FEDERAL EDUCATION AGENCY

INSTITUTO PARA SA pagpapaunlad ng Edukasyon

"Mga pamamaraan ng grapiko para sa paglutas ng mga equation at inequalities na may mga parameter"

Nakumpleto

guro sa matematika

MOU SOSH №62

Lipetsk 2008

PANIMULA ................................................. .................................................. .3

NS;sa) 4

1.1. Parallel transfer ...................................... ... ...................... 5

1.2. Lumiko................................................. .................................................. siyam

1.3. Homotetia. Pag-compress sa Straight ...................................... ................. 13

1.4. Dalawang tuwid na linya sa isang eroplano ...................................... .. ....................... 15

2. Mga Teknikal na Grapiko. COORDINATE PLANE ( NS;a) 17

KONKLUSYON ...................................... ... .......................................... dalawampu

SANGGUNIAN ................................................. ....... 22

PANIMULA

Ang mga problema na mayroon ang mga mag-aaral kapag nilulutas ang hindi pamantayang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay sanhi ng parehong pagiging kumplikado ng mga gawaing ito at ng katotohanan na ang paaralan, bilang isang patakaran, ay nakatuon sa paglutas ng mga karaniwang problema.

Maraming mga mag-aaral ang namamalas sa parameter bilang isang "normal" na numero. Sa katunayan, sa ilang mga problema, ang parameter ay maaaring maituring na isang pare-pareho, ngunit ang pare-pareho na ito ay tumatagal ng hindi kilalang mga halaga! Samakatuwid, kinakailangang isaalang-alang ang problema para sa lahat ng mga posibleng halaga ng pare-pareho na ito. Sa iba pang mga problema, maginhawa upang artipisyal na ideklara ang isa sa mga hindi kilalang bilang isang parameter.

Tinatrato ng ibang mga mag-aaral ang parameter bilang isang hindi kilalang dami at, nang walang kahihiyan, maaaring ipahayag ang parameter sa sagot sa pamamagitan ng variable NS.

Sa pangwakas at pasok na mga pagsusulit, higit sa lahat mayroong dalawang uri ng mga problema sa mga parameter. Kilalanin mo agad sila sa pamamagitan ng kanilang mga salita. Una: "Para sa bawat halaga ng parameter, hanapin ang lahat ng mga solusyon ng ilang equation o hindi pagkakapantay-pantay." Pangalawa: "Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa sa ilang mga kundisyon ay nasiyahan para sa isang naibigay na equation o hindi pagkakapantay-pantay." Alinsunod dito, ang mga sagot sa dalawang uri ng mga problema ay nagkakaiba-iba. Sa sagot sa problema ng unang uri, ang lahat ng mga posibleng halaga ng parameter ay nakalista at para sa bawat isa sa mga halagang ito ang mga solusyon ng equation ay nakasulat. Sa sagot sa problema ng pangalawang uri, ang lahat ng mga halaga ng parameter ay ipinahiwatig kung saan natutugunan ang mga kundisyong tinukoy sa problema.

Ang solusyon ng isang equation na may isang parameter para sa isang naibigay na nakapirming halaga ng parameter ay tulad ng isang halaga ng hindi alam, kapag pinalitan sa equation, ang huli ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay sa bilang. Ang solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter ay tinukoy nang katulad. Upang malutas ang isang equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may isang parameter na nangangahulugang para sa bawat tinatanggap na halaga ng parameter upang mahanap ang hanay ng lahat ng mga solusyon ng equation na ito (hindi pagkakapantay-pantay).

1. Mga Teknikal na Grapiko. COORDINATE PLANE ( NS;sa)

Kasama ng pangunahing mga diskarte sa pag-aaral at pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter, may mga paraan upang mag-refer sa interpretasyon ng visual-graphic.

Nakasalalay sa kung anong papel ang itinalaga ng parameter sa gawain (hindi pantay o katumbas ng variable), dalawang pangunahing mga diskarte sa grapiko ay maaaring makilala ayon sa pagkakabanggit: ang una ay ang pagtatayo ng isang graphic na imahe sa coordinate na eroplano (NS;y), ang pangalawa - sa (NS; a).

Sa eroplano (x; y) ang pagpapaandar y =f (NS; a) tumutukoy sa isang pamilya ng mga curve depende sa parameter a. Malinaw na ang bawat pamilya f may ilang mga pag-aari. Una sa lahat, magiging interesado kami sa anong uri ng pagbabago ng eroplano (parallel translation, rotation, atbp.) Posible na pumasa mula sa isang kurba ng pamilya patungo sa iba pa. Ang isang magkakahiwalay na talata ay itatalaga sa bawat isa sa mga pagbabagong ito. Tila sa amin na ang naturang isang pag-uuri ay ginagawang mas madali para sa mapagpasyang makahanap ng kinakailangang graphic na imahe. Tandaan na sa pamamaraang ito, ang konsepto na bahagi ng solusyon ay hindi nakasalalay sa aling figure (linya, bilog, parabola, atbp.) Ay isang miyembro ng pamilya ng mga curve.

