Sa computational na pagsasanay, ang isa ay madalas na makitungo sa mga pagpapaandar na ibinigay ng mga talahanayan ng kanilang mga halaga para sa ilang may hangganan na hanay ng mga halaga NS : .

Sa proseso ng paglutas ng problema, kinakailangang gamitin ang mga halaga
para sa mga interyenteng halaga ng pagtatalo. Sa kasong ito, ang isang function na Ф (x) ay itinayo, na kung saan ay sapat na simple para sa mga kalkulasyon, na sa mga ibinigay na puntos x 0 , x 1 , ..., x n , tinatawag na interpolation node, tumatagal ng mga halaga, at sa iba pang mga punto ng segment (x 0, x n) na kabilang sa domain ng kahulugan
, tinatayang kumakatawan sa pagpapaandar
na may iba't ibang antas ng kawastuhan.

Kapag nalulutas ang problema, sa kasong ito, sa halip na ang pagpapaandar
patakbuhin ang pagpapaandar Ф (x). Ang problema sa pagbuo ng gayong pagpapaandar Ф (x) ay tinatawag na problemang interpolation. Kadalasan, ang interpolating function na Ф (x) ay hinahanap sa anyo ng isang algebraic polynomial.

1. Interpolation polynomial

Para sa bawat pagpapaandar
tinukoy sa [ a, b], at anumang hanay ng mga node x 0 , x 1 , ...., x n (x ako
[a, b], x ako x j para sa i j) kabilang sa mga algebraic polynomial ng degree na pinakamaraming n, mayroong isang natatanging interpolation polynomial Ф (x), na maaaring maisulat sa form:

, (3.1)

kung saan
- polynomial ng degree n sa sumusunod na pag-aari:

Para sa interpolation polynomial, ang polynomial
parang:

Ang polynomial (3.1) na ito ay naglulutas ng problema sa interpolation at tinawag itong Lagrange interpolation polynomial.

Bilang isang halimbawa, isaalang-alang ang isang pagpapaandar ng form
sa agwat
na ibinigay sa isang tabular na paraan.

Kinakailangan upang matukoy ang halaga ng pagpapaandar sa puntong x-2.5. Gagamitin namin ang Lagrange polynomial para dito. Batay sa mga formula (3.1 at 3.3), isinusulat namin ang polynomial na ito sa malinaw na form:

(3.4).

Pagkatapos, palitan ang mga paunang halaga mula sa aming talahanayan sa pormula (3.4), nakukuha namin

Ang resulta ay naaayon sa teorya, ibig sabihin ...

1. Lagrange interpolation na pormula

Ang Lagrange interpolation polynomial ay maaaring isulat sa ibang anyo:

(3.5)

Ang pagsulat ng polynomial sa form (3.5) ay mas maginhawa para sa pagprograma.

Kapag nilulutas ang problema sa interpolation, ang dami n ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng interpolating polynomial. Bukod dito, tulad ng makikita mula sa mga formula (3.1) at (3.5), ang bilang ng mga node ng interpolation ay palaging magiging pantay sa n + 1 at ang kahulugan x, para saan ang halaga
, dapat na namamalagi sa loob ng domain ng kahulugan ng interpolation nodes mga yan

. (3.6)

Sa ilang mga praktikal na kaso, ang kabuuang kilalang bilang ng mga interpolation node ay m maaaring mas malaki kaysa sa pagkakasunud-sunod ng interpolating polynomial n.

Sa kasong ito, bago ipatupad ang pamamaraan ng interpolation alinsunod sa pormula (3.5), kinakailangan upang matukoy ang mga node ng interpolation na kung saan ang kundisyon (3.6) ay wasto. Dapat tandaan na ang pinakamaliit na error ay nakamit kapag ang paghahanap ng halaga x sa gitna ng interpolation area. Upang matiyak ito, iminungkahi ang sumusunod na pamamaraan:

Ang pangunahing layunin ng interpolation ay upang makalkula ang mga halaga ng isang tabulated na pag-andar para sa mga di-nodal (intermediate) na mga halaga ng argument, samakatuwid ang interpolation ay madalas na tinatawag na "sining ng pagbabasa ng mga talahanayan sa pagitan ng mga hilera."

