"Ang kadakilaan ng tao ay nasa kanyang kakayahang mag-isip."
Blaise Pascal.

Layunin ng aralin:

1) Pang-edukasyon- upang makilala ang mga mag-aaral na may mga homogenous na equation, isaalang-alang ang mga pamamaraan para sa kanilang solusyon, mag-ambag sa pagbuo ng mga kasanayan sa paglutas ng mga naunang pinag-aralan na mga uri ng trigonometric equation.

2) Nagpapaunlad- upang mabuo ang malikhaing aktibidad ng mga mag-aaral, ang kanilang aktibidad na nagbibigay-malay, lohikal na pag-iisip, memorya, ang kakayahang magtrabaho sa isang sitwasyon ng problema, upang makamit ang kakayahang tama, pare-pareho, makatwirang ipahayag ang kanilang mga iniisip, palawakin ang mga abot-tanaw ng mga mag-aaral, at itaas ang antas ng kanilang kultura sa matematika.

3) Pang-edukasyon- upang linangin ang pagnanais para sa pagpapabuti ng sarili, pagsusumikap, upang mabuo ang kakayahang tama at tumpak na maisagawa ang mga tala sa matematika, upang linangin ang aktibidad, upang itaguyod ang pagpapasigla ng interes sa matematika.

Uri ng aralin: pinagsama-sama.

Kagamitan:

1. Punch card para sa anim na estudyante.
2. Mga card para sa independiyente at indibidwal na gawain ng mga mag-aaral.
3. Ang ibig sabihin ay "Paglutas ng mga trigonometric equation", "Numerical unit circle".
4. Mga Talaan ng Nakuryenteng Trigonometry.
5. Paglalahad ng aralin (Annex 1).

Sa panahon ng mga klase

1. Yugto ng organisasyon (2 minuto)

Pagbati sa isa't isa; pagsuri sa kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin ( lugar ng trabaho, hitsura); organisasyon ng atensyon.

Ipinapaalam ng guro sa mga mag-aaral ang tungkol sa paksa ng aralin, mga layunin (slide 2) at ipinapaliwanag na sa panahon ng aralin ang mga handout sa mga mesa ay gagamitin.

2. Pagsusuri ng teoretikal na materyal (15 minuto)

Mga Gawain sa Punch Card(6 na tao) . Oras ng pagtatrabaho gamit ang mga punched card - 10 min (Appendix 2)

Matapos makumpleto ang mga takdang-aralin, matututunan ng mga mag-aaral kung saan ginagamit ang mga kalkulasyon ng trigonometriko. Ang mga sumusunod na sagot ay nakuha: triangulation (isang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyong sukatin ang mga distansya sa mga kalapit na bituin sa astronomy), acoustics, ultrasound, tomography, geodesy, cryptography.

(slide 5)

Pangharap na poll.

1. Anong mga equation ang tinatawag na trigonometric?
2. Anong mga uri ng trigonometric equation ang alam mo?
3. Anong mga equation ang tinatawag na pinakasimpleng trigonometric equation?
4. Anong mga equation ang tinatawag na square trigonometric equation?
5. Bumuo ng kahulugan ng arcsine ng bilang a.
6. Bumuo ng kahulugan ng inverse cosine ng bilang a.
7. Bumuo ng kahulugan ng arctangent ng bilang a.
8. Bumuo ng kahulugan ng arc cotangent ng numero a.

Laro "Hulaan ang Cipher Word"

Minsang sinabi ni Blaise Pascal na ang matematika ay isang agham na napakaseryoso kaya hindi dapat palampasin ng isang tao ang pagkakataong gawin itong mas nakakaaliw. Kaya iminumungkahi kong maglaro tayo. Matapos malutas ang mga halimbawa, tukuyin ang pagkakasunud-sunod ng mga numero kung saan binubuo ang cipher na salita. Sa Latin ang salitang ito ay nangangahulugang "sine". (slide 3)

2) arc tg (-√3)

4) tg (arc cos (1/2))

5) tg (arc ctg √3)

Sagot: "Baluktot"

Absent-minded mathematician game»

Ang mga gawain para sa oral na gawain ay inaasahang sa screen:

Suriin kung ang mga equation ay nalutas nang tama.(lumalabas ang tamang sagot sa slide pagkatapos ng sagot ng mag-aaral). (slide 4)

Pagsusuri ng takdang-aralin.

Itinatag ng guro ang kawastuhan at kamalayan ng pagkumpleto ng takdang-aralin ng lahat ng mga mag-aaral; kinikilala ang mga gaps ng kaalaman; nagpapabuti ng kaalaman, kasanayan at kakayahan ng mga mag-aaral sa larangan ng paglutas ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

1 equation. Ang mag-aaral ay nagkomento sa solusyon sa equation, ang mga linya nito ay makikita sa slide sa pagkakasunud-sunod ng komentaryo.) (slide 6)

√3tg2x = 1;

tg2x = 1 / √3;

2x = arctan 1 / √3 + πn, n ∈Z.

2x = π / 6 + πn, n ∈Z.

x = π / 12 + π / 2 n, n ∈Z.

2 equation. Solusyon s isinulat ng mga mag-aaral sa pisara.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Pag-update ng bagong kaalaman (3 minuto)

Ang mga mag-aaral, sa kahilingan ng guro, ay naaalala ang mga paraan upang malutas ang mga equation ng trigonometriko. Pinipili nila ang mga equation na alam na nila kung paano lutasin, pangalanan ang paraan upang malutas ang equation at ang resulta . Ang mga sagot ay makikita sa slide. (slide 7) .

Ipinapakilala ang isang bagong variable:

#1. 2sin 2 x - 7sinx + 3 = 0.

Hayaan ang sinx = t, kung gayon:

2t 2 - 7t + 3 = 0.

Factorization:

№2. 3sinx cos4x - cos4x = 0;

cos4x (3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 o 3 sinx - 1 = 0; ...

No. 3. 2 sinx - 3 cosx = 0,

No. 4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Guro: Hindi mo pa malulutas ang huling dalawang uri ng mga equation. Pareho silang magkauri. Hindi sila maaaring bawasan sa isang equation para sa mga function na sinx o cosx. Tinatawag homogenous na trigonometriko equation. Ngunit ang una lamang - homogenous equation ng unang degree, at ang pangalawa ay isang homogenous na equation ng pangalawang degree. Ngayon, sa aralin, makikilala mo ang mga naturang equation at matututunan mo kung paano lutasin ang mga ito.

4. Pagpapaliwanag ng bagong materyal (25 minuto)

Ang guro ay nagbibigay sa mga mag-aaral ng mga kahulugan ng homogenous na trigonometric equation, nagpapakilala ng mga paraan upang malutas ang mga ito.

Kahulugan. Isang equation ng form na a sinx + b cosx = 0, kung saan ang a ≠ 0, b ≠ 0 ay tinatawag homogenous na trigonometric equation ng unang degree.(slide 8)

Ang isang halimbawa ng naturang equation ay Equation # 3. Isulat natin pangkalahatang anyo equation at pag-aralan ito.

at sinx + b cosx = 0.

