Layunin:

• Ang pagbuo ng konsepto ng primitive.
• Paghahanda para sa pang-unawa ng mahalagang.
• Ang pagbuo ng mga kasanayan sa computational.
• Ang pagsasanay sa isang pakiramdam ng kagandahan (ang kakayahang makakita ng kagandahan sa hindi pangkaraniwang).

Ang pagtatasa ng matematika ay isang koleksyon ng mga seksyon ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng mga pag-andar at ang kanilang mga generalizations sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng kaugalian at integral na calculi.

Kung hanggang ngayon napag-aralan natin ang isang seksyon ng pagtatasa ng matematika na tinatawag na kaugalian calculus, ang kakanyahan kung saan ay pag-aralan ang mga function sa "maliit".

Ang mga iyon. pagsisiyasat ng isang pag-andar sa sapat na maliit na mga kapitbahayan ng bawat puntong kahulugan. Ang isa sa mga operasyon ng pagkita ng pagkita ng kaibhan ay ang paghahanap ng derivative (pagkakaiba) at pag-apply sa pag-aaral ng mga pag-andar.

Ang pantay na mahalaga ay ang kabaligtaran na problema. Kung ang pag-uugali ng pag-andar sa paligid ng bawat punto ng kahulugan nito ay alam, kung gayon kung paano ibalik ang pagpapaandar bilang isang buo, i.e. sa buong larangan ng kahulugan nito. Ang gawaing ito ay ang paksa ng pag-aaral ng tinatawag na integral calculus.

Ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkita ng kaibhan. O pagpapanumbalik ng pag-andar f (x) mula sa ibinigay na derivative f` (x). Ang salitang Latin na "integro" ay nangangahulugang pagpapanumbalik.

Halimbawa Hindi.

Hayaan (x) `\u003d 3x 2.
  Hanapin ang f (x).

Desisyon:

Batay sa patakaran ng pagkita ng kaibhan, madaling hulaan na f (x) \u003d x 3, dahil (x 3), \u003d 3x 2
   Gayunpaman, madaling makita na ang f (x) ay hindi maliwanag.
  Bilang f (x) maaari nating kunin
  f (x) \u003d x 3 +1
  f (x) \u003d x 3 +2
  f (x) \u003d x 3 -3, atbp.

Dahil ang derivative ng bawat isa sa kanila ay 3x2. (Ang hinalaw ng pare-pareho ay 0). Ang lahat ng mga pagpapaandar na ito ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang palaging term. samakatuwid karaniwang desisyon  ang mga gawain ay maaaring isulat sa form f (x) \u003d x 3 + C, kung saan ang C ay anumang palaging tunay na numero.

Ang alinman sa mga nahanap na function f (x) ay tinatawag MAHALAGA  para sa pagpapaandar F` (x) \u003d 3x 2

Kahulugan Ang function F (x) ay tinatawag na antiderivative para sa function f (x) sa isang naibigay na agwat J, kung para sa lahat ng x mula sa agwat na ito F` (x) \u003d f (x). Kaya ang function F (x) \u003d x 3 ay antiderivative para sa f (x) \u003d 3x 2 on (- ∞; ∞).
   Dahil, para sa lahat ng x ~ R, ang pagkakapantay-pantay ay humahawak: F` (x) \u003d (x 3) `\u003d 3x 2

Tulad ng napansin na natin ang function na ito  ay may isang walang hanggan bilang ng mga primitibo (tingnan ang halimbawa Hindi. 1).

Halimbawa Hindi.   Ang function F (x) \u003d x ay ang antiderivative para sa lahat ng f (x) \u003d 1 / x sa agwat (0; +), sapagkat para sa lahat ng x mula sa agwat na ito, humahawak ang pagkakapantay-pantay.
  F` (x) \u003d (x 1/2) `\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1/2 x

Halimbawa Hindi.   Ang function F (x) \u003d tg3x ay ang antiderivative para sa f (x) \u003d 3 / cos3x sa agwat (-n / 2;   P / 2),
dahil F` (x) \u003d (tg3х) `\u003d 3 / cos 2 3х

Halimbawa Hindi. Ang function F (x) \u003d 3sin4x + 1 / x-2 ay ang antiderivative para sa f (x) \u003d 12cos4x-1 / x 2 sa agwat (0; ∞)
  dahil F` (x) \u003d (3sin4x) + 1 / x-2) `\u003d 4cos4x-1 / x 2

Panayam 2.

