Ang isang integer expression ay isang ekspresyong matematika na binubuo ng mga numero at literal na variable na gumagamit ng pagdaragdag, pagbabawas, at pagpaparami. Gayundin, nagsasama ang mga integer ng mga expression na nagsasama ng paghahati sa anumang bilang maliban sa zero.

Ang konsepto ng praksyonal na ekspresyon ng rasional

Ang isang praksyonal na ekspresyon ay isang ekspresyong matematika na, bilang karagdagan sa mga pagpapatakbo ng pagdaragdag, pagbabawas at pagpaparami na isinagawa sa mga numero at variable ng alpabeto, pati na rin ang paghahati ng isang bilang na hindi katumbas ng zero, naglalaman din ng paghahati sa pamamagitan ng mga expression na may mga variable ng alpabeto.

Ang mga makatuwirang ekspresyon ay pawang ekspresyon ng buo at praksyonal. Rational equation ay mga equation kung saan ang kaliwa at kanang bahagi ay makatuwiran ekspresyon. Kung sa isang makatuwiran na equation ang kaliwa at kanang bahagi ay buong ekspresyon, kung gayon ang nasabing makatuwirang equation ay tinatawag na buo.

Kung sa isang makatuwiran na equation ang kaliwa o kanang bahagi ay praksyonal na ekspresyon, kung gayon ang nasabing makatuwirang equation ay tinatawag na praksyonal.

Mga halimbawa ng praksyonal na ekspresyon ng rasional

1.x-3 / x \u003d -6 * x + 19

2. (x-4) / (2 * x + 5) \u003d (x + 7) / (x-2)

3. (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5))

Isang pamamaraan para sa paglutas ng isang praksyonal na makatuwiran na equation

1. Hanapin ang karaniwang denominator ng lahat ng mga praksyon sa equation.

2. I-multiply ang magkabilang panig ng equation ng isang karaniwang denominator.

3. Malutas ang nagresultang buong equation.

4. Suriin ang mga ugat, at ibukod ang mga mula sa kanila na nawala ang karaniwang denominator.

Dahil nalulutas namin ang mga praksyonal na equation na praksyonal, magkakaroon ng mga variable sa mga denominator ng mga praksyon. Nangangahulugan ito na sila ay magiging sa karaniwang denominator. At sa pangalawang punto ng algorithm, nagpaparami kami sa pamamagitan ng isang karaniwang denominator, pagkatapos ay maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat. Kung saan ang karaniwang denominator ay magiging zero, na nangangahulugang ang pag-multiply ng ito ay magiging walang katuturan. Samakatuwid, sa dulo, siguraduhing suriin ang mga nakuhang ugat.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa:

Malutas ang praksyonal na makatuwiran na equation: (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5)).

Dumikit tayo pangkalahatang pamamaraan: unang hanapin ang karaniwang denominator ng lahat ng mga praksiyon. Nakukuha namin ang x * (x-5).

I-multiply ang bawat maliit na bahagi ng isang karaniwang denominator at isulat ang nagresultang buong equation.

(x-3) / (x-5) * (x * (x-5)) \u003d x * (x + 3);
1 / x * (x * (x-5)) \u003d (x-5);
(x + 5) / (x * (x-5)) * (x * (x-5)) \u003d (x + 5);
x * (x + 3) + (x-5) \u003d (x + 5);

Pasimplehin natin ang nagresultang equation. Nakukuha namin:

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 \u003d 0;
x ^ 2 + 3 * x-10 \u003d 0;

Nakuha namin ang isang simpleng nabawasan na quadratic equation. Malulutas namin ito sa alinman sa kilalang pamamaraan, nakukuha natin ang mga ugat x \u003d -2 at x \u003d 5.

Ngayon sinusuri namin ang mga nakuhang solusyon:

Palitan ang mga bilang na -2 at 5 sa karaniwang denominator. Kapag x \u003d -2, ang karaniwang denominator x * (x-5) ay hindi mawawala, -2 * (- 2-5) \u003d 14. Kaya't ang bilang -2 ay magiging ugat ng orihinal na praksyonal na equation na praksyonal.

Kapag x \u003d 5, ang karaniwang denominator x * (x-5) ay nagiging zero. Samakatuwid, ang numerong ito ay hindi ang ugat ng orihinal na praksyonal na equation na praksyonal, dahil magkakaroon ng paghahati sa pamamagitan ng zero.

Natutunan na namin kung paano malutas ang mga quadratic equation. Ngayon palawakin natin ang mga napag-aralan na pamamaraan sa mga makatuwiran na mga equation.

Ano ang makatuwirang pagpapahayag? Naranasan na namin ang konseptong ito. Rational expression ang mga expression ay tinatawag, binubuo ng mga numero, variable, ang kanilang mga degree at palatandaan ng pagpapatakbo ng matematika.

Alinsunod dito, ang mga makatuwiran na equation ay mga equation ng form :, kung saan - nakapangangatwiran expression.

Mas maaga, isinasaalang-alang lamang namin ang mga makatuwiran na mga equation na binabawasan sa mga linear. Isaalang-alang natin ngayon ang mga makatuwirang mga equation na maaari ring mabawasan sa mga quadratic.

Halimbawa 1

Malutas ang equation:

Desisyon:

Ang isang maliit na bahagi ay 0 kung at kung ang numerator nito ay 0 at ang denominator ay hindi 0.

Nakukuha namin ang sumusunod na system:

Ang unang equation sa system ay isang quadratic equation. Bago ito malutas, hatiin natin ang lahat ng mga coefficients nito sa 3. Nakukuha natin ang:

Nakakakuha kami ng dalawang mga ugat:; ...

Dahil ang 2 ay hindi katumbas ng 0, kinakailangan na ang dalawang mga kondisyon ay natutugunan: ... Dahil wala sa mga ugat sa itaas ng equation ang tumutugma sa mga hindi wastong halaga ng variable, na nakuha sa pamamagitan ng paglutas ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, pareho silang solusyon ng equation na ito.

Sagot:.

Kaya, bumalangkas tayo ng isang algorithm para sa paglutas ng mga makatuwirang mga equation:

1. Ilipat ang lahat ng mga term sa kaliwang bahagi upang makakuha ng 0 sa kanang bahagi.

2. Transform at gawing simple ang kaliwang bahagi, dalhin ang lahat ng mga praksyon sa karaniwang denominator.

3. Ang nagresultang maliit na bahagi ay katumbas ng 0, ayon sa sumusunod na algorithm: .

4. Isulat ang mga ugat na nakuha sa unang equation at masiyahan ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay sa sagot.

Kumuha tayo ng isa pang halimbawa.

Halimbawa 2

Malutas ang equation:

Desisyon

Sa simula pa lang, inililipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi upang ang 0 ay mananatili sa kanan. Nakuha namin ang:

Dinala namin ang kaliwang bahagi ng equation sa isang karaniwang denominator:

Ang equation na ito ay katumbas ng system:

Ang unang equation sa system ay isang quadratic equation.

Mga Coefficients ng equation na ito: Kinakalkula namin ang diskriminante:

Nakakakuha kami ng dalawang mga ugat:; ...

Ngayon malutas natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay: ang produkto ng mga kadahilanan ay hindi katumbas ng 0 kung at lamang kung wala sa mga kadahilanan ang katumbas ng 0.

Kinakailangan na ang dalawang mga kondisyon ay natutugunan: ... Nakukuha namin iyon sa dalawang ugat ng unang equation, isa lamang ang magkasya - 3.

Sagot:.

Sa araling ito, naalala namin kung ano ang isang makatuwirang ekspresyon, at natutunan din kung paano malutas ang mga makatuwiran na equation na nagbabawas sa mga quadratic equation.

Sa susunod na aralin, titingnan namin ang mga makatuwiran na equation bilang mga modelo ng mga sitwasyon sa totoong buhay, at isasaalang-alang din ang mga problema sa paggalaw.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra, grade 8. - M.: Edukasyon, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra, 8. 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, grade 8. Tutorial para sa institusyong pang-edukasyon... - M.: Edukasyon, 2006.

1. Festival of Pedagogical Ideas " Aralin sa publiko" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Takdang aralin

Pinagpatuloy namin ang pag-uusap tungkol sa paglutas ng mga equation... Sa artikulong ito, tatalakayin natin makatuwiran na mga equation at ang mga prinsipyo ng paglutas ng mga makatuwiran na mga equation sa isang variable. Una, alamin natin kung anong uri ng mga equation ang tinatawag na makatuwiran, magbigay ng isang kahulugan ng buong makatwiran at praksyonal na mga makatuwiran na equation, magbigay ng mga halimbawa. Dagdag dito, makakakuha kami ng mga algorithm para sa paglutas ng mga makatuwirang mga equation, at, syempre, isasaalang-alang namin ang mga solusyon sa mga tipikal na halimbawa sa lahat ng kinakailangang paliwanag.

Pag-navigate sa pahina.

Batay sa mga kahulugan na tininigan, magbibigay kami ng maraming mga halimbawa ng mga makatuwiran na equation. Halimbawa, x \u003d 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 \u003d 0, lahat ng makatuwiran na mga equation.

Mula sa mga halimbawang ipinakita, makikita na ang mga makatuwiran na equation, pati na rin mga equation ng iba pang mga uri, ay maaaring may isang variable o may dalawa, tatlo, atbp. variable. Sa mga susunod na seksyon, pag-uusapan natin ang tungkol sa paglutas ng mga makatuwiran na mga equation sa isang variable. Paglutas ng mga equation sa dalawang variable at ang kanilang malaking bilang ay nararapat sa espesyal na pansin.

Bilang karagdagan sa paghahati ng mga makatuwiran na equation ng bilang ng mga hindi kilalang variable, nahahati rin sila sa mga integer at praksyonal. Bigyan natin ang mga kaukulang kahulugan.

Kahulugan

Ang makatuwirang equation ay tinawag buokung kapwa ang kaliwa at kanang bahagi nito ay buong makatuwirang ekspresyon.

Kahulugan

Kung hindi bababa sa isa sa mga bahagi ng isang makatuwiran na equation ay isang praksyonal na praksyon, kung gayon ang naturang equation ay tinatawag maliit na makatuwiran (o praksyonal na praksyonal).

Malinaw na ang buong mga equation ay hindi naglalaman ng paghahati ng isang variable; sa kabaligtaran, ang mga praksyonal na pantay na equation ay kinakailangang naglalaman ng paghahati ng isang variable (o isang variable sa denominator). Kaya't 3 x + 2 \u003d 0 at (x + y) (3 x 2 −1) + x \u003d −y + 0.5 Ang mga buong makatuwiran na equation, ang parehong bahagi ng mga ito ay buong expression. A at x: (5 x 3 + y 2) \u003d 3: (x - 1): 5 ay mga halimbawa ng mga equation na may talino na praksyonal.

Sa pagtatapos ng seksyong ito, bigyang pansin natin ang katotohanan na ang mga linear equation at quadratic equation na kilala sa sandaling ito ay buong mga makatuwiran na equation.

Paglutas ng buong mga equation

Ang isa sa mga pangunahing diskarte sa paglutas ng buong mga equation ay upang mabawasan ang mga ito sa katumbas mga equation ng algebraic... Ito ay maaaring laging magawa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga sumusunod na katumbas na pagbabago ng equation:

• una, ang ekspresyon mula sa kanang bahagi ng orihinal na buong equation ay inililipat sa kaliwang bahagi na may kabaligtaran signupang makakuha ng zero sa kanang bahagi;
• pagkatapos nito, sa kaliwang bahagi ng equation, ang nagresultang karaniwang form.

Ang resulta ay isang equation ng algebraic na katumbas ng orihinal na buong equation. Kaya sa pinakasimpleng kaso, ang solusyon ng buong mga equation ay nabawasan sa solusyon ng mga linear o quadratic equation, at sa pangkalahatang kaso - sa solusyon ng isang algebraic equation ng degree n. Para sa kalinawan, pag-aralan natin ang halimbawa ng solusyon.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng buong equation 3 (x + 1) (x - 3) \u003d x (2 x - 1) −3.

Desisyon.

Bawasan natin ang solusyon ng buong equation na ito sa solusyon ng isang algebraic equation na katumbas nito. Upang gawin ito, una, ilipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwa, bilang isang resulta, nakarating kami sa equation 3 (x + 1) (x - 3) −x (2 x - 1) + 3 \u003d 0... At, pangalawa, binago namin ang expression na nabuo sa kaliwang bahagi sa isang karaniwang polynomial sa pamamagitan ng pagganap ng kinakailangan: 3 (x + 1) (x - 3) −x (2 x - 1) + 3 \u003d (3 x + 3) (x - 3) −2 x 2 + x + 3 \u003d 3 x 2 −9 x + 3 x - 9−2 x 2 + x + 3 \u003d x 2 −5 x - 6... Kaya, ang paglutas ng orihinal na buong equation ay nabawasan sa paglutas quadratic equation x 2 −5 x - 6 \u003d 0.

Kinakalkula namin ang diskriminante nito D \u003d (- 5) 2 −4 1 (−6) \u003d 25 + 24 \u003d 49, positibo ito, na nangangahulugang ang equation ay may dalawang tunay na ugat, na nakita namin sa pamamagitan ng pormula para sa mga ugat ng quadratic equation:

Para sa kumpletong kumpiyansa, magaganap kami pagsuri sa nahanap na mga ugat ng equation... Una, sinusuri namin ang ugat 6, pinapalitan ito para sa variable x sa orihinal na equation ng integer: 3 (6 + 1) (6−3) \u003d 6 (2 6−1) −3, na pareho, 63 \u003d 63. Ito ay isang wastong pagkakapantay-pantay sa bilang, kaya't ang x \u003d 6 ang ugat ng equation. Ngayon sinusuri namin ang root −1, mayroon kami 3 (−1 + 1) (−1−3) \u003d (- 1) (2 (−1) −1) −3, kung saan, 0 \u003d 0. Para sa x \u003d −1, ang orihinal na equation ay naging isang tunay na pantay na pantay din, samakatuwid, ang x \u003d −1 ay isang ugat din ng equation.

Sagot:

6 , −1 .

Dapat ding pansinin dito na ang salitang "degree ng buong equation" ay naiugnay sa representasyon ng buong equation sa anyo ng isang algebraic equation. Magbigay tayo ng naaangkop na kahulugan:

Kahulugan

Ang antas ng buong equation ay tinatawag na degree ng katumbas na algebraic equation.

Ayon sa kahulugan na ito, ang buong equation mula sa nakaraang halimbawa ay nasa pangalawang degree.

Sa isang ito ay maaaring tapusin sa solusyon ng buong makatuwiran na mga equation, kung hindi isang solong ngunit .... Tulad ng alam, ang solusyon ng mga equation ng algebraic ng degree na mas mataas kaysa sa pangalawa ay nauugnay sa mga makabuluhang paghihirap, at para sa mga equation ng degree na mas mataas kaysa sa ika-apat, walang pangkalahatang mga formula ng ugat. Samakatuwid, upang malutas ang buong mga equation ng pangatlo, pang-apat at higit pa mataas na degree madalas kailangan mong gumamit ng iba pang mga pamamaraan ng solusyon.

Sa mga ganitong kaso, ang diskarte sa paglutas ng buong makatuwiran na mga equation batay sa pamamaraang pag-factor... Sa kasong ito, ang sumusunod na algorithm ay sinusunod sa:

• una, tinitiyak nila na ang kanang bahagi ng equation ay zero, para dito, ang expression ay inilipat mula sa kanang bahagi ng buong equation sa kaliwa;
• pagkatapos, ang nagresultang ekspresyon sa kaliwa ay kinakatawan bilang isang produkto ng maraming mga kadahilanan, na nagbibigay-daan sa iyo upang pumunta sa isang hanay ng maraming mga mas simpleng mga equation.

Ang nasa itaas na algorithm para sa paglutas ng buong equation sa pamamagitan ng pag-aayos ng factor ay kinakailangan detalyadong paliwanag Halimbawa.

Halimbawa.

Malutas ang buong equation (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) \u003d 2 x (x 2 −10 x + 13).

Desisyon.

Una, tulad ng dati, inililipat namin ang expression mula sa kanang bahagi sa kaliwang bahagi ng equation, hindi kinakalimutan na baguhin ang pag-sign, nakukuha namin (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) - 2 x (x 2 −10 x + 13) \u003d 0. Narito na malinaw na hindi maipapayo na ibahin ang kaliwang bahagi ng nagresultang equation sa isang polynomial ng karaniwang form, dahil magbibigay ito ng isang equation ng algebraic ng ika-apat na degree ng form x 4 −12 x 3 + 32 x 2 −16 x - 13 \u003d 0na ang solusyon ay mahirap.

Sa kabilang banda, malinaw na sa kaliwang bahagi ng nagresultang equation, maaari kang x 2 −10 · x + 13, kaya kinakatawan ito bilang isang produkto. Meron kami (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x - 1) \u003d 0... Ang nagresultang equation ay katumbas ng orihinal na buong equation, at ito, sa turn, ay maaaring mapalitan ng isang hanay ng dalawang quadratic equation x 2 −10 x + 13 \u003d 0 at x 2 −2 x - 1 \u003d 0. Ang paghahanap ng kanilang mga ugat ayon sa kilalang mga formula ng ugat sa pamamagitan ng diskriminasyon ay hindi mahirap, ang mga ugat ay pantay. Ang mga ito ang nais na mga ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

Para sa paglutas ng buong makatuwiran na mga equation, kapaki-pakinabang din ito bagong variable na paraan ng pag-iniksyon... Sa ilang mga kaso, pinapayagan kang pumunta sa mga equation na ang degree ay mas mababa kaysa sa degree ng orihinal na buong equation.

Halimbawa.

Hanapin ang totoong mga ugat ng makatuwiran na equation (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 \u003d −2 (x 2 + 3 x - 4).

Desisyon.

Ang pagbawas sa buong makatuwirang equation na ito sa isang algebraic equation ay, upang ilagay ito nang mahinahon, hindi isang napakahusay na ideya, dahil sa kasong ito maaabot namin ang pangangailangan ng paglutas ng isang equation sa ikaapat na degree na walang mga nakapangangatwiran na mga ugat. Samakatuwid, kakailanganin mong maghanap ng isa pang solusyon.

Dito madaling mapansin na maaari mong ipakilala ang isang bagong variable y, at palitan ito ng ekspresyong x 2 + 3 · x. Ang gayong kapalit ay humahantong sa amin sa buong equation (y + 1) 2 + 10 \u003d −2 (y - 4), na, pagkatapos ilipat ang ekspresyon −2 (y - 4) sa kaliwang bahagi at pagkatapos ay binago ang ekspresyong nabuo doon, binabawasan sa isang parisukat sa equation y 2 + 4 y + 3 \u003d 0. Ang mga ugat ng equation na ito y \u003d −1 at y \u003d −3 ay madaling hanapin, halimbawa, maaari silang mapili batay sa isang theorem na kabaligtaran sa teorama ng Vieta.

Ngayon ay bumabaling kami sa pangalawang bahagi ng pamamaraan ng pagpapasok ng isang bagong variable, iyon ay, sa reverse replacement. Sa pamamagitan ng pagsasagawa ng pabalik na pagbabago, nakakakuha kami ng dalawang mga equation x 2 + 3 x \u003d −1 at x 2 + 3 x \u003d −3, na maaaring muling isulat bilang x 2 + 3 x + 1 \u003d 0 at x 2 + 3 x + 3 \u003d 0. Gamit ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation, nakita namin ang mga ugat ng unang equation. At ang pangalawang quadratic equation ay walang totoong mga ugat, dahil ang diskriminante nito ay negatibo (D \u003d 3 2 −4 · 3 \u003d 9−12 \u003d −3).

Sagot:

Sa pangkalahatan, kapag nakitungo tayo sa buong mga equation ng mataas na degree, dapat tayong laging handa na maghanap di-pamantayang pamamaraan o isang artipisyal na trick upang malutas ang mga ito.

Paglutas ng maliit na makatuwiran na mga equation

Una, magiging kapaki-pakinabang upang malaman kung paano malulutas ang mga praksyonal na equation ng form, kung saan ang p (x) at q (x) ay buong ekspresyon na may talino. At pagkatapos ay ipapakita namin kung paano bawasan ang solusyon ng natitirang maliit na makatuwiran na mga equation sa solusyon ng mga equation ng ipinahiwatig na form.

Ang isa sa mga diskarte sa paglutas ng equation ay batay sa sumusunod na pahayag: ang bilang ng maliit na u / v, kung saan ang v ay isang numero na hindi nero (kung hindi man makaka-engkwentro kami ng isang numero na hindi tinukoy), ay katumbas ng zero kung at kung ang numerator nito ay katumbas ng zero, kung gayon ay, kung at lamang kung u \u003d 0. Sa bisa ng pahayag na ito, ang solusyon ng equation ay nabawasan sa katuparan ng dalawang kundisyon p (x) \u003d 0 at q (x) ≠ 0.

Ang konklusyon na ito ay tumutugma sa mga sumusunod isang algorithm para sa paglutas ng isang praksyonal na makatarungang equation ... Upang malutas ang isang praksyonal na makatuwiran na equation ng form, kailangan mo

• malutas ang buong makatuwiran na equation p (x) \u003d 0;
• at suriin kung ang kundisyon q (x) ≠ 0 ay nagtataglay para sa bawat nahanap na ugat, at
• kung nasiyahan, kung gayon ang ugat na ito ay ang ugat ng orihinal na equation;
• kung hindi, kung gayon ang ugat na ito ay labis, iyon ay, hindi ito ang ugat ng orihinal na equation.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng paggamit ng tunog ng algorithm kapag nalulutas ang isang praksyonal na equation na praksyonal.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Desisyon.

Ito ay isang praksyonal na makatuwiran na equation ng form, kung saan ang p (x) \u003d 3 x - 2, q (x) \u003d 5 x 2 −2 \u003d 0.

Ayon sa algorithm para sa paglutas ng maliit na makatuwiran na mga equation ng ganitong uri, kailangan muna naming malutas ang equation 3 x - 2 \u003d 0. ito linear equationna ang ugat ay x \u003d 2/3.

Nananatili itong suriin para sa ugat na ito, iyon ay, upang suriin kung nasisiyahan nito ang kundisyon 5 · x 2 −2 ≠ 0. Kapalit sa ekspresyong 5 · x 2 −2 sa halip na x ang bilang 2/3, nakukuha natin. Ang kundisyon ay nasiyahan, kaya x \u003d 2/3 ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

2/3 .

Ang solusyon ng isang praksyonal na makatuwiran na equation ay maaaring lapitan mula sa isang bahagyang naiibang posisyon. Ang equation na ito ay katumbas ng buong equation p (x) \u003d 0 sa variable x ng orihinal na equation. Iyon ay, maaari kang manatili dito ang algorithm para sa paglutas ng praksyonal na equation na praksyonal :

• lutasin ang equation p (x) \u003d 0;
• hanapin ang ODZ ng variable x;
• kunin ang mga ugat na kabilang sa saklaw ng mga tinatanggap na halaga - ang mga ito ang nais na mga ugat ng orihinal na praksyonal na praksyonal na praksyonal.

Halimbawa, malutas natin ang isang praksyonal na makatuwiran na equation gamit ang algorithm na ito.

Halimbawa.

Malutas ang equation.

Desisyon.

Una, lutasin ang quadratic equation x 2 −2 x - 11 \u003d 0. Ang mga ugat nito ay maaaring kalkulahin gamit ang root formula para sa isang kahit pangalawang coefficient, mayroon kaming D 1 \u003d (- 1) 2 −1 (−11) \u003d 12, at.

Pangalawa, nakita namin ang ODV ng variable x para sa orihinal na equation. Binubuo ito ng lahat ng mga numero kung saan x 2 + 3 x ≠ 0, na kapareho ng x (x + 3) ≠ 0, kung saan x ≠ 0, x ≠ −3.

Nananatili ito upang suriin kung ang mga ugat na natagpuan sa unang hakbang ay kasama sa ODZ. Malinaw na oo. Samakatuwid, ang orihinal na praksyonal na makatuwiran na equation ay may dalawang mga ugat.

Sagot:

Tandaan na ang gayong diskarte ay mas nakabubuti kaysa sa una kung madali itong hanapin ang GDV, at lalong kapaki-pakinabang kung, sa kasong ito, ang mga ugat ng equation na p (x) \u003d 0 ay hindi makatuwiran, halimbawa, o makatuwiran, ngunit may isang malaking malaking bilang at / o denominator, halimbawa, 127/1101 at -31/59. Ito ay dahil sa ang katunayan na, sa mga naturang kaso, ang pag-check sa kundisyon q (x) sa 0 ay mangangailangan ng makabuluhang pagsisikap sa computational, at mas madaling ibukod ang mga extraneous root sa ODZ.

Sa ibang mga kaso, kapag nilulutas ang equation, lalo na kapag ang mga ugat ng equation p (x) \u003d 0 ay integer, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang una sa ipinakita na mga algorithm. Iyon ay, ipinapayong agad na mahanap ang mga ugat ng buong equation p (x) \u003d 0, at pagkatapos ay suriin kung ang kundisyon q (x) ≠ 0 ay nasiyahan para sa kanila, sa halip na hanapin ang ODV, at pagkatapos ay malutas ang equation p (x) \u003d 0 sa ODV na ito ... Ito ay dahil sa ang katunayan na sa mga ganitong kaso, kadalasang mas madaling gumawa ng tseke kaysa makahanap ng isang ODZ.

Isaalang-alang natin ang solusyon ng dalawang halimbawa upang ilarawan ang tinukoy na mga nuances.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Desisyon.

Una, nakita namin ang mga ugat ng buong equation (2 x - 1) (x - 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) \u003d 0, binubuo gamit ang numerator ng maliit na bahagi. Kaliwang parte ng equation na ito ay ang produkto, at ang tama ay zero, samakatuwid, ayon sa pamamaraan ng paglutas ng mga equation sa pamamagitan ng factorization, ang equation na ito ay katumbas ng isang hanay ng apat na equation 2 x - 1 \u003d 0, x - 6 \u003d 0, x 2 −5 x + 14 \u003d 0, x + 1 \u003d 0. Ang tatlo sa mga equation na ito ay linear at ang isa ay parisukat, malulutas natin sila. Mula sa unang equation nahanap namin ang x \u003d 1/2, mula sa pangalawa - x \u003d 6, mula sa pangatlo - x \u003d 7, x \u003d −2, mula sa pang-apat - x \u003d −1.

Sa mga nahanap na ugat, napakadaling suriin ang mga ito kung ang denominator ng maliit na bahagi sa kaliwang bahagi ng orihinal na equation ay nawala sa kanila, at, sa kabaligtaran, hindi gaanong madaling matukoy ang ODV, dahil mangangailangan ito ng paglutas ng isang equation ng algebraic ng ikalimang degree. Samakatuwid, tatalikuran natin ang paghahanap ng ODZ na pabor sa pag-check sa mga ugat. Upang magawa ito, pinalitan namin ang mga ito sa pagliko sa halip na ang variable x sa ekspresyon x 5 −15 x 4 + 57 x 3 −13 x 2 + 26 x + 112nakuha pagkatapos ng pagpapalit at ihambing ang mga ito sa zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 + 26 (1/2) + 112 \u003d 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 + 57 6 3 −13 6 2 + 26 6 + 112 \u003d 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 + 57 7 3 −13 7 2 + 26 7 + 112 \u003d 0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 + 57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2) + 112 \u003d −720 ≠ 0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 + 57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26 (−1) + 112 \u003d 0.

