Mga seksyon ng site

Pinili ng Editor:

Advertising

bahay - Muwebles

Paglutas ng mga fractional integer equation. Fractional rational equation. Algorithm para sa paglutas

Sa artikulong ito, ipapakita ko sa iyo algorithm para sa paglutas ng pitong uri ng rational equation, na binabawasan sa parisukat sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga pagbabagong humahantong sa kapalit ay napaka hindi mahalaga, at sa halip mahirap hulaan ang tungkol sa mga ito nang mag-isa.

Para sa bawat uri ng equation, ipapaliwanag ko kung paano baguhin ang isang variable dito, at pagkatapos ay magpapakita ako ng isang detalyadong solusyon sa kaukulang video tutorial.

May pagkakataon kang magpatuloy sa paglutas ng mga equation sa iyong sarili, at pagkatapos ay suriin ang iyong solusyon laban sa video tutorial.

Kaya, magsimula tayo.

1 ... (x-1) (x-7) (x-4) (x + 2) = 40

Tandaan na mayroong produkto ng apat na bracket sa kaliwang bahagi ng equation, at isang numero sa kanan.

1. Pangkatin natin ang mga bracket sa pamamagitan ng dalawa upang ang kabuuan ng mga libreng termino ay pareho.

2. Paramihin natin sila.

3. Ipinakilala namin ang pagbabago ng variable.

Sa aming equation, pinapangkat namin ang unang bracket na may pangatlo, at ang pangalawa sa ikaapat, dahil (-1) + (- 4) = (- 7) +2:

Sa puntong ito, nagiging halata ang pagpapalit ng variable:

Nakukuha namin ang equation

Sagot:

2 .

Ang isang equation ng ganitong uri ay katulad ng nauna na may isang pagkakaiba: sa kanang bahagi ng equation ay ang produkto ng isang numero sa pamamagitan ng. At ito ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan:

1. Pinagpangkat namin ang mga bracket sa pamamagitan ng dalawa upang ang produkto ng mga libreng termino ay pareho.

2. I-multiply ang bawat pares ng panaklong.

3. Mula sa bawat kadahilanan ay kinuha namin ang x mula sa bracket.

4. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng.

5. Ipakilala ang variable na kapalit.

Sa equation na ito, pinapangkat namin ang unang bracket na may pang-apat, at ang pangalawa sa pangatlo, dahil:

Tandaan na sa bawat panaklong ang koepisyent sa at ang libreng termino ay pareho. Kumuha ng salik sa bawat panaklong:

Dahil ang x = 0 ay hindi ugat ng orihinal na equation, hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng. Nakukuha namin:

Nakukuha namin ang equation:

Sagot:

3 .

Tandaan na ang mga denominador ng parehong mga fraction ay naglalaman ng parisukat na trinomyal, kung saan ang nangungunang koepisyent at ang libreng termino ay pareho. Ilabas natin, tulad ng sa equation ng pangalawang uri, x sa labas ng panaklong. Nakukuha namin:

Hatiin ang numerator at denominator ng bawat fraction sa x:

Ngayon ay maaari naming ipakilala ang variable na kapalit:

Nakukuha namin ang equation para sa variable t:

4 .

Tandaan na ang mga coefficient ng equation ay simetriko na may paggalang sa gitnang isa. Ang ganitong equation ay tinatawag maibabalik .

Upang malutas ito

1. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (Magagawa natin ito, dahil ang x = 0 ay hindi ang ugat ng equation.) Nakukuha natin ang:

2. Ipangkat natin ang mga termino sa ganitong paraan:

3. Sa bawat pangkat ay kinuha namin ang karaniwang salik mula sa bracket:

4. Magpakilala tayo ng kapalit:

5. Ipahayag natin sa pamamagitan ng t ang expression:

Mula rito

Nakukuha namin ang equation para sa t:

Sagot:

5. Mga homogenous na equation.

Ang mga equation na may homogenous na istraktura ay maaaring makatagpo kapag nilulutas ang exponential, logarithmic at trigonometriko equation kaya kailangan mo itong makilala.

Ang mga homogenous na equation ay may sumusunod na istraktura:

Sa pagkakapantay-pantay na ito, ang A, B at C ay mga numero, at ang parehong mga expression ay tinutukoy ng isang parisukat at isang bilog. Iyon ay, sa kaliwang bahagi ng homogenous na equation mayroong kabuuan ng mga monomial na may parehong antas (sa sa kasong ito ang antas ng monomials ay 2), at walang libreng termino.

Upang malutas ang homogenous equation, hinahati namin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng

Pansin! Kapag hinahati ang kanan at kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng isang expression na naglalaman ng hindi alam, maaari kang mawalan ng mga ugat. Samakatuwid, kinakailangang suriin kung ang mga ugat ng expression kung saan hinahati natin ang magkabilang panig ng equation ay hindi ang mga ugat ng orihinal na equation.

