Mayroong 8 mga halimbawa ng pag-factor ng mga polynomial. Nagsasama sila ng mga halimbawa sa paglutas ng mga quadratic at biquadratic equation, mga halimbawa na may reflexive polynomial, at mga halimbawa sa paghahanap ng integer Roots ng pangatlo at ikaapat na degree polynomial.

1. Mga halimbawa sa paglutas ng isang quadratic equation

Halimbawa 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Desisyon

Ilabas x 2 sa labas ng mga braket:
.
2 + x - 6 \u003d 0:
.
Mga ugat ng equation:
, .

.

Sagot

Halimbawa 1.2

Kadahilanan isang pangatlong degree na polynomial:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Desisyon

Ilipat x sa labas ng panaklong:
.
Kami ay malulutas quadratic equation x 2 + 6 x + 9 \u003d 0:
Ang diskriminante nito:
Dahil ang diskriminante ay zero, ang mga ugat ng equation ay maraming :;
.

Mula dito nakukuha natin ang pagsasama-sama ng polynomial:
.

Sagot

Halimbawa 1.3

Kadahilanan ng isang ika-5 degree na polynomial:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Desisyon

Ilabas x 3 sa labas ng mga braket:
.
Paglutas ng quadratic equation x 2 - 2 x + 10 \u003d 0.
Ang diskriminante nito:
Dahil ang diskriminante mas mababa sa zero, pagkatapos ay kumplikado ang mga ugat ng equation :;
, .

Ang factorization ng polynomial ay:
.

Kung interesado kami sa pagpapalagay sa mga tunay na coefficients, kung gayon:
.

Sagot

Mga halimbawa ng pag-factor ng polynomial na gumagamit ng mga formula

Mga halimbawa na may biquadratic polynomial

Halimbawa 2.1

Isaalang-alang ang isang biquadratic polynomial:
x 4 + x 2 - 20.

Desisyon

Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b).

;
.

Sagot

Halimbawa 2.2

Isaalang-alang ang isang polynomial na binabawasan sa isang biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.

Desisyon

Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b):

;

;
.

Sagot

Halimbawa 2.3 na may isang maibabalik na polynomial

Isaalang-alang ang return polynomial:
.

Desisyon

Ang reflexive polynomial ay may kakaibang degree. Samakatuwid, mayroon itong ugat na x \u003d - 1 ... Hinahati namin ang polynomial ng x - (-1) \u003d x + 1... Bilang isang resulta, nakukuha namin ang:
.
Ginagawa namin ang kahalili:
, ;
;


;
.

Sagot

Mga halimbawa ng pag-factor ng mga polynomial na may integer Roots

Halimbawa 3.1

Isaalang-alang ang isang polynomial:
.

Desisyon

Ipagpalagay ang equation

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 \u003d -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 \u003d -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 \u003d -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 \u003d -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 \u003d 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 \u003d 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 \u003d 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 \u003d 60.

Kaya, nakakita kami ng tatlong mga ugat:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Dahil ang orihinal na polynomial ay nasa pangatlong degree, mayroon itong halos tatlong mga ugat. Dahil natagpuan namin ang tatlong mga ugat, ang mga ito ay simple. Tapos
.

Sagot

Halimbawa 3.2

Isaalang-alang ang isang polynomial:
.

Desisyon

Ipagpalagay ang equation

mayroong kahit isang buong ugat. Pagkatapos ito ay isang tagahati ng numero 2 (term na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring maging isa sa mga numero:
-2, -1, 1, 2 .
Pinalitan namin ang mga halagang ito nang magkakasunod:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 \u003d 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 \u003d 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 \u003d 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 \u003d 54 .
Kung ipinapalagay natin na ang equation na ito ay may isang integer root, pagkatapos ito ay isang tagahati ng numero 2 (term na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring maging isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2 .
Kapalit x \u003d -1 :
.

Kaya, nakakita kami ng isa pang ugat x 2 = -1 ... Posible, tulad ng sa dating kaso, na hatiin ang polynomial ng, ngunit ipapangkat namin ang mga miyembro:
.

