|
Ang mga materyal sa pagturo ay para lamang sa sanggunian at nauugnay sa isang malawak na hanay ng mga paksa. Ang artikulo ay nagbibigay ng isang pangkalahatang-ideya ng mga graph ng mga pangunahing elementong pag-andar at tinutukoy ang pinakamahalagang isyu - kung paano mabuo ang isang tsart nang mabilis at mabilis. Ang pag-aaral ng mas mataas na matematika nang hindi nalalaman ang mga graph ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya ay magiging mahirap, kaya napakahalaga na tandaan kung ano ang hitsura ng mga graph ng parabola, hyperbola, sine, cosine, atbp, tandaan ang ilang mga halaga ng mga pag-andar. Gayundin, pag-uusapan natin ang tungkol sa ilang mga katangian ng mga pangunahing pag-andar. Hindi ako nagpapanggap sa pagkakumpleto at pagiging kumpletong pang-agham ng mga materyales, ang diin ay ilalagay lalo na sa pagsasanay - ang mga bagay na kung saan kailangan mong harapin nang literal sa bawat hakbang, sa anumang paksa ng mas mataas na matematika. Mga tsart para sa mga dummies? Maaari mong sabihin iyon.
Sa pamamagitan ng tanyag na pangangailangan ng mga mambabasa mai-click na talahanayan ng mga nilalaman:
Bilang karagdagan, mayroong isang ultra-maikling buod sa paksa.
- master 16 mga uri ng mga graph, pagkakaroon ng pinag-aralan na ENAMANG mga pahina!
Seryoso, anim, kahit na ang aking sarili ay nagulat. Ang kompendyum na ito ay naglalaman ng pinabuting graphics at magagamit para sa isang nominal na bayad, maaaring tingnan ang isang bersyon ng demo. Ito ay maginhawa upang i-print ang file upang ang mga graph ay palaging nasa kamay. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!
At agad na nagsisimula kami:
Paano bumuo ng coordinate axes?
Sa pagsasagawa, ang mga pagsubok sa papel ay halos palaging isinasagawa ng mga mag-aaral sa magkahiwalay na mga notebook na may linya sa isang hawla. Bakit suriin ang pagmamarka? Pagkatapos ng lahat, ang gawain, sa prinsipyo, ay maaaring gawin sa mga sheet ng A4. Kinakailangan ang isang cell para lamang sa de-kalidad at tumpak na mga guhit ng disenyo.
Ang anumang pagguhit ng isang function ng graph ay nagsisimula sa mga kohe ng coordinate.
Ang mga guhit ay two-dimensional at three-dimensional.
Una naming isaalang-alang ang dalawang-dimensional na kaso sistema ng hugis-parihaba na hugis-parihaba:
1) Gumuhit coordinate axes. Tinawag si Axis axis ng abscissa
at ang axis ay ayusin ang axis
. Palagi kaming sinusubukan upang iguhit ang mga ito malinis at hindi baluktot. Ang mga arrow ay hindi dapat maging katulad ng balbas ni Papa Carlo.
2) Nilagdaan namin ang mga axes sa mga malalaking titik na "X" at "igrek". Huwag kalimutang lagdaan ang axis.
3) Itinakda namin ang scale sa kahabaan ng mga axes: gumuhit ng zero at dalawa. Kapag nagsasagawa ng pagguhit, ang pinaka-maginhawa at madalas na nakatagpo ng scale ay: 1 yunit \u003d 2 mga cell (pagguhit sa kaliwa) - kung maaari, dumikit dito. Gayunpaman, paminsan-minsan nangyayari na ang pagguhit ay hindi magkasya sa notebook sheet - pagkatapos ay scale namin: 1 yunit \u003d 1 cell (pagguhit sa kanan). Ito ay bihirang, ngunit nangyayari na ang laki ng isang pagguhit ay kailangang mabawasan (o madagdagan) kahit na higit pa
HUWAG "magsulat mula sa machine gun" ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Para sa coordinate eroplano - hindi isang bantayog kay Descartes, ngunit isang mag-aaral - hindi isang kalapati. Inilagay namin zero at dalawang axial unit. Minsan sa halip ang mga yunit, ito ay maginhawa upang "tuklasin" ang iba pang mga halaga, halimbawa, "dalawa" sa axc ng abscissa at "tatlo" sa ordinate axis - at ang sistemang ito (0, 2, at 3) ay magkakatulad na magtatakda ng coordinate grid.
Ang tinantyang mga sukat ng pagguhit ay mas mahusay na suriin ang BAGONG pagguhit. Kaya, halimbawa, kung ang gawain ay nangangailangan sa iyo upang gumuhit ng isang tatsulok na may mga vertice,,, pagkatapos ay malinaw na ang tanyag na sukat ng 1 yunit \u003d 2 na mga cell ay hindi gagana. Bakit? Tingnan natin ang punto - narito kailangan nating sukatin ang labinlimang sentimetro, at, malinaw naman, ang pagguhit ay hindi magkasya (o bahagyang magkasya) sa kuwaderno. Samakatuwid, pumili kaagad ng isang mas maliit na sukat ng 1 yunit \u003d 1 cell.
Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa mga sentimetro at mga cell ng notebook. Totoo ba na ang 30 na mga cell ng tetrad ay naglalaman ng 15 sentimetro? Sukatin sa isang kuwaderno para sa interes ng 15 sentimetro sa isang pinuno. Sa USSR, marahil ito ay totoo ... Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung susukat mo ang mga parehong sentimetro nang pahalang at patayo, kung gayon ang mga resulta (sa mga cell) ay magkakaiba! Mahigpit na pagsasalita, ang mga modernong notebook ay hindi naka-checker, ngunit hugis-parihaba. Marahil ito ay magiging walang katuturan, ngunit, halimbawa, ang pagguhit ng isang bilog na may isang pares ng mga compass sa ganoong sitwasyon ay napaka-abala. Upang maging matapat, sa mga sandaling ito ay nagsisimula kang mag-isip tungkol sa kawastuhan ni Comrade Stalin, na nagpadala sa mga kampo para sa hackwork sa pabrika, hindi sa banggitin ang industriya ng domestic automotive, bumabagsak na sasakyang panghimpapawid o sumasabog na mga halaman ng kuryente.
Nagsasalita ng kalidad, o isang maikling rekomendasyon sa kagamitan sa pagsulat. Ngayon, ang karamihan sa mga notebook ay ibinebenta, nang hindi nagsasabi ng masasamang salita, ganap na homogenous. Sa kadahilanang sila ay basa, at hindi lamang mula sa gel, kundi pati na rin mula sa mga ballpoint pens! Makatipid sa papel. Para sa pagpaparehistro control work Inirerekumenda ko ang paggamit ng mga notebook ng Arkhangelsk Pulp at Paper Mill (18 sheet, isang cell) o Pyaterochka, bagaman mas mahal ito. Maipapayo na pumili ng isang pen pen, kahit na ang pinakamurang Chinese pen pen ay mas mahusay kaysa sa isang ballpoint pen na smear o luha papel. Ang tanging "mapagkumpitensya" panulat sa aking alaala ay si Erich Krause. Sinusulat niya nang malinaw, maganda at tuloy-tuloy - na may isang buong pangunahing, na may halos walang laman.
Bilang karagdagan: Ang pananaw ng isang hugis-parihaba na coordinate system sa pamamagitan ng mga mata ng analytic geometry ay nasasakop sa artikulo Ang linear (hindi) pag-asa ng mga vectors. Ang batayan ng mga vectors, mga detalye ng coordinate quarters ay matatagpuan sa ikalawang talata ng aralin Mga hindi pagkakapantay-pantay na linya.
Three-dimensional na kaso
Halos lahat ay pareho din dito.
1) Gumuhit kami ng coordinate axes. Pamantayan: applicate axis
- nakadirekta up, axis - nakadirekta sa kanan, axis - kaliwa pababa mahigpit sa isang anggulo ng 45 degree.
2) Pinirmahan namin ang axis.
3) Itinakda namin ang scale sa kahabaan ng mga axes. Scale ng Axis - kalahati ng laki ng iba pang mga axes. Tandaan din na sa tamang pagguhit ginamit ko ang isang hindi pamantayang "serif" kasama ang axis (ang posibilidad na ito ay nabanggit sa itaas). Sa aking pananaw, mas tumpak, mas mabilis at mas aesthetic - hindi mo na kailangang tumingin sa ilalim ng mikroskopyo para sa gitna ng cell at "sculpt" ang yunit sa tabi mismo ng pinagmulan.
Kapag gumagawa ng isang three-dimensional na pagguhit, muli - bigyan ang priyoridad sa laki
1 unit \u003d 2 cells (pagguhit sa kaliwa).
Ano ang lahat ng mga patakaran na ito? Mayroong mga patakaran upang masira ang mga ito. Ano ang gagawin ko ngayon. Ang katotohanan ay ang kasunod na mga guhit ng artikulo ay gagawin sa akin sa Excel, at ang mga koordinasyong axes ay magmumula nang hindi tama mula sa punto ng view tamang disenyo. Maaari kong iguhit ang lahat ng mga grap sa pamamagitan ng kamay, ngunit talagang iguguhit ang mga ito bilang kakila-kilabot na nag-aatubili sa Excel ay iguguhit sila nang mas tumpak.
Mga graphic at pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar
Ang linear function ay ibinibigay ng equation. Ang linear function na graph ay diretso. Upang makabuo ng isang linya sapat na upang malaman ang dalawang puntos.
Halimbawa 1
Bumuo ng isang graph ng function. Maghanap ng dalawang puntos. Ito ay kapaki-pakinabang na pumili ng zero bilang isa sa mga puntos.
Kung, kung gayon
Kumuha kami ng ilang iba pang mga punto, halimbawa, 1.
Kung, kung gayon
Kapag nakumpleto ang mga gawain, ang mga coordinate ng mga puntos ay karaniwang naitala sa isang talahanayan:
At ang mga halaga mismo ay kinakalkula nang pasalita o sa isang calculator ng draft.
Natagpuan ang dalawang puntos, isagawa ang pagguhit:
Kapag gumuhit, palagi kaming nag-sign graphics.
Hindi gaanong maalala ang mga partikular na kaso ng isang guhit na pag-andar:
Pansinin kung paano ko inayos ang mga caption, ang mga lagda ay hindi dapat maiintindihan sa pag-aaral ng isang pagguhit. Sa kasong ito, labis na hindi kanais-nais na maglagay ng lagda malapit sa intersection point ng mga linya, o sa kanang ibaba sa pagitan ng mga graph.
1) Ang isang linear function ng form () ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Halimbawa,. Ang direktang proporsyonal na graph ay palaging dumadaan sa pinagmulan. Kaya, ang pagtatayo ng linya ay pinasimple - makahanap lamang ng isang punto.
2) Ang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa axis, lalo na, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang function ng graph ay binuo agad, nang walang paghahanap ng anumang mga puntos. Iyon ay, ang tala ay dapat maunawaan tulad ng sumusunod: "ang laro ay palaging katumbas ng -4, para sa anumang halaga ng x."
