Karaniwang equation ng pagkakaiba ay tinatawag na equation na nag-uugnay sa independiyenteng variable, ang hindi kilalang pagpapaandar ng variable na ito at ang mga derivatives nito (o mga kaugalian) ng iba't ibang mga order.

Ang pagkakasunud-sunod ng kaugalian na equation ay ang pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative na nilalaman nito.

Bilang karagdagan sa mga ordinaryong isa, pinag-aaralan din ang bahagyang mga equation na kaugalian. Ito ang mga equation na kumokonekta sa mga independiyenteng variable, ang hindi kilalang pag-andar ng mga variable na ito at ang mga bahagyang derivatives na patungkol sa parehong mga variable. Ngunit isasaalang-alang lamang namin ordinaryong mga equation na pagkakaiba at samakatuwid ay aalisin natin ang salitang "ordinaryong" para sa pagiging masikli.

Mga halimbawa ng mga pagkakapantay-pantay na equation:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Ang equation (1) ay sa pang-apat na pagkakasunud-sunod, ang equation (2) ay sa pangatlong order, ang mga equation (3) at (4) ay nasa pangalawang order, at ang equation (5) ay sa unang order.

Pagkakaiba ng equation n-th order ay hindi dapat maglaman ng malinaw na isang pag-andar, lahat ng mga derivatives nito mula sa una hanggang nikaayos at ang malayang variable. Maaari itong hindi maglaman ng malinaw na derivatives ng ilang mga order, isang pagpapaandar, isang independiyenteng variable.

Halimbawa, sa equation (1) malinaw na walang mga derivatives ng pangatlo at pangalawang order, pati na rin ang mga pagpapaandar; sa equation (2) - pangalawang order derivative at pagpapaandar; sa equation (4) - ang malayang variable; sa equation (5) - mga pagpapaandar. Ang equation (3) lamang ang naglalaman ng tahasang lahat ng mga derivatives, function at independent variable.

Sa pamamagitan ng paglutas ng kaugalian na equation ang anumang pagpapaandar ay tinawag y \u003d f (x), kapag pinalitan sa isang equation, ito ay nagiging isang pagkakakilanlan.

Ang proseso ng paghahanap ng isang solusyon sa isang kaugalian na equation ay tinatawag na nito pagsasama.

Halimbawa 1. Humanap ng solusyon sa equation na kaugalian.

Desisyon. Isulat natin ang equation na ito sa form. Ang solusyon ay upang hanapin ang pagpapaandar sa pamamagitan ng derivative nito. Ang paunang pag-andar, tulad ng kilala mula sa integral na calculus, ay ang antiderivative para sa, i.e.

Iyon na iyon solusyon ng isang naibigay na kaugalian na equation ... Nagbabago dito C, makakatanggap kami ng iba`t ibang mga solusyon. Nalaman namin na maraming walang katapusang mga solusyon sa isang unang pagkakasunod-sunod na kaugalian ng pagkakasunod-sunod.

Ang pangkalahatang solusyon ng kaugalian na equation n-th order ay ang solusyon nito, malinaw na ipinahayag na may paggalang sa isang hindi kilalang pag-andar at naglalaman n independiyenteng mga di-makatwirang mga pare-pareho, ie

Ang solusyon sa pagkakaiba-iba ng equation sa Halimbawa 1 ay pangkaraniwan.

Sa pamamagitan ng isang partikular na solusyon ng kaugalian na equation ang solusyon nito ay tinatawag na kung saan ang mga tukoy na halagang may bilang na itinalaga sa di-makatwirang mga konstanta.

Halimbawa 2. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng kaugalian na equation at ang partikular na solusyon para sa .

Desisyon. Isinasama namin ang magkabilang panig ng equation ng maraming beses bilang pagkakasunud-sunod ng kaugalian ng pagkakatulad.

,

.

Bilang isang resulta, nakakuha kami ng isang pangkalahatang solusyon -

ng pangatlong-pagkakasunod na equation na kaugalian.

Ngayon ay makakahanap kami ng isang partikular na solusyon sa ilalim ng tinukoy na mga kundisyon. Upang magawa ito, palitan ang kanilang mga halaga sa halip na arbitraryong mga koepisyent at kunin

.

Kung, bilang karagdagan sa pagkakaiba-iba ng equation, ang isang paunang kondisyon ay ibinibigay sa form, kung gayon ang naturang problema ay tinawag ang Cauchy problema ... Ang mga halaga at pinalitan sa pangkalahatang solusyon ng equation at ang halaga ng isang di-makatwirang pare-pareho ay matatagpuan C, at pagkatapos ay isang partikular na solusyon ng equation para sa nahanap na halaga C... Ito ang solusyon sa problema sa Cauchy.

Halimbawa 3. Malutas ang problema sa Cauchy para sa kaugalian ng equation mula sa halimbawa 1 sa ilalim ng kundisyon.

Desisyon. Palitan natin sa pangkalahatang solusyon ang mga halaga mula sa paunang kundisyon y = 3, x \u003d 1. Nakukuha natin

Isusulat namin ang solusyon sa problema sa Cauchy para sa isang naibigay na pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod:

Ang paglutas ng mga pagkakapantay-pantay na equation, kahit na ang pinakasimpleng mga, ay nangangailangan ng mahusay na kasanayan sa pagsasama at pagkuha ng mga derivatives, kabilang ang mga kumplikadong pag-andar. Makikita ito sa sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 4. Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa equation ng kaugalian.

Desisyon. Ang equation ay nakasulat sa isang paraan na maaari mong agad na isama ang magkabilang panig nito.

.

Inilalapat namin ang pamamaraan ng pagsasama sa pamamagitan ng variable na pagbabago (pagpapalit). Hayaan, kung gayon.

Kinakailangan na kumuha dx at ngayon - pansin - ginagawa namin ito alinsunod sa mga patakaran ng pag-iba ng isang kumplikadong pag-andar, mula pa x at mayroong isang kumplikadong pag-andar ("mansanas" ay ang pagkuha ng parisukat na ugat o, na kung saan ay ang parehong bagay, ang exponentiation ng "kalahating", at "mince" ay ang napaka expression sa ilalim ng ugat):

Hanapin ang integral:

Bumabalik sa variable x, nakukuha namin:

.

Ito ang pangkalahatang solusyon ng unang degree na equation na kaugalian.

Hindi lamang mga kasanayan mula sa mga nakaraang seksyon ng mas mataas na matematika ang kakailanganin sa paglutas ng mga pagkakaiba sa pagkakatulad, kundi pati na rin ang mga kasanayan mula sa elementarya, iyon ay, matematika sa paaralan. Tulad ng nabanggit na, sa isang kaugalian na equation ng anumang pagkakasunud-sunod ay maaaring walang isang independiyenteng variable, iyon ay, isang variable x... Ang kaalaman tungkol sa proporsyon, hindi nakalimutan (sa pamamagitan ng paraan, para kanino paano) mula sa paaralan, ay makakatulong upang malutas ang problemang ito. Ito ang susunod na halimbawa.

Mga Pagkakaiba-iba na Equation (DE). Ang dalawang salitang ito ay karaniwang kinikilabutan ang average na karaniwang tao. Ang mga magkakaibang equation ay tila isang bagay na labis na labis at mahirap malaman sa maraming mga mag-aaral. Uuuuuu ... mga pagkakatulad na equation, paano ako makakaligtas sa lahat ng ito?!

Ang gayong opinyon at gayong pag-uugali sa panimula ay mali, sapagkat sa katunayan Ang magkakaibang mga kagamitan ay simple at kahit masaya... Ano ang kailangan mong malaman at magawa upang malaman kung paano malutas ang mga pagkakapantay-pantay na equation? Upang matagumpay na mapag-aralan ang diffura, dapat kang maging mahusay sa pagsasama at pag-iba. Ang mas mahusay na ang mga paksa ay pinag-aralan Hango ng isang pagpapaandar ng isang variable at Hindi tiyak na integral, mas madaling maintindihan ang mga pagkakatulad na equation. Sasabihin ko nang higit pa, kung mayroon kang higit pa o mas disenteng mga kasanayan sa pagsasama, kung gayon ang paksa ay praktikal na pinagkadalubhasaan! Ang mas maraming mga integral ng iba't ibang mga uri na maaari mong malutas, mas mabuti. Bakit? Dahil kailangan mong isama ang marami. At iba-iba. Din lubos na inirerekumenda matutong maghanap hango ng implicit na pagpapaandar.

Sa 95% ng mga kaso, 3 uri ng mga pagkakasunod-sunod na pagkakaiba-iba ng pagkakasunod-sunod na nakatagpo sa mga pagsubok: mga equation na may magkakahiwalay na variable, na isasaalang-alang namin sa araling ito magkakatulad na mga equation at mga linear na inhomogeneous equation... Para sa mga nagsisimula sa pagsasabog, pinapayuhan ko kayo na basahin ang mga aralin sa pagkakasunud-sunod na ito. Mayroong kahit na bihirang mga uri ng mga pagkakapantay-pantay na equation: kabuuang pagkakatulad na mga equation, mga equation na Bernoulli at ilang iba pa. Ang pinakamahalaga sa huling dalawang uri ay mga equation sa kabuuang kaugalian, dahil bilang karagdagan sa DE na ito isinasaalang-alang ko ang isang bagong materyal - bahagyang pagsasama.

Tandaan muna natin ang karaniwang mga equation. Naglalaman ang mga ito ng mga variable at numero. Ang pinakasimpleng halimbawa: Ano ang kahulugan ng paglutas ng isang ordinaryong equation? Nangangahulugan ito ng paghahanap maraming numerona nasiyahan ang equation na ito. Madaling makita na ang equation ng mga bata ay may isang solong ugat: Para sa kasiyahan, gumawa tayo ng isang tseke, palitan ang nahanap na ugat sa aming equation:

- ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugang ang solusyon ay matatagpuan nang tama.

Ang mga pagkakaiba ay magkatulad!

Pagkakaiba ng equation unang order, naglalaman ng:
1) independiyenteng variable;
2) umaasang variable (pagpapaandar);
3) ang unang hango ng pag-andar:

Sa ilang mga kaso, ang unang-order na equation ay maaaring nawawala ang "x" o (at) "laro" - mahalaga kaya na sa DU ay ang unang hango, at ay walang derivatives ng mas mataas na order -, atbp.

Ano ang ibig sabihinAng paglutas ng isang kaugalian na equation ay nangangahulugang paghahanap maraming mga pag-andar na nasiyahan ang equation na ito. Ang hanay ng mga pagpapaandar na ito ay tinatawag pangkalahatang solusyon ng kaugalian na equation.

Halimbawa 1

Malutas ang equation na kaugalian

Buong bala. Saan magsisimulang malutas ang anumang unang pagkakasunod-sunod na kaugalian sa pagkakasunod-sunod?

Una sa lahat, kailangan mong muling isulat ang derivative sa isang bahagyang naiibang form. Tandaan ang masalimuot na notasyon para sa hango:. Ang pagtatalaga na ito ng hango sa marami sa iyo ay marahil ay nakakatawa at hindi kinakailangan, ngunit ito ang panuntunan sa pagsasabog!

Kaya, sa unang yugto, isinusulat namin ang derivative sa form na kailangan namin:

Sa ikalawang yugto palagi tingnan mo kung posible split variable? Ano ang ibig sabihin ng split split? Mahusay na pagsasalita, sa kaliwa kailangan na nating umalis "manlalaro" lang, a sa kanang bahagi ayusin "x" lang... Ang paghihiwalay ng mga variable ay isinasagawa gamit ang mga manipulasyong "paaralan": panaklong, paglipat ng mga termino mula sa bahagi hanggang sa bahagi na may pagbabago sa pag-sign, paglipat ng mga kadahilanan mula sa bawat bahagi ayon sa panuntunan ng proporsyon, atbp.

Mga pagkakaiba at ganap na multiplier at aktibong kalahok sa poot. Sa halimbawang isinasaalang-alang, ang mga variable ay madaling paghiwalayin sa pamamagitan ng pagtapon ng mga salik ayon sa panuntunan ng proporsyon:

Ang mga variable ay pinaghiwalay. Sa kaliwang bahagi mayroong lamang "mga laro", sa kanang bahagi - tanging "X".

Susunod na yugto - pagsasama ng isang kaugalian equation... Ito ay simple, nag-hang kami ng mga integral sa magkabilang panig:

Siyempre, dapat kunin ang mga integral. Sa kasong ito, ang mga ito ay tabular:

Tulad ng naaalala namin, ang isang pare-pareho ay itinalaga sa anumang antiderivative. Mayroong dalawang integral, ngunit sapat na upang isulat ang pare-pareho nang isang beses. Halos palaging ito ay maiuugnay sa kanang bahagi.

Mahigpit na pagsasalita, pagkatapos na makuha ang mga integral, ang pagkukumpara sa kaugalian ay isinasaalang-alang lutasin. Ang tanging bagay ay ang aming "laro" ay hindi ipinahayag sa pamamagitan ng "x", iyon ay, ipinakita ang solusyon implicitly form Ang solusyon sa kaugalian na equation sa isang implicit form ay tinatawag pangkalahatang integral ng isang kaugalian na equation... Iyon ay, ito ay isang pangkalahatang integral.

Ngayon kailangan mong subukan upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon, iyon ay, subukang kumatawan sa pagpapaandar nang tahasang.

Mangyaring tandaan ang unang pamamaraan, ito ay napaka-pangkaraniwan at madalas na ginagamit sa pagsasanay sa pagsasanay. Kapag ang isang logarithm ay lilitaw sa kanang bahagi pagkatapos ng pagsasama, halos palaging ipinapayong isulat din ang pare-pareho sa ilalim ng logarithm.

Ako, sa halipang mga entry ay karaniwang nakasulat .

Narito ang parehong ganap na pare-pareho bilang. Bakit kailangan ito? At upang mapadali ang pagpapahayag ng "laro". Ginagamit namin ang pag-aari ng paaralan ng logarithms: ... Sa kasong ito:

Ngayon ang mga logarithm at module ay maaaring alisin mula sa parehong bahagi na may malinis na budhi:

Ang pagpapaandar ay malinaw na ipinakita. Ito ang pangkalahatang solusyon.

Maraming pag-andar ay isang pangkalahatang solusyon sa isang kaugalian na equation.

Sa pamamagitan ng pagbibigay ng pare-pareho ng iba't ibang mga halaga, makakakuha ka ng maraming mga pribadong solusyon pagkakatulad na equation. Anumang mga pag-andar ,, atbp. ay masiyahan ang kaugalian equation.

Ang pangkalahatang solusyon ay minsan tinatawag pamilya ng mga pag-andar... Sa halimbawang ito, ang pangkalahatang solusyon ay Ay isang pamilya ng mga linear function, o sa halip, isang pamilya ng direktang sukat.

Maraming mga kaugalian na equation ay medyo madali upang masubukan. Ginagawa ito nang napakadali, kinukuha namin ang nahanap na solusyon at hinahanap ang hinalang:

Pinalitan namin ang aming solusyon at ang nahanap na hango sa orihinal na equation:

- ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugang ang solusyon ay matatagpuan nang tama. Sa madaling salita, ang pangkalahatang solusyon ay nasiyahan ang equation.

Matapos nguyaing mabuti ang unang halimbawa, angkop na sagutin ang ilang mga walang muwang na katanungan tungkol sa mga pagkakapantay-pantay na equation.

1) Sa halimbawang ito, pinamamahalaan namin ang mga variable:. Maaari ba itong laging gawin? Hindi hindi palagi. Kahit na mas madalas, ang mga variable ay hindi maaaring hatiin. Halimbawa, sa magkakatulad na mga equation ng first-order, kailangan mo munang palitan. Sa iba pang mga uri ng mga equation, halimbawa, sa isang linear na inhomogeneous first-order equation, kailangan mong gumamit ng iba't ibang mga diskarte at pamamaraan upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon. Ang mga magkakahiwalay na equation na isinasaalang-alang namin sa unang aralin ay ang pinakasimpleng uri ng mga equation na naiiba.

2) Posible bang pagsamahin ang isang kaugalian na equation? Hindi hindi palagi. Napakadali na makabuo ng isang "magarbong" equation na hindi maaaring isama, bilang karagdagan, may mga di-walang halaga na integral. Ngunit ang mga naturang DE ay maaaring malutas ng humigit-kumulang gamit ang mga espesyal na pamamaraan. D'Alembert at Cauchy garantiya. ... ugh, lurkmore.ru marami lang nabasa.

3) Sa halimbawang ito, nakakuha kami ng isang solusyon sa anyo ng isang pangkalahatang integral ... Palaging posible na makahanap ng isang pangkalahatang solusyon mula sa isang pangkalahatang integral, iyon ay, upang ipahayag ang "laro" sa isang malinaw na form? Hindi hindi palagi. Halimbawa: . Sa gayon, paano ko maipapahayag ang "laro"?! Sa ganitong mga kaso, ang sagot ay dapat na nakasulat bilang isang pangkalahatang integral. Bilang karagdagan, kung minsan ay matatagpuan ang isang pangkalahatang solusyon, ngunit nakasulat ito nang masalimuot at malamya na mas mahusay na iwanan ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral

Huwag tayong magmadali. Isa pang simpleng remote control at isa pang tipikal na solusyon.

Halimbawa 2

Humanap ng isang partikular na solusyon sa isang kaugalian na equation na nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon

Sa kondisyon, kailangan mong hanapin pribadong solusyon DE nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon. Ang tanong na ito ay tinatawag din ang Cauchy problema.

Una, nakakahanap kami ng isang pangkalahatang solusyon. Walang variable na "x" sa equation, ngunit hindi ito dapat malito, ang pangunahing bagay ay naglalaman ito ng unang hinalang.

Isinusulat namin muli ang derivative sa kinakailangang form:

Malinaw na, ang mga variable ay maaaring hatiin, mga lalaki sa kaliwa, mga batang babae sa kanan:

Isinasama namin ang equation:

Ang pangkalahatang integral ay nakuha. Dito iginuhit ko ang isang pare-pareho sa isang superscript asterisk, ang totoo ay sa lalong madaling panahon ay magiging isa pang pare-pareho.

Ngayon ay sinusubukan naming ibahin ang pangkalahatang integral sa isang pangkalahatang solusyon (malinaw na ipahayag ang "laro"). Naaalala namin ang luma, mabuti, paaralan: ... Sa kasong ito:

Ang pare-pareho sa tagapagpahiwatig ay mukhang kahit papaano hindi kosher, kaya't ito ay karaniwang ibinababa mula sa langit patungo sa lupa. Sa detalye, ganito ang nangyayari. Gamit ang pag-aari ng kuryente, isinusulat namin muli ang pagpapaandar tulad ng sumusunod:

Kung ito ay isang pare-pareho, kung gayon ito ay mayroon ding ilang pare-pareho, na ipinapahiwatig namin sa pamamagitan ng isang liham:

Alalahanin ang "naaanod" ng pare-pareho, ito ang pangalawang pamamaraan na madalas na ginagamit kapag nilulutas ang mga pagkakapantay-pantay na equation.

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay: Tulad nito ang magandang pamilya ng exponential function.

Sa huling yugto, kinakailangan upang makahanap ng isang partikular na solusyon na nagbibigay-kasiyahan sa ibinigay na paunang kondisyon. Madali lang din.

Ano ang gawain? Kailangan mong pumili ganyan ang halaga ng pare-pareho upang masiyahan ang tinukoy na paunang kondisyon.

Maaari kang mag-disenyo sa iba't ibang paraan, ngunit ang pinaka-nauunawaan, marahil, ay magiging gayon. Sa pangkalahatang solusyon, sa halip na "x" ay pinalitan natin ang zero, at sa halip na ang "laro" na dalawa:



Ako,

Karaniwang bersyon ng disenyo:

Pinalitan namin ang nahanap na pare-parehong halaga sa pangkalahatang solusyon:
- ito ang partikular na solusyon na kailangan namin.

Suriin natin Ang pag-verify ng isang pribadong solusyon ay may kasamang dalawang yugto.

Una, kinakailangan upang suriin kung ang natagpuan na partikular na solusyon ay talagang nasiyahan ang paunang kondisyon? Sa halip na "x" papalitan natin ang zero at tingnan kung ano ang mangyayari:
- oo, sa katunayan, isang dalawa ang nakuha, na nangangahulugang natapos ang paunang kondisyon.

Pamilyar na ang pangalawang yugto. Kinukuha namin ang nagresultang partikular na solusyon at hanapin ang hinalang:

Kapalit sa orihinal na equation:

- ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha.

Konklusyon: ang isang partikular na solusyon ay natagpuan nang tama.

Ang paglipat sa mas makabuluhang mga halimbawa.

Halimbawa 3

Malutas ang equation na kaugalian

Desisyon: Isinusulat namin muli ang derivative sa form na kailangan namin:

Sinusuri kung ang mga variable ay maaaring hatiin? Maaari Inililipat namin ang pangalawang termino sa kanang bahagi na may pagbabago sa pag-sign:

At itinapon namin ang mga multiplier ayon sa panuntunan sa proporsyon:

Ang mga variable ay pinaghiwalay, isinasama namin ang parehong bahagi:

Dapat kong babalaan ka, darating ang wakas. Kung hindi ka nag-aral ng mabuti walang katiyakan na integral, nalutas ang ilang mga halimbawa, kung gayon walang pupuntahan - kakailanganin mong master ang mga ito ngayon.

Ang integral ng kaliwang bahagi ay madaling hanapin, makitungo tayo sa integral ng cotangent gamit ang karaniwang pamamaraan na isinasaalang-alang namin sa aralin Pagsasama ng mga pag-andar ng trigonometric noong nakaraang taon:

Sa kanang bahagi, nakuha namin ang logarithm, ayon sa aking unang rekomendasyong panteknikal, sa kasong ito ang pare-pareho ay dapat ding isulat sa ilalim ng logarithm.

Ngayon subukan nating gawing simple ang pangkalahatang integral. Dahil mayroon kaming magkatulad na logarithms, posible (at kinakailangan) na mapupuksa ang mga ito. Nag-iimpake kami ng mga logarithm hangga't maaari. Isinasagawa ang packaging gamit ang tatlong mga katangian:

Mangyaring isulat muli ang tatlong mga formula na ito sa iyong workbook, madalas na ginagamit ang mga ito kapag nalulutas ang diffuse.

Isusulat ko ang solusyon nang detalyado:

Kumpleto na ang pag-iimpake, inaalis namin ang mga logarithm:

Maaari mo bang ipahayag ang "laro"? Maaari Ang magkabilang panig ay dapat na parisukat. Ngunit hindi mo kailangang gawin ito.

Pangatlong tip sa teknikal: Kung, upang makakuha ng isang pangkalahatang solusyon, kailangang itaas ng isang tao ang isang kapangyarihan o kumuha ng mga ugat, kung gayon sa karamihan ng mga kaso dapat na pigilin ang isa sa mga pagkilos na ito at iwanan ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral. Ang katotohanan ay ang pangkalahatang solusyon ay magmukhang bongga at kakila-kilabot - na may malalaking mga ugat, palatandaan.

Samakatuwid, isinusulat namin ang sagot sa anyo ng isang pangkalahatang integral. Ito ay itinuturing na mahusay na kasanayan upang ipakita ang pangkalahatang integral sa form, iyon ay, sa kanang bahagi, kung maaari, mag-iwan lamang ng isang pare-pareho. Hindi kinakailangan na gawin ito, ngunit laging kapaki-pakinabang na mangyaring ang propesor ;-)

Sagot: pangkalahatang integral:

Tandaan: ang pangkalahatang integral ng anumang equation ay maaaring nakasulat sa higit sa isang paraan. Sa gayon, kung ang iyong resulta ay hindi sumabay sa dating kilalang sagot, hindi ito nangangahulugan na mali mong nalutas ang equation.

Ang pangkalahatang integral ay naka-check din nang madali, ang pangunahing bagay ay upang mahanap mga derivatives ng isang implicit function... Pagkakaiba ng sagot:

Pinarami namin ang parehong mga termino ayon sa:

At hinati kami sa:

Ang orihinal na equation ng kaugalian ay eksaktong nakuha, na nangangahulugang ang pangkalahatang integral ay natagpuan nang tama.

Halimbawa 4

Humanap ng isang partikular na solusyon sa kaugalian na equation na nagbibigay-kasiyahan sa paunang kondisyon. Suriin

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon na gawin sa sarili. Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang problema sa Cauchy ay binubuo ng dalawang yugto:
1) Paghanap ng isang pangkalahatang solusyon.
2) Paghanap ng isang pribadong solusyon.

Isinasagawa din ang tseke sa dalawang yugto (tingnan din ang halimbawa ng Halimbawa 2), kailangan mo:
1) Siguraduhin na ang nahanap na partikular na solusyon ay talagang nasiyahan ang paunang kondisyon.
2) Suriin na ang partikular na solusyon sa pangkalahatan ay nasiyahan ang pagkakaiba sa pagkakatulad.

Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial.

Halimbawa 5

Humanap ng isang partikular na solusyon sa isang kaugalian na equation nagbibigay-kasiyahan sa paunang kalagayan. Suriin

Desisyon:Una, nakita namin ang pangkalahatang solusyon. Naglalaman na ang equation na ito ng mga nakahandang pagkakaiba at, samakatuwid, pinadali ang solusyon. Paghihiwalay ng mga variable:

Isinasama namin ang equation:

Ang integral sa kaliwa ay tabular, ang integral sa kanan ay kinuha sa pamamagitan ng pamamaraan ng pagdadala ng pagpapaandar sa ilalim ng kaugalian ng pag-sign:

Ang pangkalahatang integral ay nakuha, posible bang matagumpay na ipahayag ang pangkalahatang solusyon? Maaari Isinabit namin ang mga logarithm:

(Inaasahan kong lahat ay nauunawaan ang pagbabago, ang mga ganitong bagay ay dapat na malaman)

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Humanap tayo ng isang partikular na solusyon na naaayon sa ibinigay na paunang kundisyon. Sa pangkalahatang solusyon, sa halip na "x" ay pinalitan natin ang zero, at sa halip na ang "laro", ang logarithm ng dalawa:

Mas pamilyar na disenyo:

Pinalitan namin ang nahanap na halaga ng pare-pareho sa pangkalahatang solusyon.

Sagot: pribadong solusyon:

Pagsuri: Una, suriin natin kung natutugunan ang paunang kundisyon:
- lahat ay mabuti.

Suriin natin ngayon kung ang nahanap na partikular na solusyon sa pangkalahatan ay nasiyahan ang pagkakaiba sa pagkakatulad. Hanapin ang derivative:

Tinitingnan namin ang orihinal na equation: - ipinakita ito sa mga pagkakaiba. Mayroong dalawang paraan upang suriin. Posibleng ipahayag ang pagkakaiba mula sa nahanap na hinalaw:

Palitan ang nahanap na partikular na solusyon at ang nagresultang pagkakaiba sa orihinal na equation :

Ginagamit namin ang pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic:

Ang tamang pagkakapantay-pantay ay nakuha, na nangangahulugang ang partikular na solusyon ay natagpuan nang tama.

Ang pangalawang paraan upang suriin ay nakasalamin at mas pamilyar: mula sa equation ipinahahayag namin ang hango, para dito hinati namin ang lahat ng mga piraso sa pamamagitan ng:

At sa nabago na DE ay pinapalitan natin ang nakuha na partikular na solusyon at ang hinango na hinango. Bilang isang resulta ng mga pagpapasimple, ang tamang pagkakapantay-pantay ay dapat ding makuha.

Halimbawa 6

Malutas ang kaugalian na equation. Ang sagot ay ipinakita sa anyo ng isang pangkalahatang integral.

Ito ay isang halimbawa ng stand alone, kumpletong solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial.

Ano ang mga paghihirap na hinihintay kapag lumulutas ng mga pagkakapantay-pantay na equation na may magkakahiwalay na variable?

1) Hindi palaging halata (lalo na sa isang teapot) na maaaring ibahagi ang mga variable. Isaalang-alang natin ang isang kondisyon na halimbawa: Dito kailangan mong isagawa ang pag-iingat ng mga braket: at paghiwalayin ang mga ugat: Paano magpatuloy ay malinaw.

2) Mga kahirapan sa pagsasama mismo. Ang mga integral ay madalas na hindi pinakasimpleng mga, at kung may mga pagkukulang sa mga kasanayan sa paghahanap walang katiyakan na integral, kung gayon maraming diffuse ay magiging mahirap. Bilang karagdagan, kabilang sa mga nagtitipon ng mga koleksyon at manwal, ang lohika ay sikat "dahil ang kaugalian na equation ay simple, pagkatapos ay hayaan ang mga integral na maging mas kumplikado."

3) Mga Conversion na may pare-pareho. Tulad ng napansin ng lahat, magagawa mo ang halos anupaman sa isang pare-pareho sa mga pagkakapantay-pantay na equation. At ang mga naturang pagbabago ay hindi laging malinaw sa isang nagsisimula. Isaalang-alang natin ang isa pang kondisyong halimbawa: ... Sa loob nito, ipinapayong i-multiply ang lahat ng mga term sa pamamagitan ng 2: ... Ang nagreresultang pare-pareho ay isa ring uri ng pare-pareho, na maaaring maipahiwatig ng: ... Oo, at dahil ang logarithm ay nasa kanang bahagi, ipinapayong muling isulat ang pare-pareho sa anyo ng isa pang pare-pareho: .

Ang problema ay madalas na hindi sila nag-abala sa mga indeks, at gumagamit ng parehong titik. At bilang isang resulta, ang tala ng desisyon ay kumukuha ng sumusunod na form:

Ano ba to? Mayroon ding mga pagkakamali. Pormal, oo. At impormal - walang error, naiintindihan na kapag nagko-convert ng isang pare-pareho, ang ilang iba pang pare-pareho ay nakukuha pa rin.

O tulad ng isang halimbawa, ipagpalagay na sa kurso ng paglutas ng equation, isang pangkalahatang integral ang nakuha. Ang sagot na ito ay mukhang pangit, kaya ipinapayong baguhin ang mga palatandaan ng lahat ng mga kadahilanan: ... Pormal, ayon sa talaan, mayroong muli isang pagkakamali, dapat itong naitala. Ngunit impormal na ito ay sinadya na ito ay pa rin ng ilang iba pang pare-pareho (lahat ng higit na maaari itong tumagal ng anumang halaga), samakatuwid ang pagbabago ng tanda ng pare-pareho ay walang katuturan at maaari mong gamitin ang parehong titik.

Susubukan kong iwasan ang isang sloppy diskarte, at magtalaga pa rin ng iba't ibang mga indeks sa mga pare-pareho kapag nagko-convert ang mga ito.

Halimbawa 7

Malutas ang kaugalian na equation. Suriin

Desisyon: Pinapayagan ng equation na ito ang paghihiwalay ng mga variable. Paghihiwalay ng mga variable:

Isinasama namin:

Hindi kinakailangan na tukuyin ang isang pare-pareho dito bilang isang logarithm, dahil walang mabuting darating mula rito.

Sagot: pangkalahatang integral:

Pag-verify: Ipaiba ang sagot (implicit function):

Tinatanggal namin ang mga praksyon, para dito ay pinarami namin ang parehong mga term sa pamamagitan ng:

Ang orihinal na equation ng kaugalian ay nakuha, na nangangahulugang ang pangkalahatang integral ay natagpuan nang tama.

Halimbawa 8

Maghanap ng isang pribadong solusyon ng remote control.
,

Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon na gawin sa sarili. Ang tanging puna ay dito makakakuha ka ng isang pangkalahatang integral, at, nang mas tama, kailangan mong magbigay upang hindi makahanap ng isang partikular na solusyon, ngunit bahagyang integral... Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial.

Tulad ng nabanggit na, sa diffuse na may magkakahiwalay na mga variable, hindi gaanong simpleng mga integral na madalas na lumitaw. At narito ang isang pares ng mga tulad halimbawa para sa isang malayang solusyon. Inirerekumenda ko ang lahat na malutas ang mga halimbawa 9-10, hindi alintana ang antas ng pagsasanay, maa-update nito ang mga kasanayan sa paghahanap ng mga integral o punan ang mga puwang sa kaalaman.

Halimbawa 9

Malutas ang equation na kaugalian

Halimbawa 10

Malutas ang equation na kaugalian

Tandaan na mayroong higit sa isang paraan upang isulat ang pangkalahatang integral, at ang hitsura ng iyong mga sagot ay maaaring magkakaiba sa hitsura ng aking mga sagot. Maikling kurso ng solusyon at mga sagot sa pagtatapos ng aralin.

Matagumpay na promosyon!

Halimbawa 4:Desisyon: Maghanap tayo ng isang pangkalahatang solusyon. Paghihiwalay ng mga variable:


Isinasama namin:



Ang pangkalahatang integral ay nakuha, sinusubukan naming gawing simple ito. Nag-iimpake kami ng mga logarithm at inaalis ang mga ito:

I. Mga ordinaryong pagkakatulad na pagkakatulad

1.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang isang kaugalian na equation ay isang equation na nauugnay sa independiyenteng variable x, ang kinakailangang pagpapaandar y at mga derivatives o kaugalian nito.

Ang sagisag na pagkakaiba-iba ng sagisag ay nakasulat tulad ng sumusunod:

F (x, y, y ") \u003d 0, F (x, y, y") \u003d 0, F (x, y, y ", y", .., y (n)) \u003d 0

Ang isang kaugalian na equation ay tinatawag na ordinary kung ang nais na pagpapaandar ay nakasalalay sa isang independiyenteng variable.

Sa pamamagitan ng paglutas ng kaugalian na equation ay tinatawag na isang pagpapaandar na nagko-convert sa equation na ito sa pagkakakilanlan.

Ang pagkakasunud-sunod ng kaugalian na equation ay ang pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na derivative na pumapasok sa equation na ito

Mga halimbawa.

1. Isaalang-alang ang kauna-unahang pagkakasunod-sunod na kaugalian ng pagkakaiba-iba

Ang solusyon sa equation na ito ay ang pagpapaandar y \u003d 5 ln x. Sa katunayan, kapalit y " sa equation, nakukuha natin - pagkakakilanlan.

At nangangahulugan ito na ang pagpapaandar y \u003d 5 ln x– ay isang solusyon sa kaugalian na equation na ito.

2. Isaalang-alang ang pangalawang-pagkakasunod-sunod na pagkakatulad na kaugalian y "- 5y" + 6y \u003d 0... Ang pagpapaandar ay ang solusyon sa equation na ito.

Sa katunayan ,.

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation, nakukuha namin ang :, - pagkakakilanlan.

At nangangahulugan ito na ang pagpapaandar ay ang solusyon ng kaugalian na equation na ito.

Pagsasama ng mga pagkakatulad na equation ang proseso ng paghanap ng mga solusyon sa mga pagkakapantay-pantay na equation ay tinatawag.

Ang pangkalahatang solusyon ng kaugalian na equation isang pagpapaandar ng form , na nagsasama ng maraming mga independiyenteng di-makatwirang mga konstanta tulad ng pagkakasunud-sunod ng equation.

Sa pamamagitan ng isang partikular na solusyon ng kaugalian na equation ay tinatawag na solusyon na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon para sa iba't ibang mga numerong halaga ng di-makatwirang mga konstanta. Ang mga halaga ng di-makatwirang mga palagay ay matatagpuan sa ilang mga paunang halaga ng pagtatalo at pag-andar.

Ang graph ng isang partikular na solusyon sa isang kaugalian na equation ay tinatawag integral curve.

Mga halimbawa ng

1. Humanap ng isang partikular na solusyon ng isang unang pagkakasunod-sunod na kaugalian ng pagkakasunod-sunod

xdx + ydy \u003d 0, kung y\u003d 4 sa x = 3.

Desisyon. Pagsasama ng magkabilang panig ng equation, nakukuha namin

Magkomento. Ang isang di-makatwirang pare-pareho C, na nakuha bilang isang resulta ng pagsasama, ay maaaring ipakita sa anumang form na maginhawa para sa karagdagang mga pagbabago. Sa kasong ito, isinasaalang-alang ang canonical equation ng bilog, maginhawa upang kumatawan sa isang di-makatwirang pare-pareho C sa form.

- pangkalahatang solusyon sa kaugalian na equation.

Ang isang partikular na solusyon sa equation na nagbibigay-kasiyahan sa mga paunang kundisyon y \u003d 4 sa x Ang \u003d 3 ay matatagpuan mula sa pangkalahatang pagpapalit ng mga paunang kundisyon sa pangkalahatang solusyon: 3 2 + 4 2 \u003d C 2; C \u003d 5.

Ang pagpapalit ng C \u003d 5 sa pangkalahatang solusyon, nakukuha natin x 2 + y 2 = 5 2 .

Ito ay isang partikular na solusyon sa pagkakaiba-iba ng equation na nakuha mula sa pangkalahatang solusyon para sa mga naibigay na paunang kundisyon.

2. Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng equation ng kaugalian

Ang solusyon sa equation na ito ay anumang pagpapaandar ng form, kung saan ang C ay isang di-makatwirang pare-pareho. Sa katunayan, pinapalitan ang mga equation, nakukuha namin ang:,.

Dahil dito, ang kaugalian na equation na ito ay may isang walang katapusang hanay ng mga solusyon, dahil para sa iba't ibang mga halaga ng pare-pareho ang pagkakapantay-pantay ng C ay tumutukoy sa iba't ibang mga solusyon ng equation.

Halimbawa, sa pamamagitan ng direktang pagpapalit, maaaring matiyak ng isa na ang mga pagpapaandar ay mga solusyon sa equation.

Ang problema kung saan kinakailangan upang makahanap ng isang partikular na solusyon ng equation y "\u003d f (x, y) nagbibigay-kasiyahan sa paunang kalagayan y (x 0) \u003d y 0ay tinatawag na Cauchy problem.

Solusyon sa equation y "\u003d f (x, y)nagbibigay-kasiyahan sa paunang kalagayan, y (x 0) \u003d y 0, ay tinatawag na solusyon sa problemang Cauchy.

Ang solusyon sa problema sa Cauchy ay may isang simpleng kahulugan ng geometriko. Sa katunayan, ayon sa mga kahulugan na ito, upang malutas ang problema ng Cauchy y "\u003d f (x, y) sa kondisyon y (x 0) \u003d y 0, nangangahulugang hanapin ang integral curve ng equation y "\u003d f (x, y) na dumadaan sa isang naibigay na punto M 0 (x 0,y 0).

II. Mga pagkakatulad na pagkakasunod-sunod muna

2.1. Pangunahing konsepto

Ang isang pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod ay isang equation ng form F (x, y, y ") \u003d 0.

Ang first-order kaugalian equation ay nagsasama ng unang derivative at hindi kasama ang mga derivatives na mas mataas ang order.

Ang equation y "\u003d f (x, y) ay tinatawag na isang pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod na nalutas na may paggalang sa hinalang.

Ang isang pangkalahatang solusyon ng isang pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod ay isang pagpapaandar ng form na naglalaman ng isang di-makatwirang pare-pareho.

Halimbawa.Isaalang-alang ang isang unang pagkakasunod-sunod na kaugalian sa pagkakasunod-sunod.

Ang solusyon sa equation na ito ay ang pagpapaandar.

Sa katunayan, pinapalitan ang equation na ito ng halaga nito, nakukuha namin

ibig sabihin 3x \u003d 3x

Samakatuwid, ang pagpapaandar ay isang pangkalahatang solusyon sa equation para sa anumang pare-pareho C.

Humanap ng isang partikular na solusyon ng equation na ito na nagbibigay-kasiyahan sa paunang kundisyon y (1) \u003d 1 Pagpapalit ng paunang mga kundisyon x \u003d 1, y \u003d 1 sa pangkalahatang solusyon ng equation, nakukuha namin kung saan saan C \u003d 0.

Sa gayon, nakakakuha kami ng isang partikular na solusyon mula sa pangkalahatan sa pamamagitan ng pagpapalit ng nakuha na halaga sa equation na ito C \u003d 0 - isang pribadong solusyon.

2.2. Pinaghihiwalay na Mga Pagkakatulad na Pagkakaiba

Ang isang kaugalian na equation na may magkakahiwalay na mga variable ay isang equation ng form: y "\u003d f (x) g (y) o sa pamamagitan ng mga kaugalian, kung saan f (x) at g (y)- tinukoy na mga pag-andar.

Para sa mga yan y, kung saan, ang equation y "\u003d f (x) g (y) ay katumbas ng equation, kung saan ang variable y ay naroroon lamang sa kaliwang bahagi, at ang variable x ay nasa kanang bahagi lamang. Sinabi nila, "sa equation y "\u003d f (x) g (y hatiin natin ang mga variable ".

Equation ng form ay tinatawag na isang equation na may magkakahiwalay na variable.

Sa pamamagitan ng pagsasama ng magkabilang panig ng equation ni x, nakukuha natin G (y) \u003d F (x) + CAy ang pangkalahatang solusyon ng equation, kung saan G (y) at F (x) Ang ilang mga antiderivatives ng pag-andar at f (x), C di-makatwirang pare-pareho.

Algorithm para sa paglutas ng isang pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod sa pagkakasunod-sunod na may magkahiwalay na mga variable

Halimbawa 1

Malutas ang equation y "\u003d xy

Desisyon. Pag-andar ng hango y " palitan ng

hatiin ang mga variable

isama ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay:

Halimbawa 2

2yy "\u003d 1- 3x 2, kung y 0 \u003d 3 sa x 0 \u003d 1

Ito ay isang pinaghiwalay na variable na equation. Kinakatawan natin ito sa mga pagkakaiba. Upang magawa ito, muling isinusulat namin ang equation na ito sa form Mula rito

Isinasama ang magkabilang panig ng huling pagkakapantay-pantay, nakita namin

Pagpapalit ng mga paunang halaga x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3hanapin MULA SA 9=1-1+C, ibig sabihin C \u003d 9.

Samakatuwid, ang hinahangad na bahagyang pagsasama ay o

Halimbawa 3

Pantayin ang isang curve sa pamamagitan ng isang punto M (2; -3) at may isang tangent na may slope

Desisyon. Ayon sa kundisyon

Ito ay isang nakahiwalay na equation. Paghahati sa mga variable, nakukuha namin ang:

Sa pamamagitan ng pagsasama ng magkabilang panig ng equation, nakukuha namin ang:

Gamit ang mga paunang kundisyon, x \u003d 2 at y \u003d - 3 hanapin C:

Samakatuwid, ang hinahangad na equation ay may form

2.3. Mga linear equation equation ng unang order

Ang isang paunang pagkakasunud-sunod na linear equation equation ay isang equation ng form y "\u003d f (x) y + g (x)

kung saan f (x) at g (x) - ilang mga preset na pag-andar.

Kung g (x) \u003d 0pagkatapos ang linear equation equation ay tinatawag na homogenous at mayroong form: y "\u003d f (x) y

Kung gayon ang equation y "\u003d f (x) y + g (x) tinatawag na heterogeneous.

Pangkalahatang solusyon ng isang linear homogeneous kaugalian na equation y "\u003d f (x) y ay ibinigay ng pormula: kung saan MULA SA Ay isang di-makatwirang pare-pareho.

Sa partikular, kung C \u003d 0,kung gayon ang solusyon ay y \u003d 0 Kung ang isang linear homogenous equation ay mayroong form y "\u003d ky Kung saan k - ilang pare-pareho, pagkatapos ang pangkalahatang solusyon nito ay may form:

Pangkalahatang solusyon ng isang linear na inhomogeneous equation na kaugalian y "\u003d f (x) y + g (x) ay ibinigay ng pormula ,

mga yan ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon ng kaukulang linear homogenous equation at ang partikular na solusyon ng equation na ito.

Para sa isang linear na inhomogeneous equation ng form y "\u003d kx + b,

kung saan k at b- ilang mga numero at isang pare-pareho na pag-andar ay magiging isang partikular na solusyon. Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ay.

Halimbawa... Malutas ang equation y "+ 2y +3 \u003d 0

Desisyon. Kinakatawan namin ang equation sa form y "\u003d -2y - 3 Kung saan k \u003d -2, b \u003d -3 Ang pangkalahatang solusyon ay ibinibigay ng pormula.

Samakatuwid, kung saan ang C ay isang di-makatwirang pare-pareho.

2.4. Solusyon ng mga linear equation equation ng unang pagkakasunud-sunod ng pamamaraang Bernoulli

Paghanap ng Pangkalahatang Solusyon ng isang First Order Linear Differential Equation y "\u003d f (x) y + g (x) ay nabawasan sa paglutas ng dalawang kaugalian na mga equation na may magkakahiwalay na variable gamit ang pagpapalit y \u003d uvkung saan ikaw at v - Hindi kilalang mga pag-andar mula sa x... Ang pamamaraang ito ng solusyon ay tinatawag na pamamaraang Bernoulli.

Algorithm para sa paglutas ng isang first-order na linear equation na kaugalian

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Ipakilala ang kahalili y \u003d uv.

2. Ipaiba ang pagkakapantay-pantay na ito y "\u003d u" v + uv "

3. Kapalit y at y " sa equation na ito: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)o u "v + uv" + f (x) uv \u003d g (x).

4. Pangkatin ang mga tuntunin ng equation nang sa gayon ikaw ilabas ang mga braket:

5. Mula sa panaklong, pagpapantay ng ito sa zero, hanapin ang pagpapaandar

Ito ay isang nakahiwalay na equation:

Hatiin natin ang mga variable at makuha ang:

Mula saan . .

6. Palitan ang nakuhang halaga vsa equation (mula sa item 4):

at hanapin ang pagpapaandar Ito ay isang nakahiwalay na equation:

7. Isulat ang pangkalahatang solusyon sa form: , ibig sabihin ...

Halimbawa 1

Humanap ng isang partikular na solusyon sa equation y "\u003d -2y +3 \u003d 0 kung y \u003d 1 sa x \u003d 0

Desisyon. Solusyunan natin ito gamit ang pagpapalit y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Pagpapalit yat y " sa equation na ito, nakukuha natin

Pagpapangkat ng pangalawa at pangatlong termino sa kaliwang bahagi ng equation, inilalabas namin ang karaniwang kadahilanan ikaw wala sa mga braket

Ang ekspresyon sa mga braket ay ipinapantay sa zero at, na nalutas ang nagresultang equation, nakita namin ang pagpapaandar v \u003d v (x)

Nakatanggap ng isang equation na may magkakahiwalay na variable. Isinasama namin ang magkabilang panig ng equation na ito: Hanapin ang pagpapaandar v:

Palitan ang nagresultang halaga v sa equation Nakukuha namin:

Ito ay isang equation na may magkakahiwalay na variable. Isinasama namin ang magkabilang panig ng equation: Hanapin ang pagpapaandar u \u003d u (x, c) Maghanap tayo ng isang pangkalahatang solusyon: Humanap tayo ng isang partikular na solusyon ng equation na nagbibigay-kasiyahan sa mga paunang kundisyon y \u003d 1 sa x \u003d 0:

III. Mga equation na kaugalian ng mas mataas na order

3.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang isang kaugalian na equation ng pangalawang order ay isang equation na naglalaman ng mga derivatives na hindi mas mataas kaysa sa pangalawang order. Sa pangkalahatang kaso, ang isang pangalawang-pagkakasunod-sunod na kaugalian sa pagkakasunod-sunod ay nakasulat sa form: F (x, y, y ", y") \u003d 0

Ang isang pangkalahatang solusyon ng isang pangalawang-pagkakasunod-sunod na pagkakatulad na equation ay isang pagpapaandar ng form, na kasama ang dalawang di-makatwirang mga Constant C 1 at C 2.

Ang isang bahagyang solusyon ng isang pangalawang-pagkakasunod-sunod na pagkakatulad na equation ay isang solusyon na nakuha mula sa isang pangkalahatang isa para sa ilang mga halaga ng di-makatwirang mga Constant C 1 at C 2.

3.2. Linear homogeneous kaugalian equation ng ikalawang pagkakasunud-sunod na may pare-pareho ang mga coefficients.

Linear homogenous na pangalawang-order na pagkakapantay-pantay na equation na may pare-parehong mga coefficients ay tinatawag na isang equation ng form y "+ py" + qy \u003d 0kung saan pat q- pare-pareho ang halaga.

Algorithm para sa paglutas ng homogenous na pangalawang pagkakasunud-sunod ng mga pagkakapantay-pantay na equation na may pare-pareho na mga coefficients

1. Isulat ang pagkakaiba sa equation sa form: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. Gawin ang katumbas na katumbas nito, na nagsasaad y " sa kabila r 2, y " sa kabila r, ysa 1: r 2 + pr + q \u003d 0

Ang nilalaman ng artikulo

Magkakaibang mga kagamitan.Maraming mga pisikal na batas na namamahala sa ilang mga phenomena ay nakasulat sa anyo ng isang equation sa matematika na nagpapahiwatig ng isang tiyak na ugnayan sa pagitan ng ilang dami. Kadalasan pinag-uusapan natin ang tungkol sa ugnayan sa pagitan ng mga halagang nagbabago sa paglipas ng panahon, halimbawa, ang ekonomiya ng makina, na sinusukat ng distansya na maaaring maglakbay ang isang kotse sa isang litro ng gasolina, nakasalalay sa bilis ng kotse. Ang katumbas na equation ay naglalaman ng isa o higit pang mga pagpapaandar at ang kanilang mga derivatives at tinatawag na isang kaugalian na equation. (Ang rate ng pagbabago sa distansya sa paglipas ng panahon ay natutukoy ng bilis; samakatuwid, ang bilis ay isang hango ng distansya; katulad, ang pagpabilis ay isang hinalaw ng bilis, yamang ang bilis ay nagtatakda ng rate ng pagbabago ng bilis sa paglipas ng panahon.) Ang mga magkakaibang equation ay may malaking kahalagahan para sa matematika at lalo na para sa mga aplikasyon nito , ay ipinaliwanag ng katotohanan na ang pag-aaral ng maraming mga pisikal at teknikal na problema ay nabawasan sa paglutas ng mga naturang equation. Ang mga magkakaibang equation ay may mahalagang papel sa iba pang mga agham, tulad ng biology, economics, at electrical engineering; sa katunayan, lumitaw ang mga ito saanman may pangangailangan para sa isang dami (bilang) na paglalarawan ng mga phenomena (sa lalong madaling pagbabago ng nakapalibot na mundo sa oras, at ang mga kondisyon ay nagbabago mula sa isang lugar patungo sa isa pa).

Mga halimbawa.

Ang mga sumusunod na halimbawa ay makakatulong sa iyo na mas maunawaan kung paano ang iba't ibang mga problema ay nabubuo sa wika ng mga pagkakapantay-pantay na equation.

1) Ang batas ng pagkabulok ng ilang mga radioactive na sangkap ay ang rate ng pagkabulok ay proporsyonal sa magagamit na halaga ng sangkap na ito. Kung x - ang dami ng sangkap sa ilang mga oras t, kung gayon ang batas na ito ay maaaring maisulat tulad ng sumusunod:

kung saan dx/dt Ang rate ba ng pagkabulok, at k - ilang positibong pare-pareho na nagpapakilala sa ibinigay na sangkap. (Ang isang minus sign sa kanan ay nagpapahiwatig nito x bumababa sa paglipas ng panahon; isang plus sign, laging ipinahiwatig kung walang pag-sign na malinaw na ipinahiwatig, nangangahulugan iyon x tataas sa paglipas ng panahon.)

2) Ang lalagyan ay unang naglalaman ng 10 kg ng asin na natunaw sa 100 m 3 ng tubig. Kung ang dalisay na tubig ay ibinuhos sa lalagyan sa isang rate na 1 m 3 bawat minuto at pantay na halo sa solusyon, at ang nagresultang solusyon ay dumadaloy sa lalagyan sa parehong rate, gaano karaming asin ang lalagyan sa anumang kasunod na oras? Kung x - ang dami ng asin (sa kg) sa lalagyan sa oras t, pagkatapos ay sa anumang oras t 1 m 3 ng solusyon sa lalagyan ay naglalaman x/ 100 kg ng asin; samakatuwid, ang halaga ng asin ay bumababa sa isang rate x/ 100 kg / min, o

3) Hayaan ang masa ng katawan mnasuspinde mula sa pagtatapos ng tagsibol, ang isang nagpapanumbalik na puwersa ay kumikilos proporsyonal sa dami ng pag-igting sa tagsibol. Hayaan mo x - ang halaga ng paglihis ng katawan mula sa posisyon ng balanse. Pagkatapos, alinsunod sa ikalawang batas ni Newton, na nagsasaad ng pagpapabilis (pangalawang hinalaw ng x sa oras, na-denote d 2 x/dt 2) sa proporsyon ng lakas:

Ang kanang bahagi ay may isang sign na minus dahil ang lakas na panunumbalik ay binabawasan ang pag-igting ng tagsibol.

4) Ang batas ng mga nagpapalamig na katawan ay nagsasaad na ang dami ng init sa katawan ay bumababa ayon sa proporsyon ng pagkakaiba ng temperatura sa pagitan ng katawan at ng kapaligiran. Kung ang isang tasa ng kape ay nagpainit hanggang sa isang temperatura ng 90 ° C ay nasa isang silid na may temperatura na 20 ° C, kung gayon

kung saan T - temperatura ng kape sa oras t.

5) Ang Ministro para sa Ugnayang Panlabas ng Estado ng Blefuscu ay inaangkin na ang programa ng armas na pinagtibay ni Lilliputia ay pinipilit ang kanyang bansa na dagdagan ang paggasta ng militar hangga't maaari. Ang dayuhang ministro ni Lilliputia ay gumagawa din ng mga katulad na pahayag. Ang nagresultang sitwasyon (sa pinakasimpleng interpretasyon nito) ay maaaring tumpak na inilarawan ng dalawang kaugalian na mga equation. Hayaan mo x at y - ang gastos sa pag-armas sa Lilliputia at Blefuscu. Ipagpalagay na pinatataas ng Lilliputia ang mga gastos sa sandata sa isang rate na proporsyonal sa rate ng pagtaas ng mga gastos sa sandata sa Blefusk, at sa kabaligtaran, nakukuha natin ang:

kung saan ang mga miyembro ay palakol at - ni ilarawan ang mga paggasta ng militar ng bawat bansa, k at l - positibong pare-pareho. (Ang problemang ito ay unang nabuo sa ganitong paraan noong 1939 ni L. Richardson.)

Matapos maisulat ang problema sa wika ng mga pagkakapantay-pantay na equation, dapat na subukan ng isa na lutasin ang mga ito, ibig sabihin hanapin ang mga dami na ang mga rate ng pagbabago ay kasama sa mga equation. Minsan ang mga solusyon ay matatagpuan sa anyo ng mga malinaw na pormula, ngunit mas madalas na maipakita lamang ito sa isang tinatayang form o husay na impormasyon tungkol sa mga ito ay maaaring makuha. Ito ay madalas na mahirap alamin kung ang isang solusyon ay mayroon ng lahat, pabayaan maghanap ng isa. Ang isang mahalagang seksyon ng teorya ng mga pagkakapantay-pantay na equation ay binubuo ng tinaguriang "pagkakaroon ng mga teorama", kung saan napatunayan ang pagkakaroon ng isang solusyon para sa isang uri o iba pang magkakaibang mga equation.

Ang orihinal na pagbabalangkas ng matematika ng isang pisikal na problema ay karaniwang naglalaman ng pagpapasimple ng mga pagpapalagay; ang pamantayan ng kanilang pagkamakatuwiran ay maaaring ang antas ng pagkakapare-pareho ng solusyon sa matematika sa mga magagamit na obserbasyon.

Mga solusyon ng mga pagkakatulad na equation.

Halimbawa ng pagkakaiba-iba, halimbawa dy/dx = x/y, hindi ito isang numero na nagbibigay-kasiyahan, ngunit isang pag-andar, sa partikular na kasong ito tulad ng ang grap nito sa anumang punto, halimbawa, sa isang punto na may mga coordinate (2,3), ay may isang tangent na may isang angular coefficient na katumbas ng ratio ng mga coordinate (sa aming halimbawa, 2/3). Madaling i-verify ito kung bumuo ka ng isang malaking bilang ng mga puntos at mula sa bawat magtabi ng isang maikling segment na may kaukulang slope. Ang solusyon ay magiging isang pagpapaandar na ang grap ay tumatama sa bawat isa sa mga puntos nito sa kaukulang segment. Kung may sapat na mga puntos at segment, pagkatapos ay maaari nating mababalangkas ang kurso ng mga curve ng solusyon (tatlong tulad na mga kurba ay ipinapakita sa Larawan 1). Mayroong eksaktong isang solusyon ng curve na dumadaan sa bawat punto na may y № 0. Ang bawat indibidwal na solusyon ay tinatawag na isang partikular na solusyon ng kaugalian na pagkakatulad; kung posible na makahanap ng isang pormula na naglalaman ng lahat ng mga partikular na solusyon (maliban sa maaaring magbukod ng maraming mga espesyal), sinabi nila na isang pangkalahatang solusyon ang nakuha. Ang isang partikular na solusyon ay isang pagpapaandar, habang ang isang pangkalahatan ay ang kanilang buong pamilya. Upang malutas ang isang kaugalian na equation nangangahulugan na makahanap ng alinman sa mga partikular o pangkalahatang solusyon. Sa aming halimbawa, ang pangkalahatang solusyon ay mayroong form y 2 – x 2 = ckung saan c - kahit anong numero; ang partikular na solusyon na dumadaan sa puntong (1,1) ay mayroong form y = x at nakuha kung kailan c \u003d 0; ang partikular na solusyon na dumadaan sa punto (2.1) ay mayroong form y 2 – x 2 \u003d 3. Ang kundisyon na nangangailangan ng solusyon ng curve upang pumasa, halimbawa, sa pamamagitan ng point (2,1), ay tinatawag na paunang kundisyon (dahil itinatakda nito ang panimulang punto sa curve ng solusyon).

Maipapakita na sa halimbawa (1) ang pangkalahatang solusyon ay mayroong form x = ce –kt kung saan c Ay isang pare-pareho na maaaring matukoy, halimbawa, sa pamamagitan ng pagpapahiwatig ng dami ng isang sangkap sa t \u003d 0. Ang equation mula sa halimbawa (2) ay isang espesyal na kaso ng equation mula sa halimbawa (1), na naaayon sa k \u003d 1/100. Paunang kondisyon x \u003d 10 sa t \u003d 0 ay nagbibigay ng isang partikular na solusyon x = 10e –t/isang daan . Ang equation mula sa halimbawa (4) ay may pangkalahatang solusyon T = 70 + ce –kt at pribadong solusyon 70 + 130 - kt ; upang matukoy ang halaga k, kailangan ng karagdagang data.

Pagkakaiba ng equation dy/dx = x/y ay tinatawag na isang pagkakasunod-sunod na pagkakasunud-sunod, dahil naglalaman ito ng unang hango (ang pagkakasunud-sunod ng pinakamataas na hinalaw na kasama dito ay itinuturing na pagkakasunud-sunod ng isang kaugalian sa pagkakatulad). Para sa karamihan (kahit na hindi lahat) mga pagkakapantay-pantay na equation ng unang uri na lumitaw sa pagsasanay, isang curve lamang ng solusyon ang dumadaan sa bawat punto.

Mayroong maraming mahahalagang uri ng mga pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod na maaaring malutas sa anyo ng mga formula na naglalaman lamang ng mga pagpapaandar sa elementarya - degree, exponentials, logarithms, sines at cosines, atbp Kasama sa mga equation na ito ang mga sumusunod.

Paghihiwalay ng mga equation.

Mga equation ng form dy/dx = f(x)/g(y) maaaring malutas sa pamamagitan ng pagsulat nito sa mga kaugalian g(y)dy = f(x)dx at pagsasama ng parehong bahagi. Sa pinakamasamang kaso, ang solusyon ay maaaring kinatawan bilang integral ng mga kilalang pag-andar. Halimbawa, sa kaso ng equation dy/dx = x/y meron kami f(x) = x, g(y) = y... Pagsusulat nito bilang ydy = xdx at pagsasama, nakukuha natin y 2 = x 2 + c... Ang mga equation na may magkakahiwalay na variable ay may kasamang mga equation mula sa mga halimbawa (1), (2), (4) (malulutas ang mga ito tulad ng inilarawan sa itaas).

Mga equation sa kabuuang kaugalian.

Kung ang pagkakaiba sa equation ay mayroong form dy/dx = M(x,y)/N(x,y), saan M at N - Dalawang ibinigay na pag-andar, pagkatapos ay maaaring ito ay kinatawan bilang M(x,y)dx – N(x,y)dy \u003d 0. Kung ang kaliwang bahagi ay ang kaugalian ng ilang pagpapaandar F(x,y), pagkatapos ang pagkakaiba sa pagkakatulad ay maaaring nakasulat bilang dF(x,y) \u003d 0, na katumbas ng equation F(x,y) \u003d const. Kaya, ang mga solusyon ng curve ng equation ay ang "mga linya ng pare-pareho ang mga antas" ng pagpapaandar, o ang mga lugar na geometric ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa mga equation F(x,y) = c... Ang equation ydy = xdx (Larawan 1) - na may magkakahiwalay na mga variable, at ito rin ay sa kabuuang mga kaugalian: upang matiyak ang huli, isinulat namin ito sa form ydy – xdx \u003d 0, ibig sabihin d(y 2 – x 2) \u003d 0. Pag-andar F(x,y) sa kasong ito ay katumbas ng (1/2) ( y 2 – x 2); ang ilan sa mga pare-pareho nitong linya ng antas ay ipinapakita sa Fig. isa

Linear na equation.