Sa gayon, ang 1/2, 6, at −2 ay ang nais na mga ugat ng orihinal na praksyonal na pantay na equation, at 7 at −1 ang mga extraneous root.

Sagot:

1/2 , 6 , −2 .

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng praksyonal na equation na praksyonal.

Desisyon.

Una, nakita namin ang mga ugat ng equation (5 x 2 −7 x - 1) (x - 2) \u003d 0... Ang equation na ito ay katumbas ng isang kumbinasyon ng dalawang mga equation: ang quadratic 5 x 2 −7 x - 1 \u003d 0 at ang linear x - 2 \u003d 0. Gamit ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation, nakita namin ang dalawang mga ugat, at mula sa pangalawang equation mayroon kaming x \u003d 2.

Sa halip hindi kanais-nais na suriin kung ang denominator ay hindi nawawala para sa mga nahanap na halaga ng x. At upang matukoy ang saklaw ng mga tinatanggap na halaga ng variable x sa orihinal na equation ay medyo simple. Samakatuwid, kikilos kami sa pamamagitan ng ODZ.

Sa aming kaso, ang ODZ ng variable x ng orihinal na praksyonal na makatuwirang equation ay binubuo ng lahat ng mga numero, maliban sa mga kung saan ang kundisyon x 2 + 5 · x - 14 \u003d 0 ay nasiyahan. Ang mga ugat ng quadratic equation na ito ay x \u003d −7 at x \u003d 2, kung saan nagtapos kami tungkol sa ODZ: binubuo ito ng lahat ng nasabing x na.

Nananatili ito upang suriin kung ang mga nahanap na ugat at x \u003d 2 ay kabilang sa saklaw ng mga tinatanggap na halaga. Ang mga ugat - nabibilang, samakatuwid, ang mga ito ay mga ugat ng orihinal na equation, at x \u003d 2 - ay hindi kabilang, samakatuwid, ito ay isang extraneous root.

Sagot:

Kapaki-pakinabang din na magkahiwalay na tumira sa mga kaso kung ang isang numero ay nasa numerator sa isang praksyonal na makatuwirang equation ng form, iyon ay, kapag ang p (x) ay kinakatawan ng ilang numero. Kung saan

• kung ang bilang na ito ay naiiba mula sa zero, kung gayon ang equation ay walang mga ugat, dahil ang maliit na bahagi ay zero kung at kung ang numerator nito ay zero;
• kung ang numerong ito ay zero, kung gayon ang ugat ng equation ay anumang numero mula sa ODZ.

Halimbawa.

Desisyon.

Dahil ang numerator ng maliit na bahagi sa kaliwang bahagi ng equation ay isang nonzero na numero, na walang x ang halaga ng maliit na bahagi na katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation na ito ay walang mga ugat.

Sagot:

walang ugat.

Halimbawa.

Malutas ang equation.

Desisyon.

Ang numerator ng maliit na bahagi sa kaliwa ng praksyonal na equation na praksyonal na ito ay naglalaman ng zero, kaya ang halaga ng maliit na bahagi na ito ay zero para sa anumang x kung saan may katuturan ito. Sa madaling salita, ang solusyon sa equation na ito ay anumang halaga ng x mula sa ODV ng variable na ito.

Nananatili ito upang matukoy ang saklaw ng mga pinapayagan na halaga. Kabilang dito ang lahat ng mga nasabing halaga ng x kung saan x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Ang mga solusyon sa equation x 4 + 5 x 3 \u003d 0 ay 0 at −5, dahil ang equation na ito ay katumbas ng equation x 3 (x + 5) \u003d 0, at ito naman ay katumbas ng kombinasyon ng dalawang equation x 3 \u003d 0 at x + 5 \u003d 0, kung saan makikita ang mga ugat na ito. Samakatuwid, ang hinahanap na saklaw ng mga tinatanggap na halaga ay anumang x, maliban sa x \u003d 0 at x \u003d −5.

Samakatuwid, ang isang praksyonal na makatuwiran na equation ay may walang katapusang maraming mga solusyon, na kung saan ay anumang mga numero maliban sa zero at minus lima.

Sagot:

Sa wakas, oras na upang pag-usapan ang tungkol sa paglutas ng di-makatwirang mga praksyonal na praksyonal na praksyonal. Maaari silang maisulat bilang r (x) \u003d s (x), kung saan ang r (x) at s (x) ay mga makatuwirang ekspresyon, at hindi bababa sa isa sa mga ito ay praksyonal. Sa pagtingin sa unahan, sabihin natin na ang kanilang solusyon ay nabawasan sa paglutas ng mga equation ng form na pamilyar na tayo.

Alam na ang paglipat ng isang termino mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa pa na may kabaligtaran na sign ay humahantong sa isang katumbas na equation; samakatuwid, ang equation r (x) \u003d s (x) ay katumbas ng equation r (x) - s (x) \u003d 0.

