Ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Rehiyon ng Chelyabinsk

Ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar

Ang artikulo ay nai-publish sa suporta ng ITAKA + Hotel Complex. Ang pananatili sa lungsod ng mga gumagawa ng barko na Severodvinsk, hindi mo haharapin ang problema sa paghahanap ng pansamantalang tirahan. , sa site hotel complex "ITAKA +" http://itakaplus.ru, madali at mabilis kang magrenta ng isang apartment sa lungsod, para sa anumang panahon, na may pang-araw-araw na pagbabayad.

Sa ang kasalukuyang yugto pagpapaunlad ng edukasyon bilang isa sa mga pangunahing gawain nito ay ang pagbuo ng isang malikhaing pag-iisip na pagkatao. Ang kakayahan para sa pagkamalikhain sa mga mag-aaral ay maaaring mabuo lamang kung sila ay sistematikong kasangkot sa mga pundasyon ng mga aktibidad sa pananaliksik. Ang pundasyon para sa paggamit ng kanilang malikhaing kapangyarihan, kakayahan at talento ng mga mag-aaral ay ang nabuong ganap na kaalaman at kasanayan. Kaugnay nito, ang problema sa pagbuo ng isang sistema ng pangunahing kaalaman at kasanayan sa bawat paksa ng kurso sa matematika ng paaralan ay walang maliit na kahalagahan. Sa parehong oras, ang ganap na mga kasanayan ay dapat na ang doactic na layunin hindi ng mga indibidwal na gawain, ngunit ng kanilang maingat na naisip na system. Sa pinakamalawak na kahulugan, ang isang sistema ay nauunawaan bilang isang hanay ng magkakaugnay na mga elemento ng pakikipag-ugnay na may integridad at isang matatag na istraktura.

Isaalang-alang ang isang pamamaraan para sa pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano gumuhit ng isang equation ng isang tangent sa isang grap ng isang pagpapaandar. Sa kakanyahan, ang lahat ng mga problema sa paghahanap ng tangent equation ay nabawasan sa pangangailangan na pumili mula sa isang hanay (bundle, pamilya) ng mga tuwid na linya ng mga ito sa mga ito na nagbibigay-kasiyahan sa isang tiyak na kinakailangan - ay naiilaw sa grap ng ilang pagpapaandar. Bukod dito, ang hanay ng mga linya kung saan isinasagawa ang pagpili ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

a) isang punto na nakahiga sa xOy na eroplano (gitnang bundle ng mga linya);
b) ang slope (parallel bundle ng straight straight).

Kaugnay nito, kapag pinag-aaralan ang paksang "Tangent sa graph ng isang pagpapaandar" upang ihiwalay ang mga elemento ng system, nakilala namin ang dalawang uri ng mga gawain:

1) mga problema sa tangent, na ibinigay ng punto kung saan ito dumadaan;
2) ang problema sa tangent, na ibinigay ng slope nito.

Ang pagkatuto upang malutas ang mga problema sa isang linya ng tangent ay natupad gamit ang algorithm na iminungkahi ng A.G. Mordkovich. Ang pangunahing pagkakaiba nito mula sa mga alam na ay ang abscissa ng tangent point ay tinukoy ng titik na a (sa halip na x0), na may kaugnayan sa kung saan ang equation ng tangent ay kumukuha ng form

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(ihambing sa y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ang pamamaraang pamamaraan na ito, sa aming palagay, pinapayagan ang mga mag-aaral na maunawaan ang mas mabilis at madali kung saan nakasulat ang mga coordinate ng kasalukuyang punto sa ang pangkalahatang equation ng tangent line, at kung saan ang mga punto ng contact.

Algorithm para sa pagguhit ng equation ng tangent sa graph ng pagpapaandar y \u003d f (x)

1. Italaga ang abscissa ng tangency point na may titik a.
2. Hanapin ang f (a).
3. Hanapin ang f "(x) at f" (a).
4. Palitan ang mga nahanap na numero a, f (a), f "(a) sa pangkalahatang equation ng tangent line y \u003d f (a) \u003d f" (a) (x - a).

Ang algorithm na ito ay maaaring maiipon batay sa pagpili ng sarili ng mga operasyon ng mga mag-aaral at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagpapatupad.

Ipinakita ng kasanayan na ang sunud-sunod na solusyon ng bawat isa sa mga pangunahing gawain na gumagamit ng isang algorithm ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabuo ang mga kasanayan sa pagsusulat ng equation ng tangent sa grapiko ng isang pag-andar sa mga yugto, at ang mga hakbang ng algorithm ay nagsisilbing mga sanggunian para sa mga aksyon . Ang pamamaraang ito ay tumutugma sa teorya ng unti-unting pagbuo ng mga aksyong pangkaisipan na binuo ni P.Ya. Galperin at N.F. Talyzina.

Sa unang uri ng mga gawain, nakilala ang dalawang pangunahing gawain:

• ang tangent ay dumadaan sa isang punto sa curve (gawain 1);
• ang tangent ay dumadaan sa isang punto na hindi nakahiga sa curve (problema 2).

Gawain 1. Gawin ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar sa puntong M (3; - 2).

Desisyon. Ang puntong M (3; - 2) ay ang punto ng tangency, mula pa

1.a \u003d 3 - abscissa ng punto ng tangency.
2.f (3) \u003d - 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f" (3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 - tangent equation.

Suliranin 2. Isulat ang mga equation ng lahat ng mga tangente sa grap ng pagpapaandar y \u003d - x 2 - 4x + 2 na dumadaan sa puntong M (- 3; 6).

Desisyon. Ang puntong M (- 3; 6) ay hindi isang tangent point, dahil f (- 3)6 (fig. 2).

2.f (a) \u003d - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f" (a) \u003d - 2a - 4.
4.y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangent equation.

Ang tangent ay dumadaan sa puntong M (- 3; 6), samakatuwid, ang mga coordinate nito ay nasisiyahan ang tangent equation.

6 \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
isang 2 + 6a + 8 \u003d 0^ a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 2.

Kung ang isang \u003d - 4, kung gayon ang tangent equation ay y \u003d 4x + 18.

Kung ang isang \u003d - 2, kung gayon ang tangent equation ay may form na y \u003d 6.

Sa pangalawang uri, ang mga pangunahing gawain ay ang mga sumusunod:

• ang tangent ay kahanay sa ilang tuwid na linya (problema 3);
• ang tangent ay dumadaan sa isang tiyak na anggulo sa ibinigay na tuwid na linya (gawain 4).

Suliranin 3. Isulat ang mga equation ng lahat ng mga tangente sa grap ng pagpapaandar y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, kahilera sa tuwid na linya y \u003d 9x + 1.

Desisyon.

1.a - abscissa ng punto ng tangency.
2.f (a) \u003d a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f" (a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ngunit, sa kabilang banda, f "(a) \u003d 9 (kondisyon ng parallelism). Samakatuwid, kinakailangan upang malutas ang equation na 3a 2 - 6a \u003d 9. Ang mga ugat nito ay isang \u003d - 1, a \u003d 3 (Larawan 3 ).

4.1) a \u003d - 1;
2) f (- 1) \u003d - 1;
3) f "(- 1) \u003d 9;
4) y \u003d - 1 + 9 (x + 1);

y \u003d 9x + 8 - tangent equation;

1) a \u003d 3;
2) f (3) \u003d 3;
3) f "(3) \u003d 9;
4) y \u003d 3 + 9 (x - 3);

y \u003d 9x - 24 - biglang equation.

Suliranin 4. Isulat ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d 0.5x 2 - 3x + 1, na dumadaan sa isang anggulo ng 45 ° sa tuwid na linya y \u003d 0 (Larawan 4).

Desisyon. Mula sa kundisyon f "(a) \u003d tan 45 °, nahanap namin ang isang: a - 3 \u003d 1^ a \u003d 4.

1.a \u003d 4 - abscissa ng punto ng tangency.
2.f (4) \u003d 8 - 12 + 1 \u003d - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4.y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - biglang equation.

Madaling ipakita na ang paglutas ng anumang iba pang mga problema ay nabawasan sa paglutas ng isa o maraming mga pangunahing problema. Isaalang-alang ang sumusunod na dalawang gawain bilang isang halimbawa.

1. Isulat ang mga equation ng tangent sa parabola y \u003d 2x 2 - 5x - 2, kung ang mga tangents ay lumusot sa tamang mga anggulo at ang isa sa kanila ay hinawakan ang parabola sa isang punto na may abscissa 3 (Larawan 5).

Desisyon. Dahil ang abscissa ng tangency point ay ibinigay, ang unang bahagi ng solusyon ay nabawasan sa pangunahing problema 1.