Kung cosx = 0, kung gayon sinx = 0.

- Maaari bang lumabas ang ganoong sitwasyon?

- Hindi. Nakakuha kami ng kontradiksyon sa pangunahing trigonometric identity.

Kaya, cosx ≠ 0. Hatiin natin sa term sa cosx:

isang tgx + b = 0

tgx = –b / a- ang pinakasimpleng trigonometric equation.

Output: homogenous trigonometriko equation Ang unang antas ay nalulutas sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cosx (sinx).

Halimbawa: 2 sinx - 3 cosx = 0,

kasi cosx ≠ 0, pagkatapos

tgx = 3/2 ;

x = arctan (3/2) + πn, n ∈Z.

Kahulugan. Isang equation ng form na a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, kung saan ang a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 ay tinatawag trigonometric equation ng pangalawang degree. (slide 8)

Ang isang halimbawa ng naturang equation ay Equation # 4. Isulat natin ang pangkalahatang anyo ng equation at suriin ito.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Kung cosx = 0, kung gayon sinx = 0.

Muli kaming nakakuha ng kontradiksyon sa pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan.

Kaya, cosx ≠ 0. Hatiin natin sa term sa cos 2 x:

at ang tg 2 x + b tgx + c = 0 ay isang equation na bumababa sa isang parisukat.

Konklusyon: Tungkol sa Ang mga homogenous na trigonometric na equation ng pangalawang degree ay nalulutas sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa cos 2 x (sin 2 x).

Halimbawa: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

kasi cos 2 x ≠ 0, kung gayon

3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (Anyayahan ang mag-aaral na pumunta sa pisara at kumpletuhin ang equation nang mag-isa).

Kapalit: tgx = y. 3y 2 - 4 y + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 o y 2 = 1/3

tgx = 1 o tgx = 1/3

x = arctan (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π / 4 + πn, n ∈Z.

5. Yugto ng pagsuri sa pagkaunawa ng mga mag-aaral sa bagong materyal (1 min.)

Piliin ang redundant equation:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx - cosx = 0.

(slide 9)

6. Pag-secure ng bagong materyal (24 min).

Ang mga mag-aaral, kasama ang mga tumutugon sa pisara, ay nilulutas ang mga equation sa bagong materyal... Ang mga gawain ay nakasulat sa isang slide sa anyo ng isang talahanayan. Kapag nilulutas ang isang equation, bubukas ang kaukulang bahagi ng larawan sa slide. Bilang resulta ng katuparan ng 4 na equation, isang larawan ng isang mathematician ang nagbubukas sa harap ng mga mag-aaral, na may malaking epekto sa pag-unlad ng trigonometrya. (Kinikilala ng mga mag-aaral ang larawan ni François Vieta - ang mahusay na matematiko na gumawa ng malaking kontribusyon sa trigonometrya, natuklasan ang pag-aari ng mga ugat ng pinababang quadratic equation at nakikibahagi sa cryptography) ... (slide 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

kasi cosx ≠ 0, pagkatapos

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1 / √3;

x = arctan (–1 / √3) + πn, n ∈Z.

x = –π / 6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

kasi cos 2 x ≠ 0, pagkatapos ay tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0

Kapalit: tgx = y.

y 2 - 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 o y 2 = 3

tgx = 7 o tgx = 3

x = arctg7 + πn, n ∈Z

x = arctg3 + πn, n ∈Z

3) kasalanan 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

kasi cos 2 2x ≠ 0, pagkatapos ay 3tg 2 2x - 6tg2x +5 = 0

Kapalit: tg2x = y.

3y 2 - 6y + 5 = 0

D = 36 - 20 = 16

y 1 = 5 o y 2 = 1

tg2x = 5 o tg2x = 1

2x = arctg5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π / 2 n, n ∈Z

2х = arctg1 + πn, n ∈Z

х = π / 8 + π / 2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin (π-x) cos (2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x = 0.

kasi cos 2 x ≠ 0, pagkatapos ay 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Kapalit: tg x = y.

5y 2 + 4y - 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 o y 2 = –1

tg x = 1/5 o tg x = –1

x = arctg1 / 5 + πn, n ∈Z

х = arctan (–1) + πn, n ∈Z

х = –π / 4 + πn, n ∈Z

Bukod pa rito (sa card):

Lutasin ang equation at, pagpili ng isa sa apat na iminungkahi, hulaan ang pangalan ng mathematician na nagmula sa mga formula ng pagbabawas:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

Mga pagpipilian sa sagot:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π / 2 + πn, n ∈Z - P. Chebyshev

х = arctan 12.5 + 2πn, n ∈Z х = –3π / 4 + πn, n ∈Z - Euclid

х = arctan 5 + πn, n ∈Z х = –π / 3 + πn, n ∈Z - Sofya Kovalevskaya

х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π / 4 + πn, n ∈Z - Leonard Euler

Tamang sagot: Leonard Euler.

7. Iba't ibang malayang gawain (8 min.)

Ang mahusay na matematiko at pilosopo higit sa 2500 taon na ang nakalilipas ay nagmungkahi ng isang paraan upang bumuo ng mga kakayahan sa pag-iisip. "Ang pag-iisip ay nagsisimula sa sorpresa," sabi niya. Kami ay kumbinsido sa kawastuhan ng mga salitang ito ngayon. Matapos makumpleto ang independiyenteng gawain sa 2 pagpipilian, maipapakita mo kung paano mo pinagkadalubhasaan ang materyal at alamin ang pangalan ng mathematician na ito. Para sa pansariling gawain gamitin ang mga handout sa iyong mga mesa. Maaari kang pumili ng isa sa tatlong iminungkahing equation. Ngunit tandaan na ang paglutas ng equation na katumbas ng dilaw, maaari ka lamang makakuha ng "3" sa pamamagitan ng paglutas ng equation na katumbas ng berde - "4", pula - "5". (Appendix 3)

Alinmang antas ng kahirapan ang piliin ng mga mag-aaral, pagkatapos tamang desisyon ng equation, ang unang bersyon ay nakakakuha ng salitang "ARIST", ang pangalawa - "HOTEL". Sa slide makukuha mo ang salitang: "ARIST-HOTEL". (slide 11)

Ang mga leaflet na may independiyenteng gawain ay isinumite para sa pagpapatunay. (Appendix 4)

8. Pagre-record ng takdang-aralin (1 min)

D / z: §7.17. Lumikha at lutasin ang 2 homogeneous equation ng unang degree at 1 homogeneous equation ng pangalawang degree (gamit ang Vieta's theorem para sa compilation). (slide 12)

9. Pagbubuod ng aralin, pagbibigay ng mga marka (2 minuto)

Ang guro ay muling binibigyang pansin ang mga uri ng mga equation at ang mga teoretikal na katotohanan na naalala sa aralin, ay nagsasalita tungkol sa pangangailangan na matutunan ang mga ito.