Siyempre, hindi palaging ang graphic na imahe ng pamilya y =f (NS;a) inilarawan ng isang simpleng pagbabago. Samakatuwid, sa mga ganitong sitwasyon, kapaki-pakinabang na mag-focus hindi sa kung paano nauugnay ang mga curve ng isang pamilya, ngunit sa kanilang mga curve mismo. Sa madaling salita, ang isa pang uri ng mga problema ay maaaring makilala, kung saan ang ideya ng isang solusyon ay pangunahing batay sa mga katangian ng tiyak mga geometric na hugis kaysa sa pamilya bilang isang buo. Anong mga numero (mas tiyak, ang mga pamilya ng mga figure na ito) ay interesado tayo sa una? Ito ang mga tuwid na linya at parabolas. Ang pagpipiliang ito ay dahil sa espesyal na (pangunahing) posisyon ng linear at mga quadratic function sa matematika sa paaralan.

Sa pagsasalita tungkol sa mga graphic na pamamaraan, imposibleng makalibot sa isang problema, na "ipinanganak" ng pagsasanay ng mapagkumpetensyang pagsusulit. Tumutukoy kami sa tanong ng pagiging mahigpit, at samakatuwid ang legalidad ng isang desisyon batay sa mga pagsasaalang-alang sa grapiko. Walang alinlangan, mula sa isang pormal na pananaw, ang resulta na nakuha mula sa "larawan", na hindi suportado ng analytically, ay hindi nakuha nang mahigpit. Gayunpaman, kanino, kailan at saan ang antas ng pagiging mahigpit na dapat sundin ng isang mag-aaral sa high school? Sa aming palagay, ang mga kinakailangan para sa antas ng pagiging mahigpit sa matematika para sa isang mag-aaral ay dapat matukoy ng sentido komun. Nauunawaan namin ang antas ng pagiging paksa ng puntong ito ng pananaw. Bukod dito, ang grapikong pamamaraan ay isa lamang sa mga paraan ng pagpapakita. At ang kakayahang makita ay maaaring mapanlinlang .. gif "width =" 232 "taas =" 28 "> ay may isang solusyon lamang.

Solusyon Para sa kaginhawaan, isinasaad namin ang lg b = a. Sumulat tayo ng isang equation na katumbas ng orihinal: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif "width =" 125 "taas =" 92 ">

Pagplano ng isang pagpapaandar kasama ang domain ng kahulugan at (Larawan 1). Ang nagresultang grap ay isang pamilya ng mga linya y = a dapat tumawid lamang sa isang punto. Maaari itong makita mula sa pigura na ang kinakailangang ito ay natutupad lamang para sa a> 2, ibig sabihin lg b> 2, b> 100.

Sagot https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif "width =" 15 taas = 16 "taas =" 16 "> tukuyin ang bilang ng mga solusyon sa equation .

Solusyon... Plain natin ang pagpapaandar 102 "taas =" 37 "style =" patayo-align: itaas ">

Isaalang-alang natin Ang tuwid na linya na ito ay kahanay sa axis ng OX.

Sagot..gif "width =" 41 "taas =" 20 "> pagkatapos ay 3 mga solusyon;

kung, pagkatapos ay 2 mga solusyon;

kung, 4 na solusyon.

Lumipat tayo sa isang bagong serye ng mga problema..gif "width =" 107 "taas =" 27 src = ">.

Solusyon Bumuo tayo ng isang tuwid na linya sa= NS+1 (fig. 3) .. gif "width =" 92 "taas =" 57 ">

magkaroon ng isang solusyon, na katumbas para sa equation ( NS+1)2 = x + a magkaroon ng isang ugat..gif "width =" 44 taas = 47 "taas =" 47 "> ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon. Tandaan na ang mga pamilyar sa hinalaw ay maaaring magkuha ng ibang resulta na ito.

Dagdag dito, ang paglilipat ng "semi-parabola" sa kaliwa, inaayos namin ang huling sandali kapag ang mga graph sa = NS+ 1 at mayroong dalawang karaniwang mga puntos (posisyon III). Ang pag-aayos na ito ay ibinibigay ng kinakailangan a= 1.

Ito ay malinaw na para sa segment [ NS 1; NS 2], kung saan NS 1 at NS 2 - ang mga abscissas ng intersection point ng mga graph, ay magiging isang solusyon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay..gif "width =" 68 taas = 47 "taas =" 47 ">, pagkatapos

Kapag ang "semi-parabola" at ang tuwid na linya ay lumusot lamang sa isang punto (tumutugma ito sa kaso a> 1), pagkatapos ang solusyon ay magiging segment [- a; NS 2 "], kung saan NS 2 "- ang pinakamalaki sa mga ugat NS 1 at NS 2 (posisyon IV).

Halimbawa 4..gif "width =" 85 "taas =" 29 src = ">. gif" width = "75" taas = "20 src ="> . Mula sa makukuha natin ito .

Isaalang-alang ang mga pagpapaandar at . Kabilang sa mga ito, isa lamang ang tumutukoy sa isang pamilya ng mga curve. Ngayon nakikita natin na ang kapalit na ginawa ay walang alinlangan na benepisyo. Sa kahanay, tandaan namin na sa nakaraang problema, sa pamamagitan ng isang katulad na kapalit, ang isa ay maaaring gumawa ng isang tuwid na linya sa halip na isang "semi-parabola" na paglipat. Lumiko tayo sa fig. 4. Malinaw na, kung ang abscissa ng "semi-parabola" vertex ay mas malaki sa isa, iyon ay, –3 a > 1, , pagkatapos ang equation ng mga ugat ay walang..gif "lapad =" 89 "taas =" 29 "> at may ibang katangian ng monotony.

Sagot Kung ang equation na iyon ay may isang ugat; kung https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif "width =" 141 "taas =" 81 src = ">

may mga solusyon.

Solusyon Malinaw na ang mga direktang pamilya https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif "width =" 61 "taas =" 52 "> .. jpg" width = "259" taas = "155 ">

Kahulugan k1 hanapin sa pamamagitan ng pagpapalit ng pares (0; 0) sa unang equation ng system. Mula rito k1 =-1/4. Kahulugan k 2 nakukuha namin sa pamamagitan ng paghingi mula sa system

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif "width =" 151 "taas =" 47 "> sa k> Ang 0 ay may isang ugat. Mula rito k2= 1/4.

Sagot .

Gumawa tayo ng isang pangungusap. Sa ilang mga halimbawa ng seksyong ito, magkakaroon kami upang malutas ang isang karaniwang problema: para sa isang tuwid na pamilya, hanapin ang slope nito na naaayon sa sandali ng tangency na may kurba. Ipakita natin kung paano ito gawin sa pangkalahatang pananaw gamit ang hinalang.

Kung (x0; y 0) = gitna ng pag-ikot, pagkatapos ang mga coordinate (NS 1; sa 1) mga puntos ng tangency na may curve y =f (x) maaaring matagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng system

Ninanais na dalisdis k ay pantay.

Halimbawa 6... Para sa anong mga halaga ng parameter ang pagkakaroon ng natatanging solusyon sa equation?

Solusyon..gif "width =" 160 "taas =" 29 src = "> .. gif" width = "237" taas = "33">, arc AB.

Ang lahat ng mga sinag na dumadaan sa pagitan ng ОА at ОВ intersect ang arc AB sa isang punto, din sa isang punto ay lumusot ang arko na AB ОВ at ОМ (tangent) .. gif "lapad =" 16 "taas =" 48 src = ">. Dulas tangent ay katumbas ng. Madaling nalaman sa system

Kaya, magdirekta ng mga pamilya https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif "width =" 139 "taas =" 52 ">.

Sagot. .

Halimbawa 7..gif "width =" 160 "taas =" 25 src = "> ay may solusyon?

Solusyon..gif "width =" 61 "taas =" 24 src = "> at bumababa ng. Point - ay ang maximum point.

Ang pagpapaandar ay isang pamilya ng mga tuwid na linya na dumadaan sa puntong https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif "width =" 153 "taas =" 28 "> ay ang arc AB. Sa pagitan ng tuwid mga linya OA at OV, masiyahan ang kalagayan ng problema..gif "lapad =" 17 "taas =" 47 src = ">.

Sagot..gif "width =" 15 "taas =" 20 "> walang mga solusyon.

1.3. Homotetia. Pag-compress sa isang tuwid na linya.

Halimbawa 8. Ilan ang mga solusyon sa system

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif "width =" 41 "taas =" 20 src = "> walang solusyon ang system. a> 0 ang graph ng unang equation ay isang parisukat na may mga vertex ( a; 0), (0;-a), (-a;0), (0;a). Samakatuwid, ang mga miyembro ng pamilya ay mga homothetic square (ang gitna ng homothety ay ang punto O (0; 0)).

Lumiko tayo sa fig. 8..gif "lapad =" 80 "taas =" 25 "> bawat panig ng parisukat ay may dalawang karaniwang mga puntos na may isang bilog, na nangangahulugang ang system ay magkakaroon ng walong solusyon .. Malinaw na para sa, ang sistema ay walang mga solusyon.

Sagot Kung a< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, pagkatapos ay mayroong apat na solusyon; kung, pagkatapos ay mayroong walong solusyon.

Halimbawa 9... Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter, para sa bawat isa sa equation na https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif "width =" 181 "taas =" 29 src = ">. Isaalang-alang ang pagpapaandar ...jpg "width =" 195 "taas =" 162 ">

Ang bilang ng mga ugat ay tumutugma sa bilang 8 kapag ang radius ng kalahating bilog ay mas malaki at mas maliit, iyon ay. Tandaan na mayroon.

Sagot. o.

1.4. Dalawang tuwid na linya sa isang eroplano

Sa esensya, ang ideya ng paglutas ng mga problema ng talatang ito ay batay sa tanong ng pag-aaral ng magkakasamang pag-aayos ng dalawang tuwid na linya: at ... Hindi mahirap ipakita ang pangkalahatang solusyon sa problemang ito. Direktang babaling kami sa mga tukoy na tipikal na halimbawa, na, sa aming palagay, ay hindi makakasama sa pangkalahatang aspeto ng isyu.

Halimbawa 10. Para sa ano a at b ang sistema

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif "width =" 160 "taas =" 25 src = "> .. gif" width = "67" taas = "24 src ="> , t..gif "width =" 116 "taas =" 55 ">

Ang sistemang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa isang kalahating eroplano na may isang hangganan sa= 2x- 1 (fig 10). Madaling maunawaan na ang nagresultang system ay may solusyon kung ang tuwid na linya ah +ni = 5 intersects ang hangganan ng kalahating eroplano o, pagiging parallel dito, namamalagi sa kalahating eroplano sa– 2x + 1 < 0.

Magsimula tayo sa kaso b = 0. Kung gayon, tila, ang equation Oh+ ni = Tinutukoy ng 5 ang isang patayong linya na malinaw na intersect ang linya y = 2NS - 1. Gayunpaman, ang pahayag na ito ay may bisa lamang kung ..gif "width =" 43 "taas =" 20 src = "> ang mga sistema ay may mga solusyon..gif" width = "99" taas = "48">. Sa kasong ito, ang kundisyon ng intersection ng mga tuwid na linya ay nakamit sa, ie ..gif "width =" 52 "taas =" 48 ">. Gif" width = "41" taas = "20"> at, o at, o at https: //pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif "width =" 69 "taas =" 24 src = ">.