Lagrange polynomial

Lagrangian interpolation polynomial- isang polynomial ng minimum degree na kumukuha ng mga naibigay na halaga sa isang naibigay na hanay ng mga puntos. Para kay n+ 1 pares ng mga numero, kung saan lahat x ako iba, iisa lang ang polynomial L(x) degree na wala na n, para sa L(x ako) = y ako .

Sa pinakasimpleng kaso ( n= 1) ay isang linear polynomial na ang grap ay isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang naibigay na puntos.

Kahulugan

Ipinapakita ng halimbawang ito ang Lagrange interpolation polynomial para sa apat na puntos (-9.5), (-4.2), (-1, -2), at (7.9), pati na rin ang mga polynomial y j l j (x), bawat isa ay dumadaan sa isa sa mga napiling puntos, at tumatagal ng zero na halaga sa natitira x i

Hayaan para sa pagpapaandar f(x) ang mga halaga ay kilala y j = f(x j) sa ilang mga punto. Pagkatapos ay maaari nating interpolate ang pagpapaandar na ito bilang

Sa partikular,

Ang mga halaga ng integrals ng l j huwag umasa sa f(x), at maaari silang makalkula nang maaga, alam ang pagkakasunud-sunod x ako .

Para sa kaso ng pare-parehong pamamahagi ng mga interpolation node kasama ang isang segment

Sa kasong ito, maaari nating ipahayag x ako sa pamamagitan ng distansya sa pagitan ng mga interpolation node h at ng panimulang punto x 0 :

at samakatuwid

Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa formula ng pangunahing polynomial at paglabas h para sa mga karatulang pagpaparami sa numerator at denominator, nakukuha natin

Ngayon ay maaari kang magpasok ng variable na kapalit

at kumuha ng isang polynomial ng y na binuo gamit ang integer arithmetic lamang. Ang kawalan ng diskarte na ito ay ang kadahilanan ng kadahilanan ng numerator at denominator, na nangangailangan ng paggamit ng mga algorithm na may representasyong multibyte ng mga numero.

Mga panlabas na link

Wikimedia Foundation. 2010.

Tingnan kung ano ang "Lagrange polynomial" sa iba pang mga dictionaries:

Ang form ng pagsulat ng isang polynomial ng degree n (Lagrange interpolation polynomial) na interpolating isang naibigay na function f (x). Sa mga node x 0, x1, ..., xn: Sa kaso kung ang mga halaga ng xi ay equidistant, iyon ay, gamit ang notasyon (x x0) / h = t formula (1) ... ... Encyclopedia ng Matematika

Sa matematika, ang mga polynomial o polynomial sa isang variable ay mga pagpapaandar ng form na kung saan ang ci ay naayos na mga coefficients at x ay isang variable. Ang mga polynomial ay bumubuo ng isa sa pinakamahalagang klase ng mga pagpapaandar sa elementarya. Pag-aaral ng mga polynomial equation at ang kanilang mga solusyon ... ... Wikipedia

Sa computational matematika, ang Bernstein polynomial ay mga algebraic polynomial na mga linear na kumbinasyon ng mga pangunahing Bernstein polynomial. Ang isang matatag na algorithm para sa pag-compute ng mga polynomial sa form na Bernstein ay ang algorithm ... ... Wikipedia

Isang polynomial ng minimum degree na kumukuha ng mga naibigay na halaga sa isang naibigay na hanay ng mga puntos. Para sa mga pares ng mga numero kung saan magkakaiba ang lahat, mayroong isang solong polynomial ng degree nang higit pa, kung saan. Sa pinakasimpleng kaso (... Wikipedia

Ang Lagrange interpolation polynomial ay isang polynomial ng minimum degree na tumatagal ng mga naibigay na halaga sa isang naibigay na hanay ng mga puntos. Para sa n + 1 na pares ng mga numero, kung saan magkakaiba ang lahat ng xi, mayroong isang natatanging polynomial L (x) ng degree na higit sa n, na kung saan ang L (xi) = yi. ... ... Wikipedia

