Ang ika-n na ugat ng bilang x ay isang hindi pangnegatibong numero z na, kapag naitaas sa ika-n na lakas, nagiging x. Ang kahulugan ng ugat ay kasama sa listahan ng pangunahing mga pagpapatakbo ng arithmetic, na nakikilala natin sa pagkabata.

Notasyong matematika

Ang "ugat" ay nagmula sa salitang Latin na radix at ngayon ang salitang "radical" ay ginagamit bilang isang kasingkahulugan para sa term na ito sa matematika. Mula noong ika-13 na siglo, ipinahiwatig ng mga matematiko ang pagpapatakbo ng pagkuha ng isang ugat sa pamamagitan ng letrang r na may isang pahalang na bar sa itaas ng radikal na ekspresyon. Noong ika-16 na siglo, ipinakilala ang pagtatalaga ng V, na unti-unting pumalit sa r sign, ngunit nanatili ang pahalang na linya. Madaling mag-type ng isang palalimbagan o sumulat sa pamamagitan ng kamay, ngunit sa elektronikong edisyon at kumalat ang programa pagtatalaga ng sulat ugat - sqrt. Ito ay kung paano namin ipahiwatig ang mga square root sa artikulong ito.

Pang-ugat na ugat

Ang parisukat na radikal ng isang bilang x ay isang bilang z na, kapag pinarami ng sarili nito, ay nagiging x. Halimbawa, kung magpaparami tayo ng 2 ng 2, makakakuha tayo ng 4. Dalawa sa kasong ito ay ang parisukat na ugat ng apat. Multiply 5 by 5, nakakakuha tayo ng 25, at ngayon alam na natin ang halaga ng expression na sqrt (25). Maaari kaming magparami at - 12 ng −12 at makakuha ng 144, at ang radikal na 144 ay parehong 12 at −12. Malinaw na, parisukat na mga ugat ay maaaring parehong positibo at negatibong mga numero.

Ang isang uri ng dualism ng naturang mga ugat ay mahalaga para sa paglutas quadratic equation, samakatuwid, kapag naghahanap ng mga sagot sa mga naturang problema, dapat mong tukuyin ang parehong mga ugat. Kapag nagpapasya ekspresyon ng algebraic ginagamit ang mga ugat na parisukat na aritmetika, iyon ay, ang kanilang mga positibong halaga lamang.

Ang mga bilang na ang mga parisukat na ugat ay buo ay tinatawag na perpektong mga parisukat. Mayroong isang buong pagkakasunud-sunod ng mga naturang numero, ang simula nito ay parang:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Ang mga square root ng iba pang mga numero ay hindi makatuwiran na mga numero. Halimbawa, sqrt (3) = 1.73205080757 ... at iba pa. Ang bilang na ito ay walang hanggan at hindi pana-panahon, na nagsasanhi ng ilang mga paghihirap sa pagkalkula ng mga naturang radical.

Sinasabi ng matematika ng high school na hindi ka makakakuha ng mga square root mula sa mga negatibong numero. Tulad ng natutunan natin sa kurso ng matanalysis sa unibersidad, maaari at dapat itong gawin - para dito, kailangan ng mga kumplikadong numero. Gayunpaman, ang aming programa ay dinisenyo upang kunin ang totoong mga halaga ng mga ugat, kaya't hindi nito kinakalkula ang kahit na mga radikal mula sa mga negatibong numero.

Ugat ng Cubic

Ang cubic radical ng isang bilang x ay isang bilang z na, kapag pinarami ng sarili nitong tatlong beses, binibigyan ang bilang x. Halimbawa, kung magpaparami tayo ng 2 × 2 × 2, makakakuha tayo ng 8. Samakatuwid, dalawa ang cube root na walong. Ang pagpaparami ng apat sa ating sarili ng tatlong beses, nakakakuha kami ng 4 × 4 × 4 = 64. Malinaw na, ang apat ay ang cube root ng 64. Mayroong isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero na ang mga cubic radical ay integer. Ang simula nito ay parang:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Para sa natitirang mga numero, ang mga ugat ng kubo ay hindi makatuwiran na mga numero. Hindi tulad ng mga square radical, ang mga cubic root, tulad ng anumang mga kakaibang ugat, ay maaaring makuha mula sa mga negatibong numero. Ang lahat ay tungkol sa produkto ng mga numero mas mababa sa zero... Ang minus para sa minus ay nagbibigay ng isang plus - isang panuntunang kilala mula sa paaralan. At isang minus para sa isang plus - nagbibigay ng isang minus. Kung pinarami namin ang mga negatibong numero ng isang kakaibang bilang ng beses, kung gayon ang resulta ay magiging negatibo din, samakatuwid, kunin ang kakaibang radikal mula sa negatibong numero walang nakakaabala sa amin.

Gayunpaman, ang programa ng calculator ay gumagana nang magkakaiba. Mahalaga, ang pagkuha ng isang ugat ay isang baligtad na exponentiation. Ang square root ay isinasaalang-alang bilang exponentiation ng 1/2, at ang cubic root ay isinasaalang-alang bilang 1/3. Ang pormula para sa pagpapalawak ng 1/3 ay maaaring mabago at ipahayag bilang 2/6. Ang resulta ay pareho, ngunit hindi ka makakakuha ng ganoong ugat mula sa isang negatibong numero. Kaya, kinakalkula lamang ng aming calculator ang mga ugat ng arithmetic mula sa mga positibong numero.