3) Ang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na kahanay sa axis, lalo na, ang axis mismo ay tinukoy ng equation. Ang function ng graph ay binuo din kaagad. Ang tala ay dapat maunawaan tulad ng sumusunod: "X palagi, para sa anumang halaga ng player, ay pantay sa 1".
Ang ilan ay magtanong, bakit tandaan ang Baitang 6 ?! Kaya't ito, marahil, sa paglipas ng mga taon ng pagsasanay nakilala ko ang isang dosenang mga mag-aaral na nainis sa pamamagitan ng gawain ng paglikha ng isang iskedyul tulad ng.
Ang pagtatayo ng isang tuwid na linya ay ang pinaka-karaniwang pagkilos kapag gumuhit.
Ang tuwid na linya ay sinusuri nang detalyado sa kurso ng analytic geometry, at ang mga nais ay maaaring sumangguni sa artikulo Katumbas ng isang linya sa isang eroplano.
Grapiko ng isang kuwadrado, kubiko function, grap ng isang polynomial
Parabola. Iskedyul quadratic function  () ay isang parabola. Isaalang-alang ang sikat na kaso:
Alalahanin ang ilang mga katangian ng pag-andar.
Kaya, ang solusyon sa aming equation: - sa puntong ito ay matatagpuan ang tuktok ng parabola. Bakit ito ay matatagpuan sa isang teoretikal na artikulo sa isang hinuha at isang aralin sa pagpapaandar ng extrema. Samantala, kinakalkula namin ang kaukulang halaga ng "laro":
Kaya ang vertex ay nasa punto
Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang brazenly ginagamit namin ang simetrya ng parabola. Dapat pansinin na ang pagpapaandar  – hindi manngunit, gayunpaman, walang sinuman ang nagkansela ng simetrya ng parabola.
Sa anong order upang mahanap ang natitirang mga puntos, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:
Ang algorithm ng konstruksyon na ito ay maaaring mailalarawan na tinatawag na "shuttle" o ang "pabalik-balik" na prinsipyo kasama si Anfisa Chekhova.
Isagawa natin ang pagguhit:
Mula sa mga graph na napagmasdan, isa pang kapaki-pakinabang na pag-sign ay naalala:
Para sa isang parisukat na pag-andar  () ang sumusunod ay totoo:
Kung, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta.
Kung, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta.
Ang malalim na kaalaman sa curve ay maaaring makuha sa aralin na Hyperbola at Parabola.
Ang cubic parabola ay naka-set sa pamamagitan ng pag-andar. Narito ang isang pagguhit na pamilyar mula sa paaralan:
Inilista namin ang mga pangunahing katangian ng pag-andar
Function graph
Kinakatawan nito ang isa sa mga sanga ng isang parabola. Isagawa natin ang pagguhit:
Ang pangunahing katangian ng pag-andar:
Sa kasong ito, ang axis ay patayong asymptote
para sa plot ng hyperbola sa.
Ito ay magiging isang malaking pagkakamali kung, kapag gumuhit ng isang pagguhit sa pamamagitan ng kapabayaan, pinapayagan namin ang intersection ng graph na may asymptote.
Gayundin ang isang panig na mga limitasyon ay nagsasabi sa amin na hyperbole hindi limitado mula sa itaas at hindi limitado mula sa ibaba.
Pinag-aaralan namin ang pag-andar sa kawalang-hanggan: iyon ay, kung sisimulan nating sumama sa axis sa kaliwa (o kanan) hanggang sa kawalang-hanggan, kung gayon ang "mga laro" ay magiging isang payat na hakbang walang hanggan malapit lumapit sa zero, at, nang naaayon, ang mga sanga ng hyperbola walang hanggan malapit lapitan ang axis.
Kaya ang axis ay pahalang na asymptote
para sa function na graph, kung ang "X" ay may posibilidad na dagdagan o minus infinity.
Function ay kakaiba, at, samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko na may paggalang sa pinanggalingan. Ang katotohanang ito ay halata mula sa pagguhit, bilang karagdagan, madali itong napatunayan sa analitiko:  .
Ang isang graph ng isang function ng form () ay kumakatawan sa dalawang sanga ng isang hyperbola.
Kung, pagkatapos ay ang hyperbola ay matatagpuan sa una at ikatlong mga coordinate quarters (tingnan ang larawan sa itaas).
Kung, pagkatapos ay ang hyperbole ay matatagpuan sa pangalawa at ika-apat na mga coordinate quarters.
Ang ipinahiwatig na pagiging regular ng paninirahan ng hyperbola ay hindi mahirap pag-aralan mula sa punto ng view ng geometric na mga pagbabago ng mga graph.
Halimbawa 3
Buuin ang tamang sangay ng hyperbola
Ginagamit namin ang matalinong pamamaraan ng konstruksyon, at kapaki-pakinabang na piliin ang mga halaga upang buo silang nahahati:
Isagawa natin ang pagguhit:
Hindi magiging mahirap na itayo ang kaliwang sanga ng hyperbola, ang kakatwa ng pag-andar ay makakatulong dito. Matindi ang pagsasalita, sa talahanayan ng matalinong konstruksyon, itak na magdagdag ng minus sa bawat bilang, ilagay ang kaukulang mga puntos at iguhit ang pangalawang sangay.
Ang detalyadong impormasyon na geometriko tungkol sa linya sa pagsasaalang-alang ay matatagpuan sa artikulong Hyperbola at Parabola.
Exponential function na graph
Sa bahaging ito, isasaalang-alang ko kaagad ang isang pag-andar ng eksponensial, dahil sa mga problema ng mas mataas na matematika sa 95% ng mga kaso ito ay isang exponent.