Dahil ang equation x 2 + 2 = 0 ay walang tunay na mga ugat, pagkatapos ang factorization ng polynomial ay may form.

Hanapin ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng quadratic equation. Paggamit ng mga formula (59.8) para sa mga ugat ng pinababang equation, nakukuha namin

(ang unang pagkakapantay-pantay ay halata, ang pangalawa ay nakuha pagkatapos ng isang simpleng pagkalkula, na kung saan ang mambabasa ay isinasagawa nang nakapag-iisa; maginhawa na gamitin ang formula para sa produkto ng kabuuan ng dalawang numero ayon sa kanilang pagkakaiba)

Ang sumusunod ay napatunayan.

Teorya ni Vieta. Ang kabuuan ng mga ugat ng nabawasan na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang coefficient na may kabaligtaran sign, at ang kanilang produkto ay katumbas ng libreng term.

Sa kaso ng isang hindi pinababang quadratic equation, ang mga expression ng formula (60.1) ay dapat mapalitan sa mga formula (60.1) upang kunin ang form

Halimbawa 1. Gumawa ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng mga ugat nito:

Solusyon, a) Natagpuan namin ang equation ay mayroong form

Halimbawa 2. Hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng isang equation nang hindi nalulutas mismo ang equation.

Desisyon. Ang kabuuan at produkto ng mga ugat ay kilala. Kinakatawan namin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat sa form

at kumuha

Madaling makuha ang pormula mula sa mga pormula ni Vieta

na nagpapahayag ng panuntunan para sa pag-iingat ng isang parisukat na trinomial.

Sa katunayan, nagsusulat kami ng mga formula (60.2) sa form

Ngayon meron na kami

na kung saan ay kinakailangan upang makuha.

Ang derivasyon sa itaas ng mga pormula ni Vieta ay pamilyar sa mambabasa mula sa isang kurso sa algebra sa high school. Maaaring ibigay ang isa pang konklusyon, gamit ang teorama ng Bezout at pag-factor ng polynomial (mga item 51, 52).

Hayaan ang mga ugat ng equation pagkatapos ay pangkalahatang tuntunin (52.2) ang trinomial sa kaliwang bahagi ng equation ay naka-factor:

Ang pagpapalawak ng mga panaklong sa kanang bahagi ng pagkakakilanlan na ito, nakukuha namin

at ang paghahambing ng mga coefficients sa parehong degree ay magbibigay sa amin ng mga formula ni Vieta (60.1).

Ang bentahe ng konklusyon na ito ay maaari itong mailapat sa mga equation mas mataas na degree upang makakuha ng mga expression para sa mga coefficients ng equation sa mga tuntunin ng mga ugat nito (nang hindi hanapin ang mga ugat mismo!). Halimbawa, kung ang mga ugat ng nabawasan na cubic equation

sa kakanyahan, ayon sa pagkakapantay-pantay (52.2), nakita namin

(sa aming kaso, Pagpapalawak ng mga braket sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay at pagkolekta ng mga coefficients sa iba't ibang mga degree, nakukuha namin

Ang mundo ay nahuhulog sa isang malaking bilang ng mga numero. Anumang mga kalkulasyon ay ginawa sa kanilang tulong.

Ang mga tao ay natututo ng mga numero upang hindi mahulog sa panloloko sa susunod na buhay. Ito ay tumatagal ng isang malaking halaga ng oras upang maging edukado at kalkulahin ang iyong sariling badyet.

Ang Matematika ay isang eksaktong agham na may malaking papel sa buhay. Sa paaralan, ang mga bata ay nag-aaral ng mga numero, at pagkatapos, ang mga aksyon sa kanila.

Ang mga pagkilos sa mga numero ay ganap na magkakaiba: pagpaparami, pagpapalawak, pagdaragdag, at iba pa. Bilang karagdagan sa mga simpleng pormula, mas kumplikadong mga pagkilos ang ginagamit sa pag-aaral ng matematika. Mayroong isang malaking bilang ng mga formula kung saan ang anumang mga halaga ay maaaring makilala.

