Kung ilalagay mo ang bilog na numero ng unit mag-coordinate ng eroplano, pagkatapos ay matatagpuan ang mga coordinate para sa mga puntos nito. Ang bilog na bilang ay nakaposisyon upang ang gitna nito ay sumabay sa puntong pinagmulan ng eroplano, iyon ay, ang puntong O (0; 0).

Kadalasan sa bilog ng numero ng yunit, ang mga puntos ay minarkahan na naaayon mula sa pinagmulan sa bilog

• quarters - 0 o 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• kalagitnaan ng tirahan - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• ikatlo ng mga tirahan - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

Sa coordinate na eroplano na may lokasyon sa itaas ng bilog ng yunit dito, maaari mong makita ang mga coordinate na naaayon sa mga puntong ito ng bilog.

Ang mga coordinate ng mga dulo ng quarters ay napakadaling hanapin. Sa puntong 0 ng bilog, ang x coordinate ay 1, at y ay 0. Maaari itong maipahiwatig bilang A (0) \u003d A (1; 0).

Ang pagtatapos ng unang isang-kapat ay matatagpuan sa positibong y-axis. Samakatuwid, B (π / 2) \u003d B (0; 1).

Ang pagtatapos ng ikalawang isang-kapat ay nasa negatibong semiaxis: C (π) \u003d C (-1; 0).

Pagtatapos ng ikatlong kwarter: D ((2π) / 3) \u003d D (0; -1).

Ngunit paano mo mahahanap ang mga koordinasyon ng mga midpoints ng quarters? Para dito itinatayo nila kanang tatsulok... Ang hypotenuse nito ay isang segment mula sa gitna ng bilog (o pinagmulan) hanggang sa kalagitnaan ng bilog na kapat. Ito ang radius ng bilog. Dahil ang bilog ay yunit, ang hypotenuse ay 1. Susunod, ang isang patayo ay iginuhit mula sa punto ng bilog sa anumang axis. Hayaan itong patungo sa x-axis. Ito ay naging isang tatsulok na may anggulo, ang haba ng mga binti na kung saan ay ang x at y mga coordinate ng punto ng bilog.

Ang quarter circle ay 90º. At kalahating isang-kapat ay 45º. Dahil ang hypotenuse ay iginuhit sa midpoint ng quarter, ang anggulo sa pagitan ng hypotenuse at ang leg na umaabot mula sa pinagmulan ay 45º. Ngunit ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay 180º. Samakatuwid, ang anggulo sa pagitan ng hypotenuse at ng iba pang mga binti ay 45º din. Ito ay naging isang isosceles na kanang tatsulok.

Mula sa Pythagorean theorem nakakakuha kami ng equation x 2 + y 2 \u003d 1 2. Dahil x \u003d y at 1 2 \u003d 1, ang equation ay pinasimple sa x 2 + x 2 \u003d 1. Ang paglutas nito, nakakakuha kami ng x \u003d √½ \u003d 1 / √2 \u003d √2 / 2.

Kaya, ang mga coordinate ng point ay M 1 (π / 4) \u003d M 1 (√2 / 2; √2 / 2).

Sa mga coordinate ng mga point ng midpoints ng iba pang mga quarters, ang mga palatandaan lamang ang magbabago, at ang moduli ng mga halaga ay mananatiling pareho, dahil ang kanang-tatsulok na tatsulok ay mababaligtad lamang. Nakukuha namin:
M 2 ((3π) / 4) \u003d M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) \u003d M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) \u003d M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

Kapag tinutukoy ang mga coordinate ng mga ikatlong bahagi ng mga quarters ng bilog, isang tatsulok na may tatad na kanang ay binuo din. Kung kukuha kami ng puntong / 6 at iguhit ang isang patayo sa x axis, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng hypotenuse at ng binti na nakahiga sa x axis ay magiging 30º. Alam na ang isang binti na nakahiga sa tapat ng isang anggulo ng 30 degree ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse. Kaya nakita namin ang koordinasyon ng y, katumbas ito ng ½.

Alam ang haba ng hypotenuse at isa sa mga binti, ayon sa teorama ng Pythagorean, nakakita kami ng isa pang binti:
x 2 + (½) 2 \u003d 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x \u003d √3 / 2

Kaya, T 1 (π / 6) \u003d T 1 (√3 / 2; ½).

