Makipagtulungan tayo quadratic equation... Ang mga ito ay napaka-tanyag na mga equation! Sa napaka pangkalahatang pananaw ganito ang hitsura ng quadratic equation:

Halimbawa:

Dito a =1; b = 3; c = -4

Dito a =2; b = -0,5; c = 2,2

Dito a =-3; b = 6; c = -18

Sa gayon, nakuha mo ang ideya ...

Paano malutas ang mga quadratic equation? Kung mayroon kang isang quadratic equation sa form na ito, pagkatapos ang lahat ay simple na. Tandaan magic word nagtatangi ... Isang bihirang mag-aaral sa high school ang hindi nakarinig ng salitang ito! Ang pariralang "pagpapasya sa pamamagitan ng diskriminasyon" ay nakasisiguro at nakakatiyak. Dahil hindi na kailangang maghintay para sa maruming mga trick mula sa diskriminante! Ito ay simple at walang problema upang magamit. Kaya, ang pormula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation ay ganito:

Ang expression sa ilalim ng root sign ay pareho nagtatangi... Tulad ng nakikita mo, upang makahanap ng x, ginagamit namin a, b at c lamang... Yung. mga coefficients mula sa quadratic equation. Maingat lamang na palitan ang mga halaga a, b at c sa pormulang ito at bilangin. Kapalit sa iyong mga palatandaan! Halimbawa, para sa unang equation a =1; b = 3; c \u003d -4. Kaya't isinusulat namin:

Halos malulutas ang halimbawa:

Yun lang

Anong mga kaso ang posible kapag ginagamit ang formula na ito? Tatlo lang ang kaso.

1. Ang taong nagtatangi ay positibo. Nangangahulugan ito na maaari mong makuha ang ugat mula rito. Mahusay na ugat ay nakuha, o masama - isa pang tanong. Mahalaga kung ano ang nakuha sa prinsipyo. Pagkatapos ang iyong quadratic equation ay may dalawang mga ugat. Dalawang magkakaibang solusyon.

2. Ang diskriminante ay zero. Pagkatapos mayroon kang isang solusyon. Mahigpit na pagsasalita, ito ay hindi isang ugat, ngunit dalawang magkatulad... Ngunit may papel ito sa mga hindi pagkakapantay-pantay, doon pag-aaralan natin ang isyu nang mas detalyado.

3. Ang diskriminante ay negatibo. Ng negatibong numero pang-ugat na ugat hindi nakuha. Ayos lang Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Napakadali ng lahat. At ano sa palagay mo na hindi ka maaaring magkamali? Sa gayon, oo, paano ...
Ang pinakakaraniwang mga pagkakamali ay ang pagkalito na may kahulugan na mga palatandaan. a, b at c... Sa halip, hindi sa kanilang mga palatandaan (kung saan malito?), Ngunit sa pagpapalit ng mga negatibong halaga sa pormula para sa pagkalkula ng mga ugat. Dito, nakakatipid ang isang detalyadong notasyon ng formula na may mga tukoy na numero. Kung may mga problema sa computational, gawin mo!

Ipagpalagay na kailangan mong malutas ang halimbawang ito:

Dito a \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1

Sabihin nating alam mo na bihira kang makakuha ng mga sagot sa unang pagkakataon.

Well, huwag maging tamad. Aabutin ng 30 segundo upang magsulat ng isang labis na linya. At ang bilang ng mga error mahigpit na babawasan... Kaya't nagsusulat kami nang detalyado, kasama ang lahat ng mga braket at palatandaan:

Tila hindi kapani-paniwalang mahirap ipinta nang maingat. Pero parang ganun lang. Subukan mo. Kaya, o pumili. Alin ang mas mahusay, mabilis, o tama? Tsaka papasayahin kita. Makalipas ang ilang sandali, hindi na kailangang maipinta nang mabuti ang lahat. Ito ay gagana nang tama. Lalo na kung gumamit ka praktikal na mga diskarte, na inilalarawan sa ibaba. Ang masamang halimbawa na ito na may isang bungkos ng mga minus ay malulutas nang madali at walang mga pagkakamali!

Kaya, kung paano malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng diskriminante, naalala namin. O natutunan, na mabuti rin. Alam kung paano makilala nang wasto a, b at c... Alam mo kung paano maingat kapalit ang mga ito sa root formula at maingat basahin ang resulta. Nakuha mo ang ideya na ang susi ng salita dito ay maingat?

Gayunpaman, ang mga quadratic equation ay madalas na mukhang bahagyang naiiba. Halimbawa, tulad nito:

ito hindi kumpletong mga quadratic equation ... Maaari din silang malutas sa pamamagitan ng diskriminasyon. Kailangan mo lamang malaman nang tama kung ano ang pantay dito a, b at c.

Napagtanto mo na ba? Sa unang halimbawa a \u003d 1; b \u003d -4; a c? Wala naman siya doon! Sa gayon, oo, tama iyan. Sa matematika, nangangahulugan ito na c \u003d 0 ! Yun lang Kapalit ng zero sa pormula sa halip c, at magtatagumpay tayo. Ang pareho ay sa pangalawang halimbawa. Zero lang meron tayo dito wala mula sa, a b !

Ngunit ang hindi kumpletong mga quadratic equation ay malulutas nang mas madali. Nang walang anumang diskriminasyon. Isaalang-alang ang unang hindi kumpletong equation. Ano ang maaari mong gawin doon sa kaliwang bahagi? Maaari mong ilagay ang x sa labas ng mga braket! Ilabas natin ito.

At ano ito? At ang katotohanang ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung ang anuman sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero! Huwag kang maniwala? Kaya, pagkatapos ay mag-isip ng dalawang mga di-zero na numero na, kapag pinarami, ay magbibigay ng zero!
Hindi gumagana? Ayan yun ...
Samakatuwid, maaari nating kumpiyansa na magsulat: x \u003d 0, o x \u003d 4

Lahat Ito ang magiging ugat ng aming equation. Parehong magkasya. Kapag pinapalitan ang anuman sa mga ito sa orihinal na equation, nakukuha namin ang tamang pagkakakilanlan 0 \u003d 0. Tulad ng nakikita mo, ang solusyon ay mas simple kaysa sa pamamagitan ng diskriminasyon.

Ang pangalawang equation ay maaari ring malutas nang simple. Ilipat ang 9 sa kanang bahagi. Nakukuha namin:

Ito ay mananatili upang makuha ang ugat mula sa 9, at iyon lang. Iyon pala:

Dalawang ugat din ... x \u003d +3 at x \u003d -3.

Ito ay kung paano malulutas ang lahat ng hindi kumpletong mga quadratic equation. Alinman sa pamamagitan ng pag-bracket ng x, o simpleng paglipat mga numero sa kanan, na sinusundan ng pagkuha ng root.
Napakahirap malito ang mga diskarteng ito. Dahil lamang sa unang kaso kakailanganin mong kunin ang ugat mula sa x, na kung saan ay hindi maintindihan, at sa pangalawang kaso ay walang mailalagay sa mga braket ...

Sa ngayon, pansinin ang mga pinakamahusay na kasanayan na dramatikong makakabawas ng mga pagkakamali. Ang mga mismong sanhi ng kawalang-ingat ... Kung saan pagkatapos ay masakit at insulto ...