Naaalala ko sa iyo na ito ay isang hindi makatwiran na numero: kakailanganin ito kapag nagtatayo ng isang iskedyul, na, sa katunayan, magtatayo ako nang walang seremonya. Ang tatlong puntos ay marahil sapat na:
Iwanan natin ang nag-iisa na graph ng function, tungkol dito mamaya.
Ang pangunahing katangian ng pag-andar:
Ang mga function ng mga graph ay mukhang pareho ang pareho, atbp.
Dapat kong sabihin na ang pangalawang kaso ay hindi gaanong karaniwan sa pagsasanay, ngunit nangyari ito, kaya naisip kong kinakailangang isama ito sa artikulong ito.
Grap ng pag-andar ng logarithmic
Isaalang-alang ang isang function na may isang natural na logarithm.
Gumawa tayo ng isang punto sa pagguhit:
Kung nakalimutan mo kung ano ang logarithm, mangyaring sumangguni sa mga libro sa paaralan.
Ang pangunahing katangian ng pag-andar:
Domain: 
Saklaw ng mga Pinahahalagahan:.
Ang pag-andar ay hindi limitado mula sa itaas:  , kahit na mabagal, ngunit ang sangay ng logarithm ay umakyat hanggang sa kawalang-hanggan.
Pinag-aaralan namin ang pag-uugali ng pagpapaandar malapit sa zero sa kanan:  . Kaya ang axis ay patayong asymptote
para sa function na graph na may "x" na tumutukoy sa zero sa kanan.
Siguraduhing malaman at alalahanin ang pangkaraniwang halaga ng logarithm: .
Ang grar ng logarithm ay mukhang pareho sa base: ,, (perpektong logarithm batay sa base 10), atbp. Bukod dito, mas malaki ang base, mas banayad ang iskedyul.
Hindi namin isasaalang-alang ang kaso; Hindi ko naalala ang isang bagay kapag ang huling oras na nagtayo ako ng isang iskedyul na may ganoong kadahilanan. At ang logarithm ay tila isang napakabihirang panauhin sa mas mataas na mga problema sa matematika.
Sa konklusyon, sasabihin ko ang isa pang katotohanan: Ang pagpapaandar na function at logarithmic functionAy dalawang magkasamang kabaligtaran na pag-andar. Kung titingnan mo nang maigi ang graph ng logarithm, maaari mong makita na pareho itong exponent, matatagpuan lamang ito nang kaunti.
Mga graphic ng mga function ng trigonometric
Ano ang nagsisimula sa pagdurusa sa trigonometriko sa paaralan? Tama. Gamit ang sine
Plano namin ang pag-andar
Ang linya na ito ay tinatawag sine wave.
Naaalala ko sa iyo na ang "pi" ay isang hindi makatwiran na numero:, at sa trigonometrya mula dito ay mga mata sa mata.
Ang pangunahing katangian ng pag-andar:
Ang function na ito ay isang pana-panahon may tagal. Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan natin ang segment. Sa kaliwa at sa kanan nito, eksakto ang parehong piraso ng graph ay paulit-ulit na walang katapusang.
Domain:, iyon ay, para sa anumang halaga ng "X" mayroong isang halaga ng sine.
Saklaw ng mga Pinahahalagahan:. Function ay limitado:, iyon ay, ang lahat ng "mga laro" ay nakaupo nang mahigpit sa segment.
Hindi ito nangyayari: o, mas tumpak, nangyayari ito, ngunit ang mga ipinahiwatig na mga equation ay walang solusyon. |
Parabola. Ang grap ng function ng quadratic () ay isang parabola. Isaalang-alang ang canonical case:
Alalahanin ang ilang mga katangian ng pag-andar.
Ang saklaw ay anumang tunay na numero (anumang x-halaga). Ano ang ibig sabihin nito? Anumang punto sa axis na pipiliin namin - para sa bawat "X" ay mayroong isang parabola point. Matematika, nakasulat ito tulad nito:. Ang saklaw ng anumang pag-andar ay pamantayang ipinakilala ng o. Ang liham ay nagpapahiwatig ng isang hanay ng mga tunay na numero o, mas simple, "anumang X" (kapag ang gawain ay naisakatuparan sa isang kuwaderno, sumusulat sila hindi isang kulot na liham, ngunit isang matapang na sulat R).
Ang saklaw ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng mga halaga na maaaring makuha ng variable ng manlalaro. Sa kasong ito: - marami positibong halagakabilang ang zero. Ang saklaw ng mga halaga ay karaniwang ipinahiwatig ng o.
Function ay kahit na. Kung ang pag-andar ay kahit na, kung gayon ang graph nito ay simetriko tungkol sa axis. Ito ay lubhang kapaki-pakinabang na pag-aari, na lubos na pinapasimple ang pagtatayo ng iskedyul, na malapit na nating makita. Sa analytically, ang pagkakapare-pareho ng isang function ay ipinahayag ng isang kondisyon. Paano suriin ang anumang pag-andar para sa pagkakapare-pareho? Ito ay kinakailangan upang kapalit sa equation. Sa kaso ng isang parabola, ganito ang hitsura ng tseke: nangangahulugang ang function ay kahit na.
Pag-andar hindi limitado mula sa itaas. Sa analytically, ang isang pag-aari ay nakasulat na tulad nito: Sa pamamagitan ng paraan, narito ang isang halimbawa ng geometric na kahulugan ng limitasyon ng pag-andar: kung sasabay tayo sa axis (kaliwa o kanan) hanggang sa kawalang-hanggan, kung gayon ang mga sanga ng parabola ("pag-play") ay aakyat nang walang limitasyong "plus infinity".
