Sa video na ito susuriin natin ang buong set mga linear na equation, na nilulutas gamit ang parehong algorithm - kaya naman tinawag silang pinakasimple.

Una, tukuyin natin: ano ang linear equation at alin ang tinatawag na pinakasimple?

Ang linear equation ay isa kung saan mayroon lamang isang variable, at hanggang sa unang degree lamang.

Ang pinakasimpleng equation ay nangangahulugan ng pagbuo:

Ang lahat ng iba pang mga linear na equation ay binabawasan sa pinakasimpleng gamit ang algorithm:

1. Palawakin ang mga panaklong, kung mayroon man;
2. Ilipat ang mga terminong naglalaman ng variable sa isang gilid ng pantay na tanda, at mga terminong walang variable sa kabilang panig;
3. Nangunguna magkatulad na termino sa kaliwa at kanan ng pantay na tanda;
4. Hatiin ang resultang equation sa coefficient ng variable na $x$.

Siyempre, hindi palaging nakakatulong ang algorithm na ito. Ang katotohanan ay minsan pagkatapos ng lahat ng mga machinations na ito ang koepisyent ng variable na $x$ ay lumalabas na katumbas ng zero. Sa kasong ito, posible ang dalawang pagpipilian:

1. Ang equation ay walang mga solusyon sa lahat. Halimbawa, kapag lumabas ang isang bagay tulad ng $0\cdot x=8$, i.e. sa kaliwa ay zero, at sa kanan ay isang numero maliban sa zero. Sa video sa ibaba ay titingnan natin ang ilang dahilan kung bakit posible ang sitwasyong ito.
2. Ang solusyon ay lahat ng numero. Ang tanging kaso kapag ito ay posible ay kapag ang equation ay nabawasan sa pagbuo $0\cdot x=0$. Ito ay lubos na lohikal na kahit anong $x$ ang ating palitan, ito ay lalabas pa rin na "zero ay katumbas ng zero", i.e. wastong pagkakapantay-pantay ng numero.

Ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang lahat ng ito gamit ang mga tunay na halimbawa sa buhay.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga equation

Ngayon ay nakikitungo tayo sa mga linear na equation, at ang mga pinakasimpleng equation lamang. Sa pangkalahatan, ang isang linear equation ay nangangahulugan ng anumang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng eksaktong isang variable, at ito ay napupunta lamang sa unang antas.

Ang ganitong mga konstruksyon ay nalutas sa humigit-kumulang sa parehong paraan:

1. Una sa lahat, kailangan mong palawakin ang mga panaklong, kung mayroon man (tulad ng sa aming huling halimbawa);
2. Pagkatapos ay pagsamahin ang katulad
3. Panghuli, ihiwalay ang variable, i.e. ilipat ang lahat ng konektado sa variable—ang mga termino kung saan ito nakapaloob—sa isang panig, at ilipat ang lahat ng natitira nang wala nito sa kabilang panig.

Pagkatapos, bilang panuntunan, kailangan mong magdala ng mga katulad sa bawat panig ng nagresultang pagkakapantay-pantay, at pagkatapos nito ang natitira lamang ay hatiin sa koepisyent ng "x", at makukuha natin ang pangwakas na sagot.

Sa teorya, ito ay mukhang maganda at simple, ngunit sa pagsasagawa, kahit na ang mga may karanasang mag-aaral sa high school ay maaaring gumawa ng mga nakakasakit na pagkakamali sa medyo simpleng mga linear na equation. Kadalasan, ang mga error ay ginagawa alinman sa pagbubukas ng mga bracket o kapag kinakalkula ang "mga plus" at "minus".

Bilang karagdagan, nangyayari na ang isang linear equation ay walang mga solusyon sa lahat, o ang solusyon ay ang buong linya ng numero, i.e. anumang numero. Titingnan natin ang mga subtleties na ito sa aralin ngayon. Ngunit magsisimula tayo, gaya ng naunawaan mo na, sa pinaka mga simpleng gawain.

Scheme para sa paglutas ng mga simpleng linear equation

Una, hayaan mo akong isulat muli ang buong scheme para sa paglutas ng pinakasimpleng linear equation:

1. Palawakin ang mga bracket, kung mayroon man.
2. Ihiwalay namin ang mga variable, i.e. Inilipat namin ang lahat ng naglalaman ng "X" sa isang gilid, at lahat ng walang "X" sa kabilang panig.
3. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.
4. Hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent ng "x".

Siyempre, hindi palaging gumagana ang pamamaraang ito;

Paglutas ng mga tunay na halimbawa ng simpleng linear equation

Gawain Blg. 1

Ang unang hakbang ay nangangailangan sa amin upang buksan ang mga bracket. Ngunit wala sila sa halimbawang ito, kaya nilalaktawan namin sila yugtong ito. Sa pangalawang hakbang kailangan nating ihiwalay ang mga variable. Mangyaring tandaan: pinag-uusapan natin tungkol lamang sa mga indibidwal na termino. Isulat natin ito:

Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa kaliwa at kanan, ngunit nagawa na ito dito. Samakatuwid, lumipat tayo sa ika-apat na hakbang: hatiin sa koepisyent:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Kaya nakuha namin ang sagot.

Gawain Blg. 2

Makikita natin ang mga panaklong sa problemang ito, kaya palawakin natin ang mga ito:

Parehong sa kaliwa at sa kanan ay nakikita natin ang humigit-kumulang sa parehong disenyo, ngunit kumilos tayo ayon sa algorithm, i.e. paghihiwalay ng mga variable:

Narito ang ilang katulad:

Sa anong mga ugat ito gumagana? Sagot: para sa alinman. Samakatuwid, maaari nating isulat na ang $x$ ay anumang numero.