Pang-ugat

Ang ganitong isang gayak na paraan ng pagkalkula ng mga radical ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang mga ugat ng anumang degree mula sa anumang pagpapahayag. Maaari mong makuha ang ika-5 ugat ng kubo ng isang numero o ang ika-19 radikal ng isang ika-12 lakas. Ang lahat ng ito ay matikas na ipinatupad sa anyo ng pagtaas sa lakas ng 3/5 o 12/19, ayon sa pagkakabanggit.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa

Diagonal ng isang parisukat

Ang kawalang-katwiran ng diagonal ng isang parisukat ay kilala ng mga sinaunang Greek. Naharap nila ang problema sa pagkalkula ng dayagonal ng isang patag na parisukat, dahil ang haba nito ay laging proporsyonal sa ugat ng dalawa. Ang pormula para sa pagtukoy ng haba ng dayagonal ay nagmula at sa huli ay kukuha ng form:

d = a × sqrt (2).

Hanapin natin ang parisukat na radikal ng dalawa sa aming calculator. Ipasok natin sa cell na "Bilang (x)" ang halagang 2, at sa "Lakas (n)" din 2. Bilang isang resulta, nakukuha natin ang expression na sqrt (2) = 1.4142. Samakatuwid, para sa isang magaspang na pagtantya ng dayagonal ng isang parisukat, sapat na itong i-multiply ang tagiliran nito ng 1.4142.

Konklusyon

Ang paghahanap para sa isang radikal ay isang pamantayang operasyon ng aritmetika, nang walang kung saan kailangang-kailangan ang mga kalkulasyon ng pang-agham o disenyo. Siyempre, hindi namin kailangang matukoy ang mga ugat upang malutas ang pang-araw-araw na mga problema, ngunit ang aming online calculator ay tiyak na magagamit para sa mga mag-aaral o mag-aaral upang suriin ang mga takdang aralin sa algebra o matematika na pagtatasa.

Oras na upang maghiwalay mga pamamaraan ng pagkuha ng ugat... Ang mga ito ay batay sa mga katangian ng mga ugat, sa partikular, sa pagkakapantay-pantay, na may bisa para sa anumang di-negatibong numero b.

Sa ibaba ay titingnan namin ang mga pangunahing pamamaraan ng pagkuha ng ugat sa pagliko.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso - pagkuha ng mga ugat mula sa natural na mga numero gamit ang isang talahanayan ng mga parisukat, isang mesa ng mga cube, atbp.

Kung mga talahanayan ng mga parisukat, cubes, atbp. wala sa kamay, pagkatapos ay lohikal na gamitin ang pamamaraan ng pagkuha ng ugat, na nagpapahiwatig ng agnas ng radikal na bilang sa pangunahing mga kadahilanan.

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng pagtutuon sa kung ano ang posible para sa mga ugat na may mga kakaibang tagapagpahiwatig.

Sa wakas, tingnan natin ang isang paraan upang hanapin ang mga digit ng root na halaga ng sunud-sunod.

Magsimula na tayo.

Paggamit ng isang mesa ng mga parisukat, isang mesa ng kubo, atbp.

Sa pinakasimpleng mga kaso, maaari mong gamitin ang mga talahanayan ng mga parisukat, cubes, atbp upang makakuha ng mga ugat. Ano ang mga talahanayan na ito?

Ang talahanayan ng mga parisukat ng mga integer mula 0 hanggang 99 na kasama (ipinapakita sa ibaba) ay binubuo ng dalawang mga zone. Ang unang zone ng talahanayan ay matatagpuan sa isang kulay-abo na background, pinapayagan kang lumikha ng isang numero mula 0 hanggang 99 sa pamamagitan ng pagpili ng isang tukoy na hilera at isang tukoy na haligi. Halimbawa, piliin natin ang hilera 8 sampu at haligi ng 3, naayos namin ang bilang 83. Ang pangalawang zone ay tumatagal ng natitirang talahanayan. Ang bawat isa sa mga cell ay matatagpuan sa intersection ng isang tiyak na hilera at isang tiyak na haligi, at naglalaman ng parisukat ng kaukulang numero mula 0 hanggang 99. Sa intersection ng aming napiling hilera na 8 sampu at haligi 3 na mga yunit, mayroong isang cell na may bilang na 6 889, na kung saan ay ang parisukat ng bilang na 83.

Ang mga talahanayan ng mga cube, mga talahanayan ng ika-apat na kapangyarihan ng mga numero mula 0 hanggang 99, at iba pa ay katulad ng talahanayan ng mga parisukat, naglalaman lamang sila ng mga cube, ika-apat na kapangyarihan, atbp sa pangalawang zone. kaukulang numero.

Mga mesa ng mga parisukat, cubes, ika-apat na degree, atbp. payagan kang kumuha ng parisukat na mga ugat, ugat ng kubo, ika-apat na ugat, atbp. ayon sa pagkakabanggit mula sa mga numero sa mga talahanayan na ito. Ipaliwanag natin ang prinsipyo ng kanilang aplikasyon kapag kumukuha ng mga ugat.

Ipagpalagay na kailangan nating kunin ang n-th na ugat ng bilang a, habang ang numero a ay nakapaloob sa n-th na talahanayan ng kuryente. Mula sa talahanayan na ito nakita namin ang isang numero b tulad ng a = b n. Tapos , samakatuwid, ang bilang b ay ang kinakailangang nth root.