Para sa punto ng ikalawang ikatlong ng unang isang-kapat (π / 3), mas mahusay na gumuhit ng isang patayo sa axis sa y axis. Pagkatapos ang anggulo sa pinagmulan ay magiging 30º din. Dito, ang x coordinate ay magiging pantay sa ½, at y, ayon sa pagkakabanggit, √3 / 2: T 2 (π / 3) \u003d T 2 (½; √3 / 2).

Para sa iba pang mga puntos sa ikatlong tirahan, ang mga palatandaan at pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng coordinate ay magbabago. Ang lahat ng mga puntos na malapit sa x-axis ay magkakaroon ng x-coordinate modulo √3 / 2. Ang mga puntong iyon na mas malapit sa y-axis ay magkakaroon ng y-halaga na √3 / 2 sa ganap na halaga.
T 3 ((2π) / 3) \u003d T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) \u003d T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) \u003d T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) \u003d T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) \u003d T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) \u003d T 8 (√3 / 2; -½)

Ang Matematika ay isang komplikadong agham. Ang pag-aaral nito, ang isa ay hindi lamang dapat malutas ang mga halimbawa at problema, ngunit gumana rin sa iba't ibang mga hugis, at kahit mga eroplano. Ang isa sa mga pinaka ginagamit sa matematika ay ang sistema ng coordinate ng eroplano. Tamang trabaho ang mga bata ay tinuruan kasama niya ng higit sa isang taon. Samakatuwid, mahalagang malaman kung ano ito at kung paano ito gumagana nang tama.

Tingnan natin kung ano ang bumubuo ang sistemang ito, kung anong mga pagkilos ang maaaring gampanan sa tulong nito, at alamin din ang mga pangunahing katangian at tampok nito.

Kahulugan ng konsepto

Ang isang sasakyang panghimpapawid na eroplano ay isang eroplano kung saan tinukoy ang isang tukoy na sistema ng coordinate. Ang nasabing eroplano ay tinukoy ng dalawang tuwid na mga linya na tumatawid sa tamang mga anggulo. Ang pinagmulan ng mga coordinate ay sa punto ng intersection ng mga linyang ito. Ang bawat punto sa eroplano ng coordinate ay tinukoy ng isang pares ng mga numero na tinatawag na mga coordinate.

Sa isang kurso sa matematika sa paaralan, ang mga mag-aaral ay kailangang gumana nang malapit sa isang sistema ng coordinate - bumuo ng mga numero at mga puntos dito, matukoy kung aling eroplano ito o ang coordinate na kabilang, at tukuyin din ang mga coordinate ng isang punto at isulat o pangalanan ang mga ito. Samakatuwid, pag-usapan natin nang mas detalyado ang tungkol sa lahat ng mga tampok ng mga coordinate. Ngunit una, pindutin natin ang kasaysayan ng paglikha, at pagkatapos ay pag-uusapan natin kung paano magtrabaho sa koordinasyong eroplano.

Sanggunian sa kasaysayan

Ang mga ideya para sa paglikha ng isang coordinate system ay nasa panahon na ni Ptolemy. Kahit na noon, ang mga astronomo at matematika ay nag-iisip tungkol sa kung paano malaman kung paano itakda ang posisyon ng isang punto sa isang eroplano. Sa kasamaang palad, sa oras na iyon ay wala pang sistema ng coordinate na kilala sa amin, at ang mga siyentipiko ay kailangang gumamit ng iba pang mga system.

Sa una, nagtakda sila ng mga puntos sa pamamagitan ng pagtukoy ng latitude at longitude. Sa mahabang panahon ito ay isa sa mga pinaka ginagamit na paraan upang mapa ang impormasyon. Ngunit noong 1637, lumikha si Rene Descartes ng kanyang sariling sistema ng coordinate, na kalaunan ay pinangalanang "Cartesian".

Nakapasok na huli na XVII sa. ang konsepto ng "coordinate eroplano" ay naging malawak na ginamit sa mundo ng matematika. Sa kabila ng katotohanang lumipas ang maraming siglo mula nang likhain ang sistemang ito, malawak pa rin itong ginagamit sa matematika at maging sa buhay.

