|
Paraan ng Trapezium
Pangunahing artikulo:Paraan ng Trapezium
Kung ang pagpapaandar sa bawat isa sa mga bahagyang mga segment ay tinatayang ng isang tuwid na linya na dumadaan pagtatapos ng mga halaga, pagkatapos makuha namin ang pamamaraan ng trapezoid.
Ang lugar ng trapezoid sa bawat segment:
Error sa pagtatantya sa bawat segment:
 Kung saan 
Kumpletuhin ang pormula trapezoids sa kaso ng paghahati ng buong agwat ng pagsasama sa mga segment ng parehong haba:
 Kung saan
Error sa formula ng trapezium:
 Kung saan 
Pamamaraan ni Simpson.
 Integrand f (x) ay pinalitan ng pangalawang degree na interpolation polynomial P (x) - isang parabola na dumadaan sa tatlong mga node, halimbawa, tulad ng ipinakita sa pigura ((1) - pagpapaandar, (2) - polynomial).
Isaalang-alang ang dalawang hakbang ng pagsasama ( h \u003d const \u003d x i + 1 - x i), iyon ay, tatlong mga node x 0, x 1, x 2, kung saan gumuhit kami ng isang parabola gamit ang equation ni Newton:
Hayaan mo z \u003d x - x 0,
tapos
Ngayon, gamit ang nakuha na ugnayan, kinakalkula namin ang integral sa agwat na ito:
.
Para kay pare-parehong mata at isang pantay na bilang ng mga hakbang n Ang formula ni Simpson ay kumukuha ng form:
Dito  , a  sa ilalim ng palagay ng pagpapatuloy ng ika-apat na hango ng integrand.
[i-edit] Tumaas na kawastuhan
Ang approximation ng isang pagpapaandar ng isang polynomial sa buong agwat ng pagsasama, bilang isang panuntunan, ay humantong sa isang malaking error sa pagtantya ng halaga ng integral.
Upang mabawasan ang error, ang segment ng pagsasama ay nahahati sa mga bahagi at ginagamit ang isang numerong pamamaraan upang tantyahin ang integral sa bawat isa sa kanila.
Tulad ng bilang ng mga partisyon ay may gawi sa kawalang-hanggan, ang pagtatantya ng integral ay may gawi sa totoong halaga nito para sa mga pag-andar ng analitiko para sa anumang pamamaraang numerikal.
Pinapayagan ng mga pamamaraan sa itaas ang isang simpleng pamamaraan para sa pagbawas ng hakbang sa kalahati, habang sa bawat hakbang kinakailangan upang makalkula ang mga halaga ng pagpapaandar lamang sa mga bagong idinagdag na node. Ginagamit ang panuntunan sa Runge upang tantyahin ang error sa pagkalkula.
Paglalapat ng panuntunan sa Runge
i-edit] Tinantya ang katumpakan ng pagkalkula ng isang tiyak na integral
Ang integral ay kinakalkula gamit ang napiling pormula (mga parihaba, trapezoid, Simpson parabolas) na may bilang ng mga hakbang na katumbas ng n, at pagkatapos ay may bilang ng mga hakbang na katumbas ng 2n. Ang error sa pagkalkula ng halaga ng integral sa bilang ng mga hakbang na katumbas ng 2n ay natutukoy ng formula ng Runge:
, para sa mga formula ng rektanggulo at trapezoid, at para sa formula ni Simpson.
Kaya, ang integral ay kinakalkula para sa sunud-sunod na mga halaga ng bilang ng mga hakbang, kung saan ang n 0 ay ang paunang bilang ng mga hakbang. Nagtatapos ang proseso ng pagkalkula kapag nasiyahan ang kundisyon para sa susunod na halaga ng N, kung saan ang ε ay ang tinukoy na kawastuhan.
Mga tampok ng pag-uugali sa error.
Tila, bakit pag-aralan iba`t ibang pamamaraan pagsasama kung makakamit natin mataas na presisyonsa pamamagitan lamang ng pagbawas ng halaga ng hakbang sa pagsasama. Gayunpaman, isaalang-alang ang grap ng pag-uugali ng posterior error Rang mga resulta ng mga pagkalkula sa bilang sa pagtitiwala  at mula sa bilang n mga partisyon ng agwat (iyon ay, sa hakbang. Sa seksyon (1), ang error ay bumababa dahil sa pagbaba ng hakbang h. Ngunit sa seksyon (2), ang error sa computational ay nagsisimulang mangibabaw, naipon bilang isang resulta ng maraming mga pagpapatakbo ng arithmetic. Samakatuwid, para sa bawat pamamaraan mayroong sarili nitong R min, na nakasalalay sa maraming mga kadahilanan, ngunit higit sa lahat sa isang priori na halaga ng error sa pamamaraan R.
Pinipino ang pormula ni Romberg.
Ang pamamaraan ni Romberg ay binubuo sa patuloy na pagpino ng halaga ng integral na may isang maramihang pagtaas sa bilang ng mga pagkahati. Ang formula ng trapeziums na may isang pare-parehong hakbang ay maaaring makuha bilang isang batayan h.
Pinapahiwatig namin ang integral sa bilang ng mga pagkahati n \u003d 1 bilang  .
Pagbawas ng hakbang sa kalahati, nakukuha natin  .
Kung sunud-sunod nating bawasan ang hakbang sa pamamagitan ng isang kadahilanan ng 2 n, nakakakuha kami ng isang kaugnay na pag-ulit para sa pagkalkula.
Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyonHello ulit. Sa araling ito, susuriin namin nang detalyado ang napakagandang bagay bilang isang tiyak na integral. Sa pagkakataong ito ay maikli ang pagpapakilala. Lahat Dahil ang snowstorm ay nasa labas ng bintana. Upang malaman kung paano malutas ang mga tiyak na integral, dapat mong:
1) Magagawa hanapin walang katiyakan na integral.
2) Magagawa kalkulahin tiyak na integral.
Tulad ng nakikita mo, upang makabisado ang isang tiyak na integral, kailangan mong maging pamilyar sa "ordinaryong" walang katiyakan na integral. Samakatuwid, kung nagsisimula ka lamang na sumama sa integral calculus, at ang kettle ay hindi pa pinakulo, kung gayon mas mahusay na magsimula sa isang aralin Hindi tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon.
SA pangkalahatang pananaw ang tiyak na integral ay nakasulat nang ganito:
Ano ang tumaas kumpara sa indefinite integral? Nagdagdag na mga limitasyon sa pagsasama.
Mas mababang limitasyon ng pagsasama
Limitasyon sa itaas na limitasyon na isinaad ng isang liham bilang pamantayan.
Tinawag ang segment segment ng pagsasama.
Bago kami makarating praktikal na mga halimbawa, isang maliit na faq sa isang tiyak na integral.
Ano ang ibig sabihin nito upang malutas ang isang tiyak na integral? Ang paglutas ng isang tiyak na integral ay nangangahulugang paghahanap ng isang numero.
Paano malutas ang isang tiyak na integral?Gamit ang pamilyar na Newton-Leibniz formula:
Mas mahusay na muling isulat ang formula sa isang magkakahiwalay na piraso ng papel, dapat itong nasa harap ng iyong mga mata sa buong aralin.