Sumasagot ang mga mag-aaral sa mga tanong:

1. Anong uri ng trigonometric equation ang nakilala natin?
2. Paano nalulutas ang mga equation na ito?

Ang guro ang pinaka-nota matagumpay na gawain sa aralin ng mga indibidwal na mag-aaral, nagbibigay ng mga marka.

Nonlinear equation sa dalawang hindi alam

Kahulugan 1. Hayaan si A set ng mga pares ng mga numero (x; y). Sabi nila sa set A binigay numeric function z sa dalawang variable x at y, kung ang isang panuntunan ay tinukoy kung saan ang isang tiyak na numero ay itinalaga sa bawat pares ng mga numero mula sa set A.

Ang pagtukoy ng numeric function na z sa dalawang variable na x at y ay madalas magpakilala Kaya:

saan f (x , y) - anumang function maliban sa isang function

f (x , y) = palakol + ni + c ,

kung saan ang a, b, c ay binibigyan ng mga numero.

Kahulugan 3. Sa pamamagitan ng paglutas ng equation (2) tumawag sa isang pares ng mga numero ( x; y) kung saan ang formula (2) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation

Dahil ang parisukat ng anumang numero ay di-negatibo, sumusunod ito mula sa formula (4) na ang hindi alam na x at y ay nakakatugon sa sistema ng mga equation.

ang solusyon nito ay isang pares ng mga numero (6; 3).

Sagot: (6; 3)

Halimbawa 2. Lutasin ang equation

Samakatuwid, ang solusyon sa equation (6) ay walang katapusang bilang ng mga pares ng mga numero ng uri

(1 + y ; y) ,

kung saan ang y ay anumang numero.

linear

Kahulugan 4. Sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation

tumawag sa isang pares ng mga numero ( x; y), kapag ipinalit sa bawat isa sa mga equation ng sistemang ito, ang tamang pagkakapantay-pantay ay makukuha.

Ang mga sistema ng dalawang equation, ang isa ay linear, ay may anyo

g(x , y)

Halimbawa 4. Lutasin ang sistema ng mga equation

Solusyon . Ipahayag natin ang hindi kilalang y mula sa unang equation ng system (7) hanggang sa hindi kilalang x at palitan ang resultang expression sa pangalawang equation ng system:

Paglutas ng equation

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Kaya naman,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Mga sistema ng dalawang equation, ang isa ay homogenous

Ang mga sistema ng dalawang equation, na ang isa ay homogenous, ay may anyo

kung saan ang a, b, c ay binibigyan ng mga numero, at g(x , y) Ay isang function ng dalawang variable na x at y.

Halimbawa 6. Lutasin ang sistema ng mga equation

Solusyon . Lutasin ang homogenous equation

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

isinasaalang-alang ito bilang isang quadratic equation na may paggalang sa hindi kilalang x:

.

Sa kaso kung kailan x = - 5y, mula sa pangalawang equation ng system (11) makuha natin ang equation

5y 2 = - 20 ,

na walang ugat.

Sa kaso kung kailan

mula sa pangalawang equation ng system (11) makuha natin ang equation

,

pinag-ugatan ng mga numero y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Sa paghahanap ng katumbas na x value para sa bawat isa sa mga y value na ito, nakakakuha tayo ng dalawang solusyon sa system: (- 2; 3), (2; - 3).

Sagot: (- 2; 3), (2; - 3)

Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga equation ng iba pang mga uri

Halimbawa 8. Lutasin ang sistema ng mga equation (MIPT)

Solusyon . Ipinakilala namin ang mga bagong hindi kilalang u at v, na ipinahayag sa mga tuntunin ng x at y ng mga formula:

Upang muling isulat ang system (12) sa mga tuntunin ng mga bagong hindi alam, ipinapahayag muna namin ang hindi alam na x at y sa mga tuntunin ng u at v. Ito ay sumusunod mula sa sistema (13) na

Lutasin natin ang linear system (14), hindi kasama ang variable x mula sa pangalawang equation ng system na ito. Para sa layuning ito, ginagawa namin ang mga sumusunod na pagbabago sa system (14):

• iiwan natin ang unang equation ng system na hindi nagbabago;
• mula sa pangalawang equation ay ibawas natin ang unang equation at palitan ang pangalawang equation ng system ng nakuhang pagkakaiba.

Bilang isang resulta, ang sistema (14) ay binago sa isang katumbas na sistema

mula sa kung saan namin mahanap

Gamit ang mga formula (13) at (15), muling isinusulat namin ang orihinal na sistema (12) sa form

Para sa system (16), ang unang equation ay linear, kaya maaari nating ipahayag mula dito ang hindi kilalang u sa pamamagitan ng hindi kilalang v at palitan ang expression na ito sa pangalawang equation ng system.

Ngayon ay tatalakayin natin ang mga homogenous na trigonometric equation. Una, alamin natin ang terminolohiya: ano ang isang homogenous na trigonometric equation. Ito ay may mga sumusunod na katangian:

1. dapat itong maglaman ng ilang termino;
2. lahat ng mga termino ay dapat na may parehong antas;
3. lahat ng mga function na kasama sa isang homogenous na trigonometriko na pagkakakilanlan ay dapat na may parehong argumento.

Algorithm para sa paglutas

Iisa-isa natin ang mga tuntunin

At kung ang lahat ay malinaw sa unang punto, kung gayon ito ay nagkakahalaga ng pakikipag-usap tungkol sa pangalawa nang mas detalyado. Ano ang ibig sabihin ng parehong antas ng mga termino? Tingnan natin ang unang gawain:

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Ang unang termino sa equation na ito ay 3cosx 3 \ cos x. Mangyaring tandaan na mayroon lamang isang trigonometric function dito - cosx\ cos x - at wala nang iba pa trigonometriko function ay wala rito, samakatuwid ang antas ng terminong ito ay 1. Pareho sa pangalawa - 5sinx 5 \ sin x - tanging sine ang naroroon dito, ibig sabihin, ang antas ng terminong ito ay katumbas din ng isa. Kaya, bago sa amin ay isang pagkakakilanlan na binubuo ng dalawang elemento, ang bawat isa ay naglalaman ng isang trigonometric function, at sa parehong oras ay isa lamang. Ito ay isang equation ng unang antas.

Lumipat sa pangalawang expression:

4kasalanan2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Ang unang miyembro ng construct na ito ay 4kasalanan2 x 4 ((\ kasalanan) ^ (2)) x.

Maaari na nating isulat ang sumusunod na solusyon:

kasalanan2 x = sinx⋅sinx

((\ sin) ^ (2)) x = \ sin x \ cdot \ sin x

Sa madaling salita, ang unang termino ay naglalaman ng dalawang trigonometric function, iyon ay, ang degree nito ay dalawa. Harapin natin ang pangalawang elemento - kasalanan2x\ kasalanan 2x. Tandaan natin ang formula na ito - ang double angle formula:

sin2x = 2sinx⋅cosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cdot \ cos x

At muli, sa resultang formula, mayroon kaming dalawang trigonometric function - sine at cosine. Kaya, ang exponential value ng term na ito ay dalawa rin.