Pag-ugnayin ang mga halimbawa ng eroplano

Bago pag-usapan ang tungkol sa teorya, narito ang ilang mga nakalarawang halimbawa ng coordinate plane upang maiisip mo ito. Pangunahin na ginagamit ang sistema ng coordinate sa chess. Sa pisara, ang bawat parisukat ay may sariling mga koordinasyon - isang titik na coordinate, ang pangalawang digital isa. Sa tulong nito, maaari mong matukoy ang posisyon ng isang partikular na piraso sa pisara.

Ang pangalawang pinaka-kapansin-pansin na halimbawa ay ang minamahal ng maraming laro na "Sea Battle". Tandaan kung paano, habang naglalaro, pinangalanan mo ang koordinasyon, halimbawa, B3, sa gayon ay ipinapahiwatig nang eksakto kung saan mo pupuntahan. Sa parehong oras, paglalagay ng mga barko, magtakda ka ng mga puntos sa coordinate na eroplano.

Ang coordinate system na ito ay malawakang ginagamit hindi lamang sa matematika, mga laro sa lohika, kundi pati na rin sa mga gawain sa militar, astronomiya, pisika at marami pang ibang agham.

Coordinate axes

Tulad ng nabanggit na, ang dalawang palakol ay nakikilala sa koordinate system. Pag-usapan natin nang kaunti ang tungkol sa kanila, dahil ang mga ito ay may malaking kahalagahan.

Ang unang axis, abscissa, ay pahalang. Ito ay tinukoy bilang ( Baka). Ang pangalawang axis ay ang ordinate, na tumatakbo nang patayo sa pamamagitan ng sanggunian at tinukoy bilang ( Oy). Ang dalawang palakol na ito ang bumubuo sa coordinate system, na hinahati ang eroplano sa apat na quarters. Ang pinagmulan ay sa punto ng intersection ng dalawang mga palakol at kukunin ang halaga 0 ... Kung ang eroplano ay nabuo ng dalawang palakol na nagkakabit ng patayo, pagkakaroon ng isang sangguniang punto, ito ay isang koordinasyong eroplano.

Tandaan din na ang bawat isa sa mga palakol ay may sariling direksyon. Karaniwan, kapag nagtatayo ng isang coordinate system, kaugalian na ipahiwatig ang direksyon ng axis sa anyo ng isang arrow. Bilang karagdagan, kapag nagtatayo ng isang sasakyang panghimpapawid ng eroplano, ang bawat isa sa mga palakol ay nilagdaan.

Mga tirahan

Ngayon sabihin natin ang ilang mga salita tungkol sa gayong konsepto bilang isang isang-kapat ng sasakyang panghimpapawid na eroplano. Ang eroplano ay nahahati sa pamamagitan ng dalawang palakol sa apat na tirahan. Ang bawat isa sa kanila ay may sariling numero, habang ang pagnunumero ng mga eroplano ay pakaliwa.

Ang bawat isa sa mga tirahan ay may sariling mga katangian. Kaya, sa unang isang-kapat ang abscissa at ordinate ay positibo, sa ikalawang isang-kapat ang abscissa ay negatibo, ang ordinate ay positibo, sa pangatlo kapwa ang abscissa at ang ordinate ay negatibo, sa ika-apat na positibo ang abscissa, at ang ordinate ay negatibo.

Pag-alala sa mga tampok na ito, madali mong matukoy kung aling quarter ito o sa puntong iyon kabilang. Bilang karagdagan, ang impormasyong ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo kahit na kailangan mong gumawa ng mga kalkulasyon gamit ang sistemang Cartesian.

Nagtatrabaho sa isang sasakyang panghimpapawid na eroplano

Kapag nalaman namin ang konsepto ng isang eroplano at pinag-usapan ang mga quarters nito, maaari tayong magpatuloy sa isang problema tulad ng pagtatrabaho sa sistemang ito, at pag-usapan din kung paano ilapat ang mga puntos at koordinasyon ng mga numero dito. Sa coordinate na eroplano, ito ay hindi mahirap tulad ng maaaring mukhang sa unang tingin.

Una sa lahat, ang system mismo ay binuo, lahat ng mahahalagang pagtatalaga ay inilalapat dito. Pagkatapos ay nagtatrabaho kami nang direkta sa mga puntos o hugis. Sa kasong ito, kahit na nagtatayo ng mga numero, ang mga puntos ay unang iginuhit sa eroplano, at pagkatapos ay iginuhit ang mga numero.