Ang mga hakbang para sa paglutas ng isang tiyak na integral ay ang mga sumusunod:
1) Una, nakita namin ang antiderivative function (walang katiyakan na integral). Tandaan na ang pare-pareho sa tiyak na integral hindi naidagdag... Ang pagtatalaga ay pulos panteknikal, at ang patayong stick ay hindi nagdadala ng anumang kahulugan sa matematika, sa katunayan, kapansin-pansin lamang ito. Bakit mo kailangan ang recording mismo? Paghahanda para sa paglalapat ng pormula ng Newton-Leibniz.
2) Palitan ang halaga ng itaas na limitasyon sa pagpapaandar na antiderivative:
3) Palitan ang mas mababang halaga ng limitasyon sa pagpapaandar ng antiderivative:
4) Kinakalkula namin (nang walang mga pagkakamali!) Ang pagkakaiba, iyon ay, nakita namin ang numero.
Ang isang tiyak na integral ay laging mayroon? Hindi hindi palagi.
Halimbawa, ang integral ay hindi umiiral, dahil ang agwat ng pagsasama ay hindi kasama sa domain ng kahulugan ng integrand (mga halaga sa ilalim ng square root hindi maaaring maging negatibo). Narito ang isang hindi gaanong halata na halimbawa:. Ang nasabing isang integral ay hindi rin umiiral, dahil ang tangent ay hindi umiiral sa mga punto ng segment. Nga pala, sino ang hindi pa nakakabasa nito materyal na pamamaraan Mga graphic at pangunahing katangian ng mga pagpapaandar ng elementarya - oras na upang gawin ito ngayon. Magiging mahusay upang makatulong sa buong buong kurso ng mas mataas na matematika.
Para kay para sa isang tiyak na integral na mayroon sa lahat, sapat na ang integrand ay tuloy-tuloy sa agwat ng pagsasama.
Mula sa itaas, sumusunod ang unang mahalagang rekomendasyon: bago magpatuloy sa solusyon ng ANUMANG tiyak na integral, kailangan mong tiyakin na ang integrand ay tuluy-tuloy sa agwat ng pagsasama... Noong ako ay isang mag-aaral, nagkaroon ako ng isang insidente nang maraming beses nang pinahihirapan ako ng mahabang panahon sa paghahanap ng isang mahirap na sinauna, at nang sa wakas ay makita ko ito, naiisip ko ang isa pang tanong: "anong uri ng kalokohan ang nangyari?" Sa isang pinasimple na bersyon, ganito ang hitsura ng sitwasyon:  ???! Hindi mo maaaring palitan ang mga negatibong numero sa ilalim ng ugat! Ano na lang ?! Paunang pag-iingat.
Kung para sa solusyon (sa pagsubok sa trabaho, sa pagsubok, pagsusulit) Inaalok ka ng isang hindi umiiral na integral tulad ng, pagkatapos ay kailangan mong sagutin na ang integral ay wala at bigyang katwiran kung bakit.
Maaari bang maging katumbas ng isang tiyak na integral negatibong numero?
Maaari At isang negatibong numero. At zero. Maaari rin itong maging infinity, ngunit magaganap na hindi wastong pagsasama, na nakatuon sa isang hiwalay na lektyur.
Maaari bang ang mas mababang limitasyon ng pagsasama ay mas malaki kaysa sa itaas na limitasyon ng pagsasama?Marahil ang sitwasyong ito ay talagang nangyayari sa pagsasanay.
- ang integral ay madaling kalkulahin ng formula ng Newton-Leibniz.
Ano ang magagawa ng mas mataas na matematika nang wala? Siyempre, nang walang lahat ng mga uri ng mga pag-aari. Samakatuwid, isasaalang-alang namin ang ilang mga pag-aari ng tiyak na integral.
Sa isang tiyak na integral, ang itaas at mas mababang mga limitasyon ay maaaring mapalitan ng pagbabago ng pag-sign: 
Halimbawa, sa isang tiyak na integral, bago ang pagsasama, ipinapayong baguhin ang mga limitasyon ng pagsasama sa "karaniwang" order:
 - mas maginhawa upang isama sa form na ito.
 - totoo ito hindi lamang para sa dalawa, kundi pati na rin para sa anumang bilang ng mga pagpapaandar.
Sa isang tiyak na integral, maaaring isagawa ang isa pagbabago ng variable ng pagsasama, gayunpaman, sa paghahambing sa walang katiyakan na integral, mayroon itong sariling mga detalye, na pag-uusapan natin sa paglaon.
Para sa isang tiyak na integral, pagsasama ng formula ng mga bahagi:
Halimbawa 1
Desisyon:
(1) Ilipat ang pare-pareho sa labas ng integral sign.
(2) Isinasama namin sa talahanayan gamit ang pinakatanyag na pormula  ... Maipapayo na paghiwalayin ang lumitaw na pare-pareho at ilagay ito sa labas ng panaklong. Hindi kinakailangan na gawin ito, ngunit kanais-nais - bakit hindi kinakailangang mga kalkulasyon?
 ... Una palitan namin ang sa itaas na limitasyon, pagkatapos - ang mas mababang limitasyon. Isinasagawa namin ang karagdagang mga kalkulasyon at makuha ang pangwakas na sagot.
Halimbawa 2
Kalkulahin ang tiyak na integral
Ito ay isang halimbawa para sa self-solution, solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial.
Paikutin natin nang kaunti ang gawain:
Halimbawa 3
Kalkulahin ang tiyak na integral
Desisyon:
(1) Ginagamit namin ang mga katangian ng linearity ng tiyak na integral.
(2) Isinasama namin sa talahanayan, kinukuha ang lahat ng mga pare-pareho - hindi sila lalahok sa pagpapalit ng itaas at mas mababang mga limitasyon.
(3) Para sa bawat isa sa tatlong mga termino, inilalapat namin ang pormula ng Newton-Leibniz:
Ang isang WEAK LINK sa isang tiyak na integral ay isang error sa pagkalkula at isang pangkaraniwang Pagkalito sa mga Pahiwatig. Mag-ingat ka! Espesyal na pansin Nakatuon ako sa pangatlong termino:  - ang unang lugar sa hit parade ng mga pagkakamali dahil sa pag-iingat, madalas na awtomatiko silang nagsusulat  (lalo na kapag ang pagpapalit ng itaas at mas mababang limitasyon ay isinasagawa nang pasalita at hindi nakasulat sa ganoong detalye). Pag-aralan mong mabuti ang halimbawa sa itaas.
Dapat pansinin na ang isinasaalang-alang na pamamaraan para sa paglutas ng isang tiyak na integral ay hindi lamang ang isa. Sa ilang karanasan, ang solusyon ay maaaring mabawasan nang malaki. Halimbawa, ako mismo ay sanay sa paglutas ng mga ganitong integral tulad nito:
Dito ginamit ko nang pasalita ang mga patakaran ng linearity, pasalita na isinama ang mga ito sa talahanayan. Natapos ako sa isang panaklong lamang na may mga tinanggal na limitasyon:  (taliwas sa tatlong panaklong sa unang pamamaraan). At sa "buong" antiderivative na pagpapaandar, una kong pinalitan ang 4, pagkatapos ay –2, na muling ginagawa ang lahat ng mga aksyon sa aking isipan.
Ano ang mga kawalan ng isang maikling solusyon? Lahat ng bagay dito ay hindi masyadong maganda mula sa pananaw ng katuwiran ng mga kalkulasyon, ngunit sa personal ay wala akong pakialam - karaniwang mga praksiyon Nagbibilang ako sa isang calculator.