Alam din namin na maaari kang magkaroon ng anumang magkatulad na katumbas ng ekspresyong ito. Sa gayon, maaari nating palaging ibahin ang makatuwiran na ekspresyon sa kaliwang bahagi ng equation r (x) −s (x) \u003d 0 sa isang magkaparehong pantay na makatuwirang maliit na bahagi ng form.

Kaya't ipinapasa namin mula sa orihinal na praksyonal na makatuwiran na equation r (x) \u003d s (x) sa equation, at ang solusyon nito, tulad ng nakita namin sa itaas, ay nabawasan sa paglutas ng equation p (x) \u003d 0.

Ngunit narito na kinakailangan na isaalang-alang ang katotohanan na kapag pinapalitan ang r (x) - s (x) \u003d 0 ng, at karagdagang ng p (x) \u003d 0, ang saklaw ng mga tinatanggap na halaga ng variable x ay maaaring mapalawak.

Samakatuwid, ang orihinal na equation r (x) \u003d s (x) at ang equation p (x) \u003d 0, na nakarating kami, ay maaaring maging hindi pantay, at sa pamamagitan ng paglutas sa equation p (x) \u003d 0, makakakuha tayo ng mga ugat na magiging labis mga ugat ng orihinal na equation r (x) \u003d s (x). Posibleng kilalanin at hindi isama sa sagot na labis na mga ugat alinman sa pamamagitan ng pagsasagawa ng isang tseke o sa pamamagitan ng pagpapatunay na kabilang sila sa ODS ng orihinal na equation.

Buod namin ang impormasyong ito sa isang algorithm para sa paglutas ng isang praksyonal na makatuwiran na equation r (x) \u003d s (x)... Upang malutas ang praksyonal na makatuwiran na equation r (x) \u003d s (x), kailangan mo

• Kumuha ng zero sa kanan sa pamamagitan ng paglilipat ng expression mula sa kanang bahagi gamit ang kabaligtaran na pag-sign.
• Magsagawa ng mga pagkilos na may mga praksiyon at polynomial sa kaliwang bahagi ng equation, sa ganyang paraan ay binago ito sa isang makatuwiran na bahagi ng form.
• Malutas ang equation p (x) \u003d 0.
• Upang makilala at ibukod ang mga extraneous root, na kung saan ay ginagawa sa pamamagitan ng pagpapalit sa kanila sa orihinal na equation o sa pamamagitan ng pag-check kung kabilang sila sa ODZ ng orihinal na equation.

Para sa higit na kalinawan, ipinapakita namin ang buong kadena ng paglutas ng mga praksyonal na equation na praksyonal:
.

Tingnan natin ang mga solusyon sa ilang mga halimbawa na may detalyadong paliwanag sa kurso ng solusyon upang linawin ang ibinigay na bloke ng impormasyon.

Halimbawa.

Malutas ang praksyonal na makatuwiran na equation.

Desisyon.

Kumikilos kami alinsunod sa algorithm na nakuha ng solusyon. At una naming ilipat ang mga termino mula sa kanang bahagi ng equation sa kaliwa, bilang isang resulta, pumasa kami sa equation.

Sa pangalawang hakbang, kailangan nating i-convert ang praksyonal na ekspresyon ng rational sa kaliwang bahagi ng nagresultang equation sa anyo ng isang maliit na bahagi. Upang magawa ito, binabawas natin ang mga makatuwiran na mga praksyon sa isang karaniwang denominator at pinapasimple namin ang nagresultang ekspresyon:. Kaya nakarating kami sa equation.

Sa susunod na hakbang, kailangan naming malutas ang equation −2 x - 1 \u003d 0. Hanapin ang x \u003d −1 / 2.

Nananatili itong suriin kung ang nahanap na numero na −1/2 ay isang extraneous root ng orihinal na equation. Upang magawa ito, maaari mong suriin o hanapin ang ODV ng variable x ng orihinal na equation. Ipakita natin ang parehong mga diskarte.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-check. Palitan ang −1/2 sa orihinal na equation para sa x upang makuha iyon pareho, −1 \u003d −1. Ang pagpapalit ay nagbibigay ng wastong pagkakapantay-pantay sa bilang, samakatuwid, x \u003d −1 / 2 ang ugat ng orihinal na equation.

Ipapakita namin ngayon kung paano ang huling punto ng algorithm ay ginaganap sa pamamagitan ng OTD. Ang hanay ng mga tinatanggap na halaga ng orihinal na equation ay ang hanay ng lahat ng mga numero maliban sa −1 at 0 (para sa x \u003d −1 at x \u003d 0, ang mga denominator ng mga praksyon ay nawala). Ang ugat x \u003d −1 / 2 na natagpuan sa nakaraang hakbang ay kabilang sa GDZ; samakatuwid, x \u003d −1 / 2 ang ugat ng orihinal na equation.

Sagot:

−1/2 .

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang mga ugat ng equation.

Desisyon.

Kailangan nating malutas ang isang maliit na makatuwiran na equation, dumaan tayo sa lahat ng mga hakbang ng algorithm.

Una, ilipat namin ang termino mula sa kanang bahagi sa kaliwa, nakukuha namin.

Pangalawa, binago namin ang expression sa kaliwang bahagi:. Bilang isang resulta, nakarating kami sa equation x \u003d 0.

Ang ugat nito ay halata - ito ay zero.

Sa ika-apat na hakbang, nananatili itong malaman kung ang nahanap na ugat ay nasa labas ng orihinal na maliit na makatuwiran na equation. Kapag pinalitan sa orihinal na equation, nakuha ang expression. Malinaw na, walang katuturan dahil naglalaman ito ng paghahati sa pamamagitan ng zero. Kung saan nagtapos kami na ang 0 ay isang labis na ugat. Samakatuwid, ang orihinal na equation ay walang mga ugat.