Mga panuntunan sa pagtatayo ng eroplano

Kung magpasya kang simulan ang pagmamarka ng mga hugis at puntos sa papel, kailangan mo ng isang coordinate na eroplano. Ang mga coordinate ng mga puntos ay inilalapat dito. Upang makabuo ng isang sasakyang panghimpapawid na eroplano, kailangan mo lamang ng isang pinuno at isang panulat o lapis. Una, ang pahalang na abscissa ay iginuhit, pagkatapos ang patayo - ayusin. Mahalagang tandaan na ang mga palakol ay lumusot sa tamang mga anggulo.

Susunod ipinag-uutos na item ay pagmamarka. Sa bawat isang palakol sa parehong direksyon, ang mga unit-segment ay minarkahan at nilagdaan. Ginagawa ito upang maaari ka nang magtrabaho kasama ang eroplano na may maximum na kaginhawaan.

Markahan ang punto

Ngayon pag-usapan natin tungkol sa kung paano i-plot ang mga coordinate ng mga puntos sa eroplano na coordinate. Ito ang mga pangunahing kaalaman na kailangan mong malaman upang matagumpay na mailagay ang iba't ibang mga hugis sa isang eroplano, at kahit markahan ang mga equation.

Kapag naglalagay ng mga puntos, tandaan kung paano maitatala nang tama ang kanilang mga coordinate. Kaya, karaniwang nagbibigay ng isang panahon, dalawang numero ang nakasulat sa mga braket. Ang unang numero ay nagsasaad ng koordinasyon ng punto kasama ang abscissa axis, ang pangalawa - kasama ang ordinate axis.

Ang punto ay dapat na binuo sa ganitong paraan. Unang markahan sa axis Baka itakda ang punto, pagkatapos markahan ang punto sa axis Oy... Susunod, gumuhit ng mga haka-haka na linya mula sa mga pagtatalaga na ito at hanapin ang lugar ng kanilang intersection - ito ang bibigyan ng punto.

Kailangan mo lamang markahan ito at pirmahan ito. Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay medyo simple at hindi nangangailangan ng anumang mga espesyal na kasanayan.

Ilagay ang hugis

Ngayon ay magpatuloy tayo sa isang tanong tulad ng pagbuo ng mga numero sa koordinasyong eroplano. Upang makabuo ng anumang hugis sa koordinasyong eroplano, kailangan mong malaman kung paano maglagay ng mga puntos dito. Kung alam mo kung paano gawin ito, kung gayon hindi ganoon kahirap maglagay ng isang hugis sa isang eroplano.

Una sa lahat, kailangan mo ng mga koordinasyon ng mga punto ng hugis. Ayon ito sa kanila na ilalagay namin ang mga coordinate na pinili mo sa aming system ng mga coordinate. Isaalang-alang ang pagguhit ng isang rektanggulo, tatsulok at bilog.

Magsimula tayo sa isang rektanggulo. Medyo madali itong mag-apply. Una, apat na puntos ang iginuhit sa eroplano, na nagpapahiwatig ng mga sulok ng parihaba. Pagkatapos ang lahat ng mga puntos ay konektado sa serye sa bawat isa.

Ang pagguhit ng isang tatsulok ay hindi naiiba. Ang tanging bagay ay mayroon itong tatlong mga sulok, na nangangahulugang ang tatlong puntos ay inilalapat sa eroplano, na nangangahulugang mga vertex nito.

Tungkol sa bilog, narito dapat mong malaman ang mga coordinate ng dalawang puntos. Ang unang punto ay ang gitna ng bilog, ang pangalawa ay ang punto na nagpapahiwatig ng radius nito. Ang dalawang puntong ito ay naka-plot sa eroplano. Pagkatapos ng isang kumpas ay kinuha, ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos ay sinusukat. Ang punto ng kumpas ay inilalagay sa gitnang punto at inilarawan ang isang bilog.

Tulad ng nakikita mo, wala ring kumplikado dito, ang pangunahing bagay ay palaging mayroon kang isang pinuno at mga compass sa kamay.

Ngayon alam mo kung paano i-plot ang mga coordinate ng mga hugis. Sa coordinate na eroplano, hindi ito mahirap gawin tulad ng tila sa unang tingin.

konklusyon

Kaya, isinasaalang-alang namin sa iyo ang isa sa mga pinaka-kagiliw-giliw at pangunahing konsepto para sa matematika na dapat harapin ng bawat mag-aaral.