Bilang isang halimbawa, ipinapakita namin kung paano nakuha ang cube root na 19,683 gamit ang isang cube table. Natagpuan namin ang bilang 19 683 sa talahanayan ng mga cube, mula dito nalaman natin na ang numerong ito ay ang kubo ng bilang 27, samakatuwid, .

Ito ay malinaw na ang mga t-power table ay napaka-maginhawa para sa pagkuha ng mga ugat. Gayunpaman, madalas na wala sila, at ang kanilang pagtitipon ay nangangailangan ng isang tiyak na tagal ng oras. Bukod dito, madalas na kinakailangan upang makuha ang mga ugat mula sa mga numero na hindi nilalaman sa mga kaukulang talahanayan. Sa mga kasong ito, kailangan mong gumamit ng iba pang mga pamamaraan ng pagkuha ng ugat.

Punong factorization ng isang radikal na numero

Ang isang medyo maginhawang paraan upang kunin ang ugat mula sa isang natural na numero (kung, syempre, ang ugat ay nakuha), ay ang pagpapalawak ng radikal na numero sa pangunahing mga kadahilanan. Ang kanyang ang kakanyahan ay ang mga sumusunod: pagkatapos nito ay sapat na madali upang kumatawan sa anyo ng isang kapangyarihan na may nais na exponent, na nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang halaga ng ugat. Linawin natin ang puntong ito.

Hayaang makuha ang nth root mula sa isang natural na numero a, at ang halaga nito ay katumbas ng b. Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay a = b n ay totoo. Ang bilang b, bilang anumang natural na numero, ay maaaring kinatawan bilang produkto ng lahat ng mga pangunahing kadahilanan p 1, p 2, ..., pm sa form p 1 p 2 ... pm, at ang radikal na numero a dito ang kaso ay kinakatawan bilang (p 1 p 2 ·… · pm) n. Dahil ang agnas ng isang bilang sa pangunahing mga kadahilanan ay natatangi, ang agnas ng radikal na numero a sa pangunahing mga kadahilanan ay magkakaroon ng form (p 1 · p 2 ·… · pm) n, na ginagawang posible upang makalkula ang halaga ng ugat bilang

Tandaan na kung ang factorization ng isang radikal na numero a ay hindi maaaring kinatawan sa form (p 1 · p 2 ·… · p m) n, kung gayon ang n-th na ugat ng naturang bilang a ay hindi kumpletong nakuha.

Alamin natin ito kapag naglulutas ng mga halimbawa.

Halimbawa.

Kunin ang parisukat na ugat ng 144.

Solusyon

Kung babaling tayo sa talahanayan ng mga parisukat na ibinigay sa nakaraang talata, malinaw na nakikita na 144 = 12 2, kung saan malinaw na ang parisukat na ugat ng 144 ay 12.

Ngunit sa ilaw ng puntong ito, interesado kami sa kung paano ang ugat ay nakuha sa pamamagitan ng pagkabulok ng radikal na bilang 144 sa pangunahing mga kadahilanan. Pag-aralan natin ang solusyon na ito.

Palawakin na natin 144 sa pamamagitan ng pangunahing mga kadahilanan:

Iyon ay, 144 = 2 2 2 2 3 3. Batay sa nakuha na agnas, ang mga sumusunod na pagbabago ay maaaring isagawa: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... Samakatuwid, .

Gamit ang mga katangian ng degree at mga katangian ng mga ugat, ang form ay maaaring formulate sa isang bahagyang naiiba paraan:

Sagot:

Upang pagsamahin ang materyal, isaalang-alang ang mga solusyon sa dalawa pang mga halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng ugat.

Solusyon

Ang pangunahing pagpapalisod ng radikal na bilang 243 ay 243 = 3 5. Kaya, .

Sagot:

Halimbawa.

Ang halaga ba ng ugat ay isang integer?

Solusyon

Upang sagutin ang katanungang ito, mabulok natin ang radikal na numero sa pangunahing mga kadahilanan at tingnan kung maaari itong mailarawan bilang isang kubo ng isang integer.

Mayroon tayong 285 768 = 2 3 3 6 7 2. Ang nagresultang agnas ay hindi kinakatawan bilang isang kubo ng isang integer, dahil ang degree pangunahing kadahilanan Ang 7 ay hindi isang maramihang ng tatlo. Samakatuwid, ang cube root ng bilang 285 768 ay hindi kumpletong nakuha.

Sagot:

Hindi.

Ang pagkuha ng mga ugat mula sa mga praksyonal na numero

Panahon na upang malaman kung paano nakuha ang ugat numero ng praksyonal... Hayaang maisulat ang bilang na praksyonal na radikal bilang p / q. Ayon sa pag-aari ng ugat ng kabuuan, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahiwatig ugat ng praksiyon: ang ugat ng maliit na bahagi ay katumbas ng kabuuan ng paghahati ng ugat ng numerator sa pamamagitan ng ugat ng denominator.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkuha ng isang ugat mula sa isang maliit na bahagi.

Halimbawa.

Ano ang parisukat na ugat ng karaniwang praksiyon 25/169 .

Solusyon

Mula sa talahanayan ng mga parisukat, nalaman namin na ang square root ng numerator ng orihinal na maliit na bahagi ay 5, at ang square root ng denominator ay 13. Tapos ... Nakumpleto nito ang pagkuha ng ugat mula sa karaniwang maliit na bahagi ng 25/169.

Sagot:

Ang ugat ng isang decimal o halo-halong numero ay nakuha pagkatapos palitan ang mga radikal na numero ng mga ordinaryong praksiyon.

Halimbawa.

I-extract ang cube root ng decimal 474.552.

Solusyon

Isipin ang orihinal decimal bilang isang ordinaryong praksyon: 474.552 = 474552/1000. Tapos ... Ito ay nananatili upang makuha ang mga ugat ng cube na nasa numerator at denominator ng nagresultang maliit na bahagi. Kasi 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 at 1000 = 10 3, pagkatapos at ... Nananatili lamang ito upang makumpleto ang mga kalkulasyon .

Sagot:

.

Kinukuha ang ugat ng isang negatibong numero

Hiwalay, sulit na manatili sa pagkuha ng mga ugat mula sa mga negatibong numero. Kapag pinag-aaralan ang mga ugat, sinabi namin na kapag ang root exponent ay isang kakaibang numero, kung gayon ang isang negatibong numero ay maaaring nasa ilalim ng root sign. Ibinigay namin ang mga nasabing mga entry sa sumusunod na kahulugan: para sa isang negatibong numero −a at isang kakaibang exponent ng root 2n - 1, mayroon kaming ... Nagbibigay ang pagkakapantay-pantay na ito panuntunan para sa pagkuha ng mga kakaibang ugat mula sa mga negatibong numero: upang makuha ang ugat ng isang negatibong numero, kailangan mong kunin ang ugat ng kabaligtaran positibong numero, at maglagay ng isang minus sign sa harap ng resulta.

Isaalang-alang natin ang solusyon ng isang halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng ugat.

Solusyon

Binabago namin ang orihinal na expression upang sa ilalim ng root sign lumitaw ito positibong numero: ... Ngayon halo-halong numero palitan ng isang ordinaryong praksyon: ... Nalalapat namin ang panuntunan sa pagkuha ng isang ugat mula sa isang ordinaryong maliit na bahagi: ... Nananatili ito upang makalkula ang mga ugat sa numerator at denominator ng nagresultang maliit na bahagi: .

Narito ang isang maikling tala ng solusyon: .

Sagot:

.

Paghanap ng pangunahing halaga ng ugat

V pangkalahatang kaso sa ilalim ng ugat ay isang numero na hindi maaaring kumatawan bilang ika-n lakas ng anumang bilang gamit ang mga diskarteng tinalakay sa itaas. Ngunit sa kasong ito, kinakailangan upang malaman ang halaga ng isang naibigay na ugat, hindi bababa sa isang kawastuhan hanggang sa isang tiyak na pag-sign. Sa kasong ito, upang makuha ang ugat, maaari kang gumamit ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa iyong sunud-sunod na makakuha tama na ang mga halaga ng mga digit ng kinakailangang numero.

Sa unang hakbang ng algorithm na ito, kailangan mong malaman kung ano ang pinakamahalagang piraso ng root root. Para sa mga ito, ang mga bilang na 0, 10, 100, ... ay sunud-sunod na itinaas sa lakas n hanggang sa sandaling natanggap ang isang bilang na lumagpas sa radikal na numero. Pagkatapos ang numero na tinaasan namin sa lakas n sa nakaraang hakbang ay magpapahiwatig ng kaukulang pinaka makabuluhang bit.

Halimbawa, isaalang-alang ang hakbang na ito ng algorithm kapag kumukuha square root sa lima. Kinukuha namin ang mga numero na 0, 10, 100, ... at parisukat ang mga ito hanggang sa makuha namin ang isang bilang na mas malaki sa 5. Mayroon kaming 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, na nangangahulugang ang pinakamahalagang digit ay ang mga digit. Ang halaga ng bit na ito, pati na rin ang mga mas mababa, ay matatagpuan sa mga susunod na hakbang ng root extraction algorithm.

Ang lahat ng mga susunod na hakbang ng algorithm ay naglalayong magkakasunod na pagpipino ng root halaga dahil sa ang katunayan na ang mga halaga ng mga susunod na digit ng nais na root root ay matatagpuan, nagsisimula sa pinaka makabuluhan at lumilipat patungo sa hindi gaanong makabuluhang mga. Halimbawa, ang root root sa unang hakbang ay 2, sa pangalawa - 2.2, sa pangatlo - 2.23, at iba pa sa 2.236067977…. Ilarawan natin kung paano nangyayari ang paghahanap ng mga halaga ng mga digit.

Ang paghahanap ng mga digit ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-enumer ng kanilang mga posibleng halaga 0, 1, 2, ..., 9. Sa kasong ito, ang mga n-th na kapangyarihan ng mga kaukulang numero ay kinakalkula nang parallel, at inihambing sila sa radikal na numero. Kung sa ilang yugto ang halaga ng degree ay lumampas sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng digit na naaayon sa nakaraang halaga ay isinasaalang-alang na natagpuan, at ang paglipat sa susunod na hakbang ng algorithm para sa pagkuha ng ugat ay ginawa, kung hindi ito mangyari, pagkatapos ang halaga ng digit na ito ay 9.

Ipaliwanag natin ang mga puntong ito sa parehong halimbawa ng pagkuha ng parisukat na ugat ng lima.

Una, nakita namin ang halaga ng mga nasa digit. Susulitin namin ang mga halagang 0, 1, 2,…, 9, kinakalkula ang 0 2, 1 2,…, 9 2, ayon sa pagkakabanggit, hanggang sa makakuha kami ng halagang mas malaki sa root number 5. Ang lahat ng mga kalkulasyon na ito ay maginhawang ipinakita sa anyo ng isang talahanayan:

Kaya ang halaga ng mga digit ay 2 (mula noong 2 2<5 , а 2 3 >5). Bumabaling kami sa paghahanap ng halaga ng ikasampung digit. Sa kasong ito, itatama namin ang mga bilang na 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, na inihambing ang mga nakuha na halaga sa radikal na bilang 5:

Mula noong 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, pagkatapos ang halaga ng decimal na lugar ay 2. Maaari kang pumunta sa paghahanap ng halaga ng pang-isandaang digit:

Kaya natagpuan susunod na halaga ugat ng lima, katumbas ito ng 2.23. At sa gayon maaari mong ipagpatuloy na makahanap ng mga halaga sa karagdagang: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Upang pagsamahin ang materyal, susuriin namin ang pagkuha ng ugat na may katumpakan na mga sandaang bahagi gamit ang isinasaalang-alang na algorithm.

Una, natutukoy namin ang pinakamahalagang piraso. Upang magawa ito, i-cube namin ang mga bilang na 0, 10, 100, atbp. hanggang sa makuha natin ang isang bilang na mas malaki sa 2,151,186. Mayroon kaming 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, sa gayon ang pinakamahalagang digit ay ang sampung digit.

Tukuyin natin ang kahulugan nito.

Mula noong 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, pagkatapos ang halaga ng sampung digit ay 1. Lumipat tayo sa mga yunit.

Kaya, ang halaga ng mga lugar ay 2. Ang paglipat sa ikasampu.

Dahil kahit 12.9 3 ay mas mababa kaysa sa radikal na bilang 2 151.186, ang halaga ng ikasampung lugar ay 9. Ito ay mananatiling upang maisagawa ang huling hakbang ng algorithm, bibigyan kami ng halaga ng ugat na may kinakailangang kawastuhan.

Sa yugtong ito, ang halaga ng ugat ay natagpuan na may katumpakan na mga sento: .

Bilang pagtatapos ng artikulong ito, nais kong sabihin na maraming iba pang mga paraan upang kumuha ng mga ugat. Ngunit para sa karamihan ng mga gawain, ang mga pinag-aralan natin sa itaas ay sapat.

Bibliograpiya.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa baitang 8 institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa. Algebra at ang simula ng pagtatasa: Teksbuk para sa 10 - 11 mga marka ng mga institusyong pang-edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (isang gabay para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Ang calculator ng engineering sa online

Nagmamadali kaming ipakita sa lahat ang isang libreng calculator sa engineering. Sa tulong nito, ang sinumang mag-aaral ay maaaring mabilis at, pinakamahalaga, madaling gumanap ng iba't ibang mga uri ng mga kalkulasyon ng matematika sa online.

Ang isang simple at madaling gamiting engineering calculator na may isang hindi nakakaabala at naiintindihan na interface ay tunay na magiging kapaki-pakinabang sa pinakamalawak na bilog ng mga gumagamit ng Internet. Ngayon, kapag kailangan mo ng isang calculator, bisitahin ang aming website at gumamit ng isang libreng calculator sa engineering.

Ang isang calculator sa engineering ay may kakayahang magsagawa ng parehong simpleng pagpapatakbo ng arithmetic at sa halip kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika.

Ang Web20calc ay isang calculator sa engineering na mayroong maraming bilang ng mga pagpapaandar, halimbawa, kung paano makalkula ang lahat ng mga pagpapaandar sa elementarya. Sinusuportahan din ng calculator ang mga trigonometric function, matrice, logarithms at kahit graphing.

Walang alinlangan, ang Web20calc ay magiging interes sa pangkat ng mga tao na, sa paghahanap ng mga simpleng solusyon, nagta-type ng isang query sa mga search engine: isang online na calculator sa matematika. Ang isang libreng web application ay makakatulong sa iyo na agad na kalkulahin ang resulta ng ilang pagpapahayag ng matematika, halimbawa, ibawas, idagdag, hatiin, kunin ang isang ugat, itaas sa isang kapangyarihan, atbp.

Sa expression, maaari mong gamitin ang mga pagpapatakbo ng exponentiation, karagdagan, pagbabawas, pagpaparami, dibisyon, porsyento, pare-pareho ng PI. Para sa mga kumplikadong kalkulasyon, gumamit ng panaklong.

Mga tampok sa calculator ng engineering:

1. pangunahing pagpapatakbo ng aritmetika;
2. magtrabaho kasama ang mga numero sa isang karaniwang form;
3. pagkalkula ng mga ugat ng trigonometric, pag-andar, logarithms, exponentiation;
4. mga kalkulasyon ng istatistika: karagdagan, ibig sabihin ng arithmetic o karaniwang paglihis;
5. application ng isang memory cell at tinukoy ng gumagamit na mga pag-andar ng 2 variable;
6. magtrabaho kasama ang mga anggulo sa mga panukala sa radian at degree.

Pinapayagan ka ng calculator ng engineering na gumamit ng iba't ibang mga pag-andar sa matematika:

Pagkuha ng mga ugat (square root, cubic, at n-th root);
ex (e sa x kapangyarihan), tagapagtaguyod;
mga function na trigonometric: sine - kasalanan, cosine - cos, tangent - tan;
kabaligtaran na mga pagpapaandar ng trigonometric: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
mga pagpapaandar na hyperbolic: sine - sinh, cosine - cosh, tangent - tanh;
logarithms: base ng binary logarithm - log2x, decimal logarithm base ten - log, natural logarithm - ln.