Sa paaralan, sa sandaling lumitaw ang algebra, ang mga formula sa pagpapasimple ay idinagdag sa buhay ng mag-aaral. Mayroong mga equation kapag mayroong dalawang hindi kilalang mga numero, ngunit hanapin sa isang simpleng paraan ayaw gumana. Ang isang tatlong-kataga ay isang koneksyon ng tatlong mga monomial na gumagamit ng isang simpleng pamamaraan ng pagbabawas at pagdaragdag. Nalulutas ang trinomial gamit ang teorya ng Vieta at ang diskriminasyon.

Formula para sa pag-iingat ng isang parisukat na trinomial

Mayroong dalawang tama at simpleng solusyon halimbawa:

• nagtatangi;
• teorya ni Vieta.

Ang isang square trinomial ay may isang hindi kilalang square at isang numero na walang parisukat. Ang unang pagpipilian ay gumagamit ng pormula ni Vieta upang malutas ang problema. Ito ay isang simpleng formulakung ang mga numero na nakatayo sa harap ng hindi kilalang magiging minimum na halaga.

Para sa iba pang mga equation kung saan ang numero ay nasa harap ng hindi alam, ang equation ay dapat malutas sa pamamagitan ng diskriminasyon. Ito ay isang mas kumplikadong solusyon, ngunit ang diskriminante ay ginagamit nang mas madalas kaysa sa teorya ni Vieta.

Sa una, upang hanapin ang lahat variable ng equation kinakailangan upang itaas ang halimbawa sa 0. Ang solusyon ng halimbawa ay maaaring masuri at alamin kung ang mga numero ay naayos nang tama.

Diskriminasyon

1. Kinakailangan na ipantay ang equation sa 0.

2. Ang bawat numero bago x ay tatawaging mga numero a, b, c. Dahil walang numero sa harap ng unang parisukat x, katumbas ito ng 1.

3. Ngayon ang solusyon ng equation ay nagsisimula sa pamamagitan ng diskriminasyon:

4. Ngayon natagpuan namin ang diskriminante at nahanap ang dalawa x. Ang pagkakaiba ay sa isang kaso, ang b ay mauuna ng isang plus, at sa isa pa, isang minus:

5. Ayon sa solusyon, ang dalawang numero ay naging -2 at -1. Kapalit sa ilalim ng orihinal na equation:

6. Ang halimbawang ito ay mayroong dalawa tamang mga pagpipilian... Kung ang parehong mga solusyon ay tama, pagkatapos ang bawat isa sa kanila ay totoo.

Ang mga mas kumplikadong equation ay malulutas din sa pamamagitan ng diskriminasyon. Ngunit kung ang halaga ng diskriminante mismo ay mas mababa sa 0, kung gayon ang halimbawa ay mali. Ang diskriminante ay palaging nasa ugat kapag naghahanap, at isang negatibong halaga ay hindi maaaring maging ugat.

Teorya ni Vieta

Ginagamit ito upang malutas ang mga magaan na problema kung saan walang numero sa harap ng unang x, iyon ay, a \u003d 1. Kung tumutugma ang pagpipilian, pagkatapos ay isinasagawa ang pagkalkula gamit ang teorama ng Vieta.

Upang malutas ang anumang tatlong-term kinakailangang itaas ang equation sa 0. Ang mga unang hakbang para sa diskriminante at teorama ni Vieta ay hindi magkakaiba.

2. Ngayon nagsisimula ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang pamamaraan. Ang teorya ng Vieta ay gumagamit ng hindi lamang pagkalkula ng "tuyong", kundi pati na rin ang lohika at intuwisyon. Ang bawat bilang ay may sariling letra a, b, c. Ang teorama ay gumagamit ng kabuuan at produkto ng dalawang numero.

Tandaan! Ang numero b ay palaging idinagdag na may kabaligtaran na pag-sign, at ang numero c ay nananatiling hindi nababago!

