Ang parisukat na ugat ng bilang x ay ang bilang a, kung saan, kapag pinarami ng kanyang sarili, ay nagbibigay ng bilang x: a * a \u003d a ^ 2 \u003d x, √x \u003d a. Tulad ng anumang mga numero, maaari kang magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas ng arithmetic na may mga square root.

Panuto

• Una, kapag nagdaragdag parisukat na mga ugat subukang kunin ang mga ugat na ito. Magagawa ito kung ang mga numero sa ilalim ng root sign ay perpektong mga parisukat. Halimbawa, hayaang ibigay ang ekspresyong √4 + √9. Ang unang bilang 4 ay parisukat ng bilang 2. Ang pangalawang bilang 9 ay parisukat ng bilang 3. Sa gayon, lumalabas na: √4 + √9 \u003d 2 + 3 \u003d 5.
• Kung walang kumpletong mga parisukat sa ilalim ng root sign, pagkatapos ay subukang alisin ang factor factor mula sa root sign. Halimbawa, hayaang ibigay ang ekspresyong √24 + √54. Isaalang-alang ang mga numero: 24 \u003d 2 * 2 * 2 * 3, 54 \u003d 2 * 3 * 3 * 3. Ang bilang na 24 ay may factor na 4, na maaaring makuha sa labas ng pag-sign square root... Ang bilang 54 ay may salik na 9. Sa gayon, lumalabas na: √24 + √54 \u003d √ (4 * 6) + √ (9 * 6) \u003d 2 * √6 + 3 * √6 \u003d 5 * √6. SA ang halimbawang ito bilang isang resulta ng pag-aalis ng kadahilanan mula sa ugat na pag-sign, naka-turn out upang gawing simple ang ibinigay na expression.
• Hayaan ang kabuuan ng dalawang parisukat na ugat na maging denominator ng isang maliit na bahagi, halimbawa, A / (√a + √b). At hayaan ang gawain bago mo "alisin ang kawalang-katwiran sa denominator." Pagkatapos ay maaari mong gamitin ang sumusunod na pamamaraan. I-multiply ang numerator at denominator ng maliit na bahagi ng √a - √b. Kaya, ang denominator ay ang pormula para sa pagpapaikling pagdaragdag: (√a + √b) * (√a - √b) \u003d a - b. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, kung ang pagkakaiba ng mga ugat ay ibinigay sa denominator: √a - √b, kung gayon ang numerator at denominator ng maliit na bahagi ay dapat na maparami ng ekspresyong √a + √b. Halimbawa, hayaang mabigyan ang isang maliit na bahagi ng 4 / (√3 + √5) \u003d 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) \u003d 4 * (√3 - √5) / (-2) \u003d 2 * (√5 - √3).
• Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong halimbawa ng pag-aalis ng kawalang katwiran sa denominator. Hayaang ibigay ang praksyon 12 / (√2 + √3 + √5). Kinakailangan na i-multiply ang numerator at denominator ng maliit na bahagi sa pamamagitan ng expression na √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Panghuli, kung nais mo lamang ang isang tinatayang halaga, maaari kang gumamit ng isang calculator upang makalkula ang mga halagang halaga ng root. Kalkulahin ang mga halagang magkahiwalay para sa bawat numero at isulat ang mga ito sa kinakailangang katumpakan (halimbawa, dalawang decimal na lugar). At pagkatapos ay isagawa ang kinakailangang mga pagpapatakbo ng arithmetic tulad ng sa ordinaryong mga numero. Halimbawa, ipagpalagay na nais mong malaman ang tinatayang halaga ng pagpapahayag √7 + √5 ≈ 2.65 + 2.24 \u003d 4.89.

Ang paksa tungkol sa square Roots ay dapat sa kurikulum sa paaralan kurso ng matematika. Hindi mo magagawa nang wala sila kapag nilulutas ang mga quadratic equation. At sa paglaon ito ay kinakailangan kinakailangan hindi lamang upang makuha ang mga ugat, ngunit din upang maisagawa ang iba pang mga aksyon sa kanila. Kabilang sa mga ito ay medyo kumplikado: pagpapalawak, pagpaparami at paghati. Ngunit mayroon ding medyo simple: pagbabawas at pagdaragdag ng mga ugat. Siya nga pala, sa tingin lang nila. Ang pagsasagawa ng mga ito nang walang mga pagkakamali ay hindi laging madali para sa isang taong nagsisimula nang makilala ang mga ito.

Ano ang ugat ng matematika?

Ang aksyong ito ay lumitaw na taliwas sa exponentiation. Ang matematika ay nagsasangkot ng dalawang kabaligtaran na operasyon. Mayroong isang pagbabawas para sa karagdagan. Ang pagpaparami ay taliwas sa paghahati. Ang reverse epekto ng degree ay upang makuha ang kaukulang ugat.

Kung ang lakas ay dalawa, pagkatapos ang ugat ay parisukat. Ito ang pinakakaraniwan sa matematika sa paaralan. Wala man itong pahiwatig na parisukat ito, ibig sabihin, ang bilang 2. ay hindi itinalaga dito. Ang notasyong matematika ng operator na ito (radikal) ay ipinapakita sa pigura.

Mula sa inilarawan na pagkilos, maayos ang pagsunod sa kahulugan nito. Upang makuha ang parisukat na ugat ng isang numero, kailangan mong malaman kung ano ang ibibigay ng radikal na ekspresyon kapag dumarami nang mismong ito. Ang bilang na ito ang magiging square root. Kung isusulat mo ito sa matematika, makukuha mo ang mga sumusunod: x * x \u003d x 2 \u003d y, kaya √y \u003d x.

Anong mga pagkilos ang magagawa mo sa kanila?

Sa core nito, ang isang ugat ay isang praksyonal na lakas na may isa sa numerator. At ang denominator ay maaaring maging anumang. Halimbawa, ang square root ay may dalawa. Samakatuwid, ang lahat ng mga aksyon na maaaring gumanap sa mga degree ay magiging totoo din para sa mga ugat.

At ang mga kinakailangan para sa mga pagkilos na ito ay pareho. Kung ang pagpaparami, paghahati at pagtaas sa isang kapangyarihan ay hindi nakakatugon sa mga paghihirap para sa mga mag-aaral, pagkatapos ang pagdaragdag ng mga ugat, tulad ng kanilang pagbabawas, kung minsan ay humantong sa pagkalito. At lahat dahil nais mong isagawa ang mga operasyon na ito nang hindi tinitingnan ang root sign. At dito nagsisimula ang mga pagkakamali.

Ano ang mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas sa mga ito?

Una, kailangan mong tandaan ang dalawang kategoryang "hindi":

• imposibleng magsagawa ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga ugat, tulad ng mga prima, iyon ay, imposibleng magsulat ng mga radikal na ekspresyon ng kabuuan sa ilalim ng isang pag-sign at magsagawa ng mga pagpapatakbo ng matematika sa kanila;
• hindi ka maaaring magdagdag at magbawas ng mga ugat na may iba't ibang mga tagapagpahiwatig, halimbawa, parisukat at kubiko.

Isang nakalalarawan na halimbawa ng unang pagbabawal: √6 + √10 ≠ √16, ngunit √ (6 + 10) \u003d √16.

Sa pangalawang kaso, mas mahusay na limitahan ang ating sarili na gawing simple ang mga ugat mismo. At iwanan ang kanilang kabuuan bilang tugon.

Ngayon sa mga patakaran

1. Hanapin at pangkatin ang magkatulad na mga ugat. Iyon ay, ang mga hindi lamang may parehong mga numero sa ilalim ng radikal, ngunit sila mismo ay may isang tagapagpahiwatig.
2. Idagdag ang mga ugat, pinag-isa sa isang pangkat ng unang aksyon. Madali itong ipatupad, dahil kailangan mo lamang idagdag ang mga kahulugan na nakatayo sa harap ng mga radical.
3. I-extract ang mga ugat sa mga term na iyon kung saan ang radikal na ekspresyon ay bumubuo ng isang buong parisukat. Sa madaling salita, huwag iwanan ang anumang bagay sa ilalim ng pag-sign ng isang radikal.
4. Pasimplehin ang mga radikal na expression. Upang magawa ito, kailangan mong mabulok ang mga ito pangunahing salik at tingnan kung nagbibigay sila ng isang parisukat ng anumang bilang. Malinaw na totoo ito kung dumating na tungkol sa square root. Kapag ang exponent ay tatlo o apat, kung gayon ang mga pangunahing kadahilanan ay dapat ding magbigay ng isang kubo o ika-apat na lakas ng numero.
5. Alisin mula sa pag-sign ng radikal ang salik na nagbibigay ng buong degree.
6. Tingnan kung ito ay muling nagpakita katulad na mga term... Kung gayon, pagkatapos ay isagawa muli ang pangalawang hakbang.

Sa isang sitwasyon kung saan ang gawain ay hindi nangangailangan ng eksaktong eksaktong halaga ng ugat, maaari itong kalkulahin sa isang calculator. Walang katapusang decimal, na mai-highlight sa window nito, bilugan. Kadalasan, ginagawa ito hanggang sa sandaandaan. At pagkatapos ay isagawa ang lahat ng mga pagpapatakbo para sa mga praksyon ng decimal.

Ito ang lahat ng impormasyon tungkol sa kung paano isinasagawa ang pagdagdag ng ugat. Ang mga halimbawa sa ibaba ay ilalarawan ang nasa itaas.

Unang gawain

Kalkulahin ang halaga ng mga expression:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Kung susundin mo ang nasa itaas na algorithm, maaari mong makita na walang anuman para sa unang dalawang pagkilos sa halimbawang ito. Ngunit maaari mong gawing simple ang ilang mga radikal na expression.

Halimbawa, ang kadahilanan 32 sa dalawang kadahilanan 2 at 16; 18 ay magiging katumbas ng produkto ng 9 at 2; Ang 128 ay 2 ng 64. Dahil dito, isusulat ang expression na tulad nito:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Ngayon ay kailangan mong kunin mula sa ilalim ng radikal na pag-sign ng mga salik na nagbibigay ng parisukat ng numero. Ito ay 16 \u003d 4 2, 9 \u003d 3 2, 64 \u003d 8 2. Ang ekspresyon ay kukuha ng form:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Kailangan naming gawing simple ang pag-record ng kaunti. Upang magawa ito, paramihin ang mga coefficients sa harap ng mga palatandaan ng ugat:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Sa expression na ito, lahat ng mga termino ay naging magkatulad. Samakatuwid, kailangan lamang nilang tiklop. Ang sagot ay: 5√2.

b) Katulad ng nakaraang halimbawa, ang pagdaragdag ng mga ugat ay nagsisimula sa pagpapasimple sa kanila. Ang mga radikal na expression na 75, 147, 48 at 300 ay kinakatawan ng mga sumusunod na pares: 5 at 25, 3 at 49, 3 at 16, 3 at 100. Ang bawat isa sa kanila ay may isang numero na maaaring makuha mula sa ilalim ng root sign:

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Pagkatapos ng pagpapagaan, ang sagot ay: 5√5 - 5√3. Maaari itong iwanang tulad nito, ngunit mas mahusay na ilagay ang karaniwang kadahilanan 5 sa labas ng bracket: 5 (√5 - √3).

c) At muling pagpapalagay: 275 \u003d 11 * 25, 99 \u003d 11 * 9, 396 \u003d 11 * 36. Matapos alisin ang mga kadahilanan mula sa root sign, mayroon kaming:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Matapos magdala ng mga katulad na term, nakukuha namin ang resulta: 7√11.

Halimbawa sa mga praksyonal na ekspresyon

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Kinakailangan upang maituro ang mga sumusunod na numero: 45 \u003d 5 * 9, 20 \u003d 4 * 5, 18 \u003d 2 * 9, 245 \u003d 5 * 49. Katulad din sa mga na isaalang-alang, kailangan mong alisin ang mga kadahilanan mula sa ilalim ng root sign at gawing simple ang expression:

3/2 √5 - 2√5 - 5/3 √ (½) - 7/6 √5 + 7 √ (½) \u003d (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √ (½) \u003d - 5/3 √5 + 16/3 √ (½).

Ang expression na ito ay nangangailangan sa iyo upang mapupuksa ang kawalang-katwiran sa denominator. Upang magawa ito, kailangan mong i-multiply ang pangalawang term sa pamamagitan ng √2 / √2:

5/3 √5 + 16/3 √ (½) * √2 / √2 \u003d - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Para sa pagkakumpleto ng mga aksyon, kailangan mong piliin ang buong bahagi ng mga kadahilanan sa harap ng mga ugat. Ang una ay katumbas nito ng 1, ang pangalawa - 2.

Karagdagan at pagbabawas ng mga ugat ay isa sa pinakakaraniwang "mga hadlang" para sa mga kumukuha ng kursong matematika (algebra) sa high school. Gayunpaman, napakahalaga na malaman kung paano idagdag at ibawas ang mga ito nang tama, dahil ang mga halimbawa para sa kabuuan o pagkakaiba ng mga ugat ay kasama sa programa ng pangunahing Unified State Exam sa disiplina na "matematika".

Upang makabisado ang solusyon ng mga nasabing halimbawa, dalawang bagay ang kinakailangan - upang maunawaan ang mga patakaran, at upang makabuo din ng kasanayan. Ang pagkakaroon ng malutas ang isa o dalawang dosenang mga tipikal na halimbawa, ang mag-aaral ay magdadala ng kasanayang ito sa automatism, at pagkatapos ay wala siyang kinakatakutan sa pagsusulit. Inirerekumenda na simulan ang mastering ang mga pagpapatakbo ng arithmetic na may karagdagan, dahil ang pagdaragdag ng mga ito ay mas madali kaysa ibawas ang mga ito.

Ang pinakamadaling paraan upang ipaliwanag ito ay sa halimbawa ng parisukat na ugat. Sa matematika, mayroong isang matatag na term na "parisukat". Ang "to square" ay nangangahulugang i-multiply ang isang tukoy na numero nang isang beses nang mag-isa... Halimbawa, kung parisukat 2, makakakuha ka ng 4. Kung parisukat 7, makakakuha ka ng 49. Ang parisukat ng 9 ay 81. Kaya ang parisukat na ugat ng 4 ay 2, ng 49 ay 7, at ng 81 ay 9.

Bilang panuntunan, ang pag-aaral ng paksang ito sa matematika ay nagsisimula sa mga square root. Upang agad itong matukoy, dapat malaman ng isang mag-aaral sa high school ang talahanayan ng pagpaparami sa pamamagitan ng puso. Ang mga hindi sigurado sa talahanayan na ito ay kailangang gumamit ng mga pahiwatig. Karaniwan, ang proseso ng pagkuha ng root square mula sa isang numero ay ibinibigay sa anyo ng isang talahanayan sa mga pabalat ng maraming mga notebook sa matematika sa paaralan.

Ang mga ugat ay sa mga sumusunod na uri:

• parisukat;
• kubiko (o tinatawag na pangatlong degree);
• ikaapat na degree;
• ikalimang degree.

Mga panuntunan sa pagdaragdag

Upang matagumpay na malutas tipikal na halimbawa, dapat tandaan na hindi lahat ng mga root number maaaring isalansan sa bawat isa... Upang ma-nakatiklop, dapat silang dalhin sa isang karaniwang pattern. Kung hindi ito posible, kung gayon ang problema ay walang solusyon. Ang mga ganitong problema ay madalas na matatagpuan sa mga aklat sa matematika bilang isang uri ng bitag para sa mga mag-aaral.

Hindi pinapayagan ang pagdaragdag sa mga gawain kapag ang mga radikal na expression ay naiiba sa bawat isa. Maaari itong mailarawan sa isang halimbawa na nakalalarawan:

• nahaharap ang mag-aaral sa gawain: idagdag ang parisukat na ugat ng 4 at 9;
• isang walang karanasan na mag-aaral na hindi alam ang mga patakaran na karaniwang nagsusulat: "ugat ng 4 + ugat ng 9 \u003d ugat ng 13".
• napakasimple upang patunayan na ang solusyon na ito ay mali. Upang magawa ito, kailangan mong hanapin ang parisukat na ugat ng 13 at suriin kung ang halimbawa ay malulutas nang tama;
• gamit ang isang microcalculator, maaari mong matukoy na ito ay humigit-kumulang na 3.6. Ngayon ay nananatili itong suriin ang solusyon;
• ang ugat ng 4 \u003d 2, at ng 9 \u003d 3;
• Ang kabuuan ng mga bilang na "dalawa" at "tatlo" ay lima. Kaya, ang solusyon sa algorithm na ito ay maaaring maituring na hindi tama.

Kung ang mga ugat ay pareho ang degree ngunit magkakaiba mga ekspresyon ng numero, inilalagay ito sa labas ng mga braket, at ang kabuuan ng dalawang radikal na ekspresyon... Sa gayon, nakuha na ito mula sa halagang ito.

Algorithm ng karagdagan

Upang makagawa ng tamang pagpapasya ang pinakasimpleng gawain, Kailangan iyon:

1. Tukuyin kung ano ang eksaktong nangangailangan ng karagdagan.
2. Alamin kung posible na magdagdag ng mga halaga sa bawat isa, na ginagabayan ng mga panuntunang mayroon sa matematika.
3. Kung hindi sila maaaring nakatiklop, kailangan mong ibahin ang mga ito upang sila ay nakatiklop.
4. Natupad ang lahat ng kinakailangang mga pagbabago, kinakailangan upang magsagawa ng karagdagan at isulat ang natapos na sagot. Ang pagdaragdag ay maaaring gawin sa ulo o paggamit ng isang micro calculator, depende sa pagiging kumplikado ng halimbawa.

Ano ang magkatulad na mga ugat

Upang malutas nang tama ang isang halimbawa ng pagdaragdag, dapat mo munang isipin kung paano mo ito gawing simple. Upang magawa ito, kailangan mong magkaroon ng pangunahing kaalaman sa kung ano ang pagkakapareho.

Ang kakayahang kilalanin ang katulad na makakatulong upang mabilis na malutas ang parehong uri ng mga halimbawa ng pagdaragdag, na dalhin sila sa isang pinasimple na form. Upang gawing simple ang isang karaniwang halimbawa ng pagdaragdag, kailangan mong:

1. Humanap ng mga katulad at piliin ang mga ito sa isang pangkat (o maraming pangkat).
2. Isulat muli ang mayroon nang halimbawa sa isang paraan na ang mga ugat na may parehong tagapagpahiwatig ay malinaw na malinaw na sunod-sunod (tinatawag itong "pagpapangkat").
3. Susunod, dapat mong muling isulat muli ang ekspresyon, oras na ito sa paraang ang mga katulad (na may parehong tagapagpahiwatig at magkaparehong radikal na numero) ay sumusunod din sa bawat isa.

Pagkatapos nito, ang isang pinasimple na halimbawa ay karaniwang madaling malutas.

Upang malutas nang tama ang anumang halimbawa ng pagdaragdag, kinakailangan upang malinaw na maunawaan ang mga pangunahing alituntunin ng pagdaragdag, pati na rin upang malaman kung ano ang isang ugat at kung ano ito.

Minsan ang mga naturang gawain ay mukhang napakahirap sa unang tingin, ngunit kadalasan madali silang malulutas ng pagpapangkat ng mga katulad. Ang pinakamahalagang bagay ay ang pagsasanay, at pagkatapos ay magsisimula ang mag-aaral sa "pag-click sa mga problema tulad ng mga mani." Ang pagdaragdag ng mga ugat ay isa sa pinakamahalagang larangan ng matematika, kaya dapat gastusin ng mga guro ang sapat na oras sa pag-aaral nito.

Video

Tutulungan ka ng video na ito na maunawaan ang mga equation na may square Roots.

Katotohanan 1.
\\ (\\ bala \\) Kumuha tayo ng hindi isang negatibong numero \\ (a \\) (ibig sabihin \\ (a \\ geqslant 0 \\)). Pagkatapos (aritmetika) square root mula sa numero na \\ (a \\) ay tinawag na isang hindi negatibong numero \\ (b \\), kapag ang pag-square ay makakakuha kami ng numero \\ (a \\): \\ [\\ sqrt a \u003d b \\ quad \\ text (pareho sa) \\ quad a \u003d b ^ 2 \\] Sumusunod ito mula sa kahulugan na \\ (a \\ geqslant 0, b \\ geqslant 0 \\). Ang mga paghihigpit na ito ay mahalagang kalagayan ang pagkakaroon ng isang parisukat na ugat at dapat silang alalahanin!
Alalahanin na ang anumang numero kapag naka-square ay nagbibigay ng isang hindi negatibong resulta. Iyon ay, \\ (100 ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\) at \\ ((- 100) ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\).
\\ (\\ bala \\) Ano ang \\ (\\ sqrt (25) \\)? Alam natin na \\ (5 ^ 2 \u003d 25 \\) at \\ ((- 5) ^ 2 \u003d 25 \\). Dahil, sa pamamagitan ng kahulugan, dapat kaming makahanap ng isang hindi negatibong numero, kung gayon ang \\ (- 5 \\) ay hindi umaangkop, samakatuwid \\ (\\ sqrt (25) \u003d 5 \\) (dahil \\ (25 \u003d 5 ^ 2 \\)).
Ang paghanap ng halaga \\ (\\ sqrt a \\) ay tinatawag na pagkuha ng square root ng bilang \\ (a \\), at ang bilang \\ (a \\) ay tinatawag na isang radical expression.
\\ (\\ bala \\) Batay sa kahulugan, ang ekspresyong \\ (\\ sqrt (-25) \\), \\ (\\ sqrt (-4) \\), atbp. walang katuturan

Katotohanan 2.
Para sa mabilis na mga kalkulasyon, magiging kapaki-pakinabang upang malaman ang talahanayan ng mga parisukat natural na numero mula sa \\ (1 \\) hanggang sa \\ (20 \\): \\ [\\ begin (array) (| ll |) \\ hline 1 ^ 2 \u003d 1 & \\ quad11 ^ 2 \u003d 121 \\\\ 2 ^ 2 \u003d 4 & \\ quad12 ^ 2 \u003d 144 \\\\ 3 ^ 2 \u003d 9 & \\ quad13 ^ 2 \u003d 169 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 & \\ quad14 ^ 2 \u003d 196 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 & \\ quad15 ^ 2 \u003d 225 \\\\ 6 ^ 2 \u003d 36 & \\ quad16 ^ 2 \u003d 256 \\\\ 7 ^ 2 \u003d 49 & \\ quad17 ^ 2 \u003d 289 \\\\ 8 ^ 2 \u003d 64 & \\ quad18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 & \\ quad19 ^ 2 \u003d 361 \\\\ 10 ^ 2 \u003d 100 & \\ quad20 ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ hline \\ end (array) \\]

Katotohanan 3.
Ano ang maaaring gawin sa mga square root?
\\ (\\ bala \\) Ang kabuuan o pagkakaiba ng mga parisukat na ugat ay HINDI Pantay sa parisukat na ugat ng kabuuan o pagkakaiba, ibig sabihin \\ [\\ sqrt a \\ pm \\ sqrt b \\ ne \\ sqrt (a \\ pm b) \\] Kaya, kung kailangan mong kalkulahin, halimbawa, \\ (\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \\), kung gayon sa una ay dapat mong hanapin ang mga halaga \\ (\\ sqrt (25) \\) at \\ (\\ sqrt (49) \\ Samakatuwid, \\ [\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] Kung ang mga halaga \\ (\\ sqrt a \\) o \\ (\\ sqrt b \\) ay hindi mahahanap kapag nagdaragdag ng \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt b \\), kung gayon ang expression na ito ay hindi pa nabago at nananatiling pareho. Halimbawa, sa kabuuan \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \\) mahahanap natin ang \\ (\\ sqrt (49) \\) - ito ay \\ (7 \\), ngunit ang \\ (\\ sqrt 2 \\) ay hindi maaaring mai-convert sa anumang paraan, kaya \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \u003d \\ sqrt 2 + 7 \\)... Sa kasamaang palad, ang expression na ito ay hindi maaaring gawing mas simple. \\ (\\ bala \\) Ang produkto / sumukat ng mga square root ay katumbas ng square root ng produkto / quotient, iyon ay \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ab) \\ quad \\ text (and) \\ quad \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (a: b) \\] (sa kondisyon na magkaroon ng kahulugan ang magkabilang panig ng mga pagkakapantay-pantay)
Halimbawa: \\ (\\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt 2 \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8 \\); \\ (\\ sqrt (768): \\ sqrt3 \u003d \\ sqrt (768: 3) \u003d \\ sqrt (256) \u003d 16 \\); \\ (\\ sqrt ((- 25) \\ cdot (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\)... \\ (\\ bala \\) Gamit ang mga katangiang ito, maginhawa upang hanapin ang mga square root ng malalaking bilang sa pamamagitan ng pag-factore sa kanila.
Tingnan natin ang isang halimbawa. Hanapin ang \\ (\\ sqrt (44100) \\). Dahil \\ (44100: 100 \u003d 441 \\), pagkatapos \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441 \\). Batay sa pagkakaiba-iba, ang bilang \\ (441 \\) ay nahahati sa pamamagitan ng \\ (9 \\) (dahil ang kabuuan ng mga digit nito ay 9 at maaaring mahati ng 9), samakatuwid, \\ (441: 9 \u003d 49 \\), iyon ay, \\ (441 \u003d 9 \\ Sa gayon, nakuha namin:
\\ [\\ sqrt (44100) \u003d \\ sqrt (9 \\ cdot 49 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (49) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 10 \u003d 210 \\] Tingnan natin ang isa pang halimbawa: \\ [\\ sqrt (\\ dfrac (32 \\ cdot 294) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 49 \\ cdot 2) (9 \\ cdot 3)) \u003d \\ sqrt (\\ \u003d \\ dfrac (56) 3 \\] \\ (\\ bala \\) Ipakita natin kung paano maglagay ng mga numero sa ilalim ng parisukat na sign ng ugat gamit ang halimbawa ng expression na \\ (5 \\ sqrt2 \\) (maikli para sa expression na \\ (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\)). Dahil \\ (5 \u003d \\ sqrt (25) \\), pagkatapos
Tandaan din na, halimbawa, \ 1) \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
2) \\ (5 \\ sqrt3- \\ sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
3) \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a \\).
Bakit ganun Ipaliwanag natin gamit ang halimbawa 1). Tulad ng naintindihan mo na, hindi namin kahit papaano mabago ang numero \\ (\\ sqrt2 \\). Isipin natin na ang \\ (\\ sqrt2 \\) ay ilang bilang \\ (a \\). Alinsunod dito, ang ekspresyong \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \\) ay walang hihigit sa \\ (a + 3a \\) (isang numero \\ (a \\) kasama ang tatlo pa sa parehong numero \\ (a \\)). At alam namin na ito ay katumbas ng apat na gayong mga numero \\ (a \\), iyon ay, \\ (4 \\ sqrt2 \\).

Katotohanan 4.

\\ (\\ bala \\) Madalas na sinasabing "hindi maaaring kunin ang ugat" kapag hindi posible na mapupuksa ang \\ (\\ sqrt () \\ \\) sign ng root (radical) kapag nahahanap ang halaga ng isang numero. Halimbawa, maaari mong makuha ang ugat ng numero \\ (16 \\) dahil \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), samakatuwid \\ (\\ sqrt (16) \u003d 4 \\). Ngunit imposibleng makuha ang ugat mula sa bilang na \\ (3 \\), iyon ay, hanapin ang \\ (\\ sqrt3 \\), sapagkat walang ganoong bilang na magbibigay \\ (3 \\) sa parisukat.
Ang mga nasabing numero (o ekspresyon na may ganitong mga numero) ay hindi makatuwiran. Halimbawa ng mga numero
\\ (\\ sqrt3, \\ 1+ \\ sqrt2, \\ \\ sqrt (15) \\) atbp. hindi makatuwiran. Hindi rin makatuwiran ang mga bilang \\ (\\ pi \\) (ang bilang na "pi", humigit-kumulang na katumbas ng \\ (3.14 \\)), \\ (e \\) (ang bilang na ito ay tinawag na numero ni Euler, humigit-kumulang na katumbas ng \\ (2.7 \\)) atbp.
{!LANG-e6f6cc2dd6f8ff3e5d36d19a58d4d0cc!}
\\ (\\ bala \\) Mangyaring tandaan na ang anumang numero ay magiging makatuwiran o hindi makatuwiran. At sama-sama, lahat ng mga makatuwiran at lahat ng hindi makatuwiran na mga numero ay bumubuo ng isang hanay na tinawag hanay ng mga tunay (tunay) na numero. Ang hanay na ito ay tinukoy ng titik \\ (\\ mathbb (R) \\).
Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga bilang na kasalukuyang alam namin ay tinatawag na totoong mga numero.

Katotohanan 5.
\\ (\\ bala \\) Ang modulus ng isang tunay na numero \\ (a \\) ay isang hindi negatibong numero \\ (| a | \\), katumbas ng distansya mula sa point \\ (a \\) hanggang \\ (0 \\) sa totoong linya. Halimbawa, ang \\ (| 3 | \\) at \\ (| -3 | \\) ay katumbas ng 3, dahil ang mga distansya mula sa mga puntos \\ (3 \\) at \\ (- 3 \\) hanggang \\ (0 \\) ay pareho at katumbas ng \\ (3 \\).
\\ (\\ bala \\) Kung ang \\ (a \\) ay isang hindi negatibong numero, kung gayon ang \\ (| a | \u003d a \\).
Halimbawa: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\). \\ (\\ bala \\) Kung ang \\ (a \\) ay isang negatibong numero, kung gayon \\ (| a | \u003d -a \\).
Halimbawa: \\ (| -5 | \u003d - (- 5) \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | - \\ sqrt3 | \u003d - (- \\ sqrt3) \u003d \\ sqrt3 \\).
Sinabi nila na ang module na "kumakain" ng minus ng mga negatibong numero, at ang module ay nag-iiwan ng mga positibong numero, pati na rin ang bilang \\ (0 \\), hindi nagbago.
PERO gagana lang ang panuntunang ito para sa mga numero. Kung mayroon kang isang hindi kilalang \\ (x \\) sa ilalim ng pag-sign ng modulus (o ilang iba pang hindi alam), halimbawa, \\ (| x | \\), kung saan hindi namin alam kung ito ay positibo, zero o negatibo, pagkatapos ay alisin ang modulus hindi natin pwedeng gawin. Sa kasong ito, mananatili ang ekspresyong ito ng gayon: \\ (| x | \\). \\ (\\ bala \\) Ang mga sumusunod na formula ay humahawak: \\ [(\\ malaki (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a |)) \\] \\ [(\\ malaki ((\\ sqrt (a)) ^ 2 \u003d a)), \\ text (sa kondisyon) isang \\ geqslant 0 \\] Ang isang pangkaraniwang pagkakamali ay nagawa: sinasabi nila na ang \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) at \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) ay pareho at pareho. Totoo lamang ito kung ang \\ (a \\) ay isang positibong numero o zero. Ngunit kung ang \\ (a \\) ay isang negatibong numero, kung gayon hindi ito totoo. Sapat na upang isaalang-alang ang gayong halimbawa. Kunin natin ang numero \\ (- 1 \\) sa halip na \\ (a \\). Pagkatapos \\ (\\ sqrt ((- 1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), ngunit ang expression na \\ ((\\ sqrt (-1)) ^ 2 \\) ay wala sa lahat (pagkatapos ng lahat imposible sa ilalim ng root sign maglagay ng mga negatibong numero!).
Samakatuwid, iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanang ang \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) ay hindi katumbas ng \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\)! Halimbawa: 1) \\ (\\ sqrt (\\ left (- \\ sqrt2 \\ kanan) ^ 2) \u003d | - \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\)mula noon \\ (- \\ sqrt2<0\) ;

\\ (\\ phantom (00000) \\) 2) \\ ((\\ sqrt (2)) ^ 2 \u003d 2 \\). \\ (\\ bala \\) Dahil \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), pagkatapos \\ [\\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d | a ^ n | \\] (expression \\ (2n \\) ay nangangahulugang isang pantay na numero)
Iyon ay, kapag kumukuha ng isang ugat mula sa isang numero na sa ilang sukat, ang degree na ito ay kalahati.
Halimbawa:
1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
2) \\ (\\ sqrt ((- 25) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 \\) (tandaan na kung ang module ay hindi naka-install, pagkatapos ito ay lumabas na ang ugat ng numero ay \\ (- 25 \\); ngunit natatandaan namin na, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ugat, hindi ito maaaring: palagi kaming may positibong numero o zero kapag kumukuha ng isang ugat)
3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d | x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (dahil ang anumang numero sa isang pantay na lakas ay hindi negatibo)

Katotohanan 6.
Paano naghahambing ang dalawang pinagmulang square?
\\ (\\ bala \\) Para sa mga square root, totoo ito: kung \\ (\\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Halimbawa:
1) ihambing ang \\ (\\ sqrt (50) \\) at \\ (6 \\ sqrt2 \\). Una, baguhin natin ang pangalawang expression sa \\ (\\ sqrt (36) \\ cdot \\ sqrt2 \u003d \\ sqrt (36 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (72) \\)... Kaya, mula noong \\ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Sa pagitan ng anong mga integer ang \\ (\\ sqrt (50) \\)?
Dahil \\ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\), \\ (\\ sqrt (64) \u003d 8 \\), at \\ (49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Paghambingin ang \\ (\\ sqrt 2-1 \\) at \\ (0.5 \\). Ipagpalagay \\ (\\ sqrt2-1\u003e 0.5 \\): \\ [\\ simulan (nakahanay) & \\ sqrt 2-1\u003e 0.5 \\ \\ malaki | +1 \\ quad \\ text ((magdagdag ng isa sa magkabilang panig)) \\\\ & \\ sqrt2\u003e 0.5 + 1 \\ \\ malaki | \\ ^ 2 \\ quad \\ text ((parisukat sa magkabilang panig)) \\\\ & 2\u003e 1.5 ^ 2 \\\\ & 2\u003e 2.25 \\ pagtatapos (nakahanay) \\] Nakikita namin na nakuha namin ang maling pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang aming palagay ay mali at \\ (\\ sqrt 2-1<0,5\) .
Tandaan na ang pagdaragdag ng isang numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi nakakaapekto sa pag-sign nito. Ang pag-multiply / paghati sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ng isang positibong numero ay hindi rin nakakaapekto sa pag-sign nito, at ang pag-multiply / paghati ng isang negatibong numero ay binabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay!
Maaari mong parisukat ang magkabilang panig ng equation / hindi pagkakapantay-pantay LAMANG KUNG ang magkabilang panig ay hindi negatibo. Halimbawa, sa hindi pagkakapantay-pantay mula sa nakaraang halimbawa, ang magkabilang panig ay maaaring parisukat, sa hindi pagkakapareho \\ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \\ (\\ bala \\) Tandaan mo yan \\ [\\ umpisahan (nakahanay) & \\ sqrt 2 \\ tinatayang 1.4 \\\\ & \\ sqrt 3 \\ tinatayang 1.7 \\ pagtatapos (nakahanay) \\] Ang pag-alam sa tinatayang halaga ng mga numerong ito ay makakatulong sa iyo kung ihinahambing ang mga numero! \\ (\\ bala \\) Upang makuha ang ugat (kung ito ay nakuha) mula sa ilang malaking bilang na wala sa talahanayan ng mga parisukat, kailangan mo munang matukoy sa pagitan ng kung aling "daan-daang" ito, pagkatapos - sa pagitan ng kung aling "sampu", at pagkatapos ay matukoy ang huling digit ng numerong ito. Ipakita natin kung paano ito gumagana sa isang halimbawa.
Kunin natin ang \\ (\\ sqrt (28224) \\). Alam natin na \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\, 000 \\), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\), atbp. Tandaan na ang \\ (28224 \\) ay nasa pagitan ng \\ (10 \u200b\u200b\\, 000 \\) at \\ (40 \\, 000 \\). Samakatuwid, ang \\ (\\ sqrt (28224) \\) ay nasa pagitan ng \\ (100 \\) at \\ (200 \\).
Tukuyin natin ngayon sa pagitan ng aling "sampu" ang ating numero (iyon ay, halimbawa, sa pagitan ng \\ (120 \\) at \\ (130 \\)). Gayundin mula sa talahanayan ng mga parisukat alam natin na \\ (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\), atbp, pagkatapos ay \\ (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400 \\), \\ (130 ^ 2 \u003d 16900 \\), \\ (140 ^ 2 \u003d 19600 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28900 \\). Kaya, nakikita natin na ang \\ (28224 \\) ay nasa pagitan ng \\ (160 ^ 2 \\) at \\ (170 ^ 2 \\). Samakatuwid, ang bilang \\ (\\ sqrt (28224) \\) ay nasa pagitan ng \\ (160 \\) at \\ (170 \\).
Subukan nating tukuyin ang huling digit. Tandaan natin kung anong mga solong-digit na numero sa dulo ng \\ (4 \\) kapag na-square? Ito ang \\ (2 ^ 2 \\) at \\ (8 ^ 2 \\). Samakatuwid, ang \\ (\\ sqrt (28224) \\) ay magtatapos sa alinman sa 2 o 8. Suriin natin ito. Hanapin ang \\ (162 ^ 2 \\) at \\ (168 ^ 2 \\):
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ cdot 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ cdot 168 \u003d 28224 \\).
Samakatuwid \\ (\\ sqrt (28224) \u003d 168 \\). Voila!

Upang sapat na malutas ang pagsusulit sa matematika, una sa lahat, kinakailangang pag-aralan ang teoretikal na materyal na nagpapakilala ng maraming mga theorem, pormula, algorithm, atbp. Sa unang tingin, maaaring mukhang ito ay medyo simple. Gayunpaman, ang paghahanap ng isang mapagkukunan kung saan ang teorya para sa pagsusulit sa matematika ay ipinakita nang madali at maunawaan para sa mga mag-aaral ng anumang antas ng pagsasanay sa katunayan isang mahirap na gawain. Imposibleng panatilihing nasa kamay ang mga teksbuk sa paaralan. At ang paghahanap ng pangunahing mga formula para sa PAGGAMIT sa matematika ay maaaring maging mahirap kahit sa Internet.

Bakit napakahalaga na pag-aralan ang teorya sa matematika hindi lamang para sa mga kukuha ng pagsusulit?

1. Dahil pinapalawak nito ang iyong mga patutunguhan... Ang pag-aaral ng teoretikal na materyal sa matematika ay kapaki-pakinabang para sa sinumang nais na makakuha ng mga sagot sa isang malawak na hanay ng mga katanungan na nauugnay sa kaalaman sa mundo sa paligid. Lahat ng likas na katangian ay maayos at may malinaw na lohika. Ito ang tiyak na makikita sa agham kung saan posible na maunawaan ang mundo.
2. Dahil ito ay bumubuo ng katalinuhan... Pag-aaral ng mga sanggunian na materyales para sa pagsusulit sa matematika, pati na rin ang paglutas ng iba't ibang mga problema, natututo ang isang tao na mag-isip nang lohikal at mangatuwiran, upang makabuo ng mga kaisipan nang may kakayahan at malinaw. Binubuo niya ang kakayahang pag-aralan, gawing pangkalahatan, gumawa ng mga konklusyon.

Inaanyayahan ka naming personal na suriin ang lahat ng mga pakinabang ng aming diskarte sa systematization at pagtatanghal ng mga materyal na pang-edukasyon.

Nilalaman:

Maaari mo lamang idagdag at ibawas ang mga square square kung mayroon silang parehong radikal na expression, iyon ay, maaari kang magdagdag o magbawas ng 2√3 at 4√3, ngunit hindi 2√3 at 2√5. Maaari mong gawing simple ang radikal upang dalhin sila sa mga ugat na may parehong radikal (at pagkatapos ay idagdag o ibawas ang mga ito).