Tema: antiderivative. Ang pangunahing pag-aari ng primitive function.

Sa pag-aaral ng antiderivative ay umaasa tayo sa sumusunod na pahayag. Isang tanda ng patuloy na pag-andar: Kung ang derivative Ψ (x) ng pagpapaandar sa pagitan ng J ay 0, kung gayon ang pagpapaandar Ψ (x) ay patuloy sa agwat na ito.

Ang pahayag na ito ay maaaring maipakita nang geometrically.

Alam na ang Ψ` (x) \u003d tanα,, ay ang α-anggulo ng pagkahilig ng tangent sa grap ng pag-andar Ψ (x) sa isang punto na may isang abscissa x 0. Kung ang Ψ` (υ) \u003d 0 sa anumang punto ng agwat J, pagkatapos ay tgα \u003d 0 δ para sa anumang padaplis sa grap ng pag-andar Ψ (x). Nangangahulugan ito na ang tangent sa grap ng pag-andar sa anumang punto ay kaayon sa abscissa axis. Samakatuwid, sa ipinahiwatig na agwat, ang graph ng function Ψ (x) ay magkakasabay sa tuwid na linya ng y \u003d C.

Kaya, ang pagpapaandar f (x) \u003d c ay patuloy sa agwat J kung f` (x) \u003d 0 sa agwat na ito.

Sa katunayan, para sa isang di-makatwirang x 1 at x 2 mula sa pagitan ng J, sa pamamagitan ng teorema sa average na halaga ng pag-andar, maaari nating isulat:
  f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (s) (x 2 - x 1), sapagkat f` (c) \u003d 0, pagkatapos f (x 2) \u003d f (x 1)

Teorya: (Ang pangunahing pag-aari ng isang primitive function)

Kung ang F (x) ay isa sa mga antiderivatives para sa pagpapaandar f (x) sa pagitan ng J, kung gayon ang hanay ng lahat ng mga antiderivatives ng pagpapaandar na ito ay may form: F (x) + C, kung saan ang C ay anumang tunay na numero.

Katibayan:

Hayaan ang F` (x) \u003d f (x), pagkatapos (F (x) + C) `\u003d F` (x) + C` \u003d f (x), para sa x Є J.
  Ipagpalagay na mayroong umiiral Φ (x) - isa pang antiderivative para sa f (x) sa pagitan ng J, i.e. Φ` (x) \u003d f (x),
  pagkatapos (Φ (x) - F (x)) `\u003d f (x) - f (x) \u003d 0, para sa x Є J.
  Nangangahulugan ito na ang Φ (x) - F (x) ay palaging nasa agwat J.
  Samakatuwid, Φ (x) - F (x) \u003d C.
  Kung saan Φ (x) \u003d F (x) + C
  Nangangahulugan ito na kung ang F (x) ay ang antiderivative para sa pagpapaandar f (x) sa pagitan ng J, kung gayon ang hanay ng lahat ng mga antiderivatives ng pagpapaandar na ito ay may form: F (x) + C, kung saan ang C ay anumang tunay na numero.
  Dahil dito, ang anumang dalawang antiderivatives ng isang naibigay na function ay naiiba sa bawat isa sa pamamagitan ng isang palaging term.

Halimbawa: Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng pag-andar f (x) \u003d kos x. Gumuhit ng mga graph ng unang tatlo.

Desisyon:  Ang kasalanan x ay isa sa mga antiderivatives para sa pagpapaandar f (x) \u003d kos x
  F (x) \u003d Ang sin x + C ay ang hanay ng lahat ng mga antiderivatives.

F 1 (x) \u003d Kasalanan x-1
  F 2 (x) \u003d kasalanan x
  F 3 (x) \u003d Kasalanan x + 1

Geometric na paglalarawan:  Ang grap ng anumang antiderivative F (x) + C ay maaaring makuha mula sa grap ng antiderivative F (x) gamit ang kahanay na transfer r (0; c).

Halimbawa: Para sa function f (x) \u003d 2x, hanapin ang antiderivative na ang graph ay dumadaan sa T.M (1; 4)

Desisyon:  F (x) \u003d x 2 + C ang hanay ng lahat ng mga antiderivatives, F (1) \u003d 4 - sa pamamagitan ng kondisyon ng problema.
  Samakatuwid, 4 \u003d 1 2 + C
  C \u003d 3
F (x) \u003d x 2 +3

Antiderivative.

Ang primitive ay madaling maunawaan sa pamamagitan ng halimbawa.

Pag-andar y \u003d x  3. Tulad ng nalalaman natin mula sa mga nakaraang mga seksyon, nagmula sa x  3 ay 3 x 2:

(x 3)" = 3x 2 .

Samakatuwid, mula sa pagpapaandar y \u003d x  3 nakukuha namin bagong tampok: sa = 3x 2 .
  Malambing na nagsasalita, ang pagpapaandar sa = x  3 ginawa function sa = 3x  2 at ang "magulang" nito. Sa matematika walang salitang "magulang", ngunit mayroong isang kaugnay na konsepto: primitive.

Iyon ay: function y \u003d x  3 ay primitive para sa pag-andar sa = 3x 2 .

Kahulugan ng antiderivative:

Sa aming halimbawa ( x 3)" = 3x  2 samakatuwid y \u003d x  3 - antiderivative para sa sa = 3x 2 .

Pagsasama.

Tulad ng nalalaman mo, ang proseso ng paghahanap ng derivative na may paggalang sa isang naibigay na function ay tinatawag na pagkita ng kaibhan. At ang reverse operation ay tinatawag na pagsasama.

Halimbawa ng Pagpapaliwanag:

sa = 3x  2 + kasalanan x.

Desisyon :

Alam namin na ang antiderivative para sa 3 x  2 ay x 3 .

Antiderivative para sa kasalanan x  ay -cos x.

Idagdag ang dalawang antiderivatives at makuha ang antiderivative para sa isang naibigay na function:

y \u003d x  3 + (–cos x),

y \u003d x  3 - kos x.

Ang sagot ay:
  para sa pagpapaandar sa = 3x  2 + kasalanan x y \u003d x  3 - kos x.

Halimbawa ng Pagpapaliwanag:

Hanapin ang antiderivative para sa pagpapaandar sa  \u003d 2 kasalanan x.

Desisyon :

Napansin namin na k \u003d 2. Ang antiderivative para sa kasalanan x  ay -cos x.

Samakatuwid, para sa pagpapaandar sa  \u003d 2 kasalanan x  ang antiderivative ay ang pagpapaandar sa  \u003d -2 kos x.
Coefficient 2 sa pagpapaandar y \u003d 2 kasalanan x  tumutugma sa unang koepisyent na mula sa kung saan nabuo ang pagpapaandar na ito.

Halimbawa ng Pagpapaliwanag:

Hanapin ang antiderivative para sa pagpapaandar y  \u003d kasalanan 2 x.

Desisyon :

Pansinin iyan k  \u003d 2. Ang antiderivative para sa kasalanan x  ay -cos x.

Nag-aaplay kami ng aming formula kapag hinahanap ang antiderivative para sa pagpapaandar y  \u003d koswa 2 x:

1
y  \u003d - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Sagot: para sa pagpapaandar y  \u003d kasalanan 2 x  ang antiderivative ay ang pagpapaandar y = – ----
2

(4)

Halimbawa ng Pagpapaliwanag.

Kunin ang pagpapaandar mula sa nakaraang halimbawa: y  \u003d kasalanan 2 x.

Para sa pagpapaandar na ito, ang lahat ng mga antiderivatives ay may form:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Pagpapaliwanag.

Dumaan sa unang linya. Nabasa nito tulad nito: kung ang function y \u003d f ( x) ay 0, kung gayon ang antiderivative para sa mga ito ay 1. Bakit? Sapagkat ang derivative ng yunit ay zero: 1 "\u003d 0.

Ang natitirang mga linya ay binabasa sa parehong pagkakasunud-sunod.

Paano magsulat ng data mula sa isang talahanayan? Dumaan sa ikawalong linya:

(-cos x) "\u003d kasalanan x

Sinusulat namin ang pangalawang bahagi na may derivative sign, kung gayon ang pantay na pag-sign at derivative.

Nabasa namin: ang antiderivative para sa function na kasalanan x  ay ang -cos function x.

O: -cos function x  ay primitive para sa function na kasalanan x.

Isaalang-alang ang paggalaw ng isang punto sa isang tuwid na linya. Hayaan sa oras t  mula sa simula ng kilusan, ang punto ay lumipas sa paraan s (t).  Pagkatapos agad v (t)  pantay sa derivative ng pag-andar   s (t)  i.e v (t) \u003d s "(t).

Sa pagsasanay, ang salungat na problema ay nakatagpo: para sa isang naibigay na tulin ng punto v (t)  hanapin ang kanyang landas s (t), hahanapin ang tulad ng isang pag-andar s (t)  na ang nagmula ay v (t). Pag-andar s (t)  ganyan s "(t) \u003d v (t)ay tinatawag na primitive function v (t).

Halimbawa, kung v (t) \u003d atsaan atAy isang naibigay na numero, kung gayon ang pagpapaandar
s (t) \u003d (sa 2) / 2  v (t)  bilang
s "(t) \u003d ((sa 2) / 2)" \u003d sa \u003d v (t).

Pag-andar F (x)  tinatawag na antiderivative function f (x)sa isang tiyak na agwat, kung para sa lahat xmula sa puwang na ito F "(x) \u003d f (x).

Halimbawa, ang pagpapaandar F (x) \u003d kasalanan xay isang primitive function f (x) \u003d kos x,bilang   (kasalanan x) "\u003d kos x; pag-andar F (x) \u003d x 4/4ay isang primitive function f (x) \u003d x 3, bilang (x 4/4) "\u003d x 3.

Isaalang-alang ang problema.

Gawain.

Patunayan na ang mga pag-andar x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 - 4 ay ang mga antiderivatives ng parehong function f (x) \u003d x 2.

Desisyon.

1) Denote F 1 (x) \u003d x 3/3, pagkatapos F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2/3) \u003d x 2 \u003d f (x).

2) F 2 (x) \u003d x 3/3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3/3 + 1)" \u003d (x 3/3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f ( x).

3) F 3 (x) \u003d x 3/3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3/3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).

Sa pangkalahatan, ang anumang pag-andar x 3/3 + C, kung saan ang C ay isang pare-pareho, ay isang primitive ng pagpapaandar x 2. Sinusundan ito mula sa katotohanan na ang derivative ng pare-pareho ay zero. Ipinapakita ng halimbawang ito na para sa isang naibigay na function ang antiderivative ay tinukoy nang hindi malinaw.

Hayaan ang F 1 (x) at F 2 (x) ay maging dalawang antiderivatives ng parehong pag-andar f (x).

Pagkatapos F 1 "(x) \u003d f (x) at F" 2 (x) \u003d f (x).

Ang hinango ng kanilang pagkakaiba g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) ay pantay sa zero, dahil g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0.

Kung ang g "(x) \u003d 0 sa isang tiyak na agwat, kung gayon ang tangent sa grap ng pag-andar y \u003d g (x) sa bawat punto ng agwat na ito ay kahanay sa axis ng Ox. Samakatuwid, ang grap ng pag-andar y \u003d g (x) ay isang tuwid na linya na kahanay sa axis ng Ox, t. e. g (x) \u003d C, kung saan ang C ay isang pare-pareho.Mula sa pagkakapantay-pantay g (x) \u003d C, g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) ay sumusunod sa F 1 (x) \u003d F 2 (x) + C.

Kaya, kung ang pagpapaandar F (x) ay ang antiderivative ng pagpapaandar f (x) sa ilang agwat, kung gayon ang lahat ng mga antiderivatives ng f (x) ay nakasulat sa form F (x) + C, kung saan ang C ay isang di-makatwirang pare-pareho.

Isaalang-alang ang mga graph ng lahat ng mga antiderivatives ng isang naibigay na function f (x). Kung ang F (x) ay isa sa antiderivatives ng f (x), kung gayon ang anumang antiderivative ng pagpapaandar na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng isang pare-pareho sa F (x): F (x) + C. Ang mga graph ng mga pag-andar y \u003d F (x) + C ay nakuha mula sa grapiko y \u003d F (x) sa pamamagitan ng isang shift kasama ang axis Oy. Sa pamamagitan ng pagpili ng C, posible upang matiyak na ang antiderivative graph ay dumadaan sa isang naibigay na punto.

Bigyang-pansin natin ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga antiderivatives.

Alalahanin na ang pagpapatakbo ng paghahanap ng derivative para sa isang naibigay na function ay tinatawag pagkita ng kaibahan. Ang kabaligtaran na operasyon ng paghahanap ng antiderivative para sa isang naibigay na function ay tinatawag pagsasama(mula sa salitang Latin "ibalik").