Ang pagpapalit ng mga halaga ng data sa halimbawa , nakukuha namin:

3. Gamit ang pamamaraan ng lohika, pinapalitan namin ang pinakaangkop na mga numero. Isaalang-alang natin ang lahat ng mga solusyon:

1. Ang mga numero ay 1 at 2. Kapag idinagdag mo ito, nakakakuha ka ng 3, ngunit kung magpaparami ka, hindi ka makakakuha ng 4. Hindi magkasya.
2. Ang halaga ay 2 at -2. Kapag pinarami, ito ay magiging -4, ngunit kapag idinagdag, magiging 0. Hindi angkop.
3. Ang mga numero ay 4 at -1. Dahil mayroong isang negatibong halaga sa pagpaparami, nangangahulugan ito na ang isa sa mga numero ay magiging isang minus. Kapag ang pagdaragdag at pagpaparami ay naaangkop. Tamang pagpipilian.

4. Nananatili lamang ito upang suriin, palawakin ang mga numero, at makita ang kawastuhan ng napiling pagpipilian.

5. Salamat sa online na tseke, nalaman namin na ang -1 ay hindi tumutugma sa kundisyon ng halimbawa, na nangangahulugang ito ay maling desisyon.

Kapag nagdaragdag ng isang negatibong halaga sa halimbawa, dapat mong ilagay ang numero sa mga braket.

Sa matematika palaging magiging simpleng gawain at kumplikado. Ang agham mismo ay may kasamang iba't ibang mga problema, theorem at pormula. Kung naiintindihan at inilapat mo nang tama ang kaalaman, ang anumang mga paghihirap sa mga kalkulasyon ay magiging maliit.

Hindi kailangan ng matematika ang palaging pagsasaulo. Kailangan mong malaman upang maunawaan ang solusyon at malaman ang ilang mga formula. Unti-unti, ayon sa lohikal na konklusyon, posible na malutas ang mga katulad na problema, equation. Ang nasabing isang agham ay maaaring mukhang napakahirap sa unang tingin, ngunit kung sila ay palubog sa mundo ng mga bilang at problema, kung gayon ang pananaw ay magbabago nang malaki sa ang mas mabuting panig.

Mga specialty sa teknikal laging manatili ang pinaka hinihingi sa buong mundo. Ngayon sa mundo modernong teknolohiya, ang matematika ay naging isang kailangang-kailangan na katangian ng anumang larangan. Dapat laging tandaan ang tungkol sa kapaki-pakinabang na mga katangian matematika.

Agnas ng isang trinomial na gumagamit ng isang bracket

Bilang karagdagan sa paglutas sa karaniwang mga paraan, may isa pa - pagpapalawak sa mga braket. Gamitin ang pormulang Vieta.

1. Pantayin ang equation sa 0.

palakol 2 + bx + c= 0

2. Ang mga ugat ng equation ay mananatiling pareho, ngunit sa halip na zero ay ginagamit na nila ngayon ang mga formula ng pagpapalawak sa mga braket.

palakol 2 + bx + c \u003d a ( x - x 1) ( x - x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 ( x + 1) ( x – 3)

4. Solusyon x \u003d -1, x \u003d 3

Ang pag-factor ng square trinomial ay tumutukoy sa mga takdang-aralin sa paaralan na haharapin ng bawat isa sa lalong madaling panahon. Paano mo ito nagagawa? Ano ang pormula ng factorization para sa isang square trinomial? Alamin natin ito nang sunud-sunod gamit ang mga halimbawa.

Pangkalahatang pormula

Isinasagawa ang pag-factor ng mga square trinomial sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation. Ito ay isang simpleng gawain na malulutas ng maraming pamamaraan - sa pamamagitan ng paghahanap ng diskriminasyon gamit ang teorama ni Vieta, mayroon ding isang grapikong paraan upang malutas ito. Ang unang dalawa ay tinuro sa high school.