Sa mga limitasyon ng pag-aaral ng pag-aaral kanais-nais na maunawaan ang geometric na kahulugan ng limitasyon.
Ito ay hindi sinasadya na pininturahan ko ang mga katangian ng pag-andar nang detalyado, ang lahat ng mga bagay sa itaas ay kapaki-pakinabang upang malaman at alalahanin kapag ang pag-plot ng mga pag-andar, pati na rin kapag ginalugad ang mga function ng mga grap.
Halimbawa 2
Pag-andar ng plot 
.
Sa halimbawang ito, titingnan natin ang isang mahalagang teknikal na tanong: Paano mabilis na bumuo ng isang parabola? Sa mga praktikal na gawain, ang pagguhit ng isang parabola ay madalas na bumangon, lalo na, kapag kinakalkula mga parisukat na hugis gamit tiyak na integral
. Samakatuwid, ipinapayong malaman kung paano gumuhit nang mabilis, na may kaunting pagkawala ng oras. Iminumungkahi ko ang sumusunod na algorithm ng konstruksyon.
Una ay matatagpuan namin ang tuktok ng parabola. Upang gawin ito, kunin ang unang derivative at ihambing ito sa zero:
Kung ang mga derivatives ay masama, dapat mong basahin ang aralin. Paano makahanap ng isang hinuha?
Kaya, ang solusyon sa aming equation: - sa puntong ito ay matatagpuan ang tuktok ng parabola. Kinakalkula namin ang kaukulang halaga ng "laro":
Kaya ang vertex ay nasa punto
Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang brazenly ginagamit namin ang simetrya ng parabola. Dapat pansinin na ang pagpapaandar – hindi manngunit, gayunpaman, walang sinuman ang nagkansela ng simetrya ng parabola.
Sa anong order upang mahanap ang natitirang mga puntos, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:
Ang algorithm ng konstruksyon na ito ay maaaring mailalarawan na tinatawag na "shuttle". Marahil hindi lahat ay naiintindihan ang kakanyahan ng shuttle, pagkatapos para sa paghahambing ay ipinapaalala ko sa iyo ang kilalang palabas sa TV na "tudy-syudy kay Anfisa Chekhova".
Isagawa natin ang pagguhit:
Mula sa mga graph na napagmasdan, isa pang kapaki-pakinabang na pag-sign ay naalala:
Para sa isang quadratic function (), ang sumusunod ay totoo:
Kung, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas.
Kung, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta.
Cubic parabola
Ang cubic parabola ay naka-set sa pamamagitan ng pag-andar. Narito ang isang pagguhit na pamilyar mula sa paaralan:
Inilista namin ang mga pangunahing katangian ng pag-andar
Saklaw - anumang tunay na numero:.
Ang saklaw ng mga halaga ay anumang tunay na numero:.
Function ay kakaiba. Kung ang pag-andar ay kakaiba, kung gayon ang graph nito ay simetriko na may paggalang sa pinanggalingan. Sa analytically, ang kakatwa ng isang function ay ipinahayag ng kundisyon 
. Nagsasagawa kami ng isang tseke para sa function na kubiko, para dito, sa halip na "X", kapalit ng "minus X":
, kung gayon ang pag-andar ay kakaiba.
Pag-andar hindi limitado. Sa wika ng mga limitasyon ng pag-andar, maaari itong isulat tulad ng sumusunod:
Mas mahusay din na bumuo ng isang cubic parabola sa tulong ng "shuttle" algorithm ni Anfisa Chekhova:
Tiyak, napansin mo kung ano pa ang kakatwa ng pag-andar ay ipinahayag sa. Kung nalaman namin iyon 
, pagkatapos kapag ang pagkalkula nito ay hindi na kinakailangan upang mabilang ang anumang, awtomatikong isulat iyon. Ang tampok na ito ay totoo para sa anumang kakaibang pag-andar.
Ngayon pag-usapan natin ang kaunti tungkol sa mga polynomial graph.
Grapiko ng anumang ikatlong degree na polynomial 
() karaniwang may sumusunod na form:
Sa halimbawang ito, ang koepisyent ay nasa pinakamataas na antas, kaya nababaligtad ang graph. Sa prinsipyo, ang mga graph ng mga polynomial ng ika-5, ika-7, ika-9, at iba pang mga kakaibang degree ay mahalagang kaparehong anyo. Ang mas mataas na degree, ang mas intermediate na "zagibulin".
Ang mga polynomial ng ika-4, ika-6 at iba pang mga degree ay may isang graph ng panimulang pagsunod sa form:
Ang kaalamang ito ay kapaki-pakinabang sa pagsusuri sa mga graph ng function.
Function graph
Isagawa natin ang pagguhit:
Ang pangunahing katangian ng pag-andar:
Domain:.
Saklaw ng mga Pinahahalagahan:.
Iyon ay, ang function ng graph ay ganap na sa unang quarter ng coordinate.
Pag-andar hindi limitado mula sa itaas. O gamit ang limitasyon: 
Kapag itinatayo ang pinakasimpleng mga graph na may mga ugat, angkop din ang isang paraan ng konstruksyon, samantalang kapaki-pakinabang na piliin ang mga "X" na mga halaga upang ang ugat ay nakuha nang ganap:
Sa katunayan, nais kong mag-parse ng higit pang mga halimbawa na may mga ugat, halimbawa, ngunit hindi gaanong karaniwan ang mga ito. Nakatuon ako sa mas karaniwang mga kaso, at, tulad ng nagpapakita ng kasanayan, isang bagay tulad ng kinakailangang maitayo nang mas madalas. Kung kinakailangan upang malaman kung ano ang hitsura ng mga graph sa iba pang mga ugat, pagkatapos ay inirerekumenda kong tingnan mo ang aklat ng paaralan o aklat ng sangguniang matematika.
