5x (x - 4) = 0

5 x = 0 o x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Natutunan kung paano malutas ang mga equation ng unang degree, siyempre, nais mong gumana sa iba, lalo na, na may mga equation ng pangalawang degree, na kung saan ay tinatawag na quadratic.

Ang mga quadratic equation ay mga equation ng uri ng palakol ² + bx + c = 0, kung saan ang variable ay x, ang mga bilang ay - a, b, c, kung saan ang a ay hindi katumbas ng zero.

Kung sa isang quadratic equation na isa o iba pang coefficient (c o b) ay katumbas ng zero, kung gayon ang equation na ito ay tumutukoy sa isang hindi kumpletong quadratic equation.

Paano malulutas ang isang hindi kumpletong quadratic equation kung ang mga mag-aaral ay nagawang malutas lamang ang mga unang degree equation sa ngayon? Isaalang-alang ang hindi kumpletong mga quadratic equation iba`t ibang uri at mga simpleng paraan upang malutas ang mga ito.

a) Kung ang coefficient c ay katumbas ng 0, at ang coefficient b ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang ax ² + bx + 0 = 0 ay nabawasan sa isang equation ng form ax ² + bx = 0.

Upang malutas ang tulad ng isang equation, kailangan mong malaman ang formula para sa paglutas ng isang hindi kumpletong quadratic equation, na iyon kaliwang bahagi factor ito at kalaunan gamitin ang kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng produkto sa zero.

Halimbawa, 5x ² - 20x = 0. Salikin ang kaliwang bahagi ng equation, habang ginagawa ang dati pagpapatakbo ng matematika: paglabas ng karaniwang kadahilanan mula sa panaklong

5x (x - 4) = 0

Ginagamit namin ang kundisyon na ang mga produkto ay katumbas ng zero.

5 x = 0 o x - 4 = 0

Ang sagot ay: ang unang ugat ay 0; ang pangalawang ugat ay 4.

b) Kung b = 0, at ang libreng term ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang equation ax ² + 0x + c = 0 ay nabawasan sa isang equation ng form ax ² + c = 0. Ang mga equation ay nalulutas sa dalawang paraan : a) sa pamamagitan ng pagpapalawak ng polynomial ng equation sa kaliwang bahagi sa mga kadahilanan; b) gamit ang mga katangian ng arithmetic square root... Ang nasabing equation ay nalulutas ng isa sa mga pamamaraan, halimbawa:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Ang sagot ay: ang unang ugat ay 5/2; ang pangalawang ugat ay - 5/2.

c) Kung ang b ay katumbas ng 0 at ang c ay katumbas ng 0, kung gayon ang palakol ² + 0 + 0 = 0 ay nabawasan sa isang equation ng form ax ² = 0. Sa naturang equation, ang x ay magiging katumbas ng 0.

Tulad ng nakikita mo, ang hindi kumpletong mga quadratic equation ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa dalawang mga ugat.

Madalas na lumilitaw ang mga quadratic equation kapag nalulutas ang iba't ibang mga problema sa pisika at matematika. Sa artikulong ito titingnan natin kung paano malutas ang mga pagkakapantay-pantay na ito sa isang unibersal na paraan "sa pamamagitan ng diskriminasyon". Ang mga halimbawa ng paggamit ng kaalamang nakuha ay ibinibigay din sa artikulo.

Ano ang mga equation na pinag-uusapan natin?

Ang pigura sa ibaba ay nagpapakita ng isang pormula kung saan ang x ay hindi kilalang variable, at ang mga simbolong Latin na a, b, c ay kumakatawan sa ilang kilalang mga numero.

Ang bawat isa sa mga simbolong ito ay tinatawag na isang koepisyent. Tulad ng nakikita mo, ang bilang na "a" ay nasa harap ng parisukat na variable x. Ito ang maximum na lakas ng expression na ipinakita, kung kaya't ito ay tinatawag na isang quadratic equation. Ang ibang pangalan nito ay madalas na ginagamit: equation ng pangalawang-order. Ang halaga ng isang mismong ay ang parisukat na coefficient (nakatayo para sa variable na parisukat), b ang linear coefficient (ito ay katabi ng variable na itinaas sa unang lakas), at sa wakas, ang bilang c ay ang libreng term.

Tandaan na ang anyo ng equation, na ipinakita sa pigura sa itaas, ay isang pangkaraniwang klasikal na parisukat na ekspresyon. Bilang karagdagan dito, may iba pang mga equation na pangalawang order kung saan ang mga coefficients b, c ay maaaring zero.

Kapag ang problema ay nakalagay upang malutas ang isinasaalang-alang na pagkakapantay-pantay, nangangahulugan ito na ang mga naturang halaga ng variable x ay kailangang makita na masisiyahan ito. Dito, ang unang bagay na dapat tandaan ay ang mga sumusunod na bagay: dahil ang maximum na degree na x ay 2, kung gayon ang uri ng pagpapahayag na ito ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa 2 mga solusyon. Nangangahulugan ito na kung, kapag nilulutas ang equation, 2 halaga ng x ang natagpuan na nasiyahan ito, pagkatapos ay makakasiguro tayo na walang pangatlong numero, na pinapalitan kung saan sa halip na x, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo din. Ang mga solusyon sa isang equation sa matematika ay tinatawag na mga ugat.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na pangalawang order

Ang paglutas ng mga equation ng ganitong uri ay nangangailangan ng kaalaman sa ilang teorya tungkol sa mga ito. Sinusuri ng kursong algebra ng paaralan ang 4 iba`t ibang pamamaraan mga solusyon Ilista natin ang mga ito:

• gamit ang factorization;
• gamit ang formula para sa isang buong parisukat;
• sa pamamagitan ng paglalapat ng grap ng kaukulang quadratic function;
• gamit ang discriminant equation.

Ang bentahe ng unang pamamaraan ay nakasalalay sa pagiging simple nito, gayunpaman, hindi ito mailalapat sa lahat ng mga equation. Ang pangalawang pamamaraan ay pandaigdigan, ngunit medyo mahirap. Ang pangatlong pamamaraan ay kapansin-pansin para sa kalinawan nito, ngunit hindi ito palaging maginhawa at naaangkop. At, sa wakas, ang paggamit ng discriminant equation ay isang unibersal at medyo simpleng paraan upang makahanap ng mga ugat ng ganap na anumang equation na pangalawang-order. Samakatuwid, sa artikulo isasaalang-alang lamang namin ito.

Formula para sa pagkuha ng mga ugat ng equation

Bumaling tayo sa pangkalahatang pananaw quadratic equation. Isulat natin ito: a * x² + b * x + c = 0. Bago gamitin ang pamamaraan ng paglutas nito "sa pamamagitan ng diskriminasyon", dapat palaging mabawasan ang pagkakapantay-pantay sa nakasulat na form. Iyon ay, dapat itong binubuo ng tatlong mga term (o mas mababa kung b o c ay 0).

Halimbawa, kung mayroong isang expression: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x2, pagkatapos ay dapat mo munang ilipat ang lahat ng mga termino sa isang panig ng pagkakapantay-pantay at idagdag ang mga term na naglalaman ng variable x sa parehong kapangyarihan.

Sa kasong ito, hahantong ang operasyong ito sa sumusunod na expression: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, na katumbas ng equation 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (dito namin pinarami ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ng -1) ...

Sa halimbawa sa itaas, a = 6, b = 4, c = -8. Tandaan na ang lahat ng mga tuntunin ng isinasaalang-alang na pagkakapantay-pantay ay palaging binubuo sa kanilang sarili, kaya kung lumitaw ang "-" sign, nangangahulugan ito na ang kaukulang koepisyent ay negatibo, tulad ng bilang c sa kasong ito.

Sinuri ang puntong ito, bumabaling kami ngayon sa formula mismo, na ginagawang posible upang makuha ang mga ugat ng isang quadratic equation. Mayroon itong form na ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Tulad ng nakikita mo mula sa ekspresyong ito, pinapayagan kang makakuha ng dalawang ugat (dapat mong bigyang pansin ang tanda na "±"). Upang gawin ito, sapat na upang mapalitan ang mga coefficients b, c, at a dito.

Discriminant na konsepto

Sa nakaraang talata, isang formula ang ibinigay na nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na malutas ang anumang equation na pangalawang order. Dito, ang radikal na ekspresyon ay tinatawag na diskriminante, iyon ay, D = b²-4 * a * c.

Bakit nakahiwalay ang bahaging ito ng pormula, at mayroon pa ito sariling pangalan? Ang totoo ay kinokonekta ng diskriminante ang lahat ng tatlong mga coefficients ng equation sa isang solong pagpapahayag. Ang huli na katotohanan ay nangangahulugan na ito ay ganap na nagdadala ng impormasyon tungkol sa mga ugat, na maaaring ipahayag sa sumusunod na listahan:

1. D> 0: ang pagkakapantay-pantay ay may 2 magkakaibang mga solusyon, kapwa ang mga ito ay tunay na numero.
2. D = 0: Ang equation ay may isang ugat lamang at isang tunay na numero.

Ang gawain ng pagtukoy ng diskriminante

Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa ng kung paano makahanap ng diskriminasyon. Hayaang ibigay ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Dinadala namin ito sa karaniwang form, nakukuha namin ang: (2 * x²-9 * x ² + 5 * x ²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, kung saan tayo nakarating sa pagkakapantay-pantay : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Dito isang = -2, b = 2, c = -11.

Ngayon ay maaari mong gamitin ang pinangalanang pormula para sa diskriminante: D = 2 - - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Ang nagresultang bilang ay ang sagot sa gawain. Dahil sa halimbawa ang diskriminante mas mababa sa zero, pagkatapos ay maaari nating sabihin na ang quadratic equation na ito ay walang totoong mga ugat. Ang mga kumplikadong numero lamang ang magiging solusyon niya.

Isang halimbawa ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng diskriminasyon

Malutas natin ang mga problema ng isang bahagyang naiibang uri: binigyan ang pagkakapantay-pantay -3 * x²-6 * x + c = 0. Kinakailangan upang makahanap ng gayong mga halaga ng c kung saan D> 0.

Sa kasong ito, 2 lamang sa 3 mga koepisyent ang nalalaman, kaya't hindi posible na kalkulahin ang eksaktong halaga ng diskriminante, ngunit alam na positibo ito. Ginagamit namin ang huling katotohanan kapag inilalabas ang hindi pagkakapantay-pantay: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Ang solusyon sa nakuha na hindi pagkakapantay-pantay ay humahantong sa resulta: c> -3.

Suriin natin ang natanggap na numero. Upang magawa ito, kalkulahin ang D para sa 2 mga kaso: c = -2 at c = -4. Ang numero -2 ay nasiyahan ang nakuha na resulta (-2> -3), ang kaukulang diskriminante ay magkakaroon ng halaga: D = 12> 0. Kaugnay nito, ang bilang -4 ay hindi nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay (-4 Sa gayon, ang anumang mga numero c na higit sa -3 ay masisiyahan ang kundisyon.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Ipakita natin ang isang problema, na binubuo hindi lamang sa paghahanap ng diskriminante, kundi pati na rin sa paglutas ng equation. Kailangan mong hanapin ang mga ugat para sa pagkakapantay -2 * x² + 7-9 * x = 0.

Sa halimbawang ito, ang diskriminante ay susunod na halaga: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Kung gayon ang mga ugat ng equation ay tinukoy bilang mga sumusunod: x = (9 ± √137) / (- 4). Ito ang eksaktong mga halaga ng mga ugat, kung kinakalkula mo ang tinatayang ugat, nakuha mo ang mga numero: x = -5.176 at x = 0.676.

Problemang geometriko

Malutas natin ang isang problema na mangangailangan hindi lamang ng kakayahang kalkulahin ang diskriminante, kundi pati na rin ang paggamit ng mga abstract na kasanayan sa pag-iisip at kaalaman sa kung paano gumawa ng mga quadratic equation.

Si Bob ay mayroong 5 x 4 meter duvet. Nais ng batang lalaki na manahi ng isang tuluy-tuloy na strip ng magandang tela... Gaano kakapal ang strip na ito kung kilala si Bob na may 10 m² na tela.

Hayaan ang strip na may isang kapal ng x m, pagkatapos ang lugar ng tela kasama mahabang bahagi ang mga kumot ay magiging (5 + 2 * x) * x, at dahil mayroong 2 mahabang gilid, mayroon kaming: 2 * x * (5 + 2 * x). Sa maikling bahagi, ang lugar ng natahi na tela ay magiging 4 * x, dahil mayroong 2 sa mga panig na ito, nakukuha namin ang halagang 8 * x. Tandaan na ang 2 * x ay naidagdag sa mahabang bahagi habang ang haba ng kumot ay nadagdagan ng numerong iyon. Ang kabuuang lugar ng tela na natahi sa kumot ay 10 m². Samakatuwid, nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

Para sa halimbawang ito, ang diskriminante ay: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Ang ugat nito ay 22. Gamit ang formula, mahahanap namin ang mga kinakailangang ugat: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0.5). Malinaw na, sa dalawang ugat, ang bilang lamang na 0.5 ang naaangkop sa pahayag ng problema.

Kaya, ang strip ng tela na tahiin ni Bob sa kanyang kumot ay 50 cm ang lapad.

Ang isang hindi kumpleto na quadratic equation ay naiiba mula sa klasikal (kumpleto) na mga equation na ang mga kadahilanan o intercept nito ay katumbas ng zero. Ang grap ng mga naturang pag-andar ay parabolas. Depende sa kanilang pangkalahatang hitsura, nahahati sila sa 3 mga pangkat. Ang mga prinsipyo ng paglutas para sa lahat ng mga uri ng mga equation ay pareho.

Walang mahirap sa pagtukoy ng uri ng isang hindi kumpletong polynomial. Mahusay na isaalang-alang ang pangunahing mga pagkakaiba sa mga nakalarawang halimbawa:

1. Kung b = 0, pagkatapos ang equation ay palakol 2 + c = 0.
2. Kung c = 0, pagkatapos ay ang expression na ax 2 + bx = 0 ay dapat malutas.
3. Kung b = 0 at c = 0, kung gayon ang polynomial ay nagiging isang pagkakapantay-pantay ng uri ng palakol 2 = 0.

Ang huling kaso ay higit pa sa isang posibilidad na panteorya at hindi kailanman nangyayari sa mga gawain sa pagsubok sa kaalaman, dahil ang tanging wastong halaga ng variable x sa pagpapahayag ay zero. Sa hinaharap, ang mga pamamaraan at halimbawa ng paglutas ng hindi kumpletong mga quadratic equation ng 1) at 2) uri ay isasaalang-alang.

Pangkalahatang algorithm para sa paghahanap ng mga variable at halimbawa na may solusyon

Hindi alintana ang uri ng equation, ang solusyon sa algorithm ay kumukulo sa mga sumusunod na hakbang:

1. Dalhin ang expression sa isang form na maginhawa para sa paghahanap ng mga ugat.
2. Magsagawa ng mga kalkulasyon.
3. Itala ang iyong sagot.

Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang mga hindi kumpletong equation ay sa pamamagitan ng pag-factor ng kaliwang bahagi at pag-iiwan ng zero sa kanan. Kaya, ang pormula para sa isang hindi kumpletong quadratic equation para sa paghahanap ng mga ugat ay nabawasan sa pagkalkula ng halaga ng x para sa bawat isa sa mga kadahilanan.

Maaari mo lamang malaman kung paano ito lutasin sa pagsasanay, kaya isaalang-alang tiyak na halimbawa paghahanap ng mga ugat ng isang hindi kumpletong equation:

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito b = 0. Ipaalam sa amin na i-factor ang kaliwang bahagi at makuha ang ekspresyon:

4 (x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

Malinaw na, ang produkto ay zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay zero. Ang mga halaga ng variable x1 = 0.5 at (o) x2 = -0.5 ay nakakatugon sa mga kinakailangang ito.

Upang mahawakan nang madali at mabilis ang gawain sa agnas square trinomial sa pamamagitan ng mga kadahilanan, dapat mong tandaan ang sumusunod na pormula:

Kung walang libreng term sa pagpapahayag, ang gawain ay lubos na pinasimple. Sapat na ito upang hanapin at ilabas lamang ang karaniwang denominator. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang isang halimbawa ng kung paano malutas ang hindi kumpletong mga quadratic equation ng form ax2 + bx = 0.

Alisin natin ang variable x mula sa mga panaklong at kunin ang sumusunod na expression:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Pinatnubayan ng lohika, nakarating kami sa konklusyon na x1 = 0, at x2 = -3.

Tradisyunal na solusyon at hindi kumpletong mga quadratic equation

Ano ang mangyayari kung ilalapat mo ang diskriminasyon na formula at subukang hanapin ang mga ugat ng polynomial, na may mga coefficients na katumbas ng zero? Kumuha tayo ng isang halimbawa mula sa isang koleksyon ng mga tipikal na gawain para sa pagsusulit sa matematika sa 2017, lutasin ito gamit ang karaniwang mga formula at ang pamamaraan ng pag-iingat.

7x 2 - 3x = 0.

Kalkulahin natin ang halaga ng diskriminante: D = (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Lumabas na ang polynomial ay may dalawang mga ugat:

Ngayon, malutas natin ang equation sa pamamagitan ng pag-factoring at ihambing ang mga resulta.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong pamamaraan ay nagbibigay ng parehong resulta, ngunit ang paglutas ng equation ng pangalawang pamamaraan ay naging mas madali at mas mabilis.

Teorya ni Vieta

Ngunit ano ang gagawin sa teoryang minamahal ni Vieta? Maaari bang mailapat ang pamamaraang ito sa isang hindi kumpletong trinomial? Subukan nating maunawaan ang mga aspeto ng hindi paghahagis kumpletong mga equation Sa klasikong hitsura ax2 + bx + c = 0.

Sa katunayan, posible na ilapat ang teorama ng Vieta sa kasong ito. Kinakailangan lamang na dalhin ang expression sa isang pangkalahatang form, palitan ang mga nawawalang miyembro ng zero.

Halimbawa, para sa b = 0 at a = 1, upang maalis ang posibilidad ng pagkalito, ang gawain ay dapat na nakasulat sa form: ax2 + 0 + c = 0. Kung gayon ang ratio ng kabuuan at produkto ng mga ugat at ang mga kadahilanan ng polynomial ay maaaring ipahayag tulad ng sumusunod:

Ang mga kalkulasyong teoretikal ay makakatulong upang pamilyar sa kakanyahan ng isyu, at palaging nangangailangan ng pagsasanay ng isang kasanayan sa paglutas tiyak na gawain... Bumalik ulit tayo sa sangguniang libro ng mga tipikal na gawain para sa pagsusulit at maghanap ng angkop na halimbawa:

Isulat natin ang expression sa isang form na maginhawa para sa paglalapat ng teorama ng Vieta:

x 2 + 0 - 16 = 0.

Ang susunod na hakbang ay upang lumikha ng isang sistema ng mga kundisyon:

Malinaw na, ang mga ugat ng isang parisukat na polynomial ay magiging x 1 = 4 at x 2 = -4.

Ngayon, sanayin nating dalhin ang equation sa isang pangkalahatang form. Kunin ang sumusunod na halimbawa: 1/4 × x 2 - 1 = 0

Upang mailapat ang teorama ng Vieta sa isang expression, kinakailangan upang mapupuksa ang maliit na bahagi. I-multiply ang kaliwa at kanang panig ng 4, at tingnan ang resulta: x2– 4 = 0. Ang nagresultang pagkakapantay-pantay ay handa nang malutas ng teorama ni Vieta, ngunit mas madali at mas mabilis na makuha ang sagot sa pamamagitan lamang ng paglilipat ng c = 4 sa kanang bahagi ng equation: x2 = 4.

Sa kabuuan, dapat sabihin na ang pinakamahusay na paraan mga solusyon hindi kumpletong mga equation ay ang factorization, ay ang pinakasimpleng at mabilis na pamamaraan... Kung mayroon kang anumang mga paghihirap sa proseso ng paghanap ng mga ugat, maaari kang makipag-ugnay tradisyunal na pamamaraan paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng diskriminasyon.

Mga pormula para sa mga ugat ng isang quadratic equation. Ang mga kaso ng totoo, maraming at kumplikadong mga ugat ay isinasaalang-alang. Pag-factor ng isang square trinomial. Pagbibigay kahulugan ng geometriko. Mga halimbawa ng pagtukoy ng mga ugat at factoring.

Pangunahing mga formula

Isaalang-alang ang isang quadratic equation:
(1) .
Mga Quadratic Roots(1) ay natutukoy ng mga formula:
; .
Ang mga formula na ito ay maaaring pagsamahin tulad nito:
.
Kapag ang mga ugat ng quadratic equation ay kilala, kung gayon ang pangalawang degree na polynomial ay maaaring kinatawan bilang isang produkto ng mga kadahilanan (factorized):
.

