumpleto ang susunod na pagbabawas. Matapos ang unang pagbabawas, ang sagot ay 2, na kung saan ay hindi isang eksaktong resulta. Matapos ang pangalawang pagbabawas, ang sagot ay 2.1.

   • Upang suriin ang kawastuhan ng iyong sagot, i-cube ito: 2.1 * 2.1 * 2.1 = 9.261.
   • Kung sa palagay mo ang sagot ay sapat na tumpak, hindi mo kailangang ipagpatuloy ang mga kalkulasyon; kung hindi man, gumawa ng ibang pagbabawas.

7. Hanapin ang pangalawang kadahilanan. Upang sanayin ang iyong mga kalkulasyon at makakuha ng isang mas tumpak na resulta, ulitin ang mga hakbang sa itaas.

   • Idagdag ang pangatlong pangkat ng tatlong mga digit (000) sa pangalawang natitira (739). Makukuha mo ang numerong 739000.
   • I-multiply ang 300 sa parisukat ng bilang na nakasulat sa itaas ng root sign (21): 300 ∗ 21 2 (\ displaystyle 300 * 21 ^ (2)) = 132300.
   • Hanapin ang pangatlong digit ng sagot. Alamin kung anong bilang ang kailangan mong i-multiply 132300 upang ang resulta ay malapit, ngunit hindi lalampas sa 739000. Ang numerong iyon ay 5: 5 * 132200 = 661500. Sumulat ng 5 (ikatlong digit ng sagot) pagkatapos ng 1 sa itaas ng root sign.
   • I-multiply ang 3 ng 10 ng 21 at ang huling digit ng sagot (nakasulat ang mga ito sa itaas ng root sign). Sa aming halimbawa: 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\ displaystyle 3 * 21 * 5 * 10 = 3150).
   • Panghuli, parisukat ang huling digit ng iyong sagot. Sa aming halimbawa, ang huling digit ng sagot ay 5, kaya 5 2 = 25. (\ displaystyle 5 ^ (2) = 25.)
   • Kaya, ang pangalawang kadahilanan ay: 132300 + 3150 + 25 = 135475.

8. I-multiply ang huling digit ng iyong sagot sa pamamagitan ng pangalawang kadahilanan. Matapos mong makita ang pangalawang kadahilanan at ang pangatlong digit ng sagot, magpatuloy tulad ng sumusunod:

   • I-multiply ang huling digit ng sagot sa pamamagitan ng nahanap na kadahilanan: 135475 * 5 = 677375.
   • Ibawas: 739000 - 677375 = 61625.
   • Isaalang-alang kung ang sagot na iyong natanggap ay sapat na tumpak. Upang magawa ito, i-cube ito: 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94 (\ displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94).

9. Isulat ang iyong sagot. Ang resulta na nakasulat sa itaas ng root sign ay ang sagot na may dalawang decimal na lugar. Sa aming halimbawa, ang cube root ng 10 ay 2.15. Suriin ang iyong sagot sa pamamagitan ng pag-cubing dito: 2.15 ^ 3 = 9.94, na humigit-kumulang 10. Kung kailangan mo ng mas tumpak, ipagpatuloy ang pagkalkula (tulad ng inilarawan sa itaas).

   Bahagi 2

   Cube Root Estimation

   1. Gumamit ng mga cube ng mga numero upang matukoy ang itaas at mas mababang mga limitasyon. Kung kailangan mong kunin ang cube root ng halos anumang numero, hanapin ang mga cube (ilang mga numero) na malapit sa ibinigay na numero.

      • Halimbawa, kailangan mong kunin ang cube root ng 600. Dahil 8 3 = 512 (\ displaystyle 8 ^ (3) = 512) at 9 3 = 729 (\ displaystyle 9 ^ (3) = 729), pagkatapos ang cube root ng 600 ay nasa pagitan ng 8 at 9. Samakatuwid, gamitin ang 512 at 729 bilang itaas at mas mababang mga limitasyon ng iyong sagot.

   2. Tantyahin ang pangalawang numero. Natagpuan mo ang unang numero salamat sa iyong kaalaman sa mga cube ng mga integer. Ngayon i-convert ang isang integer sa isang decimal maliit na bahagi sa pamamagitan ng pagtatalaga dito (pagkatapos ng decimal point) ilang digit mula 0 hanggang 9. Kailangan mong makahanap ng isang decimal na maliit, ang kubo na kung saan ay malapit, ngunit mas mababa sa orihinal na numero.