Dumaan kami sa ikatlong elemento - 3. Mula sa kurso ng matematika sa mataas na paaralan, naaalala namin na ang anumang numero ay maaaring i-multiply sa 1, at isinulat namin:

˜ 3=3⋅1

At ang yunit na gumagamit ng pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:

1=kasalanan2 x⋅ cos2 x

1 = ((\ kasalanan) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x

Samakatuwid, maaari nating muling isulat ang 3 tulad ng sumusunod:

3=3(kasalanan2 x⋅ cos2 x)=3kasalanan2 x + 3 cos2 x

3 = 3 \ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x \ right) = 3 ((\ sin) ^ (2)) x + 3 (( \ cos) ^ (2)) x

Kaya, ang aming termino 3 ay nahati sa dalawang elemento, ang bawat isa ay homogenous at may pangalawang antas. Ang sine sa unang termino ay nangyayari nang dalawang beses, ang cosine sa pangalawa ay dalawang beses din. Kaya, ang 3 ay maaari ding kinakatawan bilang isang term na may power exponent na dalawa.

Ang ikatlong expression ay pareho:

kasalanan3 x + kasalanan2 xcosx = 2 cos3 x

Tingnan natin. Ang unang termino ay kasalanan3 x((\ sin) ^ (3)) x ay isang trigonometric function ng ikatlong degree. Ang pangalawang elemento ay kasalanan2 xcosx((\ kasalanan) ^ (2)) x \ cos x.

kasalanan2 Ang ((\ sin) ^ (2)) ay isang link na may power value na dalawa, na pinarami ng cosx\ cos x ang unang termino. Sa kabuuan, ang ikatlong termino ay mayroon ding power value na tatlo. Sa wakas, may isa pang link sa kanan - 2cos3 x Ang 2 ((\ cos) ^ (3)) x ay isang ikatlong antas na elemento. Kaya, mayroon kaming bago sa amin ng isang homogenous na trigonometric equation ng ikatlong antas.

Isinulat namin ang tatlong pagkakakilanlan ng magkakaibang antas. Pansinin muli ang pangalawang ekspresyon. Sa orihinal na notasyon, may argumento ang isa sa mga miyembro 2x 2x. Napipilitan tayong alisin ang argumentong ito sa pamamagitan ng pagbabago nito ayon sa sinus ng isang double angle formula, dahil ang lahat ng mga function na kasama sa ating pagkakakilanlan ay dapat na may parehong argumento. At ito ay isang kinakailangan para sa homogenous na trigonometric equation.

Ginagamit namin ang formula ng pangunahing trigonometric identity at isulat ang panghuling solusyon

Naisip namin ang mga tuntunin, lumipat tayo sa solusyon. Anuman ang exponential exponent, ang solusyon ng mga pagkakapantay-pantay ng ganitong uri ay palaging ginagawa sa dalawang hakbang:

1) patunayan iyon

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0. Para dito, sapat na upang maalala ang formula ng pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometric (kasalanan2 x⋅ cos2 x = 1)\ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x = 1 \ right) at palitan sa formula na ito cosx = 0\ cos x = 0. Nakukuha namin ang sumusunod na expression:

kasalanan2 x = 1sinx = ± 1

\ begin (align) & ((\ sin) ^ (2)) x = 1 \\ & \ sin x = \ pm 1 \\\ end (align)

Ang pagpapalit sa mga nakuhang halaga, ibig sabihin, sa halip na cosx\ cos x ay zero, at sa halip na sinx\ sin x - 1 o -1, sa orihinal na expression, nakakakuha tayo ng di-wastong pagkakapantay-pantay ng numero. Ito ang katwiran na

cosx ≠ 0

2) lohikal na sumusunod ang pangalawang hakbang mula sa una. Sa abot ng

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0, hinahati namin ang magkabilang panig ng konstruksiyon sa pamamagitan ng cosn x((\ cos) ^ (n)) x, saan n n ay ang pinaka-power exponent ng isang homogenous na trigonometric equation. Ano ang ibinibigay nito sa atin:

\ [\ simulan (array) ((35) (l))

sinxcosx= tgxcosxcosx=1

\ begin (align) & \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \\ & \ frac (\ cos x) (\ cos x) = 1 \\\ end (align) \\ () \\ \ end (array) \]

Dahil dito, ang aming masalimuot na paunang konstruksyon ay nabawasan sa equation n n-power na may paggalang sa tangent, ang solusyon kung saan ay madaling isulat gamit ang variable na pagbabago. Iyan ang buong algorithm. Tingnan natin kung paano ito gumagana sa pagsasanay.

Nalutas namin ang mga tunay na problema

Problema numero 1

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Nalaman na namin na ito ay isang homogenous na trigonometric equation na may power exponent na katumbas ng isa. Samakatuwid, una sa lahat, alamin natin iyon cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Ipagpalagay ang kabaligtaran, na

cosx = 0 → sinx = ± 1

\ cos x = 0 \ to \ sin x = \ pm 1.

Ang pagpapalit ng nagresultang halaga sa aming expression, nakukuha namin:

3⋅0+5⋅(± 1) = 0± 5 = 0

\ begin (align) & 3 \ cdot 0 + 5 \ cdot \ left (\ pm 1 \ right) = 0 \\ & \ pm 5 = 0 \\\ end (align)

Batay dito, masasabi natin iyan cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Hatiin ang aming equation sa pamamagitan ng cosx\ cos x, dahil ang buong expression natin ay may power value na isa. Nakukuha namin:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3 + 5tgx = 0tgx = - 3 5

\ begin (align) & 3 \ left (\ frac (\ cos x) (\ cos x) \ right) +5 \ left (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ right) = 0 \\ & 3 + 5tgx = 0 \\ & tgx = - \ frac (3) (5) \\\ end (align)

Ito ay hindi isang halaga ng talahanayan, kaya ang tugon ay isasama arctgx arctgx:

x = arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z

x = arctg \ left (- \ frac (3) (5) \ right) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z

Sa abot ng arctg Ang arctg arctg ay isang kakaibang function, maaari nating alisin ang "minus" mula sa argumento at ilagay ito bago ang arctg. Nakukuha namin ang huling sagot:

x = −arctg 3 5 + π n, n∈Z

x = -arctg \ frac (3) (5) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ sa Z

Problema numero 2

4kasalanan2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Tulad ng naaalala mo, bago mo simulan ang paglutas nito, kailangan mong gumawa ng ilang pagbabago. Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo:

4kasalanan2 x + 2sinxcosx − 3 (kasalanan2 x + cos2 x)=0 4kasalanan2 x + 2sinxcosx − 3 kasalanan2 x − 3 cos2 x = 0kasalanan2 x + 2sinxcosx − 3 cos2 x = 0

\ begin (align) & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 \ left (((\ sin) ^ (2)) x + ((\ cos) ^ ( 2 )) x \ kanan) = 0 \\ & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ sin) ^ (2)) x-3 ((\ cos ) ^ (2)) x = 0 \\ & ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\\ tapusin (align)

Nakakuha kami ng isang istraktura na binubuo ng tatlong elemento. Sa unang termino nakita natin kasalanan2 ((\ sin) ^ (2)), ibig sabihin, ang exponential value nito ay dalawa. Sa ikalawang termino, nakita natin sinx\ sin x at cosx\ cos x - muli mayroong dalawang mga pag-andar, sila ay pinarami, kaya ang kabuuang kapangyarihan ay muli dalawa. Sa ikatlong link ay makikita natin cos2 x((\ cos) ^ (2)) x - katulad ng unang value.