Bilang karagdagan, mayroong isang mas mataas na peligro na magkamali sa mga kalkulasyon, sa gayon, mas mabuti para sa isang estudyante na dummy na gamitin ang unang pamamaraan, sa "aking" solusyon ang pag-sign ay mawawala sa kung saan.
Gayunpaman walang dudang kalamangan ang pangalawang paraan ay ang bilis ng solusyon, ang siksik ng notasyon at ang katunayan na ang antiderivative ay nasa isang panaklong.
Payo: bago gamitin ang Newton-Leibniz formula, kapaki-pakinabang na suriin: ang antiderivative mismo ay natagpuan nang tama?
Kaya, na may kaugnayan sa halimbawa ng isinasaalang-alang: bago palitan ang pang-itaas at mas mababang mga limitasyon sa pagpapaandar na antiderivative, ipinapayong suriin ang isang draft, ngunit ang hindi tiyak na integral ay natagpuan nang tama? Naiiba namin:
Ang orihinal na integrand ay nakuha, na nangangahulugang ang indefinite integral ay natagpuan nang tama. Ngayon ay maaari mo nang ilapat ang pormula ng Newton-Leibniz.
Ang nasabing isang tseke ay hindi magiging labis kapag kinakalkula ang anumang tiyak na integral.
Halimbawa 4
Kalkulahin ang tiyak na integral
Ito ay isang halimbawa para sa iyong sariling solusyon. Subukan upang malutas ito sa isang maikli at detalyadong paraan.
Pagbabago ng variable sa isang tiyak na integral
Ang lahat ng mga uri ng mga pamalit ay wasto para sa isang tiyak na integral, tulad ng para sa isang walang katiyakan na integral. Kaya, kung hindi ka masyadong mahusay sa mga kapalit, dapat mong basahin nang mabuti ang aralin Pamamaraan ng kapalit sa walang katiyakan na integral.
Walang kahila-hilakbot o mahirap sa talatang ito. Ang novelty ay nakasalalay sa tanong kung paano baguhin ang mga limitasyon ng pagsasama kapag pinapalitan.
Sa mga halimbawa, susubukan kong magbigay ng mga ganitong uri ng pamalit na hindi pa natagpuan kahit saan sa site.
Halimbawa 5
Kalkulahin ang tiyak na integral
Ang pangunahing tanong dito ay hindi talaga sa isang tiyak na integral, ngunit kung paano maisagawa nang tama ang kapalit. Tumingin kami sa integral na mesa at nagtataka kung ano ang hitsura ng aming integrand function? Malinaw na, para sa mahabang logarithm:  ... Ngunit mayroong isang pagkakaiba, sa tabular integral sa ilalim ng ugat, at sa atin - "x" sa ika-apat na degree. Ang ideya ng kapalit ay sumusunod din mula sa pangangatuwiran - masarap na kahit papaano gawing parisukat ang aming ika-apat na kapangyarihan. Totoo naman
Una, ihinahanda namin ang aming integral para sa kapalit:
Mula sa mga pagsasaalang-alang sa itaas, isang kapalit na natural na nagmumungkahi mismo:
Kaya, ang lahat ay magiging maayos sa denominator:.
Nalaman namin kung ano ang magiging natitirang bahagi ng integrand, para sa mga ito mahahanap namin ang kaugalian:
Sa paghahambing sa pagpapalit sa walang katiyakan na integral, nagdagdag kami ng isang karagdagang yugto.
Paghanap ng mga bagong limitasyon ng pagsasama.
Ito ay sapat na simple. Tinitingnan namin ang aming kapalit at ang mga lumang limitasyon ng pagsasama ,.
Una, pinapalitan namin ang mas mababang limitasyon ng pagsasama sa pagpapalit ng expression, iyon ay, zero:
Pagkatapos ay pinapalitan namin ang pang-itaas na limitasyon ng pagsasama sa pagpapalit ng expression, iyon ay, ang ugat ng tatlo:
Tapos na. At ito ay ...
Pinagpatuloy namin ang solusyon.
(1) Ayon sa kapalit sumulat ng isang bagong integral na may bagong mga limitasyon ng pagsasama.
(2) Ito ang pinakasimpleng integral ng tabular, isama sa talahanayan. Mas mahusay na iwanan ang pare-pareho sa labas ng mga braket (maaaring hindi mo ito gawin) upang hindi ito makagambala sa mga karagdagang kalkulasyon. Sa kanan, binabalangkas namin ang isang linya na nagpapahiwatig ng mga bagong limitasyon ng pagsasama - ito ay paghahanda para sa aplikasyon ng Newton-Leibniz formula.
(3) Gumagamit kami ng Newton-Leibniz na pormula  .
Nagsusumikap kaming isulat ang sagot sa maximum compact form, dito ko ginamit ang mga katangian ng logarithms.
Ang isa pang pagkakaiba mula sa walang katiyakan na integral ay na, pagkatapos naming maisagawa ang kapalit, walang kinakailangang mga kahalili.
At ngayon isang pares ng mga halimbawa para sa independiyenteng desisyon... Anong mga kapalit na isasagawa - subukang hulaan ang iyong sarili.
Halimbawa 6
Kalkulahin ang tiyak na integral
Halimbawa 7
Kalkulahin ang tiyak na integral
Ito ang mga halimbawa para sa iyong sariling solusyon. Mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
At sa pagtatapos ng talata, isang pares mahahalagang punto, ang pagtatasa kung saan lumitaw salamat sa mga bisita sa site. Ang una ay nag-aalala pagiging karapat-dapat ng kapalit. Sa ilang mga kaso, hindi ito maaaring gawin! Kaya, ang Halimbawa 6 ay tila malulutas unibersal na pagpapalit ng trigonometric , gayunpaman, ang pinakamataas na limitasyon ng pagsasama ("Pi") hindi kasama sa domain ng tangent na ito at samakatuwid ilegal ang pagpapalit na ito! Sa ganitong paraan, ang pagpapaandar na "kapalit" ay dapat na tuloy-tuloy sa lahat mga puntos ng segment ng pagsasama.
Sa iba e-mail pumasok susunod na tanong: "Kinakailangan bang baguhin ang mga limitasyon ng pagsasama kapag dinala natin ang pagpapaandar sa ilalim ng pagkakaiba-iba?" Sa una nais kong "bale-wala ang kalokohan" at awtomatikong sagutin ang "syempre hindi", ngunit pagkatapos ay naisip ko ang dahilan ng katanungang ito at biglang nalaman na ang impormasyon
kulang. Ngunit ito ay, kahit na halata, ngunit napakahalaga:
Kung dalhin namin ang pagpapaandar sa ilalim ng kaugalian ng pag-sign, kung gayon hindi na kailangang baguhin ang mga limitasyon ng pagsasama! Bakit? Dahil sa kasong ito walang aktwal na pagtalon sa bagong variable... Halimbawa:
At dito, ang pagbubuod ay higit na maginhawa kaysa sa isang kapalit na pang-akademiko, na sinusundan ng isang "listahan" ng mga bagong limitasyon ng pagsasama. Sa ganitong paraan, kung ang tiyak na integral ay hindi napakahirap, pagkatapos ay palaging subukang dalhin ang pagpapaandar sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian! Mas mabilis ito, mas compact ito, at karaniwan ito - tulad ng makikita mo ng mga dose-dosenang beses!
Maraming salamat sa iyong mga liham!