Unang pagtanggap... Huwag maging tamad na dalhin ito sa karaniwang form bago malutas ang quadratic equation. Ano ang ibig sabihin nito?
Sabihin nating, pagkatapos ng anumang mga pagbabago, nakuha mo ang sumusunod na equation:

Huwag magmadali upang isulat ang root formula! Halos tiyak na ihahalo mo ang mga posibilidad. a, b at c. Buuin nang tama ang halimbawa. Una, ang X ay parisukat, pagkatapos ay walang parisukat, pagkatapos ay ang libreng kasapi. Ganito:

Muli, huwag magmadali! Ang minus sa harap ng x sa parisukat ay maaaring malungkot ka talaga. Madaling kalimutan ito ... Tanggalin ang minus. Paano? Oo, tulad ng itinuro sa nakaraang paksa! Kailangan mong i-multiply ang buong equation ng -1. Nakukuha namin:

Ngunit ngayon maaari mong ligtas na isulat ang formula para sa mga ugat, kalkulahin ang diskriminante at kumpletuhin ang halimbawa. Gawin mo mag-isa. Dapat kang magkaroon ng mga ugat 2 at -1.

Pangalawa ng pagtanggap. Suriin ang mga ugat! Sa teorama ni Vieta. Huwag maalarma, ipapaliwanag ko ang lahat! Pagsisiyasat huling bagay ang equation. Yung. ang isa kung saan isinulat namin ang formula para sa mga ugat. Kung (tulad ng sa halimbawang ito) ang koepisyent a \u003d 1, madali ang pagsuri sa mga ugat. Ito ay sapat na upang i-multiply ang mga ito. Dapat kang makakuha ng isang libreng kasapi, i. sa aming kaso -2. Magbayad ng pansin, hindi 2, ngunit -2! Libreng kasapi kasama ang aking karatula ... Kung hindi ito gumana, pagkatapos ito ay naka-screwed up sa kung saan. Hanapin ang error. Kung gagana ito, kailangan mong tiklop ang mga ugat. Ang huli at huling pagsusuri. Dapat kang makakuha ng isang coefficient b mula sa kabaliktaran pamilyar Sa aming kaso, -1 + 2 \u003d +1. At ang koepisyent bna bago ang x ay -1. Kaya, lahat ay tama!
Ito ay isang awa na ito ay napakasimple lamang para sa mga halimbawa kung saan ang x square ay puro, na may isang coefficient a \u003d 1. Ngunit hindi bababa sa suriin ang mga naturang equation! Lahat mas kaunting pagkakamali magiging.

Pangatlo ang pagtanggap... Kung ang iyong equation ay naglalaman ng mga fragment coefficients, tanggalin ang mga praksyon! I-multiply ang equation ng karaniwang denominatortulad ng inilarawan sa nakaraang seksyon. Kapag nagtatrabaho sa mga praksiyon, sa ilang kadahilanan, ang mga error ay may posibilidad na mag-pop sa ...

Sa pamamagitan ng paraan, ipinangako ko na gawing simple ang masamang halimbawa sa isang bungkos ng kahinaan. Walang anuman! Eto na siya.

Upang hindi malito sa mga minus, pinarami namin ang equation ng -1. Nakukuha namin:

Yun lang! Ito ay isang kasiyahan upang magpasya!

Kaya, upang ibuod ang paksa.

Praktikal na payo:

1. Bago malutas, dinadala namin ang quadratic equation sa karaniwang form, itayo ito tama.

2. Kung mayroong isang negatibong koepisyent sa harap ng x sa parisukat, tinatanggal namin ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation ng -1.

3. Kung ang mga coefficients ay praksyonal, tinatanggal namin ang mga praksyon sa pamamagitan ng pagpaparami ng buong equation ng naaangkop na kadahilanan.

4. Kung ang x square ay puro, ang coefficient dito ay katumbas ng isa, ang solusyon ay madaling masuri ng teorama ni Vieta. Gawin mo!

Fractional equation. ODZ.

Patuloy kaming master ang mga equation. Alam na namin kung paano magtrabaho kasama ang mga linear at quadratic equation. Ang huling hitsura ay nananatili - mga equation na praksyonal... O tinawag din silang mas matibay - praksyonal makatuwiran na mga equation ... Ito ay pareho.

Fractional equation.

Tulad ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang mga praksyon ay laging naroroon sa mga equation na ito. Ngunit hindi lamang mga praksyon, ngunit mga praksyon na mayroon hindi alam sa denominator... Kahit isa. Halimbawa:

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na kung ang mga denominator ay naglalaman lamang numero, ito ang mga linear equation.

Paano malutas mga equation na praksyonal? Una sa lahat, tanggalin ang mga praksyon! Pagkatapos nito, ang equation, madalas, ay nagiging isang linear o square. At pagkatapos ay alam natin kung ano ang gagawin ... Sa ilang mga kaso maaari itong maging isang pagkakakilanlan, tulad ng 5 \u003d 5 o isang maling expression, tulad ng 7 \u003d 2. Ngunit bihira itong mangyari. Babanggitin ko ito sa ibaba.

Ngunit kung paano mapupuksa ang mga praksyon!? Napakasimple. Paglalapat ng lahat ng parehong magkaparehong mga pagbabago.

Kailangan naming paramihin ang buong equation ng parehong expression. Kaya't lahat ng denominator ay nabawasan! Ang lahat ay magiging madali nang sabay-sabay. Hayaan mong ipaliwanag ko sa isang halimbawa. Ipagpalagay kailangan nating malutas ang equation:

Tulad ng itinuro sa mas mababang mga marka? Inililipat namin ang lahat sa isang direksyon, dinadala sa isang karaniwang denominator, atbp. Kalimutan ito tulad ng isang masamang panaginip! Dapat itong gawin kapag nagdagdag ka o nagbabawas ng mga praksyonal na ekspresyon. O nagtatrabaho sa mga hindi pagkakapantay-pantay. At sa mga equation, agad naming pinarami ang magkabilang panig sa pamamagitan ng isang expression na magbibigay sa amin ng pagkakataong mabawasan ang lahat ng mga denominator (ibig sabihin, sa kakanyahan, ng isang karaniwang denominator). At ano ang expression na ito?

Sa kaliwa, dumarami ng x + 2 ... At sa kanan ay nangangailangan ng pagpaparami ng 2. Samakatuwid, ang equation ay dapat na multiply ng 2 (x + 2)... Dumami kami:

Ito ang karaniwang pagpaparami ng mga praksiyon, ngunit isusulat ko ito nang detalyado:

Tandaan, hindi ko pa pinapalawak ang panaklong (x + 2)! Kaya, sa kabuuan, isinulat ko ito:

Sa kaliwang bahagi nabawasan ito ng buo (x + 2), at sa kanan 2. Alin ang kinakailangan! Pagkatapos ng pagbawas, nakukuha natin guhit-guhit ang equation:

At malulutas ng lahat ang equation na ito! x \u003d 2.

Malutas natin ang isa pang halimbawa, medyo mas kumplikado:

Kung naaalala natin na 3 \u003d 3/1, at 2x \u003d 2x /1, maaari kang sumulat:

At muli tinatanggal natin ang hindi natin talaga gusto - mga praksyon.

Nakita namin na upang kanselahin ang denominator sa x, kailangan mong i-multiply ang maliit na bahagi sa pamamagitan ng (x - 2)... Ang ilan ay hindi hadlang sa amin. Kaya, dumami kami. Ang kabuuan kaliwang bahagi at ang kabuuan kanang bahagi:

Muli mga braket (x - 2) Hindi ko isiwalat. Nagtatrabaho ako sa bracket bilang isang kabuuan, na parang isang numero ito! Ito ay dapat palaging gawin, kung hindi man ay walang mababawasan.