- Sa mag-coordinate ng eroplano xOa balangkas ang pagpapaandar.

- Isaalang-alang ang mga tuwid na linya at piliin ang mga agwat ng Oa axis kung saan natutugunan ng mga tuwid na linya ang mga sumusunod na kundisyon: a) ay hindi lumusot sa grap ng pagpapaandar https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif "width =" 69 "taas =" 24 "> sa isang punto, c) sa dalawang puntos, d) sa tatlong puntos, at iba pa.

- Kung ang gawain ay upang mahanap ang mga halaga ng x, pagkatapos ay ipahayag namin ang x sa pamamagitan ng para sa bawat isa sa mga natagpuang agwat ng halaga ng isang magkahiwalay.

Ang pagtingin sa isang parameter bilang isang pantay na variable ay makikita sa mga grapikong pamamaraan..jpg "width =" 242 "taas =" 182 ">

Sagot a = 0 o isang = 1.

KONklusyon

Inaasahan namin na ang pinag-aralan na mga problema ay nakakumbinsi na ipakita ang pagiging epektibo ng mga iminungkahing pamamaraan. Gayunpaman, sa kasamaang palad, ang saklaw ng mga pamamaraang ito ay limitado ng mga paghihirap na maaaring makaranas kapag nagtatayo ng isang graphic na imahe. Napakasama ba talaga nito? Hindi naman. Sa katunayan, sa gayong diskarte, ang pangunahing halaga ng didaktiko ng mga gawain na may mga parameter bilang isang modelo ng pinaliit na pananaliksik ay higit na nawala. Gayunpaman, ang mga pagsasaalang-alang sa itaas ay nakatuon sa mga guro, at para sa mga aplikante ang formula ay lubos na katanggap-tanggap: ang wakas ay binibigyang-katwiran ang mga paraan. Bukod dito, gawin nating kalayaan ang pagsasabi na sa isang malaking bilang ng mga unibersidad, ang mga nagtitipon ng mga problema sa kumpetisyon na may mga parameter ay sumusunod sa landas mula sa isang larawan patungo sa isang kundisyon.

Sa mga problemang ito, tinalakay ang mga posibilidad ng paglutas ng mga problema sa isang parameter, na magbubukas sa amin kapag ang mga grap ng mga pagpapaandar na kasama sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation o hindi pagkakapantay-pantay ay ipinakita sa isang sheet ng papel. Dahil sa ang katunayan na ang parameter ay maaaring tumagal ng di-makatwirang mga halaga, ang isa o pareho ng ipinakitang mga graphic ay lumilipat sa isang tiyak na paraan sa eroplano. Maaari naming sabihin na nakakakuha kami ng isang buong pamilya ng mga grap na naaayon sa iba't ibang mga halaga ng parameter.

Dalawang detalye ang binigyang diin.

Una, hindi namin pinag-uusapan ang isang "grapikong" solusyon. Ang lahat ng mga halaga, coordinate, ugat ay kinakalkula nang mahigpit, analitiko, bilang mga solusyon ng mga kaukulang equation, system. Nalalapat ang pareho sa mga kaso ng pagpindot o pagtawid sa mga tsart. Ang mga ito ay hindi natutukoy ng mata, ngunit gumagamit ng mga diskriminante, derivatives at iba pang mga tool na magagamit sa iyo. Nagbibigay lamang ang solusyon ng larawan.

Pangalawa, kahit na hindi ka makahanap ng anumang paraan upang malutas ang problemang nauugnay sa mga ipinakitang grap, ang iyong pag-unawa sa problema ay lalawak nang malaki, makakatanggap ka ng impormasyon para sa pagsubok sa sarili at ang mga pagkakataong magtagumpay ay makabuluhang tataas. Pag-iisip ng eksakto kung ano ang nangyayari sa problema kapag magkakaibang kahulugan parameter, maaari mong makita ang tamang solusyon sa algorithm.

Samakatuwid, tatapusin namin ang mga salitang ito ng isang mapilit na pangungusap: kung sa kaunting degree mahirap na pagsubok may mga pag-andar na ang graphics ay maaari mong iguhit, tiyaking gawin ito, hindi mo ito pagsisisihan.

LISTANG BIBLIOGRAPHIC

1. Cherkasov ,: Handbook para sa mga mag-aaral sa high school at mga papasok sa unibersidad [Text] / ,. - M.: AST-PRESS, 2001 .-- 576 p.

2. Gorshtein, na may mga parameter [Text]: Ika-3 edisyon, pupunan at binago / ,. - M.: Ileksa, Kharkov: Gymnasium, 1999 .-- 336 p.

Hayaan f (x, y) at g (x, y)- dalawang expression na may mga variable NS at sa at saklaw NS... Pagkatapos ay hindi pagkakapantay-pantay ng form f (x, y) > g (x, y) o f (x, y) < g (x, y) tinawag hindi pagkakapantay-pantay sa dalawang variable .

Halaga ng mga variable x, y ng karamihan NS, kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagiging isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay sa bilang, ay tinawag na nito desisyon at tinukoy (x, y). Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay - nangangahulugan ito ng paghahanap ng maraming mga tulad pares.

Kung ang bawat pares ng mga numero (x, y) mula sa hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay, ilagay sa sulat ang punto M (x, y), nakukuha namin ang hanay ng mga puntos sa eroplano na ibinigay ng hindi pagkakapantay-pantay na ito. Tinawag na siya ang grap ng hindi pagkakapantay-pantay na ito ... Ang isang hindi pagkakapantay-pantay na balangkas ay karaniwang isang lugar sa isang eroplano.

Upang mailarawan ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay f (x, y) > g (x, y), magpatuloy tulad ng sumusunod. Una, palitan ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ng isang pantay na pag-sign at hanapin ang isang linya na may equation f (x, y) = g (x, y)... Hinahati ng linyang ito ang eroplano sa maraming bahagi. Pagkatapos nito, sapat na upang kumuha ng isang punto sa bawat bahagi at suriin kung sa puntong ito ang hindi pagkakapantay-pantay f (x, y) > g (x, y)... Kung naisagawa ito sa puntong ito, pagkatapos ay isasagawa ito sa buong bahagi kung saan nakasalalay ang puntong ito. Pinagsasama ang mga naturang bahagi, nakakakuha kami ng maraming mga solusyon.

Gawain. y > x.

Solusyon Una, pinalitan namin ang pag-sign ng hindi pagkakapantay-pantay ng pantay na pag-sign at bumuo sa isang hugis-parihaba na coordinate system ng isang linya na mayroong equation y = x.

Hinahati ng linyang ito ang eroplano sa dalawang bahagi. Pagkatapos nito, kumuha ng isang punto sa bawat bahagi at suriin kung sa puntong ito ang hindi pagkakapantay-pantay y > x.

Gawain. Malutas ang hindi pagkakapantay-pantay sa grapiko
NS 2 + sa 2 £ 25.

Hayaan ang dalawang hindi pagkakapantay-pantay na ibigay f 1(x, y) > g 1(x, y) at f 2(x, y) > g 2(x, y).

Ang mga sistema ng mga hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa dalawang variable

Sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay mga regalo sa sarili ko pagsabay ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito. Solusyon ng system ay anumang kahulugan (x, y) na ginagawang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ng bawat hindi pagkakapantay-pantay. Maraming solusyon mga system ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na bumubuo ng isang ibinigay na system.

Itakda ng mga hindi pagkakapantay-pantay mga regalo sa sarili ko disjunction ng mga ito hindi pagkakapantay-pantay. Sa pamamagitan ng desisyon ng pinagsama-sama ay anumang kahulugan (x, y), na ginagawang hindi bababa sa isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng populasyon sa isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay sa bilang. Maraming solusyon ang pinagsama ay ang unyon ng mga hanay ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay na bumubuo ng isang koleksyon.

Gawain. Malutas nang grapiko ang isang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon y = x at NS 2 + sa 2 = 25. Malulutas ang bawat hindi pagkakapantay-pantay sa system.

Ang graph ng system ay magiging hanay ng mga puntos ng eroplano na ang intersection (double shading) ng mga hanay ng mga solusyon ng una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain. Malutas nang grapiko ang isang hanay ng mga hindi pagkakapantay-pantay

Mga ehersisyo para sa independiyenteng trabaho

1. Malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa grapiko: a) sa> 2x; b) sa< 2x + 3;

v) x 2+ y 2> 9; G) x 2+ y 2 £ 4.

2. Malutas nang grapiko ang sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay:

a) c)

Mag-aaral sa ika-10 baitang na si Kotovchikhin Yuri

Ang mga mag-aaral ay nagsisimulang mag-aral ng mga equation na may mga module na mula sa ika-6 na baitang, pinag-aaralan nila ang pamantayang pamamaraan ng paglutas sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga module sa mga agwat ng pagpapanatili ng mga submodular expression. Pinili ko ang partikular na paksang ito sapagkat naniniwala ako na nangangailangan ito ng mas malalim at mas detalyadong pag-aaral, ang mga gawaing may modyul ay nagdudulot ng matitinding paghihirap sa mga mag-aaral. V kurikulum sa paaralan may mga gawain na naglalaman ng isang module bilang mga gawain ng mas mataas na pagiging kumplikado at sa mga pagsusulit, samakatuwid, dapat tayong maging handa na makipagkita sa gayong gawain.

I-download:

Pag-preview:

Institusyong pang-edukasyon ng munisipyo

Average komprehensibong paaralan №5

Gumawa ng pananaliksik sa paksa:

« Algebraic at grapikong solusyon ng mga equation at inequalities na naglalaman ng modyul»

Nagawa ko na ang trabaho:

Mag-aaral sa ika-10 baitang

Kotovchikhin Yuri

Superbisor:

Guro ng Matematika

Shanta N.P.

Uryupinsk

1. Panimula …………………………………………………………… .3

2. Mga Konsepto at kahulugan ……………………………………… .5

3. Katibayan ng mga teorya ………………………………………… ..6

4. Mga paraan upang malutas ang mga equation na naglalaman ng isang module ... ... ... ... ... 7

4.1. Solusyon gamit ang mga dependency sa pagitan ng mga numero a at b, ang kanilang mga module at parisukat ……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………… 12

4.2. Gamit ang interpretasyong geometriko ng modyul upang malutas ang mga equation ……………………………………………………… ..14

4.3 Mga graphic ng pinakasimpleng pag-andar na naglalaman ng pag-sign ng ganap na halaga.

………………………………………………………………………15

4.4. Solusyon ng mga di-pamantayan na mga equation na naglalaman ng module ... .16

5. Konklusyon …………………………………………………… .17

6. Listahan ng ginamit na panitikan ………………………… 18

Layunin ng trabaho: ang mga mag-aaral ay nagsisimulang mag-aral ng mga equation na may mga module na mula sa ika-6 na baitang, pinag-aaralan nila ang pamantayang pamamaraan ng paglutas sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga module sa mga agwat ng pagpapanatili ng mga submodular expression. Pinili ko ang partikular na paksang ito sapagkat naniniwala ako na nangangailangan ito ng mas malalim at mas detalyadong pag-aaral, ang mga gawaing may modyul ay nagdudulot ng matitinding paghihirap sa mga mag-aaral. Sa kurikulum ng paaralan, may mga gawain na naglalaman ng isang module bilang mga gawain na nadagdagan ang pagiging kumplikado at sa mga pagsusulit, samakatuwid, dapat tayong maging handa na harapin ang gayong gawain.

1. Panimula:

Ang salitang "module" ay nagmula sa salitang Latin na "modulus", na nangangahulugang "sukatin". Ito ay isang polysemantic na salita (homonimo) na maraming kahulugan at ginagamit hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura, pisika, engineering, programa at iba pang eksaktong agham.

Sa arkitektura, ito ang paunang yunit ng sukat na itinakda para sa isang naibigay istruktura ng arkitektura at paghahatid upang maipahayag ang maraming mga ratios ng mga sangkap na sangkap nito.

Sa teknolohiya, ito ay isang term na ginamit sa iba't ibang larangan ng teknolohiya na walang pang-unibersal na kahulugan at nagsisilbing iba't ibang mga koepisyent at dami, halimbawa, ang modulus ng pakikipag-ugnay, nababanat na modulus, atbp.

Ang maramihang modulus (sa pisika) ay ang ratio ng normal na stress sa materyal sa kamag-anak na pagpahaba.

2. Mga konsepto at kahulugan

Ang modulus - ang ganap na halaga - ng totoong bilang A ay tinukoy ng | A |.

Upang mag-aral ng malalim ang paksang ito, kailangan mong pamilyar sa pinakasimpleng mga kahulugan na kakailanganin ko:

Ang isang equation ay isang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga variable.

Ang isang equation na may modulus ay isang equation na naglalaman ng isang variable sa ilalim ng absolute sign (sa ilalim ng modulus sign).

Ang paglutas ng isang equation ay nangangahulugang paghahanap ng lahat ng mga ugat nito, o pagpapatunay na walang mga ugat.

3 patunay ng mga teorya

Teorama 1. Ganap na halaga ang tunay na numero ay katumbas ng mas malaki sa dalawang numero a o -a.

Patunay

1. Kung ang bilang a ay positibo, kung gayon ang isang negatibo, iyon ay, -a

Halimbawa, ang bilang 5 ay positibo, pagkatapos ang -5 ay negatibo at -5

Sa kasong ito | a | = a, iyon ay, | a | tumutugma sa mas malaki sa dalawang numero a at - a.

2. Kung ang isang negatibo, kung gayon ang isang positibo at a

Kinahinatnan. Sumusunod ito mula sa teorama na | -a | = | a |.

Sa katunayan, pareho at katumbas ng mas malaki sa mga bilang na isang at a, na nangangahulugang pantay sila sa bawat isa.

Teorama 2. Ang ganap na halaga ng anumang tunay na bilang a ay katumbas ng aritmetika square root galing sa 2 .

Sa katunayan, kung gayon, sa pamamagitan ng kahulugan ng modulus ng isang numero, magkakaroon tayo ng l> 0. Sa kabilang banda, para sa А> 0, nangangahulugang | a | = √A 2

Kung ang 2

Ginawang posible ng teoryang ito na palitan ang | a | sa

Heometriko | a | nangangahulugang ang distansya sa linya ng coordinate mula sa puntong kumakatawan sa bilang a hanggang sa pinagmulan.

Kung gayon sa linya ng coordinate mayroong dalawang puntos a at isang equidistant mula sa zero, ang moduli na kung saan ay pantay.

Kung ang isang = 0, pagkatapos ay sa linya ng coordinate | a | kinakatawan ng puntong 0

4. Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng isang module.

Upang malutas ang mga equation na naglalaman ng tanda ng ganap na halaga, ibabatay kami sa kahulugan ng modulus ng numero at mga katangian ng ganap na halaga ng numero. Malulutas namin ang ilang mga halimbawa iba't ibang paraan at tingnan kung alin sa mga pamamaraan ang nagiging mas madali para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng isang modulus.

Halimbawa 1. Malutas nating analitikal at grapikal ang equation | x + 2 | = 1.

Solusyon

Makasusyong solusyon

1st way

Magtatalo kami batay sa kahulugan ng modyul. Kung ang expression sa ilalim ng modulus ay hindi negatibo, iyon ay, x + 2 ≥0, pagkatapos ay "lalabas" ang tanda ng modulus na may plus sign at ang equation ay kukuha ng form: x + 2 = 1. Kung ang mga halaga ng expression sa ilalim ng modulus sign ay negatibo, pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay magiging katumbas ng: o x + 2 = -1

Sa gayon, nakukuha natin ang alinman sa x + 2 = 1, o x + 2 = -1. Paglutas ng mga nagreresultang equation, mahahanap namin ang: X + 2 = 1 o X + 2 + -1

X = -1 X = 3

Sagot: -3; -1.

Ngayon maaari nating tapusin: kung ang modulus ng ilang pagpapahayag ay katumbas ng isang tunay na positibong numero a, kung gayon ang ekspresyon sa ilalim ng modulus ay alinman sa isang o a.