Nalaman namin na ang coordinate plane ay isang eroplano na nabuo ng intersection ng dalawang palakol. Sa tulong nito, maaari mong itakda ang mga coordinate ng mga puntos, maglapat ng mga hugis dito. Ang eroplano ay nahahati sa mga tirahan, na ang bawat isa ay may sariling mga katangian.

Ang pangunahing kasanayan na dapat paunlarin kapag nagtatrabaho kasama ang isang sasakyang panghimpapawid ay ang kakayahang mailapat nang wasto ang mga tinukoy na puntos dito. Upang gawin ito, dapat mong malaman tamang lokasyon mga palakol, tampok ng mga quarters, pati na rin ang mga patakaran kung saan itinatakda ang mga coordinate ng mga puntos.

Inaasahan namin na ang impormasyong ipinakita sa amin ay naa-access at naiintindihan, pati na rin ito ay kapaki-pakinabang para sa iyo at tinulungan kang higit na maunawaan ang paksang ito.

Ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa isang eroplano ay tinukoy ng dalawang magkatapat na tuwid na linya. Ang mga tuwid na linya ay tinatawag na coordinate axes (o mag-coordinate ng mga palakol). Ang punto ng intersection ng mga linyang ito ay tinawag na pinagmulan at sinasambitan ng letrang O.

Karaniwan ang isa sa mga tuwid na linya ay pahalang, ang iba ay patayo. Ang pahalang na linya ay itinalaga bilang x (o Ox) axis at tinatawag na abscissa axis, ang patayong linya ay ang y (Oy) axis, na tinatawag na ordinate axis. Ang buong sistema ng coordinate ay itinalaga xOy.

Hinahati ng Point O ang bawat isa sa mga palakol sa dalawang semiaxes, ang isa sa mga ito ay itinuturing na positibo (na ipinahiwatig ng isang arrow), ang isa pang negatibo.

Ang bawat puntong F ng eroplano ay nakatalaga ng isang pares ng mga numero (x; y) - mga coordinate nito.

Ang x coordinate ay tinatawag na abscissa. Katumbas ito ng Ox na kinunan ng naaangkop na pag-sign.

Ang coordinate y ay tinatawag na ordinate at katumbas ng distansya mula sa point F hanggang sa Oy axis (na may naaangkop na karatula).

Ang mga distansya ng ehe ay karaniwang (ngunit hindi palaging) sinusukat sa parehong yunit ng haba.

Ang mga puntos sa kanan ng y-axis ay may positibong mga abscissas. Para sa mga puntos na namamalagi sa kaliwa ng ordinate axis, ang mga abscissas ay negatibo. Para sa anumang punto sa Oy axis, ang x coordinate nito ay zero.

Ang mga puntos na may positibong orden na kasinungalingan sa itaas ng x-axis, na may isang negatibong sa ibaba. Kung ang isang punto ay nakasalalay sa axis ng Ox, ang y coordinate nito ay zero.

Ang mga axis ng coordinate ay hinati ang eroplano sa apat na bahagi, na kung saan ay tinatawag na coordinate quarters (o coordinate angles o quadrants).

1 coordinate quarter na matatagpuan sa kanang sulok sa itaas ng xOy coordinate na eroplano. Ang parehong mga coordinate ng mga puntos na matatagpuan sa unang isang-kapat ay positibo.

Ang paglipat mula sa isang isang-kapat patungo sa isa pa ay pakaliwa.

2 coordinate quarter na matatagpuan sa kaliwang sulok sa itaas. Ang mga puntos sa quarter ng II ay may negatibong abscissa at isang positibong ordinate.

3-coordinate quarter nakasalalay sa ibabang kaliwang kuwadradro ng xOy na eroplano. Ang parehong mga coordinate ng mga point na kabilang sa anggulo ng coordinate ng III ay negatibo.

4 coordinate quarter Ay ang ibabang kanang sulok ng sasakyang panghimpapawid ng eroplano. Ang anumang punto mula sa IV quarter ay may positibong unang coordinate at isang negatibong pangalawa.

Isang halimbawa ng lokasyon ng mga puntos sa isang hugis-parihaba na coordinate system: