Bumalik pasulong

Pansin! Ang mga slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa lahat ng mga opsyon sa pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Mga keyword: integral, curvilinear trapezoid, lugar ng mga figure na napapalibutan ng mga liryo

Kagamitan: whiteboard, computer, multimedia projector

Uri ng aralin: lesson-lecture

Mga layunin ng aralin:

• pang-edukasyon: upang bumuo ng isang kultura ng mental na gawain, upang lumikha ng isang sitwasyon ng tagumpay para sa bawat mag-aaral, upang bumuo ng positibong pagganyak para sa pag-aaral; paunlarin ang kakayahang magsalita at makinig sa iba.
• pagbuo: ang pagbuo ng kalayaan ng mag-aaral sa aplikasyon ng kaalaman sa iba't ibang mga sitwasyon, ang kakayahang mag-analisa at gumawa ng mga konklusyon, ang pagbuo ng lohika, ang pagbuo ng kakayahang magtanong nang tama at makahanap ng mga sagot sa kanila. Pagpapabuti ng pagbuo ng computing, pagkalkula ng mga kasanayan, ang pag-unlad ng pag-iisip ng mga mag-aaral sa kurso ng pagkumpleto ng mga iminungkahing gawain, ang pagbuo ng algorithmic culture.
• pang-edukasyon: upang mabuo ang konsepto ng isang curvilinear trapezoid, isang integral, master ang mga kasanayan sa pagkalkula ng mga lugar ng mga flat figure

Paraan ng Pagtuturo: nagpapaliwanag at naglalarawan.

Sa panahon ng mga klase

Sa mga nakaraang klase, natutunan namin kung paano kalkulahin ang mga lugar ng mga hugis, ang mga hangganan nito ay mga polygonal na linya. May mga pamamaraan sa matematika na nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang mga lugar ng mga hugis na nakatali ng mga kurba. Ang ganitong mga figure ay tinatawag na curvilinear trapezoids, at ang kanilang lugar ay kinakalkula gamit ang mga antiderivatives.

Kurbadong trapezoid ( slide 1)

Ang curvilinear trapezoid ay isang figure na nililimitahan ng graph ng isang function, ( schm.), tuwid x = a at x = b at ang abscissa

Iba't ibang uri ng mga hubog na trapezoid ( slide 2)

Isipin mo iba't ibang uri curvilinear trapezoids at paunawa: ang isa sa mga tuwid na linya ay bumababa sa isang punto, ang papel ng paglilimita ng function ay nilalaro ng tuwid na linya

Curved trapezoid area (slide 3)

Ayusin ang kaliwang dulo ng puwang a, at tama NS magbabago tayo, iyon ay, ililipat natin ang kanang dingding ng hubog na trapezoid at makakuha ng nagbabagong hugis. Ang lugar ng isang variable na curvilinear trapezoid, na limitado ng graph ng function, ay ang antiderivative F para sa function f

At sa segment [ a; b] ang lugar ng curved trapezoid na nabuo ng function f, ay katumbas ng pagtaas ng antiderivative ng function na ito:

Ehersisyo 1:

Hanapin ang lugar ng isang curved trapezoid na nakatali ng graph ng function: f (x) = x 2 at direktang y = 0, x = 1, x = 2.

Solusyon: ( ayon sa algorithm slide 3)

Gumuhit tayo ng graph ng function at mga linya

Hanapin natin ang isa sa antiderivatives f (x) = x 2 :

Self-test sa pamamagitan ng slide

Integral

Isaalang-alang ang isang curved trapezoid na ibinigay ng function f sa segment [ a; b]. Hatiin natin ang segment na ito sa ilang bahagi. Ang lugar ng buong trapezoid ay hahatiin sa kabuuan ng mga lugar ng mas maliit na curved trapezoid. ( slide 5)... Ang bawat naturang trapezoid ay maaaring ituring na isang parihaba. Ang kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba na ito ay nagbibigay ng tinatayang ideya ng buong lugar ng curved trapezoid. Ang mas maliit na hati namin ang segment [ a; b], mas tumpak na kinakalkula namin ang lugar.

Isulat natin ang pangangatwiran na ito sa anyo ng mga pormula.

Hatiin ang segment [ a; b] sa n bahagi sa pamamagitan ng mga puntos x 0 = a, x1, ..., xn = b. Ang haba k- ika tukuyin ng xk = xk - xk-1... Gawin natin ang dami

Sa geometriko, ang kabuuan na ito ay ang lugar ng figure na may kulay sa figure ( m.)

Ang mga kabuuan ng form ay tinatawag na integral sums para sa function f. (schm.)

Ang mga integral na kabuuan ay nagbibigay ng tinatayang halaga ng lugar. Ang eksaktong halaga ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpunta sa limitasyon. Isipin na pinipino namin ang partition ng segment [ a; b] upang ang haba ng lahat ng maliliit na segment ay may posibilidad na zero. Pagkatapos ang lugar ng binubuong pigura ay lalapit sa lugar ng curved trapezoid. Masasabi nating ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay katumbas ng limitasyon ng integral sums, Sk.t. (schm.) o integral, ibig sabihin,

Kahulugan:

Ang integral ng function f (x) mula sa a dati b ay tinatawag na limitasyon ng integral sums

= (schm.)

Formula ng Newton-Leibniz.

Tandaan na ang limitasyon ng integral sums ay katumbas ng lugar ng curvilinear trapezoid, kaya maaari kang sumulat:

Sk.t. = (schm.)

Sa kabilang banda, ang lugar ng isang curved trapezoid ay kinakalkula ng formula

S K. t. (schm.)

Kung ihahambing ang mga formula na ito, nakukuha namin ang:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay tinatawag na Newton-Leibniz formula.

Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, ang formula ay nakasulat sa form:

Takdang-aralin: (schm.)

1. Kalkulahin ang integral sa pamamagitan ng Newton-Leibniz formula: ( suriin ang slide 5)

2. Buuin ang mga integral ayon sa pagguhit ( suriin ang slide 6)

3. Hanapin ang lugar ng figure na nililimitahan ng mga linya: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slide 7)

Paghahanap ng mga lugar ng mga flat figure ( slide 8)

Paano mo mahahanap ang lugar ng mga hugis na hindi curved trapezoids?

Hayaang bigyan ng dalawang function, ang mga graph na makikita mo sa slide ... (schm.) Ito ay kinakailangan upang mahanap ang lugar ng puno na figure ... (schm.)... Ang figure ba na pinag-uusapan ay isang curved trapezoid? At paano mo mahahanap ang lugar nito gamit ang property ng area additivity? Isaalang-alang ang dalawang hubog na trapezoid at ibawas ang lugar ng isa mula sa lugar ng isa sa kanila ( schm.)

Bumuo tayo ng isang algorithm para sa paghahanap ng lugar sa pamamagitan ng animation sa isang slide:

1. I-plot ang mga function graph
2. I-project ang mga intersection point ng mga graph sa abscissa axis
3. I-shade ang figure na nakuha sa intersection ng mga graph
4. Maghanap ng mga hubog na trapezoid na ang intersection o unyon ay isang ibinigay na figure.
5. Kalkulahin ang lugar ng bawat isa sa kanila
6. Hanapin ang pagkakaiba o kabuuan ng mga lugar

Oral assignment: Paano makuha ang lugar ng isang shaded figure (sabihin sa tulong ng animation, slide 8 at 9)

Takdang aralin: Gawin ang buod, Blg. 353 (a), Blg. 364 (a).

Bibliograpiya

1. Algebra at ang simula ng pagsusuri: isang aklat-aralin para sa mga baitang 9-11 ng gabi (shift) paaralan / ed. G. D. Glazer. - M: Edukasyon, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: isang aklat-aralin para sa 10-11 grado ng sekondaryang paaralan / Bashmakov M.I. - M: Edukasyon, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematika: isang aklat-aralin para sa mga institusyon nang maaga. at Miyerkules ang prof. edukasyon / M.I. Bashmakov. - M: Academy, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra at ang simula ng pagsusuri: isang aklat-aralin para sa 10-11 grado. mga institusyong pang-edukasyon / A.N. Kolmogorov. - M: Edukasyon, 2010.
5. S.L. Ostrovsky Paano gumawa ng isang pagtatanghal para sa isang aralin? / C.L. Ostrovsky. - M .: Setyembre 1, 2010.

Numero ng problema 3. Gumawa ng isang pagguhit at kalkulahin ang lugar ng figure na may hangganan ng mga linya

Integral na aplikasyon sa solusyon ng mga inilapat na problema

Pagkalkula ng lugar

Ang tiyak na integral ng isang tuluy-tuloy na di-negatibong function na f (x) ay katumbas ng bilang sa ang lugar ng isang hubog na trapezoid na napapalibutan ng kurba y = f (x), ang axis O x at mga tuwid na linya x = a at x = b. Alinsunod dito, ang formula ng lugar ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa para sa pagkalkula ng mga lugar ng mga flat figure.

Problema Blg. 1. Kalkulahin ang lugar na nililimitahan ng mga linyang y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solusyon. Bumuo tayo ng isang figure, ang lugar kung saan kakailanganin nating kalkulahin.

Ang y = x 2 + 1 ay isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, at ang parabola ay inilipat kaugnay sa O y axis paitaas ng isang yunit (Figure 1).

Figure 1. Graph ng function na y = x 2 + 1

Problema bilang 2. Kalkulahin ang lugar na nililimitahan ng mga linyang y = x 2 - 1, y = 0 sa hanay mula 0 hanggang 1.

Solusyon. Ang graph ng function na ito ay ang parabola ng branch, na nakadirekta pataas, at ang parabola ay inilipat kaugnay sa O y axis pababa ng isang unit (Figure 2).

Figure 2. Graph ng function na y = x 2 - 1

Numero ng problema 3. Gumawa ng isang pagguhit at kalkulahin ang lugar ng figure na may hangganan ng mga linya

y = 8 + 2x - x 2 at y = 2x - 4.

Solusyon. Ang una sa dalawang linyang ito ay isang parabola na may mga sanga na nakadirekta pababa, dahil ang koepisyent sa x 2 ay negatibo, at ang pangalawang linya ay isang tuwid na linya na nagsasalubong sa parehong coordinate axes.

Upang bumuo ng isang parabola, makikita natin ang mga coordinate ng vertex nito: y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - ang abscissa ng vertex; y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 ang ordinate nito, N (1; 9) ang vertex.

Ngayon nakita natin ang mga intersection point ng parabola at ang tuwid na linya sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation:

Equating ang kanang bahagi ng equation, ang kaliwang bahagi nito ay pantay.

Nakukuha natin ang 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 o x 2 - 12 = 0, kung saan .

Kaya, ang mga punto ay ang mga intersection point ng parabola at ang tuwid na linya (Figure 1).

Figure 3 Mga graph ng mga function y = 8 + 2x - x 2 at y = 2x - 4

Bumuo tayo ng isang tuwid na linya y = 2x - 4. Ito ay dumadaan sa mga puntos (0; -4), (2; 0) sa mga coordinate axes.

Upang makabuo ng isang parabola, maaari ka ring magkaroon ng mga intersection point nito na may 0x axis, iyon ay, ang mga ugat ng equation 8 + 2x - x 2 = 0 o x 2 - 2x - 8 = 0. Sa pamamagitan ng Vieta's theorem, ito ay madali upang mahanap ang mga ugat nito: x 1 = 2, x 2 = 4.

Ang Figure 3 ay nagpapakita ng isang figure (parabolic segment M 1 N M 2), na limitado ng mga linyang ito.

Ang ikalawang bahagi ng gawain ay upang mahanap ang lugar ng figure na ito. Ang lugar nito ay matatagpuan gamit tiyak na integral ayon sa pormula .

Kaugnay ng kundisyong ito, nakukuha natin ang integral:

2 Pagkalkula ng dami ng isang katawan ng rebolusyon

Ang dami ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng curve y = f (x) sa paligid ng axis O x ay kinakalkula ng formula:

Kapag umiikot sa paligid ng O y axis, ang formula ay may anyo:

Problema numero 4. Tukuyin ang volume ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng mga tuwid na linya x = 0 x = 3 at curve y = sa paligid ng axis O x.

Solusyon. Bumuo tayo ng isang larawan (Figure 4).

Figure 4. Graph ng function na y =

Ang kinakailangang volume ay

Problema numero 5. Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha mula sa pag-ikot ng curved trapezoid na nalilimitahan ng curve y = x 2 at tuwid na linya y = 0 at y = 4 sa paligid ng O y axis.

Solusyon. Meron kami:

Suriin ang mga tanong

Isaalang-alang ang isang curved trapezoid na nakatali ng Ox axis, ang curve y = f (x) at dalawang tuwid na linya: x = a at x = b (Fig. 85). Kumuha tayo ng di-makatwirang halaga ng x (ngunit hindi a at hindi b). Bigyan natin ito ng increment h = dx at isaalang-alang ang isang strip na nakatali ng mga tuwid na linya AB at CD, ang Ox axis at ang arc BD na kabilang sa curve na isinasaalang-alang. Ang strip na ito ay tatawaging elementary strip. Ang lugar ng isang elementary strip ay naiiba sa lugar ng rectangle ACQB ng curved triangle BQD, at ang lugar ng huli. mas kaunting lugar parihaba BQDM na may mga gilid BQ = h = dx) QD = Ay at lugar na katumbas ng hAy = Ay dx. Habang bumababa ang gilid na h, bumababa rin ang panig na Du at kasabay ng h ay nagiging zero. Samakatuwid, ang lugar ng BQDM ay pangalawang-order na infinitesimal. Ang lugar ng isang elementary strip ay ang pagtaas ng lugar, at ang area ng rectangle ACQB na katumbas ng AB-AC == / (x) dx> ay ang area differential. Samakatuwid, nahanap namin ang lugar mismo sa pamamagitan ng pagsasama ng kaugalian nito. Sa loob ng isinasaalang-alang na figure, ang independent variable l: ay nag-iiba mula a hanggang b, kaya ang kinakailangang area 5 ay magiging katumbas ng 5 = \ f (x) dx. (I) Halimbawa 1. Kalkulahin natin ang lugar na nililigiran ng parabola y - 1 -x *, ang mga tuwid na linya X = - Fj-, x = 1 at ang axis O * (Fig. 86). Fig. 87. Fig. 86.1 Dito f (x) = 1 - n?, Ang mga limitasyon ng integration ay a = - at t = 1, samakatuwid 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * Halimbawa 2. Kalkulahin ang lugar na nalilimitahan ng sinusoid y = sinXy sa pamamagitan ng Ox axis at ng tuwid na linya (Larawan 87). Sa paglalapat ng formula (I), nakukuha natin ang Л 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf Halimbawa 3. Kalkulahin ang lugar na nililigiran ng arko ng sinusoid ^ y = sin jc, nakapaloob sa pagitan ng dalawang magkatabing intersection point na may Ox axis (halimbawa, sa pagitan ng pinanggalingan at ng puntong may abscissa i). Tandaan na mula sa mga geometric na pagsasaalang-alang ay malinaw na ang lugar na ito ay magiging dalawang beses mas maraming lugar ang nakaraang halimbawa. Gayunpaman, gawin natin ang mga kalkulasyon: i 5 = | s \ nxdx = [- cosx) * - - cos i - (- cos 0) = 1 + 1 = 2. o Sa katunayan, ang aming palagay ay naging totoo. Halimbawa 4. Kalkulahin ang lugar na nililigiran ng sinusoid at ^ ng Ox axis sa isang pe-x period (Fig. 88). Ang mga paunang pagsasaalang-alang ay nagpapahintulot sa amin na ipagpalagay na ang lugar ay magiging apat na beses na mas malaki kaysa sa pr. 2. Gayunpaman, pagkatapos gawin ang mga kalkulasyon, makuha namin ang "i G, * i S - \ sin x dx = [- cos x] 0 = = - cos 2l - (- cos 0) = - 1 + 1 = 0. Ang resultang ito ay nangangailangan ng paglilinaw. Upang linawin ang kakanyahan ng bagay, kinakalkula din namin ang lugar na nakatali ng parehong sinusoid y = sin l: at ang Ox axis sa hanay mula l hanggang 2i. Paglalapat ng formula (I), makakakuha tayo ng 2l $ 2l sin xdx = [- cosx] l = -cos 2ya ~) -c05ya = - 1-1 = -2. Kaya, nakikita natin na ang lugar na ito ay naging negatibo. Kung ikukumpara ito sa lugar na kinakalkula sa pr. 3, nakita natin na ang kanilang ganap na mga halaga ay pareho, ngunit ang mga palatandaan ay magkaiba. Kung ilalapat natin ang ari-arian V (tingnan ang Kabanata XI, § 4), makakakuha tayo ng 2l I 2l J sin xdx = J sin * dx [sin x dx = 2 + (- 2) = 0 Ang nangyari sa halimbawang ito ay hindi nagkataon. . Palaging ang lugar sa ibaba ng axis ng Ox, sa kondisyon na ang independyenteng variable ay nagbabago mula kaliwa pakanan, ay nakukuha sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga negatibong integral. Sa kursong ito, palagi nating isasaalang-alang ang mga walang markang parisukat. Samakatuwid, ang sagot sa nasuri na halimbawa ay ang mga sumusunod: ang kinakailangang lugar ay katumbas ng 2 + | -2 | = 4. Halimbawa 5. Kalkulahin natin ang lugar ng OAB na ipinapakita sa fig. 89. Ang lugar na ito ay nililimitahan ng Ox axis, ang parabola y = - xr at ang tuwid na linya y - = -x + \. Curvilinear trapezoid area Ang lugar ng paghahanap OAV ay binubuo ng dalawang bahagi: OAM at MAV. Dahil ang point A ay ang intersection point ng parabola at ang tuwid na linya, makikita natin ang mga coordinate nito sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation 3 2 Y = mx. (kailangan lang nating hanapin ang abscissa ng point A). Paglutas ng sistema, nakita namin l; = ~. Samakatuwid, ang lugar ay kailangang kalkulahin sa mga bahagi, unang parisukat. OAM at pagkatapos ay pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM- ^ x graph function y = x 2 +2 nakalagay sa itaas ng axis baka , samakatuwid:

Sagot: S = 9 square units

Matapos makumpleto ang gawain, palaging nakakatulong na tingnan ang blueprint at tantiyahin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, mga 9 ang mai-type, mukhang totoo. Malinaw na kung nakuha natin, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon, malinaw naman, isang pagkakamali ang nagawa sa isang lugar - ang figure na pinag-uusapan ay malinaw na hindi magkasya sa 20 mga cell, hindi hihigit sa sampu. Kung ang sagot ay negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.

Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curved trapezoid sa ilalim ng axis Oh?

b) Kalkulahin ang lugar ng isang hugis na may hangganan ng mga linya y = -e x , x = 1 at coordinate axes.

Solusyon.

Kumpletuhin natin ang pagguhit.

Kung ang curved trapezoid ganap na matatagpuan sa ilalim ng ehe Oh , kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:

Sagot: S = (e-1) sq. units "1.72 sq. units.

Pansin! Ang dalawang uri ng mga gawain ay hindi dapat malito:

1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral na walang anumang geometric na kahulugan, maaari itong maging negatibo.

2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang isang minus sa formula na isinasaalang-alang lamang.

Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano.

kasama) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya y = 2x-x 2, y = -x.

Solusyon.

Una kailangan mong kumpletuhin ang pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa isang lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga punto ng intersection ng mga linya. Hanapin ang mga intersection point ng parabola at tuwid Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical.

Malutas namin ang equation:

Samakatuwid, ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a = 0 , ang pinakamataas na limitasyon ng pagsasama b = 3 .

Posibleng buuin ang mga linya ng punto sa punto, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nilinaw na parang "sa kanilang sarili." Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon ay kailangan pa ring gamitin kung minsan kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang tumpak na konstruksyon ay hindi nagpapakita ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran).

Ang kinakailangang figure ay bounded ng isang parabola sa itaas at isang tuwid na linya sa ibaba.

Sa segment , ayon sa kaukulang formula:

Sagot: S = 4.5 sq. Mga Yunit