Mga hakbang

Bahagi 1 Pag-unawa sa Mga Pangunahing Kaalaman

1. 1 (expression sa ilalim ng root sign). Upang gawin ito, i-factor ang root number sa dalawang mga kadahilanan, ang isa dito ay isang parisukat na numero (isang numero kung saan maaari kang kumuha ng isang buong ugat, halimbawa, 25 o 9). Pagkatapos nito, kunin ang ugat mula sa parisukat na numero at isulat ang nahanap na halaga sa harap ng root sign (ang pangalawang kadahilanan ay mananatili sa ilalim ng root sign). Halimbawa, 6√50 - 2√8 + 5√12. Ang mga numero bago ang root sign ay ang mga kadahilanan ng kaukulang mga ugat, at ang mga numero sa ilalim ng root sign ay ang radical na mga numero (expression). Narito kung paano malutas ang problemang ito:
   • 6√50 \u003d 6√ (25 x 2) \u003d (6 x 5) √2 \u003d 30√2. Dito, isinasaalang-alang mo ang 50 sa mga kadahilanan ng 25 at 2; pagkatapos mula sa 25 kumuha ka ng isang ugat na katumbas ng 5, at kumuha ng 5 mula sa ilalim ng ugat. Pagkatapos ay i-multiply ang 5 ng 6 (ang salik sa ugat) at makakuha ng 30rip2.
   • 2√8 \u003d 2√ (4 x 2) \u003d (2 x 2) √2 \u003d 4√2. Dito mo ipinapopong ang 8 sa mga kadahilanan ng 4 at 2; pagkatapos ay kunin ang ugat mula sa 4, katumbas ng 2, at ilabas ang 2 mula sa ilalim ng ugat. Pagkatapos ay i-multiply mo ang 2 sa pamamagitan ng 2 (ang kadahilanan sa ugat) at makakakuha ka ng 4√2.
   • 5√12 \u003d 5√ (4 x 3) \u003d (5 x 2) √3 \u003d 10√3. Dito mo binibigyan ng katotohanan ang 12 sa mga kadahilanan ng 4 at 3; pagkatapos ay kunin ang ugat mula sa 4, katumbas ng 2, at ilabas ang 2 mula sa ilalim ng ugat. Pagkatapos ay i-multiply mo ang 2 ng 5 (ang kadahilanan sa ugat) at nakakuha ka ng 10√3.
2. 2 Bigyang-diin ang mga ugat na ang mga radikal na expression ay pareho. Sa aming halimbawa, ang pinasimple na ekspresyon ay: 30√2 - 4√2 + 10√3. Dito, dapat mong bigyang-diin ang una at pangalawang mga termino ( 30√2 at 4√2 ), dahil mayroon silang parehong ugat na numero 2. Ang mga naturang ugat lamang ang maaari mong idagdag at ibawas.
3. 3 Kung bibigyan ka ng isang expression na may maraming bilang ng mga miyembro, marami sa mga ito ay may parehong radikal na expression, gumamit ng solong, doble, triple underscore upang ipahiwatig ang mga nasabing kasapi upang mas madaling malutas ang ekspresyong ito.
4. 4 Para sa mga ugat na ang mga radikal na expression ay pareho, idagdag o ibawas ang mga kadahilanan sa harap ng root sign, at iwanang pareho ang radikal na expression (huwag magdagdag o magbawas ng mga radical!). Ang ideya ay upang ipakita kung gaano karaming mga ugat na may isang tiyak na radikal na ekspresyon ang nakapaloob sa isang ibinigay na ekspresyon.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Bahagi 2 Pagsasanay sa mga halimbawa

1. 1 Halimbawa 1: √(45) + 4√5.
   • Pasimplehin ang √ (45). Kadahilanan 45: √ (45) \u003d √ (9 x 5).
   • Ilabas ang 3 mula sa ilalim ng ugat (√9 \u003d 3): √ (45) \u003d 3√5.
   • Idagdag ngayon ang mga salik sa mga ugat: 3√5 + 4√5 \u003d 7√5
2. 2 Halimbawa 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Pasimplehin ang 6√ (40). Kadahilanan 40: 6√ (40) \u003d 6√ (4 x 10).
   • Ilipat ang 2 mula sa ilalim ng ugat (√4 \u003d 2): 6√ (40) \u003d 6√ (4 x 10) \u003d (6 x 2) √10.
   • I-multiply ang mga salik sa harap ng ugat upang makakuha ng 12√10.
   • Ngayon ang expression ay maaaring nakasulat bilang 12√10 - 3√ (10) + √5. Dahil ang unang dalawang kasapi ay may parehong radikal na numero, maaari mong bawasan ang pangalawang termino mula sa una, at iwanan ang unang hindi nabago.
   • Makukuha mo ang: (12-3) √10 + √5 \u003d 9√10 + √5.
3. 3 Halimbawa 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Wala sa mga radikal na expression ang maaaring maging factorized dito, kaya't ang expression na ito ay hindi maaaring gawing simple. Maaari mong bawasan ang pangatlong termino mula sa una (dahil mayroon silang parehong mga radikal na numero), at iwanan ang pangalawang term na hindi nabago. Makukuha mo ang: (9-4) √5 -2√3 \u003d 5√5 - 2√3.
4. 4 Halimbawa 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 \u003d √ (3 x 3) \u003d 3.
   • √4 \u003d √ (2 x 2) \u003d 2.
   • Ngayon ay maaari mo lamang idagdag ang 3 + 2 upang makakuha ng 5.
   • Ang pangwakas na sagot ay 5 - 3√2.
5. 5 Halimbawa 5. Malutas ang isang expression na naglalaman ng mga ugat at praksyon. Maaari mong idagdag at kalkulahin lamang ang mga praksyon na mayroong isang karaniwang (pareho) na denominator. Ibinigay ang expression na (√2) / 4 + (√2) / 2.
   • Hanapin ang pinakamababang karaniwang denominator ng mga praksyon na ito. Ito ay isang numero na pantay na mahahati sa bawat denominator. Sa aming halimbawa, ang 4 at 2 ay nahahati sa 4.
   • Ngayon ay i-multiply ang pangalawang maliit na bahagi ng 2/2 (upang dalhin ito sa isang karaniwang denominator; ang unang maliit na bahagi ay nabawasan na dito): (√2) / 2 x 2/2 \u003d (2√2) / 4.
   • Idagdag ang mga numerator ng mga praksiyon at iwanang pareho ang denominator: (√2) / 4 + (2√2) / 4 \u003d (3√2) / 4 .

• Tiyaking gawing simple (kung maaari) ang mga radikal na expression bago idagdag o ibawas ang mga ugat.

Mga babala

• Huwag kailanman magdagdag o magbawas ng mga ugat na may iba't ibang mga radical.
• Huwag kailanman magdagdag o magbawas ng integer at ugat, halimbawa 3 + (2x) 1/2 .
  • Tandaan: Ang "x" sa isang segundo ng lakas at ang square root ng "x" ay pareho (ibig sabihin x 1/2 \u003d √x).