1.a \u003d 3 - abscissa ng touch point ng isa sa mga gilid kanang anggulo.
2.f (3) \u003d 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f" (3) \u003d 7.
4.y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - ang equation ng unang tangent na linya.

Hayaan ang a - ang anggulo ng pagkahilig ng unang tangtong. Dahil ang mga tangente ay patayo, pagkatapos ay ang anggulo ng pagkahilig ng ikalawang tangent. Mula sa equation y \u003d 7x - 20 ng unang tangent, mayroon tg tayoa \u003d 7. Hanapin

Nangangahulugan ito na ang slope ng pangalawang tangent ay.

Ang karagdagang solusyon ay nabawasan sa pangunahing gawain 3.

Hayaan ang B (c; f (c)) na maging punto ng tangency ng pangalawang tuwid na linya, pagkatapos

1. - abscissa ng pangalawang punto ng contact.
2.
3.
4.
- ang equation ng pangalawang tangent.

Tandaan Ang slope ng isang tangent line ay maaaring matagpuan mas madali kung alam ng mga mag-aaral ang ratio ng mga coefficients ng mga patayo na linya k 1 k 2 \u003d - 1.

2. Isulat ang mga equation ng lahat ng mga karaniwang tangent sa mga graph ng mga pagpapaandar

Desisyon. Ang gawain ay nabawasan sa paghahanap ng abscissa ng mga punto ng tangency ng karaniwang mga tangents, iyon ay, upang malutas ang pangunahing problema 1 sa pangkalahatang form, pagsasama-sama ng isang sistema ng mga equation at ang kasunod na solusyon nito (Larawan 6).

1. Hayaan ang isang maging abscissa ng tangency point na nakalagay sa grap ng pagpapaandar y \u003d x 2 + x + 1.
2.f (a) \u003d a 2 + a + 1.
3. f "(a) \u003d 2a + 1.
4.y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Hayaan ang c maging abscissa ng tangency point na nakahiga sa grapiko ng pagpapaandar
2.
3. f "(c) \u003d c.
4.

Dahil ang mga tangente ay karaniwan, kung gayon

Kaya ang y \u003d x + 1 at y \u003d - 3x - 3 ay karaniwang mga tangente.

Ang pangunahing layunin ng mga isinasaalang-alang na gawain ay upang ihanda ang mga mag-aaral para sa pagkilala sa sarili ng uri ng pangunahing gawain kapag nalulutas pa mahirap na gawainna nangangailangan ng ilang mga kasanayan sa pagsasaliksik (ang kakayahang pag-aralan, ihambing, gawing pangkalahatan, hipotesis, atbp.). Ang mga nasabing gawain ay maaaring magsama ng anumang gawain kung saan ang pangunahing gawain ay kasama bilang isang bahagi. Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa ang problema (kabaligtaran sa problema 1) upang makahanap ng isang pagpapaandar ng pamilya ng mga tangente nito.

3. Para sa aling b at c ang mga linya na y \u003d x at y \u003d - 2x tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d x 2 + bx + c?

Desisyon.

Hayaan ang maging abscissa ng point ng tangency ng linya y \u003d x sa parabola y \u003d x 2 + bx + c; p ay ang abscissa ng tangency point ng tuwid na linya y \u003d - 2x na may parabola y \u003d x 2 + bx + c. Pagkatapos ang equation ng tangent y \u003d x ay kumukuha ng form y \u003d (2t + b) x + c - t 2, at ang equation ng tangent y \u003d - 2x ay kumukuha ng form y \u003d (2p + b) x + c - p 2.

Bumuo at malutas natin ang sistema ng mga equation

Sagot:

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Isulat ang mga equation ng mga tangent na iginuhit sa grap ng pagpapaandar y \u003d 2x 2 - 4x + 3 sa mga punto ng intersection ng grap na may tuwid na linya y \u003d x + 3.

Sagot: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9.5.

2. Sa anong mga halaga ng a gumalaw ang tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d x 2 - palakol sa punto ng grap na may abscissa x 0 \u003d 1 na dumaan sa puntong M (2; 3)?

Sagot: a \u003d 0.5.

3. Para sa anong mga halaga ng p ang linya y \u003d px - 5 ay hinahawakan ang curve y \u003d 3x 2 - 4x - 2?

Sagot: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Hanapin ang lahat ng mga karaniwang puntos ng grap ng pagpapaandar y \u003d 3x - x 3 at ang tangent na iginuhit sa grap na ito sa pamamagitan ng puntong P (0; 16).

Sagot: A (2; - 2), B (- 4; 52).

5. Hanapin ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng parabola y \u003d x 2 + 6x + 10 at ang tuwid na linya

Sagot:

6. Sa curve y \u003d x 2 - x + 1, hanapin ang point kung saan ang tangent sa graph ay parallel sa linya y - 3x + 1 \u003d 0.

Sagot: M (2; 3).

7. Isulat ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d x 2 + 2x - | 4x | na hinahawakan ito sa dalawang puntos. Gumawa ng isang guhit.

Sagot: y \u003d 2x - 4.

8. Patunayan na ang linya y \u003d 2x - 1 ay hindi intersect ang curve y \u003d x 4 + 3x 2 + 2x. Hanapin ang distansya sa pagitan ng kanilang pinakamalapit na mga puntos.

Sagot:

9. Sa parabola y \u003d x 2 dalawang puntos na may abscissas x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. Ang isang linya ng secant ay iginuhit sa pamamagitan ng mga puntong ito. Sa anong punto ng parabola magiging magkatulad ang tangent dito sa iginuhit na secant? Isulat ang secant at tangent equation.

Sagot: y \u003d 4x - 3 - secant equation; y \u003d 4x - 4 - biglang equation.

10. Hanapin ang anggulo q sa pagitan ng mga tangents sa grapiko ng pagpapaandar y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, iginuhit sa mga puntos na may abscissas 0 at 1.

Sagot: q \u003d 45 °.

11. Sa anong mga punto nagagawa ng tangent sa grapiko ng pagpapaandar na gumawa ng isang anggulo ng 135 ° sa Ax axis?

Sagot: A (0; - 1), B (4; 3).

12. Sa puntong A (1; 8) sa curve isang tangent ang iginuhit. Hanapin ang haba ng linya ng tangent sa pagitan ng mga axise ng coordinate.

Sagot:

13. Isulat ang equation ng lahat ng mga karaniwang tangent sa mga grap ng mga pagpapaandar y \u003d x 2 - x + 1 at y \u003d 2x 2 - x + 0.5.

Sagot: y \u003d - 3x at y \u003d x.

14. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga tangente sa graph ng pagpapaandar na parallel sa abscissa axis.

Sagot:

15. Tukuyin sa kung anong mga anggulo ang parabola y \u003d x 2 + 2x - 8 ang lumilipas sa abscissa axis.

Sagot: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).

16. Sa grapiko ng pagpapaandar hanapin ang lahat ng mga puntos, tangent sa bawat isa sa grap na ito na tumatawid sa positibong coordinate semiaxes, pinuputol ang pantay na mga segment mula sa kanila.

Sagot: A (- 3; 11).

17. Linya y \u003d 2x + 7 at parabola y \u003d x 2 - 1 magtagpo sa mga puntong M at N. Hanapin ang intersection point K ng mga linya na tangent sa parabola sa mga puntong M at N.

Sagot: K (1; - 9).

18. Para sa anong mga halaga ng b ang linya y \u003d 9x + b tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d x 3 - 3x + 15?

Sagot: - 1; 31.

19. Para sa anong mga halaga ng k ang linya y \u003d kx - 10 ay may lamang isang karaniwang point na may grap ng pagpapaandar y \u003d 2x 2 + 3x - 2? Para sa mga nahanap na halaga ng k, tukuyin ang mga coordinate ng point.

Sagot: k 1 \u003d - 5, A (- 2; 0); k 2 \u003d 11, B (2; 12).

20. Para sa anong mga halaga ng b gumuhit ang tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d bx 3 - 2x 2 - 4 sa puntong may abscissa x 0 \u003d 2 na dumaan sa puntong M (1; 8)?

Sagot: b \u003d - 3.

21. Ang isang parabola na may tuktok sa Ax axis ay hinahawakan ang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong A (1; 2) at B (2; 4), sa puntong B. Hanapin ang equation ng parabola.

Sagot:

22. Sa anong halaga ng koepisyent k ang parabola y \u003d x 2 + kx + 1 ay hinahawakan ang Ax axis?

Sagot: k \u003d q 2.

23. Hanapin ang mga anggulo sa pagitan ng linya y \u003d x + 2 at ang curve y \u003d 2x 2 + 4x - 3.

29. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga generator ng tangente sa grapiko ng pagpapaandar na may positibong direksyon ng Ax axis, isang anggulo ng 45 °.

Sagot:

30. Hanapin ang lokasyon ng mga vertex ng lahat ng parabolas ng form na y \u003d x 2 + ax + b, hawakan ang linya na y \u003d 4x - 1.

Sagot: linya y \u003d 4x + 3.

Panitikan

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra at ang simula ng pagtatasa: 3600 mga problema para sa mga mag-aaral at mga aplikante sa unibersidad. - M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Ang ika-apat na seminar para sa mga batang guro. Ang paksa ay "Mga derivative application". - M., "Matematika", No. 21/94.
3. Pagbubuo ng kaalaman at kasanayan batay sa teorya ng yugto-by-yugto na paglalagay ng mga kilos sa pag-iisip. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moscow State University, 1968.

Sa kasalukuyang yugto ng pag-unlad ng edukasyon, ang isa sa mga pangunahing gawain ay ang pagbuo ng isang malikhaing pag-iisip na pagkatao. Ang kakayahan para sa pagkamalikhain sa mga mag-aaral ay maaaring mabuo lamang kung sila ay sistematikong kasangkot sa mga pundasyon ng mga aktibidad sa pananaliksik. Ang pundasyon para sa paggamit ng kanilang malikhaing kapangyarihan, kakayahan at talento ng mga mag-aaral ay ang nabuong ganap na kaalaman at kasanayan. Kaugnay nito, ang problema sa pagbuo ng isang sistema ng pangunahing kaalaman at kasanayan sa bawat paksa kurso sa paaralan ang matematika ay walang maliit na kahalagahan. Sa parehong oras, ang ganap na mga kasanayan ay dapat na ang doactic na layunin hindi ng mga indibidwal na gawain, ngunit ng kanilang maingat na naisip na system. Sa pinakamalawak na kahulugan, ang isang sistema ay nauunawaan bilang isang hanay ng magkakaugnay na mga elemento ng pakikipag-ugnay na may integridad at isang matatag na istraktura.

Isaalang-alang ang isang pamamaraan para sa pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano gumuhit ng isang equation ng isang tangent sa isang grap ng isang pagpapaandar. Sa kakanyahan, ang lahat ng mga problema sa paghahanap ng tangent equation ay nabawasan sa pangangailangan na pumili mula sa isang hanay (bundle, pamilya) ng mga tuwid na linya ng mga ito sa mga ito na nagbibigay-kasiyahan sa isang tiyak na kinakailangan - ay naiilaw sa grap ng ilang pagpapaandar. Bukod dito, ang hanay ng mga linya kung saan isinasagawa ang pagpili ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan:

a) isang punto na nakahiga sa xOy na eroplano (gitnang bundle ng mga linya);
b) ang slope (parallel bundle ng straight straight).

Kaugnay nito, kapag pinag-aaralan ang paksang "Tangent sa graph ng isang pagpapaandar" upang ihiwalay ang mga elemento ng system, nakilala namin ang dalawang uri ng mga gawain:

1) mga problema sa tangent, na ibinigay ng punto kung saan ito dumadaan;
2) ang problema sa tangent, na ibinigay ng slope nito.

Ang pagkatuto upang malutas ang mga problema sa isang linya ng tangent ay natupad gamit ang algorithm na iminungkahi ng A.G. Mordkovich. Ang pangunahing pagkakaiba nito mula sa mga alam na ay ang abscissa ng tangent point ay tinukoy ng titik na a (sa halip na x0), na may kaugnayan sa kung saan ang equation ng tangent ay kumukuha ng form

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(ihambing sa y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ang pamamaraang pamamaraan na ito, sa aming palagay, pinapayagan ang mga mag-aaral na maunawaan ang mas mabilis at madali kung saan nakasulat ang mga coordinate ng kasalukuyang punto sa ang pangkalahatang equation ng tangent line, at kung saan ang mga punto ng contact.

Algorithm para sa pagguhit ng equation ng tangent sa graph ng pagpapaandar y \u003d f (x)

1. Italaga ang abscissa ng tangency point na may titik a.
2. Hanapin ang f (a).
3. Hanapin ang f "(x) at f" (a).
4. Palitan ang mga nahanap na numero a, f (a), f "(a) sa pangkalahatang equation ng tangent line y \u003d f (a) \u003d f" (a) (x - a).

Ang algorithm na ito ay maaaring maiipon batay sa pagpili ng sarili ng mga operasyon ng mga mag-aaral at ang pagkakasunud-sunod ng kanilang pagpapatupad.

Ipinakita ng kasanayan na ang sunud-sunod na solusyon ng bawat isa sa mga pangunahing gawain na gumagamit ng isang algorithm ay nagbibigay-daan sa iyo upang mabuo ang mga kasanayan sa pagsusulat ng equation ng tangent sa grapiko ng isang pag-andar sa mga yugto, at ang mga hakbang ng algorithm ay nagsisilbing mga sanggunian para sa mga aksyon . Ang pamamaraang ito ay tumutugma sa teorya ng unti-unting pagbuo ng mga aksyong pangkaisipan na binuo ni P.Ya. Galperin at N.F. Talyzina.

Sa unang uri ng mga gawain, nakilala ang dalawang pangunahing gawain:

• ang tangent ay dumadaan sa isang punto sa curve (gawain 1);
• ang tangent ay dumadaan sa isang punto na hindi nakahiga sa curve (problema 2).

Gawain 1. Gawin ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar sa puntong M (3; - 2).

Desisyon. Ang puntong M (3; - 2) ay ang punto ng tangency, mula pa

1.a \u003d 3 - abscissa ng punto ng tangency.
2.f (3) \u003d - 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f" (3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 - tangent equation.

Suliranin 2. Isulat ang mga equation ng lahat ng mga tangente sa grap ng pagpapaandar y \u003d - x 2 - 4x + 2 na dumadaan sa puntong M (- 3; 6).

Desisyon. Ang puntong M (- 3; 6) ay hindi isang tangency point, dahil f (- 3) 6 (Larawan 2).

2.f (a) \u003d - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f" (a) \u003d - 2a - 4.
4.y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangent equation.

Ang tangent ay dumadaan sa puntong M (- 3; 6), samakatuwid, ang mga coordinate nito ay nasisiyahan ang tangent equation.

6 \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
isang 2 + 6a + 8 \u003d 0 ^ a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 2.

Kung ang isang \u003d - 4, kung gayon ang tangent equation ay y \u003d 4x + 18.

Kung ang isang \u003d - 2, kung gayon ang tangent equation ay may form na y \u003d 6.

Sa pangalawang uri, ang mga pangunahing gawain ay ang mga sumusunod:

• ang tangent ay kahanay sa ilang tuwid na linya (problema 3);
• ang tangent ay dumadaan sa isang tiyak na anggulo sa ibinigay na tuwid na linya (gawain 4).

Suliranin 3. Isulat ang mga equation ng lahat ng mga tangente sa grap ng pagpapaandar y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, kahilera sa tuwid na linya y \u003d 9x + 1.

1.a - abscissa ng punto ng tangency.
2.f (a) \u003d a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f" (a) \u003d 3a 2 - 6a.

Ngunit, sa kabilang banda, f "(a) \u003d 9 (kondisyon ng parallelism). Samakatuwid, kinakailangan upang malutas ang equation na 3a 2 - 6a \u003d 9. Ang mga ugat nito ay isang \u003d - 1, a \u003d 3 (Larawan 3 ).

4.1) a \u003d - 1;
2) f (- 1) \u003d - 1;
3) f "(- 1) \u003d 9;
4) y \u003d - 1 + 9 (x + 1);

y \u003d 9x + 8 - tangent equation;

1) a \u003d 3;
2) f (3) \u003d 3;
3) f "(3) \u003d 9;
4) y \u003d 3 + 9 (x - 3);

y \u003d 9x - 24 - biglang equation.

Suliranin 4. Isulat ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d 0.5x 2 - 3x + 1, na dumadaan sa isang anggulo ng 45 ° sa tuwid na linya y \u003d 0 (Larawan 4).

Desisyon. Mula sa kundisyon f "(a) \u003d tan 45 °, mahahanap namin ang isang: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1.a \u003d 4 - abscissa ng punto ng tangency.
2.f (4) \u003d 8 - 12 + 1 \u003d - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4.y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - biglang equation.

Madaling ipakita na ang paglutas ng anumang iba pang mga problema ay nabawasan sa paglutas ng isa o maraming mga pangunahing problema. Isaalang-alang ang sumusunod na dalawang gawain bilang isang halimbawa.