Gawain Blg. 3

Ang ikatlong linear equation ay mas kawili-wili:

\[\kaliwa(6-x \kanan)+\kaliwa(12+x \kanan)-\kaliwa(3-2x \kanan)=15\]

Mayroong ilang mga panaklong, ngunit ang mga ito ay hindi pinarami ng anumang bagay, sila ay nauuna lamang iba't ibang palatandaan. Hatiin natin sila:

Ginagawa namin ang pangalawang hakbang na alam na namin:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Gawin natin ang matematika:

Isinasagawa namin ang huling hakbang - hatiin ang lahat sa pamamagitan ng koepisyent ng "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Mga Dapat Tandaan Kapag Nilulutas ang mga Linear Equation

Kung balewalain natin ang napakasimpleng gawain, gusto kong sabihin ang sumusunod:

• Tulad ng sinabi ko sa itaas, hindi lahat ng linear equation ay may solusyon - kung minsan ay walang mga ugat;
• Kahit na may mga ugat, maaaring mayroong zero sa kanila - walang mali doon.

Ang zero ay ang parehong numero tulad ng iba;

Ang isa pang tampok ay nauugnay sa pagbubukas ng mga bracket. Pakitandaan: kapag may "minus" sa harap nila, inaalis namin ito, ngunit sa mga panaklong binabago namin ang mga palatandaan sa kabaligtaran. At pagkatapos ay maaari nating buksan ito gamit ang mga karaniwang algorithm: makukuha natin ang nakita natin sa mga kalkulasyon sa itaas.

Pag-unawa dito simpleng katotohanan ay magbibigay-daan sa iyo upang maiwasan ang paggawa ng mga hangal at nakakasakit na mga pagkakamali sa high school, kapag ang paggawa ng mga naturang aksyon ay kinuha para sa ipinagkaloob.

Paglutas ng mga kumplikadong linear equation

Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga equation. Ngayon ang mga konstruksyon ay magiging mas kumplikado at kapag nagsasagawa ng iba't ibang mga pagbabagong-anyo ay lilitaw ang isang quadratic function. Gayunpaman, hindi tayo dapat matakot dito, dahil kung, ayon sa plano ng may-akda, nilulutas natin ang isang linear na equation, kung gayon sa proseso ng pagbabagong-anyo ang lahat ng monomial na naglalaman ng isang quadratic function ay tiyak na kanselahin.

Halimbawa Blg. 1

Malinaw, ang unang hakbang ay upang buksan ang mga bracket. Gawin natin ito nang maingat:

Ngayon tingnan natin ang privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Narito ang ilang katulad:

Malinaw, ang equation na ito ay walang mga solusyon, kaya isusulat namin ito sa sagot:

\[\varnothing\]

o walang mga ugat.

Halimbawa Blg. 2

Nagsasagawa kami ng parehong mga aksyon. Unang hakbang:

Ilipat natin ang lahat na may variable sa kaliwa, at kung wala ito - sa kanan:

Narito ang ilang katulad:

Malinaw, ang linear equation na ito ay walang solusyon, kaya isusulat namin ito sa ganitong paraan:

\[\varnothing\],

o walang mga ugat.

Nuances ng solusyon

Ang parehong mga equation ay ganap na nalutas. Gamit ang dalawang expression na ito bilang isang halimbawa, muli kaming kumbinsido na kahit na sa pinakasimpleng linear equation, ang lahat ay maaaring hindi gaanong simple: maaaring mayroong alinman sa isa, o wala, o walang katapusang maraming mga ugat. Sa aming kaso, isinasaalang-alang namin ang dalawang equation, parehong walang mga ugat.

Ngunit nais kong iguhit ang iyong pansin sa isa pang katotohanan: kung paano gumawa ng mga panaklong at kung paano buksan ang mga ito kung mayroong isang minus sign sa harap nila. Isaalang-alang ang expression na ito:

Bago buksan, kailangan mong i-multiply ang lahat sa pamamagitan ng "X". Pakitandaan: dumami bawat indibidwal na termino. Sa loob mayroong dalawang termino - ayon sa pagkakabanggit, dalawang termino at pinarami.

At pagkatapos lamang na makumpleto ang mga tila elementarya, ngunit napakahalaga at mapanganib na mga pagbabagong ito, maaari mong buksan ang bracket mula sa punto ng view ng katotohanan na mayroong isang minus sign pagkatapos nito. Oo, oo: ngayon lang, kapag nakumpleto ang mga pagbabago, naaalala namin na mayroong isang minus sign sa harap ng mga bracket, na nangangahulugan na ang lahat sa ibaba ay nagbabago lamang ng mga palatandaan. Kasabay nito, ang mga bracket mismo ay nawawala at, pinaka-mahalaga, ang harap na "minus" ay nawawala din.

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang equation:

Ito ay hindi nagkataon na binibigyang pansin ko ang maliliit, tila hindi gaanong kahalagahan na mga katotohanang ito. Dahil ang paglutas ng mga equation ay palaging isang pagkakasunud-sunod ng mga pagbabagong elementarya, kung saan ang kawalan ng kakayahang malinaw at mahusay na magsagawa ng mga simpleng aksyon ay humahantong sa katotohanan na ang mga mag-aaral sa high school ay lumapit sa akin at muling natutong lutasin ang gayong mga simpleng equation.

Siyempre, darating ang araw na mahahasa mo ang mga kasanayang ito sa punto ng pagiging awtomatiko. Hindi mo na kailangang magsagawa ng napakaraming pagbabago sa bawat oras na isusulat mo ang lahat sa isang linya. Ngunit habang nag-aaral ka pa lang, kailangan mong isulat ang bawat aksyon nang hiwalay.