Pagsasama ng mga bahagi sa isang tiyak na integral
Mayroong kahit na mas mababa novelty dito. Lahat ng mga kalkulasyon ng artikulo Pagsasama ng mga bahagi sa walang katiyakan na integral ay ganap na wasto para sa isang tiyak na integral.
Dagdag pa, mayroon lamang isang detalye, sa pormula para sa pagsasama ng mga bahagi, idinagdag ang mga limitasyon ng pagsasama:
Ang formula ng Newton-Leibniz ay dapat na ilapat dito dalawang beses: para sa produkto at, pagkatapos naming gawin ang integral.
Halimbawa, pinili ko ulit ang uri ng integral na hindi ko pa nakikita kahit saan pa sa site. Ang halimbawa ay hindi ang pinakamadali, ngunit napaka, napaka kaalaman.
Halimbawa 8
Kalkulahin ang tiyak na integral
Magpasya kami
Isinasama namin ang piraso ng piraso:
Para sa mga may kahirapan sa integral, tingnan ang aralin Mga integral ng pag-andar ng trigonometric, doon ito ay disassembled nang detalyado.
(1) Nagsusulat kami ng solusyon alinsunod sa pormula para sa pagsasama ng mga bahagi.
(2) Para sa produktong ginagamit namin ang Newton-Leibniz formula. Para sa natitirang integral, ginagamit namin ang mga katangian ng linearity, hinahati ito sa dalawang integral. Huwag malito sa mga palatandaan!
(4) Inilalapat namin ang formula ng Newton-Leibniz para sa dalawang nahanap na antiderivatives.
To be honest, ayoko ng formula  at, kung maaari, ... gagawin ko nang wala siya! Isaalang-alang natin ang pangalawang solusyon, mula sa aking pananaw ay mas makatuwiran ito.
Kalkulahin ang tiyak na integral
Sa unang hakbang, nakita ko ang walang katiyakan na integral:
Isinasama namin ang piraso ng piraso:
Natagpuan ang pagpapaandar na antiderivative. Walang katuturan na magdagdag ng isang pare-pareho sa kasong ito.
Ano ang bentahe ng naturang paglalakad? Hindi kailangang "i-drag" ang mga limitasyon ng pagsasama, sa katunayan, maaari kang magpahirap sa pamamagitan ng pagsulat ng maliliit na mga icon ng mga limitasyon ng pagsasama ng sampung beses
Sa pangalawang hakbang, suriin ko (karaniwang sa isang draft).
Lohikal din ito. Kung nakita ko ang antiderivative function na hindi tama, kung gayon mali rin akong malulutas ko ang tiyak na integral. Mas mahusay na alamin kaagad, pinag-iiba natin ang sagot:
Ang orihinal na integrand ay nakuha, na nangangahulugang ang antiderivative function ay natagpuan nang tama.
Ang pangatlong yugto ay ang paglalapat ng pormula ng Newton-Leibniz:
At mayroong isang makabuluhang benepisyo dito! Sa "aking" solusyon ay may mas kaunting peligro na malito sa mga pamalit at kalkulasyon - ang pormula ng Newton-Leibniz ay inilapat nang isang beses lamang. Kung malulutas ng takure ang isang katulad na integral ng formula  (sa unang paraan), pagkatapos ay magkamali siya sa kung saan.
Ang isinasaalang-alang na algorithm ng solusyon ay maaaring mailapat sa anumang tiyak na integral.
Minamahal na mag-aaral, i-print at i-save:
Ano ang dapat gawin kung ang isang tiyak na integral ay ibinigay, na tila kumplikado o hindi kaagad malinaw kung paano ito malulutas?
1) Una, nakita namin ang walang katiyakan na integral (antiderivative function). Kung sa unang yugto ay mayroong isang bummer, walang saysay na batoin ang bangka kasama sina Newton at Leibniz. Mayroon lamang isang paraan - upang madagdagan ang iyong kaalaman at kasanayan sa paglutas walang katiyakan na integral.
2) Suriin ang nahanap na antiderivative function sa pamamagitan ng pagkita ng pagkakaiba. Kung mali itong matagpuan, ang pangatlong hakbang ay mag-aaksaya ng oras.
3) Ginagamit namin ang Newton-Leibniz formula. Isinasagawa namin ang lahat ng mga kalkulasyon ng Labis na Maingat - narito ang pinakamahina na link ng gawain.
At, para sa isang meryenda, isang mahalagang bahagi para sa isang independiyenteng solusyon.
Halimbawa 9
Kalkulahin ang tiyak na integral
Ang solusyon at ang sagot ay nasa malapit.
Ang susunod na inirekumendang aralin sa paksa ay - Paano ko makakalkula ang lugar ng isang pigura gamit ang isang tiyak na integral?
Isinasama namin ang piraso ng piraso:
Sigurado ka bang nalutas mo ang mga ito at nakatanggap ng mga gayong sagot? ;-) At mayroong porn sa matandang babae. |
Teorama... Kung ang pagpapaandar f (x) ay naisama sa segment [ a, b], saan a< b
at para sa lahat x ∈ hindi pagkakapantay-pantay humahawak
Gamit ang mga hindi pagkakapantay-pantay mula sa teorama, maaaring matantya ng isang tao ang isang tiyak na integral, ibig sabihin ipahiwatig ang mga hangganan sa pagitan ng halaga nito ay nakapaloob. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahiwatig ng pagtatantya ng isang tiyak na integral.
Theorem [Ibig sabihin ng halaga ng teorama]... Kung ang pagpapaandar f (x) ay naisama sa segment [ a, b] at para sa lahat x ∈ ang hindi pagkakapantay-pantay na humahawak m ≤ f (x) ≤ Mtapos
kung saan m ≤ μ ≤ M.
Magkomento... Sa kaso kapag ang pagpapaandar f (x) ay tuluy-tuloy sa segment [ a, b], ang pagkakapantay-pantay mula sa teorama ay kumukuha ng form
kung saan c ∈... Bilang μ \u003d f (c)tinukoy ng pormulang ito ay tinawag average pagpapaandar f (x) sa segment [ a, b] Ang pagkakapantay-pantay na ito ay may mga sumusunod kahulugan ng geometriko: lugar ng isang hubog na trapezoid na nalilimitahan ng isang tuluy-tuloy na linya y \u003d f (x) (f (x) ≤ 0), ay katumbas ng lugar ng isang rektanggulo na may parehong base at taas na katumbas ng ordenado ng ilang mga punto ng linyang ito.
Ang pagkakaroon ng isang antiderivative para sa isang tuluy-tuloy na pagpapaandar
Una, ipinakilala namin ang konsepto ng isang integral na may variable na itaas na limitasyon.
Hayaan ang pagpapaandar f (x) ay naisama sa segment [ a, b] Kung gayon, anuman ang bilang x mula sa [ a, b], pagpapaandar f (x) ay naisama sa segment [ a, b] Samakatuwid, sa segment [ a, b] ang pagpapaandar ay tinukoy
na kung saan ay tinatawag na isang integral na may isang variable na itaas na limitasyon.
Teorama... Kung ang integrand ay tuluy-tuloy sa segment [ a, b], kung gayon ang hinalang isang tiyak na integral na may variable na itaas na limitasyon ay umiiral at katumbas ng halaga ng integrand para sa limitasyong ito, iyon ay
Kinahinatnan... Ang isang tiyak na integral na may isang variable na itaas na limitasyon ay isa sa mga antiderivatives para sa isang tuluy-tuloy na integrand. Sa madaling salita, para sa anumang tuluy-tuloy na pagpapaandar sa agwat, mayroong isang antiderivative.
