Sa artikulong ito isasaalang-alang namin ang solusyon ng hindi kumpleto quadratic equation.

Ngunit una, inuulit namin kung ano ang mga equation na tinatawag na quadratic. Ang isang equation ng form ax 2 + bx + c \u003d 0, kung saan ang x ay isang variable, at ang mga coefficients a, b at c ay ilang numero, at isang ≠ 0, ay tinawag parisukat. Tulad ng nakikita natin ang koepisyent sa x 2 ay hindi katumbas ng zero, at samakatuwid ang mga koepisyente sa x o ang libreng term ay maaaring maging katumbas ng zero, sa kasong ito nakakakuha kami ng isang hindi kumpletong kuwadradong equation.

Ang hindi kumpletong quadratic equation ay ng tatlong uri:

1) Kung b \u003d 0, c ≠ 0, pagkatapos ay palakol 2 + c \u003d 0;

2) Kung b ≠ 0, c \u003d 0, pagkatapos ay ax 2 + bx \u003d 0;

3) Kung b \u003d 0, c \u003d 0, pagkatapos ay palakol 2 \u003d 0.

• Tingnan natin kung paano nalutas ang mga ito mga equation ng form ax 2 + c \u003d 0.

Upang malutas ang equation, ilipat ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, nakuha namin

palakol 2 \u003d ‒. Dahil ang isang ≠ 0, hinati namin ang magkabilang panig ng ekwasyon sa pamamagitan ng isang, pagkatapos x 2 \u003d aс / a.

Kung ang /с / а\u003e 0, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat

x \u003d ± √ (–c / a).

Kung ‒c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Subukan nating malaman ang mga halimbawa kung paano malulutas ang nasabing mga equation.

Halimbawa 1. Malutas ang equation 2x 2 - 32 \u003d 0.

Sagot: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Halimbawa 2. Malutas ang equation 2x 2 + 8 \u003d 0.

Sagot: ang equation ay walang mga solusyon.

• Tingnan natin kung paano nalutas ang mga ito mga equation ng form ax 2 2 bx \u003d 0.

Upang malutas ang axation ng equation 2 + bx \u003d 0, factor namin ito, iyon ay, bracket x, nakukuha namin x (ax + b) \u003d 0. Ang produkto ay zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay zero. Pagkatapos alinman sa x \u003d 0 o ax + b \u003d 0. Malulutas ang equation ax + b \u003d 0, nakakakuha tayo ng ax \u003d - b, kung saan x \u003d - b / a. Ang isang equation ng form ax 2 + bx \u003d 0, palaging may dalawang ugat x 1 \u003d 0 at x 2 \u003d - b / a. Tingnan kung paano ang solusyon ng mga equation ng ganitong uri ay tumingin sa diagram.

Inaayos namin ang aming kaalaman sa isang kongkretong halimbawa.

Halimbawa 3. Malutas ang equation 3x 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 o 3x - 12 \u003d 0

Sagot: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Mga equation ng pangatlong form na ax 2 2 0  malulutas nang simple.

Kung palakol 2 \u003d 0, pagkatapos x 2 \u003d 0. Ang equation ay may dalawang pantay na ugat x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Para sa kalinawan, isaalang-alang ang pamamaraan.

Kapag nalulutas ang Halimbawa 4, susuriin namin na ang mga equation ng form na ito ay malulutas nang simple.

Halimbawa 4  Malutas ang equation 7x 2 \u003d 0.

Sagot: x 1, 2 \u003d 0.

Hindi laging malinaw na malinaw kung anong uri ng hindi kumpletong kuwadradong equation ang dapat nating malutas. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 5  Malutas ang equation

I-Multiply ang magkabilang panig ng equation ng karaniwang denominator, i.e. sa pamamagitan ng 30

Paikliin

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Palawakin ang mga bracket

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Nagbibigay kami ng katulad

Ilipat ang 99 mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan, binabago ang tanda sa kabaligtaran

Sagot: walang mga ugat.

Sinuri namin kung paano malulutas ang mga bahagyang mga equation ng parisukat. Inaasahan ko na ngayon ay hindi ka mahihirapan sa mga ganyang gawain. Mag-ingat kapag tinutukoy ang uri ng hindi kumpletong equation quadratic, pagkatapos ay magtatagumpay ka.

Kung mayroon kang mga katanungan sa paksang ito, mag-sign up para sa aking mga aralin, malulutas namin nang magkasama ang mga problema.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa mapagkukunan.

Ang pagpapatuloy ng paksang "Paglutas ng mga Equation," ang materyal sa artikulong ito ay magpapakilala sa iyo sa mga kuwadrong pantay.

Isinasaalang-alang namin ang lahat nang detalyado: ang kakanyahan at notasyon ng quadratic equation, tukuyin ang mga kaugnay na termino, pag-aralan ang scheme ng solusyon para hindi kumpleto at kumpletong mga equation, makilala ang root formula at ang discriminant, maitaguyod ang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficients, at siyempre nagbibigay kami ng isang malinaw na solusyon sa mga praktikal na halimbawa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang equation ng quadratic, ang mga uri nito

Quadratic equation  Ay isang equation na isinulat bilang   isang x 2 + b x x + c \u003d 0saan   x  - variable, a, b at   c  - ilang mga numero, habang ahindi zero.

Kadalasan, ang mga equation ng quadratic ay tinatawag ding mga equation ng pangalawang degree, dahil sa esensya ang quadratic equation ay isang algebraic equation ng pangalawang degree.

Nagbibigay kami ng isang halimbawa upang mailarawan ibinigay na kahulugan: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7.5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0, atbp. Ay mga parisukat na mga equation.

Kahulugan 2

Mga numero a, b at   c  Ang mga coefficient ng equation ng quadratic   isang x 2 + b x x + c \u003d 0, habang ang koepisyent   a  nagdala ng pangalan ng una, o matanda, o koepisyent sa x 2, b - ang pangalawang koepisyent, o koepisyent sa   x, at   c  tinawag na isang libreng miyembro.

Halimbawa, sa equation ng quadratic   6 x 2 - 2 x 11 \u003d 0  ang senior koepisyent ay 6, ang pangalawang koepisyent ay − 2 , at ang libreng term ay − 11 . Bigyang-pansin ang katotohanan na kapag ang mga koepisyent   bat / o c ay negatibo, kung gayon ang isang maikling anyo ng notasyon ng form ay ginagamit   6 x 2 - 2 x 11 \u003d 0, ngunit hindi   6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Nilinaw din namin ang aspektong ito: kung ang mga koepisyent   a  at / o   b  pantay-pantay 1   o − 1 , maaaring hindi sila kumuha ng isang tahasang bahagi sa pagsulat ng quadratic equation, na ipinaliwanag sa pamamagitan ng mga peculiarities ng pagsulat ng ipinahiwatig na mga coefficients ng numero. Halimbawa, sa equation ng quadratic   y 2 - y + 7 \u003d 0  ang senior coefficient ay 1, at ang pangalawang koepisyent ay − 1 .

Nabawasan at hindi nakikilalang mga equation ng quadratic

Ayon sa halaga ng unang koepisyent, ang mga equation ng quadratic ay nahahati sa nabawasan at hindi nabawasan.

Kahulugan 3

Quadratic equation  Ay isang quadratic equation kung saan ang nangungunang koepisyent ay 1. Para sa iba pang mga halaga ng pinakamataas na koepisyent, ang quadratic equation ay hindi nabawasan.

Nagbibigay kami ng mga halimbawa: ang quadratic equation x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 ay nabawasan, sa bawat isa sa kung saan ang pinakamataas na koepisyent ay 1.

  9 x 2 - x - 2 \u003d 0  - unreduced quadratic equation, kung saan naiiba ang unang koepisyent 1 .

Posible na ibahin ang anyo ng anumang unreduced quadratic equation sa nabawasan na equation kung hinati natin ang parehong mga bahagi nito sa unang koepisyent (katumbas na pagbabagong-anyo). Ang binagong equation ay magkakaroon ng parehong mga ugat tulad ng ibinigay unreduced equation  o wala ring mga ugat.

Pagsusuri pag-aaral sa kaso  Papayagan kaming malinaw na ipakita ang pagpapatupad ng paglipat mula sa isang unreduced quadratic equation sa isang nabawasan.

Halimbawa 1

Ibinibigay ang equation: 6x2 + 18x - 7 \u003d 0 .   Kinakailangan na i-convert ang orihinal na equation sa ibinigay na form.

Desisyon

Ayon sa pamamaraan sa itaas, hinati namin ang parehong mga bahagi ng orihinal na equation ng nangungunang koepisyent 6. Pagkatapos makuha namin: (6 · x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3, at ito ay katulad ng:   (6 * x 2): 3 + (18 * x): 3 - 7: 3 \u003d 0  at higit pa:   (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0.  Mula rito:   x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Kaya, ang isang equation ay nakuha katumbas ng ibinigay.

Sagot:   x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Kumpleto at hindi kumpletong mga equation ng quadratic

Bumaling kami sa kahulugan ng isang kuwadradong equation. Sa loob nito, nilinaw namin iyon   isang ≠ 0. Ang isang katulad na kondisyon ay kinakailangan para sa equation   isang x 2 + b x x + c \u003d 0  ay eksaktong parisukat, sapagkat kung kailan   isang \u003d 0  mahalagang isinalin ito sa linear equation   bx + c \u003d 0.

Sa kaso kapag ang mga koepisyent   b  at   cay pantay-pantay sa zero (na posible, kapwa nang paisa-isa at magkasanib), ang kuwadradong equation ay tinatawag na hindi kumpleto.

Kahulugan 4

Hindi kumpletong quadratic equation  Ay tulad ng isang kuwadradong equation   isang x 2 + b x x + c \u003d 0,kung saan hindi bababa sa isa sa mga koepisyent   bat   c(o pareho) ay zero.

Buong quadratic equation  - isang quadratic equation kung saan ang lahat ng mga de-numerong coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Talakayin natin kung bakit binibigyan ng ganitong mga pangalan ang mga uri ng mga kuwadrong equation.

Para sa b \u003d 0, tumatagal ang form ng quadratic equation   isang x 2 + 0 x x c \u003d 0pareho yan   isang x 2 + c \u003d 0. Sa   c \u003d 0  ang kuwadradong equation ay nakasulat bilang   isang x 2 + b x x 0 \u003d 0na katumbas ng   isang x 2 + b x \u003d 0. Sa   b \u003d 0  at   c \u003d 0  ang equation ay kukuha ng form   isang x 2 \u003d 0. Ang mga equation na nakuha namin ay naiiba mula sa buong quadratic equation na ang kanilang mga kaliwang bahagi ay hindi naglalaman ng alinman sa term na may variable x, o ang libreng term, o pareho nang sabay-sabay. Sa totoo lang, ang katotohanang ito ay nagbigay ng pangalan sa ganitong uri ng mga equation - hindi kumpleto.

Halimbawa, ang x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 at - 7 · x 2 - 2 · x + 1, 3 \u003d 0 ay ang buong quadratic equation; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; Ang 11x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6x \u003d 0 ay hindi kumpleto na mga equation ng quadratic.

Paglutas ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic

Ang kahulugan na ibinigay sa itaas ay posible upang makilala ang mga sumusunod na uri ng hindi kumpletong mga parisukat na parisukat:

•   isang x 2 \u003d 0, ang ekwasyong ito ay tumutugma sa mga koepisyent   b \u003d 0  at c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 sa b \u003d 0;
• isang x 2 + b x \u003d 0 para sa c \u003d 0.

Isaalang-alang nating isaalang-alang ang solusyon ng bawat uri ng hindi kumpletong kuwadradong equation.

Solusyon ng equation a · x 2 \u003d 0

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang mga coefficient ay tumutugma sa equation na ito   b  at   cpantay sa zero. Ang equation   isang x 2 \u003d 0  posible na mag-convert sa isang equation na katumbas nito   x 2 \u003d 0na nakukuha natin sa pamamagitan ng paghati sa magkabilang panig ng orihinal na equation ng isang numero   ahindi pantay sa zero. Ang halata na katotohanan ay ang ugat ng equation   x 2 \u003d 0  zero kasi 0 2 = 0 . Ang ekwasyong ito ay walang iba pang mga ugat, na ipinaliwanag ng mga katangian ng degree: para sa anumang numero   phindi pantay sa zero, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo   p 2\u003e 0, mula sa kung saan sumusunod ito sa   p ≠ 0  pagkakapantay-pantay   p 2 \u003d 0hindi makamit.

Kahulugan 5

Sa gayon, para sa isang hindi kumpletong quadratic equation a · x 2 \u003d 0 mayroong isang natatanging ugat   x \u003d 0.

Halimbawa 2

Halimbawa, malulutas namin ang isang hindi kumpletong equation ng kuwadratic   - 3 x 2 \u003d 0. Ang equation ay katumbas sa kanya   x 2 \u003d 0ang ugat lamang nito   x \u003d 0, kung gayon ang orihinal na equation ay may isang solong ugat - zero.

Sa madaling sabi, ang desisyon ay ginawa tulad ng mga sumusunod:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusyon ng equation a · x 2 + c \u003d 0

Ang susunod na hakbang ay upang malutas ang hindi kumpletong mga equation ng quadratic, kung saan b \u003d 0, c ≠ 0, iyon ay, mga equation ng form   isang x 2 + c \u003d 0. Binago namin ang equation na ito sa pamamagitan ng paglipat ng termino mula sa isang bahagi ng equation sa isa pa, binabago ang tanda sa kabaligtaran at hinati ang parehong mga bahagi ng equation sa pamamagitan ng isang numero na hindi pantay sa zero:

• maililipat   c  sa kanang bahagi, na nagbibigay ng equation   isang x 2 \u003d - c;
• hatiin ang magkabilang panig ng equation ni   a, nakakuha tayo ng x \u003d - c a.

Ang aming mga pagbabagong-anyo ay katumbas, ayon sa pagkakabanggit, ang nagreresultang equation ay katumbas din sa orihinal, at ang katotohanang ito ay ginagawang posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa mga ugat ng ekwasyon. Mula sa kung ano ang mga kahulugan   a  at   cang halaga ng expression ay nakasalalay sa c a: maaari itong magkaroon ng isang minus sign (halimbawa, kung   isang \u003d 1  at   c \u003d 2, pagkatapos - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) o ang plus sign (halimbawa, kung   isang \u003d - 2  at   c \u003d 6, pagkatapos - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); hindi ito zero dahil   c ≠ 0. Maninirahan tayo sa mga sitwasyon kung saan - c a< 0 и - c a > 0 .

Sa kaso kung kailan - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа   p  ang pagkakapantay-pantay p 2 \u003d - c a hindi totoo.

Ang lahat ay naiiba kapag - c a\u003e 0: tandaan ang parisukat na ugat, at magiging malinaw na ang ugat ng equation x 2 \u003d - c a ay magiging bilang - c a, dahil - c a 2 \u003d - c a. Madaling maunawaan na ang bilang - - c a - ay din ang ugat ng equation x 2 \u003d - c a: sa katunayan, - - c a 2 \u003d - c a.

Ang equation ay walang ibang mga ugat. Maaari naming ipakita ito gamit ang kabaligtaran na pamamaraan. Una, ituro natin ang mga ugat na matatagpuan sa itaas bilang   x 1  at   - x 1. Gawin nating palagay na ang equation x 2 \u003d - c a mayroon ding ugat   x 2na naiiba sa mga ugat   x 1  at   - x 1. Alam namin na, ang paghalili sa equation sa halip   x  ang mga ugat nito, binago natin ang equation sa isang patas na pagkakapantay-pantay na numero.

Para sa   x 1  at   - x 1  sumulat kami: x 1 2 \u003d - c a, at para sa   x 2  - x 2 2 \u003d - c a. Batay sa mga katangian ng pantay-pantay na pagkakapareho, ibinabawas namin ang isang tunay na pagkakapantay-pantay mula sa isa pang term sa pamamagitan ng term, na nagbibigay sa amin:   x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Gamitin ang mga katangian ng pagkilos na may mga numero upang muling isulat ang huling pagkakapantay-pantay bilang   (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Alam na ang produkto ng dalawang numero ay zero kung at kung hindi bababa sa isa sa mga numero ay zero. Mula sa nabanggit ay sumusunod ito   x 1 - x 2 \u003d 0  at / o   x 1 + x 2 \u003d 0ang parehong bagay   x 2 \u003d x 1  at / o   x 2 \u003d - x 1. Mayroong isang malinaw na pagkakasalungatan, dahil sa una ay napagkasunduan na ang ugat ng ekwasyon   x 2  naiiba mula sa   x 1  at   - x 1. Kaya, napatunayan namin na ang equation ay walang mga ugat maliban sa x \u003d - c a at x \u003d - - c a.