Paglutas ng mas kumplikadong mga linear equation

Ang lulutasin natin ngayon ay halos hindi matatawag na pinakasimpleng gawain, ngunit ang kahulugan ay nananatiling pareho.

Gawain Blg. 1

\[\kaliwa(7x+1 \kanan)\kaliwa(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]

I-multiply natin ang lahat ng elemento sa unang bahagi:

Gumawa tayo ng ilang privacy:

Narito ang ilang katulad:

Kumpletuhin natin ang huling hakbang:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Narito ang aming huling sagot. At, sa kabila ng katotohanan na sa proseso ng paglutas ay mayroon kaming mga coefficient na may quadratic function, kinansela nila ang isa't isa, na ginagawang linear ang equation at hindi quadratic.

Gawain Blg. 2

\[\kaliwa(1-4x \kanan)\kaliwa(1-3x \kanan)=6x\kaliwa(2x-1 \kanan)\]

Maingat nating gawin ang unang hakbang: i-multiply ang bawat elemento mula sa unang bracket sa bawat elemento mula sa pangalawa. Dapat mayroong kabuuang apat na bagong termino pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo:

Ngayon, maingat nating isagawa ang multiplikasyon sa bawat termino:

Ilipat natin ang mga terminong may "X" sa kaliwa, at ang mga walang - sa kanan:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Narito ang mga katulad na termino:

Muli naming natanggap ang huling sagot.

Nuances ng solusyon

Ang pinakamahalagang tala tungkol sa dalawang equation na ito ay ang mga sumusunod: sa sandaling simulan nating paramihin ang mga bracket na naglalaman ng higit sa isang termino, ito ay ginagawa ayon sa sumusunod na panuntunan: kukunin natin ang unang termino mula sa una at i-multiply sa bawat elemento mula sa ang pangalawa; pagkatapos ay kinuha namin ang pangalawang elemento mula sa una at katulad na dumami sa bawat elemento mula sa pangalawa. Bilang resulta, magkakaroon tayo ng apat na termino.

Tungkol sa algebraic sum

Sa huling halimbawang ito, nais kong ipaalala sa mga mag-aaral kung ano algebraic sum. Sa klasikal na matematika, sa $1-7$ ang ibig naming sabihin simpleng disenyo: ibawas ang pito sa isa. Sa algebra, ibig sabihin namin ang sumusunod sa pamamagitan nito: sa numerong "isa" nagdaragdag kami ng isa pang numero, lalo na "minus pito". Ito ay kung paano naiiba ang isang algebraic sum mula sa isang ordinaryong arithmetic sum.

Sa sandaling, kapag isinasagawa ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, bawat pagdaragdag at pagpaparami, nagsimula kang makakita ng mga konstruksyon na katulad ng mga inilarawan sa itaas, hindi ka na magkakaroon ng anumang mga problema sa algebra kapag nagtatrabaho sa mga polynomial at equation.

Sa wakas, tingnan natin ang ilang higit pang mga halimbawa na magiging mas kumplikado kaysa sa mga nakita natin, at upang malutas ang mga ito kailangan nating bahagyang palawakin ang ating karaniwang algorithm.

Paglutas ng mga equation na may mga fraction

Upang malutas ang mga naturang gawain, kailangan naming magdagdag ng isa pang hakbang sa aming algorithm. Ngunit una, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang aming algorithm:

1. Buksan ang mga bracket.
2. Paghiwalayin ang mga variable.
3. Magdala ng mga katulad.
4. Hatiin sa ratio.

Sa kasamaang palad, ang kahanga-hangang algorithm na ito, para sa lahat ng pagiging epektibo nito, ay lumalabas na hindi ganap na angkop kapag mayroon tayong mga fraction sa harap natin. At sa makikita natin sa ibaba, mayroon tayong fraction sa parehong kaliwa at kanan sa parehong mga equation.

Paano magtrabaho sa kasong ito? Oo, ito ay napaka-simple! Upang gawin ito, kailangan mong magdagdag ng isa pang hakbang sa algorithm, na maaaring gawin bago at pagkatapos ng unang aksyon, ibig sabihin, pag-alis ng mga fraction. Kaya ang algorithm ay magiging tulad ng sumusunod:

1. Alisin ang mga fraction.
2. Buksan ang mga bracket.
3. Paghiwalayin ang mga variable.
4. Magdala ng mga katulad.
5. Hatiin sa ratio.

Ano ang ibig sabihin ng "alisin ang mga fraction"? At bakit ito magagawa pagkatapos at bago ang unang karaniwang hakbang? Sa katunayan, sa aming kaso, ang lahat ng mga fraction ay numerical sa kanilang denominator, i.e. Kahit saan ang denominator ay isang numero lamang. Samakatuwid, kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng equation sa numerong ito, aalisin natin ang mga fraction.

Halimbawa Blg. 1

\[\frac(\kaliwa(2x+1 \kanan)\kaliwa(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]

Alisin natin ang mga fraction sa equation na ito:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Mangyaring tandaan: ang lahat ay pinarami ng "apat" nang isang beses, i.e. dahil lamang sa mayroon kang dalawang panaklong ay hindi nangangahulugang kailangan mong i-multiply ang bawat isa sa "apat." Isulat natin:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ngayon palawakin natin:

Ibinubukod namin ang variable:

Ginagawa namin ang pagbabawas ng mga katulad na termino:

\[-4x=-1\kaliwa| :\kaliwa(-4 \kanan) \kanan.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Natanggap namin ang pangwakas na solusyon, lumipat tayo sa pangalawang equation.

Halimbawa Blg. 2

\[\frac(\kaliwa(1-x \kanan)\kaliwa(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]

Dito ginagawa namin ang lahat ng parehong mga aksyon:

\[\frac(\kaliwa(1-x \kanan)\kaliwa(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Ang problema ay nalutas.