7, na humahantong sa equation. Mula dito maaari nating tapusin na ang ekspresyon sa denominator ng kaliwang bahagi ay dapat na katumbas ng mula sa kanang bahagi, iyon ay,. Ngayon binabawas namin mula sa magkabilang bahagi ng triple:. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, mula saan, at higit pa.

Ipinapakita ng tseke na ang parehong nahanap na mga ugat ay ang mga ugat ng orihinal na praksyonal na equation na may talakay.

Sagot:

Bibliograpiya.

• Algebra: mag aral. para sa 8 cl. Pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Ika-16 na ed. - M .: Edukasyon, 2008 .-- 271 p. : may sakit - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra Ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Teksbuk para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - Ika-11 ed., Nabura. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 215 p.: May sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: Baitang 9: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - Ika-16 na ed. - M .: Edukasyon, 2009 .-- 271 p. : may sakit - ISBN 978-5-09-021134-5.

Sa madaling salita, ito ang mga equation kung saan mayroong hindi bababa sa isa na may variable sa denominator.

Halimbawa:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Halimbawa hindi praksyonal na mga makatarungang equation:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Paano nalulutas ang mga praksyonal na makatarungang equation?

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan tungkol sa mga praksyonal na equation na praksyonal ay ang pagsulat sa kanila. At pagkatapos hanapin ang mga ugat, siguraduhing suriin ang mga ito para sa kakayahang makuha. Kung hindi man, maaaring lumitaw ang mga labis na ugat, at ang buong desisyon ay maituturing na hindi tama.

Algorithm para sa paglutas ng isang praksyonal na makatuwiran na equation:

Isulat at "malutas" ang DHS.

I-multiply ang bawat term sa equation ng karaniwang denominator at kanselahin ang mga nagresultang mga praksiyon. Mawawala ang mga denominator.

Isulat ang equation nang hindi binubuksan ang panaklong.

Malutas ang nagresultang equation.

Suriin ang mga nahanap na ugat sa ODZ.

Isulat bilang tugon ang mga ugat na nakapasa sa tseke sa hakbang 7.

Huwag kabisaduhin ang algorithm, 3-5 malulutas na mga equation - at maaalala nitong mag-isa.

Halimbawa ... Malulutas ang praksyonal na makatuwiran na equation \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Desisyon:

Sagot: \(3\).

Halimbawa ... Hanapin ang mga ugat ng praksyonal na makatarungang equation \\ (\u003d 0 \\)

Desisyon:

Sagot: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

Ang "makatuwirang mga equation sa mga polynomial" ay isa sa mga madalas na paksa sa mga item sa pagsubok Pinag-isang State Exam sa Matematika. Para sa kadahilanang ito, ang kanilang pag-uulit ay nagkakahalaga ng pagbabayad espesyal na pansin... Maraming mag-aaral ang nahaharap sa problema sa paghahanap ng diskriminante, paglilipat ng mga tagapagpahiwatig mula sa kanang bahagi sa kaliwang bahagi at dalhin ang equation sa isang karaniwang denominator, na nagpapahirap upang makumpleto ang mga naturang gawain. Ang paglutas ng mga makatuwirang mga equation bilang paghahanda para sa pagsusulit sa aming website ay makakatulong sa iyo na mabilis na makayanan ang mga problema ng anumang pagiging kumplikado at perpektong pumasa sa pagsubok.

Piliin ang pang-edukasyon na portal na "Shkolkovo" para sa matagumpay na paghahanda para sa pinag-isang pagsusulit sa matematika!

Upang malaman ang mga patakaran para sa pagkalkula ng mga hindi alam at upang madaling makakuha tamang resulta, gamitin ang aming serbisyong online. Ang Shkolkovo portal ay isang one-of-a-kind na platform na naglalaman ng kinakailangan Gumamit ng mga materyales... Ang aming mga guro ay may sistematiko at ipinakita sa isang nauunawaan form na lahat ng mga patakaran sa matematika. Bilang karagdagan, inaanyayahan namin ang mga mag-aaral na subukan ang kanilang kamay sa paglutas ng mga tipikal na makatuwiran na mga equation, na ang batayan nito ay patuloy na na-update at nadagdagan.

Para sa mas mabisang paghahanda para sa pagsubok, inirerekumenda naming sundin mo ang aming espesyal na pamamaraan at magsimula sa pamamagitan ng pag-ulit ng mga patakaran at paglutas ng mga simpleng problema, na unti-unting lumilipat sa mga mas kumplikadong mga problema. Sa gayon, mai-highlight ng nagtapos ang pinakamahirap na mga paksa para sa kanyang sarili at ituon ang kanilang pag-aaral.

Simulang maghanda para sa pangwakas na pagsubok kasama ang Shkolkovo ngayon, at ang resulta ay hindi magtatagal! Piliin ang pinaka madaling halimbawa ng ipinanukala. Kung mabilis ka sa ekspresyon, magpatuloy sa higit pa mahirap na pagsubok... Kaya mong mapabuti ang iyong kaalaman hanggang sa paglutas ng mga gawain sa USE sa matematika ng antas ng profile.

Ang edukasyon ay magagamit hindi lamang sa mga nagtapos mula sa Moscow, kundi pati na rin sa mga mag-aaral mula sa iba pang mga lungsod. Gumugol ng ilang oras sa isang araw sa pag-aaral sa aming portal, halimbawa, at sa lalong madaling panahon magagawa mong makayanan ang mga equation ng anumang pagiging kumplikado!