Pangungusap 1... Tandaan na kung ang pagpapaandar f (x) ay naisama sa segment [ a, b], pagkatapos ang integral na may variable na itaas na limitasyon ay isang tuluy-tuloy na pagpapaandar ng itaas na limitasyon sa segment na ito. Sa katunayan, mula sa St. 2 at ang mean theorem ng halaga, mayroon tayo
Pangungusap 2... Ang isang integral na may isang variable na itaas na limitasyon ng pagsasama ay ginagamit upang tukuyin ang maraming mga bagong pag-andar, halimbawa, 
... Ang mga pagpapaandar na ito ay hindi elementarya; tulad ng nabanggit na, ang mga antiderivatives ng ipinahiwatig na integrands ay hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar.
Pangunahing mga patakaran ng pagsasama
Newton-Leibniz na pormula
Dahil sa anumang dalawa antiderivatives f (x) naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho, pagkatapos ay ayon sa nakaraang teorama, maaari itong maipagtalo na anumang antiderivative Φ (x) tuloy-tuloy sa segment [ a, b] pagpapaandar f (x) may form
kung saan C - ilang pare-pareho.
Paglalagay sa formula na ito x \u003d a at x \u003d bgamit ang r. 1 tiyak na mga integral, nalaman namin
Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahiwatig ng ugnayan
na tinatawag sa pamamagitan ng pormulang Newton-Leibniz.
Sa gayon, napatunayan namin ang sumusunod na teorama:
Teorama... Ang tiyak na integral ng isang tuloy-tuloy na pagpapaandar ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng anuman sa mga antiderivatives nito para sa itaas at mas mababang mga limitasyon ng pagsasama.
Ang formula ng Newton-Leibniz ay maaaring muling isulat bilang
Pagbabago ng variable sa isang tiyak na integral
Teorama... Kung
- pagpapaandar f (x) ay tuluy-tuloy sa segment [ a, b];
- segment ng linya [ a, b] ay ang hanay ng mga halaga ng pagpapaandar φ (t)tinukoy sa segment α ≤ t ≤ β at may tuloy-tuloy na hango dito;
- φ (α) \u003d a, φ (β) \u003d b
pagkatapos ang formula ay wasto
Pagsasama ng formula ng mga bahagi
Teorama... Kung gumana ikaw \u003d u (x), v \u003d v (x) may tuluy-tuloy na derivatives sa segment [ a, b], kung gayon ang sumusunod na pormula ay wasto
Inilapat na halaga ibig sabihin ng halaga ng teorama
ay ang posibilidad ng pagkuha pagtatasa ng husay mga halaga ng tiyak na integral nang hindi kinakalkula ito. Bumubuo kami
: kung ang pagpapaandar ay tuloy-tuloy sa isang agwat, pagkatapos sa loob ng agwat na ito ay may isang punto tulad na 
.
Ang formula na ito ay lubos na angkop para sa isang magaspang na pagtatantya ng integral ng isang kumplikado o masalimuot na pagpapaandar. Ang tanging bagay na gumagawa ng formula tinatayang
, ang kailangan pagpili sa sarili
mga puntos Kung gagawin namin ang pinakasimpleng paraan - ang gitna ng agwat ng pagsasama (tulad ng iminungkahi sa isang bilang ng mga aklat), kung gayon ang error ay maaaring maging lubos na makabuluhan. Para sa isang mas tumpak na resulta magrekomenda
isagawa ang pagkalkula sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:
Magplano ng isang pagpapaandar sa isang agwat;
Iguhit ang pang-itaas na hangganan ng parihaba upang ang mga hiwa ng bahagi ng function na graph ay humigit-kumulang pantay sa lugar
(ito ay eksakto kung paano ito ipinapakita sa itaas na pigura - ang dalawang mga hubog na tatsulok ay halos pareho);
Tukuyin mula sa larawan;
Gumamit ng mean theorem ng halaga.
Bilang isang halimbawa, kalkulahin natin ang isang simpleng integral:
Eksaktong halaga ;
Para sa gitna ng agwat 
nakakakuha kami ng isang tinatayang halaga, ibig sabihin malinaw na hindi tumpak na resulta;
Ang pagkakaroon ng isang graph na may itaas na bahagi ng rektanggulo alinsunod sa mga rekomendasyon, makukuha namin, mula saan at ang tinatayang halaga. Medyo isang kasiya-siyang resulta, ang error ay 0.75%.
Formula ng Trapezium
Ang katumpakan ng pagkalkula gamit ang ibig sabihin ng halaga ng teorya ng mahalagang halaga nakasalalay, tulad ng ipinakita, sa biswal na hangarin
ayon sa iskedyul ng punto. Sa katunayan, ang pagpili, sa parehong halimbawa, ang mga puntos o, ang isa ay maaaring makakuha ng iba pang mga halaga ng integral, at ang error ay maaaring tumaas. Mga salik na kadahilanan, ang sukat ng mga graphic at ang kalidad ng pagguhit ay lubos na nakakaapekto sa resulta. ito hindi katanggap-tanggap
sa responsableng mga kalkulasyon, samakatuwid ang ibig sabihin ng teorama ay inilalapat lamang para sa mabilis kalidad
integral na mga pagtatantya.
Sa seksyong ito, isasaalang-alang namin ang isa sa pinakatanyag na tinatayang mga pamamaraan ng pagsasama - pormulang trapezoidal
... Ang pangunahing ideya ng pagbuo ng formula na ito ay batay sa ang katunayan na ang curve ay maaaring humigit-kumulang na mapalitan ng isang sirang linya, tulad ng ipinakita sa pigura.
Ipagpalagay natin, para sa kahulugan (at alinsunod sa pigura), na ang agwat ng pagsasama ay nahahati sa pantay
(opsyonal ito, ngunit napaka madaling gamiting) mga bahagi. Ang haba ng bawat isa sa mga bahaging ito ay kinakalkula ng formula at tinawag hakbang
... Ang abscissa ng mga split point, kung tinukoy, ay natutukoy ng formula, kung saan. Ang mga ordinate ay madaling makalkula mula sa mga kilalang abscissas. Sa ganitong paraan,
Ito ang case formula na trapezoid. Tandaan na ang unang termino sa panaklong ay ang kalahating kabuuan ng pauna at huling mga ordenado, kung saan idinagdag ang lahat ng mga intermediate ordinate. Para kay di-makatwirang numero mga partisyon ng agwat ng pagsasama pangkalahatang pormula ng trapezoidal
parang: quadrature formula : mga parihaba, Simpson, Gauss, atbp. Ang mga ito ay binuo sa parehong ideya ng kumakatawan sa isang curvilinear trapezoid na may mga elementarya na lugar iba`t ibang mga hugis, samakatuwid, pagkatapos ng mastering ang trapezoid formula, hindi ito magiging mahirap na maunawaan ang mga katulad na pormula. Maraming mga formula ang hindi kasing simple ng trapezoidal formula, ngunit pinapayagan kang makakuha ng isang mataas na katumpakan na resulta sa isang maliit na bilang ng mga pagkahati.
Sa tulong ng pormula para sa trapeziums (o mga katulad nito), posible na kalkulahin, sa katumpakan na kinakailangan sa pagsasanay, kapwa "hindi gaanong mahalaga" na integral at integral ng mga kumplikado o masalimuot na pagpapaandar.