Sa totoo lang, iyon lang ang gusto kong sabihin sa iyo ngayon.

Mga Pangunahing Punto

Ang mga pangunahing natuklasan ay:

• Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga linear equation.
• Kakayahang magbukas ng mga bracket.
• Huwag kang mag-alala kung nakita mo quadratic function, malamang, sa proseso ng mga karagdagang pagbabago ay bababa sila.
• Mayroong tatlong uri ng mga ugat sa mga linear na equation, kahit na ang pinakasimpleng mga: isang solong ugat, ang buong linya ng numero ay isang ugat, at walang mga ugat sa lahat.

Umaasa ako na ang araling ito ay makakatulong sa iyo na makabisado ang isang simple, ngunit napakahalagang paksa para sa karagdagang pag-unawa sa lahat ng matematika. Kung may hindi malinaw, pumunta sa site at lutasin ang mga halimbawang ipinakita doon. Manatiling nakatutok, marami pang kawili-wiling bagay ang naghihintay sa iyo!

Tutulungan ka ng online na serbisyo sa paglutas ng equation na malutas ang anumang equation. Gamit ang aming website, makakatanggap ka hindi lamang ng sagot sa equation, ngunit makikita mo rin ang isang detalyadong solusyon, iyon ay, isang hakbang-hakbang na pagpapakita ng proseso ng pagkuha ng resulta. Ang aming serbisyo ay magiging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya at ang kanilang mga magulang. Ang mga mag-aaral ay makakapaghanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit, masusubok ang kanilang kaalaman, at masusubaybayan ng mga magulang ang solusyon ng mga mathematical equation ng kanilang mga anak. Kakayahang lutasin ang mga equation - ipinag-uutos na kinakailangan sa mga mag-aaral. Tutulungan ka ng serbisyo na turuan ang iyong sarili at pagbutihin ang iyong kaalaman sa larangan ng mga mathematical equation. Sa tulong nito maaari mong lutasin ang anumang equation: quadratic, cubic, irrational, trigonometriko, atbp. Benepisyo online na serbisyo at hindi mabibili ng salapi, dahil bilang karagdagan sa tamang sagot, makakatanggap ka ng isang detalyadong solusyon sa bawat equation. Mga benepisyo ng paglutas ng mga equation online. Maaari mong lutasin ang anumang equation online sa aming website na ganap na libre. Ang serbisyo ay ganap na awtomatiko, hindi mo kailangang mag-install ng anuman sa iyong computer, kailangan mo lamang ipasok ang data at ang programa ay magbibigay sa iyo ng solusyon. Ang anumang mga error sa mga kalkulasyon o typo ay hindi kasama. Sa amin, ang paglutas ng anumang equation online ay napakadali, kaya siguraduhing gamitin ang aming site upang malutas ang anumang uri ng mga equation. Kailangan mo lamang ipasok ang data at ang pagkalkula ay makukumpleto sa loob ng ilang segundo. Ang programa ay gumagana nang nakapag-iisa, nang walang interbensyon ng tao, at makakatanggap ka ng tumpak at detalyadong sagot. Paglutas ng equation sa pangkalahatang pananaw. Sa naturang equation, ang variable coefficients at ang gustong mga ugat ay magkakaugnay. Tinutukoy ng pinakamataas na kapangyarihan ng isang variable ang pagkakasunud-sunod ng naturang equation. Batay dito, para sa paggamit ng mga equation iba't ibang pamamaraan at theorems para sa paghahanap ng mga solusyon. Ang paglutas ng mga equation ng ganitong uri ay nangangahulugan ng paghahanap ng mga kinakailangang ugat sa pangkalahatang anyo. Binibigyang-daan ka ng aming serbisyo na lutasin kahit ang pinakakumplikadong algebraic equation online. Maaari kang makakuha ng parehong pangkalahatang solusyon sa equation at isang partikular para sa mga tinukoy mo mga numerong halaga coefficients Upang malutas ang isang algebraic equation sa website, sapat na upang tama na punan ang dalawang field lamang: ang kaliwa at kanang bahagi ng ibinigay na equation. Ang mga algebraic equation na may variable coefficient ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, at sa pamamagitan ng pagtatakda ng ilang partikular na kundisyon, ang mga partial ay pinili mula sa hanay ng mga solusyon. Quadratic equation. Ang quadratic equation ay may anyo na ax^2+bx+c=0 para sa a>0. Ang paglutas ng mga quadratic equation ay kinabibilangan ng paghahanap ng mga halaga ng x kung saan ang pagkakapantay-pantay na ax^2+bx+c=0 ay hawak. Upang gawin ito, hanapin ang discriminant value gamit ang formula D=b^2-4ac. Kung ang discriminant mas mababa sa zero, kung gayon ang equation ay walang tunay na ugat (ang mga ugat ay mula sa larangan ng kumplikadong mga numero), kung katumbas ng zero, kung gayon ang equation ay may isang tunay na ugat, at kung ang discriminant ay mas malaki sa zero, kung gayon ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula: D= -b+- sqrt/2a. Upang malutas ang isang quadratic equation online, kailangan mo lamang na ilagay ang mga coefficient ng equation (integers, fractions o decimals). Kung mayroong mga palatandaan ng pagbabawas sa isang equation, dapat kang maglagay ng minus sign sa harap ng mga kaukulang termino ng equation. Maaari mong lutasin ang isang quadratic equation online depende sa parameter, iyon ay, ang mga variable sa mga coefficient ng equation. Ang aming online na serbisyo para sa paghahanap pangkalahatang solusyon. Mga linear na equation. Upang malutas ang mga linear na equation (o mga sistema ng equation), apat na pangunahing pamamaraan ang ginagamit sa pagsasanay. Ilalarawan namin nang detalyado ang bawat pamamaraan. Pamamaraan ng pagpapalit. Ang paglutas ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit ay nangangailangan ng pagpapahayag ng isang variable sa mga tuntunin ng iba. Pagkatapos nito, ang expression ay pinapalitan sa iba pang mga equation ng system. Samakatuwid ang pangalan ng paraan ng solusyon, iyon ay, sa halip na isang variable, ang expression nito ay pinapalitan sa pamamagitan ng natitirang mga variable. Sa pagsasagawa, ang pamamaraan ay nangangailangan ng mga kumplikadong kalkulasyon, bagaman ito ay madaling maunawaan, kaya ang paglutas ng naturang equation online ay makakatulong na makatipid ng oras at gawing mas madali ang mga kalkulasyon. Kailangan mo lamang ipahiwatig ang bilang ng mga hindi alam sa equation at punan ang data mula sa mga linear na equation, pagkatapos ay gagawin ng serbisyo ang pagkalkula. Pamamaraan ng Gauss. Ang pamamaraan ay batay sa pinakasimpleng pagbabago ng system upang makarating sa isang katumbas na triangular na sistema. Mula dito, ang mga hindi alam ay tinutukoy ng isa-isa. Sa pagsasagawa, kinakailangan upang malutas ang naturang equation online sa detalyadong paglalarawan, salamat sa kung saan magkakaroon ka ng isang mahusay na pag-unawa sa paraan ng Gaussian para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear equation. Isulat ang sistema ng mga linear equation sa tamang format at isaalang-alang ang bilang ng mga hindi alam upang tumpak na malutas ang system. Pamamaraan ni Cramer. Ang pamamaraang ito ay nalulutas ang mga sistema ng mga equation sa mga kaso kung saan ang sistema ang tanging solusyon. Pangunahing pagpapatakbo ng matematika narito ang pagkalkula ng matrix determinants. Ang paglutas ng mga equation gamit ang paraan ng Cramer ay isinasagawa online, matatanggap mo kaagad ang resulta na may kumpletong at detalyadong paglalarawan. Ito ay sapat lamang upang punan ang system ng mga coefficient at piliin ang bilang ng mga hindi kilalang variable. Paraan ng matrix. Ang pamamaraang ito ay binubuo ng pagkolekta ng mga coefficient ng mga hindi alam sa matrix A, ang mga hindi alam sa column X, at ang mga libreng termino sa column B. Kaya, ang sistema ng mga linear equation ay nababawasan sa isang matrix equation ng anyong AxX = B. Ang equation na ito ay may natatanging solusyon lamang kung ang determinant ng matrix A ay iba sa zero, kung hindi, ang sistema ay walang mga solusyon, o isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang paglutas ng mga equation gamit ang matrix method ay kinabibilangan ng paghahanap baligtad na matris A.