Pumunta tayo sa unang paraan. Nakukuha namin ang equation:

Ngayon ipinakilala namin ang variable na kapalit:

Pasimplehin natin ang expression at makakuha ng bi quadratic equation may kinalaman sa t:

Sagot: o

7 .

Ang equation na ito ay may sumusunod na istraktura:

Upang malutas ito, kailangan mong pumili ng isang buong parisukat sa kaliwang bahagi ng equation.

Upang pumili ng isang kumpletong parisukat, kailangan mong magdagdag o magbawas ng isang kasiya-siyang gawain. Pagkatapos ay makuha namin ang parisukat ng kabuuan o ang pagkakaiba. Ito ay mahalaga para sa isang matagumpay na pagpapalit ng variable.

Magsimula tayo sa paghahanap ng dobleng produkto. Ito ang magiging susi upang palitan ang variable. Sa aming equation, dalawang beses ang produkto ay

Ngayon, tantiyahin natin kung ano ang mas maginhawa para sa atin - ang parisukat ng kabuuan o ang pagkakaiba. Isaalang-alang, una, ang kabuuan ng mga expression:

ayos! ang expression na ito ay eksaktong katumbas ng dalawang beses sa produkto. Pagkatapos, upang makuha ang parisukat ng kabuuan sa mga bracket, kailangan mong idagdag at ibawas ang nadobleng produkto:

Sa madaling salita, ito ay mga equation kung saan mayroong kahit isa na may variable sa denominator.

Halimbawa:

\ (\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \) \ (= 0 \)
\ (\ frac (1) (2x) + \ frac (x) (x + 1) = \ frac (1) (2) \)
\ (\ frac (6) (x + 1) = \ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \)

Halimbawa hindi fractional rational equation:

\ (\ frac (9x ^ 2-1) (3) \) \ (= 0 \)
\ (\ frac (x) (2) \) \ (+ 8x ^ 2 = 6 \)

Paano nalulutas ang mga fractional rational equation?

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan tungkol sa mga fractional rational equation ay ang pagsulat sa kanila. At pagkatapos mahanap ang mga ugat, siguraduhing suriin ang mga ito para sa admissibility. Kung hindi, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat, at ang buong desisyon ay ituturing na hindi tama.

Algorithm para sa paglutas ng isang fractional-rational equation:

Isulat at "lutasin" ang DHS.

I-multiply ang bawat term sa equation sa pamamagitan ng karaniwang denominador at bawasan ang mga resultang fraction. Sa kasong ito, mawawala ang mga denominator.

Isulat ang equation nang hindi binubuksan ang mga panaklong.

Lutasin ang resultang equation.

Suriin ang mga natagpuang ugat gamit ang ODZ.

Isulat bilang tugon ang mga ugat na pumasa sa tseke sa hakbang 7.

Huwag kabisaduhin ang algorithm, 3-5 na nalutas na mga equation - at ito ay maaalala mismo.

Halimbawa ... Lutasin ang Fractional Rational Equation \ (\ frac (x) (x-2) - \ frac (7) (x + 2) = \ frac (8) (x ^ 2-4) \)

Solusyon:

Sagot: \(3\).

Halimbawa ... Hanapin ang mga ugat ng fractional rational equation \ (= 0 \)

Solusyon:

\ (\ frac (x) (x + 2) + \ frac (x + 1) (x + 5) - \ frac (7-x) (x ^ 2 + 7x + 10) \)\(=0\) ODZ: \ (x + 2 ≠ 0⇔x ≠ -2 \) \ (x + 5 ≠ 0 ⇔x ≠ -5 \) \ (x ^ 2 + 7x + 10 ≠ 0 \) \ (D = 49-4 \ cdot 10 = 9 \) \ (x_1 ≠ \ frac (-7 + 3) (2) = - 2 \) \ (x_2 ≠ \ frac (-7-3) (2) = - 5 \)		Isinulat namin at "solve" ang ODZ. Palawakin ang \ (x ^ 2 + 7x + 10 \) sa pamamagitan ng formula: \ (ax ^ 2 + bx + c = a (x-x_1) (x-x_2) \). Sa kabutihang palad, nahanap na namin ang \ (x_1 \) at \ (x_2 \).
\ (\ frac (x) (x + 2) + \ frac (x + 1) (x + 5) - \ frac (7-x) ((x + 2) (x + 5)) \)\(=0\)		Malinaw, ang karaniwang denominator ng mga praksyon ay \ ((x + 2) (x + 5) \). Pina-multiply natin ang buong equation dito.
\ (\ frac (x (x + 2) (x + 5)) (x + 2) + \ frac ((x + 1) (x + 2) (x + 5)) (x + 5) - \) \ (- \ frac ((7-x) (x + 2) (x + 5)) ((x + 2) (x + 5)) \)\(=0\)		Pagbawas ng mga fraction
\ (x (x + 5) + (x + 1) (x + 2) -7 + x = 0 \)		Pagpapalawak ng mga bracket
\ (x ^ 2 + 5x + x ^ 2 + 3x + 2-7 + x = 0 \)		Nagbibigay kami magkatulad na termino
\ (2x ^ 2 + 9x-5 = 0 \)		Hanapin ang mga ugat ng equation
\ (x_1 = -5; \) \ (x_2 = \ frac (1) (2). \)		Ang isa sa mga ugat ay hindi magkasya sa ODZ, kaya isulat lamang namin ang pangalawang ugat bilang tugon.

Sagot: \ (\ frac (1) (2) \).

Layunin ng aralin:

Pang-edukasyon:

pagbuo ng konsepto ng fractional rational equation;
isaalang-alang ang iba't ibang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation;
isaalang-alang ang isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation, kabilang ang kundisyon para sa pagkakapantay-pantay ng fraction sa zero;
ituro ang solusyon ng fractional rational equation sa pamamagitan ng algorithm;
pagsuri sa antas ng pagkabisado sa paksa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng gawaing pagsubok.

Pagbuo:

pag-unlad ng kakayahang gumana nang tama sa kaalaman na nakuha, mag-isip nang lohikal;
pag-unlad ng mga kasanayan sa intelektwal at mga operasyong pangkaisipan - pagsusuri, synthesis, paghahambing at paglalahat;
pag-unlad ng inisyatiba, kakayahang gumawa ng mga pagpapasya, huwag tumigil doon;
pag-unlad ng kritikal na pag-iisip;
pag-unlad ng mga kasanayan sa pananaliksik.

Pang-edukasyon:

edukasyon ng nagbibigay-malay na interes sa paksa;
pagpapaunlad ng kalayaan sa paglutas Mga Layunin sa pag-aaral;
pagpapatibay ng kalooban at tiyaga upang makamit ang mga resulta.

Uri ng aralin: aralin - pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Sa panahon ng mga klase

1. Organisasyon sandali.

Hello guys! Ang mga equation ay nakasulat sa pisara, tingnang mabuti ang mga ito. Kaya mo bang lutasin ang lahat ng mga equation na ito? Alin ang hindi at bakit?

Ang mga equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay fractional rational expression ay tinatawag na fractional rational equation. Ano sa palagay mo ang matututunan natin sa aralin ngayon? Bumuo ng paksa ng aralin. Kaya, binuksan namin ang mga notebook at isulat ang paksa ng aralin na "Paglutas ng mga fractional rational equation."

2. Pag-update ng kaalaman. Pangharap na survey, oral na gawain sa klase.

At ngayon ay uulitin natin ang pangunahing teoretikal na materyal na kailangan nating pag-aralan ang isang bagong paksa. Pakisagot ang mga sumusunod na tanong:

Ano ang isang equation? ( Pagkakapantay-pantay sa Variable o Variable.)
Ano ang pangalan ng equation # 1? ( Linear.) Solusyon linear na equation. (Ilipat ang lahat ng hindi alam sa kaliwang parte equation, lahat ng numero sa kanan. Magbigay ng mga katulad na termino. Maghanap ng hindi kilalang kadahilanan).
Ano ang pangalan ng equation # 3? ( parisukat.) Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation. ( Paglalaan ng isang kumpletong parisukat, sa pamamagitan ng mga pormula, gamit ang teorem ni Vieta at ang mga kahihinatnan nito.)
Ano ang proporsyon? ( Pagkakapantay-pantay ng dalawang relasyon.) Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon. ( Kung tama ang proporsyon, kung gayon ang produkto ng mga matinding termino nito ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.)
Anong mga katangian ang ginagamit upang malutas ang mga equation? ( 1. Kung sa equation na ilipat ang termino mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang sign nito, pagkatapos ay makakakuha ka ng katumbas na equation sa ibinigay na isa. 2. Kung ang magkabilang panig ng equation ay pinarami o hinati sa parehong nonzero na numero, kung gayon ang isang equation ay nakuha na katumbas ng ibinigay.)
Kailan ang fraction zero? ( Ang fraction ay zero kapag ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero.)

3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Lutasin ang equation number 2 sa mga notebook at sa pisara.

Sagot: 10.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon? (No. 5).

(x-2) (x-4) = (x + 2) (x + 3)

x 2 -4x-2x + 8 = x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Lutasin ang equation number 4 sa mga notebook at sa pisara.

Sagot: 1,5.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa denominator? (No. 6).

x 2 -7x + 12 = 0

D = 1 ›0, x 1 = 3, x 2 = 4.

Sagot: 3;4.

Ngayon subukang lutasin ang equation # 7 sa isa sa mga paraan.


(x 2 -2x-5) x (x-5) = x (x-5) (x + 5)
(x 2 -2x-5) x (x-5) -x (x-5) (x + 5) = 0			x 2 -2x-5 = x + 5
x (x-5) (x 2 -2x-5- (x + 5)) = 0			x 2 -2x-5-x-5 = 0
x (x-5) (x 2 -3x-10) = 0
x = 0 x-5 = 0 x 2 -3x-10 = 0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Sagot: 0;5;-2.			Sagot: 5;-2.

Ipaliwanag kung bakit nangyari ito? Bakit sa isang kaso mayroong tatlong ugat, sa iba pang dalawa? Anong mga numero ang mga ugat ng fractional rational equation na ito?

Hanggang ngayon, ang mga mag-aaral ay hindi nakatagpo ng konsepto ng isang extraneous na ugat, talagang napakahirap para sa kanila na maunawaan kung bakit ito nangyari. Kung walang sinuman sa klase ang makapagbibigay ng malinaw na paliwanag sa sitwasyong ito, magtatanong ang guro ng mga nangungunang tanong.

Paano naiiba ang mga equation 2 at 4 sa mga equation na 5,6,7? ( Sa mga equation No. 2 at 4 sa denominator ng numero, No. 5-7 - mga expression na may variable.)
Ano ang ugat ng isang equation? ( Ang halaga ng variable kung saan ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.)
Paano mo malalaman kung ang isang numero ay ang ugat ng isang equation? ( Gumawa ng tseke.)

Kapag nagsasagawa ng pagsusulit, napansin ng ilang estudyante na kailangan nilang hatiin sa zero. Napagpasyahan nila na ang mga numero 0 at 5 ay hindi ang mga ugat ng equation na ito. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation na mag-aalis ng error na ito? Oo, ang pamamaraang ito ay batay sa kondisyon na ang fraction ay katumbas ng zero.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Kung x = 5, kung gayon ang x (x-5) = 0, kung gayon ang 5 ay isang extraneous na ugat.

Kung x = -2, kung gayon ang x (x-5) ≠ 0.

Sagot: -2.

Subukan nating bumalangkas ng algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation sa ganitong paraan. Binubalangkas ng mga bata ang algorithm mismo.

Algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation:

Ilipat ang lahat sa kaliwa.
Dalhin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.
Gumawa ng isang sistema: ang fraction ay zero kapag ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero.
Lutasin ang equation.
Suriin ang hindi pagkakapantay-pantay upang ibukod ang mga extraneous na ugat.
Itala ang iyong sagot.

Pagtalakay: kung paano gawing pormal ang solusyon kung ang pangunahing katangian ng proporsyon ay ginagamit at ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang karaniwang denominator. (Kompletuhin ang solusyon: ibukod mula sa mga ugat nito ang mga gumagawa ng karaniwang denominator na zero).

4. Pangunahing pag-unawa sa bagong materyal.

Magtrabaho nang magkapares. Pinipili ng mga mag-aaral kung paano lutasin ang equation nang nakapag-iisa, depende sa uri ng equation. Mga gawain mula sa aklat-aralin na "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b, c, i); No. 601 (a, e, g). Kinokontrol ng guro ang pagpapatupad ng takdang-aralin, sinasagot ang mga tanong na lumabas, at nagbibigay ng tulong sa mga mag-aaral na hindi mahusay ang pagganap. Self-test: Ang mga sagot ay nakasulat sa pisara.

b) 2 - extraneous na ugat. Sagot: 3.

c) 2 - extraneous root. Sagot: 1.5.

a) Sagot: -12.5.

g) Sagot: 1; 1.5.

5. Pahayag ng takdang-aralin.

Basahin ang talata 25 mula sa aklat-aralin, suriin ang mga halimbawa 1-3.
Matuto ng algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation.
Lutasin sa mga notebook Blg. 600 (a, d, e); No. 601 (g, h).
Subukang lutasin ang # 696 (a) (opsyonal).

6. Pagtupad ng isang control task sa pinag-aralan na paksa.

Ang gawain ay ginagawa sa mga piraso ng papel.

Halimbawa ng trabaho:

A) Alin sa mga equation ang fractional rational?

B) Ang fraction ay zero kapag ang numerator ay ____________________ at ang denominator ay _______________________.

Q) -3 ba ang ugat ng equation # 6?

D) Lutasin ang equation No. 7.