Ang calculator ng engineering na ito ay nagsasama rin ng isang calculator ng dami na may kakayahang i-convert ang mga pisikal na dami para sa iba't ibang mga sistema ng pagsukat - mga yunit ng computer, distansya, timbang, oras, atbp. Sa pagpapaandar na ito, maaari mong agad na mai-convert ang mga milya sa mga kilometro, pounds sa kilo, segundo sa oras, atbp.

Upang makalkula ang matematika, ipasok muna ang isang pagkakasunud-sunod ng mga expression sa matematika sa naaangkop na patlang, pagkatapos ay mag-click sa pantay na pag-sign at makita ang resulta. Maaari kang magpasok ng mga halaga nang direkta mula sa keyboard (para dito, ang lugar ng calculator ay dapat na aktibo, samakatuwid, hindi ito magiging labis na ilagay ang cursor sa input field). Kabilang sa iba pang mga bagay, maaaring ipasok ang data gamit ang mga pindutan sa calculator mismo.

Upang makabuo ng mga tsart, isulat ang pagpapaandar sa patlang ng pag-input tulad ng ipinahiwatig sa patlang na may mga halimbawa o gamitin ang espesyal na idinisenyong toolbar (upang puntahan ito, mag-click sa pindutan na may icon sa anyo ng isang tsart). Upang mai-convert ang mga halaga pindutin ang Unit, upang gumana sa mga matrices - Matrix.

Bago ang pag-usbong ng mga calculator, ang mga mag-aaral at guro ay nakalkula ang mga square root sa pamamagitan ng kamay. Mayroong maraming mga paraan upang manu-manong kalkulahin ang square root ng isang numero. Ang ilan sa kanila ay nag-aalok lamang ng isang tinatayang solusyon, ang iba ay nagbibigay ng isang eksaktong sagot.

Mga hakbang

Punong factorization

Isaalang-alang ang radikal na bilang na parisukat. Nakasalalay sa root number, makakakuha ka ng isang tinatayang o eksaktong sagot. Ang mga parisukat na numero ay mga numero kung saan maaaring makuha ang isang buong square square. Ang mga kadahilanan ay mga numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng orihinal na numero. Halimbawa, ang mga kadahilanan ng 8 ay 2 at 4, yamang ang 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 ay mga parisukat na numero, dahil √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Ang mga parisukat na kadahilanan ay mga kadahilanan na parisukat na numero. Una, subukang i-square ang root number.

• Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 400 (sa pamamagitan ng kamay). Subukang i-square 400 muna. Ang 400 ay isang maramihang 100, iyon ay, nahahati ng 25 - ito ay isang parisukat na numero. Kung hinati mo ang 400 sa 25, makakakuha ka ng 16. 16 ay isang parisukat na numero din. Sa gayon, 400 ay maaaring maituring sa parisukat na mga kadahilanan ng 25 at 16, iyon ay, 25 x 16 = 400.
• Maaari itong maisulat tulad ng sumusunod: √400 = √ (25 x 16).

1. Ang square root ng produkto ng ilang mga term ay katumbas ng produkto ng square square ng bawat term, iyon ay, √ (a x b) = √a x √b. Gamitin ang panuntunang ito at kunin ang parisukat na ugat ng bawat square factor at i-multiply ang mga resulta upang mahanap ang iyong sagot.

   • Sa aming halimbawa, kunin ang ugat ng 25 at ng 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Kung ang radikal na numero ay hindi mabulok sa dalawang parisukat na kadahilanan (at nangyayari ito sa karamihan ng mga kaso), hindi mo mahahanap ang eksaktong sagot sa anyo ng isang integer. Ngunit maaari mong gawing simple ang problema sa pamamagitan ng pagkabulok ng root-radical number sa isang parisukat na kadahilanan at isang ordinaryong kadahilanan (isang numero kung saan ang buong parisukat na ugat ay hindi maaaring makuha). Pagkatapos ay kukunin mo ang parisukat na ugat ng parisukat na kadahilanan at kukuha ka ng ugat ng ordinaryong kadahilanan.

   • Halimbawa, kalkulahin ang parisukat na ugat ng bilang 147. Ang bilang na 147 ay hindi maaaring maituring sa dalawang parisukat na kadahilanan, ngunit maaari itong maiakto sa mga sumusunod na kadahilanan: 49 at 3. Malutas ang problema tulad ng sumusunod:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Kung kinakailangan, suriin ang halaga ng ugat. Ngayon maaari mong tantyahin ang halaga ng ugat (maghanap ng isang tinatayang halaga) sa pamamagitan ng paghahambing nito sa mga halaga ng mga ugat ng mga parisukat na numero na pinakamalapit (sa magkabilang panig sa linya ng numero) sa root number. Makukuha mo ang halaga ng ugat bilang isang decimal maliit na bahagi, na dapat na i-multiply ng numero sa likod ng root sign.