Ibinubuod namin ang lahat ng mga argumento sa itaas.

Kahulugan 6

Hindi kumpletong quadratic equation   isang x 2 + c \u003d 0  ay katumbas ng equation x 2 \u003d - c a, na:

• ay walang mga ugat sa - c a< 0 ;
• magkakaroon ng dalawang ugat x \u003d - c a at x \u003d - - c a para - c a\u003e 0.

Nagbibigay kami ng mga halimbawa ng paglutas ng mga equation   isang x 2 + c \u003d 0.

Halimbawa 3

Ibinigay ang equation ng quadratic   9 x 2 + 7 \u003d 0.Ito ay kinakailangan upang makahanap ng isang solusyon dito.

Desisyon

Inilipat namin ang libreng term sa kanang bahagi ng equation, pagkatapos ang equation ay tumatagal ng form   9 x 2 \u003d - 7.
  Hatiin ang magkabilang panig ng nagresultang equation ni 9 , nakarating kami sa x 2 \u003d - 7 9. Sa kanang bahagi nakita namin ang isang numero na may minus sign, na nangangahulugang: ang ibinigay na equation ay walang mga ugat. Pagkatapos ang paunang hindi kumpletong kuwadrong equation   9 x 2 + 7 \u003d 0  ay walang mga ugat.

Sagot:  ang equation   9 x 2 + 7 \u003d 0walang ugat.

Halimbawa 4

Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation   - x 2 + 36 \u003d 0.

Desisyon

Ilipat ang 36 sa kanang bahagi:   - x 2 \u003d - 36.
  Hatiin ang magkabilang panig − 1 nakukuha namin   x 2 \u003d 36. Sa kanang bahagi - positibong bilang, mula rito maaari nating tapusin iyon   x \u003d 36 o   x \u003d - 36.
  Kinuha namin ang ugat at isulat ang pangwakas na resulta: isang hindi kumpletong kuwadradong equation   - x 2 + 36 \u003d 0  ay may dalawang ugat   x \u003d 6  o   x \u003d - 6.

Sagot:   x \u003d 6  o   x \u003d - 6.

Solusyon ng equation a · x 2 + b · x \u003d 0

Sinuri namin ang pangatlong uri ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic kung kailan   c \u003d 0. Upang makahanap ng solusyon sa isang hindi kumpletong equation quadratic   isang x 2 + b x \u003d 0, ginagamit namin ang paraan ng factorization. Factor ang polynomial sa kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng pag-unawa sa karaniwang kadahilanan   x. Ang hakbang na ito ay gagawing posible upang ibahin ang anyo ng orihinal na hindi kumpletong kuwadradong equation sa katumbas nito   x · (a · x + b) \u003d 0. At ang equation na ito, sa turn, ay katumbas ng isang hanay ng mga equation   x \u003d 0  at   isang x + b \u003d 0. Ang equation   isang x + b \u003d 0  linear, at ang ugat nito:   x \u003d - b a.

Kahulugan 7

Kaya ang hindi kumpletong kuwadrong equation   isang x 2 + b x \u003d 0  magkakaroon ng dalawang ugat   x \u003d 0  at   x \u003d - b a.

Ayusin ang materyal bilang isang halimbawa.

Halimbawa 5

Kinakailangan upang makahanap ng solusyon sa equation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

Desisyon

Lumabas   x  labas ng mga bracket at makuha ang equation x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Ang equation na ito ay katumbas ng mga equation   x \u003d 0 at 2 3x - 2 2 7 \u003d 0. Ngayon ay kinakailangan upang malutas ang nakuha na pagkakatulad na linya: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Isulat namin sa madaling sabi ang solusyon ng equation tulad ng sumusunod:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 o 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 o x \u003d 3 3 7

Sagot:  x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Ang discriminant, ang pormula ng mga ugat ng equation ng quadratic

Upang makahanap ng solusyon sa mga equation ng quadratic, mayroong isang formula ng ugat:

Kahulugan 8

x \u003d - b ± D 2 · a, kung saan   D \u003d b 2 - 4  Ay ang tinatawag na diskriminasyon ng kuwadradong equation.

Ang notasyon x \u003d - b ± D 2 · isang mahalagang nangangahulugan na x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Ito ay magiging kapaki-pakinabang upang maunawaan kung paano nagmula ang pormula na ito at kung paano ilapat ito.

Ang paglabas ng formula para sa mga ugat ng equation ng quadratic

Harapin natin ang hamon sa paglutas ng equation ng quadratic   isang x 2 + b x x + c \u003d 0. Nagsasagawa kami ng isang bilang ng katumbas na mga pagbabagong-anyo:

• hatiin ang magkabilang panig ng ekwasyon sa pamamagitan ng bilang anonzero, nakukuha namin ang nabawasan na kuwadradong equation: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• piliin ang buong parisukat sa kaliwang bahagi ng nagreresultang equation:
     x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
     Matapos ang ekwasyong ito ay tumatagal ng form: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• posible na ilipat ang huling dalawang term sa kanang bahagi sa pamamagitan ng pagpapalit ng tanda sa kabaligtaran, pagkatapos na makuha namin: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• sa wakas, binago namin ang expression na nakasulat sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay:
     b 2 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - c a \u003d b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.

Sa gayon, nakarating kami sa equation x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, na kung saan ay katumbas ng orihinal na equation   isang x 2 + b x x + c \u003d 0.

Sinuri namin ang solusyon ng naturang mga equation sa nakaraang mga talata (ang solusyon ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic). Ang karanasan na nakuha na posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa mga ugat ng equation x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• sa b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kapag b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d 0, ang equation ay may form x + b 2 · a 2 \u003d 0, kung gayon ang x + b 2 · a \u003d 0.

Ang tanging ugat x \u003d - b 2 · a ay halata mula dito;

• para b 2 - 4 · a · c 4 · a 2\u003e 0 ang sumusunod ay magiging totoo: x + b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x \u003d b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, na kapareho ng x + - b 2 · a \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 o x \u003d - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, i.e. ang ekwasyon ay may dalawang ugat.

Posibleng tapusin na ang pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng equation x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (at samakatuwid ang orihinal na equation) ay nakasalalay sa tanda ng expression b 2 - 4 · a · c 4 · Isang 2 naitala sa kanan. At ang pag-sign ng expression na ito ay ibinibigay ng pag-sign ng numerator, (denominator   4 · a 2  ay palaging magiging positibo), iyon ay, isang tanda ng pagpapahayag   b 2 - 4 · a · c. Sa expression na ito   b 2 - 4 · a · c  ang pangalan ay ibinigay - ang diskriminasyon ng kuwadradong equation at ang titik D ay tinukoy bilang pagtatalaga nito. Dito maaari mong isulat ang kakanyahan ng discriminant - sa pamamagitan ng halaga at mag-sign ay tapusin nila kung ang equation ng quadratic ay magkakaroon ng tunay na mga ugat, at kung gayon, ano ang bilang ng mga ugat - isa o dalawa.

Bumalik kami sa equation x + b 2 · a 2 \u003d b 2 - 4 · a · c 4 · a 2. Muling isulat namin ito gamit ang notasyon ng discriminant: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Bumuo ulit kami ng mga konklusyon:

Kahulugan 9

• sa   D< 0   ang equation ay walang tunay na ugat;
• sa   D \u003d 0  ang equation ay may isang solong ugat x \u003d - b 2 · a;
• sa   D\u003e 0  ang equation ay may dalawang ugat: x \u003d - b 2 · a + D 4 · a 2 o x \u003d - b 2 · a - D 4 · a 2. Batay sa mga katangian ng mga radikal, ang mga ugat na ito ay maaaring isulat sa anyo: x \u003d - b 2 · a + D 2 · a o - b 2 · a - D 2 · a. At, kapag binuksan namin ang mga module at bawasan ang mga praksiyon sa karaniwang denominador, nakukuha namin: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Kaya, ang resulta ng aming pangangatuwiran ay ang pagbuo ng pormula para sa mga ugat ng equation ng quadratic:

x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a, discriminant   D  kinakalkula ng formula   D \u003d b 2 - 4.