Dagdag dito, ipinapalagay namin na ang mga tunay na numero.
Isaalang-alang quadratic discriminant:
.
Kung ang diskriminante ay positibo, kung gayon ang quadratic equation (1) ay may dalawang magkakaibang tunay na ugat:
; .
Pagkatapos ang pagsasakatuparan ng parisukat na trinomial ay:
.
Kung ang diskriminante ay zero, kung gayon ang quadratic equation (1) ay may dalawang maramihang (pantay) totoong mga ugat:
.
Factorization:
.
Kung ang diskriminante ay negatibo, kung gayon ang quadratic equation (1) ay may dalawang kumplikadong pinag-ugnay na ugat:
;
.
Narito ang isang haka-haka na yunit ,;
at - tunay at haka-haka na mga bahagi ng mga ugat:
; .
Tapos

.

Interpretasyon ng grapiko

Kung magtatayo ka graph ng pag-andar
,
na kung saan ay isang parabola, kung gayon ang mga puntos ng intersection ng grap na may axis ay magiging mga ugat ng equation
.
Kailan, tumatawid ang graph sa abscissa axis (axis) sa dalawang puntos.
Kailan, hinahawakan ng grap ang axis ng abscissa sa isang punto.
Kailan, ang grap ay hindi tumawid sa axis ng abscissa.

Nasa ibaba ang mga halimbawa ng naturang mga grap.

Kapaki-pakinabang na Mga Quadratic Equation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Paggawa ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Nagsasagawa kami ng mga pagbabago at naglalagay ng mga formula (f.1) at (f.3):




,
kung saan
; .

Kaya, nakakuha kami ng isang formula para sa isang polynomial ng pangalawang degree sa form:
.
Samakatuwid ito ay nakikita na ang equation

ay ginanap sa
at.
Iyon ay, ang mga ito ang mga ugat ng quadratic equation
.

Mga halimbawa ng pagtukoy ng mga ugat ng isang quadratic equation

Halimbawa 1

(1.1) .

Solusyon

.
Paghahambing sa aming equation (1.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficients:
.
Natagpuan namin ang diskriminante:
.
Dahil positibo ang diskriminante, ang equation ay may dalawang tunay na ugat:
;
;
.

Mula dito nakukuha natin ang pag-factor ng square square:

.

Pag-andar ng grap y = 2 x 2 + 7 x + 3 tumatawid sa axis ng abscissa sa dalawang puntos.

Plact natin ang pagpapaandar
.
Ang grap ng pagpapaandar na ito ay isang parabola. Tumawid ito sa axis ng abscissa (axis) sa dalawang puntos:
at.
Ang mga puntong ito ay ang mga ugat ng orihinal na equation (1.1).

Sagot

;
;
.

Halimbawa 2

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(2.1) .

Solusyon

Isulat natin ang quadratic equation sa pangkalahatang form:
.
Paghahambing sa orihinal na equation (2.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficients:
.
Natagpuan namin ang diskriminante:
.
Dahil ang diskriminante ay zero, ang equation ay may dalawang maramihang (pantay) na mga ugat:
;
.

Pagkatapos ang pagsasakatuparan ng trinomial ay:
.

Pag-andar ng grap y = x 2 - 4 x + 4 hinahawakan ang axis ng abscissa sa isang punto.

Plact natin ang pagpapaandar
.
Ang grap ng pagpapaandar na ito ay isang parabola. Hinawakan nito ang axis ng abscissa (axis) sa isang punto:
.
Ang puntong ito ay ang ugat ng orihinal na equation (2.1). Dahil ang ugat na ito ay pumapasok sa factorization ng dalawang beses:
,
kung gayon ang gayong ugat ay karaniwang tinatawag na maramihang. Iyon ay, naniniwala sila na mayroong dalawang pantay na ugat:
.

Sagot

;
.

Halimbawa 3

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(3.1) .

Solusyon

Isulat natin ang quadratic equation sa pangkalahatang form:
(1) .
Isulat natin muli ang orihinal na equation (3.1):
.
Paghahambing sa (1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficients:
.
Natagpuan namin ang diskriminante:
.
Ang diskriminante ay negatibo,. Samakatuwid, walang wastong mga ugat.

Mahahanap ang mga kumplikadong ugat:
;
;
.

Tapos


.

Ang graph ng pagpapaandar ay hindi tumatawid sa abscissa axis. Walang wastong mga ugat.

Plact natin ang pagpapaandar
.
Ang grap ng pagpapaandar na ito ay isang parabola. Hindi ito tumatawid sa abscissa axis (axis). Samakatuwid, walang wastong mga ugat.

Sagot

Walang wastong mga ugat. Mga kumplikadong ugat:
;
;
.