      • Sa aming halimbawa, ang bilang 600 ay nasa pagitan ng 512 at 729. Halimbawa, sa unang nahanap na numero (8), idagdag ang bilang 5. Nakukuha mo ang numero na 8.5.
   3. • Sa aming halimbawa: 8.5 ∗ 8.5 ∗ 8.5 = 614.1 (\ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.)

   4. Ihambing ang kubo ng nagresultang numero sa orihinal na numero. Kung ang cube ng nagresultang numero ay mas malaki kaysa sa orihinal na numero, subukang suriin ang isang mas mababang numero. Kung ang cube ng nagresultang numero ay mas maliit kaysa sa orihinal na numero, suriin ang malalaking numero hanggang sa ang cube ng isa sa mga ito ay lumampas sa orihinal na numero.

      • Sa aming halimbawa: 8.5 3 (\ displaystyle 8.5 ^ (3))> 600. Kaya, tantyahin ang mas maliit na bilang 8.4. Cube ang numerong ito at ihambing ito sa orihinal na numero: 8, 4 ∗ 8, 4 ∗ 8, 4 = 592.7 (\ displaystyle 8.4 * 8.4 * 8.4 = 592.7)... Ang resulta na ito ay mas mababa sa orihinal na numero. Kaya, ang cube root ng 600 ay nasa pagitan ng 8.4 at 8.5.

   5. Suriin ang susunod na numero upang mapabuti ang kawastuhan ng iyong sagot. Para sa bawat numero na huling na-rate mo, magdagdag ng isang numero mula 0 hanggang 9 hanggang makuha mo ang eksaktong sagot. Sa bawat pag-ikot ng pagsusuri, kailangan mong hanapin ang itaas at mas mababang mga limitasyon sa pagitan ng kung saan ang orihinal na numero.

      • Sa aming halimbawa: 8.4 3 = 592.7 (\ displaystyle 8.4 ^ (3) = 592.7) at 8.5 3 = 614.1 (\ displaystyle 8.5 ^ (3) = 614.1)... Ang orihinal na bilang 600 ay mas malapit sa 592 kaysa sa 614. Samakatuwid, sa huling numero na iyong tinantya, magdagdag ng isang digit na mas malapit sa 0 kaysa sa 9. Halimbawa, ang bilang na ito ay 4. Samakatuwid, cub ang numero 8.44.

   6. Suriin ang ibang numero kung kinakailangan. Ihambing ang kubo ng nagresultang numero sa orihinal na numero. Kung ang cube ng nagresultang numero ay mas malaki kaysa sa orihinal na numero, subukang suriin ang isang mas mababang numero. Sa madaling salita, kailangan mong maghanap ng dalawang numero na ang mga cubes ay bahagyang mas malaki at bahagyang mas maliit kaysa sa orihinal na numero.

      • Sa aming halimbawa 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2 (\ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601.2)... Ito ay bahagyang mas malaki kaysa sa orihinal na numero, kaya suriin ang isa pang (mas maliit) na numero, halimbawa 8.43: 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07 (\ displaystyle 8.43 * 8.43 * 8.43 = 599.07)... Kaya, ang cube root ng 600 ay nasa pagitan ng 8.43 at 8.44.

   7. Sundin ang prosesong ito hanggang sa makakuha ka ng isang sagot na kasiya-siya sa iyo. Suriin ang susunod na numero, ihambing ito sa orihinal, pagkatapos suriin ang isa pang numero kung kinakailangan, at iba pa. Tandaan na ang bawat karagdagang digit pagkatapos ng decimal point ay nagdaragdag ng katumpakan ng iyong sagot.

      • Sa aming halimbawa, ang cube ng numero 8.43 ay mas mababa sa orihinal na numero nang mas mababa sa 1. Kung kailangan mo ng mas tumpak, i-cube ang numero na 8.434 at kunin iyon 8.434 3 = 599.93 (\ displaystyle 8.434 ^ (3) = 599.93), iyon ay, ang resulta ay mas mababa sa 0.1 mas mababa kaysa sa orihinal na numero.