Talahanayan ng antiderivative  para sa ilang mga pag-andar, maaari kang magsulat gamit ang talahanayan ng mga derivatives. Halimbawa, alam na (kos x) "\u003d -sin x,  nakukuha namin (-cos x) "\u003d kasalanan x, kung saan sinusunod na ang lahat ng mga primitive na pag-andar kasalanan x  ay nakasulat bilang -cos x + Csaan SA- pare-pareho.

Isaalang-alang ang ilan sa mga kahulugan ng antiderivatives.

1) Pag-andar:   x p, p ≠ -1. Antiderivative: (x p + 1) / (p + 1) + C.

2)   Pag-andar: 1 / x, x\u003e 0.  Antiderivative: ln x + C.

3)   Pag-andar: x p, p ≠ -1. Antiderivative:   (x p + 1) / (p + 1) + C.

4)   Pag-andar: e x. Antiderivative: e x + C.

5)   Pag-andar: kasalanan x. Antiderivative: -cos x + C

6)   Pag-andar:   (kx + b) p, p ≠ -1, k ≠ 0.  Antiderivative: (((kx + b) p + 1) / k (p + 1)) + C

7)   Pag-andar: 1 / (kx + b), k ≠ 0. Antiderivative: (1 / k) ln (kx + b) + C.

8)   Pag-andar: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivative:   (1 / k) e kx + b + C.

9)   Pag-andar: kasalanan (kx + b), k ≠ 0. Antiderivative:   (-1 / k) kos (kx + b).

10)   Pag-andar: kos (kx + b), k ≠ 0.Antiderivative: (1 / k) kasalanan (kx + b).

Mga Panuntunan sa Pagsasama  maaaring makuha gamit mga patakaran sa pagkita ng kaibhan. Isaalang-alang natin ang ilang mga patakaran.

Hayaan   F (x)  at   G (x)  - Pag-andar ng antiderivatives ayon sa pagkakabanggit f (x)at g (x)sa isang tiyak na agwat. Pagkatapos:

1) pag-andar   F (x) ± G (x)  ay isang primitive function f (x) ± g (x);

2)   pag-andar aF (x)ay isang primitive function af (x).

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa mapagkukunan.

Ang paglutas ng mga integral ay isang madaling gawain, ngunit para lamang sa mga piling tao. Ang artikulong ito ay para sa mga nais malaman na maunawaan ang mga integral, ngunit walang alam tungkol sa mga ito o halos wala. Integral ... Bakit kinakailangan? Paano makalkula ito? Ano ang mga tiyak at walang katiyakan integral? Kung ang tanging application ng integral na kilala sa iyo ay upang makakuha ng isang bagay na kapaki-pakinabang mula sa mahirap maabot ang mga lugarpagkatapos ay maligayang pagdating! Alamin kung paano malulutas ang mga integral at kung bakit hindi mo magagawa kung wala ito.

Pinag-aaralan namin ang konsepto ng "integral"

Ang integrasyon ay kilala pabalik Sinaunang egypt. Syempre hindi sa modernong hitsura, ngunit pa rin. Mula noon, maraming mga libro ang isinulat ng mga matematiko sa paksang ito. Lalo na nakikilala Newton   at Leibniz ngunit ang kakanyahan ng mga bagay ay hindi nagbago. Paano maiintindihan ang mga integral mula sa simula? Walang paraan! Upang maunawaan ang paksang ito, kailangan mo pa rin ng pangunahing kaalaman sa mga pangunahing kaalaman sa pagsusuri sa matematika. Ito ang mga pangunahing impormasyon na mahahanap mo sa aming blog.

Walang limitasyong integral

Magkaroon tayo ng ilang function f (x) .

Hindi natukoy na integral function f (x)   ang function na ito ay tinatawag F (x) na ang derivative ay pantay sa pag-andar f (x) .

Sa madaling salita, ang integral ay ang hinalaw sa kabaligtaran o ang antiderivative. Sa pamamagitan ng paraan, tungkol sa kung paano basahin sa aming artikulo.

Ang isang primitive ay umiiral para sa lahat ng patuloy na pag-andar. Gayundin, ang isang palagiang pag-sign ay madalas na idinagdag sa antiderivative, dahil ang mga derivatives ng mga pag-andar na naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho. Ang proseso ng paghahanap ng integral ay tinatawag na pagsasama.