Ganito ang pangkalahatang pormula:lx 2 + kx + n \u003d l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algorithm para sa gawain

Upang matukoy ang mga square trinomial, kailangan mong malaman ang teorama ng Wit, magkaroon ng isang programa para sa paglutas, makahanap ng isang solusyon nang grapiko, o hanapin ang mga ugat ng isang equation ng pangalawang degree sa pamamagitan ng diskriminasyong pormula. Kung ang isang parisukat na trinomial ay ibinigay at kailangan itong maging factorized, ang algorithm ng mga aksyon ay ang mga sumusunod:

1) Itakda ang orihinal na expression sa zero upang makuha ang equation.

2) Manguna katulad na mga term (kung kinakailangan).

3) Maghanap ng mga ugat ng anumang sa isang kilalang paraan... Ang grapikong pamamaraan ay pinakamahusay na ginagamit kung ito ay nalalaman nang maaga na ang mga ugat ay integer at maliit na numero. Dapat tandaan na ang bilang ng mga ugat ay katumbas ng maximum na degree ng equation, iyon ay, ang quadratic equation ay may dalawang mga ugat.

4) Halagang kahalili x sa ekspresyon (1).

5) Isulat ang factorization ng square trinomial.

Mga halimbawa ng

Pinapayagan ka ng kasanayan na maunawaan mo sa wakas kung paano ginaganap ang gawaing ito. Ilarawan ang pagpapakisama ng isang parisukat na trinomial sa pamamagitan ng mga halimbawa:

kinakailangan upang palawakin ang expression:

Gumamit tayo sa aming algorithm:

1) x 2 -17x + 32 \u003d 0

2) ang mga katulad na termino ay nabawasan

3) mahirap makahanap ng mga ugat para sa halimbawang ito gamit ang pormulang Vieta, samakatuwid mas mahusay na gamitin ang ekspresyon para sa diskriminante:

D \u003d 289-128 \u003d 161 \u003d (12.69) 2

4) Palitan ang mga ugat na natagpuan namin sa pangunahing pormula ng agnas:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Kung gayon ang sagot ay magiging ganito:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

Suriin natin kung ang mga solusyon na nahanap ng diskriminante ay tumutugma sa mga pormula ni Vieta:

14,845 . 2,155=32

Para sa mga ugat na ito, ang teorama ng Vieta ay inilalapat, sila ay natagpuan nang tama, na nangangahulugang ang factorization na nakuha namin ay tama din.

Palawakin natin ang 12x 2 + 7x-6 sa parehong paraan.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

Sa nakaraang kaso, ang mga solusyon ay hindi integer, ngunit totoong mga numero, na madaling hanapin sa isang calculator sa harap mo. Ngayon tingnan natin ang isang mas kumplikadong halimbawa, kung saan kumplikado ang mga ugat: factor x 2 + 4x + 9. Ayon sa pormula ni Vieta, ang mga ugat ay hindi matagpuan, at ang diskriminante ay negatibo. Ang mga ugat ay magiging sa kumplikadong eroplano.

D \u003d -20

Batay dito, nakukuha namin ang mga ugat ng interes sa amin -4 + 2i * 5 1/2 at -4-2i * 5 1/2 sapagkat (-20) 1/2 \u003d 2i * 5 1/2.

Nakukuha namin ang kinakailangang agnas sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ugat sa pangkalahatang pormula.

Isa pang halimbawa: kailangan mong i-factor ang expression na 23x 2 -14x + 7.

Mayroon kaming equation 23x 2 -14x + 7 =0

D \u003d -448

Samakatuwid, ang mga ugat ay 14 + 21,166i at 14-21,166i. Ang sagot ay:

23x 2 -14x + 7 \u003d 23 (x- 14-21,166i )*(x- 14 + 21.166i ).

Magbigay tayo ng isang halimbawa na malulutas nang walang tulong ng diskriminasyon.

Ipagpalagay na kailangan mong palawakin ang quadratic equation x 2 -32x + 255. Malinaw na, malulutas ito ng diskriminasyon, ngunit mas mabilis sa kasong ito na kunin ang mga ugat.

x 1 \u003d 15

x 2 \u003d 17

Ibig sabihin x 2 -32x + 255 \u003d (x-15) (x-17).