1. Isulat ang mga equation ng tangent sa parabola y \u003d 2x 2 - 5x - 2, kung ang mga tangents ay lumusot sa tamang mga anggulo at ang isa sa kanila ay hinawakan ang parabola sa isang punto na may abscissa 3 (Larawan 5).

Desisyon. Dahil ang abscissa ng tangency point ay ibinigay, ang unang bahagi ng solusyon ay nabawasan sa pangunahing problema 1.

1.a \u003d 3 - abscissa ng punto ng tangency ng isa sa mga gilid ng kanang anggulo.
2.f (3) \u003d 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f" (3) \u003d 7.
4.y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - ang equation ng unang tangent na linya.

Hayaan ang isang maging angulo ng pagkahilig ng unang tangente. Dahil ang mga tangente ay patayo, pagkatapos ay ang anggulo ng pagkahilig ng ikalawang tangent. Mula sa equation y \u003d 7x - 20 ng unang tangent na mayroon tg a \u003d 7. Hanapin

Nangangahulugan ito na ang slope ng pangalawang tangent ay.

Ang karagdagang solusyon ay nabawasan sa pangunahing gawain 3.

Hayaan ang B (c; f (c)) na maging punto ng tangency ng pangalawang tuwid na linya, pagkatapos

1. - abscissa ng pangalawang punto ng contact.
2.
3.
4.
- ang equation ng pangalawang tangent.

Tandaan Ang slope ng isang tangent line ay maaaring matagpuan mas madali kung alam ng mga mag-aaral ang ratio ng mga coefficients ng mga patayo na linya k 1 k 2 \u003d - 1.

2. Isulat ang mga equation ng lahat ng mga karaniwang tangent sa mga graph ng mga pagpapaandar

Desisyon. Ang gawain ay nabawasan sa paghahanap ng abscissa ng mga punto ng tangency ng karaniwang mga tangents, iyon ay, upang malutas ang pangunahing problema 1 sa pangkalahatang form, pagsasama-sama ng isang sistema ng mga equation at ang kasunod na solusyon nito (Larawan 6).

1. Hayaan ang isang maging abscissa ng tangent point na nakahiga sa graph ng pagpapaandar y \u003d x 2 + x + 1.
2.f (a) \u003d a 2 + a + 1.
3. f "(a) \u003d 2a + 1.
4.y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Hayaan ang c maging abscissa ng touch point na nakahiga sa grapiko ng pagpapaandar
2.
3. f "(c) \u003d c.
4.

Dahil ang mga tangente ay karaniwan, kung gayon

Kaya ang y \u003d x + 1 at y \u003d - 3x - 3 ay karaniwang mga tangente.

Ang pangunahing layunin ng mga gawaing isinasaalang-alang ay upang ihanda ang mga mag-aaral para sa pagkilala sa sarili ng uri ng pangunahing gawain kapag nilulutas ang mas kumplikadong mga gawain na nangangailangan ng ilang mga kasanayan sa pananaliksik (ang kakayahang pag-aralan, ihambing, gawing pangkalahatan, isulong ang isang teorya, atbp.). Ang mga nasabing gawain ay maaaring magsama ng anumang gawain kung saan ang pangunahing gawain ay kasama bilang isang bahagi. Isaalang-alang natin bilang isang halimbawa ang problema (kabaligtaran sa problema 1) upang makahanap ng isang pagpapaandar ng pamilya ng mga tangente nito.

3. Para sa aling b at c ang mga linya na y \u003d x at y \u003d - 2x tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d x 2 + bx + c?

Hayaan ang maging abscissa ng point ng tangency ng linya y \u003d x sa parabola y \u003d x 2 + bx + c; p ay ang abscissa ng tangency point ng tuwid na linya y \u003d - 2x na may parabola y \u003d x 2 + bx + c. Pagkatapos ang equation ng tangent y \u003d x ay kumukuha ng form y \u003d (2t + b) x + c - t 2, at ang equation ng tangent y \u003d - 2x ay kumukuha ng form y \u003d (2p + b) x + c - p 2.

Bumuo at malutas natin ang sistema ng mga equation

Sagot:

Ang artikulo ay nagbibigay ng isang detalyadong paliwanag ng mga kahulugan, ang geometriko kahulugan ng hinalaw na may graphic simbolo... Ang equation ng tangent line ay isasaalang-alang sa mga halimbawa, ang mga equation ng tangent sa curves ng 2nd order ay matatagpuan.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Kahulugan 1

Ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y \u003d k x + b ay tinatawag na anggulo α, na sinusukat mula sa positibong direksyon ng x-axis hanggang sa tuwid na linya y \u003d k x + b sa positibong direksyon.

Sa pigura, ang direksyon o x ay ipinahiwatig ng isang berdeng arrow at isang berdeng arko, at ang anggulo ng pagkahilig na may isang pulang arko. Ang asul na linya ay tumutukoy sa tuwid na linya.

Kahulugan 2

Ang slope ng tuwid na linya y \u003d k x + b ay tinawag na bilang na coefficient k.

Ang slope ay katumbas ng tangent ng slope ng tuwid na linya, sa madaling salita, k \u003d t g α.

• Ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya ay 0 lamang kung ito ay parallel sa x at ang slope ay zero, dahil ang tangent ng zero ay 0. Samakatuwid, ang anyo ng equation ay magiging y \u003d b.
• Kung ang slope ng tuwid na linya y \u003d k x + b ay talamak, pagkatapos ang mga kundisyon 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается positibong numero, sapagkat ang halaga ng tangent ay nagbibigay-kasiyahan sa kundisyon t g α\u003e 0, at mayroong pagtaas sa grap.
• Kung α \u003d π 2, kung gayon ang lokasyon ng tuwid na linya ay patayo sa x. Ang pagkakapantay-pantay ay tinukoy gamit ang pagkakapantay-pantay x \u003d c sa c pagiging isang tunay na numero.
• Kung ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya y \u003d k x + b ay mapang-akit, pagkatapos ito ay tumutugma sa mga kundisyon π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Ang isang secant ay tinatawag na isang linya na dumadaan sa 2 puntos ng pagpapaandar f (x). Sa madaling salita, ang isang secant ay isang tuwid na linya na iginuhit sa pamamagitan ng anumang dalawang puntos sa grap ng isang naibigay na pagpapaandar.

Ipinapakita ng figure na ang A B ay isang secant, at ang f (x) ay isang itim na curve, α ay isang pulang arko, na nangangahulugang ang anggulo ng pagkahilig ng secant.

Kapag ang slope ng isang tuwid na linya ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig, maaaring makita na ang tangent mula sa isang kanang-may-tatsulok na tatsulok na ABC ay maaaring matagpuan kaugnay sa kabaligtaran ng binti sa katabi.

Kahulugan 4

Nakukuha namin ang formula para sa paghahanap ng secant ng form:

k \u003d tg α \u003d BCAC \u003d f (x B) - fx A x B - x A, kung saan ang mga abscissas ng puntos na A at B ay ang mga halagang x A, x B, at f (x A), f (x B) ang mga pagpapaandar ng halaga sa mga puntong ito.

Malinaw na, ang slope ng secant ay natutukoy gamit ang pagkakapantay-pantay k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A o k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, at ang equation ay dapat na nakasulat bilang y \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) o
y \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Hinahati ng secant ang graph nang biswal sa 3 bahagi: sa kaliwa ng point A, mula A hanggang B, sa kanan ng B. Ipinapakita ng figure sa ibaba na mayroong tatlong mga secant, na itinuturing na nagkataon, iyon ay, sila ay itakda gamit ang isang katulad na equation.

Sa pamamagitan ng kahulugan, malinaw na ang linya at ang sekante nito sa sa kasong ito magkatugma kayo

Maaaring i-intersect ng secant ang graph ng isang naibigay na pag-andar ng maraming beses. Kung mayroong isang equation ng form y \u003d 0 para sa secant, kung gayon ang bilang ng mga puntos ng intersection sa sinusoid ay walang katapusan.

Kahulugan 5

Ang tangent sa grap ng pagpapaandar f (x) sa puntong x 0; f (x 0) ay tinatawag na isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na puntong x 0; f (x 0), na may pagkakaroon ng isang segment na mayroong isang hanay ng mga halagang x na malapit sa x 0.

Halimbawa 1

Tingnan natin nang mabuti ang halimbawa sa ibaba. Pagkatapos ay makikita na ang linya na tinukoy ng pagpapaandar y \u003d x + 1 ay isinasaalang-alang tangent sa y \u003d 2 x sa puntong may mga coordinate (1; 2). Para sa kalinawan, kinakailangang isaalang-alang ang mga grap na may mga halagang malapit sa (1; 2). Ang pagpapaandar y \u003d 2 x ay minarkahan ng itim, ang asul na linya ay ang tangent, at ang pulang punto ay ang intersection point.

Malinaw na, y \u003d 2 x nagsasama sa linya na y \u003d x + 1.

Upang matukoy ang tangent, dapat isaalang-alang ng isa ang pag-uugali ng tangent A B kapag ang punto B ay walang hanggan na papalapit na punto A. Para sa kalinawan, bibigyan namin ng isang pigura.

Ang secant AB, na ipinahiwatig ng asul na linya, ay may kaugaliang sa posisyon ng tangent mismo, at ang anggulo ng pagkahilig ng secant α ay magsisimulang umakay sa anggulo ng pagkahilig ng tangent mismo α x.

Kahulugan 6

Ang padaplis sa grapiko ng pagpapaandar y \u003d f (x) sa puntong A ay ang posisyon ng paglilimita ng sekta when kung kailan may gawi sa А, iyon ay, B → A.

Bumabaling kami ngayon sa pagsasaalang-alang ng kahulugan ng geometriko ng hango ng isang pagpapaandar sa isang punto.

Bumaling tayo sa pagsasaalang-alang ng secant for para sa pagpapaandar f (x), kung saan ang at and na may mga coordinate x 0, f (x 0) at x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), at Ang ∆ x ay tinukoy bilang pagtaas ng argumento ... Ang pagpapaandar ngayon ay kumukuha ng form na ∆ y \u003d ∆ f (x) \u003d f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x). Para sa kalinawan, magbigay tayo ng isang halimbawa ng isang larawan.

Isaalang-alang ang resulta kanang tatsulok A B C. Ginagamit namin ang kahulugan ng tangent para sa solusyon, iyon ay, nakukuha namin ang ratio na ∆ y ∆ x \u003d t g α. Sinusundan ito mula sa kahulugan ng isang tangent na lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x \u003d t g α x. Sa pamamagitan ng panuntunan ng derivative sa puntong, mayroon kaming derivative f (x) sa point x 0 na tinawag na limitasyon ng mga ratios ng pagtaas ng pagpapaandar sa pagtaas ng argumento, kung saan ∆ x → 0, pagkatapos ay tinukoy namin bilang f (x 0) \u003d lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ...

Sinusundan nito ang f "(x 0) \u003d lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x \u003d t g α x \u003d k x, kung saan ang k x ay tinukoy bilang slope ng tangent.

Iyon ay, nakukuha natin na ang f '(x) ay maaaring umiiral sa puntong x 0 at, tulad ng tangent sa ibinigay na grap ng pagpapaandar sa punto ng tangency na katumbas ng x 0, f 0 (x 0), kung saan ang halaga ng slope ng tangent sa point ay katumbas ng derivative sa point x 0. Pagkatapos makukuha natin iyan k x \u003d f "(x 0).

Ang kahulugan ng geometriko ng hango ng isang pag-andar sa isang punto ay ang konsepto ng pagkakaroon ng isang tangent sa grapiko sa parehong punto ay ibinigay.

Upang isulat ang equation ng anumang tuwid na linya sa isang eroplano, kailangan mong magkaroon ng isang slope na may isang punto kung saan ito dumadaan. Ang pagtatalaga nito ay kinuha bilang x 0 sa intersection.

Ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d f (x) sa puntong x 0, f 0 (x 0) ay kumukuha ng form y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Ibig sabihin nito ay pangwakas na halaga derivative f "(x 0), maaari mong matukoy ang posisyon ng tangent, iyon ay, patayo sa ilalim ng kundisyon lim x → x 0 + 0 f" (x) \u003d ∞ at lim x → x 0 - 0 f "(x ) \u003d ∞ o wala man lang para sa kondisyon lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Ang lokasyon ng tangent ay nakasalalay sa halaga ng slope kx \u003d f "(x 0). Kapag kahilera sa axis ng baka, nakukuha namin ang kk \u003d 0, na may parallelism sa oy - kx \u003d ∞, at ang form ng tangent ang equation x \u003d x 0 ay tumataas sa kx\u003e 0, bumababa para sa kx< 0 .

Halimbawa 2

Iguhit ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar y \u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 sa isang punto na may mga coordinate (1; 3) na may pagpapasiya ng anggulo ng pagkahilig

Desisyon

Sa pamamagitan ng teorya, mayroon kaming tinukoy na pagpapaandar para sa lahat ng totoong mga numero. Nakuha namin na ang puntong kasama ang mga koordinasyon na ibinigay ng kundisyon (1; 3) ay ang punto ng pagkahilaw, pagkatapos ay x 0 \u003d - 1, f (x 0) \u003d - 3

Kinakailangan upang mahanap ang hinalang sa puntong may halagang - 1. Nakukuha natin yan

y "\u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" \u003d \u003d ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" \u003d ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) \u003d y" (- 1) \u003d e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 \u003d 3 3

Ang f '(x) na halaga sa tangency ay ang slope ng tangent, na katumbas ng tangent ng slope.

Pagkatapos k x \u003d t g α x \u003d y "(x 0) \u003d 3 3

Samakatuwid sumusunod ito sa α x \u003d a r c t g 3 3 \u003d π 6

Sagot:ang tangent equation ay kumukuha ng form

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Para sa kalinawan, magbibigay kami ng isang halimbawa sa isang graphic na paglalarawan.

Ginamit ang itim para sa grap ng orihinal na pagpapaandar, asul na kulay - tangent na imahe, red point - tangency point. Ang figure sa kanan ay nagpapakita ng isang pinalaki na view.

Halimbawa 3

Alamin ang pagkakaroon ng pagkakaroon ng isang tangent sa graph ng isang naibigay na pagpapaandar
y \u003d 3 x - 1 5 + 1 sa puntong may mga coordinate (1; 1). Lumikha ng isang equation at matukoy ang anggulo ng pagkahilig.

Desisyon

Sa pamamagitan ng teorya, mayroon kaming ang domain ng isang naibigay na pagpapaandar ay ang hanay ng lahat ng mga totoong numero.

Bumaling kami sa paghahanap ng hinalaw

y "\u003d 3 x - 1 5 + 1" \u003d 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 \u003d 3 5 1 (x - 1) 4 5

Kung x 0 \u003d 1, kung gayon ang f '(x) ay hindi natukoy, ngunit ang mga limitasyon ay nakasulat bilang lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 1 (+ 0) 4 5 \u003d 3 5 1 + 0 \u003d + ∞ at lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 1 (- 0) 4 5 \u003d 3 5 1 + 0 \u003d + ∞, na nangangahulugang ang pagkakaroon ng patayo na patayo sa punto (1; 1).

Sagot: ang equation ay kukuha ng form x \u003d 1, kung saan ang slope ay magiging katumbas ng π 2.

Para sa kalinawan, ilarawan namin ito nang graphic.

Halimbawa 4

Hanapin ang mga puntos sa grapiko ng pagpapaandar y \u003d 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, kung saan

1. Ang tangent ay hindi umiiral;
2. Ang tangent ay parallel sa x;
3. Ang tangent ay kahanay ng linya y \u003d 8 5 x + 4.

Desisyon

Kinakailangan na magbayad ng pansin sa domain ng kahulugan. Sa pamamagitan ng teorya, mayroon kaming tinukoy na pagpapaandar sa hanay ng lahat ng totoong mga numero. Palawakin ang module at lutasin ang system na may mga agwat x ∈ - ∞; 2 at [- 2; + ∞). Nakukuha natin yan

y \u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Kinakailangan upang makilala ang pagpapaandar. Meron tayo niyan

y "\u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) y" \u003d - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Kapag x \u003d - 2, kung gayon ang derivative ay wala, dahil ang mga panig na limitasyon ay hindi pantay sa puntong ito:

lim x → - 2 - 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 \u003d - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 \u003d - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 \u003d 3

Kinakalkula namin ang halaga ng pagpapaandar sa puntong x \u003d - 2, kung saan natin nakuha iyon

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, iyon ay, ang tangent sa puntong ( - 2; - 2) ay hindi magkakaroon.
2. Ang tangent ay kahanay sa x kapag ang slope ay zero. Pagkatapos kx \u003d tg α x \u003d f "(x 0). Iyon ay, kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng naturang x kapag ang derivative ng pagpapaandar ay ginagawang zero. Iyon ay, ang mga halaga ng f ' Ang (x) ay magiging mga puntos na tangency kung saan ang tangent ay parallel sa x ...

Kapag x ∈ - ∞; - 2, pagkatapos - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0, at para sa x ∈ (- 2; + ∞) nakukuha natin ang 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 35 \u003d 144 - 140 \u003d 4 x 1 \u003d - 12 + 4 2 \u003d - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 \u003d - 12 - 4 2 \u003d - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 3 \u003d 4 x 3 \u003d 4 - 4 2 \u003d 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 \u003d 4 + 4 2 \u003d 3 ∈ - 2; + ∞

Kalkulahin ang mga katumbas na halaga ng pag-andar

y 1 \u003d y - 5 \u003d 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 \u003d 8 5 y 2 \u003d y (- 7) \u003d 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 \u003d 4 3 y 3 \u003d y (1) \u003d 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 \u003d 8 5 y 4 \u003d y (3) \u003d 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 \u003d 4 3

Samakatuwid - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; Ang 4 3 ay isinasaalang-alang ang kinakailangang mga puntos ng pag-andar ng graph.

Isaalang-alang graphic na imahe mga solusyon

Ang itim na linya ay ang graph ng pagpapaandar, ang mga pulang puntos ay ang mga touch point.

1. Kapag ang mga linya ay parallel, ang mga slope ay pantay. Pagkatapos ay kailangan mong maghanap ng mga puntos sa grapiko ng pagpapaandar, kung saan ang slope ay magiging katumbas ng halagang 8 5. Upang magawa ito, kailangan nating malutas ang isang equation ng form y "(x) \u003d 8 5. Pagkatapos, kung x ∈ - ∞; - 2, makukuha natin iyan - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 8 5, at kung x ∈ (- 2; + ∞), pagkatapos ang 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5.

Ang unang equation ay walang mga ugat, dahil ang diskriminasyon mas mababa sa zero... Isulat natin iyan

1 5 x 2 + 12 x + 35 \u003d 8 5 x 2 + 12 x + 43 \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 43 \u003d - 28< 0

Ang isa pang equation ay may dalawang tunay na ugat, kung gayon

1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5 x 2 - 4 x - 5 \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 (- 5) \u003d 36 x 1 \u003d 4 - 36 2 \u003d - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 \u003d 4 + 36 2 \u003d 5 ∈ - 2; + ∞

Magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga halaga ng pagpapaandar. Nakukuha natin yan

y 1 \u003d y (- 1) \u003d 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 \u003d 4 15 y 2 \u003d y (5) \u003d 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 \u003d 8 3

Mga puntos na may halaga - 1; 4 15, 5; Ang 8 3 ay ang mga puntos kung saan ang mga tangente ay parallel sa linya y \u003d 8 5 x + 4.

Sagot:itim na linya - grapiko ng pagpapaandar, pulang linya - grap y \u003d 8 5 x + 4, asul na linya - mga tangente sa mga puntos - 1; 4 15, 5; 8 3.

Maaaring may isang walang katapusang bilang ng mga tangents para sa mga naibigay na pag-andar.

Halimbawa 5

Isulat ang mga equation ng lahat ng magagamit na mga tangente sa pagpapaandar y \u003d 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, na matatagpuan patayo sa linya na y \u003d - 2 x + 1 2.

Desisyon

Upang mabuo ang equation ng tangent, kinakailangan upang hanapin ang koepisyent at mga coordinate ng punto ng tangency, batay sa kondisyon ng perpendicularity ng mga linya. Ang kahulugan ay ang mga sumusunod: ang produkto ng mga coefficient ng slope na patayo sa mga tuwid na linya ay katumbas ng - 1, iyon ay, nakasulat ito bilang k x · k ⊥ \u003d - 1. Mula sa kundisyon na mayroon kaming slope ay patayo sa tuwid na linya at katumbas ng k ⊥ \u003d - 2, pagkatapos k x \u003d - 1 k ⊥ \u003d - 1 - 2 \u003d 1 2.

Ngayon kailangan mong hanapin ang mga coordinate ng mga punto ng tangency. Kailangan mong maghanap ng x, pagkatapos nito ang halaga para sa isang naibigay na pagpapaandar. Tandaan na mula sa geometric na kahulugan ng hinalang sa puntong
x 0 nakukuha natin ang k x \u003d y "(x 0). Mula sa pagkakapantay-pantay na ito nakita namin ang mga halaga ng x para sa mga puntos ng contact.

Nakukuha natin yan

y "(x 0) \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" \u003d 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 "\u003d \u003d - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d - 1 9

ito equation ng trigonometric ay gagamitin upang makalkula ang mga ordinate ng mga puntos ng tangency.

3 2 x 0 - π 4 \u003d a r c sin - 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 \u003d π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 \u003d - a r c sin 1 9 + 2 πk o 3 2 x 0 - π 4 \u003d π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 \u003d 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk o x 0 \u003d 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Ang Z ay isang hanay ng mga integer.

Natagpuan x puntos ng tangency. Ngayon kailangan mong pumunta sa paghahanap para sa mga halaga ng y:

y 0 \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 o y 0 \u003d 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 o y 0 \u003d 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 \u003d 4 5 - 1 3 o y 0 \u003d - 4 5 + 1 3

Mula dito makukuha natin ang 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 ang mga touch point.

Sagot: ang mga kinakailangang equation ay isusulat bilang

y \u003d 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y \u003d 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Para sa isang visual na representasyon, isaalang-alang ang isang pagpapaandar at isang tangent sa linya ng coordinate.

Ipinapakita ng pigura na ang lokasyon ng pagpapaandar ay nasa agwat [- 10; 10], kung saan ang itim na linya ay ang graph ng pagpapaandar, ang mga asul na linya ay ang mga tangents, na matatagpuan patayo sa ibinigay na linya ng form na y \u003d - 2 x + 1 2. Ang mga pulang puntos ay mga touch point.

Ang mga canonical equation para sa mga curve ng order 2 ay hindi iisang pinahahalagahan na mga function. Ang mga equation ng mga tangent para sa kanila ay iginuhit ayon sa mga kilalang mga scheme.

Circle tangent

Upang tukuyin ang isang bilog na nakasentro sa puntong x c e n t e r; y c e n t e r at radius R ang pormula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 \u003d R 2 ang inilapat.

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring nakasulat bilang isang unyon ng dalawang pag-andar:

y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Ang unang pagpapaandar ay nasa itaas at ang pangalawa ay nasa ibaba, tulad ng ipinakita sa pigura.

Upang mabuo ang equation ng bilog sa puntong x 0; y 0, na matatagpuan sa itaas o mas mababang kalahating bilog, dapat mong makita ang equation ng grap ng pagpapaandar ng form na y \u003d R 2 - x - xcenter 2 + ycenter o y \u003d - R 2 - x - xcenter 2 + ycenter sa ipinahiwatig na punto.

Kapag sa mga puntos x c e n t e r; y c e n t e r + R at x c e n t e r; y c e n t e r - R tangents ay maaaring ibigay ng mga equation y \u003d y c e n t e r + R at y \u003d y c e n t e r - R, at sa mga point x c e n t e r + R; y c e n t e r at
x c e n t e r - R; y c e n t e r ay magiging parallel sa y, pagkatapos makakakuha tayo ng mga equation ng form x \u003d x c e n t e r + R at x \u003d x c e n t e r - R.

Tangway ng elipse

Kapag ang ellipse ay may sentro sa puntong x c e n t e r; y c e n t e r sa mga semiaxes a at b, kung gayon maaari itong tukuyin gamit ang equation x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1.

Ang isang ellipse at isang bilog ay maaaring maitukoy sa pamamagitan ng pagsasama ng dalawang mga pag-andar, lalo ang itaas at mas mababang semi-ellipse. Pagkatapos makuha natin iyon

y \u003d b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y \u003d - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Kung ang mga tangente ay matatagpuan sa mga vertex ng ellipse, pagkatapos ay magkapareho ang mga ito tungkol sa x o tungkol sa y. Sa ibaba, para sa kalinawan, isaalang-alang ang pigura.

Halimbawa 6

Isulat ang equation ng tangent sa ellipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 sa mga puntos na may x halagang katumbas ng x \u003d 2.

Desisyon

Kinakailangan upang mahanap ang mga touch point na tumutugma sa halaga x \u003d 2. Pinapalitan namin ang umiiral na equation ng ellipse at nakukuha iyon

x - 3 2 4 x \u003d 2 + y - 5 2 25 \u003d 1 1 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 ⇒ y - 5 2 \u003d 3 4 25 ⇒ y \u003d ± 5 3 2 + 5

Pagkatapos 2; 5 3 2 + 5 at 2; - 5 3 2 + 5 ang mga puntos ng tangency na nabibilang sa itaas at mas mababang semi-ellipse.