Pamantayan sa pagtatasa para sa takdang-aralin:

Ang "5" ay inilalagay kung ang mag-aaral ay nakatapos ng higit sa 90% ng gawain nang tama.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
Ang "2" ay ibinibigay sa isang mag-aaral na nakatapos ng mas mababa sa 50% ng takdang-aralin.
Ang marka ng 2 ay hindi inilalagay sa journal, 3 ay opsyonal.

7. Pagninilay.

Sa mga piraso ng papel na may sariling pag-aaral, ilagay ang:

1 - kung sa aralin ito ay kawili-wili at naiintindihan para sa iyo;
2 - kawili-wili, ngunit hindi malinaw;
3 - hindi kawili-wili, ngunit naiintindihan;
4 - hindi kawili-wili, hindi malinaw.

8. Pagbubuod ng aralin.

Kaya, ngayon sa aralin nakilala natin ang mga fractional rational equation, natutunan kung paano lutasin ang mga equation na ito. iba't ibang paraan, sinubukan ang kanilang kaalaman sa tulong ng pagsasanay pansariling gawain... Malalaman mo ang mga resulta ng malayang gawain sa susunod na aralin, sa bahay magkakaroon ka ng pagkakataon na pagsamahin ang kaalaman na nakuha.

Anong paraan ng paglutas ng mga fractional rational equation, sa iyong opinyon, ang mas madali, naa-access, rational? Anuman ang paraan para sa paglutas ng mga fractional rational equation, ano ang dapat tandaan? Ano ang "insidiousness" ng fractional rational equation?

Salamat sa inyong lahat, tapos na ang lesson.

"Paglutas ng mga fractional rational equation"

Layunin ng aralin:

Pang-edukasyon:

pagbuo ng konsepto ng fractional rational equation; isaalang-alang ang iba't ibang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation; isaalang-alang ang isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation, kabilang ang kundisyon para sa pagkakapantay-pantay ng fraction sa zero; ituro ang solusyon ng fractional rational equation sa pamamagitan ng algorithm; pagsuri sa antas ng pagkabisado sa paksa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng gawaing pagsubok.

Pagbuo:

pag-unlad ng kakayahang gumana nang tama sa kaalaman na nakuha, mag-isip nang lohikal; pag-unlad ng mga kasanayan sa intelektwal at mga operasyong pangkaisipan - pagsusuri, synthesis, paghahambing at paglalahat; pag-unlad ng inisyatiba, kakayahang gumawa ng mga pagpapasya, huwag tumigil doon; pag-unlad ng kritikal na pag-iisip; pag-unlad ng mga kasanayan sa pananaliksik.

Pang-edukasyon:

edukasyon ng nagbibigay-malay na interes sa paksa; pagpapaunlad ng kalayaan sa paglutas ng mga problema sa edukasyon; pagpapatibay ng kalooban at tiyaga upang makamit ang mga resulta.

Uri ng aralin: aralin - pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Sa panahon ng mga klase

1. Organisasyon sandali.

Hello guys! Ang mga equation ay nakasulat sa pisara, tingnang mabuti ang mga ito. Kaya mo bang lutasin ang lahat ng mga equation na ito? Alin ang hindi at bakit?

2. Pag-update ng kaalaman. Pangharap na survey, oral na gawain sa klase.

At ngayon ay uulitin natin ang pangunahing teoretikal na materyal na kailangan nating pag-aralan ang isang bagong paksa. Pakisagot ang mga sumusunod na tanong:

1. Ano ang equation? ( Pagkakapantay-pantay sa Variable o Variable.)

2. Ano ang pangalan ng equation # 1? ( Linear.) Isang paraan para sa paglutas ng mga linear equation. ( Ilipat sa kaliwang bahagi ng equation ang lahat na may hindi alam, lahat ng numero sa kanan. Magbigay ng mga katulad na termino. Maghanap ng hindi kilalang kadahilanan).

3. Ano ang pangalan ng equation # 3? ( parisukat.) Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation. ( Paglalaan ng isang kumpletong parisukat, sa pamamagitan ng mga pormula, gamit ang teorem ni Vieta at ang mga kahihinatnan nito.)

4. Ano ang proporsyon? ( Pagkakapantay-pantay ng dalawang relasyon.) Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon. ( Kung tama ang proporsyon, kung gayon ang produkto ng mga matinding termino nito ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.)

5. Anong mga katangian ang ginagamit upang malutas ang mga equation? ( 1. Kung sa equation na ilipat ang termino mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang sign nito, pagkatapos ay makakakuha ka ng katumbas na equation sa ibinigay na isa. 2. Kung ang magkabilang panig ng equation ay pinarami o hinati sa parehong nonzero na numero, kung gayon ang isang equation ay nakuha na katumbas ng ibinigay.)