Patunayan natin yan cosx = 0\ cos x = 0 ay hindi isang solusyon sa konstruksiyon na ito. Upang gawin ito, ipagpalagay ang kabaligtaran:

\ [\ simulan (array) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \\ pm 1 \\ 1 + 2 \ cdot \ left (\ pm 1 \ right) \ cdot 0-3 \ cdot 0 = 0 \\ 1 + 0-0 = 0 \ \ 1 = 0 \\\ dulo (array) \]

Napatunayan na natin yan cosx = 0\ cos x = 0 ay hindi maaaring maging isang solusyon. Dumaan kami sa pangalawang hakbang - hinati namin ang aming buong expression sa cos2 x((\ cos) ^ (2)) x. Bakit squared? Dahil ang exponent ng homogenous equation na ito ay dalawa:

kasalanan2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 t g2 x + 2tgx − 3 = 0

\ begin (align) & \ frac (((\ sin) ^ (2)) x) (((\ cos) ^ (2)) x) +2 \ frac (\ sin x \ cos x) (((\ cos) ^ (2)) x) -3 = 0 \\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 = 0 \\\ dulo (align)

Posible bang lutasin ang expression na ito gamit ang discriminant? Oo naman. Ngunit ipinapanukala kong tandaan ang teorama, converse theorem Vieta, at nakuha namin na ang polynomial na ito ay maaaring katawanin sa anyo ng dalawang simpleng polynomial, katulad:

(tgx + 3) (tgx − 1) = 0tgx = −3 → x = −arctg3 + π n, n∈Ztgx = 1 → x = π 4 + π k, k∈Z

\ begin (align) & \ left (tgx + 3 \ right) \ left (tgx-1 \ right) = 0 \\ & tgx = -3 \ to x = -arctg3 + \ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text () n, n \ sa Z \\ & tgx = 1 \ to x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ sa Z \\\ end (align)

Maraming mga mag-aaral ang nagtatanong kung ito ay nagkakahalaga ng pagsulat ng hiwalay na mga koepisyent para sa bawat grupo ng mga solusyon sa mga pagkakakilanlan o hindi na abala at isulat ang pareho sa lahat ng dako. Sa personal, sa palagay ko ay mas mahusay at mas maaasahan na gumamit ng iba't ibang mga titik, upang sa kaso kapag pumasok ka sa isang seryosong teknikal na unibersidad na may karagdagang mga pagsusulit sa matematika, ang mga tagasuri ay hindi nakakahanap ng kasalanan sa sagot.

Problema numero 3

kasalanan3 x + kasalanan2 xcosx = 2 cos3 x

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x = 2 ((\ cos) ^ (3)) x

Alam na natin na ito ay isang homogenous na trigonometric equation ng ikatlong antas, walang mga espesyal na formula ang kailangan, at ang kailangan lang sa atin ay ilipat ang termino 2cos3 x 2 ((\ cos) ^ (3)) x ang natitira. Sinusulat namin muli:

kasalanan3 x + kasalanan2 xcosx − 2 cos3 x = 0

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x-2 ((\ cos) ^ (3)) x = 0

Nakikita namin na ang bawat elemento ay naglalaman ng tatlong trigonometric function, kaya ang equation na ito ay may power value na katumbas ng tatlo. Solusyonan natin ito. Una sa lahat, kailangan nating patunayan iyon cosx = 0\ cos x = 0 ay hindi isang ugat:

\ [\ simulan (array) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\\ end (array) \]

Isaksak natin ang mga numerong ito sa aming orihinal na konstruksyon:

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 = 0± 1 = 0

\ begin (align) & ((\ left (\ pm 1 \ right)) ^ (3)) + 1 \ cdot 0-2 \ cdot 0 = 0 \\ & \ pm 1 + 0-0 = 0 \\ & \ pm 1 = 0 \\\ dulo (align)

Kaya naman, cosx = 0\ cos x = 0 ay hindi isang solusyon. Napatunayan na natin yan cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Ngayong napatunayan na natin ito, hinahati natin ang ating orihinal na equation sa pamamagitan ng cos3 x((\ cos) ^ (3)) x. Bakit naka-cubed? Dahil napatunayan lang namin na ang aming orihinal na equation ay nasa ikatlong antas:

kasalanan3 xcos3 x+kasalanan2 xcosxcos3 x−2=0 t g3 x + t g2 x − 2 = 0

\ begin (align) & \ frac (((\ sin) ^ (3)) x) (((\ cos) ^ (3)) x) + \ frac (((\ sin) ^ (2)) x \ cos x) (((\ cos) ^ (3)) x) -2 = 0 \\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 = 0 \\\ dulo (align)

Magpakilala tayo ng bagong variable:

tgx = t

Muli naming isinulat ang konstruksiyon:

t3 +t2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = 0

Bago tayo cubic equation... Paano ito lutasin? Noong una, noong kino-compile ko pa lang ang video tutorial na ito, nagplano akong paunang pag-usapan ang tungkol sa factoring polynomials at iba pang mga diskarte. Ngunit sa kasong ito, ang lahat ay mas simple. Tingnan mo, ang aming pinababang pagkakakilanlan, na may terminong may pinakamataas na antas, ay 1. Bilang karagdagan, ang lahat ng mga coefficient ay mga integer. Nangangahulugan ito na maaari nating gamitin ang corollary ng theorem ni Bezout, na nagsasaad na ang lahat ng mga ugat ay mga divisors ng numero -2, iyon ay, ang libreng termino.