Sa isang pakiramdam ng malalim na kasiyahan ay pinutol namin (x - 2) at nakukuha namin ang equation nang walang anumang mga praksiyon, sa isang pinuno!

At ngayon binubuksan namin ang mga braket:

Nagbibigay kami ng mga katulad nito, ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi at makuha ang:

Ang klasikal na quadratic equation. Ngunit ang minus sa unahan ay hindi maganda. Palagi mong matatanggal ito, sa pamamagitan ng pag-multiply o paghahati ng -1. Ngunit kung titingnan mo nang mabuti ang halimbawa, mapapansin mo na pinakamahusay na hatiin ang equation na ito ng -2! Sa isang pag-upo, mawawala ang minus, at magiging mas maganda ang logro! Hatiin sa -2. Sa kaliwa - term sa pamamagitan ng term, at sa kanan - hatiin lamang ang zero sa pamamagitan ng -2, zero at makuha ang:

Malulutas namin sa pamamagitan ng diskriminasyon at suriin ng teorama ni Vieta. Nakukuha natin x \u003d 1 at x \u003d 3... Dalawang ugat.

Tulad ng nakikita mo, sa unang kaso, ang equation pagkatapos ng pagbabago ay naging linear, ngunit narito ito parisukat. Nangyayari na pagkatapos mapupuksa ang mga praksyon, lahat ng xes ay nabawasan. Nanatili sa isang bagay tulad ng 5 \u003d 5. Ibig sabihin nito ay x maaaring maging anumang... Kung ano man ito, mamamaliit pa rin ito. At nakukuha mo ang matapat na katotohanan, 5 \u003d 5. Ngunit, pagkatapos na mapupuksa ang mga praksiyon, maaari itong maging ganap na hindi totoo, tulad ng 2 \u003d 7. Nangangahulugan ito na walang solusyon! Sa anumang x, lumalabas na hindi totoo.

Napagtanto ang pangunahing solusyon mga equation na praksyonal ? Ito ay simple at lohikal. Binabago namin ang orihinal na expression upang ang anumang hindi namin gusto ay mawala. O nakakagambala. Sa kasong ito, ito ay mga praksyon. Gagawin namin ang pareho sa lahat ng uri ng mga kumplikadong halimbawa sa logarithms, sines at iba pang mga pangilabot. kami naman palagi tatanggalin natin lahat ng ito.

Gayunpaman, kailangan nating baguhin ang orihinal na expression sa direksyon na kailangan namin alinsunod sa mga patakaran, oo ... Mastering alin ang paghahanda para sa pagsusulit sa matematika. Kaya pinangangasiwaan namin ito.

Ngayon matututunan natin kung paano i-bypass ang isa sa pangunahing mga ambus sa pagsusulit! Ngunit una, tingnan natin kung nakapasok ka dito, o hindi?

Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa:

Pamilyar na ang usapin, pinarami namin ang parehong bahagi (x - 2), nakukuha namin:

Ipinaaalala ko sa iyo, na may mga braket (x - 2) nagtatrabaho kami bilang isang buong expression!

Dito hindi na ako nagsulat ng 1 sa mga denominator, ito ay walang kadahilanan ... At hindi ako gumuhit ng mga braket sa mga denominator, maliban sa x - 2 walang anuman, hindi mo kailangang gumuhit. Pagbabawas:

Binubuksan namin ang mga braket, ilipat ang lahat sa kaliwa, bigyan ang mga katulad nito:

Nalulutas namin, sinusuri namin, nakakakuha kami ng dalawang mga ugat. x \u003d 2 at x \u003d 3... Ayos lang

Ipagpalagay na sinasabi ng gawain na isulat ang ugat, o ang kanilang kabuuan, kung mayroong higit sa isang ugat. Ano ang isusulat natin?

Kung magpapasya ka na ang sagot ay 5, ikaw ay tinambang... At ang gawain ay hindi mabibilang para sa iyo. Nagtrabaho nang walang kabuluhan ... Tamang sagot 3.

Anong problema?! At sinubukan mong gumawa ng isang tseke. Palitan ang mga halagang hindi alam sa orihinal halimbawa At kung sa x \u003d 3 ang lahat ay tutubo na kamangha-mangha sa atin, nakukuha natin ang 9 \u003d 9, pagkatapos ay kasama x \u003d 2 dibisyon sa pamamagitan ng zero! Ano ang hindi magagawa sa kategorya. Ibig sabihin x \u003d 2 ay hindi isang solusyon, at hindi isinasaalang-alang sa sagot. Ito ang tinatawag na extraneous o sobrang ugat. Ihuhulog lang namin ito. Ang pangwakas na ugat ay iisa. x \u003d 3.

Paano kaya?! - Naririnig ko ang galit na mga bulalas. Tinuruan kami na ang isang equation ay maaaring maparami ng isang expression! Ito ay isang magkaparehong pagbabago!

Oo, magkapareho Na may isang maliit na kondisyon - ang ekspresyon kung saan dumami kami (hatiin) - nonzero... A x - 2 sa x \u003d 2 ay katumbas ng zero! Kaya't ang lahat ay patas.

At ngayon ano ang magagawa ko ?! Huwag magparami sa pagpapahayag? Kailangan mo bang suriin tuwing oras? Muli hindi ito malinaw!

Kumalma ka! Wag ka mag panic!

Sa mahirap na sitwasyong ito, tatlong mga titik ng mahika ang magliligtas sa atin. Alam ko kung ano ang iniisip mo. Tama! ito ODZ ... Saklaw ng Pinapayagan na Mga Halaga.

Alam na ito ay isang partikular na bersyon ng pagkakapantay-pantay ng palakol 2 + bx + c \u003d o, kung saan ang a, b at c ay tunay na mga koepisyent para sa isang hindi kilalang x, at kung saan ang isang ≠ o, at b at c ay magiging mga zero - sabay o magkahiwalay. Halimbawa, c \u003d o, sa ≠ o o kabaligtaran. Halos naalala namin ang kahulugan ng isang quadratic equation.

Ang pangalawang degree na trinomial ay zero. Ang unang koepisyent na isang ≠ o, b at c ay maaaring tumagal ng anumang mga halaga. Ang halaga ng variable x ay magiging kapag, sa pagpapalit, ginagawa itong isang tunay na pagkakapantay-pantay sa bilang. Manatili tayo sa tunay na mga ugat, bagaman ang mga solusyon sa equation ay maaaring maging at Kumpleto ay karaniwang tinatawag na isang equation kung saan wala sa mga coefficients ang katumbas ng o, ngunit ≠ o, sa ≠ o, na may ≠ o.
Malutas natin ang isang halimbawa. 2x 2 -9x-5 \u003d oh, nakita namin
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
Ang D ay positibo, kaya may mga ugat, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5, at ang pangalawang x 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -o, 5. Makakatulong ang pagsuri na matiyak na tama ang mga ito.