Ginagawang posible ang mga formula na ito, kung ang diskriminasyon ay mas malaki kaysa sa zero, upang matukoy ang parehong tunay na ugat. Kapag ang discriminant ay pantay sa zero, ang aplikasyon ng parehong mga formula ay magbibigay ng parehong ugat desisyon lamang  quadratic equation. Sa kaso kung ang diskriminasyon ay negatibo, sinusubukan na gamitin ang pormula ng ugat ng equation ng quadratic, makakatagpo kami ng pangangailangan upang kunin ang ugat ng square  ng negatibong numerona tumatagal sa amin na lampas sa tunay na mga numero. Kung negatibo ang negatibo, ang pagkakapareho ng parisukat ay walang tunay na mga ugat, ngunit posible ang isang pares ng mga kumplikadong ugat ng conjugate, na tinutukoy ng parehong mga formula ng ugat na nakuha namin.

Algorithm para sa paglutas ng mga equation ng quadratic sa pamamagitan ng mga formula ng ugat

Posible na malutas ang equation ng quadratic sa pamamagitan ng agad na paglalapat ng formula ng ugat, ngunit talaga, kung kinakailangan, makahanap ng mga kumplikadong ugat.

Sa karamihan ng mga kaso, ang paghahanap para sa hindi kumplikado, ngunit ang tunay na mga ugat ng quadratic equation ay karaniwang ipinahiwatig. Pagkatapos ito ay pinakamainam, bago gamitin ang mga pormula ng mga ugat ng quadratic equation, upang matukoy muna ang diskriminasyon at tiyakin na hindi ito negatibo (kung hindi man, tapusin namin na ang equation ay walang tunay na ugat), at pagkatapos ay magpatuloy upang makalkula ang mga halaga ng mga ugat.

Ang pangangatuwiran sa itaas ay ginagawang posible upang magbalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng equation ng quadratic.

Kahulugan 10

Upang malutas ang equation ng quadratic   isang x 2 + b x x + c \u003d 0kinakailangan:

• ayon sa pormula   D \u003d b 2 - 4  hanapin ang halaga ng discriminant;
• sa D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• para sa D \u003d 0, hanapin ang natatanging ugat ng equation ng formula x \u003d - b 2 · a;
• para sa D\u003e 0, matukoy ang dalawang totoong ugat ng equation ng quadratic sa pamamagitan ng formula x \u003d - b ± D 2 · a.

Tandaan na kapag ang diskriminante ay zero, maaari mong gamitin ang pormula x \u003d - b ± D 2 · a, bibigyan nito ang parehong resulta ng formula x \u003d - b 2 · a.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation ng quadratic

Nagbibigay kami ng isang solusyon ng mga halimbawa para sa magkakaibang kahulugan  may diskriminasyon.

Halimbawa 6

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga ugat ng equation   x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Desisyon

Sinusulat namin ang mga numerong coefficient ng quadratic equation: a \u003d 1, b \u003d 2 at   c \u003d - 6. Susunod, kumilos kami ayon sa algorithm, i.e. nagpapatuloy kami upang makalkula ang diskriminasyon, kung saan pinapalitan namin ang mga koepisyent a, b at   c  sa discriminant formula:   D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 2 2 - 4 · 1 · (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Kaya, nakuha namin ang D\u003e 0, na nangangahulugang ang orihinal na equation ay magkakaroon ng dalawang tunay na ugat.
  Upang mahanap ang mga ito, ginagamit namin ang root formula x \u003d - b ± D 2 · a at, paghahalili ng mga kaukulang halaga, nakuha namin: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Pasimplehin ang nagresultang expression sa pamamagitan ng pagkuha ng kadahilanan sa pamamagitan ng pag-sign ng ugat at pagkatapos ay bawasan ang bahagi:

x \u003d - 2 ± 2 · 7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 o x \u003d - 2 - 2 · 7 2

x \u003d - 1 + 7 o x \u003d - 1 - 7

Sagot:  x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Halimbawa 7

Kinakailangan upang malutas ang equation ng quadratic   - 4x 2 + 28x - 49 \u003d 0.

Desisyon

Tukuyin ang discriminant:   D \u003d 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0. Sa pamamagitan ng diskriminasyong halaga na ito, ang orihinal na equation ay magkakaroon lamang ng isang ugat, na tinutukoy ng formula x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 · (- 4) x \u003d 3, 5

Sagot:   x \u003d 3, 5.

Halimbawa 8

Ito ay kinakailangan upang malutas ang equation   5y 2 + 6y + 2 \u003d 0

Desisyon

Ang mga numerong coefficient ng equation na ito ay: a \u003d 5, b \u003d 6 at c \u003d 2. Ginagamit namin ang mga halagang ito upang mahanap ang may diskriminasyon: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Ang kinakalkula na diskriminasyon ay negatibo, kaya ang orihinal na pagkakapareho ng parisukat ay walang tunay na ugat.

Sa kaso kapag ang gawain ay upang magpahiwatig ng mga kumplikadong ugat, inilalapat namin ang root formula sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga aksyon na may mga kumplikadong numero:

x \u003d - 6 ± - 4 2 · 5,

x \u003d - 6 + 2 · i 10 o x \u003d - 6 - 2 · i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i o x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Sagot:  walang wastong mga ugat; ang mga kumplikadong ugat ay ang mga sumusunod: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

AT kurikulum ng paaralan  walang standard na kinakailangan upang maghanap para sa mga kumplikadong ugat, samakatuwid, kung sa panahon ng solusyon ang diskriminasyon ay tinukoy bilang negatibo, ang tugon ay agad na naitala na walang tunay na mga ugat.

Ang pormula ng ugat para sa kahit pangalawang koepisyent

Ang pormula ng ugat x \u003d - b ± D 2 · a (D \u003d b 2 - 4 · a · c) ginagawang posible upang makakuha ng isa pang mas compact na pormula na nagbibigay-daan sa isa upang makahanap ng mga solusyon ng mga parisukat na equation na may isang kahit na koepisyent sa x (o sa isang koepisyent ng form 2 · n, halimbawa, 2 · 3 o 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Ipakita natin kung paano nagmula ang pormula na ito.

Ipaalam sa amin ang gawain ng paghahanap ng isang solusyon sa kuwadradong equation a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Kumilos kami ayon sa algorithm: matukoy ang discriminant D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 · (n 2 - a · c), at pagkatapos ay gamitin ang root formula:

x \u003d - 2 · n ± D 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - n ± n 2 - a

Hayaan ang expression n 2 - a · c ay itinalaga bilang D 1 (kung minsan ito ay tinukoy ng D "). Kung gayon ang pormula ng mga ugat ng quadratic equation sa ilalim ng pagsasaalang-alang sa ikalawang koepisyentidad 2 · n ay tumatagal ng form:

x \u003d - n ± D 1 a, kung saan D 1 \u003d n 2 - a · c.

Madali itong makita na D \u003d 4 · D 1, o D 1 \u003d D 4. Sa madaling salita, ang D 1 ay isang quarter ng discriminant. Malinaw, ang tanda ng D 1 ay pareho sa pag-sign ng D, na nangangahulugang ang pag-sign ng D 1 ay maaari ring magsilbing isang tagapagpahiwatig ng pagkakaroon o kawalan ng mga ugat ng equation ng quadratic.

Kahulugan 11

Sa gayon, upang makahanap ng solusyon sa kuwadradong equation na may pangalawang koepisyent ng 2 · n, kinakailangan:

• hanapin D 1 \u003d n 2 - a · c;
• sa D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kung D 1 \u003d 0, alamin ang natatanging ugat ng equation ng formula x \u003d - n a;
• para sa D 1\u003e 0, matukoy ang dalawang tunay na ugat ng pormula x \u003d - n ± D 1 a.

Halimbawa 9

Kinakailangan upang malutas ang equation ng quadratic 5 · x 2 - 6 · x - 32 \u003d 0.

Desisyon

Ang pangalawang koepisyent ng naibigay na equation ay maaaring kinakatawan bilang 2 · (- 3). Pagkatapos ay muling isulat namin ang ibinigay na quadratic equation bilang 5 · x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, kung saan ang isang \u003d 5, n \u003d - 3 at c \u003d - 32.

Kinakalkula namin ang ika-apat na bahagi ng discriminant: D 1 \u003d n 2 - a · c \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Ang nagresultang halaga ay positibo, na nangangahulugang ang equation ay may dalawang tunay na ugat. Tinukoy namin ang mga ito ayon sa kaukulang pormula ng ugat:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 o x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 o x \u003d - 2

Posible na gumawa ng mga kalkulasyon gamit ang karaniwang formula ng mga ugat ng quadratic equation, ngunit sa kasong ito ang solusyon ay magiging mas mahirap.