Ang tanong ay lumitaw: ano ang dibisyon ng -2. Dahil ang 2 ay isang pangunahing numero, walang napakaraming mga pagpipilian. Ito ay maaaring ang mga sumusunod na numero: 1; 2; -1; -2. Ang mga negatibong ugat ay nahuhulog kaagad. Bakit? Dahil pareho silang mas malaki sa 0 sa modulus, samakatuwid, t3 ((t) ^ (3)) ay magiging mas malaki sa modulus kaysa t2 ((t) ^ (2)). At dahil ang cube ay isang kakaibang function, samakatuwid ang numero sa cube ay magiging negatibo, at t2 ((t) ^ (2)) - positibo, at ang buong construction na ito, para sa t = −1 t = -1 at t = −2 t = -2, ay hindi hihigit sa 0. Ibawas ang -2 dito at kumuha ng isang numero na tiyak na mas mababa sa 0. 1 at 2 na lang ang natitira. Palitan natin ang bawat isa sa mga numerong ito:

˜ t = 1 → 1 + 1−2 = 0 → 0 = 0

˜t = 1 \ to \ text () 1 + 1-2 = 0 \ to 0 = 0

Nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Kaya naman, t = 1 Ang t = 1 ay isang ugat.

t = 2 → 8 + 4−2 = 0 → 10 ≠ 0

t = 2 \ hanggang 8 + 4-2 = 0 \ hanggang 10 \ ne 0

t = 2 Ang t = 2 ay hindi isang ugat.

Ayon sa corollary at ang parehong Bezout theorem, anumang polynomial na ang ugat ay x0 ((x) _ (0)), kumakatawan sa anyo:

Q (x) = (x = x0 ) P (x)

Q (x) = (x = ((x) _ (0))) P (x)

Sa aming kaso, sa papel x x ang variable t t, at sa papel x0 ((x) _ (0)) - ugat na katumbas ng 1. Nakukuha namin ang:

t3 +t2 −2 = (t − 1) ⋅P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = (t-1) \ cdot P (t)

Paano makahanap ng polynomial P (t) P \ kaliwa (t \ kanan)? Malinaw, kailangan mong gawin ang mga sumusunod:

P (t) = t3 +t2 −2 t − 1

P (t) = \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

Pinapalitan namin:

t3 +t2 + 0⋅t − 2t − 1=t2 + 2t + 2

\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \ cdot t-2) (t-1) = ((t) ^ (2)) + 2t + 2

Kaya, ang aming orihinal na polynomial split nang walang natitira. Kaya, maaari naming muling isulat ang aming orihinal na pagkakapantay-pantay bilang:

(t − 1) ( t2 + 2t + 2) = 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) = 0

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga salik ay katumbas ng zero. Isinaalang-alang na natin ang unang kadahilanan. Tingnan natin ang pangalawa:

t2 + 2t + 2 = 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 = 0

Marahil ay napagtanto na ng mga may karanasang estudyante itong disenyo ay walang ugat, ngunit kalkulahin pa rin natin ang diskriminasyon.

D = 4−4⋅2 = 4−8 = −4

D = 4-4 \ cdot 2 = 4-8 = -4

Ang discriminant ay mas mababa sa 0, samakatuwid, ang expression ay walang mga ugat. Sa kabuuan, ang malaking konstruksyon ay nabawasan sa karaniwang pagkakapantay-pantay:

\ [\ simulan (array) ((35) (l))

t = \ text () 1 \\ tgx = \ text () 1 \\ x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ sa Z \\\ end (array) \]

Sa konklusyon, nais kong magdagdag ng ilang mga komento sa huling problema:

1. kung ang kondisyon ay palaging masisiyahan cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0, at sulit ba itong suriin. Siyempre, hindi palagi. Sa mga kaso kung saan cosx = 0\ cos x = 0 ay ang solusyon sa aming pagkakapantay-pantay, dapat mong alisin ito sa mga bracket, at pagkatapos ay isang ganap na homogenous na equation ang mananatili sa mga bracket.
2. ano ang dibisyon ng isang polynomial sa isang polynomial. Sa katunayan, karamihan sa mga paaralan ay hindi nag-aaral nito, at kapag nakita ng mga estudyante ang gayong istraktura sa unang pagkakataon, nakakaranas sila ng bahagyang pagkabigla. Ngunit, sa katunayan, ito ay simple at magandang pagtanggap, na lubos na nagpapadali sa solusyon ng mga equation mas mataas na antas... Siyempre, isang hiwalay na video tutorial ang ilalaan sa kanya, na ilalathala ko sa malapit na hinaharap.

Pangunahing puntos

Ang mga homogenous na trigonometric equation ay isang paboritong paksa sa lahat ng uri ng gumaganang kontrol... Ang mga ito ay nalutas nang napakasimple - sapat na upang magsanay nang isang beses. Upang gawing malinaw kung ano ang pinag-uusapan natin, magpapakilala tayo ng bagong kahulugan.

Ang isang homogenous na trigonometric equation ay isa kung saan ang bawat nonzero na termino ay binubuo ng parehong bilang ng mga trigonometriko na kadahilanan. Maaari itong maging mga sine, cosine o kanilang mga kumbinasyon - ang paraan ng solusyon ay palaging pareho.

Ang antas ng isang homogenous na trigonometric equation ay ang bilang ng mga trigonometriko na kadahilanan na kasama sa mga nonzero na termino. Mga Halimbawa:

sinx + 15 cos x = 0

\ sin x + 15 \ text (cos) x = 0 - pagkakakilanlan ng 1st degree;

2 sin2x + 5sinxcosx − 8cos2x = 0

2 \ text (sin) 2x + 5 \ sin xcosx-8 \ cos 2x = 0 - 2nd degree;

sin3x + 2sinxcos2x = 0

\ sin 3x + 2 \ sin x \ cos 2x = 0 - 3rd degree;

sinx + cosx = 1

\ sin x + \ cos x = 1 - at ang equation na ito ay hindi homogenous, dahil mayroong isa sa kanan - isang nonzero term, kung saan walang trigonometriko na mga kadahilanan;

sin2x + 2sinx − 3 = 0

Ang \ sin 2x + 2 \ sin x-3 = 0 ay isa ring inhomogeneous equation. Elemento kasalanan2x\ sin 2x - pangalawang antas (dahil maaari mong katawanin

sin2x = 2sinxcosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x), 2sinx 2 \ sin x ang una, at ang terminong 3 ay karaniwang sero, dahil walang mga sine o cosine sa loob nito.

Pangkalahatang scheme ng solusyon

Ang scheme ng solusyon ay palaging pareho:

Kunwari na lang cosx = 0\ cos x = 0. Pagkatapos sinx = ± 1\ sin x = \ pm 1 - ito ay sumusunod mula sa pangunahing pagkakakilanlan. Kapalit sinx\ sin x at cosx\ cos x sa orihinal na expression, at kung ang resulta ay walang kapararakan (halimbawa, ang expression 5=0 5 = 0), pumunta sa pangalawang punto;

Hinahati namin ang lahat sa pamamagitan ng kapangyarihan ng cosine: cosx, cos2x, cos3x ... - depende sa halaga ng kapangyarihan ng equation. Nakukuha namin ang karaniwang pagkakapantay-pantay sa mga tangent, na matagumpay na nalutas pagkatapos palitan ang tgx = t.

tgx = tAng mga ugat na matatagpuan ang magiging sagot sa orihinal na expression.

Sa artikulong ito, titingnan natin ang isang paraan upang malutas ang mga homogenous na trigonometric equation.