Narito ang isang sunud-sunod na solusyon sa isang quadratic equation

Sa pamamagitan ng diskriminasyon, maaari mong malutas ang anumang equation sa kaliwang bahagi na kung saan ay ang kilalang quadratic trinomial para sa isang ≠ o. Sa aming halimbawa. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + bx + c \u003d o)

Isaalang-alang kung ano ang hindi kumpletong mga equation ng pangalawang degree

1. palakol 2 + sa \u003d o. Ang libreng term, ang coefficient c sa x 0, ay narito katumbas ng zero, sa ≠ o.
   Paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation ng ganitong uri? Ilipat x palabas ng panaklong. Tandaan kung kailan ang produkto ng dalawang salik ay zero.
   x (ax + b) \u003d o, maaaring ito ay kapag x \u003d o o kapag ax + b \u003d o.
   Paglutas ng ika-2 mayroon kaming x \u003d -v / a.
   Bilang isang resulta, mayroon kaming mga ugat x 1 \u003d 0, ayon sa mga kalkulasyon x 2 \u003d -b / a.
2. Ngayon ang koepisyent sa x ay katumbas ng o, at c ay hindi katumbas ng (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Paglilipat ng с sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, nakukuha namin ang x 2 \u003d -с. Ang equation na ito ay may mga tunay na ugat lamang kapag -c positibong numero (na may ‹o),
   Pagkatapos ang x 1 ay katumbas ng √ (-c), ayon sa pagkakabanggit x 2 - -√ (-c). Kung hindi man, ang equation ay walang mga ugat sa lahat.
3. Ang huling pagpipilian: b \u003d c \u003d o, iyon ay, palakol 2 \u003d o. Naturally, ang isang simpleng equation ay may isang ugat, x \u003d o.

Mga espesyal na kaso

Isinasaalang-alang namin kung paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation, at ngayon ay kukuha kami ng anumang mga uri.

• Sa isang buong quadratic equation, ang pangalawang coefficient sa x ay isang pantay na numero.
  Hayaan ang k \u003d o, 5b. Mayroon kaming mga formula para sa pagkalkula ng diskriminasyon at mga ugat.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, ang mga ugat ay kinakalkula bilang x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a para sa D ›o.
  x \u003d -k / a kapag D \u003d o.
  Walang mga ugat sa D ‹o.
• Mayroong binibigyan ng mga quadratic equation, kung ang coefficient sa x square ay 1, kaugalian na isulat ang mga ito x 2 + px + q \u003d o. Ang lahat ng mga formula sa itaas ay nalalapat sa kanila, ang mga kalkulasyon ay medyo mas simple.
  Halimbawa, x 2 -4x-9 \u003d 0. Kalkulahin ang D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• Bilang karagdagan, madaling mag-apply sa mga ibinigay. Sinasabi nito na ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay -p, ang pangalawang koepisyent na may isang minus (ibig sabihin kabaligtaran na palatandaan), at ang produkto ng parehong mga ugat ay magiging katumbas ng q, ang libreng term. Suriin kung gaano kadali na matukoy nang pasalita ang mga ugat ng equation na ito. Para sa mga hindi nabawasan (na may lahat ng mga coefficients na hindi katumbas ng zero) ang teorama na ito ay nalalapat tulad ng sumusunod: ang kabuuan x 1 + x 2 ay katumbas ng -v / a, ang produkto x 1 x 2 ay katumbas ng c / a.

Ang kabuuan ng intercept c at ang unang coefficient a ay katumbas ng coefficient b. Sa sitwasyong ito, ang equation ay mayroong kahit isang ugat (madaling mapatunayan), ang una ay kinakailangang katumbas ng -1, at ang pangalawang -c / a, kung mayroon ito. Paano malutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation, maaari mo itong suriin mismo. Kasing dali ng pie. Ang mga coefficients ay maaaring nasa ilang mga ratio sa kanilang sarili

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Ang kabuuan ng lahat ng mga koepisyent ay o.
  Ang mga ugat ng naturang equation ay 1 at s / a. Halimbawa, 2x 2 -15x + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Mayroong isang bilang ng iba pang mga paraan upang malutas ang iba't ibang mga equation ng pangalawang degree. Narito, halimbawa, ay isang pamamaraan para sa pagkuha ng isang kumpletong parisukat mula sa isang naibigay na polynomial. Mayroong maraming mga graphic na paraan. Kapag madalas kang makitungo sa mga nasabing halimbawa, matututunan mong "i-click" ang mga ito tulad ng mga binhi, dahil ang lahat ng mga pamamaraan ay awtomatikong naisip.

SA modernong lipunan ang kakayahang magsagawa ng mga aksyon na may mga equation na naglalaman ng isang square na variable ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa maraming mga lugar ng aktibidad at malawak na ginagamit sa pagsasanay sa pang-agham at panteknikal na pagpapaunlad. Pinatunayan ito ng disenyo ng mga daluyan ng dagat at ilog, sasakyang panghimpapawid at mga misil. Sa tulong ng naturang mga kalkulasyon, ang mga tilas ng paggalaw ng pinaka magkakaibang katawan, kabilang ang mga space object. Ang mga halimbawa ng solusyon ng mga quadratic equation ay ginagamit hindi lamang sa pagtataya sa ekonomiya, sa disenyo at pagtatayo ng mga gusali, kundi pati na rin sa pinakakaraniwang pang-araw-araw na pangyayari. Maaari silang kailanganin sa mga paglalakbay sa kamping, sa mga kaganapan sa palakasan, sa mga tindahan kapag namimili, at sa iba pang mga karaniwang sitwasyon.

Hatiin natin ang ekspresyon sa mga salik na salik nito

Natutukoy ang antas ng equation maximum na halaga antas ng variable na naglalaman ng expression na ito. Kung ito ay katumbas ng 2, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag na parisukat.

Kung gagamitin namin ang wika ng mga formula, kung gayon ang mga expression na ito, gaano man ang hitsura nila, ay maaaring palaging mabawasan sa form kung kailan kaliwang parte expression ay binubuo ng tatlong mga term. Kabilang sa mga ito: palakol 2 (iyon ay, isang variable na parisukat sa coefficient nito), bx (isang hindi kilalang walang parisukat na may koepisyent nito) at c (isang libreng bahagi, iyon ay, isang ordinaryong numero). Ang lahat ng ito sa kanang bahagi ay katumbas ng 0. Sa kaso kung ang naturang polynomial ay nawawala ang isa sa mga nasasakupang termino nito, maliban sa palakol 2, tinawag itong isang hindi kumpletong quadratic equation. Ang mga halimbawa ng solusyon ng mga naturang problema, ang halaga ng mga variable na kung saan madaling hanapin, ay dapat isaalang-alang muna.

Kung ang expression ay tumingin sa isang paraan na mayroong dalawang mga termino sa expression sa kanang bahagi, mas tiyak na palakol 2 at bx, pinakamadaling makahanap ng x sa pamamagitan ng paglalagay ng variable sa labas ng mga braket. Ngayon ang magiging hitsura ng aming equation: x (ax + b). Dagdag dito, naging malinaw na alinman sa x \u003d 0, o ang problema ay nabawasan sa paghahanap ng isang variable mula sa sumusunod na expression: ax + b \u003d 0. Ito ay idinidikta ng isa sa mga katangian ng pagpaparami. Ang patakaran ay ang produkto ng dalawang kadahilanan na nagreresulta sa 0 lamang kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng zero.

Halimbawa

x \u003d 0 o 8x - 3 \u003d 0

Bilang isang resulta, nakakakuha kami ng dalawang mga ugat ng equation: 0 at 0.375.

Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring ilarawan ang paggalaw ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng gravity, na nagsimulang lumipat mula sa isang tiyak na puntong kinuha bilang pinagmulan. Narito ang notasyong matematika na kumukuha ng sumusunod na form: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Ang pagpapalit ng mga kinakailangang halaga, na pinapantay ang kanang bahagi sa 0 at paghahanap ng mga posibleng hindi alam, malalaman mo ang oras na lumipas mula sa sandaling tumaas ang katawan hanggang sa bumagsak ito, pati na rin maraming iba pang mga dami. Ngunit pag-uusapan natin ito mamaya.

Pag-iingat ng isang Ekspresyon

Ang panuntunang inilarawan sa itaas ay ginagawang posible upang malutas ang mga ipinahiwatig na gawain nang higit pa mahirap na kaso... Isaalang-alang natin ang mga halimbawa sa solusyon ng mga quadratic equation ng ganitong uri.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Ito square trinomial ay kumpleto. Una, ibahin ang anyo natin ang ekspresyon at salik ito. Mayroong dalawa sa kanila: (x-8) at (x-25) \u003d 0. Bilang isang resulta, mayroon kaming dalawang mga ugat 8 at 25.

Ang mga halimbawang may solusyon ng mga quadratic equation sa baitang 9 ay nagpapahintulot sa pamamaraang ito upang makahanap ng isang variable sa mga expression hindi lamang ng pangalawa, ngunit kahit na sa pangatlo at ikaapat na order.

Halimbawa: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Kapag ang pag-iingat ng kanang bahagi sa mga kadahilanan na may variable, may tatlo sa kanila, iyon ay, (x + 1), (x-3) at (x + 3).

Bilang isang resulta, naging halata na ang equation na ito ay may tatlong mga ugat: -3; -isa; 3.

Pagkuha ng parisukat na ugat

Ibang kaso hindi kumpletong equation ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay isang expression, sa wika ng mga titik, na kinakatawan sa isang paraan na ang kanang bahagi ay itinayo mula sa mga bahagi ng palakol 2 at c. Dito, upang makuha ang halaga ng variable, ang libreng term ay inililipat sa kanang bahagi, at pagkatapos ang square root ay nakuha mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay. Dapat pansinin na sa kasong ito, karaniwang may dalawang mga ugat ng equation. Ang mga pagbubukod lamang ay ang mga pagkakapantay-pantay na hindi naglalaman ng term na c sa lahat, kung saan ang variable ay katumbas ng zero, pati na rin ang mga pagkakaiba-iba ng mga expression kapag ang kanang bahagi ay negatibo. Sa huling kaso, walang mga solusyon sa lahat, dahil ang mga pagkilos sa itaas ay hindi maaaring isagawa sa mga ugat. Ang mga halimbawa ng mga solusyon sa mga quadratic equation ng ganitong uri ay dapat isaalang-alang.

Sa kasong ito, ang mga ugat ng equation ay ang mga bilang -4 at 4.

Pagkalkula ng lugar ng lupa

Ang pangangailangan para sa ganitong uri ng mga kalkulasyon ay lumitaw sa mga sinaunang panahon, dahil ang pag-unlad ng matematika sa maraming aspeto sa mga malalayong oras na iyon ay dahil sa pangangailangan upang matukoy nang may pinakamalaking katumpakan ang mga lugar at perimeter ng mga plot ng lupa.

Ang mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation batay sa mga problema ng ganitong uri ay dapat nating isaalang-alang.

Kaya, sabihin nating mayroong isang hugis-parihaba na lupain na 16 metro ang haba kaysa sa lapad nito. Hanapin ang haba, lapad at perimeter ng site kung alam na ang lugar nito ay 612 m 2.

Pagkuha sa negosyo, iguhit muna natin ang kinakailangang equation. Tukuyin natin ng x ang lapad ng seksyon, pagkatapos ang haba nito ay (x + 16). Mula sa kung ano ang naisulat ay sumusunod na ang lugar ay natutukoy ng ekspresyong x (x + 16), na, ayon sa kalagayan ng aming problema, ay 612. Nangangahulugan ito na x (x + 16) \u003d 612.

Ang solusyon ng kumpletong mga quadratic equation, at ang ekspresyong ito ay ganoon lamang, hindi maaaring gawin sa parehong paraan. Bakit? Kahit na ang kaliwang bahagi nito ay naglalaman pa rin ng dalawang mga kadahilanan, ang produkto ay hindi katumbas ng 0 sa lahat, kaya't iba't ibang mga pamamaraan ang nalalapat dito.

Diskriminasyon

Una sa lahat, ginagawa namin ang mga kinakailangang pagbabago, pagkatapos hitsura ng expression na ito ay magiging ganito: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Nangangahulugan ito na nakakuha kami ng isang expression sa form na naaayon sa dating tinukoy na pamantayan, kung saan ang isang \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Maaari itong maging isang halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation sa pamamagitan ng diskriminasyon. Dito kinakailangang mga kalkulasyon ginawa ayon sa pamamaraan: D \u003d b 2 - 4ac. Ang dami ng auxiliary na ito ay hindi lamang ginagawang posible upang makahanap ng mga kinakailangang dami sa equation na pangalawang order, natutukoy nito ang dami mga posibleng pagpipilian... Kung ang D\u003e 0, mayroong dalawa sa kanila; para sa D \u003d 0, mayroong isang ugat. Kung D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tungkol sa mga ugat at kanilang pormula

Sa aming kaso, ang nagtatangi ay: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Ipinapahiwatig nito na ang aming problema ay may isang sagot. Kung alam mo, k, ang solusyon ng mga quadratic equation ay dapat na ipagpatuloy gamit ang formula sa ibaba. Pinapayagan kang kalkulahin ang mga ugat.

Nangangahulugan ito na sa ipinakita na kaso: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Ang pangalawang pagpipilian sa dilemma na ito ay hindi maaaring maging isang solusyon, dahil ang mga sukat ng plot ng lupa ay hindi masusukat sa mga negatibong halaga, kaya x (iyon ay, ang lapad ng isang lagay ng lupa) ay 18 m. Mula dito kinakalkula natin ang haba: 18 + 16 \u003d 34, at ang perimeter 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Mga halimbawa at gawain

Patuloy kaming nag-aaral ng mga quadratic equation. Ang mga halimbawa at isang detalyadong solusyon sa ilan sa mga ito ay ibibigay sa ibaba.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Inililipat namin ang lahat sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, gumawa ng isang pagbabago, iyon ay, nakukuha namin ang form ng equation, na karaniwang tinatawag na pamantayan, at ihambing ito sa zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Pagdaragdag ng mga katulad, tinukoy namin ang diskriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Kaya't ang aming equation ay magkakaroon ng dalawang mga ugat. Kalkulahin natin ang mga ito ayon sa pormula sa itaas, na nangangahulugang ang una sa kanila ay magiging 4/3, at ang pangalawang 1.

2) Ngayon ay isisiwalat namin ang mga bugtong ng ibang uri.

Alamin natin kung mayroong anumang mga ugat dito sa lahat x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Upang makakuha ng isang kumpletong sagot, dalhin natin ang polynomial sa naaangkop na pamilyar na form at kalkulahin ang diskriminante. Sa halimbawang ito, ang solusyon ng quadratic equation ay hindi kinakailangan, dahil ang kakanyahan ng problema ay wala sa lahat dito. Sa kasong ito, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, na nangangahulugang talagang walang mga ugat.