Isang simpleng halimbawa:

Upang hindi patuloy na kalkulahin ang mga primitibo ng elementarya na pag-andar, maginhawa upang mabawasan ang mga ito sa isang mesa at gumamit ng mga yari na mga halaga:

Walang limitasyong integral

Kapag nakikipag-usap sa konsepto ng isang mahalagang, nakikipag-ugnayan kami sa walang hanggan na dami. Ang integral ay makakatulong sa kalkulahin ang lugar ng figure, ang masa ng hindi nakakapinsalang katawan, ang landas na naglakbay na may hindi pantay na paggalaw, at marami pa. Dapat itong alalahanin na ang integral ay ang kabuuan ng isang walang hanggan na malaking bilang ng mga infinitesimal term.

Bilang isang halimbawa, isipin ang isang graph ng isang function. Paano mahahanap ang lugar ng isang figure na hangganan ng isang graph ng function?

Gamit ang integral! Hinahati namin ang curvilinear trapezoid, na limitado ng mga kohe ng coordinate at ang function ng graph, sa mga infinitesimal na mga segment. Kaya, ang figure ay nahahati sa manipis na mga haligi. Ang kabuuan ng mga lugar ng mga haligi ay ang lugar ng trapezoid. Ngunit tandaan na ang naturang pagkalkula ay magbibigay ng isang tinatayang resulta. Gayunpaman, ang mas maliit at mas makitid ang mga segment, mas tumpak ang pagkalkula. Kung bawasan namin ang mga ito sa isang lawak na ang haba ay may posibilidad na zero, kung gayon ang kabuuan ng mga lugar ng mga segment ay may posibilidad sa lugar ng figure. Ito ay isang tiyak na integral, na kung saan ay nakasulat na tulad nito:

  Ang mga puntos a at b ay tinatawag na mga limitasyon ng pagsasama.

  Bari Alibasov at ang Integral Group

Siya nga pala! Ang aming mga mambabasa ngayon ay may isang 10% na diskwento sa

Mga panuntunan para sa pagkalkula ng mga integral para sa mga dummies

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

Paano malulutas ang isang hindi tiyak na integral? Narito isinasaalang-alang namin ang mga katangian ng hindi tiyak na integral, na kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga halimbawa.

• Ang hinango ng integral ay pantay sa integrand:

• Ang patuloy na maaaring makuha mula sa ilalim ng mahalagang sign:

• Ang integral ng kabuuan ay pantay sa kabuuan ng mga integral. Totoo rin para sa pagkakaiba:

Mga katangian ng isang tiyak na integral

• Pagkakaisa:

• Ang tanda ng mga mahalagang pagbabago kung ipinagpapalit natin ang mga limitasyon ng pagsasama:

• Sa anumang  puntos a, b  at kasama:

Nalaman na namin na ang isang tiyak na integral ay ang limitasyon ng kabuuan. Ngunit paano makakuha ng isang tiyak na halaga kapag paglutas ng isang halimbawa? Para sa mga ito, mayroong isang pormula ng Newton-Leibniz:

Mga halimbawa ng paglutas ng mga integral

Sa ibaba ay isasaalang-alang namin ang ilang mga halimbawa ng paghahanap ng mga hindi tiyak na integral. Iminumungkahi namin na malaya mong maunawaan ang mga pagkasalimuot ng solusyon, at kung hindi malinaw ang isang bagay, magtanong sa mga komento.

Upang pagsamahin ang materyal, manood ng isang video sa kung paano nalutas ang mga integral sa pagsasanay. Huwag mawalan ng pag-asa kung ang integral ay hindi ibinigay agad. Magtanong, at sasabihin nila sa iyo ang tungkol sa pagkalkula ng integral ng lahat ng kanilang nalalaman. Sa aming tulong, ang anumang triple o curvilinear integral sa isang saradong ibabaw ay magiging iyong lakas.

Pag-andar F (x ) tinawag antiderivative   para sa pagpapaandar f (x)   sa isang naibigay na agwat, kung para sa lahat x   mula sa agwat na ito ay humahawak ang pagkakapantay-pantay

F "(x ) = f(x ) .

