Sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng equation ng quadratic, bilang karagdagan sa mga formula ng ugat, mayroong iba pang mga kapaki-pakinabang na relasyon na ibinibigay teorema ni Vieta. Sa artikulong ito, nagbibigay kami ng isang pahayag at patunay ng teorema ng Vieta quadratic equation. Susunod, isinasaalang-alang namin ang teorama na kabaligtaran sa teorema ng Vieta. Pagkatapos nito, sinuri namin ang mga solusyon ng pinaka-katangian na mga halimbawa. Sa wakas, isinusulat namin ang mga formula ng Vieta na tumutukoy sa ugnayan sa pagitan ng mga tunay na ugat equation ng algebraic  degree n at ang mga koepisyentaryo.

Pag-navigate ng pahina.

Ang teorema ng Vieta, pahayag, patunay

Mula sa mga pormula ng mga ugat ng quadratic equation a · x 2 + b · x + c \u003d 0 ng form, kung saan ang D \u003d b 2 −4 · a · c, ang mga relasyon x 1 + x 2 \u003d −b / a, x 1 · x 2 \u003d c / a. Ang mga resulta ay napatunayan. teorema ni Vieta:

Teorya.

Kung x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation a · x 2 + b · x + c \u003d 0, kung gayon ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng ratio ng mga coefficients b at kinuha mula sa kabaligtaran ng pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng ratio ng coefficients c at a, iyon ay,.

Katibayan.

Ang patunay ng teorema ng Vieta ay isinasagawa alinsunod sa sumusunod na pamamaraan: isinaayos namin ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng quadratic equation gamit ang mga kilalang formula ng ugat, pagkatapos ay ibahin ang anyo ang mga nagreresultang expression at tiyakin na ang mga ito ay −b / a at c / a, ayon sa pagkakabanggit.

Magsimula tayo sa kabuuan ng mga ugat, gawin itong up. Ngayon dalhin namin ang mga praksiyon sa karaniwang denominador, meron kami. Sa numerator ng maliit na bahagi na nakuha, pagkatapos nito:. Sa wakas, pagkatapos ng 2, nakakuha kami. Pinatunayan nito ang unang kaugnayan ng teorema ng Vieta para sa kabuuan ng mga ugat ng equation ng quadratic. Pumasa kami sa pangalawa.

Sinusulat namin ang produkto ng mga ugat ng equation ng quadratic:. Ayon sa panuntunan sa pagpaparami ng bahagi, huling piraso  maaaring isulat bilang. Ngayon ay pinarami namin ang mga bracket ng mga bracket sa numerator, ngunit mas mabilis na ibagsak ang produktong ito sa pamamagitan ng formula ng square pagkakaiba-iba, Kaya. Karagdagan, pag-alala, isagawa ang susunod na paglipat. At dahil ang diskriminasyon ng quadratic equation ay tumutugma sa formula D \u003d b 2 −4 · a · c, maaari nating kapalit ang b 2 −4 · a · c sa huling bahagi sa halip na D, nakuha natin. Matapos buksan ang mga bracket at paghahagis magkatulad na termino  nakarating kami sa isang maliit na bahagi, at ang pagbawas nito ng 4 · a ay nagbibigay. Pinapatunayan nito ang pangalawang kaugnayan ng teorema ng Vieta para sa produkto ng mga ugat.

Kung tinatanggal natin ang mga paliwanag, kung gayon ang katibayan ng teorema ng Vieta ay kukuha ng laconic form:
,
.

Ito ay nananatiling tandaan lamang na para sa isang discriminant na katumbas ng zero, ang quadratic equation ay may isang ugat. Gayunpaman, kung ipinapalagay namin na ang ekwasyon sa kasong ito ay may dalawang magkaparehong mga ugat, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay mula sa teorema ng Vieta. Sa katunayan, para sa D \u003d 0 ang ugat ng equation ng quadratic ay pagkatapos, at, at dahil D \u003d 0, iyon ay, b 2 −4 · a · c \u003d 0, kung saan ang b 2 \u003d 4 · a · c, kung gayon.

Sa pagsasagawa, ang teorema ng Vieta ay madalas na ginagamit na nauugnay sa equation ng quadratic (na may pinakamataas na koepisyent na pantay sa 1) ng pormula x 2 + p · x + q \u003d 0. Minsan ito ay formulated para sa mga kuwadrong equation ng ganitong uri, na hindi nililimitahan ang pagiging produktibo, yamang ang anumang quadratic equation ay maaaring mapalitan ng isang katumbas na equation sa pamamagitan ng paghati sa parehong mga bahagi nito sa pamamagitan ng isang non-zero number a. Nagbibigay kami ng kaukulang pahayag ng teorema ng Vieta:

Teorya.

Ang kabuuan ng mga ugat ng nabawasan na kuwadradong equation x 2 + p · x + q \u003d 0 ay katumbas ng koepisyent sa x kinuha na may kabaligtaran na pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay ang libreng term, iyon ay, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 · x 2 \u003d q.

Ang salungat na teorema ng teorema ng Vieta

Ang pangalawang pahayag ng teorema ng Vieta na ibinigay sa nakaraang talata ay nagpapahiwatig na kung ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng nabawasan na quadratic equation x 2 + p · x + q \u003d 0, kung gayon ang mga relasyon x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 · x 2 \u003d q. Sa kabilang banda, mula sa mga nakasulat na relasyon x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 · x 2 \u003d q sinusunod nito na ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng equation ng quadratic x 2 + p · x + q \u003d 0. Sa madaling salita, ang pahayag na kabaligtaran sa teorema ni Vieta ay totoo. Pormulahin namin ito sa anyo ng isang teorema at patunayan ito.

Teorya.

Kung ang mga bilang na x 1 at x 2 ay tulad na x 1 + x 2 \u003d −p at x 1 · x 2 \u003d q, kung gayon ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation x 2 + p · x + q \u003d 0.

Katibayan.

Matapos mapalitan ang mga koepisyentong p at q sa equation x 2 + p · x + q \u003d 0 hanggang x 1 at x 2, nabago ito sa isang katumbas na equation.

Pinalitan namin ang bilang x 1 sa nagreresultang equation sa halip na x, mayroon kaming pagkakapantay-pantay x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 \u003d 0, na para sa anumang x 1 at x 2 ay kumakatawan sa totoong pagkakapantay-pantay na numero 0 \u003d 0, mula pa x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 \u003d x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 \u003d 0. Samakatuwid, ang x 1 ay ang ugat ng equation x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, na nangangahulugang ang x 1 ang ugat ng equation x 2 + p · x + q \u003d 0 katumbas nito.

Kung sa equation x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0  kapalit x para sa bilang x 2, pagkatapos makuha namin ang pagkakapantay-pantay x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 \u003d 0. Ito ay tunay na pagkakapantay-pantay, mula pa x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 \u003d x 2 2 −x 1 · x 2 −x 2 2 + x 1 · x 2 \u003d 0. Samakatuwid, ang x 2 ay din ang ugat ng equation x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, at samakatuwid ang mga equation x 2 + p · x + q \u003d 0.

Natapos nito ang patunay ng teorama, kabaligtaran teorama  Vieta.

Mga halimbawa ng paggamit ng teorema ng Vieta

Panahon na upang pag-usapan ang tungkol sa praktikal na aplikasyon ng Vieta teorem at ang kabaligtaran na teorema. Sa bahaging ito, tinatalakay namin ang mga solusyon sa ilan sa mga pinaka-karaniwang halimbawa.

Nagsisimula kami sa pamamagitan ng paglalapat ng theorem na kabaligtaran sa teorema ng Vieta. Maginhawang gamitin upang suriin kung ang dalawang numero na ito ay ang mga ugat ng isang naibigay na parisukat na equation. Sa kasong ito, ang kanilang kabuuan at pagkakaiba ay kinakalkula, pagkatapos kung saan nasuri ang bisa ng mga relasyon. Kung ang dalawa sa mga ugnayang ito ay humahawak, kung gayon, sa pamamagitan ng kabutihan ng teoryang kabaligtaran sa teorema ni Vieta, napagpasyahan na ang mga bilang na ito ay mga ugat ng ekwasyon. Kung hindi bababa sa isa sa mga relasyon ay hindi nasiyahan, kung gayon ang mga bilang na ito ay hindi ang ugat ng equation ng quadratic. Ang pamamaraang ito ay maaaring magamit sa paglutas ng mga equation ng quadratic upang mapatunayan ang mga nahanap na ugat.

Halimbawa.

Alin sa mga pares ng mga numero 1) x 1 \u003d −5, x 2 \u003d 3, o 2), o 3) ang pares ng mga ugat ng katumbas na parisukat 4 · x 2 −16 · x + 9 \u003d 0?

Desisyon.

Ang mga coefficient ng ibinigay na quadratic equation 4 · x 2 −16 · x + 9 \u003d 0 ay isang \u003d 4, b \u003d −16, c \u003d 9. Ayon sa teorema ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ng equation ng quadratic ay dapat na katumbas ng −b / a, iyon ay, 16/4 \u003d 4, at ang produkto ng mga ugat ay dapat na katumbas ng c / a, iyon ay, 9/4.

Ngayon kinakalkula namin ang kabuuan at produkto ng mga numero sa bawat isa sa tatlong naibigay na mga pares, at ihambing ang mga ito sa mga halagang nakuha.

Sa unang kaso, mayroon kaming x 1 + x 2 \u003d −5 + 3 \u003d −2. Ang nakuha na halaga ay naiiba mula sa 4, samakatuwid, ang karagdagang pag-verify ay hindi maaaring isagawa, at sa pamamagitan ng teorema na kabaligtaran sa teorema ng Vieta, maaari naming agad na tapusin na ang unang pares ng mga numero ay hindi isang pares ng mga ugat ng isang naibigay na quadratic equation.

Nagpapasa kami sa pangalawang kaso. Dito, iyon ay, ang unang kondisyon ay nasiyahan. Sinusuri namin ang pangalawang kondisyon:, ang nakuha na halaga ay naiiba sa 9/4. Samakatuwid, ang pangalawang pares ng mga numero ay hindi isang pares ng mga ugat ng equation ng quadratic.

Ang huling kaso ay nananatili. Narito at. Ang parehong mga kondisyon ay natutupad; samakatuwid, ang mga bilang na ito x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng ibinigay na kuwadradong equation.

Sagot:

Ang teoryang kabaligtaran sa teorema ng Vieta ay maaaring magamit upang piliin ang mga ugat ng equation ng quadratic. Karaniwan kunin ang buong mga ugat ng ibinigay na mga kuwadrong equation na may koepisyent ng integer, tulad ng sa ibang mga kaso medyo mahirap gawin. Ginagamit nila ang katotohanan na kung ang kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng pangalawang koepisyent ng kuwadradong equation na kinuha gamit ang isang minus sign, at ang produkto ng mga numerong ito ay katumbas ng libreng term, kung gayon ang mga bilang na ito ay ang mga ugat ng quadratic equation na ito. Kami ay haharapin ito gamit ang isang halimbawa.

Kunin ang kuwadradong equation x 2 −5 · x + 6 \u003d 0. Para sa mga numero x 1 at x 2 na maging mga ugat ng equation na ito, ang dalawang pagkakapantay-pantay x 1 + x 2 \u003d 5 at x 1 · x 2 \u003d 6 ay dapat nasiyahan. Ito ay nananatiling upang kunin ang naturang mga numero. Sa kasong ito, ito ay medyo simple na gawin: 2 at 3 ay tulad ng mga numero, dahil ang 2 + 3 \u003d 5 at 2 · 3 \u003d 6. Kaya, ang 2 at 3 ang mga ugat ng equation na ito ng quadratic.

Ang teoryang kabaligtaran sa teorema ng Vieta ay lalong maginhawa para sa paghahanap ng pangalawang ugat ng nabawasan na quadratic equation kapag ang isa sa mga ugat ay kilala o malinaw. Sa kasong ito, ang pangalawang ugat ay matatagpuan mula sa anuman sa mga relasyon.

Halimbawa, kunin ang equation ng quadratic 512 × 2 −509 × −3 \u003d 0. Madaling mapansin dito na ang yunit ay ang ugat ng equation, dahil ang kabuuan ng mga coefficients ng quadratic equation na ito ay zero. Kaya x 1 \u003d 1. Ang pangalawang ugat x 2 ay matatagpuan, halimbawa, mula sa kaugnayan x 1 · x 2 \u003d c / a. Mayroon kaming 1 x 2 \u003d −3 / 512, kung saan saan x 2 \u003d −3 / 512. Kaya't napagpasyahan namin ang parehong mga ugat ng equation ng quadratic: 1 at −3/512.

Malinaw na ang pagpili ng mga ugat ay ipinapayong lamang sa pinakasimpleng mga kaso. Sa iba pang mga kaso, upang makahanap ng mga ugat, maaari mong ilapat ang mga pormula ng ugat ng equation ng quadratic sa pamamagitan ng discriminant.

Isa pa praktikal na paggamit Ang teorema na kabaligtaran sa teorema ng Vieta ay ang pagsulat ng mga equation ng quadratic para sa mga naibigay na ugat x 1 at x 2. Upang gawin ito, sapat na upang makalkula ang kabuuan ng mga ugat, na nagbibigay ng koepisyent ng x na may kabaligtaran na pag-sign ng nabawasan na quadratic equation, at ang produkto ng mga ugat, na nagbibigay ng libreng term.

Halimbawa.

Sumulat ng isang kuwadradong equation na ang mga ugat ay ang mga numero −11 at 23.

Desisyon.

Denote x 1 \u003d −11 at x 2 \u003d 23. Kinakalkula namin ang kabuuan at produkto ng mga numerong ito: x 1 + x 2 \u003d 12 at x 1 · x 2 \u003d −253. Samakatuwid, ang mga bilang na ito ay ang mga ugat ng nabawasan na kuwadradong equation sa pangalawang koepisyent −12 at ang libreng termino −253. Iyon ay, x 2 −12 · x - 253 \u003d 0 ang nais na equation.

Sagot:

x 2 −12 x - 253 \u003d 0.

Ang teorema ng Vieta ay madalas na ginagamit sa paglutas ng mga problema na may kaugnayan sa mga palatandaan ng mga ugat ng mga equation ng quadratic. Paano nauugnay ang teorema ni Vieta sa mga palatandaan ng mga ugat ng nabawasan na equation ng quadratic x 2 + p · x + q \u003d 0? Nagbibigay kami ng dalawang kaukulang pahayag:

• Kung ang libreng term q ay positibong bilang  at kung ang equation ng quadratic ay may totoong mga ugat, kung gayon ang alinman sa parehong positibo o pareho ay negatibo.
• Kung ang libreng term q ay isang negatibong numero at kung ang quadratic equation ay may totoong mga ugat, kung gayon ang kanilang mga palatandaan ay magkakaiba, sa madaling salita, ang isang ugat ay positibo at ang isa ay negatibo.

Ang mga pahayag na ito ay sumusunod mula sa pormula x 1 · x 2 \u003d q, pati na rin ang mga positibong patakaran sa pagpaparami, negatibong numero  at mga numero na may iba't ibang mga palatandaan. Isaalang-alang ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon.

Halimbawa.

R siya ay positibo. Gamit ang diskriminanteng pormula, nakita natin ang D \u003d (r + 2) 2 −4 · 1 · (r - 1) \u003d r 2 + 4 · r + 4−4 · r + 4 \u003d r 2 +8, positibo ang halaga ng expression r 2 +8 para sa anumang tunay na r, kaya D\u003e 0 para sa anumang tunay na r. Samakatuwid, ang paunang katumbas na equation ay may dalawang mga ugat para sa anumang totoong mga halaga ng parameter r.

Ngayon alamin kung mayroon ang mga ugat magkakaibang senyales. Kung ang mga palatandaan ng mga ugat ay magkakaiba, kung gayon ang kanilang produkto ay negatibo, at sa pamamagitan ng Vieta theorem ang produkto ng mga ugat ng nabawasan na quadratic equation ay pantay sa libreng term. Samakatuwid, kami ay interesado sa mga halaga ng r kung saan ang negatibong termino ng r - 1 ay negatibo. Kaya, upang mahanap ang mga halaga ng r na interes sa amin, dapat nating malutas hindi pagkakapantay-pantay na linya   r - 1<0 , откуда находим r<1 .

Sagot:

sa r<1 .

Mga Formula ng Vieta

Sa itaas, napag-usapan namin ang teorema ng Vieta para sa equation ng quadratic at sinuri ang mga relasyon na pinapatunayan nito. Ngunit may mga pormula na nauugnay ang totoong mga ugat at coefficient na hindi lamang mga equation ng kuwadratic, kundi pati na rin ang mga kubiko na equation, mga equation ng quadruple degree, at sa pangkalahatan, mga equation ng algebraic  degree n. Tinawag sila mga formula ng Vieta.

Sinusulat namin ang mga formula ng Vieta para sa isang algebraic equation ng degree n ng form, at ipinapalagay namin na mayroon itong mga tunay na ugat x 1, x 2, ..., x n (kasama sa mga ito ay maaaring magkatulad).

Kunin ang nagpapahintulot sa mga formula ng Vieta linear factorization polynomial teorem, pati na rin ang kahulugan ng pantay na polynomial sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng lahat ng kanilang mga kaukulang koepisyent. Kaya ang polynomial at ang agnas nito sa mga linear na kadahilanan ng form ay pantay. Ang pagbubukas ng mga bracket sa huling trabaho at equating ang mga kaukulang coefficients, nakuha namin ang mga formula ng Vieta.

Sa partikular, para sa n \u003d 2, mayroon kaming pamilyar na mga pormula ng Vieta para sa equation ng quadratic.

Para sa kubiko equation, ang form ng Vieta ay may form

Ito ay nananatiling tandaan lamang na sa kaliwang bahagi ng mga pormula ng Vieta ay ang tinatawag na elementarya simetriko polynomial.

Bibliograpiya.

• Algebra:  aklat-aralin. para sa 8 cl. Pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; sa ilalim ng pag-edit ng S. A. Telyakovsky. - Ika-16 na ed. - M .: Edukasyon, 2008 .-- 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.  Algebra. Ika-8 na baitang. Sa 2 oras. Bahagi 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - ika-11 ed. - M .: Mnemosyne, 2009 .-- 215 p .: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra  at ang simula ng pagtatasa ng matematika. Baitang 10: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon: pangunahing at profile. mga antas / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; sa ilalim ng pag-edit ng A. B. Zhizhchenko. - Ika-3 ed. - M .: Edukasyon, 2010 .-- 368 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Ang pagtukoy ng kabuuan ng mga ugat ng isang equation ay isa sa mga kinakailangang hakbang sa paglutas ng mga equation ng quadratic (equation ng form ax² + bx + c \u003d 0, kung saan ang mga exponents a, b, at c ay mga arbitrary na numero, bukod sa a? 0) na may suporta para sa teorema ng Vieta.

Manwal ng pagtuturo

1.   Isulat ang quadratic equation bilang ax² + bx + c \u003d 0 Halimbawa: Inisyal na equation: 12 + x² \u003d 8x Tamang nakasulat na equation: x² - 8x + 12 \u003d 0

2.   Ilapat ang teorema ng Vieta, ayon sa kung saan, ang kabuuan ng mga ugat ng ekwasyon ay katumbas ng bilang na "b" na kinunan na may kabaligtaran na pag-sign, at ang kanilang produkto ay katumbas ng bilang na "c." Halimbawa: Sa equation na isinasaalang-alang, b \u003d -8, c \u003d 12, ayon sa pagkakabanggit: x1 + x2 \u003d 8 × 1 ∗ x2 \u003d 12

3. Alamin kung ang tama o negatibong mga numero ay ang ugat ng mga equation. Kung ang parehong produkto at ang kabuuan ng mga ugat ay positibong numero, ang lahat ng mga ugat ay tamang numero. Kung ang produkto ng mga ugat ay tama, at ang kabuuan ng mga ugat ay negatibong bilang, kung gayon ang parehong mga ugat ay negatibo. Kung ang produkto ng mga ugat ay negatibo, kung gayon ang mga ugat ng isang ugat ay may tanda na "+", at ang iba pang tanda "-". Sa kasong ito, kailangan mong gumamit ng karagdagang panuntunan: "Kung ang kabuuan ng mga ugat ay positibo na numero, ang mas malaking ugat ay positibo rin, at kung ang kabuuan ng mga ugat ay ang isang negatibong bilang ay mas malaki sa ganap na halaga ang ugat ay negatibo. "Halimbawa: Sa ekwasyon na pinag-uusapan, kapwa ang kabuuan at ang produkto ay tamang mga numero: 8 at 12, kaya ang parehong mga ugat ay positibong numero.

4.   Malutas ang nagresultang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagpili ng mga ugat. Ito ay magiging mas komportable upang simulan ang pagpili sa mga kadahilanan, at pagkatapos, upang suriin, kapalit ang anumang pares ng mga kadahilanan sa pangalawang equation at suriin kung ang kabuuan ng mga ugat na ito ay tumutugma sa solusyon Halimbawa: x1 ∗ x2 \u003d 12 Ang mga angkop na pares ng mga ugat ay, ayon sa pagkakabanggit, 12 at 1, 6 at 2, 4, at 3 Suriin ang mga nagresultang pares na may suporta para sa equation x1 + x2 \u003d 8. Pares 12 + 1 ≠ 86 + 2 \u003d 84 + 3 ≠ 8 Katumbas, ang mga ugat ng ekwasyon ay mga numero 6 at 8.

Ang isang equation ay tinatawag na pagkakapantay-pantay ng form f (x, y, ...) \u003d g (x, y, ..), kung saan ang f at g ay mga function ng isa o maraming variable. Upang matuklasan ang ugat ng isang equation ay upang matuklasan ang isang hanay ng mga argumento kung saan ang pagkakapantay-pantay na ito ay humahawak.

Kakailanganin mong

• Kaalaman sa pagsusuri sa matematika.

Manwal ng pagtuturo

1.   Marahil mayroon kang isang equation ng form: x + 2 \u003d x / 5. Upang magsimula, inilipat namin ang lahat ng mga sangkap ng pagkakapantay-pantay na ito mula sa kanang bahagi sa kaliwa, habang binabago ang tanda ng sangkap sa kabaligtaran. Ang zero ay nananatili sa kanang bahagi ng equation na ito, samakatuwid nga, nakuha namin ang sumusunod: x + 2-x / 5 \u003d 0.

2.   Nagbibigay kami ng mga katulad na termino. Nakukuha namin ang sumusunod: 4x / 5 + 2 \u003d 0.

3.   Karagdagan mula sa nakuha na nabawasan na equation ay nakakahanap kami ng hindi kilalang term, sa kasong ito x. Ang nagresultang halaga ng isang hindi kilalang variable ay ang solusyon sa paunang pagkakapareho. Sa kasong ito, nakukuha namin ang sumusunod: x \u003d -2.5.

Mga kaugnay na video

Tandaan!
  Bilang isang resulta ng pagpapasya, maaaring lumitaw ang mga sobrang ugat. Hindi sila magiging solusyon sa paunang pagkakapareho, kahit na positibo mong napagpasyahan ang lahat. Siguraduhing suriin ang lahat ng mga solusyon na natanggap.

Nakatutulong na payo
  Suriin ang mga nakuha na halaga ng hindi pamilyar. Maaari itong gawin primitively sa pamamagitan ng paghahalili ng nakuha na halaga sa paunang pagkakapareho. Kung tama ang pagkakapantay-pantay, kung gayon tama ang pasya.

Ang teorema ng Vieta ay nagtatatag ng isang direktang koneksyon sa pagitan ng mga ugat (x1 at x2) at mga exponents (b at c, d) ng isang equation ng uri ng bx2 + cx + d \u003d 0. Sa tulong ng teorema na ito ay pinapayagan, nang hindi tinukoy ang kahulugan ng mga ugat, upang makalkula ang kanilang kabuuan, matapang na nagsasalita, sa isip. Walang mahirap, ang pangunahing bagay ay ang malaman ang ilang mga patakaran.

Kakailanganin mong

• - calculator;
• - papel para sa mga tala.

Manwal ng pagtuturo

1.   Dalhin ang quadratic equation sa ilalim ng pag-aaral sa isang pamantayang form, upang ang lahat ng mga exponents ay pumupunta sa pababang pagkakasunud-sunod, iyon ay, sa una ang pinakamataas na degree ay x2, at sa wakas ang zero degree ay x0. Ang equation ay tumatagal ng form: b * x2 + c * x1 + d * x0 \u003d b * x2 + c * x + d \u003d 0.

2.   Suriin ang hindi negatibiti ng diskriminasyon. Ang tseke na ito ay kinakailangan upang matiyak na ang ekwasyon ay may mga ugat. D (discriminant) ay kumukuha ng form: D \u003d c2 - 4 * b * d. Mayroong maraming mga pagpipilian. D - discriminant - tama, na nangangahulugang ang equation ay may dalawang ugat. D - ay katumbas ng zero, sumusunod sa ito na mayroong isang ugat, ngunit ito ay dalawahan, iyon ay, x1 \u003d x2. Ang neg ay D, para sa isang kurso sa algebra ng paaralan ang kondisyong ito ay nangangahulugang walang mga ugat, para sa mas mataas na matematika mayroong mga ugat, ngunit kumplikado sila.

3.   Alamin ang kabuuan ng mga ugat ng equation. Gamit ang teorema ng Vieta, madali itong gawin: b * x2 + c * x + d \u003d 0. Ang kabuuan ng mga ugat ng ekwasyon ay direktang proporsyonal sa "-c" at inversely proporsyonal sa exponent na "b". Lalo na, x1 + x2 \u003d -c / b. Tukuyin ang produkto ng mga ugat ayon sa pahayag - ang produkto ng mga ugat ng ekwasyon ay direktang proporsyonal sa "d" at inversely na proporsyonal sa tagapagpahiwatig na "b": x1 * x2 \u003d d / b.

Tandaan!
  Kung nakakakuha ka ng negatibong diskriminasyon, hindi ito nangangahulugan na walang mga ugat. Nangangahulugan ito na ang mga ugat ng equation ay ang tinatawag na kumplikadong mga ugat. Ang teorema ng Vieta ay naaangkop din sa kasong ito, ngunit ang form nito ay bahagyang mabago: [-c + (- i) * (- c2 + 4 * b * d) 0.5] / \u003d x1,2

Nakatutulong na payo
  Kung nahaharap ka hindi isang quadratic equation, ngunit may isang kubiko o equation ng degree n: b0 * xn + b1 * xn-1 + ... .. + bn \u003d 0, kung gayon maaari mo ring gamitin ang teorema ng Vieta upang makalkula ang kabuuan o produkto ng mga ugat ng equation : 1. -B1 / b0 \u003d x1 + x2 + x3 + .... + Xn, 2. b2 / b0 \u003d x1 * x2 + .... + xn-1 * xn, 3. (-1) n * (bn / b0) \u003d x1 * x2 * x3 * .... * Xn.

Kung, sa pamamagitan ng paghahalili ng isang numero sa equation, nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay, ang naturang bilang ay tinatawag na ugat. Ang mga ugat ay maaaring tama, negatibo at zero. Kabilang sa bawat hanay ng mga ugat ng equation, maximum at minimum ay nakikilala.

Manwal ng pagtuturo

1. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation, bukod sa mga ito pumili ng negatibo, kung mayroon man. Hayaan, sabihin, ang quadratic equation 2x? -3x + 1 \u003d 0 ay ibinigay. Ilapat ang pormula para sa paghahanap ng mga ugat ng equation ng quadratic: x (1,2) \u003d / 2 \u003d / 2 \u003d / 2, pagkatapos x1 \u003d 2, x2 \u003d 1. Madaling mapansin na walang mga negatibo sa kanila.

2.   Posible rin upang matuklasan ang mga ugat ng kuwadradong equation gamit ang Vieta teorem. Ayon sa teorema na ito, x1 + x1 \u003d -b, x1? X2 \u003d c, kung saan b at c ang mga indeks ng equation x? + Bx + c \u003d 0, ayon sa pagkakabanggit. Ang paglalapat ng teorema na ito, pinahihintulutan na huwag kalkulahin ang discriminant b? -4ac, na sa ilang mga kaso ay lubos na pinadali ang gawain.

3.   Kung ang exponent sa x ay kahit na sa equation ng quadratic, pinapayagan itong gamitin hindi isang pangunahing, ngunit isang pinaikling formula para sa paghahanap ng mga ugat. Kung ang pangunahing pormula ay mukhang x (1,2) \u003d [- b ±? (B? -4ac)] / 2a, kung gayon sa pinaikling anyo ay nakasulat ito tulad nito: x (1,2) \u003d [- b / 2 ±? ( b? / 4-ac)] / a. Kung walang libreng termino sa equation ng quadratic, medyo madali itong ilipat x sa labas ng mga bracket. At paminsan-minsan ang kaliwang bahagi ay idinagdag sa isang buong parisukat: x? + 2x + 1 \u003d (x + 1) ?.

4.   Mayroong mga uri ng mga equation na nagbibigay ng hindi isang numero, ngunit isang buong maraming mga solusyon. Sabihin ang mga equation ng trigonometric. Kaya, ang resulta sa equation 2sin? (2x) + 5sin (2x) -3 \u003d 0 ay x \u003d? / 4+? K, kung saan k ay isang integer. Iyon ay, kapag nahalili ang anumang halaga ng integer ng parameter k, ang argumento x ay masiyahan ang ibinigay na equation.

5.   Sa mga problema sa trigonometriko, maaaring kailanganin upang makita ang lahat ng mga negatibong ugat o ang pinakamataas ng mga negatibong. Sa paglutas ng mga naturang problema, ginagamit ang lohikal na pangangatwiran o isang paraan ng induction sa matematika. Palitin ang ilang mga halaga ng integer para sa k sa expression x \u003d? / 4+? K at pagmasdan kung paano kumilos ang argumento. Sa pamamagitan ng paraan, ang pinakamalaking negatibong ugat sa nakaraang equation ay ang x \u003d -3? / 4 sa k \u003d 1.

Mga kaugnay na video

Tandaan!
  Sa halimbawang ito, isinasaalang-alang namin ang isang variant ng equation ng quadratic kung saan isang \u003d 1. Upang malutas ang kumpletong kuwadradong equation, kung saan ang isang & ne 1, sa pamamagitan ng parehong pamamaraan, kailangan nating gumawa ng isang pantulong na equation, na magdala ng "a" sa pagkakaisa.

Nakatutulong na payo
  Gamitin ang pamamaraang ito sa paglutas ng mga equation upang mabilis na matuklasan ang mga ugat. Makakatulong din ito kung kailangan mong malutas ang equation sa iyong isip nang hindi gumamit ng mga tala.

Ang kabuuan ng mga ugat ng quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng term.

(Alalahanin: ang nabawasan na quadratic equation ay ang equation kung saan ang unang koepisyent ay 1).

Paliwanag:

Hayaan ang kuwadradong equation palakol 2 +bx +c  \u003d 0 ay may mga ugat x  1 at x  2. Pagkatapos ng teorema ng Vieta:

Halimbawa 1:

Ang equation sa itaas x 2 - 7x + 10 \u003d 0 ay may mga ugat 2 at 5.

Ang kabuuan ng mga ugat ay 7, at ang produkto ay 10.

At sa aming equation, ang pangalawang koepisyent ay -7, at ang libreng term ay 10.