Teorya ni Vieta

Maginhawa upang malutas ang mga quadratic equation sa pamamagitan ng mga formula sa itaas at diskriminante, kapag ang parisukat na ugat ay nakuha mula sa halaga ng huli. Ngunit hindi ito palaging ang kaso. Gayunpaman, maraming mga paraan upang makuha ang mga halaga ng mga variable sa kasong ito. Halimbawa: paglutas ng mga quadratic equation ng teorama ni Vieta. Pinangalanan siya pagkatapos ng isang tao na nanirahan noong ika-16 na siglo France at gumawa ng isang napakatalino karera salamat sa kanyang talento sa matematika at mga koneksyon sa korte. Ang kanyang larawan ay makikita sa artikulo.

Ang pattern na napansin ng sikat na Pranses ay ang mga sumusunod. Pinatunayan niya na ang mga ugat ng equation sa kabuuan ay bilang na katumbas ng -p \u003d b / a, at ang kanilang produkto ay tumutugma sa q \u003d c / a.

Ngayon tingnan natin ang mga tiyak na gawain.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Para sa pagiging simple, binago namin ang expression:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Gumamit tayo ng teorya ng Vieta, bibigyan tayo nito ng sumusunod: ang kabuuan ng mga ugat ay -7, at ang kanilang produkto ay -18. Mula dito nakukuha natin na ang mga ugat ng equation ay ang mga numero -9 at 2. Ang pagkakaroon ng isang tseke, tiyakin namin na ang mga halagang ito ng mga variable ay talagang umaangkop sa expression.

Parabola graph at equation

Ang mga konsepto ng isang quadratic function at quadratic equation ay malapit na nauugnay. Ang mga halimbawa nito ay naibigay na nang mas maaga. Ngayon ay tingnan natin nang mabuti ang ilan sa mga puzzle sa matematika. Ang anumang equation ng inilarawan na uri ay maaaring mailarawan. Ang gayong relasyon, na iginuhit sa anyo ng isang grap, ay tinatawag na isang parabola. Ang iba't ibang mga uri nito ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Ang anumang parabola ay may isang vertex, iyon ay, isang punto kung saan lumalabas ang mga sanga nito. Kung ang isang\u003e 0, pupunta sila sa infinity, at kailan a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ang mga visual na representasyon ng pag-andar ay makakatulong malutas ang anumang mga equation, kabilang ang mga quadratic. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na grapiko. At ang halaga ng variable x ay ang koordinasyon ng abscissa sa mga puntos kung saan ang linya ng grapiko ay lumiliko sa 0x. Ang mga coordinate ng vertex ay maaaring matagpuan sa ibinigay na formula x 0 \u003d -b / 2a. At, pinapalitan ang nakuha na halaga sa orihinal na equation ng pagpapaandar, maaari mong malaman ang y 0, iyon ay, ang pangalawang koordinasyon ng vertex ng parabola, na kabilang sa ordinate axis.

Ang intersection ng mga sanga ng parabola na may abscissa axis

Mayroong maraming mga halimbawa sa solusyon ng mga quadratic equation, ngunit mayroon ding mga pangkalahatang pattern. Isaalang-alang natin ang mga ito. Malinaw na ang intersection ng graph na may 0x axis para sa isang\u003e 0 ay posible lamang kung ang y 0 ay kukuha ng mga negatibong halagang. At para sa a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Kung hindi man, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Ang mga ugat ay maaari ring matukoy mula sa parabola graph. Ang kabaligtaran ay totoo rin. Iyon ay, kung nakakuha ka ng isang visual na imahe quadratic function hindi madali, maaari mong ipantay ang kanang bahagi ng expression sa 0 at malutas ang nagresultang equation. At alam ang mga puntos ng intersection sa 0x axis, mas madaling bumuo ng isang grap.

Mula sa kasaysayan

Sa tulong ng mga equation na naglalaman ng isang variable na parisukat, sa mga lumang araw hindi lamang sila gumawa ng mga kalkulasyon sa matematika at natutukoy ang mga lugar ng mga geometric na hugis. Ang mga sinaunang tao ay nangangailangan ng mga naturang kalkulasyon para sa mga napakahusay na natuklasan sa larangan ng pisika at astronomiya, pati na rin para sa paggawa ng mga pagtataya sa astrolohiya.

Tulad ng ipinapalagay ng mga modernong siyentipiko, ang mga naninirahan sa Babilonya ay kabilang sa mga unang naglutas ng mga quadratic equation. Nangyari ito apat na siglo bago ang ating panahon. Siyempre, ang kanilang mga kalkulasyon ay panimula naiiba mula sa mga kasalukuyang tinanggap at naging mas primitive. Halimbawa, ang mga Mesopotamian matematiko ay walang ideya tungkol sa pagkakaroon ng mga negatibong numero. Hindi rin sila pamilyar sa iba pang mga subtleties na alam ng anumang schoolchild ng ating panahon.

Marahil kahit na mas maaga kaysa sa mga siyentista ng Babelonia, ang pantas na mula sa India Baudhayama ay kumuha ng solusyon ng mga quadratic equation. Nangyari ito mga walong siglo bago ang pagdating ng panahon ni Kristo. Totoo, ang mga equation ng pangalawang pagkakasunud-sunod, ang mga pamamaraan ng paglutas na ibinigay niya, ay ang pinakasimpleng. Bilang karagdagan sa kanya, ang mga matematika ng Tsino ay interesado din sa mga katulad na katanungan noong unang panahon. Sa Europa, ang mga quadratic equation ay nagsimulang malutas lamang sa simula ng ika-13 siglo, ngunit nang maglaon ay ginamit ito sa kanilang mga gawa ng mga dakilang siyentista tulad nina Newton, Descartes at marami pang iba.

Quadratic equation - madaling malutas! * Dagdag pa sa teksto ng "KU".Mga Kaibigan, tila, kung ano ang maaaring maging mas madali sa matematika kaysa sa paglutas ng tulad ng isang equation. Ngunit may nagsabi sa akin na maraming may problema sa kanya. Nagpasya akong makita kung gaano karaming mga impression bawat buwan ang Yandex. Narito kung ano ang nangyari, tingnan:

Ano ang ibig sabihin nito Nangangahulugan ito na halos 70,000 katao sa isang buwan ang naghahanap para sa impormasyong ito, at kung ano ang mangyayari sa kalagitnaan ng akademikong taon - magkakaroon ng dalawang beses na maraming mga kahilingan. Hindi ito nakakagulat, dahil ang mga kalalakihan at batang babae na nagtapos mula sa paaralan ng matagal na ang nakalipas at naghahanda para sa Unified State Exam ay naghahanap ng impormasyong ito, at hinahangad din ng mga mag-aaral na i-refresh ito sa kanilang memorya.

Sa kabila ng katotohanang may mga toneladang mga site na nagsasabi sa iyo kung paano malutas ang equation na ito, nagpasya akong gawin din ang aking kaunti at mai-publish ang materyal. Una, nais kong pumunta ang mga bisita sa aking site para sa kahilingang ito; pangalawa, sa ibang mga artikulo, pagdating ng pagsasalita na "KU", bibigyan ko ng isang link sa artikulong ito; pangatlo, sasabihin ko sa iyo ng kaunti pa tungkol sa kanyang solusyon kaysa sa karaniwang nakasaad sa ibang mga site. Magsimula na tayo!Ang nilalaman ng artikulo:

Ang isang quadratic equation ay isang equation ng form:

kung saan ang mga coefficients a,b at may di-makatwirang mga numero, na may ≠ 0.

Sa kurso sa paaralan, ang materyal ay ibinibigay sa sumusunod na form - ang mga equation ay kondisyon na nahahati sa tatlong klase:

1. Mayroon silang dalawang ugat.

2. * Mayroon lamang isang ugat.