Ang paggamit ng mga equation ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng mga istruktura at maging sa sports. Gumamit ang tao ng mga equation noong sinaunang panahon, at mula noon ay tumaas lamang ang kanilang paggamit. Ang power o exponential equation ay mga equation kung saan ang mga variable ay nasa powers at ang base ay isang numero. Halimbawa:

Ang solusyon sa exponential equation ay bumababa sa 2 medyo mga simpleng aksyon:

1. Kailangan mong suriin kung ang mga base ng equation sa kanan at kaliwa ay pareho. Kung ang mga dahilan ay hindi pareho, naghahanap kami ng mga pagpipilian upang malutas ang halimbawang ito.

2. Matapos maging pareho ang mga base, tinutumbasan namin ang mga degree at nilulutas ang nagresultang bagong equation.

Ipagpalagay na binigyan tayo ng exponential equation ng sumusunod na form:

Ito ay nagkakahalaga ng pagsisimula ng solusyon ng equation na ito sa isang pagsusuri ng batayan. Magkaiba ang mga base - 2 at 4, ngunit upang malutas kailangan natin silang maging pareho, kaya binago natin ang 4 gamit ang sumusunod na formula -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Idinagdag namin sa orihinal na equation:

Alisin natin ito sa mga bracket \

Ipahayag natin \

Dahil ang mga degree ay pareho, itinatapon namin ang mga ito:

Sagot: \

Saan ko malulutas ang isang exponential equation gamit ang isang online solver?

Maaari mong lutasin ang equation sa aming website https://site. Ang libreng online na solver ay magbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga online na equation ng anumang kumplikado sa loob ng ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari ka ring manood ng mga tagubilin sa video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website. At kung mayroon ka pa ring mga katanungan, maaari mong tanungin ang mga ito sa aming VKontakte group http://vk.com/pocketteacher. Sumali sa aming grupo, lagi kaming masaya na tulungan ka.

Online na calculator para sa paghahanap ng mga ugat cubic equation. Ipasok mo ang mga coefficient ng isang cubic equation at makuha ang solusyon nito.

Mga kinakailangan sa browser: Kinakailangan ang suporta sa javascript 1.8.1.

Cubic Equation Roots Calculator

Paglalarawan ng online na calculator

Kinakalkula ng calculator ang mga ugat ng cubic equation:
(1) .
Upang mahanap ang mga ugat ng equation na ito, ipasok ang mga halaga ng mga coefficient A, B, C, D sa mga patlang ng form at i-click ang pindutang "Kalkulahin ang mga ugat". Pagkatapos nito, lalabas sa ibaba ang mga resulta ng pagkalkula. Kung ang mga coefficient ay naipasok nang hindi tama, ang input field ay naka-highlight sa pula at ang mga ugat ay hindi kinakalkula. Iwasto ang naka-highlight na halaga at i-click muli ang pindutang "Kalkulahin ang Mga Roots".