Hyperbola graph
Muli, tandaan ang walang kuwentang "paaralan" na hyperbole.
Isagawa natin ang pagguhit:
Ang pangunahing katangian ng pag-andar:
Domain:.
Saklaw ng mga Pinahahalagahan:.
Ang entry ay nangangahulugang: "anumang totoong numero na hindi kasama ang zero"
Sa isang punto, ang pag-andar ay naghihirap ng isang walang hanggan na pahinga. O gamit unilateralmga limitasyon:,. Pag-usapan natin ng kaunti ang tungkol sa isang limitasyong limitasyon. Ang entry ay nangangahulugang kami walang hanggan malapit papalapit sa axis sa zero kaliwa. Paano kumilos ang iskedyul? Bumaba siya sa minus infinity walang hanggan malapit papalapit sa axis. Ito ang katotohanang ito ay nakasulat sa pamamagitan ng limitasyon. Katulad nito, ang pagpasok ay nangangahulugang kami walang hanggan malapit papalapit sa axis sa zero sa kanan. Sa kasong ito, ang sangay ng hyperbola ay tumataas sa pamamagitan ng dagdag na kawalang-hanggan, walang hanggan malapit papalapit sa axis. O sa madaling sabi:.
medyo
saan Sa madaling salita, ang pag-andar ng kubiko ay tinukoy ng isang polynomial ng ikatlong degree.
Mga katangian ng analytic
Application
Minsan ginagamit ang isang cubic parabola upang kalkulahin ang curve ng paglipat sa transportasyon, dahil ang pagkalkula nito ay mas simple kaysa sa pagtatayo ng isang clothoid.
Tingnan din
Sumulat ng isang pagsusuri sa artikulong "Cubic Function"
Mga Tala
Panitikan
- L. S. Pontryagin, // "Dami", 1984, Hindi.
- I. N. Bronstein, K. A. Semendyaev, "Isang Handbook ng Matematika", Publishing House "Science", M. 1967, p. 84
Sipi sa Cubic Function
"Well, doon, para sa anumang ..."
Sa oras na ito, si Petya, na walang nagpansin, ay lumapit sa kanyang ama at, lahat ay pula, nagkalas, pagkatapos ay sa isang malupit, pagkatapos ay sa isang manipis na tinig, ay nagsabi:
"Well, tatay, tiyak na sasabihin ko - at si mama rin, ayon sa gusto mo," sasabihin ko na pinapayagan mo ako serbisyong militardahil hindi ko kaya ... iyon lang ...
Ang countess ay tumingala sa kakila-kilabot sa kalangitan, hinaplos ang kanyang mga kamay at galit na lumingon sa kanyang asawa.
- Kaya pumayag ako! - sabi niya.
Ngunit agad na nakuhang muli ang bilang mula sa kanyang pagkasabik.
"Well, well," sinabi niya. - Narito pa ang isang mandirigma! Mag-iwan ng katarantaduhan: kailangan mong matuto.
- Hindi ito bobo, tatay. Si Obolensky Fedya ay mas bata kaysa sa akin at napupunta rin, at pinakamahalaga, lahat ay pareho, wala akong matututuhan ngayon ... - Huminto si Petya, namumula ng pawis at nagsabing pareho: - kapag nasa peligro ang inang bayan.
- Puno, buo, bobo ...
"Aba, sinabi mo mismo na isakripisyo namin ang lahat."
"Petya, sinasabi ko sa iyo, shut up," ang count sumigaw, na tumingin sa likod ng kanyang asawa, na, namumutla, ay tumingin nang may nakapikit na mata sa mas maliit na anak na lalaki.
"At sinasabi ko sa iyo." Kaya sasabihin ni Pyotr Kirillovich ...
- Sinasabi ko sa iyo - bagay na walang kapararakan, ang gatas ay hindi pa tuyo, ngunit nais na pumunta sa serbisyo ng militar! Well, well, sasabihin ko sa iyo, - at ang Bilang, na kumuha ng mga papeles, marahil upang basahin muli sa kanyang pag-aaral bago magpahinga, lumabas sa silid.
- Si Pyotr Kirillovich, well, umalis tayo sa usok ...
Nahihiya at walang malay si Pierre. Ang hindi pangkaraniwang napakatalino at malambing na mga mata ni Natasha na patuloy, na higit sa pagmamahal na lumingon sa kanya, ay nagdala sa kanya sa ganitong estado.
"Hindi, sa tingin ko uuwi ako ..."
- Paano umuwi, ngunit nais mong magkaroon ng isang gabi sa amin ... At na bihirang nagsimulang mangyari. At ang isang ito ay akin ... - sabi ng Bilang na mabuti, na tumuturo kay Natasha, - kasama mo lamang siya ay masayang-masaya ...
- Oo, nakalimutan ko ... Kailangan kong umuwi ... Mga kaso ... - mabilis na sinabi ni Pierre.
"Well, paalam," sabi ni Earl, na ganap na umalis sa silid.
"Bakit ka aalis?" Bakit ka nagagalit? Bakit? .. - tanong ni Pierre Natasha na nakatingin sa kanyang paningin.
"Dahil mahal kita! Gusto niyang sabihin, ngunit hindi niya ito sinabi, namula siya sa luha at ibinaba ang kanyang mga mata.