6. Kailan ang fraction zero? ( Ang fraction ay zero kapag ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero.)

3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Lutasin ang equation number 2 sa mga notebook at sa pisara.

Sagot: 10.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon? (No. 5).

(x-2) (x-4) = (x + 2) (x + 3)

x2-4x-2x + 8 = x2 + 3x + 2x + 6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Lutasin ang equation number 4 sa mga notebook at sa pisara.

Sagot: 1,5.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa denominator? (No. 6).

D = 1 ›0, x1 = 3, x2 = 4.

Sagot: 3;4.

Ngayon subukang lutasin ang equation # 7 sa isa sa mga paraan.


(x2-2x-5) x (x-5) = x (x-5) (x + 5)
(x2-2x-5) x (x-5) -x (x-5) (x + 5) = 0
x (x-5) (x2-2x-5- (x + 5)) = 0			x2-2x-5-x-5 = 0
x (x-5) (x2-3x-10) = 0
x = 0 x-5 = 0 x2-3x-10 = 0
x1 = 0 x2 = 5 D = 49

Sagot: 0;5;-2.			Sagot: 5;-2.

Ipaliwanag kung bakit nangyari ito? Bakit sa isang kaso mayroong tatlong ugat, sa iba pang dalawa? Anong mga numero ang mga ugat ng fractional rational equation na ito?

Sa mga equation No. 2 at 4 sa denominator ng numero, No. 5-7 - mga expression na may variable

Ang halaga ng variable kung saan ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay

Gumawa ng tseke

x2-3x-10 = 0, D = 49, x1 = 5, x2 = -2.

Kung x = 5, kung gayon ang x (x-5) = 0, kung gayon ang 5 ay isang extraneous na ugat.

Kung x = -2, kung gayon ang x (x-5) ≠ 0.

Sagot: -2.

Subukan nating bumalangkas ng algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation sa ganitong paraan. Binubalangkas ng mga bata ang algorithm mismo.

Algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation:

1. Ilipat ang lahat sa kaliwa.

2. Dalhin ang mga fraction sa isang common denominator.

3. Buuin ang sistema: ang fraction ay zero kapag ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero.

4. Lutasin ang equation.

5. Suriin ang hindi pagkakapantay-pantay upang ibukod ang mga extraneous na ugat.

6. Isulat ang iyong sagot.

4. Pangunahing pag-unawa sa bagong materyal.

Magtrabaho nang magkapares. Pinipili ng mga mag-aaral kung paano lutasin ang equation nang nakapag-iisa, depende sa uri ng equation. Mga gawain mula sa aklat-aralin na "Algebra 8", 2007: № 000 (b, c, i); Hindi. 000 (a, e, g). Kinokontrol ng guro ang pagpapatupad ng takdang-aralin, sinasagot ang mga tanong na lumabas, at nagbibigay ng tulong sa mga mag-aaral na hindi mahusay ang pagganap. Self-test: Ang mga sagot ay nakasulat sa pisara.

b) 2 - extraneous na ugat. Sagot: 3.

c) 2 - extraneous root. Sagot: 1.5.

a) Sagot: -12.5.

g) Sagot: 1; 1.5.

5. Pahayag ng takdang-aralin.

2. Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation.

3. Lutasin sa mga kuwaderno Blg. 000 (a, d, e); Hindi. 000 (g, h).

4. Subukang lutasin ang No. 000 (a) (opsyonal).

6. Pagtupad ng isang control task sa pinag-aralan na paksa.

Ang gawain ay ginagawa sa mga piraso ng papel.

Halimbawa ng trabaho:

A) Alin sa mga equation ang fractional rational?

B) Ang fraction ay zero kapag ang numerator ay ____________________ at ang denominator ay _______________________.

Q) -3 ba ang ugat ng equation # 6?

D) Lutasin ang equation No. 7.

Pamantayan sa pagtatasa para sa takdang-aralin:

Ang "5" ay inilalagay kung ang mag-aaral ay nakatapos ng higit sa 90% ng gawain nang tama. Ang "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" ay ibinibigay sa isang mag-aaral na nakatapos ng mas mababa sa 50% ng takdang-aralin. Ang marka ng 2 ay hindi inilalagay sa journal, 3 ay opsyonal.

7. Pagninilay.

Sa mga piraso ng papel na may sariling pag-aaral, ilagay ang:

1 - kung sa aralin ito ay kawili-wili at naiintindihan para sa iyo; 2 - kawili-wili, ngunit hindi malinaw; 3 - hindi kawili-wili, ngunit naiintindihan; 4 - hindi kawili-wili, hindi malinaw.