Solusyong grapiko

Ang isa sa mga paraan upang malutas ang mga equation na naglalaman ng isang module ay isang grapikong paraan. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay upang bumuo ng mga graph ng mga pagpapaandar na ito. Kung ang mga graph ay lumusot, ang mga puntos ng intersection ng mga graph na ito ay magiging mga ugat ng aming equation. Kung ang mga graph ay hindi nag-intersect, maaari naming tapusin na ang equation ay walang mga ugat. Ang pamamaraang ito ay marahil ay ginagamit nang mas madalas kaysa sa iba upang malutas ang mga equation na naglalaman ng isang module, dahil, una, ito ay tumatagal ng maraming oras at hindi palaging makatuwiran, at, pangalawa, ang mga resulta na nakuha kapag ang paggawa ng mga graph ay hindi laging tumpak.

Ang isa pang paraan upang malutas ang mga equation na naglalaman ng isang modulus ay hatiin ang linya ng numero sa mga agwat. Sa kasong ito, kailangan naming hatiin ang linya ng numero upang, ayon sa kahulugan ng modulus, ang tanda ng ganap na halaga sa mga agwat na ito ay maaaring alisin. Pagkatapos, para sa bawat agwat, kailangan nating malutas ang equation na ito at kumuha ng isang konklusyon tungkol sa mga nagresultang mga ugat (kung nasiyahan nila ang aming agwat o hindi). Ang mga ugat ay nagbibigay-kasiyahan sa mga puwang at ibibigay ang panghuli sagot.

2nd way

Itaguyod natin para sa kung anong mga halaga ng x, ang modulus ay zero: | X + 2 | = 0, X = 2

Nakukuha namin ang dalawang agwat, sa bawat isa ay nalulutas namin ang equation:

Nakukuha namin ang dalawang magkahalong sistema:

(1) X + 2 0

X-2 = 1 X + 2 = 1

Solusyunan natin ang bawat system:

X = -3 X = -1

Sagot: -3; -1.

Solusyong grapiko

y = | X + 2 |, y = 1.

Solusyong grapiko

Upang malutas ang equation nang graphic, kailangan mong bumuo ng mga graph ng mga pagpapaandar at

Upang magplano ng isang graph ng pag-andar, maglalagay kami ng isang graph ng pag-andar - ito ay isang pagpapaandar na tumatawid sa axis ng OX at ng axis ng OY sa mga puntos.

Ang mga abscissas ng mga puntos ng intersection ng mga graph ng mga pag-andar ay magbibigay ng mga solusyon sa equation.

Ang direktang grap ng pagpapaandar y = 1 intersected sa grap ng pagpapaandar y = | x + 2 | sa mga puntong may mga coordinate (-3; 1) at (-1; 1), samakatuwid, ang mga solusyon sa equation ay ang abscissas ng mga puntos:

x = -3, x = -1

Sagot: -3; -1

Halimbawa 2. Malutas analitikal at grapikal ang equation 1 + | x | = 0.5.

Solusyon:

Makasusyong solusyon

Binago namin ang equation: 1 + | x | = 0.5

| x | = 0.5-1

| x | = -0.5

Malinaw na sa kasong ito ang equation ay walang mga solusyon, dahil, sa pamamagitan ng kahulugan, ang modulus ay palaging hindi negatibo.

Sagot: Walang mga solusyon.

Solusyong grapiko

Ibahin natin ang equation :: 1 + | x | = 0.5

| x | = 0.5-1

| x | = -0.5

Ang grap ng pagpapaandar ay ang mga sinag - ang mga bisector ng ika-1 at ika-2 na mga anggulo ng coordinate. Ang grap ng pagpapaandar ay isang tuwid na linya na kahilera sa axis ng OX at dumadaan sa point -0.5 sa OY axis.

Ang mga graph ay hindi intersect, na nangangahulugang ang equation ay walang mga solusyon.

Sagot: walang mga solusyon.

Halimbawa 3. Malutas analitikal at grapikal ang equation | -x + 2 | = 2x + 1.

Solusyon:

Makasusyong solusyon

1st way

Una, dapat mong itakda ang saklaw ng mga wastong halaga ng variable. Lumilitaw ang isang natural na tanong kung bakit sa mga nakaraang halimbawa ay hindi na kailangang gawin ito, ngunit ngayon lumitaw na ito.

Ang katotohanan ay sa halimbawang ito, sa kaliwang bahagi ng equation, ang modulus ng ilang expression, at sa kanang bahagi ay hindi isang numero, ngunit isang expression na may variable - ito ang mahalagang pangyayaring ito na nagpapakilala sa halimbawang ito mula sa mga nauna.

Dahil sa kaliwang bahagi ay may isang module, at sa kanang bahagi, isang expression na naglalaman ng isang variable, kinakailangang hilingin na ang expression na ito ay hindi natipiko, ibig sabihin, Kaya't, ang saklaw ng tatanggapin

halaga ng modyul

Ngayon ay maaari kang mangatwiran sa parehong paraan tulad ng halimbawa 1, kung sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay nagkaroon positibong numero... Nakukuha namin ang dalawang magkahalong sistema:

(1) -X + 2≥0 at (2) -X + 2

X + 2 = 2X + 1; X-2 = 2X + 1

Solusyunan natin ang bawat system:

Ang (1) ay kasama sa agwat at ang ugat ng equation.

X≤2

X = ⅓

(2) X> 2

X = -3

Ang X = -3 ay hindi kasama sa agwat at hindi ang ugat ng equation.

Sagot: ⅓.