"Dahil mas mabuti para sa akin na bisitahin ka nang mas kaunti ... Dahil ... hindi, ito lang ang negosyo ko."
- Mula sa kung ano? hindi, sabihin mo sa akin, - Nagsisimula nang matukoy si Natasha, at biglang tumahimik. Pareho silang nakatingin sa isa't isa, nagulat at nalilito. Sinubukan niyang ngumisi, ngunit hindi magawa: ang kanyang ngiti ay nagpahayag ng pagdurusa, at tahimik siyang hinalikan ang kanyang kamay at lumabas.
Nagpasya si Pierre sa sarili niyang hindi na makasama ang mga Rostovs. Si Petya, pagkatapos ng isang mapagpasyang pagtanggi na natanggap niya, ay pumasok sa kanyang silid at doon, isinara ang kanyang sarili sa lahat, umiyak ng labis. Ginawa ng lahat na parang hindi nila napansin ang anumang bagay pagdating sa tsaa na tahimik at madilim, na may luha na mga mata.
Kinabukasan, dumating ang emperor. Maraming mga tao sa bakuran Rostovs umalis umalis upang tumingin sa hari. Kaninang umaga, nagbihis si Petya ng mahabang panahon, isinuklay ang kanyang buhok, at inayos ang mga kwelyo tulad ng ginawa niya sa mga malalaki. Sumimangot siya sa harap ng salamin, gumawa ng mga galaw, nagkibit-balikat, at sa wakas, nang hindi sinasabi sa sinuman, ilagay ang kanyang cap at iniwan ang bahay mula sa likod na beranda, sinusubukan na hindi mapansin. Nagpasya si Petya na dumiretso sa lugar kung saan naroon ang soberanya, at direktang ipaliwanag sa ilang aparador (naisip ni Petya na ang soberanya ay palaging napapalibutan ng mga kamara) na siya, si Count Rostov, sa kabila ng kanyang kabataan, ay nais na maglingkod sa kanyang sariling lupain, na ang kabataan ay hindi maaaring maging isang balakid para sa debosyon at handa na siya ... Si Petya, habang naghahanda siya, naghanda ng maraming magagandang salita na sasabihin niya sa punong kawani.
Parabola. Ang grap ng function ng quadratic () ay isang parabola. Isaalang-alang ang canonical case:
Alalahanin ang ilang mga katangian ng pag-andar.
Ang saklaw ay anumang tunay na numero (anumang x-halaga). Ano ang ibig sabihin nito? Anumang punto sa axis na pipiliin namin - para sa bawat "X" ay mayroong isang parabola point. Matematika, nakasulat ito tulad nito:. Ang saklaw ng anumang pag-andar ay pamantayang ipinakilala ng o. Ang liham ay nagpapahiwatig ng isang hanay ng mga tunay na numero o, mas simple, "anumang X" (kapag ang gawain ay naisakatuparan sa isang kuwaderno, sumusulat sila hindi isang kulot na liham, ngunit isang matapang na sulat R).
Ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng mga halaga na maaaring makuha ng variable ng manlalaro. Sa kasong ito: - ang hanay ng lahat ng mga positibong halaga, kabilang ang zero. Ang saklaw ng mga halaga ay karaniwang sinasagisag ng o.
Function ay kahit na. Kung ang pag-andar ay kahit na, kung gayon ang graph nito ay simetriko tungkol sa axis. Ito ay isang napaka-kapaki-pakinabang na ari-arian, na lubos na pinapasimple ang pagtatayo ng graph, na malapit na nating makita. Sa analytically, ang pagkakapare-pareho ng isang function ay ipinahayag ng isang kondisyon. Paano suriin ang anumang pag-andar para sa pagkakapare-pareho? Ito ay kinakailangan upang kapalit sa equation. Sa kaso ng isang parabola, ganito ang hitsura ng tseke: nangangahulugang ang function ay kahit na.
Pag-andar hindi limitado mula sa itaas. Sa analytically, ang isang pag-aari ay nakasulat na tulad nito: Sa pamamagitan ng paraan, narito ang isang halimbawa ng geometric na kahulugan ng limitasyon ng pag-andar: kung sasabay tayo sa axis (kaliwa o kanan) hanggang sa kawalang-hanggan, kung gayon ang mga sanga ng parabola ("pag-play") ay aakyat nang walang limitasyong "plus infinity".
Sa mga limitasyon ng pag-aaral ng pag-aaral kanais-nais na maunawaan ang geometric na kahulugan ng limitasyon.
Ito ay hindi sinasadya na pininturahan ko ang mga katangian ng pag-andar nang detalyado, ang lahat ng mga bagay sa itaas ay kapaki-pakinabang upang malaman at alalahanin kapag ang pag-plot ng mga pag-andar, pati na rin kapag ginalugad ang mga function ng mga grap.
Halimbawa 2
Pag-andar ng plot 
.
Sa halimbawang ito, titingnan natin ang isang mahalagang teknikal na tanong: Paano mabilis na bumuo ng isang parabola? Sa mga praktikal na gawain, ang pangangailangan na gumuhit ng isang parabola ay madalas na lumitaw, lalo na, kapag kinakalkula ang lugar ng isang pigura gamit ang isang tiyak na integral. Samakatuwid, kanais-nais na malaman kung paano gumuhit ng mabilis, na may kaunting pagkawala ng oras. Iminumungkahi ko ang sumusunod na algorithm ng konstruksyon.
Una ay matatagpuan namin ang tuktok ng parabola. Upang gawin ito, kunin ang unang derivative at ihambing ito sa zero:
Kung ang mga derivatives ay masama, dapat mong basahin ang aralin. Paano makahanap ng isang hinuha?