   • Balikan natin ang ating halimbawa. Ang radikal na bilang 3. Ang pinakamalapit na mga parisukat na numero dito ay ang mga bilang 1 (√1 = 1) at 4 (√4 = 2). Kaya ang √3 ay nasa pagitan ng 1 at 2. Dahil ang √3 ay marahil ay malapit sa 2 kaysa sa 1, ang aming tinatantiyang √3 = 1.7. Pinarami namin ang halagang ito sa pamamagitan ng numero sa root sign: 7 x 1.7 = 11.9. Kung gagawin mo ang mga kalkulasyon sa isang calculator, makakakuha ka ng 12.13, na malapit sa aming sagot.
     • Gumagawa din ang pamamaraang ito ng maraming mga numero. Halimbawa, isaalang-alang ang √35. Ang root number ay 35. Ang pinakamalapit na mga parisukat na numero dito ay ang mga bilang 25 (√25 = 5) at 36 (√36 = 6). Kaya ang √35 ay nasa pagitan ng 5 at 6. Dahil ang √35 ay mas malapit sa 6 kaysa sa 5 (sapagkat ang 35 ay 1 lamang mas mababa sa 36), masasabi nating ang √35 ay medyo mas mababa sa 6. Ang pagsuri sa isang calculator ay nagbibigay sa atin ng isang sagot ng 5.92 - tama kami.

4. Ang isa pang paraan ay upang isaalang-alang ang radikal na bilang sa pangunahing mga kadahilanan. Ang mga pangunahing kadahilanan ay ang mga numero na mahahati lamang sa 1 at sa kanilang sarili. Isulat ang pangunahing mga kadahilanan sa isang hilera at hanapin ang mga pares ng parehong mga kadahilanan. Ang mga nasabing kadahilanan ay maaaring makuha sa labas ng root sign.

   • Halimbawa, kalkulahin ang parisukat na ugat ng 45. Nabulok namin ang radikal na numero sa pangunahing mga kadahilanan: 45 = 9 x 5, at 9 = 3 x 3. Sa gayon, √45 = √ (3 x 3 x 5). Maaaring makuha ang 3 sa labas ng root sign: √45 = 3√5. Ngayon maaari mong tantyahin ang √5.
   • Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Nakakuha ka ng tatlong multiplier ng 2; kumuha ng isang pares sa kanila at ilagay ang mga ito sa labas ng root sign.
     • = 2√ (2 x 11) = 2√2 x √11. Ngayon ay maaari mong suriin ang √2 at √11 at makahanap ng isang magaspang na sagot.

   Kinakalkula nang manu-mano ang parisukat na ugat

   Mahabang dibisyon

   1. Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng isang proseso na katulad ng mahabang paghati at nagbibigay ng eksaktong sagot. Una, gumuhit ng isang patayong linya na hinahati ang sheet sa dalawang halves, at pagkatapos ay sa kanan at bahagyang sa ibaba ng tuktok na gilid ng sheet, gumuhit ng isang pahalang na linya sa patayong linya. Ngayon hatiin ang radicalized na numero sa mga pares ng mga numero, nagsisimula sa praksyonal na bahagi pagkatapos ng decimal point. Kaya, ang bilang na 79520789182.47897 ay nakasulat bilang "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Halimbawa, kalkulahin natin ang square root ng 780.14. Gumuhit ng dalawang linya (tulad ng ipinakita sa larawan) at sa kaliwang tuktok isulat ang ibinigay na bilang na "7 80, 14". Normal na ang unang digit mula sa kaliwa ay isang hindi pares na digit. Ang sagot (ang ugat ng ibinigay na numero) ay isusulat sa kanang itaas.

   2. Para sa unang pares ng mga numero (o isang numero) sa kaliwa, hanapin ang pinakamalaking integer n na ang parisukat ay mas mababa sa o katumbas ng pares ng mga numero (o isang numero) na pinag-uusapan. Sa madaling salita, hanapin ang parisukat na numero na pinakamalapit sa ngunit mas mababa sa unang pares ng mga numero (o isang numero) sa kaliwa, at kunin ang parisukat na ugat ng parisukat na numero; makuha mo ang numero n. Isulat ang n n n sa kanang itaas, at isulat ang parisukat n sa kanang ibabang bahagi.

      • Sa aming kaso, ang unang numero sa kaliwa ay ang bilang 7. Susunod, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Ibawas ang parisukat ng numero n na nahanap mo lamang mula sa unang pares ng mga numero sa kaliwa (o isang numero). Isulat ang resulta ng pagkalkula sa ilalim ng nabawas (ang parisukat ng bilang n).

      • Sa aming halimbawa, ibawas ang 4 mula 7 upang makakuha ng 3.

   4. Hilahin ang pangalawang pares ng mga numero at isulat ito malapit sa halagang nakuha sa nakaraang hakbang. Pagkatapos ay i-doble ang numero mula sa kanang tuktok at isulat ang resulta pababa sa kanang ibaba kasama ang pagdaragdag na "_ × _ =".

      • Sa aming halimbawa, ang pangalawang pares ng mga numero ay "80". Isulat ang "80" pagkatapos ng 3. Pagkatapos, i-doble ang numero sa kanang itaas ay nagbibigay ng 4. Isulat ang "4_ × _ =" sa kanang ibaba.

   5. Punan ang mga gitling sa kanan.

      • Sa aming kaso, kung sa halip na dash ay inilalagay namin ang numero 8, pagkatapos ay 48 x 8 = 384, na higit sa 380. Samakatuwid, ang 8 ay masyadong malaki sa isang numero, ngunit 7 ang gagawin. Sumulat ng 7 sa halip na mga gitling at makuha ang: 47 x 7 = 329. Sumulat ng 7 mula sa kanang itaas - ito ang pangalawang digit sa kinakailangang square root ng 780.14.