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga numero

Upang maglagay ng numero, ipasok ang sumusunod sa input field:
-6.626e-34
Iyon ay Ang separator sa pagitan ng integer at fractional na bahagi ng isang numero ay isang tuldok.
Ang pagkakasunud-sunod ng numero ay ipinasok pagkatapos Latin na titik e.

Paraan ng pagkalkula

Magkaroon tayo ng cubic equation:
.
Hatiin natin ito sa:
(1) ,
Saan , , . Gumawa tayo ng pagpapalit:
.
Kumuha kami ng hindi kumpletong equation:
(4) ,
saan
(5) ; .
Kinakalkula namin ang determinant:
.

Kung , pagkatapos ay kalkulahin namin ang mga ugat gamit ang formula ng Cardano:
(6) , ,
saan
(7) ; .

Kapag ang mga ugat ay totoo. Kinakalkula namin ang mga ito gamit ang formula ng Vieta:
(9) ;
(10) ;
(11) ,
saan
(12) ; .

Paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Pansin!
May mga karagdagang
materyales sa Espesyal na Seksyon 555.
Para sa mga taong "hindi masyadong..."
At para sa mga “napaka…”)

Anong nangyari exponential equation? Ito ay isang equation kung saan ang mga hindi alam (x) at mga expression na kasama nila ay nasa mga tagapagpahiwatig ilang degree. At doon lang! Ito ay mahalaga.

Eto na mga halimbawa ng exponential equation:

3 x 2 x = 8 x+3

pansinin mo! Sa mga base ng degree (sa ibaba) - mga numero lamang. SA mga tagapagpahiwatig degrees (sa itaas) - isang malawak na iba't ibang mga expression na may X. Kung biglang lumitaw ang isang X sa equation sa isang lugar maliban sa isang indicator, halimbawa:

ito ay magiging isang equation ng halo-halong uri. Ang ganitong mga equation ay walang malinaw na mga panuntunan para sa paglutas ng mga ito. Hindi natin sila isasaalang-alang sa ngayon. Dito natin haharapin paglutas ng mga exponential equation sa pinakadalisay nitong anyo.

Sa katunayan, kahit na ang mga purong exponential equation ay hindi palaging nalutas nang malinaw. Pero meron ilang uri mga exponential equation na maaari at dapat lutasin. Ito ang mga uri na ating isasaalang-alang.

Paglutas ng mga simpleng exponential equation.

Una, lutasin natin ang isang bagay na napakasimple. Halimbawa:

Kahit na walang anumang mga teorya, sa simpleng pagpili ay malinaw na ang x = 2. Wala na, diba!? Walang ibang value ng X ang gumagana. Ngayon tingnan natin ang solusyon sa nakakalito na exponential equation na ito:

Ano ang nagawa natin? Kami, sa katunayan, ay itinapon lamang ang parehong mga base (triple). Ganap na itinapon. At, ang magandang balita ay, natamaan namin ang ulo!

Sa katunayan, kung sa isang exponential equation ay may kaliwa at kanan magkapareho mga numero sa anumang kapangyarihan, ang mga numerong ito ay maaaring alisin at ang mga exponent ay maaaring ipantay. Pinapayagan ng matematika. Ito ay nananatiling upang malutas ang isang mas simpleng equation. Mahusay, tama?)

Gayunpaman, tandaan nating mabuti: Maaari mo lamang tanggalin ang mga base kapag ang mga batayang numero sa kaliwa at kanan ay nasa napakagandang paghihiwalay! Nang walang anumang mga kapitbahay at coefficients. Sabihin natin sa mga equation:

2 x +2 x+1 = 2 3, o

hindi matatanggal ang dalawa!

Buweno, pinagkadalubhasaan namin ang pinakamahalagang bagay. Paano lumipat mula sa masasamang exponential expression patungo sa mas simpleng mga equation.

"Iyon ang mga oras!" - sabi mo. "Sino ang magbibigay ng gayong primitive na aralin sa mga pagsusulit at pagsusulit!?"

Kailangan kong pumayag. Walang sinuman. Ngunit ngayon alam mo na kung saan maglalayon kapag nilulutas ang mga nakakalito na halimbawa. Dapat itong dalhin sa form kung saan ang parehong base number ay nasa kaliwa at kanan. Pagkatapos ang lahat ay magiging mas madali. Sa totoo lang, ito ay isang klasiko ng matematika. Kinukuha namin ang orihinal na halimbawa at binabago ito sa ninanais sa amin isip. Ayon sa mga tuntunin ng matematika, siyempre.

Tingnan natin ang mga halimbawa na nangangailangan ng ilang karagdagang pagsisikap upang bawasan ang mga ito sa pinakasimple. Tawagan natin sila simpleng exponential equation.

Paglutas ng mga simpleng exponential equation. Mga halimbawa.

Kapag nilulutas ang mga exponential equation, ang mga pangunahing panuntunan ay mga aksyon na may mga antas. Kung walang kaalaman sa mga pagkilos na ito, walang gagana.

Sa mga aksyon na may mga antas, ang isa ay dapat magdagdag ng personal na pagmamasid at katalinuhan. Kailangan ba natin ng parehong base number? Kaya hinahanap namin ang mga ito sa halimbawa sa tahasang o naka-encrypt na anyo.

Tingnan natin kung paano ito ginagawa sa pagsasanay?