3. Walang mga ugat. Mahalagang tandaan dito na wala silang wastong mga ugat.

Paano kinakalkula ang mga ugat? Lamang!

Kinakalkula namin ang diskriminante. Sa ilalim ng salitang "kakila-kilabot" na ito ay namamalagi ang isang simpleng pormula:

Ang mga root formula ay ang mga sumusunod:

* Ang mga formula na ito ay kailangang kilalanin ng puso.

Maaari kang sumulat kaagad at magpasya:

Halimbawa:

1. Kung D\u003e 0, kung gayon ang equation ay may dalawang mga ugat.

2. Kung D \u003d 0, kung gayon ang equation ay may isang ugat.

3. Kung D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Tingnan natin ang equation:

Sa okasyong ito, kapag ang diskriminante ay zero, sa kurso sa paaralan ay sinasabing ang isang ugat ay nakuha, narito ito ay katumbas ng siyam. Tama ang lahat, ito ay, ngunit ...

Ang representasyong ito ay medyo mali. Sa katunayan, mayroong dalawang mga ugat. Oo, huwag magulat, lumalabas ang dalawang pantay na ugat, at upang maging eksakto sa matematika, kung gayon ang sagot ay dapat na nakasulat ng dalawang ugat:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Ngunit ito ay gayon - isang maliit na pagkahilo. Sa paaralan, maaari kang sumulat at sabihin na mayroong isang ugat.

Ngayon ang susunod na halimbawa:

Tulad ng alam natin, ang ugat ng isang negatibong numero ay hindi nakuha, kaya walang solusyon sa kasong ito.

Iyon ang buong proseso ng solusyon.

Pag-andar ng quadratic.

Ipinapakita nito kung paano tumingin ang solusyon ng geometrically. Napakahalaga na maunawaan ito (sa hinaharap, sa isa sa mga artikulo, susuriin namin nang detalyado ang solusyon ng parisukat na hindi pagkakapantay-pantay).

Ito ay isang pagpapaandar ng form:

kung saan ang x at y ay mga variable

a, b, c - ibinigay na mga numero, na may isang ≠ 0

Ang grap ay isang parabola:

Iyon ay, lumalabas na sa pamamagitan ng paglutas ng quadratic equation na may "y" na katumbas ng zero, nakita namin ang mga puntos ng intersection ng parabola na may axis ng baka. Maaaring mayroong dalawang ganoong mga punto (ang diskriminante ay positibo), isa (ang diskriminante ay zero) at wala (ang diskriminante ay negatibo). Dagdag pa tungkol sa pag-andar ng quadratic maaari mong tingnan artikulo ni Inna Feldman.

Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa:

Halimbawa 1: Malutas 2x 2 +8 x–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d –192

D \u003d b 2 –4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Sagot: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* Posibleng agad na hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation ng 2, iyon ay, upang gawing simple ito. Ang mga kalkulasyon ay magiging mas madali.

Halimbawa 2: Magpasya x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484–484 \u003d 0

Nakuha namin ang x 1 \u003d 11 at x 2 \u003d 11

Sa sagot, pinapayagan na sumulat ng x \u003d 11.

Sagot: x \u003d 11

Halimbawa 3: Magpasya x 2 –8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64–288 \u003d –224

Ang diskriminante ay negatibo, walang solusyon sa totoong mga numero.

Sagot: walang solusyon

Ang diskriminante ay negatibo. May solusyon!

Dito pag-uusapan tungkol sa paglutas ng equation sa kaso kapag nakuha ang isang negatibong diskriminasyon. May alam ka ba tungkol sa mga kumplikadong numero? Hindi ko idedetalye dito ang tungkol sa kung bakit at saan sila nanggaling at kung ano ang kanilang partikular na papel at pangangailangan sa matematika, ito ay isang paksa para sa isang malaking magkahiwalay na artikulo.

Ang konsepto ng isang kumplikadong numero.

Kaunting teorya.

Ang isang kumplikadong bilang z ay isang bilang ng form

z \u003d a + bi

kung saan ang a at b ay totoong mga numero, ako ang tinaguriang haka-haka na yunit.

isang + bi Ay isang nag-iisang numero, hindi karagdagan.

Ang yunit ng haka-haka ay katumbas ng ugat ng minus isa:

Isaalang-alang ngayon ang equation:

Nakuha namin ang dalawang pinaghalong ugat.

Hindi kumpleto ang quadratic equation.

Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso, ito ay kapag ang coefficient na "b" o "c" ay katumbas ng zero (o pareho ay katumbas ng zero). Madali silang malulutas nang walang mga diskriminasyon.

Kaso 1. Coefficient b \u003d 0.

Kinukuha ng equation ang form:

Magbago tayo:

Halimbawa:

4x 2 –16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d –2

Kaso 2. Coefficient na may \u003d 0.

Kinukuha ng equation ang form:

Kami ay nagbabago, tumutukoy sa:

* Ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero.

Halimbawa:

9x 2 –45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 o x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Kaso 3. Mga Coefficient b \u003d 0 at c \u003d 0.

Malinaw dito na ang solusyon sa equation ay palaging magiging x \u003d 0.

Mga kapaki-pakinabang na katangian at pattern ng mga coefficients.

Mayroong mga pag-aari na nagbibigay-daan sa iyo upang malutas ang mga equation na may malaking coefficients.

ax 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay humahawak

a + b + c \u003d 0,tapos

- kung para sa mga coefficients ng equation ax 2 + bx+ c=0 pagkakapantay-pantay humahawak

a + c \u003db, tapos

Ang mga katangiang ito ay makakatulong upang malutas isang tiyak na uri mga equation

Halimbawa 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Ang kabuuan ng mga koepisyent ay 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, samakatuwid

Halimbawa 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Natugunan ang pagkakapantay-pantay a + c \u003db, nangangahulugang

Mga regularidad ng mga coefficients.

1. Kung sa equation ax 2 + bx + c \u003d 0 ang coefficient na "b" ay katumbas ng (a 2 +1), at ang coefficient na "c" ay ayon sa bilang sa coefficient na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

palakol 2 + (a 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d –а х 2 \u003d –1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6.

2. Kung sa equation ax 2 - bx + c \u003d 0 ang coefficient na "b" ay katumbas ng (a 2 +1), at ang coefficient na "c" ay ayon sa bilang sa coefficient na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

palakol 2 - (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 15x 2 –226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Kung sa equationpalakol 2 + bx - c \u003d 0 coefficient na "b" ay katumbas ng (a 2 - 1), at ang koepisyent na "c" ayon sa bilang na katumbas ng koepisyent na "a", pagkatapos ang mga ugat nito ay pantay

аx 2 + (а 2 –1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - а х 2 \u003d 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Kung sa equation ax 2 - bx - c \u003d 0 ang coefficient na "b" ay katumbas ng (a 2 - 1), at ang coefficient c ay ayon sa bilang na katumbas ng coefficient na "a", kung gayon ang mga ugat nito ay

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 / a.

Halimbawa. Isaalang-alang ang equation na 10x 2 - 99x –10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Teorya ni Vieta.

Ang teorama ni Vieta ay ipinangalan sa bantog na dalub-agbilang Pranses na si François Vieta. Gamit ang teorya ng Vieta, maaari naming ipahayag ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng isang di-makatwirang KE sa mga tuntunin ng mga coefficients nito.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sa kabuuan, ang bilang na 14 ay nagbibigay lamang ng 5 at 9. Ito ang mga ugat. Sa isang tiyak na kasanayan, gamit ang ipinakita na teorya, malulutas mo ang maraming mga quadratic equation na pasalita.