Ang mga homogenous na trigonometric equation ay may parehong istraktura tulad ng mga homogenous na equation ng anumang iba pang uri. Hayaan akong ipaalala sa iyo ang isang paraan para sa paglutas ng mga homogenous na equation ng pangalawang degree:

Isaalang-alang ang mga homogenous na equation ng form

Mga natatanging katangian ng homogenous na equation:

a) lahat ng monomial ay may parehong antas,

b) ang libreng termino ay zero,

c) ang equation ay naglalaman ng mga degree na may dalawang magkaibang base.

Ang mga homogenous na equation ay nalulutas gamit ang isang katulad na algorithm.

Upang malutas ang isang equation ng ganitong uri, hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (maaaring hatiin ng o ng)

Pansin! Kapag hinahati ang kanan at kaliwang bahagi ng equation sa pamamagitan ng isang expression na naglalaman ng hindi alam, maaari kang mawalan ng mga ugat. Samakatuwid, kinakailangang suriin kung ang mga ugat ng expression kung saan hinahati natin ang magkabilang panig ng equation ay hindi ang mga ugat ng orihinal na equation.

Kung ito ay, pagkatapos ay isulat namin ang ugat na ito upang hindi namin makalimutan ang tungkol dito sa ibang pagkakataon, at pagkatapos ay hatiin namin sa expression na ito.

Sa pangkalahatan, una sa lahat, kapag nilulutas ang anumang equation sa kanang bahagi kung saan mayroong zero, kailangan mong subukang palawakin kaliwang parte multiplier equation sa isang madaling paraan... At pagkatapos ay i-equate ang bawat factor sa zero. Sa kasong ito, tiyak na hindi mawawala ang ating mga ugat.

Kaya, maingat na hatiin ang kaliwang bahagi ng equation sa isang termino ayon sa termino. Nakukuha namin:

Bawasan ang numerator at denominator ng pangalawa at pangatlong fraction:

Magpakilala tayo ng kapalit:

Nakukuha namin quadratic equation:

Lutasin natin ang quadratic equation, hanapin ang mga value, at pagkatapos ay bumalik sa orihinal na hindi alam.

Kapag nilulutas ang mga homogenous na trigonometric equation, mayroong ilang mahahalagang bagay na dapat tandaan:

1. Ang intercept ay maaaring ibahin sa parisukat ng sine at cosine gamit ang pangunahing trigonometric identity:

2. Ang sine at cosine ng isang double argument ay monomials ng pangalawang degree - ang sine ng isang double argument ay madaling ma-convert sa produkto ng sine at cosine, at ang cosine ng isang double argument - sa square ng isang sine o cosine:

Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa ng paglutas ng mga homogenous na trigonometric equation.

1 . Lutasin natin ang equation:

ito klasikong halimbawa homogenous trigonometric equation ng unang degree: ang antas ng bawat monomial ay katumbas ng isa, ang libreng term ay zero.

Bago hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng, kailangan mong suriin na ang mga ugat ng equation ay hindi ang mga ugat ng orihinal na equation. Suriin: kung, pagkatapos ay pamagat = "(! LANG: sin (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng.

Nakukuha namin:

, saan

, saan

Sagot: , saan

2. Lutasin natin ang equation:

Ito ay isang halimbawa ng isang homogenous na second degree na trigonometric equation. Naaalala namin na kung maaari naming i-factor ang kaliwang bahagi ng equation, pagkatapos ay ipinapayong gawin ito. Sa equation na ito, maaari nating alisin ang mga bracket. Gawin natin:

Solusyon ng unang equation:, kung saan

Ang pangalawang equation ay isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree. Upang malutas ito, hinati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng. Nakukuha namin:

Sagot: saan,

3. Lutasin natin ang equation:

Upang gawing "homogeneous" ang equation na ito, ibahin ito sa isang produkto, at kinakatawan ang numero 3 bilang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine:

Ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwa, palawakin ang mga bracket at ipakita ang mga katulad na termino. Nakukuha namin:

I-factor ang kaliwang bahagi at itakda ang bawat factor na katumbas ng zero:

Sagot: saan,

4 . Lutasin natin ang equation:

Nakikita namin kung ano ang maaari naming iwanan sa labas ng mga bracket. Gawin natin:

I-equate natin ang bawat factor sa zero:

Solusyon sa unang equation:

Ang pangalawang equation ng populasyon ay ang classical homogenous equation ng pangalawang degree. Ang mga ugat ng equation ay hindi ang mga ugat ng orihinal na equation, kaya hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng:

Solusyon sa unang equation:

Solusyon ng pangalawang equation.

Paksa ng aralin: "Homogeneous trigonometric equation"

(Ika-10 grado)

Target: ipakilala ang konsepto ng homogenous na trigonometric equation ng I at II degrees; bumalangkas at gumawa ng isang algorithm para sa paglutas ng mga homogenous na trigonometric equation ng I at II degrees; turuan ang mga mag-aaral na lutasin ang mga homogenous na trigonometric equation ng I at II degrees; bumuo ng kakayahang makilala ang mga pattern, gawing pangkalahatan; pasiglahin ang interes sa paksa, bumuo ng isang pakiramdam ng pagkakaisa at malusog na kompetisyon.

Uri ng aralin: aral sa pagbuo ng bagong kaalaman.

Paraan ng pagsasagawa: gumawa ng sama sama.

Kagamitan: computer, pag-install ng multimedia

Sa panahon ng mga klase

Oras ng pag-aayos

Batiin ang mga mag-aaral, pakilusin ang atensyon.

Sa aralin, ang sistema ng rating para sa pagtatasa ng kaalaman (ipinapaliwanag ng guro ang sistema para sa pagtatasa ng kaalaman, pagpuno sa sheet ng pagtatasa ng isang independiyenteng eksperto na pinili ng guro mula sa mga mag-aaral). Ang aralin ay sinamahan ng isang pagtatanghal. .

Pag-update ng mga pangunahing kaalaman.

Ang araling-bahay ay sinusuri at tinasa ng isang independiyenteng eksperto at mga consultant bago ang aralin at isang score sheet ay makumpleto.

Ibubuod ng guro ang takdang-aralin.

Guro: Patuloy naming pinag-aaralan ang paksang "Trigonometric Equation". Ngayon sa aralin ay makikilala ka namin sa isa pang uri ng trigonometric equation at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito, at samakatuwid ay uulitin namin ang aming natutunan. Kapag nilulutas ang lahat ng uri ng trigonometric equation, ang mga ito ay binabawasan sa paglutas ng pinakasimpleng trigonometriko equation.

Ang indibidwal na takdang-aralin na ginawa sa mga pangkat ay sinusuri. Depensa ng pagtatanghal na "Mga solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation"

(Ang gawain ng grupo ay tinasa ng isang independiyenteng eksperto)

Pagganyak sa pag-aaral.

Guro: kailangan nating magtrabaho sa paglutas ng crossword puzzle. Nang malutas ito, malalaman natin ang pangalan ng isang bagong uri ng mga equation, na matututunan nating lutasin ngayon sa aralin.