Mas maaga naming isinasaalang-alang ang tiyak na integral bilang pagkakaiba ng mga halaga ng antiderivative para sa integrand. Ipinagpalagay na ang integrand ay may isang antiderivative sa agwat ng pagsasama.
Sa kaso kung ang antiderivative ay ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, maaari naming siguraduhin ang pagkakaroon nito. Ngunit kung walang ganoong ekspresyon, kung gayon ang tanong ng pagkakaroon ng antiderivative ay mananatiling bukas, at hindi namin alam kung mayroon bang kaukulang tiyak na integral.
Ang mga pagsasaalang-alang sa geometriko ay nagpapahiwatig na bagaman, halimbawa, para sa pagpapaandar y \u003d e ^ (- x ^ 2) imposibleng ipahayag ang antiderivative sa mga tuntunin ng elementarya na pag-andar, ang integral \\ texttyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) e ^ (- x ^ 2) \\, dx) umiiral at katumbas ng lugar figure, na nalilimitahan ng abscissa, ang grap ng pagpapaandar y \u003d e ^ (- x ^ 2) at mga tuwid na linya x \u003d a, ~ x \u003d b (Larawan 6). Ngunit sa isang mas mahigpit na pagsusuri, lumalabas na ang mismong konsepto ng lugar ay kailangang patunayan, at samakatuwid imposibleng umasa dito kapag nalulutas ang mga problema ng pagkakaroon ng isang antiderivative at isang tiyak na integral.
Patunayan natin yan ang anumang pagpapaandar na tuloy-tuloy sa isang segment ay may isang antiderivative sa segment na ito, at, samakatuwid, mayroong isang tiyak na integral para dito sa bahaging ito. Para dito kailangan namin ng ibang diskarte sa konsepto ng isang tiyak na integral, hindi batay sa palagay ng pagkakaroon ng isang antiderivative.
I-install muna natin ang ilan tiyak na integral na mga katangian, naiintindihan bilang pagkakaiba sa mga halaga ng antiderivative.
Mga pagtatantya ng tiyak na pagsasama
Teorama 1. Hayaan ang mga pagpapaandar y \u003d f (x) na nakagapos sa isang agwat, at m \u003d \\ min_ (x \\ in) f (x) at M \u003d \\ max_ (x \\ in) f (x), ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamaliit at pinakamataas na halaga pagpapaandar y \u003d f (x) sa, at sa segment na ito ang pagpapaandar y \u003d f (x) ay may isang antiderivative. Tapos
m (b-a) \\ leqslant \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \\ leqslant M (b-a).
Katibayan. Hayaan ang F (x) na maging isa sa mga antiderivatives para sa pagpapaandar y \u003d f (x) sa segment. Tapos
\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d \\ Bigl. (F (x)) \\ Bigr | _ (a) ^ (b) \u003d F (b) -F (a).
Sa teorama ni Lagrange F (b) -F (a) \u003d F "(c) (b-a)kung saan a \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d f (c) (b-a).
Sa pamamagitan ng teorya, para sa lahat ng mga halaga ng x mula sa segment, ang hindi pagkakapantay-pantay m \\ leqslant f (x) \\ leqslant M, ganun m \\ leqslant f (c) \\ leqslant M at samakatuwid
m (b-a) \\ leqslant f (c) (b-a) \\ leqslant M (b-a), ibig sabihin m (b-a) \\ leqslant \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \\ leqslant M (b-a),
q.E.D.
Ang doble na hindi pagkakapantay-pantay (1) ay nagbibigay lamang ng isang napaka-magaspang na pagtatantya para sa halaga ng isang tiyak na integral. Halimbawa, sa segment ang mga halaga ng pagpapaandar y \u003d x ^ 2 ay nasa pagitan ng 1 at 25, at samakatuwid ay nagaganap ang mga hindi pagkakapantay-pantay
4 \u003d 1 \\ cdot (5-1) \\ leqslant \\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant 25 \\ cdot (5-1) \u003d 100.
Upang makakuha ng isang mas tumpak na pagtantya, hatiin ang segment sa maraming bahagi na may mga tuldok a \u003d x_0 at hindi pagkakapantay-pantay (1) ay inilalapat sa bawat bahagi. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay na humahawak sa segment, kung gayon
m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ leqslant \\ int \\ limit_ (x_k) ^ (x_ (k + 1)) f (x) \\, dx \\ leqslant M_k \\ cdot \\ Delta x_k \\,
kung saan ang \\ Delta x_k ay nangangahulugan ng pagkakaiba (x_ (k + 1) -x_k), iyon ay, ang haba ng segment. Ang pagsusulat ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito para sa lahat ng mga halaga ng k mula 0 hanggang n-1 at idaragdag ang mga ito, nakakakuha kami ng:
\\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ cdot \\ Delta x_k) \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ limit_ (x_k) ^ (x_ (k + 1 )) f (x) \\, dx \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_k \\ cdot \\ Delta x_k),
Ngunit sa pamamagitan ng additive na pag-aari ng isang tiyak na integral, ang kabuuan ng mga integral sa lahat ng mga bahagi ng isang segment ay katumbas ng integral sa segment na ito, i.
\\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ limit_ (x_k) ^ (x_ (k + 1)) f (x) \\, dx \u003d \\ int \\ limit_a) ^ (b) f (x) \\, dx \\,.
Samakatuwid,
\\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ cdot \\ Delta x_k) \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x ) \\, dx \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_k \\ cdot \\ Delta x_k)
Halimbawa, kung hinati mo ang isang segment sa 10 pantay na bahagi, ang bawat isa ay may haba na 0.4, pagkatapos ay sa isang bahagyang segment
hindi pagkakapantay-pantay humahawak
(1 + 0, \\! 4k) ^ 2 \\ leqslant x ^ 2 \\ leqslant \\ bigl (1 + 0, \\! 4 (k + 1) \\ bigr) ^ 2
Samakatuwid, mayroon kaming:
0, \\! 4 \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (9) (1 + 0, \\! 4k) ^ 2 \\ leqslant \\ int \\ mga limitasyon_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant 0, \\! 4 \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (9) \\ bigl (1 + 0, \\! 4 (k + 1) \\ bigr) ^ 2.
Kinakalkula, nakukuha namin: 36, \\! 64 \\ leqslant \\ int \\ mga limitasyon_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant 46, \\! 24... Ang pagtantya na ito ay mas tumpak kaysa sa naunang nakuha. 4 \\ leqslant \\ int \\ mga limitasyon_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \\ leqslant100.
Upang makakuha ng isang mas tumpak na pagtantya ng integral, kailangan mong hatiin ang segment na hindi sa 10, ngunit, sabihin, sa 100 o 1000 na bahagi at kalkulahin ang mga kaukulang kabuuan. Siyempre, ang integral na ito ay mas madaling makalkula gamit ang antiderivative:
\\ int \\ limit_ (1) ^ (5) x ^ 2 \\, dx \u003d \\ left. (\\ frac (x ^ 3) (3)) \\ kanan | _ (1) ^ (5) \u003d \\ frac (1) (3) (125-1) \u003d \\ frac (124) (3) \\,.
Ngunit kung hindi namin alam ang expression para sa antiderivative, kung gayon ang mga hindi pagkakapantay-pantay (2) ay ginagawang posible na tantyahin ang halaga ng integral mula sa ibaba at mula sa itaas.