Bigyan tayo ng isang halimbawa:

2 2x - 8 x+1 = 0

Ang unang matalas na tingin ay sa bakuran. Sila... Iba sila! Dalawa at walo. Ngunit masyado pang maaga para masiraan ng loob. Oras na para tandaan iyon

Ang dalawa at walo ay magkamag-anak sa degree.) Posibleng isulat:

8 x+1 = (2 3) x+1

Kung naaalala natin ang formula mula sa mga operasyon na may mga degree:

(a n) m = a nm ,

ito ay mahusay na gumagana:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Ang orihinal na halimbawa ay nagsimulang magmukhang ganito:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer kami 2 3 (x+1) sa kanan (walang kinansela ang elementarya na operasyon ng matematika!), nakukuha natin:

2 2x = 2 3(x+1)

Halos iyon lang. Pag-alis ng mga base:

Malutas namin ang halimaw na ito at makuha

Ito ang tamang sagot.

Sa halimbawang ito, nakatulong sa amin ang pag-alam sa kapangyarihan ng dalawa. Kami nakilala sa walo ay may naka-encrypt na dalawa. Ang diskarteng ito (pag-encrypt ng mga karaniwang batayan sa ilalim ng magkaibang numero) ay isang napaka-tanyag na pamamaraan sa mga exponential equation! Oo, at sa logarithms din. Kailangan mong makilala ang mga kapangyarihan ng iba pang mga numero sa mga numero. Napakahalaga nito para sa paglutas ng mga exponential equation.

Ang katotohanan ay ang pagtaas ng anumang numero sa anumang kapangyarihan ay hindi isang problema. Paramihin, kahit sa papel, at iyon na. Halimbawa, kahit sino ay maaaring magtaas ng 3 hanggang sa ikalimang kapangyarihan. Gagana ang 243 kung alam mo ang multiplication table.) Ngunit sa mga exponential equation, mas madalas na hindi kinakailangan na itaas sa isang kapangyarihan, ngunit vice versa... Alamin anong numero hanggang sa anong antas ay nakatago sa likod ng numerong 243, o, sabihin nating, 343... Walang calculator ang tutulong sa iyo dito.

Kailangan mong malaman ang kapangyarihan ng ilang numero sa pamamagitan ng paningin, tama... Magsanay tayo?

Tukuyin kung anong mga kapangyarihan at kung anong mga numero ang mga numero:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Mga sagot (sa gulo, siyempre!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kung titingnan mong mabuti ay makikita mo kakaibang katotohanan. Mayroong higit pang mga sagot kaysa sa mga gawain! Well, nangyayari ito... Halimbawa, 2 6, 4 3, 8 2 - 64 lang iyon.

Ipagpalagay natin na itinala mo ang impormasyon tungkol sa pagiging pamilyar sa mga numero.) Ipaalala ko rin sa iyo na para malutas ang mga exponential equation ay ginagamit namin lahat stock kaalaman sa matematika. Kabilang ang mga mula sa junior at middle class. Hindi ka dumiretso sa high school, tama?)

Halimbawa, kapag nilulutas ang mga exponential equation, kadalasang nakakatulong ang paglalagay ng common factor sa mga bracket (hello to 7th grade!). Tingnan natin ang isang halimbawa:

3 2x+4 -11 9 x = 210

At muli, ang unang sulyap ay sa mga pundasyon! Magkaiba ang base ng mga degree... Tatlo at siyam. Ngunit gusto naming maging pareho sila. Well, sa kasong ito ang pagnanais ay ganap na natupad!) Dahil:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Gamit ang parehong mga patakaran para sa pagharap sa mga degree:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Iyan ay mahusay, maaari mong isulat ito:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nagbigay kami ng isang halimbawa para sa parehong mga kadahilanan. At ano ang susunod!? Hindi mo maitatapon ang tatlo... Dead end?

Hindi naman. Alalahanin ang pinaka-unibersal at makapangyarihang tuntunin sa pagpapasya lahat mga gawain sa matematika:

Kung hindi mo alam kung ano ang kailangan mo, gawin mo ang iyong makakaya!

Tingnan mo, gagana ang lahat).

Ano ang nasa exponential equation na ito Pwede gawin? Oo, sa kaliwang bahagi ito ay nagmamakaawa lamang na alisin sa mga bracket! Ang pangkalahatang multiplier ng 3 2x ay malinaw na nagpapahiwatig nito. Subukan natin, at pagkatapos ay makikita natin:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Ang halimbawa ay patuloy na nagiging mas mahusay at mas mahusay!

Naaalala namin na upang maalis ang mga batayan kailangan namin ng isang purong antas, nang walang anumang mga coefficient. Ang numero 70 ay bumabagabag sa amin. Kaya hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 70, nakukuha namin:

Oops! Ang lahat ay naging mas mahusay!

Ito ang huling sagot.

Ito ay nangyayari, gayunpaman, na ang pag-taxi sa parehong batayan ay nakakamit, ngunit ang kanilang pag-aalis ay hindi posible. Nangyayari ito sa iba pang uri ng mga exponential equation. Kabisaduhin natin ang ganitong uri.

Pagpapalit ng variable sa paglutas ng mga exponential equation. Mga halimbawa.

Lutasin natin ang equation:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Una - gaya ng dati. Lumipat tayo sa isang base. Sa isang deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Nakukuha namin ang equation:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

At dito kami tumatambay. Ang mga nakaraang pamamaraan ay hindi gagana, gaano man ka tumingin dito. Kakailanganin nating maglabas ng isa pang makapangyarihan at unibersal na paraan mula sa ating arsenal. Ito ay tinatawag variable na kapalit.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakakagulat na simple. Sa halip na isang kumplikadong icon (sa aming kaso - 2 x) sumulat kami ng isa pa, mas simple (halimbawa - t). Ang gayong tila walang kahulugan na kapalit ay humahantong sa mga kamangha-manghang resulta!) Ang lahat ay nagiging malinaw at naiintindihan!