Theeta ni Vieta, tsaka. maginhawa sa na matapos malutas ang quadratic equation sa karaniwang paraan (sa pamamagitan ng diskriminasyon), ang mga nakuhang ugat ay maaaring masuri. Inirerekumenda kong gawin ito palagi.

TRANSFER METHOD

Sa pamamaraang ito, ang koepisyent na "a" ay pinarami ng libreng termino, na parang "itinapon" dito, samakatuwid ito ay tinatawag na sa pamamagitan ng "transfer".Ginagamit ang pamamaraang ito kung madali mong mahahanap ang mga ugat ng isang equation gamit ang teorama ng Vieta at, pinakamahalaga, kung ang diskriminante ay isang eksaktong parisukat.

Kung a± b + c≠ 0, pagkatapos ay ginagamit ang diskarteng paglipat, halimbawa:

2x 2 – 11x +5 = 0 (1) => x 2 – 11x +10 = 0 (2)

Sa pamamagitan ng teorya ni Vieta sa equation (2), madaling matukoy na x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Ang nakuha na mga ugat ng equation ay dapat na hinati sa 2 (dahil ang dalawa ay "itinapon" mula sa x 2), nakukuha natin

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

Ano ang katwiran? Tingnan kung ano ang nangyayari.

Ang mga nagtatangi ng mga equation (1) at (2) ay pantay:

Kung titingnan mo ang mga ugat ng mga equation, pagkatapos ay iba't ibang mga denominator lamang ang nakuha, at ang resulta ay tiyak na nakasalalay sa koepisyent sa x 2:

Ang pangalawa (nabago) na mga ugat ay 2 beses na mas malaki.

Samakatuwid, hinati namin ang resulta sa 2.

* Kung muling igulong namin ang tatlo, pagkatapos ay hinahati namin ang resulta sa 3, atbp.

Sagot: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

Sq. ur-ye at exam.

Sasabihin ko nang maikli ang tungkol sa kahalagahan nito - DAPAT KAYONG MAY MALIGTAS NG Mabilis na malutas at walang pag-aatubili, ang mga formula ng mga ugat at ang nagtatangi ay dapat kilalanin ng puso. Ang maraming mga gawain na bumubuo sa mga gawain sa USE ay nabawasan sa paglutas ng isang quadratic equation (kabilang ang mga geometriko).

Ano ang dapat tandaan!

1. Ang porma ng pagsulat ng equation ay maaaring "implicit". Halimbawa, posible ang sumusunod:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 o 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 o 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Kailangan mong dalhin ito sa isang karaniwang form (upang hindi malito sa paglutas).

2. Tandaan na ang x ay isang hindi kilalang dami at maaari itong maipahiwatig ng anumang iba pang mga titik - t, q, p, h at iba pa.

Sa artikulong ito, titingnan namin ang paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation.

Ngunit una, ulitin natin kung aling mga equation ang tinawag na quadratic. Ang isang equation ng form ax 2 + bx + c \u003d 0, kung saan ang x ay isang variable, at ang mga coefficients a, b at c ay ilang mga numero, at isang ≠ 0, ay tinawag parisukat... Tulad ng nakikita namin ang koepisyent sa x 2 ay hindi zero, at samakatuwid ang mga coefficients sa x o ang libreng term ay maaaring zero, sa kasong ito nakakakuha kami ng isang hindi kumpletong quadratic equation.

Ang hindi kumpletong mga quadratic equation ay may tatlong uri:

1) Kung b \u003d 0, c ≠ 0, pagkatapos ay palakol 2 + c \u003d 0;

2) Kung b ≠ 0, c \u003d 0, pagkatapos ay palakol 2 + bx \u003d 0;

3) Kung b \u003d 0, c \u003d 0, pagkatapos ay palakol 2 \u003d 0.

• Alamin natin kung paano sila nagpapasya mga equation ng form ax 2 + c \u003d 0.

Upang malutas ang equation, inililipat namin ang libreng termino sa kanang bahagi ng equation, nakukuha namin

palakol 2 \u003d ‒c. Dahil sa isang ≠ 0, pagkatapos ay hinati natin ang magkabilang panig ng equation ng a, pagkatapos ay x 2 \u003d ‒c / a.

Kung ‒c / a\u003e 0, kung gayon ang equation ay may dalawang mga ugat

x \u003d ± √ (–c / a).

Kung ‒c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Subukan nating malaman ito sa mga halimbawa kung paano malutas ang mga naturang equation.

Halimbawa 1... Lutasin ang 2x equation 2 - 32 \u003d 0.

Sagot: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Halimbawa 2... Lutasin ang 2x equation 2 + 8 \u003d 0.

Sagot: ang mga equation ay walang mga solusyon.

• Alamin natin kung paano sila nagpapasya mga equation ng form ax 2 + bx \u003d 0.

Upang malutas ang equation ax 2 + bx \u003d 0, isinasama namin ito, iyon ay, ilabas ang x sa labas ng mga braket, nakakakuha kami ng x (ax + b) \u003d 0. Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Pagkatapos alinman sa x \u003d 0, o palakol + b \u003d 0. Paglutas ng equation ax + b \u003d 0, nakakakuha kami ng palakol \u003d - b, kung saan x \u003d - b / a. Ang isang equation ng form ax 2 + bx \u003d 0, laging may dalawang mga ugat x 1 \u003d 0 at x 2 \u003d - b / a. Tingnan kung paano ang hitsura ng solusyon sa mga equation ng ganitong uri sa diagram.

Pagsamahin natin ang ating kaalaman sa isang tukoy na halimbawa.

Halimbawa 3... Lutasin ang 3x equation 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 o 3x - 12 \u003d 0

Sagot: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Mga equation ng pangatlong uri ng palakol 2 \u003d 0 ay malulutas nang napakasimple.

Kung palakol 2 \u003d 0, pagkatapos x 2 \u003d 0. Ang equation ay may dalawang pantay na ugat x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Para sa kalinawan, isaalang-alang ang diagram.

Tiyaking tiyakin natin kapag nalulutas ang Halimbawa 4 na ang mga equation ng ganitong uri ay malulutas nang napakadali.

Halimbawa 4. Lutasin ang 7x equation 2 \u003d 0.

Sagot: x 1, 2 \u003d 0.

Hindi palaging malinaw na malinaw kung anong uri ng hindi kumpletong quadratic equation ang kailangan nating lutasin. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 5. Malutas ang equation

I-multiply ang magkabilang panig ng equation ng isang karaniwang denominator, iyon ay, ng 30

Bawasan

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Palawakin ang mga braket

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Narito ang magkatulad

Ilipat ang 99 mula sa kaliwang bahagi ng equation patungo sa kanan, baligtarin ang pag-sign

Sagot: walang mga ugat.

Nasuri namin kung paano malulutas ang mga hindi kumpletong equadratic equation. Inaasahan kong ngayon ay hindi ka magkakaroon ng anumang mga paghihirap sa mga naturang gawain. Mag-ingat sa pagtukoy ng uri ng hindi kumpletong quadratic equation, pagkatapos ay magtatagumpay ka.

Kung mayroon kang anumang mga katanungan sa paksang ito, mag-sign up para sa aking mga aralin, magkasama naming malulutas ang mga problemang lumitaw.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ng isang link sa mapagkukunan.