Bumabaling kami sa paghahanap at paglutas ng equation ng ellipse na may paggalang sa y. Nakukuha natin yan

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 y - 5 2 25 \u003d 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 \u003d 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 \u003d ± 5 1 - x - 3 2 4 y \u003d 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Malinaw na, ang itaas na kalahating ellipse ay tinukoy gamit ang isang pagpapaandar ng form y \u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2, at ang mas mababang isang y \u003d 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Ilapat natin ang karaniwang algorithm upang mabuo ang equation ng tangent sa grapiko ng pagpapaandar sa isang punto. Isusulat namin na ang equation para sa unang tangent sa point 2; Magkakaroon ng form ang 5 3 2 + 5

y "\u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2" \u003d 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d - 5 2 x - 3 4 - (x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Nakuha namin ang equation ng pangalawang tangent na may halaga sa puntong
2; - 5 3 2 + 5 ang kumukuha ng form

y "\u003d 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" \u003d - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d - 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Sa graphic, ang mga tangente ay ipinahiwatig bilang mga sumusunod:

Tangent sa hyperbole

Kapag ang hyperbola ay may sentro sa puntong x c e n t e r; y c e n t e r at mga vertex x c e n t e r + α; y c e n t e r at x c e n t e r - α; y c e n t e r, ang hindi pagkakapantay-pantay ay tinukoy x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1, kung may mga vertex x c e n t e r; y c e n t e r + b at x c e n t e r; y c e n t e r - b, pagkatapos ay ibinibigay ng hindi pagkakapareho x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d - 1.

Ang hyperbola ay maaaring kinatawan bilang dalawang pinagsamang mga pag-andar ng form

y \u003d ba (x - xcenter) 2 - isang 2 + ycentery \u003d - ba (x - xcenter) 2 - isang 2 + ycenter o y \u003d ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycentery \u003d - ba (x - xcenter ) 2 + isang 2 + ycenter

Sa unang kaso, mayroon kaming na ang mga tangents ay parallel sa y, at sa pangalawa, parallel sa x.

Samakatuwid sumusunod ito upang makahanap ng equation ng tangent sa hyperbola, kinakailangang alamin kung aling pagpapaandar ang kabilang sa tangent point. Upang matukoy ito, kinakailangan na gumawa ng isang pagpapalit sa mga equation at suriin ang mga ito para sa pagkakakilanlan.

Halimbawa 7

Isulat ang equation ng tangent sa hyperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 sa puntong 7; - 3 3 - 3.

Desisyon

Kinakailangan na baguhin ang talaan ng solusyon ng paghahanap ng hyperbola gamit ang 2 pagpapaandar. Nakukuha natin yan

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 ⇒ y + 3 2 9 \u003d x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 \u003d 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 \u003d 3 2 x - 3 2 - 4 at l at y + 3 \u003d - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y \u003d 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y \u003d - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Kinakailangan upang makilala kung aling pag-andar ang isang naibigay na punto na may mga coordinate na 7 na kabilang; - 3 3 - 3.

Malinaw na, upang suriin ang unang pagpapaandar, kailangan mo ng y (7) \u003d 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, kung gayon ang punto ay hindi kabilang sa grap, dahil ang pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan.

Para sa pangalawang pagpapaandar, mayroon kaming y (7) \u003d - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, na nangangahulugang ang point ay kabilang sa ibinigay na grap . Mula dito dapat hanapin ang slope.

Nakukuha natin yan

y "\u003d - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" \u003d - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) \u003d - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 \u003d 7 \u003d - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 \u003d - 3

Sagot: ang tangent equation ay maaaring kinatawan bilang

y \u003d - 3 x - 7 - 3 3 - 3 \u003d - 3 x + 4 3 - 3

Malinaw na ipinakita ito tulad ng sumusunod:

Parabola tangent

Upang mabuo ang equation ng tangent sa parabola y \u003d ax 2 + bx + c sa point x 0, y (x 0), dapat mong gamitin ang karaniwang algorithm, pagkatapos ang equation ay kukuha ng form y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y (x 0). Ang nasabing isang tangent sa vertex ay parallel sa x.

Ang parabola x \u003d a y 2 + b y + c ay dapat na tinukoy bilang pagsasama ng dalawang pagpapaandar. Samakatuwid, kinakailangan upang malutas ang equation para sa y. Nakukuha natin yan

x \u003d ay 2 + ni + c ⇔ ay 2 + ng + c - x \u003d 0 D \u003d b 2 - 4 a (c - x) y \u003d - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay \u003d - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Malarawan natin ang paglalarawan bilang:

Upang malaman kung ang puntong x 0, y (x 0) ay kabilang sa isang pagpapaandar, banayad na kumilos alinsunod sa karaniwang algorithm. Ang nasabing isang linya ng tangent ay magiging parallel sa tungkol sa parabola.

Halimbawa 8

Isulat ang equation ng tangent sa grap na x - 2 y 2 - 5 y + 3, kapag mayroon kaming anggulo ng pagkahilig ng tangent na 150 °.

Desisyon

Sinimulan namin ang solusyon sa pamamagitan ng kumakatawan sa parabola bilang dalawang pagpapaandar. Nakukuha natin yan

2 y 2 - 5 y + 3 - x \u003d 0 D \u003d (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) \u003d 49 - 8 xy \u003d 5 + 49 - 8 x - 4 y \u003d 5 - 49 - 8 x - 4

Ang halaga ng slope ay katumbas ng halaga ng derivative sa puntong x 0 ng pagpapaandar na ito at katumbas ng slope tangent.

Nakukuha namin:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Mula dito natutukoy namin ang halaga ng x para sa mga puntos ng contact.

Ang unang pagpapaandar ay isusulat bilang

y "\u003d 5 + 49 - 8 x - 4" \u003d 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3

Malinaw na, walang tunay na mga ugat, dahil nakakuha sila ng isang negatibong halaga. Napagpasyahan namin na walang tangent na may anggulo na 150 ° para sa isang pagpapaandar.

Ang pangalawang pagpapaandar ay isusulat bilang

y "\u003d 5 - 49 - 8 x - 4" \u003d - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d - 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3 x 0 \u003d 23 4 ⇒ y (x 0) \u003d 5 - 49 - 8 23 4 - 4 \u003d - 5 + 3 4

Mayroon kaming na ang mga puntos ng contact ay 23 4; - 5 + 3 4.

Sagot: ang tangent equation ay kumukuha ng form

y \u003d - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Malarawan natin itong ilarawan sa ganitong paraan:

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Ang isang tangent ay isang tuwid na linya , na hinahawakan ang grapiko ng pagpapaandar sa isang punto at lahat ng mga punto na nasa pinakamaliit na distansya mula sa grap ng pagpapaandar. Samakatuwid, ang tangent ay ipinapasa ang tangent sa graph ng pagpapaandar sa isang tiyak na anggulo, at maraming mga tangent sa magkakaibang mga anggulo ay hindi maaaring dumaan sa tangent point. Ang mga tangent equation at ang normal na mga equation sa grap ng pagpapaandar ay itinayo gamit ang derivative.

Ang tangent equation ay nagmula sa straight line equation .

Nakukuha namin ang equation ng tangent line, at pagkatapos ang equation ng normal sa grap ng pagpapaandar.

y = kx + b .

Sa kanya k ay ang slope.

Mula dito nakukuha natin ang sumusunod na talaan:

y - y0 = k(x - x0 ) .

Hango sa hango f "(x0 ) pagpapaandar y = f(x) sa puntong ito x0 katumbas ng dalisdis k \u003d tg φ tangent sa grapiko ng paggana na iginuhit sa pamamagitan ng isang punto M0 (x0 , y0 ) kung saan y0 = f(x0 ) ... Ito ay hango sa kahulugan na geometriko .

Kaya, maaari nating palitan k sa f "(x0 ) at kunin ang sumusunod equation ng tangent sa grap ng isang pagpapaandar :

y - y0 = f "(x0 )(x - x0 ) .

Sa mga problema ng pagguhit ng equation ng tangent line sa grapiko ng isang pagpapaandar (at malapit na tayong magpatuloy sa kanila), kinakailangan upang bawasan ang equation na nakuha ng formula sa itaas upang ang equation ng tuwid na linya sa pangkalahatang form ... Upang magawa ito, kailangan mong ilipat ang lahat ng mga titik at numero sa kaliwang bahagi ang equation, at iwanan ang zero sa kanang bahagi.