Halimbawa, ang pagpapaandar F (x) \u003d x 2 f (x ) = 2x   , bilang

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x \u003d f (x). ◄

Ang pangunahing pag-aari ng antiderivative

Kung F (x)   - antiderivative para sa pag-andar f (x)   sa isang naibigay na agwat, kung gayon ang pagpapaandar f (x)   ay walang hanggan maraming primitibo, at lahat ng mga primitibo na ito ay maaaring isulat bilang F (x) + Csaan SA   Ay isang di-makatarungang pare-pareho.

Mga panuntunan para sa computing antiderivatives

1. Kung F (x) - antiderivative para sa   f (x) , at G (x) - antiderivative para sa g (x) pagkatapos F (x) + G (x)   - antiderivative para sa f (x) + g (x) . Sa ibang salita, ang antiderivative sum ay pantay sa kabuuan ng antiderivatives .
2. Kung F (x) - antiderivative para sa   f (x) , at k Ay palaging pagkatapos k · F (x)   - antiderivative para sa k · f (x) . Sa ibang salita, ang palagiang kadahilanan ay maaaring makuha mula sa derivative sign .
3. Kung F (x) - antiderivative para sa   f (x) , at k,  b- permanenteng, at k ≠ 0 pagkatapos 1 /   k   F (k x +b )   - antiderivative para sa f(k x + b) .

Walang limitasyong integral

Hindi tiyak na integral   mula sa pagpapaandar   f (x)   tinatawag na expression F (x) + C, iyon ay, ang kabuuan ng lahat ng mga antiderivatives ng isang naibigay na function f (x) . Ang hindi tiyak na integral ay isinailalim sa mga sumusunod:

∫ f (x) dx \u003d F (x) + C ,

f (x)- tinawag functionand integrand ;

f (x) dx  - tinawag integrand ;

x   - tinawag variable variable ;

F (x) - isa sa mga antiderivatives   f (x) ;

SA   Ay isang di-makatarungang pare-pareho.

Halimbawa, ∫ 2 x dx \u003dx 2 + SA , ∫ kosx dx \u003dkasalanan x + SA   atbp. ◄

Ang salitang "integral" ay nagmula sa salitang Latin integer , na nangangahulugang "naibalik." Sa pag-aakalang hindi tiyak na integral ng 2 x  , uri kami upang ibalik ang function x 2 na ang nagmula ay 2 x  . Ang pagpapanumbalik ng isang function mula sa pinagmulan nito, o, pantay, ang paghahanap para sa isang walang katiyakan integral sa isang naibigay na integrand, ay tinatawag na pagsasama   ang function na ito. Ang pagsasama ay ang kabaligtaran ng pagkita ng kaibahan.Sa upang mapatunayan na ang pagsasama ay isinasagawa nang tama, sapat na upang makilala ang resulta at makakuha ng isang integrand.

Ang mga pangunahing katangian ng hindi tiyak na integral

1. Ang derivative ng hindi tiyak na integral ay pantay sa integrand:

(∫ f (x) dx )" \u003d f (x) .

2. Ang palagiang kadahilanan ng integrand ay maaaring makuha sa integral sign:

∫ k · f (x) dx = k · ∫ f (x) dx .

3. Ang integral ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga pag-andar ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga integral ng mga function na ito:

∫ ( f (x) ± g (x ) ) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x ) dx .

4. Kung k,  b- permanenteng, at k ≠ 0 pagkatapos

∫ f ( k x + b) dx = 1 /   k   F (k x +b ) + C .

Talahanayan ng antiderivatives at walang katiyakan integral

Walang limitasyong integral

Hayaan sa pagitan [a;   b]   tinukoy na patuloy na pag-andar y \u003d f (x) pagkatapos tiyak na integral mula sa a hanggang b   ang mga function f (x)   tinatawag na primitive na pagdaragdag F (x) ng pagpapaandar na ito, i.e.

$$ \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | (_a ^ b) \u003d ~~ F (a) -F (b).

Ang mga numero aat b  ay tinawag nang naaayon mas mababa   at tuktok mga limitasyon ng pagsasama.

Mga pangunahing panuntunan para sa pagkalkula ng isang tiyak na integral

1. \\ (\\ int_ (a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\);

2. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d - \\ int_ (b) ^ (a) f (x) dx \\);

3. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) kf (x) dx \u003d k \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx, \\) kung saan k   - palagi;

4. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) (f (x) ± g (x)) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx ± \\ int_ (a) ^ (b) g (x) dx \\);

5. \\ (\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d \\ int_ (a) ^ (c) f (x) dx + \\ int_ (c) ^ (b) f (x) dx \\);

6. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 2 \\ int_ (0) ^ (a) f (x) dx \\), kung saan   f (x)   - kahit na function;

7. \\ (\\ int _ (- a) ^ (a) f (x) dx \u003d 0 \\), kung saan f (x)   Ay isang kakaibang function.