8. Pagbubuod ng aralin.

Kaya, ngayon sa aralin nakilala namin ang mga fractional rational equation, natutunan kung paano lutasin ang mga equation na ito sa iba't ibang paraan, sinubukan ang aming kaalaman sa tulong ng independiyenteng gawaing pang-edukasyon. Malalaman mo ang mga resulta ng malayang gawain sa susunod na aralin, sa bahay magkakaroon ka ng pagkakataon na pagsamahin ang kaalaman na nakuha.

Salamat sa inyong lahat, tapos na ang lesson.

T. Kosyakova,
paaralan No. 80, Krasnodar

Paglutas ng mga quadratic at fractional rational equation na naglalaman ng mga parameter

Aralin 4

Paksa ng aralin:

Layunin ng aralin: upang mabuo ang kakayahang malutas ang mga fractional-rational equation na naglalaman ng mga parameter.

Uri ng aralin: pagpapakilala ng bagong materyal.

1. (Berbal) Lutasin ang mga equation:

Halimbawa 1... Lutasin ang equation

Solusyon.

Maghanap ng mga di-wastong halaga a:

Sagot. Kung kung a = – 19 , pagkatapos ay walang mga ugat.

Halimbawa 2... Lutasin ang equation

Solusyon.

Maghanap ng mga di-wastong value ng parameter a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Sagot. Kung a = 5 a № 5 , pagkatapos x = 10– a .

Halimbawa 3... Sa anong mga halaga ng parameter b ang equation Mayroon itong:

a) dalawang ugat; b) isang ugat?

Solusyon.

1) Maghanap ng mga di-wastong value ng parameter b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 o b = 2;
x = 2, 4 ( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 o b = – 2.

2) Lutasin ang equation x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2 x + b 2 = 0:

D = 4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D = 4 b 2 .

Hindi kasama ang mga di-wastong value ng parameter b , nakuha namin na ang equation ay may dalawang ugat kung b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ngunit ito ay isang di-wastong halaga ng parameter b ; kung b 2 –1=0 , ibig sabihin. b=1 o.

Sagot: a) kung b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , pagkatapos ay dalawang ugat; b) kung b=1 o b = –1 , pagkatapos ay ang tanging ugat.

Pansariling gawain

Pagpipilian 1

Lutasin ang mga equation:

Opsyon 2

Lutasin ang mga equation:

Mga sagot

SA 1... Paano kung a=3 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung b) kung kung a № 2 , pagkatapos ay walang mga ugat.

SA 2. Kung a=2 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung a=0 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung
b) kung a=– 1 , pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung walang mga ugat;
kung

Takdang-aralin sa bahay.

Lutasin ang mga equation:

Mga sagot: a) Kung a № –2 , pagkatapos x = a ; kung a=–2 , pagkatapos ay walang mga solusyon; b) kung a № –2 , pagkatapos x = 2; kung a=–2 , pagkatapos ay walang mga solusyon; c) kung a=–2 , pagkatapos x- anumang numero maliban 3 ; kung a № –2 , pagkatapos x = 2; d) kung a=–8 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung a=2 , pagkatapos ay walang mga ugat; kung

Aralin 5

Paksa ng aralin:"Solusyon ng mga fractional rational equation na naglalaman ng mga parameter."

Layunin ng aralin:

pagsasanay sa paglutas ng mga equation na may hindi pamantayang kondisyon;
mulat na asimilasyon ng mga mag-aaral ng mga konseptong algebraic at koneksyon sa pagitan nila.

Uri ng aralin: sistematisasyon at paglalahat.

Pagsusuri ng takdang-aralin.

Halimbawa 1... Lutasin ang equation

a) may kinalaman sa x; b) kamag-anak sa y.

Solusyon.

a) Maghanap ng mga di-wastong halaga y: y = 0, x = y, y 2 = y 2 –2y,

y = 0- di-wastong halaga ng parameter y.

Kung y№ 0 , pagkatapos x = y – 2; kung y = 0, kung gayon ang equation ay magiging walang kabuluhan.

b) Maghanap ng mga di-wastong halaga ng parameter x: y = x, 2x – x 2 + x 2 = 0, x = 0- di-wastong halaga ng parameter x; y (2 + x – y) = 0, y = 0 o y = 2 + x;

y = 0 hindi nakakatugon sa kondisyon y (y – x)№ 0 .

Sagot: a) kung y = 0, pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung y№ 0 , pagkatapos x = y – 2; b) kung x = 0 x№ 0 , pagkatapos y = 2 + x .

Halimbawa 2... Para sa anong mga halaga ng integer ng parameter a ang mga ugat ng equation nabibilang sa gap

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Kung a № 0 o a № – 1 , pagkatapos

Sagot: 5 .