Ang mga linear equation ay mga equation na "first degree" - isang hindi kilalang pagpapaandar at ang mga derivatives nito ay pumapasok lamang sa mga naturang equation sa unang degree. Kaya, ang unang pagkakasunud-sunod na linear equation na may kaugalian ay mayroong form dy/dx + p(x) = q(x), saan p(x) at q(x) Ay mga pagpapaandar na nakasalalay lamang sa x... Ang solusyon nito ay laging nakasulat gamit ang mga integral ng mga kilalang pag-andar. Maraming iba pang mga uri ng mga pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod na pagkakasunod-sunod ay nalulutas gamit ang mga espesyal na diskarte.

Mga equation na mas mataas ang order.

Maraming mga kaugalian na pagkakatulad na kinakaharap ng mga physicist ay mga equation na pangalawang-order (ibig sabihin, mga equation na naglalaman ng pangalawang derivatives) Ang ganoong, halimbawa, ang equation ng simpleng pagkakasabay ng paggalaw mula sa halimbawa (3), md 2 x/dt 2 = –kx... Sa pangkalahatan, may inaasahan ang isang equation na pangalawang order upang magkaroon ng mga partikular na solusyon na nagbibigay-kasiyahan sa dalawang kundisyon; halimbawa, maaari mong mangailangan ang solusyon ng curve upang dumaan sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na direksyon. Sa mga kaso kung saan naglalaman ang pagkakaiba sa pagkakatulad ng isang tiyak na parameter (isang bilang na ang halaga ay nakasalalay sa mga pangyayari), ang mga solusyon ng kinakailangang uri ay umiiral lamang para sa ilang mga halaga ng parameter na ito. Halimbawa, isaalang-alang ang equation md 2 x/dt 2 = –kx at kailanganin iyon y(0) = y(1) \u003d 0. Pag-andar y Ang є 0 ay tiyak na isang solusyon, ngunit kung isang integer na maramihang ng p, ibig sabihin k = m 2 n 2 p2, saan n - isang integer, ngunit sa katotohanan lamang sa kasong ito, may iba pang mga solusyon, lalo: y \u003d kasalanan npx... Ang mga halaga ng parameter kung saan ang equation ay may mga espesyal na solusyon ay tinatawag na katangian o eigenvalues; gampanan nila ang isang mahalagang papel sa maraming gawain.

Ang equation ng simpleng pagsasabay sa galaw ay nagsisilbing isang halimbawa ng isang mahalagang klase ng mga equation, katulad ng linear equation equation na may pare-pareho na mga coefficients. Ang isang mas pangkalahatang halimbawa (din ng pangalawang pagkakasunud-sunod) ay ang equation

kung saan a at b - ibinigay na mga pare-pareho, f(x) Ay isang naibigay na pagpapaandar. Ang mga nasabing equation ay maaaring malutas sa iba't ibang mga paraan, halimbawa, gamit ang integral Laplace transform. Maaaring sabihin ang pareho tungkol sa mga linear equation ng mas mataas na mga order na may pare-parehong mga coefficients. Ang mga linear equation na may variable coefficients ay may mahalagang papel din.

Nonlinear na mga pagkakatulad na pagkakaiba.

Ang mga equation na naglalaman ng mga hindi kilalang pag-andar at ang kanilang mga derivatives sa isang degree na mas mataas kaysa sa una o sa ilang mas kumplikadong paraan ay tinatawag na nonlinear. Sa mga nagdaang taon, mas nakakuha sila ng pansin. Ang punto ay ang mga pisikal na equation ay karaniwang linear lamang sa unang approximation; karagdagang at mas tumpak na pagsasaliksik, bilang isang panuntunan, ay nangangailangan ng paggamit ng mga hindi linear na equation. Bukod dito, maraming mga problema ay likas na hindi linear. Dahil ang mga solusyon sa mga hindi linear na equation ay madalas na kumplikado at mahirap na kumatawan sa mga simpleng pormula, isang makabuluhang bahagi ng modernong teorya ang nakatuon sa husay na pagsusuri ng kanilang pag-uugali, ibig sabihin. ang pagbuo ng mga pamamaraan na nagpapahintulot, nang hindi nalulutas ang equation, upang masabi ang isang bagay na mahalaga tungkol sa likas na katangian ng mga solusyon sa kabuuan: halimbawa, lahat sila ay limitado, o may panaka-nakang kalikasan, o nakasalalay sa isang tiyak na paraan sa mga coefficients.

Ang mga tinatayang solusyon ng mga pagkakapantay-pantay na equation ay matatagpuan sa bilang, ngunit ito ay tumatagal ng maraming oras. Sa pag-usbong ng mga computer na matulin ang bilis, sa oras na ito ay lubos na nabawasan, na nagbukas ng mga bagong posibilidad para sa numerong solusyon ng maraming mga problema na dati ay hindi sumuko sa naturang solusyon.

Mga teorya ng pagkakaroon.

Ang isang pagkakaroon ng teorama ay isang teorama na nagsasaad na sa ilalim ng ilang mga kundisyon ang isang naibigay na kaugalian na equation ay may solusyon. Mayroong mga equation na kaugalian na walang mga solusyon o mayroong higit sa inaasahan. Ang layunin ng pagkakaroon ng teorama ay upang kumbinsihin sa amin na ang isang naibigay na equation ay may solusyon, at madalas na tiyakin na mayroon itong eksaktong isang solusyon ng kinakailangang uri. Halimbawa, ang equation na nakasalubong na namin dy/dx = –2y may eksaktong isang solusyon na dumadaan sa bawat punto ng eroplano ( x,y), at dahil nakakita na kami ng isang tulad na solusyon, ganap naming nalutas ang equation na ito. Sa kabilang banda, ang equation ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 ay may maraming mga solusyon. Kabilang sa mga ito ay direkta y = 1, y \u003d –1 at mga kurba y \u003d kasalanan ( x + c). Ang solusyon ay maaaring binubuo ng maraming mga segment ng mga tuwid na linya at curve na ito, na dumadaan sa bawat isa sa mga punto ng tangency (Larawan 2).

Bahagyang mga equation na pagkakaiba.

Ang isang ordinaryong equation na kaugalian ay ilang pahayag tungkol sa hango ng isang hindi kilalang pag-andar ng isang variable. Ang isang bahagyang kaugalian na equation ay naglalaman ng isang pagpapaandar ng dalawa o higit pang mga variable at derivatives ng pagpapaandar na ito sa hindi bababa sa dalawang magkakaibang mga variable.

Sa pisika, ang mga halimbawa ng naturang mga equation ay ang equation ng Laplace

X, y) sa loob ng bilog kung ang mga halaga ikaw ay tinukoy sa bawat punto ng hangganan ng bilog. Dahil ang mga problema sa higit sa isang variable sa pisika ay ang panuntunan sa halip na ang pagbubukod, madaling isipin kung gaano kalawak ang paksa ng teorya ng bahagyang mga pagkakapantay-pantay na equation.

Pinapayagan ka ng online na calculator na malutas ang mga kaugalian sa online. Sapat na upang ipasok ang iyong equation sa naaangkop na patlang, na nagpapahiwatig ng "hango ng pagpapaandar" sa pamamagitan ng apostrophe at mag-click sa pindutang "malutas ang equation." At ang system na ipinatupad batay sa sikat na website ng WolframAlpha ay magbibigay ng isang detalyadong solusyon sa pagkakatulad na equation ganap na malaya. Maaari mo ring itakda ang problema sa Cauchy upang mapili ang kabuuan na naaayon sa ibinigay na paunang mga kundisyon mula sa buong hanay ng mga posibleng solusyon. Ang problema sa Cauchy ay ipinasok sa isang hiwalay na larangan.

Pagkakaiba ng equation

Ang default na pagpapaandar sa equation ay y ay isang pagpapaandar ng isang variable x... Gayunpaman, maaari mong itakda ang iyong sariling variable na pagtatalaga, kung sumulat ka, halimbawa, y (t) sa equation, pagkatapos ay awtomatikong makikilala ng calculator na y mayroong isang pagpapaandar ng isang variable t... Sa isang calculator maaari mong lutasin ang mga pagkakapantay-pantay na equation ng anumang pagiging kumplikado at uri: magkakauri at hindi magkakaiba, linear o hindi linya, unang pagkakasunud-sunod o pangalawa at mas mataas na mga order, mga equation na may magkakahiwalay o hindi maihihiwalay na mga variable, atbp. Pagkakaiba-iba ng solusyon ang equation ay ibinigay sa isang analitikong form, may isang detalyadong paglalarawan. Ang mga magkakaibang equation ay napaka-pangkaraniwan sa pisika at matematika. Nang hindi kinakalkula ang mga ito, imposibleng malutas ang maraming mga problema (lalo na sa pisika ng matematika).

Ang isa sa mga yugto sa paglutas ng mga pagkakapantay-pantay na equation ay ang pagsasama ng mga pag-andar. Mayroong karaniwang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga pagkakapantay-pantay na mga equation. Kinakailangan na dalhin ang mga equation sa form na may magkakahiwalay na variable na y at x at magkahiwalay na isama ang pinaghiwalay na mga pag-andar. Upang magawa ito, kung minsan ang isang tiyak na kapalit ay dapat isagawa.