Ang tiyak na integral bilang isang naghihiwalay na numero
Ang mga numero na m_k at M_k na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay (2) ay maaaring mapili nang arbitraryo, kung sa bawat isa lamang sa mga segment ang hindi pagkakapantay-pantay m_k \\ leqslant f (x) \\ leqslant M_k... Ang pinaka-tumpak na pagtantya ng integral para sa isang naibigay na pagkahati ng segment ay makukuha kung kukuha kami ng M_k bilang pinakamaliit at m_k bilang pinakamalaki sa lahat ng mga posibleng halaga. Nangangahulugan ito na bilang m_k kailangan naming gawin ang eksaktong ibabang hangganan ng mga halaga ng pagpapaandar y \u003d f (x) sa isang segment, at bilang M_k - ang eksaktong itaas na hangganan ng mga halagang ito sa parehong segment:
m_k \u003d \\ inf_ (x \\ in) f (x), \\ qquad M_k \u003d \\ sup_ (x \\ in) f (x).
Kung ang y \u003d f (x) ay isang function na may hangganan sa isang agwat, pagkatapos ay nakagapos din ito sa bawat agwat, at samakatuwid para dito ang mga numero na m_k at M_k, ~ 0 \\ leqslant k \\ leqslant n-1... Sa pagpipiliang ito ng mga numero m_k at M_k, ang mga kabuuan \\ texttyle (\\ kabuuan \\ limit_ (k \u003d 0) ^ (n-1) m_k \\ Delta x_k) at \\ texttyle (\\ kabuuan \\ mga limitasyon_ (k \u003d 0) ^ (n-1) M_k \\ Delta x_k) ay tinawag, ayon sa pagkakabanggit, ang mas mababa at itaas na integral na mga Darboux na kabuuan para sa pagpapaandar y \u003d -f (x) para sa isang ibinigay na pagkahati ng P
a \u003d x_0
segment. Isasaad namin ang mga kabuuan na ito sa pamamagitan ng s_ (fP) at S_ (fP), ayon sa pagkakabanggit, at kung ang pagpapaandar y \u003d f (x) ay naayos, pagkatapos ay simpleng s_P at S_P.
Ang hindi pagkakapantay-pantay (2) ay nangangahulugang iyan kung ang pagpapaandar y \u003d f (x) na nakagapos sa isang agwat ay may isang antiderivative sa agwat na ito, kung gayon ang tiyak na integral ay naghihiwalay sa mga numerong hanay \\ (s_p \\) at \\ (S_P \\), na binubuo, ayon sa pagkakabanggit, ng lahat ng mas mababa at itaas na mga sumobro ng Darboux para sa lahat ng posibleng mga partisyon na P ng agwat ... Sa pangkalahatan, maaaring mangyari na ang bilang na naghihiwalay sa dalawang hanay na ito ay hindi natatangi. Ngunit sa ibaba makikita natin na ito ay natatangi para sa pinakamahalagang mga klase ng pag-andar (sa partikular, para sa patuloy na pag-andar).
Pinapayagan kaming magpakilala ng isang bagong kahulugan para sa \\ texttyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx), hindi batay sa konsepto ng antiderivative, ngunit gumagamit lamang ng mga sumsumite ng Darboux.
Kahulugan Ang isang function na y \u003d f (x) na nakagapos sa isang segment ay tinatawag na integrable sa segment na ito kung mayroong isang solong bilang \\ ell na naghihiwalay sa mga hanay ng mas mababa at itaas na mga sumsum na Darboux na nabuo para sa lahat ng posibleng mga pagkahati ng segment. Kung ang pagpapaandar y \u003d f (x) ay naisasama sa isang segment, pagkatapos ang nag-iisang numero na naghihiwalay sa mga hanay na ito ay tinatawag na tiyak na integral ng pagpapaandar na ito sa segment at mga pamamaraan.
Natukoy namin ang integral \\ texttyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx) para sa kaso kapag a b, pagkatapos ay inilagay namin
\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx \u003d - \\ int \\ limit_ (b) ^ (a) f (x) \\, dx \\,.
Ang kahulugan na ito ay natural, dahil kapag nagbago ang direksyon ng agwat ng pagsasama, lahat ng mga pagkakaiba \\ Delta x_k \u003d x_ (k + 1) -x_k baguhin ang palatandaan, at pagkatapos ay baguhin ang mga palatandaan at kabuuan ng Darboux at, sa gayon, ang bilang na naghihiwalay sa kanila, ibig sabihin integral
Dahil para sa isang \u003d b lahat \\ Delta x_k nawala, inilagay namin
\\ int \\ limit__ (b) ^ (a) f (x) \\, dx \u003d 0.
Nakatanggap kami ng dalawang kahulugan ng konsepto ng isang tiyak na integral: bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga halaga ng antiderivative at bilang ng naghihiwalay na numero para sa mga kabuuan ng Darboux. Ang mga kahulugan na ito sa pinakamahalagang mga kaso ay humantong sa parehong resulta:
Teorama 2. Kung ang pagpapaandar y \u003d f (x) ay nakasalalay sa isang segment at mayroong antiderivative y \u003d F (x) dito, at mayroong isang solong numero na naghihiwalay sa mas mababa at itaas na mga sumsumite ng Darboux, kung gayon ang bilang na ito ay katumbas ng F (b) -F (a).
Katibayan. Napatunayan namin sa itaas na ang bilang F (a) -F (b) ay naghihiwalay sa mga set \\ (s_P \\) at \\ (S_P \\). Dahil ang naghihiwalay na numero ay natatanging natukoy ng teorya, kasabay nito ang F (b) -F (a).
Mula ngayon gagamitin namin ang notasyon \\ texttyle (\\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx) para lamang sa isahan na pinaghihiwalay ang mga set \\ (s_P \\) at \\ (S_P \\). Sumusunod ito mula sa napatunayan na teorya na sa kasong ito ay walang kontradiksyon sa pag-unawa sa notasyong ito na ginamit namin sa itaas.
Mga pag-aari ng mas mababa at itaas na mga kabuuan ng Darboux
Para sa kahulugan ng integral na ibinigay nang mas maaga upang magkaroon ng kahulugan, kinakailangang patunayan na ang hanay ng mga pang-itaas na Darboux na kabuuan ay matatagpuan sa kanan ng hanay ng mga mas mababang mga halaga ng Darboux.
Lemma 1. Para sa bawat pagkahati P, ang kaukulang mas mababang halaga ng Darboux ay hindi hihigit sa itaas na kabuuan ng Darboux, s_P \\ leqslant S_P.
Katibayan. Isaalang-alang ang isang pagkahati P ng isang segment:
a \u003d x_0 "
Malinaw na, para sa anumang k at para sa anumang napiling pagkahati P, ang hindi pagkakapantay-pantay s_P \\ leqslant S_P humahawak. Samakatuwid, m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ leqslant M_k \\ cdot \\ Delta x_k, at dahil jan
s_P \u003d \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (m_k \\ cdot \\ Delta x_k) \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) (M_k \\ cdot \\ Delta x_k) \u003d S_P.
q.E.D. Ang hindi pagkakapantay-pantay (4) ay may bisa lamang para sa isang nakapirming pagkahati P. Samakatuwid, hindi pa posible na igiit na ang mas mababang bilang ng Darboux ng isang pagkahati ay hindi maaaring lumagpas sa itaas na Darboux na kabuuan ng isa pang pagkahati. Upang mapatunayan ang pahayag na ito, kailangan namin ang sumusunod na lemma:
Lemma 2. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang bagong point ng dibisyon, ang mas mababang Darboux sum ay hindi maaaring bawasan, at ang itaas na halaga ay hindi maaaring tumaas.
Katibayan. Pumili tayo ng ilang pagkahati P ng segment at idagdag dito ang isang bagong point ng dibisyon (x ^ (\\ ast)). Tukuyin natin ang bagong pagkahati P ^ (\\ ast). Ang pagkahati P ^ (\\ ast) ay isang pagpipino ng pagkahati P, iyon ay, ang bawat punto ng pagkahati P ay sabay na isang punto ng pagkahati P ^ (\\ ast).
Hayaan ang point (x ^ (\\ ast)) na mahulog sa segment \\ colon \\, x_k ... Isaalang-alang ang dalawang nabuong mga segment at
at ipahiwatig ang kaukulang eksaktong mas mababang mga hangganan para sa mga halaga ng pagpapaandar sa pamamagitan ng m_ (k) ^ (\\ ast) at m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast), at ang eksaktong itaas na mga hangganan ng M_ (k) ^ (\\ ast) at M_ (k ) ^ (\\ ast \\ ast).
Hanggang sa term m_k (x_ (k + 1) -m_ (k)) ang orihinal na mas mababang Darboux na kabuuan sa bagong mas mababang Darboux sum ay tumutugma sa dalawang mga termino:
m_ (k) ^ (\\ ast) (x ^ (\\ ast) -x_k) + m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast)).
Kung saan m_k \\ leqslant m_ (k) ^ (\\ ast) at m_k \\ leqslant m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast), dahil ang m_k ay ang eksaktong mas mababang nakatali para sa mga halaga ng pagpapaandar f (x) sa buong agwat, at m_ (k) ^ (\\ ast) at m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) lamang sa mga bahagi nito at
ayon sa pagkakabanggit.
Tantiyahin natin mula sa ibaba ang kabuuan ng mga nakuha na tuntunin:
\\ umpisahan (nakahanay) m_ (k) ^ (\\ ast) \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_ (k) \\ bigr) + m_ (k) ^ (\\ ast \\ ast) \\ bigl (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr) \\ geqslant & \\, \\, m_k \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_k) + m_k (x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr ) \u003d \\\\ & \u003d m_k \\ bigl (x ^ (\\ ast) -x_k + x_ (k + 1) -x ^ (\\ ast) \\ bigr) \u003d \\\\ & \u003d m_k \\ bigl (x_ (k + 1) -x_k \\ bigr). \\ end (nakahanay)
Dahil ang natitirang mga termino sa parehong luma at ang bagong mas mababang mga halaga ng Darboux ay nanatiling hindi nagbabago, ang mas mababang Darboux na kabuuan ay hindi nabawasan mula sa pagdaragdag ng isang bagong punto ng dibisyon, s_P \\ leqslant S_P.
Ang assertion ay napatunayan na mananatiling wasto kapag nagdaragdag ng anumang may wakas na bilang ng mga puntos sa pagkahati P.
Ang pahayag tungkol sa pinakamataas na Darboux sum ay pinatunayan nang katulad: S_ (P ^ (\\ ast)) \\ leqslant S_ (P).
Magpatuloy tayo sa paghahambing ng mga kabuuan ng Darboux para sa anumang dalawang pagkahati.
Lemma 3. Walang mas mababang Darboux sum ay mas malaki kaysa sa anumang itaas na Darboux sum (hindi bababa sa naaayon sa isa pang pagkahati ng segment).
Katibayan. Isaalang-alang ang dalawang di-makatwirang mga partisyon na P_1 at P_2 ng segment at bumuo ng pangatlong pagkahati P_3, na binubuo ng lahat ng mga punto ng mga partisyon na P_1 at P_2. Samakatuwid, ang pagkahati P_3 ay isang pagpipino ng parehong pagkahati P_1 at ang pagkahati P_2 (Larawan 7).
Tinutukoy namin ang mas mababa at itaas na mga sum na Darboux para sa mga pagkahati na ito, ayon sa pagkakabanggit s_1, ~ S_1. ~ s_2, ~ S_2 at patunayan na s_1 \\ leqslant S_2.
Dahil ang P_3 ay isang pagpipino ng P_1 na pagkahati, pagkatapos ay s_1 \\ leqslant s_3. Dagdag dito, s_3 \\ leqslant S_3, dahil ang mga kabuuan ng s_3 at S_3 ay tumutugma sa parehong pagkahati. Panghuli, S_3 \\ leqslant S_2, dahil ang P_3 ay isang pagpipino ng pagkahati ng P_2.
Sa ganitong paraan, s_1 \\ leqslant s_3 \\ leqslant S_3 \\ leqslant S_2, ibig sabihin s_1 \\ leqslant S_2, kung kinakailangan.
Ipinahihiwatig iyon ng Lemma 3 ang itinakdang bilang X \u003d \\ (s_P \\) ng mas mababang mga bilang ng Darboux ay nakalagay sa kaliwa ng itinakdang bilang na Y \u003d \\ (S_P \\) ng mas mataas na mga sumsum na Darboux.
Sa bisa ng teorama sa pagkakaroon ng isang naghihiwalay na numero para sa dalawang mga hanay ng numero1, mayroong hindi bababa sa isang numero / pinaghihiwalay ang mga hanay na X at Y, iyon ay, tulad ng para sa anumang pagkahati ng segment, ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay na humahawak:
s_P \u003d \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr) \\ leqslant I \\ leqslant \\ sum_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (M_k \\ Kung natatangi ang numerong ito, kung gayon
\\ texttyle (I \u003d \\ int \\ limit_ (a) ^ (b) f (x) \\, dx) Magbigay tayo ng isang halimbawa na ipinapakita na ang gayong bilang I, sa pangkalahatan ay nagsasalita, ay hindi natatanging natukoy. Alalahanin na ang Dirichlet function ay ang pagpapaandar y \u003d D (x) sa agwat na tinukoy ng mga pagkakapantay-pantay:.
D (x) \u003d \\ simulan (mga kaso) 0, & \\ teksto (kung) ~~ x ~~ \\ teksto (ay hindi makatuwiran na numero); \\\\ 1, & \\ teksto (kung) ~~ x ~~ \\ teksto (ay nakapangangatwiran numero). \\ pagtatapos (mga kaso)
{!LANG-8496ccc83f98a8a4b70c43781361ab1c!}
Anumang segment na gagawin namin, magkakaroon ng parehong makatuwiran at hindi makatuwiran na mga puntos dito, ibig sabihin at mga puntos kung saan D (x) \u003d 0 at mga puntos kung saan D (x) \u003d 1. Samakatuwid, para sa anumang pagkahati ng segment, lahat ng mga halaga ng m_k ay katumbas ng zero, at lahat ng mga halaga ng M_k ay katumbas ng isa. Ngunit pagkatapos lahat ng mga mas mababang Darboux ay sums \\ texttyle (\\ sum \\ limit_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (m_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr)) ay katumbas ng zero, at lahat ng pang-itaas na mga kabuuan ng Darboux \\ texttyle (\\ sum \\ limit_ (k \u003d 0) ^ (n-1) \\ bigl (M_k \\ cdot \\ Delta x_k \\ bigr)) katumbas ng isa,