Ngayon tungkol sa normal na equation. Normal ay isang tuwid na linya na dumadaan sa point ng tangency sa grapiko ng pagpapaandar na patayo sa tangent. Normal na Equation :

(x - x0 ) + f "(x0 )(y - y0 ) = 0

Para sa pag-init, ang unang halimbawa ay dapat malutas nang nakapag-iisa, at pagkatapos ay upang makita ang solusyon. Mayroong bawat kadahilanang umaasa na ang gawaing ito ay hindi magiging isang "malamig na shower" para sa aming mga mambabasa.

Halimbawa 0. Sumulat ng isang tangent equation at isang normal na equation sa grap ng isang pagpapaandar sa isang punto M (1, 1) .

Halimbawa 1. Sumulat ng isang tangent equation at isang normal na equation sa grap ng isang pagpapaandar kung ang abscissa ng tangency point.

Hanapin natin ang hinalaw ng pagpapaandar:

Ngayon mayroon kaming lahat na kailangang mapalitan sa entry na ibinigay sa sangguniang panteorya upang makuha ang equation ng tangent. Nakukuha natin

Sa halimbawang ito, pinalad kami: ang slope ay naging zero, kaya't hiwalay na binawasan ang equation sa pangkalahatang pananaw ay hindi kailangan. Maaari na nating mabuo ang normal na equation:

Sa larawan sa ibaba: ang grapiko ng pag-andar ng kulay ng burgundy, tangent kulay berde, ang normal ay orange.

Ang susunod na halimbawa ay hindi rin kumplikado: ang pagpapaandar, tulad ng naunang isa, ay isang polynomial din, ngunit ang slope ay hindi magiging zero, kaya't madaragdagan pa ang isang hakbang - pagdadala ng equation sa isang pangkalahatang form.

Halimbawa 2.

Desisyon. Hanapin ang ordinate ng touch point:

Hanapin natin ang hinalaw ng pagpapaandar:

.

Hanapin ang halaga ng derivative sa tangent point, iyon ay, ang slope ng tangent:

Pinapalitan namin ang lahat ng nakuha na data sa "blangko na pormula" at nakukuha namin ang equation ng tangent:

Dinadala namin ang equation sa isang pangkalahatang form (kinokolekta namin ang lahat ng mga titik at numero maliban sa zero sa kaliwang bahagi, at iniiwan ang zero sa kanan):

Binubuo namin ang normal na equation:

Halimbawa 3. Isulat ang equation ng tangent line at ang equation ng normal sa graph ng pagpapaandar, kung ang abscissa ng tangent point.

Desisyon. Hanapin ang ordinate ng touch point:

Hanapin natin ang hinalaw ng pagpapaandar:

.

Hanapin ang halaga ng derivative sa tangent point, iyon ay, ang slope ng tangent:

.

Hanapin ang tangent equation:

Bago mo dalhin ang equation sa isang pangkalahatang form, kailangan mong "suklayin ito" nang kaunti: i-multiply ng 4. Ginagawa namin ito at dinala ang equation sa isang pangkalahatang form:

Binubuo namin ang normal na equation:

Halimbawa 4. Isulat ang equation ng tangent line at ang equation ng normal sa graph ng pagpapaandar, kung ang abscissa ng tangent point.

Desisyon. Hanapin ang ordinate ng touch point:

.

Hanapin natin ang hinalaw ng pagpapaandar:

Hanapin ang halaga ng derivative sa tangent point, iyon ay, ang slope ng tangent:

.

Nakukuha namin ang tangent equation:

Dinadala namin ang equation sa isang pangkalahatang form:

Binubuo namin ang normal na equation:

Ang isang pangkaraniwang pagkakamali kapag ang pagsusulat ng tangent at normal na mga equation ay hindi mapansin na ang pagpapaandar na ibinigay sa halimbawa ay kumplikado at upang makalkula ang hinalang ito bilang hango ng isang simpleng pagpapaandar. Ang mga sumusunod na halimbawa ay nagmula na kumplikadong pag-andar (ang kaukulang aralin ay magbubukas sa isang bagong window).

Halimbawa 5. Isulat ang equation ng tangent line at ang equation ng normal sa graph ng pagpapaandar, kung ang abscissa ng tangent point.

Desisyon. Hanapin ang ordinate ng touch point:

Pansin Ang pagpapaandar na ito - kumplikado, dahil ang pagtatalo ng tangent (2 x ) ay isang pagpapaandar mismo. Samakatuwid, nakita namin ang hinalaw ng pagpapaandar bilang hango ng isang komplikadong pag-andar.

Halimbawa 1. Ibinigay ang pagpapaandar f(x) = 3x 2 + 4x - 5. Isulat ang equation ng tangent sa grap ng pagpapaandar f(x) sa punto ng grap na may abscissa x 0 = 1.

Desisyon. Pag-andar ng hango f(x) umiiral para sa anumang x R ... Hanapin natin ito:

= (3x 2 + 4x - 5) ′ \u003d 6 x + 4.

Tapos f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) \u003d \u003d 10. Ang tangent equation ay:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Sagot y = 10x – 8.

Halimbawa 2. Ibinigay ang pagpapaandar f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x + 5. Isulat ang equation ng tangent sa grapiko ng pagpapaandar f(x) kahilera sa tuwid na linya y = 2x – 11.

Desisyon. Pag-andar ng hango f(x) umiiral para sa anumang x R ... Hanapin natin ito:

= (x 3 – 3x 2 + 2x + 5) ′ \u003d 3 x 2 – 6x + 2.

Dahil ang padaplis sa grapiko ng pagpapaandar f(x) sa puntong kasama ang abscissa x 0 kahilera sa tuwid na linya y = 2x - 11, pagkatapos ang slope nito ay 2, ibig sabihin ( x 0) \u003d 2. Hanapin natin ang abscissa na ito mula sa kundisyon na 3 x– 6x 0 + 2 \u003d 2. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa lamang para sa x 0 \u003d 0 at para sa x 0 \u003d 2. Dahil sa parehong kaso f(x 0) \u003d 5, pagkatapos ay ang tuwid na linya y = 2x + b hinahawakan ang grapiko ng pagpapaandar alinman sa point (0; 5), o sa point (2; 5).

Sa unang kaso, ang pagkakapantay-pantay sa bilang ay totoo 5 \u003d 2 × 0 + bmula saan b \u003d 5, at sa pangalawang kaso, ang pagkakapantay-pantay ng bilang na 5 \u003d 2 × 2 + bmula saan b = 1.

Kaya mayroong dalawang tangent y = 2x + 5 at y = 2x + 1 upang gumana ang graph f(x) kahilera sa tuwid na linya y = 2x – 11.

Sagot y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Halimbawa 3. Ibinigay ang pagpapaandar f(x) = x 2 – 6x + 7. Isulat ang equation ng tangent sa grapiko ng pagpapaandar f(x) pagdaan sa punto A (2; –5).

Desisyon. Kasi f(2) –5, pagkatapos ay ituro A ay hindi kabilang sa function graph f(x). Hayaan x 0 ang abscissa ng touch point.

Pag-andar ng hango f(x) umiiral para sa anumang x R ... Hanapin natin ito:

= (x 2 – 6x + 1) ′ \u003d 2 x – 6.

Tapos f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Ang tangent equation ay:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Dahil ang punto A nabibilang sa linya ng tangent, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay ng bilang

–5 = (2x 0 - 6) × 2– x+ 7,

mula saan x 0 \u003d 0 o x 0 \u003d 4. Nangangahulugan ito na sa pamamagitan ng punto Amaaari kang gumuhit ng dalawang tangente sa grapiko ng pagpapaandar f(x).

Kung x 0 \u003d 0, pagkatapos ang tangent equation ay mayroong form y = –6x + 7. Kung x 0 \u003d 4, pagkatapos ang tangent equation ay mayroong form y = 2x – 9.

Sagot y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Halimbawa 4. Ibinigay na mga pag-andar f(x) = x 2 – 2x + 2 at g(x) = –x 2 - 3. Isulat natin ang equation ng karaniwang linya ng tangent sa mga graph ng mga pagpapaandar na ito.

Desisyon. Hayaan x 1 - abscissa ng punto ng tangency ng nais na tuwid na linya na may grap ng pagpapaandar f(x), at x 2 - abscissa ng punto ng tangency ng parehong tuwid na linya na may grap ng pagpapaandar g(x).

Pag-andar ng hango f(x) umiiral para sa anumang x R ... Hanapin natin ito:

= (x 2 – 2x + 2) ′ \u003d 2 x – 2.

Tapos f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2 x 1 - 2. Ang tangent equation ay may form:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Hanapin ang hango ng pagpapaandar g(x):

= (–x 2 - 3) ′ \u003d –2 x.