4.1 Solusyon gamit ang mga dependency sa pagitan ng mga numero a at b, ang kanilang moduli at mga parisukat ng mga numerong ito.

Bilang karagdagan sa mga pamamaraan na ibinigay ko sa itaas, mayroong isang tiyak na pagkakapareho, sa pagitan ng mga numero at yunit ng mga numero ng data, pati na rin sa pagitan ng mga parisukat at yunit ng mga numero ng data:

| a | = | b | a = b o a = -b

A2 = b2 a = b o a = -b

Mula dito, sa turn, makukuha natin iyon

| a | = | b | isang 2 = b 2

Halimbawa 4. Malutas natin ang equation | x + 1 | = | 2x - 5 | sa dalawang magkaibang paraan.

1. Isinasaalang-alang ang ugnayan ng (1) account, nakukuha namin ang:

X + 1 = 2x - 5 o x + 1 = -2x + 5

x - 2x = -5 - 1 x + 2x = 5 - 1

X = -6 | (: 1) 3x = 4

X = 6 x = 11/3

Ang ugat ng unang equation ay x = 6, ang ugat ng pangalawang equation ay x = 11/3

Kaya, ang mga ugat ng orihinal na equation x 1 = 6, x 2 = 11/3

2. Sa bisa ng pagkakaugnay (2), nakukuha natin

(x + 1) 2 = (2x - 5) 2, o x2 + 2x + 1 = 4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 + 2x + 1 + 20x - 25 = 0

3x2 + 22x - 24 = 0 | (: - 1)

3x2 - 22x + 24 = 0

D / 4 = 121 - 3 24 = 121 - 72 = 49> 0 ==> ang equation ay mayroong 2 magkakaibang mga ugat.

x 1 = (11 - 7) / 3 = 11/3

x 2 = (11 + 7) / 3 = 6

Tulad ng ipinapakita ng solusyon, ang mga ugat ng equation na ito ay ang mga bilang na 11/3 at 6 din

Sagot: x 1 = 6, x 2 = 11/3

Halimbawa 5. Malutas natin ang equation (2x + 3) 2 = (x - 1) 2.

Isinasaalang-alang ang ugnayan ng account (2), nakukuha namin iyon | 2x + 3 | = | x - 1 |, kung saan, sinusundan ang halimbawa ng nakaraang halimbawa (at ayon sa pagkakaugnay (1)):

2x + 3 = x - 1 o 2x + 3 = -x + 1

2x - x = -1 - 3 2x + x = 1 - 3

X = -4 x = -0, (6)

Kaya, ang mga ugat ng equation ay x1 = -4, at x2 = -0, (6)

Sagot: x1 = -4, x 2 = 0, (6)

Halimbawa 6. Malutas ang equation | x - 6 | = | x2 - 5x + 9 |

Gamit ang ratio, nakukuha namin ang:

x - 6 = x2 - 5x + 9 o x - 6 = - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9 = 0 | (-1) x - 6 = -x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15 = 0 x2 - 4x + 3 = 0

D = 36 - 4 15 = 36 - 60 = -24 D = 16 - 4 3 = 4> 0 ==> 2 p.c.

==> walang mga ugat.

X 1 = (4- 2) / 2 = 1

X 2 = (4 + 2) / 2 = 3

Suriin: | 1 - 6 | = | 12 - 5 1 + 9 | | 3 - 6 | = | 32 - 5 3 + 9 |

5 = 5 (I) 3 = | 9 - 15 + 9 |

3 = 3 (AT)

Sagot: x 1 = 1; x 2 = 3

4.2 Gamit ang interpretasyong geometriko ng modyul upang malutas ang mga equation.

Ang geometric na kahulugan ng modulus ng pagkakaiba sa dami ay ang distansya sa pagitan nila. Halimbawa, ang kahulugan ng geometriko ng ekspresyon | x - a | - ang haba ng segment coordinate axis pagkonekta ng mga puntos sa abscissas a at x. Ang pagsasalin ng isang algebraic problem sa isang geometric na wika ay madalas na iniiwasan ang mga masalimuot na solusyon.

Halimbawa 7. Solusyunan natin ang equation | x - 1 | + | x - 2 | = 1 gamit ang geometric na interpretasyon ng modyul.

Tatalo kami tulad ng sumusunod: batay sa interpretasyong geometriko ng modyul, kaliwang parte ang equation ay ang kabuuan ng mga distansya mula sa ilang mga punto ng abscissas x hanggang dalawang nakapirming puntos na may abscissas 1 at 2. Pagkatapos ay halata na ang lahat ng mga puntos na may abscissas mula sa isang segment ay may kinakailangang pag-aari, ngunit ang mga puntong matatagpuan sa labas ng segment na ito ay hindi. Samakatuwid ang sagot: ang hanay ng mga solusyon sa equation ay isang segment.

Sagot:

Halimbawa 8. Solusyunan natin ang equation | x - 1 | - | x - 2 | = 1 1 gamit ang interpretasyong geometriko ng modyul.

Magtatalo tayo nang katulad sa naunang halimbawa, habang nakuha namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga distansya sa mga puntos na may abscissas 1 at 2 ay katumbas ng isa lamang para sa mga puntos na matatagpuan sa coordinate axis sa kanan ng numero 2. Samakatuwid, ang solusyon sa ang equation na ito ay hindi ang segment na nakapaloob sa pagitan ng mga puntos na 1 at 2, at isang sinag na papalabas mula sa point 2 at nakadirekta sa positibong direksyon ng OX axis.

Sagot:)