Sagot:  x \u003d 3 1 5 o x \u003d - 2.

Ang pagpapasimple ng anyo ng mga equation ng quadratic

Minsan posible na mai-optimize ang form ng orihinal na equation, na gawing simple ang proseso ng pagkalkula ng mga ugat.

Halimbawa, ang equation ng quadratic 12 · x 2 - 4 · x - 7 \u003d 0 ay malinaw na mas maginhawa para sa paglutas kaysa sa 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0.

Mas madalas, ang pagpapasimple ng anyo ng equation ng quadratic ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga aksyon ng pagpaparami o paghati sa parehong mga bahagi nito sa isang tiyak na numero. Halimbawa, sa itaas ay ipinakita namin ang isang pinasimple na notasyon ng equation 1200 · x 2 - 400 · x - 700 \u003d 0, na nakuha sa pamamagitan ng paghati sa parehong mga bahagi nito sa 100.

Ang ganitong pagbabagong-anyo ay posible kapag ang mga coefficient ng quadratic equation ay hindi magkatulad primes. Pagkatapos ay karaniwang naghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng pinakamalaking karaniwang kadahilanan ganap na halaga  ang mga logro nito.

Bilang isang halimbawa, ginagamit namin ang kuwadradong equation 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Tinukoy namin ang GCD ng mga ganap na halaga ng mga koepisyente: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Hinahati namin ang magkabilang panig ng orihinal na equation ng quadratic sa pamamagitan ng 6 at nakuha ang katumbas na parisukat na parisukat na quadratic 2 · x 2 - 7 · x + 8 \u003d 0.

Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation ng quadratic, ang mga fractional coefficients ay karaniwang tinanggal. Sa kasong ito, dumarami sa pamamagitan ng hindi bababa sa karaniwang mga maramihang mga denominator ng mga koepisyente. Halimbawa, kung ang bawat bahagi ng equation ng kuwadratik 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 ay pinarami ng NOC (6, 3, 1) \u003d 6, pagkatapos ay isusulat ito nang higit pa simpleng anyo  x 2 + 4x - 18 \u003d 0.

Sa konklusyon, tandaan namin na halos palaging mapupuksa ang minus na may unang koepisyent ng kuwadradong equation, binabago ang mga palatandaan ng bawat miyembro ng equation, na nakamit sa pamamagitan ng pagpaparami (o paghati) sa parehong mga bahagi sa pamamagitan ng -1. Halimbawa, mula sa pagkakapareho ng quadratic - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0, maaari kang pumunta sa pinasimple nitong bersyon 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Ang ugnayan sa pagitan ng mga ugat at koepisyent

Ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation x \u003d - b ± D 2 · isang kilalang kilala sa amin ay nagpapahiwatig ng mga ugat ng equation sa mga tuntunin ng mga numerong coefficients nito. Batay sa pormula na ito, nagagawa naming tukuyin ang iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at koepisyente.

Ang pinakatanyag at naaangkop ay ang mga pormula ng teorema ng Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a at x 2 \u003d c a.

Sa partikular, para sa nabawasan na kuwadradong equation, ang kabuuan ng mga ugat ay ang pangalawang koepisyent na kabaligtaran ng pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng term. Halimbawa, sa pamamagitan ng form ng kuwadradong equation 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0, agad na matukoy na ang kabuuan ng mga ugat nito ay 7 3 at ang produkto ng mga ugat ay 22 3.

Maaari ka ring makahanap ng isang bilang ng iba pang mga ugnayan sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng quadratic equation. Halimbawa, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang kuwadradong equation ay maaaring ipahiwatig sa mga tuntunin ng mga koepisyente:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 · x 1 · x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca 2.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Ang mga equation na parisukat ay madalas na lumilitaw sa panahon ng solusyon ng iba't ibang mga problema ng pisika at matematika. Sa artikulong ito, titingnan natin kung paano malulutas ang mga pagkakapantay-pantay na ito sa isang unibersal na paraan "sa pamamagitan ng diskriminasyon." Ang mga halimbawa ng paggamit ng nakuha na kaalaman ay ibinibigay din sa artikulo.

Anong mga equation ang tatalakayin?

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang formula kung saan ang x ay isang hindi kilalang variable, at ang mga Latin character a, b, c ay ilang kilalang mga numero.

Ang bawat isa sa mga simbolo na ito ay tinatawag na isang koepisyent. Tulad ng nakikita mo, ang bilang na "a" ay nakatayo sa harap ng variable x parisukat. Ito ang maximum na degree ng expression na ipinakita, kaya't tinawag itong isang kuwadradong equation. Madalas gamitin ang iba pang pangalan: ang equation ng pangalawang pagkakasunud-sunod. Ang halaga ng isang sarili ay isang koepisyent ng parisukat (nakatayo na parisukat na may variable), b ay isang linear koepisyent (ito ay katabi ng variable na itinaas sa unang kapangyarihan), at sa wakas, ang bilang c ay isang libreng term.

Tandaan na ang form ng equation, na ipinapakita sa figure sa itaas, ay isang karaniwang klasikal na expression square. Bilang karagdagan dito, mayroong iba pang mga equation ng pangalawang order na kung saan ang mga koepisyent b, c ay maaaring maging zero.

Kapag ang gawain ay upang malutas ang pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang, nangangahulugan ito na ang nasabing mga halaga ng variable x ay dapat matagpuan na masiyahan ito. Narito, ang unang bagay na dapat tandaan ay ang sumusunod na bagay: dahil ang maximum na antas ng x ay 2, ang ganitong uri ng pagpapahayag ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa 2 na mga solusyon. Nangangahulugan ito na kung sa paglutas ng equation 2 na halaga ng x ay natagpuan na masiyahan ito, kung gayon maaari kang makatitiyak na walang ika-3 na numero, pagpapalit kung saan sa halip na x, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo rin. Ang mga solusyon ng isang equation sa matematika ay tinatawag itong mga ugat.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng pangalawang-order

Ang paglutas ng mga equation ng ganitong uri ay nangangailangan ng kaalaman sa ilang teorya tungkol sa kanila. Sa kurso ng algebra ng paaralan 4 iba't ibang pamamaraan  solusyon. Inilista namin ang mga ito:

• gamit ang factorization;
• gamit ang pormula para sa buong parisukat;
• ilapat ang graph ng kaukulang pag-andar ng quadratic;
• gamit ang discriminant equation.

Ang bentahe ng unang pamamaraan ay ang pagiging simple nito, gayunpaman, hindi ito mailalapat sa lahat ng mga equation. Ang pangalawang pamamaraan ay unibersal, ngunit medyo mahirap. Ang pangatlong pamamaraan ay kapansin-pansin para sa kakayahang makita, ngunit hindi ito laging maginhawa at naaangkop. At sa wakas, ang paggamit ng discriminant equation ay isang unibersal at medyo simpleng paraan upang makahanap ng mga ugat ng ganap na anumang equation ng pangalawang-order. Samakatuwid, ang artikulo ay isasaalang-alang lamang sa kanya.

Ang pormula para sa pagkuha ng mga ugat ng equation

Lumiko sa pangkalahatang pagtingin  quadratic equation. Isinulat namin ito: a * x² + b * x + c \u003d 0. Bago gamitin ang paraan ng paglutas nito "sa pamamagitan ng diskriminasyon", ang pagkakapantay ay dapat palaging dalhin sa nakasulat na form. Iyon ay, dapat itong binubuo ng tatlong term (o mas kaunti kung b o c ay 0).

Halimbawa, kung mayroong isang expression: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², pagkatapos ay dapat mo munang ilipat ang lahat ng mga termino sa isang panig ng pagkakapantay-pantay at magdagdag ng mga term na naglalaman ng variable x sa pantay na degree.

Sa kasong ito, ang operasyon na ito ay hahantong sa sumusunod na expression: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0, na katumbas ng equation 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (narito, pinarami namin ang kaliwa at kanang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng -1) .

Sa halimbawa sa itaas, isang \u003d 6, b \u003d 4, c \u003d -8. Tandaan na ang lahat ng mga miyembro ng pagkakapantay-pantay sa ilalim ng pagsasaalang-alang ay palaging pinagsama-sama, kaya kung ang tanda na "-" ay lilitaw, pagkatapos ito ay nangangahulugan na ang kaukulang koepisyentidad ay negatibo, tulad ng bilang c sa kasong ito.