Ang Lagrange interpolation polynomial ay isang polynomial ng minimum degree na tumatagal ng mga naibigay na halaga sa isang naibigay na hanay ng mga puntos. Para sa n + 1 na pares ng mga numero, kung saan magkakaiba ang lahat ng xi, mayroong isang natatanging polynomial L (x) ng degree na higit sa n, na kung saan ang L (xi) = yi. ... ... Wikipedia

Sa pagpapaandar, tingnan ang: Interpolyant. Ang interpolation sa computational matematika ay isang paraan ng paghanap ng mga intermediate na halaga ng isang dami mula sa isang magagamit na hiwalay na hanay ng mga kilalang halaga. Marami sa mga nahaharap sa mga kalkulasyon ng pang-agham at engineering madalas ... Wikipedia

Sa pagpapaandar, tingnan ang: Interpolyant. Ang interpolation, interpolation sa computational matematika ay isang paraan ng paghahanap ng mga intermediate na halaga ng isang dami mula sa isang magagamit na hiwalay na hanay ng mga kilalang halaga. Marami sa mga nakatagpo ng pang-agham at ... ... Wikipedia

Buuin namin ang isang interpolation polynomial sa form

kung saan ang mga polynomial of degree ay higit pa NS, pagkakaroon ng sumusunod na pag-aari:

Sa katunayan, sa kasong ito ang polynomial (4.9) sa bawat node x j, j = 0,1, ... n, ay katumbas ng kaukulang halaga ng pagpapaandar y j, ibig sabihin ay interpolation.

Bumuo tayo ng mga nasabing polynomial. Dahil para sa x = x 0, x 1,… x i -1, x i + 1,… x n, maaari nating tukuyin ang mga sumusunod

kung saan ang c ay isang pare-pareho. Mula sa kundisyon na nakuha natin iyon

Interpolation polynomial (4.1) na nakasulat sa form

ay tinatawag na Lagrange interpolation polynomial.

Ang tinatayang halaga ng pagpapaandar sa point x * kinakalkula gamit ang Lagrange polynomial ay magkakaroon ng natitirang error (4.8). Kung ang mga halaga ng pagpapaandar y ako sa mga node ng interpolasyon x i ay itinakda ng humigit-kumulang na may parehong ganap na error, pagkatapos sa halip na ang eksaktong halaga, isang tinatayang halaga ang makakalkula, at

kung saan ang computational absolute error ng Lagrange interpolation polynomial. Panghuli, mayroon kaming sumusunod na pagtatantya ng kabuuang error ng tinatayang halaga.

Sa partikular, ang mga Lagrange polynomial ng una at pangalawang degree ay magkakaroon ng form

at ang kanilang kabuuang mga pagkakamali sa puntong x *

Mayroong iba pang mga anyo ng pagsulat ng parehong interpolation polynomial (4.1), halimbawa, ang Newton interpolation formula na may magkakahiwalay na pagkakaiba na isinasaalang-alang sa ibaba at mga pagkakaiba-iba nito. Para sa tumpak na mga kalkulasyon, ang mga halaga Pn (x *) na nakuha ng iba't ibang mga formula ng interpolation na itinayo mula sa parehong mga node nang magkasabay. Ang pagkakaroon ng isang error sa computational ay humahantong sa isang pagkakaiba sa mga halagang nakuha mula sa mga formula na ito. Ang pagsulat ng isang polynomial sa anyo ng Lagrange ay humahantong, bilang isang panuntunan, sa isang mas maliit na error sa computational.

Ang paggamit ng mga formula para sa pagtantya ng mga pagkakamali na nagmumula sa interpolation ay nakasalalay sa pagbubuo ng problema. Halimbawa, kung ang bilang ng mga node ay kilala, at ang pagpapaandar ay tinukoy na may sapat na malaking bilang ng mga tamang karatula, kung gayon ang problema sa pagkalkula f (x *) na may pinakamalaking posibilidad na kawastuhan. Kung, sa laban, ang bilang ng mga tamang palatandaan ay maliit, at ang bilang ng mga node ay malaki, kung gayon ang problema sa pagkalkula f (x *) na may katumpakan na pinapayagan ang halaga ng talahanayan ng pagpapaandar, at upang malutas ang problemang ito, maaaring kailanganin ang parehong rarefaction at pag-compact ng talahanayan.

§4.3. Hiwalay na pagkakaiba at kanilang mga pag-aari.

Ang konsepto ng hinati na pagkakaiba ay isang pangkalahatang konsepto ng hinalang. Hayaan ang mga halaga ng mga pag-andar f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... Ang pinaghiwalay na mga pagkakaiba-iba ng pagkakasunud-sunod ay natutukoy ng mga pagkakapantay-pantay

pinaghiwalay ng mga pagkakaiba ng pangalawang pagkakasunud-sunod - pagkakapantay-pantay,

at ang pinaghiwalay na pagkakaiba k-th order ay natutukoy ng sumusunod na recursive formula:

Ang mga pagkakaiba sa split ay karaniwang inilalagay sa isang talahanayan tulad nito:

Isaalang-alang ang mga sumusunod na katangian ng magkahiwalay na pagkakaiba.

1. Ang nahahati na pagkakaiba ng lahat ng mga order ay mga linear na kumbinasyon ng mga halaga f (x i), ibig sabihin ang sumusunod na formula ay humahawak:

Patunayan natin ang bisa ng pormulang ito sa pamamagitan ng induction sa pagkakasunud-sunod ng mga pagkakaiba. Para sa mga pagkakaiba sa unang order

Ang pormula (4.12) ay wasto. Ipagpalagay na ngayon na ito ay wasto para sa lahat ng mga pagkakaiba sa order.

Pagkatapos, ayon sa (4.11) at (4.12), para sa mga pagkakaiba ng pagkakasunud-sunod k = n + 1 meron kami

Ang mga term na naglalaman f (x 0) at f (x n +1), magkaroon ng kinakailangang form. Isaalang-alang ang mga term na naglalaman f (x i), i = 1, 2, ..., n... Mayroong dalawang tulad na mga termino - mula sa una at pangalawang kabuuan:

mga yan ang formula (4.12) ay wasto para sa pagkakaiba ng order k = n + 1, ang katibayan ay kumpleto na.

2. Ang hinati na pagkakaiba ay isang simetriko na pagpapaandar ng mga argumento x 0, x 1,… x n (iyon ay, hindi ito nagbabago para sa anumang permutasyon):

Ang pag-aari na ito ay sumusunod nang direkta mula sa pagkakapantay-pantay (4.12).

3. Simpleng paghihiwalay ng relasyon sa pagkakaiba f at hango f (n) (x) ay nagbibigay ng sumusunod na teorya.

Hayaan ang mga node x 0, x 1, ... x n na kabilang sa segment at pagpapaandar f (x) ay may sa segment na ito ng isang tuluy-tuloy na hango ng pagkakasunud-sunod NS... Pagkatapos mayroong isang punto xÎ, Ano

Patunayan muna natin ang bisa ng ugnayan

Ayon sa (4.12), ang ekspresyon sa square bracket ay

f.

Paghahambing (4.14) sa ekspresyon (4.7) para sa natitira R n (x) = f (x) -L n (x) nakukuha natin (4.13), napatunayan ang teorama.

Ang isang simpleng corollary ay sumusunod mula sa teoryang ito. Para sa polynomial NS-th degree

f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +… a n

order derivative NS halatang meron

at ugnayan (4.13) ay nagbibigay para sa hinati na pagkakaiba ng halaga

Kaya, bawat polynomial ng degree NS pinaghiwalay na pagkakaiba ng order NS ay katumbas ng isang pare-pareho na halaga - ang koepisyent sa pinakamataas na antas ng polynomial. Hiwalay na Pagkakaiba ng Mas Mataas na Mga Order
(higit pa NS) ay halatang katumbas ng zero. Gayunpaman, ang konklusyon na ito ay may bisa lamang kung walang pagkakamali sa computational para sa pinaghiwalay na pagkakaiba.

§4.4. Interpolation Newton Polynomial na may magkakahiwalay na Pagkakaiba

Isulat natin ang Lagrange interpolation polynomial sa sumusunod na form:

kung saan L 0 (x) = f (x 0) = y 0, a L k (x)- Lagrange interpolation polynomial ng degree k na binuo ng mga node x 0, x 1, ..., x k... Pagkatapos mayroong isang polynomial of degree k na ang mga ugat ay mga puntos x 0, x 1, ..., x k -1... Samakatuwid, maaari itong maging factorized

kung saan ang A k ay isang pare-pareho.

Alinsunod sa (4.14), nakukuha namin

Ang paghahambing (4.16) at (4.17), nakukuha namin na (4.15) ay kumukuha rin ng form

na kung saan ay tinatawag na Newton's interpolation polynomial na may magkakahiwalay na pagkakaiba.

Ang ganitong uri ng pag-record ng interpolation polynomial ay mas visual (ang pagdaragdag ng isang node ay tumutugma sa paglitaw ng isang term) at pinapayagan kang mas mahusay na subaybayan ang pagkakatulad ng mga konstruksyon na isinasagawa sa mga pangunahing konstruksyon ng pagsusuri sa matematika.

Ang natitirang error ng interpolation polynomial ni Newton ay ipinahayag ng pormula (4.8), ngunit ito, isinasaalang-alang ang (4.13), maaaring isulat sa ibang form

mga yan ang natitirang error ay maaaring matantya ng modulus ng unang tinanggihan na termino sa polynomial N n (x *).

Error sa computational N n (x *) ay matutukoy ng mga pagkakamali ng pinaghiwalay na pagkakaiba. Ang mga node ng interpolasyon na pinakamalapit sa interpolated na halaga x *, ay magkakaroon ng mas malaking epekto sa interpolation polynomial, nakahiga pa - mas kaunti. Samakatuwid, ipinapayong, kung maaari, para sa x 0 at x 1 dalhin ang pagdating sa x * mga interpolation node at gumanap muna ng linear interpolation sa mga node na ito. Pagkatapos ay unti-unting akitin ang mga susunod na node upang ang mga ito ay kasing simetriko hangga't maaari na may kaugnayan sa x * hanggang sa susunod na term sa ganap na halaga ay mas mababa kaysa sa ganap na error ng hinati na pagkakaiba na kasama dito.

Hayaan sa segment pagpapaandar y = f (x) ay itinakda sa isang talahanayan, ibig sabihin (x i, y i), (i = 0,1, .., n), kung saan y i = f (x i). Ang pagpapaandar na ito ay tinatawag na " mata».

Pagbubuo ng problema: hanapin algebraic polynomial (polynomial):

degree hindi mas mataas n ganyan

L n (x i) = y i, sa ako = 0,1, .., n,(5.6)

mga yan pagkakaroon sa ibinigay na mga node x ako, (ako=0,1,..,n) ang parehong mga halaga ng paggana ng grid sa=f (x).

Ang polynomial mismo L n (x) tinawag interpolation polynomial, at ang gawain ay interpolasyon ng polynomial .

Hanapin ang polynomial L n (x)- ibig sabihin nito hanapin ang mga koepisyent nito a 0 , a 1 ,…, A n. Para dito meron n + 1 kundisyon (5.6), na kung saan ay nakasulat sa anyo ng isang sistema ng mga linear algebraic equation na patungkol sa mga hindi kilalang a ako,(ako=0, 1,…,n):

kung saan x ako at y ako ( ako=0,1,…,n) - mga halaga ng talahanayan ng argumento at pag-andar.

Ito ay kilala mula sa kurso sa algebra na ang nagpapasiya ng sistemang ito, na tinawag na Vandermonde determinant:

nonzero at, samakatuwid, ang system (5.7) ay mayroon desisyon lang.

Natukoy ang mga coefficients a 0 , a 1 ,…, A n, paglutas ng system (5.7), nakukuha natin ang tinatawag na Lagrange interpolation polynomial para sa pagpapaandar f (x):

(5.8)

na maaaring maisulat bilang:

Napatunayan na ibinigay n Ang +1 na halaga ng pagpapaandar ay maaaring mailagay ang tanging Lagrange interpolation polynomial(5.8).

Sa pagsasagawa, ang Lagrange interpolation polynomial ng una ( n = 1) at ang pangalawa ( n = 2) degree.

Sa n = 1 impormasyon tungkol sa interpolated function y = f (x) ay itinakda sa dalawang puntos: (x 0 , y 0 ) at (x 1 , y 1 ), at ang Lagrange polynomial ay mayroong form

Para kay n = Ang Lagrange polynomial ay itinayo mula sa isang three-point table

Solusyon: Pinalitan namin ang paunang data sa pormula (5.8). Ang antas ng nakuha na Lagrange polynomial ay hindi mas mataas kaysa sa pangatlo, dahil ang pagpapaandar ay tinukoy ng apat na halaga:

Gamit ang Lagrange interpolation polynomial, mahahanap mo ang halaga ng pagpapaandar sa anumang intermediate point, halimbawa, para sa NS=4:

= 43

Lagrange interpolation polynomial ginamit sa may limitasyong pamamaraan ng elemento, malawakang ginagamit sa paglutas ng mga problema sa konstruksyon.

Ang iba pang mga formula ng interpolation ay kilala rin, halimbawa, Formula ng interpolasyon ni Newton ginamit para sa interpolation sa kaso ng pantay na spaced node o interpolation polynomial Hermita.

Spline interpolation... Kapag gumagamit ng isang malaking bilang ng mga interpolation node, isang espesyal na pamamaraan ang ginagamit - magkatulad na interpolasyon ng polynomial kapag ang pagpapaandar ay interpolated ng isang polynomial ng degree T sa pagitan ng anumang katabing mga grid node.

Root nangangahulugan parisukat na approximation ng mga pag-andar

Pagbubuo ng problema

Paglalapit ng Rms Ang mga pagpapaandar ay isa pang diskarte sa pagkuha ng mga analitik na expression para sa tinatayang mga pagpapaandar. Ang isang tampok ng gayong mga problema ay ang katunayan na ang paunang data para sa pagtatayo ng ilang mga kaayusan ay malinaw naman tinatayang character.

Ang data na ito ay nakuha bilang isang resulta ng anumang eksperimento o bilang isang resulta ng ilang proseso ng computational. Alinsunod dito, naglalaman ang data na ito ng mga pang-eksperimentong error (mga error sa pagsukat ng kagamitan at kundisyon, mga random na error, atbp.) O mga error sa pag-ikot.

Sabihin nating ilang kababalaghan o proseso ang iniimbestigahan. Sa pangkalahatan, ang object ng pagsasaliksik ay maaaring kinatawan ng isang cybernetic system ("black box") na ipinakita sa pigura.

Variable NS Ay isang independiyenteng kinokontrol na variable (input parameter).

Variable Y Ang reaksyon ba (tugon) ng object ng pananaliksik sa impluwensya ng input parameter. Ito ang umaasa na variable.

Ipagpalagay na kapag pinoproseso ang mga resulta ng eksperimentong ito, natagpuan ang isang tiyak na pag-asa na umaandar y = f (x) sa pagitan ng independiyenteng variable NS at umaasang variable sa Ang pagtitiwala na ito ay ipinakita sa anyo ng isang talahanayan. 5.1 na halaga x i, y i (i=1,2,…, N) nakuha habang eksperimento.

Talahanayan 5.1

Kung ang analytic function expression y = f (x) ay hindi kilala o napakahirap, kung gayon ang problema ay lumitaw upang mahanap ang pagpapaandar y = j (NS), halaga na kung saan sa x = x i, baka medyo iba mula sa pang-eksperimentong data y ako, (ako=1,..,n). Kaya, ang sinisiyasat na pagpapakandili ay tinatayang ng pagpapaandar y = j (NS) sa segment [ x 1 , x n]:

f (x) @ j (NS). (5.9)

Tinatayang pagpapaandar y = j (NS) tinawag empirical formula (EF) o equation ng pag-urong (RR).

Ang mga empirical na formula ay hindi nagpapanggap na mga batas ng kalikasan, ngunit mga hipotesis lamang na higit o kulang na naglalarawan nang sapat sa pang-eksperimentong data. Gayunpaman, ang kanilang kabuluhan ay napakahusay. Sa kasaysayan ng agham, may mga kaso kung kailan ang nakuha na matagumpay na empirical na pormula ay humantong sa mahusay na mga tuklas na pang-agham.

Ang empirical formula ay sapat na kung maaari itong magamit upang ilarawan ang bagay na pinag-aaralan na may sapat na kawastuhan para sa pagsasanay.

Para saan ang pagkagumon na ito?

Kung ang approximation (5.9) ay natagpuan, posible posible:

Gumawa ng hula tungkol sa pag-uugali ng bagay sa ilalim ng pag-aaral sa labas ng segment ( extrapolation );

Pumili pinakamainam ang direksyon ng pagbuo ng proseso na pinag-aaralan.

Ang equation ng pagbabalik ay maaaring magkaroon ng ibang anyo at ibang antas ng pagiging kumplikado, depende sa mga katangian ng bagay na pinag-aaralan at ang kinakailangang kawastuhan ng representasyon.

Heometriko ang problema sa pagbuo ng equation ng pagbabalik ay binubuo sa pagguhit ng curve L: y = j (NS) « mas malapit hangga't maaari»Katabi ng system ng mga pang-eksperimentong puntos M i (x i, y i), i = 1,2, .., n ibinigay na mesa. 5.1 (Larawan 5.2).

Ang pagtatayo ng equation ng pagbabalik (empirical function) ay binubuo ng 2 yugto:

1. pagpili ng pangkalahatang pagtingin mga equation sa pag-urong,

2. pagtukoy sa mga parameter nito.

Matagumpay pagpipilian ang equation ng pag-urong higit sa lahat ay nakasalalay sa karanasan ng eksperimento, sinisiyasat ang isang proseso o hindi pangkaraniwang bagay.

Ang isang polynomial (polynomial) ay madalas na napili bilang equation ng pagbabalik:

Pangalawang gawain, paghahanap ng mga parameter ang mga equation ng pag-urong ay nalulutas ng mga regular na pamamaraan, halimbawa, hindi bababa sa pamamaraan ng mga parisukat(OLS), na malawakang ginagamit sa pag-aaral ng anumang kaayusan batay sa mga obserbasyon o eksperimento.

Ang pag-unlad ng pamamaraang ito ay nauugnay sa mga pangalan ng mga bantog na dalub-agbilang noong una - K. Gauss at A. Legendre.

Pinakamababang paraan ng parisukat

Ipagpalagay natin na ang mga resulta ng eksperimento ay ipinakita sa anyo ng isang talahanayan. 5.1. At ang equation ng pagbabalik ay nakasulat sa form (5.11), i.e. depende sa ( m+1) na parameter

Natutukoy ng mga parameter na ito ang lokasyon ng graph ng equation ng pagbabalik na may kaugnayan sa mga pang-eksperimentong puntos M i (x i, y i), i = 1,2, .., n(Larawan 5.2).

Gayunpaman, ang mga parameter na ito ay hindi natatanging natukoy. Kinakailangan na piliin ang mga parameter upang ang grap ng equation ng pagbabalik ay matatagpuan " mas malapit hangga't maaari»Sa sistema ng mga puntong pang-eksperimentong ito.

Ipakilala natin ang konsepto paglihis mga halaga ng equation ng pagbabalik (5.11) mula sa halaga ng talahanayan y ako para sa x i : , ako = 1,2, .., n.

Isaalang-alang ang kabuuan ng mga parisukat ng mga paglihis, kung saan depende sa( m+1) na parameter

Ayon sa OLS, ang pinakamahusay na mga coefficients a i(ako=0,1,..,m) ay ang mga minimize ang kabuuan ng mga parisukat ng mga paglihis, ibig sabihin pagpapaandar

Gamit kinakailangang mga kondisyon para sa sukat ng pagpapaandar maraming mga variable, nakukuha natin ang tinatawag na normal na sistema upang matukoy ang mga hindi kilalang koepisyent :

Para sa approximating function (5.11), ang system (5.14) ay isang sistema ng mga linear na equation ng algebraic para sa mga hindi alam .

Ang mga kaso ay posible:

1. Kung, kung gayon maraming walang hanggan ang mga polynomial (5.11) na binabawasan ang pagpapaandar (5.13).

2. Kung m = n–1, pagkatapos ay mayroon lamang isang polynomial (5.11) minimizing function (5.13).

Ang mas kaunti m, ang mas simple ang empirical formula ay, ngunit hindi ito palaging mas mahusay. Dapat tandaan na ang nagresultang empirical formula ay dapat sapat na bagay na pinag-aaralan.