Halimbawa 3... Maghanap ng medyo x mga integer na solusyon ng isang equation

Sagot. Kung y = 0 kung gayon ang equation ay walang kahulugan; kung y = –1, pagkatapos x- anumang integer maliban sa zero; kung y№ 0, y№ - 1, pagkatapos ay walang mga solusyon.

Halimbawa 4. Lutasin ang equation may mga parameter a at b .

Kung a№ - b , pagkatapos

Sagot. Kung a = 0 o b = 0 , pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung a№ 0, b№ 0, a = –b , pagkatapos x- anumang numero maliban sa zero; kung a№ 0, b№ 0, a№ –B, pagkatapos x = –a, x = –b .

Halimbawa 5... Patunayan na para sa anumang hindi zero na halaga ng parameter n, ang equation ay may iisang ugat na katumbas ng - n .

Solusyon.

i.e. x = –n, bilang kinakailangan upang patunayan.

Takdang-aralin sa bahay.

1. Hanapin ang buong solusyon ng equation

2. Sa anong mga halaga ng parameter c ang equation Mayroon itong:
a) dalawang ugat; b) isang ugat?

3. Hanapin ang lahat ng integer na ugat ng equation kung a O N .

4. Lutasin ang equation 3xy - 5x + 5y = 7: a) tungkol sa y; b) medyo x .

1. Ang equation ay nasiyahan sa pamamagitan ng anumang integer equal values ng x at y, maliban sa zero.
2.a) Para sa
b) kasama ng o
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Kung pagkatapos ay walang mga ugat; kung
b) kung pagkatapos ay walang mga ugat; kung

Pagsusulit

Pagpipilian 1

1. Tukuyin ang uri ng equation 7c (c + 3) x 2 + (c – 2) x – 8 = 0 sa: a) c = –3; b) c = 2; v) c = 4 .

2. Lutasin ang mga equation: a) x 2 –bx = 0; b) cx 2 –6x + 1 = 0; v)

3. Lutasin ang equation 3x – xy – 2y = 1:

a) tungkol sa x ;
b) medyo y .

nx 2 - 26x + n = 0, alam na ang parameter n ay kumukuha lamang ng mga halaga ng integer.

5. Para sa anong mga halaga ng b ginagawa ang equation Mayroon itong:

a) dalawang ugat;
b) isang ugat?

Opsyon 2

1. Tukuyin ang uri ng equation 5c (c + 4) x 2 + (c – 7) x + 7 = 0 sa: a) c = –4; b) c = 7; v) c = 1 .

2. Lutasin ang mga equation: a) y 2 + cy = 0; b) ny 2 –8y + 2 = 0; v)

3. Lutasin ang equation 6x – xy + 2y = 5:

a) tungkol sa x ;
b) medyo y .

4. Hanapin ang buong ugat ng equation nx 2 –22x + 2n = 0, alam na ang parameter n ay kumukuha lamang ng mga halaga ng integer.

5. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation Mayroon itong:

a) dalawang ugat;
b) isang ugat?

Mga sagot

SA 1. 1. a) Linear equation;
b) hindi kumpletong quadratic equation; c) quadratic equation.
2.a) Kung b = 0, pagkatapos x = 0; kung b # 0, pagkatapos x = 0, x = b;
b) kung cО (9; + Ґ), pagkatapos ay walang mga ugat;
c) kung a=–4 , pagkatapos ay mawawalan ng kahulugan ang equation; kung a№ –4 , pagkatapos x = - a .
3.a) Kung y = 3, pagkatapos ay walang mga ugat; kung);
b) a=–3, a=1.

Mga karagdagang gawain

Lutasin ang mga equation:

Panitikan

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Tungkol sa mga parameter mula sa simula. - Tutor, Blg. 2/1991, p. 3-13.
2. Gronshtein P.I., Polonskiy V.B., Yakir M.S. Mga kinakailangang kondisyon sa mga problema sa mga parameter. - Kvant, No. 11/1991, p. 44-49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Paglutas ng mga problema naglalaman ng mga parameter. Bahagi 2. - M., Pananaw, 1990, p. 2-38.
4. Tynyakin S.A. Limang daan at labing-apat na gawain na may mga parameter. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetskiy G.A. Mga gawain na may mga parameter. - M., Edukasyon, 1986.

Basahin:

Mga lihim ng numerolohiya: kung paano malaman ang petsa ng kamatayan Pinoprotektahan ng bituin ng Russia ang sagradong kahulugan ng simbolo ng Old Church Slavonic Runa Hyera - ang pangunahing kahulugan at interpretasyon Ano ang kahulugan ng pangalang Elizabeth, katangian at kapalaran Interpretasyon ng panaginip ni madame Hasse: interpretasyon ng mga pangarap sa pamamagitan ng mga numero