Komento . Sa lahat ng mga kaso, ipinapalagay na ang mga integral ay maaaring maisama sa bilang ng mga agwat na ang mga hangganan ay ang mga limitasyon ng pagsasama.

Ang geometric at pisikal na kahulugan ng isang tiyak na integral

Kahulugan ng geometriko tiyak na integral	Pang-pisikal na kahulugan tiyak na integral
Lugar S  curvilinear trapezoid (isang pigura na limitado ng isang graph ng patuloy na positibo sa agwat [a;   b]   ang mga function f (x) aksis Ox   at tuwid x \u003d a , x \u003d b ) ay kinakalkula ng pormula $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx. $$	Daan sna kung saan ang materyal na punto ay nagtagumpay sa pamamagitan ng paglipat ng linya nang may bilis na nag-iiba ayon sa batas v (t) para sa agwat ng oras a ;   b], pagkatapos ay ang lugar ng figure na hangganan ng mga graph ng mga function at tuwid na linya x \u003d a , x \u003d b kinakalkula ng formula $$ S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) (f (x) -g (x)) dx
	Halimbawa. Kinakalkula namin ang lugar ng figure, limitado sa pamamagitan ng mga linya y \u003d x 2 at y \u003d2  - x . Ipaalam sa amin na lagyan ng iskematiko ang mga graph ng mga pag-andar na ito at i-highlight sa ibang kulay ang figure na ang lugar ay matatagpuan. Upang mahanap ang mga limitasyon ng pagsasama, malulutas namin ang equation: x 2 = 2  - x ; x 2 +   x -2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$ S \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) ((2-x) -x ^ 2) dx \u003d $$
$$ \u003d \\ int _ (- 2) ^ (1) (2-xx ^ 2) dx \u003d \\ kaliwa (2x- \\ frac (x ^ 2) (2) - \\ frac (x ^ 3) (2) \\ tama ) \\ bigm | (_ (- 2) ^ (~ 1)) \u003d 4 \\ frac (1) (2). $$ ◄

Ang dami ng pag-ikot ng katawan

	Kung ang katawan ay nakuha bilang isang resulta ng pag-ikot sa paligid ng axis Ox   hubog trapezoid, na limitado sa pamamagitan ng isang tuluy-tuloy at hindi negatibong graph sa agwat [a;   b] ang mga function y \u003d f (x)   at tuwid x \u003d aat x \u003d b tapos tinawag nila siya katawan ng pag-ikot . Ang dami ng katawan ng rebolusyon ay kinakalkula ng pormula $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) f ^ 2 (x) dx. $$ Kung ang katawan ng rebolusyon ay nakuha bilang isang resulta ng pag-ikot ng isang pigura na pinagsama ng mga graph ng mga pag-andar y \u003d f (x) at y \u003d g (x) , ayon sa pagkakabanggit, kung gayon $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (a) ^ (b) (f ^ 2 (x) -g ^ 2 (x)) dx.
	Halimbawa. Kinakalkula namin ang dami ng kono na may radius r   at matangkad h . Inayos namin ang kono sa isang hugis-parihaba na coordinate system upang ang axis nito ay magkakasabay sa axis Ox , at ang sentro ng base ay matatagpuan sa pinanggalingan. Pag-ikot ng Generator Si Ab  tinukoy ang isang kono. Dahil ang equation Si Ab $$ \\ frac (x) (h) + \\ frac (y) (r) \u003d 1, $$ $$ y \u003d r- \\ frac (rx) (h) $$
at para sa dami ng kono na mayroon kami $$ V \u003d \\ pi \\ int_ (0) ^ (h) (r- \\ frac (rx) (h)) ^ 2dx \u003d \\ pi r ^ 2 \\ int_ (0) ^ (h) (1- \\ frac ( x) (h)) ^ 2dx \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ cdot \\ frac ((1- \\ frac (x) (h)) ^ 3) (3) | (_0 ^ h) \u003d - \\ pi r ^ 2h \\ kaliwa (0- \\ frac (1) (3) \\ kanan) \u003d \\ frac (\\ pi r ^ 2h) (3). ◄