Kaya, ang solusyon sa aming equation: - sa puntong ito ay matatagpuan ang tuktok ng parabola. Kinakalkula namin ang kaukulang halaga ng "laro":
Kaya ang vertex ay nasa punto
Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang brazenly ginagamit namin ang simetrya ng parabola. Dapat pansinin na ang pagpapaandar – hindi manngunit, gayunpaman, walang sinuman ang nagkansela ng simetrya ng parabola.
Sa anong order upang mahanap ang natitirang mga puntos, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:
Ang algorithm ng konstruksyon na ito ay maaaring mailalarawan na tinatawag na "shuttle". Marahil hindi lahat ay naiintindihan ang kakanyahan ng shuttle, pagkatapos para sa paghahambing ay ipinapaalala ko sa iyo ang kilalang palabas sa TV na "tudy-syudy kay Anfisa Chekhova".
Isagawa natin ang pagguhit:
Mula sa mga graph na napagmasdan, isa pang kapaki-pakinabang na pag-sign ay naalala:
Para sa isang quadratic function (), ang sumusunod ay totoo:
Kung, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas.
Kung, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta.
Cubic parabola
Ang cubic parabola ay naka-set sa pamamagitan ng pag-andar. Narito ang isang pagguhit na pamilyar mula sa paaralan:
Inilista namin ang mga pangunahing katangian ng pag-andar
Saklaw - anumang tunay na numero:.
Ang saklaw ng mga halaga ay anumang tunay na numero:.
Function ay kakaiba. Kung ang pag-andar ay kakaiba, kung gayon ang graph nito ay simetriko na may paggalang sa pinanggalingan. Sa analytically, ang kakatwa ng isang function ay ipinahayag ng kundisyon 
. Nagsasagawa kami ng isang tseke para sa function na kubiko, para dito, sa halip na "X", kapalit ng "minus X":
, kung gayon ang pag-andar ay kakaiba.
Pag-andar hindi limitado. Sa wika ng mga limitasyon ng pag-andar, maaari itong isulat tulad ng sumusunod:
Mas mahusay din na bumuo ng isang cubic parabola sa tulong ng "shuttle" algorithm ni Anfisa Chekhova:
Tiyak, napansin mo kung ano pa ang kakatwa ng pag-andar ay ipinahayag sa. Kung nalaman namin iyon 
, pagkatapos kapag ang pagkalkula nito ay hindi na kinakailangan upang mabilang ang anumang, awtomatikong isulat iyon. Ang tampok na ito ay totoo para sa anumang kakaibang pag-andar.
Ngayon pag-usapan natin ang kaunti tungkol sa mga polynomial graph.
Grapiko ng anumang ikatlong degree na polynomial 
() karaniwang may sumusunod na form:
Sa halimbawang ito, ang koepisyent ay nasa pinakamataas na antas, kaya nababaligtad ang graph. Sa prinsipyo, ang mga graph ng mga polynomial ng ika-5, ika-7, ika-9, at iba pang mga kakaibang degree ay mahalagang kaparehong anyo. Ang mas mataas na degree, ang mas intermediate na "zagibulin".
Ang mga polynomial ng ika-4, ika-6 at iba pang mga degree ay may isang graph ng panimulang pagsunod sa form:
Ang kaalamang ito ay kapaki-pakinabang sa pagsusuri sa mga graph ng function.
Function graph
Isagawa natin ang pagguhit:
Ang pangunahing katangian ng pag-andar:
Domain:.
Saklaw ng mga Pinahahalagahan:.
Iyon ay, ang function ng graph ay ganap na sa unang quarter ng coordinate.
Pag-andar hindi limitado mula sa itaas. O gamit ang limitasyon: 
Kapag itinatayo ang pinakasimpleng mga graph na may mga ugat, angkop din ang isang paraan ng konstruksyon, samantalang kapaki-pakinabang na piliin ang mga "X" na mga halaga upang ang ugat ay nakuha nang ganap:
Ang pag-andar y \u003d x ^ 2 ay tinatawag na pag-andar ng quadratic. Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola. Pangkalahatang form ang mga parabolas ay ipinakita sa figure sa ibaba.
Quadratic function
Fig 1. Pangkalahatang pananaw ng parabola
Tulad ng makikita mula sa grapiko, ito ay simetriko tungkol sa axis Oy. Ang axis na si Oy ay tinawag na axis ng symmetry ng parabola. Nangangahulugan ito na kung gumuhit ka sa graph ng isang linya na kahanay sa axis ng Ox sa itaas ng axis na ito. Pagkatapos ay tatawid niya ang parabola sa dalawang puntos. Ang distansya mula sa mga puntong ito hanggang sa Oy axis ay magiging pareho.
Ang axis ng simetrya ay naghahati sa graph ng parabola sa dalawang bahagi. Ang mga bahaging ito ay tinatawag na mga sanga ng parabola. At ang punto ng parabola na nakasalalay sa axis ng symmetry ay tinatawag na vertex ng parabola. Iyon ay, ang axis ng simetrya ay dumadaan sa tuktok ng parabola. Ang mga coordinate ng puntong ito (0; 0).
Mga pangunahing katangian ng isang parisukat na pag-andar
1. Para sa x \u003d 0, y \u003d 0, at y\u003e 0 para sa x0
2. Pinakamababang halaga ang pag-andar ng quadratic ay umabot sa rurok nito. Ymin sa x \u003d 0; Dapat ding pansinin iyon maximum na halaga ang pag-andar ay hindi umiiral.
3. Ang pag-andar ay bumababa sa agwat (-∞; 0] at pagtaas sa pagitan)