Ang pagsusuri sa sandaling ito, bumabalik tayo ngayon sa pormula mismo, na ginagawang posible upang makuha ang mga ugat ng equation ng quadratic. Mayroon siyang view, na ipinakita sa larawan sa ibaba.

Tulad ng nakikita mula sa expression na ito, pinapayagan kang makakuha ng dalawang mga ugat (dapat mong bigyang pansin ang tanda na "±"). Upang gawin ito, sapat na upang mapalitan ang mga koepisyent b, c, at a.

Ang konsepto ng diskriminasyon

Sa nakaraang talata, nagbigay kami ng isang pormula na nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na malutas ang anumang equation ng pangalawang-order. Sa loob nito, ang ekspresyong radikal ay tinawag na discriminant, iyon ay, D \u003d b²-4 * a * c.

Bakit ang bahagi ng formula na ito ay nakahiwalay, at mayroon din ito wastong pangalan? Ang katotohanan ay ang diskriminasyon na nag-uugnay sa lahat ng tatlong coefficient ng equation sa isang solong expression. Ang huli na katotohanan ay nangangahulugan na ito ay ganap na nagdadala ng impormasyon tungkol sa mga ugat, na maaaring maipahayag ng mga sumusunod na listahan:

1. D\u003e 0: ang pagkakapantay-pantay ay may 2 magkakaibang solusyon, pareho ang mga tunay na numero.
2. D \u003d 0: ang ekwasyon ay may isang ugat lamang, at ito ay isang tunay na bilang.

Ang gawain ng pagtukoy ng discriminant

Nagbibigay kami ng isang simpleng halimbawa kung paano makahanap ng diskriminasyon. Ibigay ang pagkakapantay-pantay na ito: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x² + 7.

Dinadala namin ito sa karaniwang form, nakukuha namin: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, kung saan tayo nakakarating sa pagkakapantay-pantay: -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0. Narito ang isang \u003d -2, b \u003d 2, c \u003d -11.

Ngayon ay maaari nating gamitin ang pinangalanang pormula para sa mapagkatiwala: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Ang nagreresultang bilang ay ang sagot sa gawain. Dahil sa halimbawa ng diskriminasyon mas mababa sa zero, pagkatapos ay masasabi natin na ang equation na ito ng quadratic ay walang tunay na ugat. Ang mga bilang lamang ng kumplikadong uri ang magiging solusyon niya.

Isang halimbawa ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng diskriminasyon

Nalutas namin ang mga problema ng isang bahagyang naiibang uri: ang pagkakapantay-pantay -3 * x²-6 * x + c \u003d 0 ay kinakailangan upang makahanap ng mga halaga ng c na kung saan D\u003e 0.

Sa kasong ito, 2 lamang sa 3 koepisyente ang kilala, samakatuwid, hindi ito gagana upang makalkula ang eksaktong halaga ng discriminant, ngunit alam na ito ay positibo. Ginagamit namin ang huling katotohanan sa paggawa ng hindi pagkakapantay-pantay: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * c\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * c\u003e 0. Ang solusyon ng nagresultang kawalan ng pagkakapareho ay humahantong sa resulta: c\u003e -3.

Suriin ang nagresultang numero. Upang gawin ito, kalkulahin ang D para sa 2 kaso: c \u003d -2 at c \u003d -4. Ang bilang -2 ay nasiyahan sa resulta (-2\u003e -3), ang kaukulang diskriminasyon ay magkakaroon ng halaga: D \u003d 12\u003e 0. Kaugnay nito, ang bilang -4 ay hindi nasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay (-4 Kaya, ang anumang mga numero c na higit sa -3 ay masiyahan ang kondisyon.

Isang halimbawa ng paglutas ng equation

Nagpapakita kami ng isang problema na binubuo hindi lamang sa paghahanap ng diskriminasyon, kundi pati na rin sa paglutas ng equation. Kinakailangan upang mahanap ang mga ugat para sa pagkakapantay-pantay -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

Sa halimbawang ito, ang discriminant ay susunod na halaga: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Kung gayon ang mga ugat ng ekwasyon ay tinukoy bilang mga sumusunod: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). Ito ang eksaktong mga halaga ng mga ugat, kung kinakalkula namin ang humigit-kumulang sa ugat, pagkatapos makuha namin ang mga numero: x \u003d -5.176 at x \u003d 0.676.

Geometric na problema

Malutas namin ang isang problema na kakailanganin hindi lamang ang kakayahang makalkula ang mga diskriminante, kundi pati na rin ang paglalapat ng mga abstract na kasanayan sa pag-iisip at kaalaman kung paano gumawa ng mga equation ng quadratic.

Si Bob ay mayroong duvet na 5 x 4 metro. Ang batang lalaki ay nais na tumahi sa kanya sa paligid ng buong perimeter ng isang tuluy-tuloy na guhit ng magandang tela. Gaano kalaki ang strip na ito kung malalaman na si Bob ay may 10 m² na tela.

Hayaan ang strip ay may kapal ng x m, pagkatapos ay ang lugar ng tela kasama mahabang bahagi  ang mga kumot ay magiging (5 + 2 * x) * x, at dahil mayroong 2 mahabang panig, mayroon kami: 2 * x * (5 + 2 * x). Sa maikling bahagi, ang lugar ng sewn na tela ay magiging 4 * x, dahil mayroong 2 sa mga panig na ito, nakuha namin ang halaga 8 * x. Tandaan na ang halaga ng 2 * x ay naidagdag sa mahabang bahagi habang nadagdagan ang haba ng kumot na iyon. Ang kabuuang lugar ng tela na natahi sa kumot ay 10 m². Samakatuwid, nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

Para sa halimbawang ito, ang discriminant ay: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Ang ugat nito ay 22. Gamit ang pormula, matatagpuan natin ang nais na mga ugat: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5; 0.5). Malinaw, sa dalawang ugat, tanging ang bilang na 0.5 ang angkop sa kondisyon ng problema.

Sa gayon, ang guhit ng tela na itinatahi ni Bob sa kanyang kumot ay magkakaroon ng lapad na 50 cm.

AT modernong lipunan  ang kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga equation na naglalaman ng isang parisukat na variable ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming larangan ng aktibidad at malawakang ginagamit sa pagsasanay sa mga pang-agham at teknikal na pag-unlad. Ang katibayan nito ay ang disenyo ng mga sasakyang dagat at ilog, sasakyang panghimpapawid at missile. Gamit ang naturang mga kalkulasyon, ang mga tilad ng karamihan magkakaibang katawan, kabilang ang mga object space. Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga equation ng quadratic ay nakakahanap ng application hindi lamang sa pagtataya sa ekonomiya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinakasadyang pang-araw-araw na mga pangyayari. Maaari silang kailanganin sa paglalakad, sa palakasan, sa mga tindahan kapag namimili at sa iba pang mga karaniwang sitwasyon.

Hatiin ang ekspresyon sa mga sangkap na sangkap

Ang antas ng ekwasyon ay tinutukoy maximum na halaga  ang antas ng variable na naglalaman ng expression. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang tulad ng isang equation ay tinatawag na parisukat.

Kung ipinahayag sa wika ng mga pormula, kung gayon ang mga pagpapahayag na ito, kahit gaano pa ang hitsura, maaari palaging dalhin sa form kung kailan kaliwang parte  binubuo ang expression ng tatlong term. Kabilang sa mga ito: ax 2 (iyon ay, isang variable na parisukat na may koepisyent), bx (hindi kilala nang walang isang parisukat na may koepisyent) at c (libreng sangkap, iyon ay, isang ordinaryong numero). Ang lahat ng ito sa kanang bahagi ay katumbas ng 0. Sa kaso kung ang nasabing polynomial ay kulang sa isa sa mga termino ng sangkap nito, maliban sa ax 2, ito ay tinatawag na isang hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa na may solusyon ng naturang mga problema, ang halaga ng mga variable na kung saan hindi mahirap mahanap, dapat isaalang-alang muna.

Kung ang expression ay tumingin sa gayon na ang mga termino sa expression sa kanang bahagi ay dalawa, mas tumpak na ax 2 at bx, pinakamadali na makahanap ng x sa pamamagitan ng paglalagay ng variable sa labas ng mga bracket. Ngayon ang aming equation ay magiging ganito: x (ax + b). Karagdagan, nagiging malinaw na ang alinman sa x \u003d 0, o ang gawain ay nabawasan sa paghahanap ng isang variable mula sa sumusunod na expression: ax + b \u003d 0. Ang ipinahiwatig ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng pagpaparami. Sinasabi ng panuntunan na ang produkto ng dalawang mga kadahilanan ay nagbibigay ng 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng zero.