Ang mga tanong ay nakalagay sa pisara. Hulaan ng mga mag-aaral, ang independyenteng tagasuri ay naglalagay ng mga puntos sa sheet ng pagtatasa para sa mga tumutugon na mag-aaral.

Nang malutas ang crossword puzzle, babasahin ng mga lalaki ang salitang "homogeneous".

Assimilation ng bagong kaalaman.

Guro: Ang paksa ng aralin ay "Homogeneous trigonometric equation."

Isulat natin sa kuwaderno ang paksa ng aralin. Ang mga homogenous na trigonometric equation ay nasa una at pangalawang antas.

Isulat natin ang kahulugan ng isang homogenous na equation ng unang degree. Gumagamit ako ng isang halimbawa upang ipakita ang solusyon ng ganitong uri ng equation, bumuo ka ng isang algorithm para sa paglutas ng isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree.

Equation ng form a sinx + b Ang cosx = 0 ay tinatawag na homogenous na trigonometric equation ng unang degree.

Isaalang-alang ang solusyon sa equation kapag ang mga coefficient a at v iba sa 0.

Halimbawa: sinx + cosx = 0

R Ang paghahati sa magkabilang panig ng termino ng equation sa pamamagitan ng cosx, makuha namin

Pansin! Posibleng hatiin sa 0 lamang kung ang expression na ito ay hindi nagiging 0 kahit saan. Suriin natin. Kung ang cosine ay 0, kung gayon ang sine ay magiging katumbas ng 0, dahil ang mga coefficient ay iba sa 0, ngunit alam natin na ang sine at cosine ay naglalaho sa magkaibang mga punto. Samakatuwid, ang operasyong ito ay maaaring isagawa kapag nilulutas ang ganitong uri ng equation.

Algorithm para sa paglutas ng isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree: paghahati sa magkabilang panig ng equation sa cosx, cosx 0

Equation ng form a kasalanan mx +b cos mx = 0 ay tinatawag ding homogenous na trigonometric equation ng unang degree at ang dibisyon ng magkabilang panig ng equation ng cosine mх ay nalulutas din.

Equation ng form a kasalanan 2 x +b sinx cosx +c cos2x = 0 tinatawag na homogenous na trigonometric equation ng pangalawang degree.

Halimbawa : kasalanan 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x = 0

Ang koepisyent a ay iba sa 0 at samakatuwid, tulad ng nakaraang equation, ang cosx ay hindi katumbas ng 0 at samakatuwid ay maaari mong gamitin ang paraan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cos 2 x.

Nakukuha namin ang tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

Malutas namin sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong variable na hayaan ang tgx = a, pagkatapos ay makuha namin ang equation

isang 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 - 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Bumalik sa kapalit

Sagot:

Kung ang koepisyent a = 0, ang equation ay kukuha ng anyo na 2sinx cosx - 3cos2x = 0 na malulutas natin sa pamamagitan ng paglalagay ng common factor na cosx sa labas ng mga bracket. Kung ang coefficient c = 0, ang equation ay kukuha ng anyo na sin2x + 2sinx cosx = 0 sa pamamagitan ng pagkuha ng common factor na sinx sa labas ng mga bracket. Algorithm para sa paglutas ng isang homogenous na trigonometric equation ng unang degree:

Tingnan kung ang equation ay naglalaman ng terminong asin2 x.

Kung ang terminong asin2 x ay nakapaloob sa equation (i.e. a 0), ang equation ay malulutas sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa cos2x at pagkatapos ay pagpapasok ng bagong variable.

Kung ang terminong asin2 x ay hindi nakapaloob sa equation (i.e. a = 0), kung gayon ang equation ay malulutas sa pamamagitan ng paraan ng factorization: ang cosx ay inalis sa mga bracket. Ang mga homogenous na equation ng anyong a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 ay nalulutas sa parehong paraan

Ang algorithm para sa paglutas ng mga homogenous na trigonometric equation ay nakasulat sa aklat-aralin sa pahina 102.

Pisikal na edukasyon

Pagbubuo ng mga kasanayan para sa paglutas ng mga homogenous na trigonometric equation

Pagbubukas ng mga libro ng problema pahina 53

Ang 1st at 2nd group ay nagpasya sa No. 361-v

363-v

Ipinakita nila ang solusyon sa pisara, ipaliwanag, pandagdag. Sinusuri ng isang independiyenteng eksperto.

Solusyon ng mga halimbawa mula sa aklat ng problema No. 361-v
sinx - 3cosx = 0
hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cosx 0, nakukuha namin

No. 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng cos2x, nakukuha natin ang tg2x + tgx - 2 = 0

malulutas namin sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable
hayaan ang tgx = a, pagkatapos ay makuha natin ang equation
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
bumalik sa kapalit

Pansariling gawain.

Lutasin ang mga equation.

2 cosx - 2 = 0

2cos2x - 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0

Sa pagtatapos ng independiyenteng trabaho, ang trabaho at pagsuri sa isa't isa ay binago. Ang mga tamang sagot ay naka-project sa pisara.

Tapos nangungupahan sila malayang eksperto.

Solusyon sa sarili

Pagbubuod ng aralin.

Anong uri ng trigonometric equation ang nakilala natin sa aralin?

Algorithm para sa paglutas ng mga trigonometric equation ng una at pangalawang degree.

takdang-aralin sa bahay: § Basahin ang 20.3. 361 (d), 363 (b), karagdagang kahirapan No. 380 (a).

Crossword.

Kung ilalagay mo ang mga tamang salita, makukuha mo ang pangalan ng isa sa mga uri ng trigonometric equation.

Ang halaga ng isang variable na ginagawang totoo ang equation? (Ugat)

Angle unit? (Radyan)

Isang numerical factor sa isang produkto? (Coefficient)

Isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga function ng trigonometriko? (Trigonometry)

Anong mathematical model ang kailangan para ipakilala ang trigonometriko function? (Bilog)

Aling trigonometric function ang even? (Cosine)

Ano ang tawag sa tamang pagkakapantay-pantay? (Pagkakakilanlan)

Pagkakapantay-pantay sa isang variable? (Ang equation)

Mga equation na may parehong mga ugat? (Katumbas)

Set ng mga ugat ng isang equation ? (Solusyon)

Papel ng pagsusuri

№
n \ n

Apelyido, pangalan ng guro

Takdang aralin

Pagtatanghal

Aktibidad ng nagbibigay-malay
pag-aaral

Paglutas ng mga Equation

Sarili
Trabaho

Takdang-Aralin - 12 puntos (3 equation 4 x 3 = 12 ang itinalaga sa bahay)

Pagtatanghal - 1 puntos

Aktibidad ng mag-aaral - 1 sagot - 1 puntos (mataas na 4 na puntos)

Paglutas ng mga equation 1 point

Malayang gawain - 4 na puntos

Pagtatasa sa pangkat:

"5" - 22 puntos o higit pa
"4" - 18 - 21 puntos
“3” - 12 - 17 puntos