Kaya hayaan

Pagkatapos 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Sa aming equation pinapalitan namin ang lahat ng kapangyarihan ng x's ng t:

Buweno, nagising ka na ba?) Quadratic equation Nakalimutan mo na ba? Paglutas sa pamamagitan ng discriminant, nakukuha natin ang:

Ang pangunahing bagay dito ay hindi huminto, tulad ng nangyayari... Hindi pa ito ang sagot, kailangan natin ng x, hindi t. Balik tayo sa X's, i.e. gumagawa kami ng reverse replacement. Una para sa t 1:

Samakatuwid,

Isang ugat ang natagpuan. Hinahanap namin ang pangalawa mula sa t 2:

Hm... 2 x sa kaliwa, 1 sa kanan... Problema? Hindi naman! Sapat na tandaan (mula sa mga operasyong may kapangyarihan, oo...) na ang isang yunit ay anuman numero sa zero na kapangyarihan. Anuman. Anuman ang kailangan, i-install namin ito. Kailangan natin ng dalawa. Ibig sabihin:

Ayan na ngayon. Mayroon kaming 2 ugat:

Ito ang sagot.

Sa paglutas ng mga exponential equation sa dulo minsan nauuwi ka sa isang uri ng awkward na ekspresyon. Uri:

Ang pito ay hindi maaaring gawing dalawa sa pamamagitan ng isang simpleng kapangyarihan. Hindi sila kamag-anak... Paano tayo? Maaaring may nalilito... Ngunit ang taong nagbasa sa site na ito ng paksang "Ano ang logarithm?" , ngumiti lang ng tipid at magsulat na may matatag na kamay ganap na tamang sagot:

Hindi maaaring magkaroon ng ganoong sagot sa mga gawain na "B" sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado. Mayroong isang tiyak na numero ay kinakailangan. Ngunit sa mga gawaing "C" ito ay madali.

Ang araling ito ay nagbibigay ng mga halimbawa ng paglutas ng mga pinakakaraniwang exponential equation. I-highlight natin ang mga pangunahing punto.

Praktikal na payo:

1. Una sa lahat, tinitingnan natin bakuran digri. Iniisip namin kung posible bang gawin ang mga ito magkapareho. Subukan nating gawin ito sa pamamagitan ng aktibong paggamit mga aksyon na may mga antas. Huwag kalimutan na ang mga numerong walang x ay maaari ding ma-convert sa powers!

2. Sinusubukan naming dalhin ang exponential equation sa anyo kapag sa kaliwa at sa kanan ay mayroong magkapareho mga numero sa anumang kapangyarihan. Ginagamit namin mga aksyon na may mga antas At factorization. Kung ano ang mabibilang sa mga numero, binibilang natin.

3. Kung hindi gumana ang pangalawang tip, subukang gumamit ng variable replacement. Ang resulta ay maaaring isang equation na madaling malutas. Kadalasan - parisukat. O fractional, na binabawasan din sa parisukat.

4. Upang matagumpay na malutas ang mga exponential equation, kailangan mong malaman ang mga kapangyarihan ng ilang mga numero sa pamamagitan ng paningin.

Gaya ng nakasanayan, sa pagtatapos ng aralin ay inaanyayahan kang magdesisyon nang kaunti.) Mag-isa. Mula sa simple hanggang sa kumplikado.

Lutasin ang mga exponential equation:

Mas mahirap:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

Hanapin ang produkto ng mga ugat:

2 3's + 2 x = 9

gumana ba?

Well, pagkatapos ay isang napaka-komplikadong halimbawa (bagaman ito ay malulutas sa isip...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Ano ang mas kawili-wili? At narito ang isang masamang halimbawa para sa iyo. Medyo nakatutukso para sa tumaas na kahirapan. Hayaan akong magpahiwatig na sa halimbawang ito, ang nagliligtas sa iyo ay ang katalinuhan at ang pinaka-unibersal na panuntunan para sa paglutas ng lahat ng mga problema sa matematika.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Isang mas simpleng halimbawa, para sa pagpapahinga):

9 2 x - 4 3 x = 0

At para sa dessert. Hanapin ang kabuuan ng mga ugat ng equation:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oo, oo! Ito ay isang mixed type equation! Na hindi natin isinaalang-alang sa araling ito. Bakit isaalang-alang ang mga ito, kailangan nilang malutas!) Ang araling ito ay sapat na upang malutas ang equation. Well, kailangan mo ng talino sa paglikha... At nawa'y matulungan ka ng ikapitong baitang (ito ay isang pahiwatig!).

Mga sagot (magulo, pinaghihiwalay ng mga semicolon):

1; 2; 3; 4; walang mga solusyon; 2; -2; -5; 4; 0.

Ang lahat ba ay matagumpay? Mahusay.

Anumang problema? Walang tanong! Ang Espesyal na Seksyon 555 ay nilulutas ang lahat ng mga exponential equation na may mga detalyadong paliwanag. Ano, bakit, at bakit. At, siyempre, mayroong karagdagang mahalagang impormasyon sa pagtatrabaho sa lahat ng uri ng mga exponential equation. Hindi lang ang mga ito.)

Isang huling nakakatuwang tanong na dapat isaalang-alang. Sa araling ito nagtrabaho kami sa mga exponential equation. Bakit hindi ako nag salita tungkol sa ODZ dito? Sa mga equation, ito ay isang napakahalagang bagay, sa pamamagitan ng paraan ...

Kung gusto mo ang site na ito...

Siyanga pala, mayroon akong ilang mas kawili-wiling mga site para sa iyo.)

Maaari kang magsanay sa paglutas ng mga halimbawa at alamin ang iyong antas. Pagsubok na may agarang pag-verify. Matuto tayo - nang may interes!)

Maaari kang maging pamilyar sa mga function at derivatives.