Halimbawa

x \u003d 0 o 8x - 3 \u003d 0

Bilang isang resulta, nakakuha kami ng dalawang mga ugat ng equation: 0 at 0.375.

Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring ilarawan ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng grabidad, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na puntong kinuha bilang pinagmulan. Dito, ang notasyon ng matematika ay tumatagal ng sumusunod na form: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Pagsusulat ng mga kinakailangang halaga, na pinagsama ang kanang bahagi 0 at paghahanap ng mga posibleng hindi alam, maaari mong malaman ang oras na lumilipas mula sa sandali na bumangon ang katawan hanggang sa ito ay bumagsak, pati na rin ang maraming iba pang mga dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.

Factorization ng isang expression

Ang panuntunang inilarawan sa itaas ay posible upang malutas ang mga problemang ito nang higit pa mahirap kaso. Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga equation ng quadratic ng ganitong uri.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Ito square trinomial  ay kumpleto. Una, i-convert ang expression at factor ito. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) \u003d 0. Bilang resulta, mayroon kaming dalawang mga ugat 8 at 25.

Ang mga halimbawa sa paglutas ng mga equation ng quadratic sa ika-9 na grado ay nagbibigay-daan sa paggamit ng pamamaraang ito upang makahanap ng isang variable sa mga expression na hindi lamang ng pangalawa, kundi maging ang pangatlo at pang-apat na mga order.

Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Kapag na-factor ang kanang bahagi ng variable, nakakakuha sila ng tatlo, iyon ay (x + 1), (x-3) at (x + 3).

Bilang isang resulta, nagiging malinaw na ang equation na ito ay may tatlong mga ugat: -3; -1; 3.

Ang pagkuha ng ugat ng square

Isa pang kaso hindi kumpleto na equation  ang pangalawang pagkakasunud-sunod ay isang expression sa wika ng mga titik na kinakatawan sa paraang ang kanang bahagi ay itinayo mula sa mga sangkap na ax 2 at c. Dito, upang makuha ang halaga ng variable, ang libreng termino ay inilipat sa kanang bahagi, at pagkatapos na ang parisukat na ugat ay nakuha mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. Dapat pansinin na sa kasong ito, masyadong, karaniwang may dalawang ugat ng equation. Ang isang pagbubukod ay maaaring mga pagkakapantay-pantay lamang na hindi naglalaman ng termino c, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, at din ang mga variant ng mga expression kapag ang kanang bahagi ay lumiliko na negatibo. Sa huling kaso, ang mga solusyon ay hindi umiiral, dahil ang mga aksyon sa itaas ay hindi maaaring gumanap ng mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon ng mga kuwadrong equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.

Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay mga numero -4 at 4.

Pagkalkula ng lupa

Ang pangangailangan para sa naturang mga kalkulasyon ay lumitaw sa mga sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika ay higit sa lahat dahil sa pangangailangan upang matukoy ang mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa na may pinakamaraming katumpakan.

Ang mga halimbawa na may solusyon ng mga kuwadrong equation batay sa mga problema ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang ng amin.

Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na bahagi ng lupa na ang haba ay 16 metro higit sa lapad. Ang haba, lapad at perimeter ng site ay dapat matagpuan kung kilala na ang lugar nito ay 612 m 2.

Bumaba sa negosyo, una naming iguhit ang kinakailangang equation. Ipakita sa pamamagitan ng x ang lapad ng seksyon, kung gayon ang haba nito ay (x + 16). Ito ay sumusunod mula sa kung ano ang nakasulat na ang lugar ay natutukoy ng expression x (x + 16), na, ayon sa kondisyon ng aming problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x (x + 16) \u003d 612.

Ang solusyon ng kumpletong mga equation ng quadratic, at ang expression na ito ay lamang iyon, hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Bagaman ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman pa rin ng dalawang mga kadahilanan, ang produkto ng mga ito ay hindi lahat 0, kaya ang iba pang mga pamamaraan ay ginagamit dito.

Hindi mapaniniwalaan

Una sa lahat, gagawin namin ang mga kinakailangang pagbabago, kung gayon hitsura  ng expression na ito ay magiging hitsura nito: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Nangangahulugan ito na nakuha namin ang ekspresyon sa form na naaayon sa pamantayang ipinahiwatig nang mas maaga, kung saan ang isang \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Maaari itong maging isang halimbawa ng paglutas ng mga equation ng quadratic sa pamamagitan ng diskriminasyon. Dito kinakailangang mga kalkulasyon ay ginawa ayon sa pamamaraan: D \u003d b 2 - 4ac. Ang katulong na katulong na ito ay hindi lamang posible upang mahanap ang nais na dami sa equation ng pangalawang-order, tinutukoy nito ang dami posibleng mga pagpipilian. Sa kaso D\u003e 0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D \u003d 0 mayroong isang ugat. Kung sakaling D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tungkol sa mga ugat at formula

Sa aming kaso, ang discriminant ay: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Ipinapahiwatig nito na ang sagot sa aming problema ay umiiral. Kung alam mo ang k, ang solusyon ng mga equation ng quadratic ay dapat ipagpatuloy gamit ang pormula sa ibaba. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang mga ugat.

Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Ang pangalawang pagpipilian sa dilema na ito ay hindi maaaring solusyon, dahil ang laki ng lupain ay hindi masusukat sa mga negatibong halaga, kaya x (iyon ay, ang lapad ng isang lagay ng lupa) ay 18 m. Mula dito, kinakalkula namin ang haba: 18 + 16 \u003d 34, at perimeter 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Mga halimbawa at gawain

Ipinagpapatuloy namin ang pag-aaral ng mga equation ng quadratic. Ang mga halimbawa at isang detalyadong solusyon ng ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Inilipat namin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gawin ang pagbabagong-anyo, iyon ay, nakakakuha kami ng form ng equation, na karaniwang tinatawag na pamantayan, at pinagsama ito sa zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Ang pagsasama-sama ng mga ito, tinukoy namin ang discriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Samakatuwid, ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang ugat. Kinakalkula namin ang mga ito ayon sa pormula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay 4/3, at ang pangalawang 1.

2) Ngayon ay ibubunyag namin ang mga bugtong ng ibang uri.

Alamin kung mayroong anumang mga ugat x 2 - 4x + 5 \u003d 1 dito? Upang makakuha ng isang kumpletong sagot, binabawasan namin ang polynomial sa kaukulang pamilyar na form at kinakalkula ang mga diskriminante. Sa halimbawang ito, ang solusyon ng equation ng quadratic ay hindi kinakailangan, dahil ang kakanyahan ng problema ay hindi sa lahat ng ito. Sa kasong ito, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, na nangangahulugang wala talagang ugat.

Vieta Theorem

Ang mga equation ng kwadratic ay maginhawang malutas sa pamamagitan ng mga pormula sa itaas at may diskriminasyon, kapag ang parisukat na ugat ay nakuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging nangyayari. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: mga solusyon ng mga kuwadrong equation ng Vieta teorem. Siya ay pinangalanan pagkatapos na nanirahan sa ika-16 siglo sa Pransya at gumawa ng isang napakatalino karera salamat sa kanyang matematika talento at koneksyon sa hukuman. Makikita ang kanyang larawan sa artikulo.

Ang pattern na sinusunod ng nakamamanghang Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang mga ugat ng equation ay ayon sa bilang na pantay sa -p \u003d b / a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q \u003d c / a.

Ngayon isaalang-alang ang mga tukoy na gawain.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Para sa pagiging simple, binago namin ang expression:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Gamit ang teorema ng Vieta, ito ang magbibigay sa amin ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakukuha natin na ang mga ugat ng ekwasyon ay ang mga numero -9 at 2. Kapag natapos ang tseke, sisiguraduhin namin na ang mga halagang ito ng mga variable ay talagang umaangkop sa expression.

Parabola graph at equation

Ang mga konsepto ng isang quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay naibigay na dati. Ngayon tingnan natin ang ilang mga matematiko na puzzle sa medyo mas detalyado. Ang anumang pagkakapareho ng inilarawan na uri ay maaaring mailarawan. Ang isang katulad na dependence na iginuhit sa isang graph ay tinatawag na parabola. Ang iba't ibang uri nito ay ipinakita sa figure sa ibaba.