Kaya, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na pag-sign, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng term.

Medyo madalas may mga kuwadrong equation na madaling kalkulahin gamit ang Vieta theorem - bukod dito, mas madaling makalkula ang mga ito sa tulong nito. Madali itong mapatunayan pareho sa nakaraang halimbawa at sa mga sumusunod.

Halimbawa 2 Malutas ang equation ng quadratic x 2 – 2x – 24 = 0.

Desisyon .

Inilapat namin ang teorema ng Vieta at isulat ang dalawang pagkakakilanlan:

x  1 · x 2 = –24

x 1 + x 2 = 2

Pipili kami ng mga kadahilanan para sa -24 upang ang kanilang kabuuan ay katumbas ng 2. Matapos ang ilang pag-iisip, nahanap namin: 6 at -4. Suriin:

6 · (- 4) \u003d –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Tulad ng napansin mo, sa pagsasagawa, ang kakanyahan ng teorema ng Vieta ay upang saliksikin ang libreng term sa naturang mga kadahilanan, ang kabuuan ng kung saan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na pag-sign. Ang mga salik na ito ay magiging mga ugat.

Samakatuwid, ang mga ugat ng aming quadratic equation ay 6 at -4.

Sagot: x 1 = 6, x 2 = –4.

Halimbawa 3 Nalutas namin ang kuwadrong equation 3x 2 + 2x - 5 \u003d 0.

Dito hindi kami nakikipag-ugnayan sa kuwadrong equation na ibinigay. Ngunit ang nasabing mga equation ay maaari ring malutas gamit ang teorema ng Vieta kung ang kanilang mga coefficient ay balanse - halimbawa, kung ang kabuuan ng una at pangatlong koepisyente ay katumbas ng pangalawa na may kabaligtaran na pag-sign.

Desisyon .

Ang mga coefficient ng equation ay balanse: ang kabuuan ng una at pangatlong term ay katumbas ng pangalawa na may kabaligtaran na pag-sign:

3 + (–5) = –2.

Ayon sa teorema ng Vieta

x 1 + x 2 \u003d –2/3
  x 1 · x 2 \u003d –5/3.

Kailangan nating maghanap ng dalawang numero na ang kabuuan ay –2/3, at ang produkto –5/3. Ang mga bilang na ito ay magiging mga ugat ng equation.

Ang unang numero ay agad na nahulaan: ito ay 1. Pagkatapos ng lahat, na may x \u003d 1 ang equation ay lumiliko sa pinakasimpleng karagdagan-pagbabawas:
  3 + 2 - 5 \u003d 0. Paano mahahanap ang pangalawang ugat?
  Isipin ang 1 sa form 3/3 upang ang lahat ng mga numero ay may parehong denominador: mas madali. At agad ang mga susunod na hakbang ay nagmakaawa. Kung x 1 \u003d 3/3, pagkatapos:

3/3 + x 2 \u003d –2/3.

Nalutas namin ang isang simpleng equation:

x 2 \u003d –2/3 - 3/3.

Sagot: x 1 \u003d 1; x 2 \u003d –5/3

Halimbawa 4: Malutas ang katumbas na parisukat 7 x 2 – 6x – 1 = 0.

Desisyon :

Ang isang ugat ay agad na napansin - agad itong dumadaloy sa mga mata: x  1 \u003d 1 (dahil ang simpleng aritmetika ay nakuha: 7 - 6 - 1 \u003d 0).

Ang mga coefficient ng equation ay balanse: ang kabuuan ng una at pangatlo ay katumbas ng pangalawa na may kabaligtaran na pag-sign:
7 + (– 1) = 6.

Alinsunod sa teorema ng Vieta, bumubuo kami ng dalawang pagkakakilanlan (kahit na sa kasong ito ang isa sa kanila ay sapat na):

x  1 · x 2 = –1/7
x 1 + x 2 = 6/7

Pinalitan namin ang halaga ng x 1 sa alinman sa dalawang expression na ito at nahahanap ang x 2:

x 2 = –1/7: 1 = –1/7

Ang sagot ay: x 1 = 1; x 2 = –1/7

Ang diskriminasyon sa nabawasan na kuwadradong equation.

Ang diskriminasyon ng nabawasan na kuwadradong equation ay maaaring kalkulahin pareho ng pangkalahatang pormula at sa pinasimple:

SaD \u003d 0, ang mga ugat ng ibinigay na equation ay maaaring kalkulahin ng formula:

Kung D< 0, то уравнение не имеет корней.

Kung D \u003d 0, ang equation ay may isang ugat.

Kung D\u003e 0, kung gayon ang equation ay may dalawang mga ugat.