Ang anumang parabola ay may isang vertex, iyon ay, isang punto kung saan lumabas ang mga sanga nito. Kung ang isang 0, pupunta sila mataas sa kawalang-hanggan, at kung kailan<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ang mga visual na imahe ng mga pag-andar ay tumutulong sa paglutas ng anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na graphical. At ang halaga ng variable x ay ang coordinate ng abscissa sa mga punto kung saan ang linya ng graph ay may mga 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay maaaring matagpuan ng formula na ibinigay lamang x 0 \u003d -b / 2a. At, paghahalili ang nakuha na halaga sa paunang pagkakapareho ng pagpapaandar, maaari mong makita ang 0, iyon ay, ang pangalawang coordinate ng vertex ng parabola, na kabilang sa ordinate axis.

Ang intersection ng mga sanga ng parabola kasama ang abscissa

Mayroong maraming mga halimbawa na may solusyon ng mga equation ng quadratic, ngunit may mga pangkalahatang pattern. Isaalang-alang ang mga ito. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa isang 0 ay posible lamang kung ang 0 ay kukuha ng mga negatibong halaga. At para sa isang<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Ayon sa iskedyul ng parabola, maaari mo ring matukoy ang mga ugat. Ang converse ay totoo rin. Iyon ay, kung hindi madaling makakuha ng isang visual na imahe ng isang parisukat na pag-andar, maaari mong maihambing ang kanang bahagi ng pagpapahayag sa 0 at malutas ang nagresultang equation. At alam ang mga punto ng intersection na may 0x axis, mas madaling magplano.

Mula sa kasaysayan

Ang paggamit ng mga equation na naglalaman ng isang parisukat na variable, sa mga lumang araw ay hindi lamang ginawa ang mga kalkulasyon sa matematika at tinukoy ang lugar ng mga geometric na hugis. Ang mga nauna ay nangangailangan ng gayong mga kalkulasyon para sa mga magagandang tuklas sa larangan ng pisika at astronomiya, pati na rin para sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.

Tulad ng iminumungkahi ng mga modernong iskolar, ang mga naninirahan sa Babilonya ay kabilang sa una upang malutas ang mga equation ng quadratic. Nangyari ito apat na siglo bago ang pagdating ng ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon sa panimula ay naiiba sa mga kasalukuyang tinanggap at naging mas primitive. Halimbawa, ang matematika ng Mesopotamian ay walang ideya tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa iba pang mga subtleties ng mga alam ng anumang mag-aaral sa ating panahon.

Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentipiko ng Babilonya, ang sambong mula sa India, Baudhayama, ay nakatuon sa solusyon ng mga quadratic equation. Nangyari ito mga walong siglo bago ang pagdating ni Kristo. Totoo, ang mga equation ng pangalawang-order, ang mga pamamaraan ng solusyon kung saan binanggit niya, ay ang pinakasimpleng. Bilang karagdagan sa kanya, ang mga matematiko sa Tsina ay interesado sa gayong mga katanungan sa katagal. Sa Europa, ang mga equation ng quadratic ay nagsimula na malulutas lamang sa simula ng XIII siglo, ngunit kalaunan ang mga magagaling na siyentipiko tulad ng Newton, Descartes at marami pang iba ay ginamit nila sa kanilang mga gawa.

Inaasahan ko, sa pag-aralan ang artikulong ito, malalaman mong hanapin ang mga ugat ng buong kuwadradong equation.

Sa tulong ng diskriminasyon, kumpletong mga equation na parisukat lamang ang nalulutas; upang malutas ang hindi kumpletong mga equation ng quadratic, ginagamit ang iba pang mga pamamaraan, na makikita mo sa artikulong "Paglutas ng hindi kumpletong mga equation ng quadratic".

Anong mga equation ng quadratic ang tinatawag na kumpleto? ito mga equation ng form ax 2 + b x + c \u003d 0, kung saan ang mga koepisyent a, b, at c ay hindi katumbas ng zero. Kaya, upang malutas ang kumpletong kuwadrong equation, dapat nating kalkulahin ang discriminant D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Depende sa kahalagahan ng discriminant, isusulat namin ang sagot.

Kung ang discriminant ay isang negatibong numero (D< 0),то корней нет.

Kung ang discriminant ay pantay sa zero, pagkatapos x \u003d (-b) / 2a. Kapag ang discriminant ay isang positibong numero (D\u003e 0),

pagkatapos x 1 \u003d (-b - √D) / 2a, at x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Halimbawa.   Malutas ang equation x 2  - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 · 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Sagot: 2.

Malutas ang Equation 2 x 2   + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 · 2 · 3 \u003d - 23

  Sagot: walang mga ugat.

Malutas ang Equation 2 x 2   + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 · 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 · 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Sagot: - 3.5; 1.

Kaya, isipin ang solusyon ng kumpletong mga equation ng quadratic ng circuit sa Figure 1.

Gamit ang mga formula na ito, maaari mong malutas ang anumang kumpletong equation ng quadratic. Kailangan mo lamang na maingat na subaybayan iyon ang equation ay isinulat bilang isang pamantayang polynomial

at x 2   + bx + c,  kung hindi man maaari kang magkamali. Halimbawa, sa talaan ng equation x + 3 + 2x 2 \u003d 0, maaari itong mali na napagpasyahan iyon

a \u003d 1, b \u003d 3 at c \u003d 2. Pagkatapos

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 at pagkatapos ay ang equation ay may dalawang ugat. At hindi ito totoo. (Tingnan ang solusyon ng halimbawa 2 sa itaas).

Samakatuwid, kung ang equation ay hindi isinulat ng isang polynomial ng standard form, una ang buong quadratic equation ay dapat isulat ng isang polynomial ng standard form (sa unang lugar ay dapat na isang monomial na may pinakamataas na exponent, i.e. at x 2 pagkatapos ay may mas kaunti – bxat pagkatapos ay isang libreng miyembro kasama.

Kapag nalutas ang equation ng quadratic at ang kuwadradong equation na may isang kahit na koepisyent sa pangalawang term, maaaring magamit ang iba pang mga formula. Kilalanin natin ang mga formula na ito. Kung ang koepisyent sa buong quadratic equation na may pangalawang termino ay kahit na (b \u003d 2k), kung gayon ang equation ay maaaring malutas ng mga formula na ibinigay sa diagram ng Larawan 2.

Ang isang kumpletong quadratic equation ay tinatawag na nabawasan kung ang koepisyent ng x 2   pantay sa pagkakaisa at ang equation ay tumatagal ng form x 2 + px + q \u003d 0. Ang ganitong isang equation ay maaaring ibigay para sa solusyon, o makuha sa pamamagitan ng paghati sa lahat ng mga koepisyent, ang equation ng isang koepisyent atnakatayo sa x 2 .

Ipinapakita ng Figure 3 ang isang diagram ng solusyon ng nabawasan na parisukat
  equation. Isaalang-alang natin na gamitin ang mga pormula na isinasaalang-alang sa artikulong ito bilang isang halimbawa.

Halimbawa. Malutas ang equation

3x 2   + 6x - 6 \u003d 0.

Malutas natin ang equation na ito gamit ang mga formula sa Figure 1.

D \u003d 6 2 - 4 · 3 · (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (36 · 3) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 · 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Sagot: –1 - √3; –1 + √3

Makikita mo na ang koepisyent ng x sa equation na ito ay isang numero, na, b \u003d 6 o b \u003d 2k, kung saan k \u003d 3. Pagkatapos susubukan nating lutasin ang equation gamit ang mga pormula na ipinapakita sa diagram ng figure D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 · 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Sagot: –1 - √3; –1 + √3. Napapansin na ang lahat ng mga koepisyent na ito sa kuwadradong equation ay nahahati sa pamamagitan ng 3 at pagkumpleto ng dibisyon, nakuha namin ang nabawasan na quadratic equation x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Malutas namin ang equation na ito gamit ang mga pormula para sa nabawasan na parisukat
equation figure 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 · (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 · 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

  Sagot: –1 - √3; –1 + √3.

Tulad ng nakikita mo, kapag nalutas ang equation na ito gamit ang iba't ibang mga formula, nakuha namin ang parehong sagot. Samakatuwid, mahusay na pinagkadalubhasaan ang mga formula na ibinigay sa diagram ng Larawan 1, maaari mong laging malutas ang anumang kumpletong equation ng quadratic.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa mapagkukunan.