   6. Ibawas ang nagresultang numero mula sa kasalukuyang numero sa kaliwa. Itala ang resulta mula sa nakaraang hakbang sa ilalim ng kasalukuyang numero sa kaliwa, hanapin ang pagkakaiba at isulat ito sa ilalim ng binawas na isa.

      • Sa aming halimbawa, ibawas ang 329 mula sa 380, na kung saan ay 51.

   7. Ulitin ang hakbang 4. Kung ang nawasak na pares ng mga numero ay ang praksyonal na bahagi ng orihinal na numero, pagkatapos ay ilagay ang separator (kuwit) ng mga integer at praksyonal na bahagi sa nais na parisukat na ugat mula sa kanang tuktok. Sa kaliwa, i-drag pababa ang susunod na pares ng mga numero. Doblehin ang numero sa kanang tuktok at isulat ang iyong resulta sa kanang bahagi sa ibaba na may idinagdag na "_ × _ =".

      • Sa aming halimbawa, ang susunod na pares ng mga numero na nawasak ay ang praksyonal na bahagi ng bilang 780.14, kaya't ilagay ang separator ng mga integer at praksyonal na bahagi sa nais na square root sa kanang tuktok. Ibaba ang 14 at isulat sa kaliwang ibabang bahagi. Ang doble na numero sa kanang tuktok (27) ay 54, kaya isulat ang "54_ × _ =" sa kanang bahagi sa ibaba.

   8. Ulitin ang mga hakbang 5 at 6. Hanapin ang pinakamaraming bilang sa lugar ng mga gitling sa kanan (sa halip na mga gitling, kailangan mong palitan ang parehong numero) upang ang resulta ng pagpaparami ay mas mababa sa o katumbas ng kasalukuyang numero sa kaliwa.

      • Sa aming halimbawa, 549 x 9 = 4941, na mas mababa sa kasalukuyang numero sa kaliwa (5114). Isulat ang 9 sa kanang tuktok at ibawas ang pagpaparami mula sa kasalukuyang numero sa kaliwa: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kung kailangan mong makahanap ng higit pang mga desimal na lugar para sa square root, sumulat ng isang pares ng mga zero sa kasalukuyang numero sa kaliwa at ulitin ang mga hakbang 4, 5 at 6. Ulitin ang mga hakbang hanggang makuha mo ang katumpakan na nais mo (ang bilang ng mga desimal na lugar ).

   Pag-unawa sa proseso

   Upang makabisado ang pamamaraang ito, isipin ang bilang na ang square root ay matatagpuan bilang lugar ng isang parisukat S. Sa kasong ito, hahanapin mo ang haba ng gilid ng L ng isang parisukat. Kinakalkula namin ang halaga ng L kung aling L² = S.

   Magbigay ng isang liham para sa bawat digit sa sagot. Tukuyin natin ng A ang unang digit sa halaga ng L (ang kinakailangang square root). Ang B ay magiging pangalawang digit, C ang pangatlo, at iba pa.

   Tukuyin ang isang liham para sa bawat pares ng mga unang digit. Tukuyin natin sa pamamagitan ng S a ang unang pares ng mga digit sa halagang S, ni S b - ang pangalawang pares ng mga digit, at iba pa.

   Maunawaan ang ugnayan sa pagitan ng pamamaraang ito at mahabang paghati. Tulad ng pagpapatakbo ng dibisyon, kung saan sa bawat oras na interesado kami sa isang susunod na digit lamang ng bilang na hahatiin, kapag kinakalkula ang square root, gumana kami nang sunud-sunod sa isang pares ng mga digit (upang makakuha ng isang susunod na digit sa halaga ng square root).

   1. Isaalang-alang ang unang pares ng mga digit na Sa ng bilang S (Sa = 7 sa aming halimbawa) at hanapin ang parisukat na ugat nito. Sa kasong ito, ang unang digit A ng ninanais na square root na halaga ay magiging isang digit na ang parisukat ay mas mababa sa o katumbas ng S a (iyon ay, naghahanap kami para sa isang A tulad ng hindi pagkakapantay-pantay A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Sabihin nating nais mong hatiin ang 88962 ng 7; narito ang unang hakbang ay magkatulad: isinasaalang-alang namin ang unang digit ng dividend number 88962 (8) at piliin ang pinakamalaking numero na, kapag pinarami ng 7, ay nagbibigay ng isang halaga na mas mababa sa o katumbas ng 8. Iyon ay, hinahanap namin isang bilang d kung saan totoo ang hindi pagkakapantay-pantay: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Mag-isip ng isang parisukat na ang lugar ay kailangan mong kalkulahin. Naghahanap ka ng L, ibig sabihin, ang haba ng gilid ng isang parisukat na ang lugar ay S. A, B, C ay mga digit sa bilang na L. Maaari mo itong isulat nang iba: 10A + B = L (para sa isang dalawa- numero ng digit) o ​​100A + 10B + C = L (para sa tatlong-digit na numero) at iba pa.

      • Hayaan (10A + B) ² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B²... Tandaan na ang 10A + B ay isang numero kung saan ang B ay nangangahulugang isa at ang A ay nangangahulugang sampu. Halimbawa, kung ang A = 1 at B = 2, kung gayon ang 10A + B ay katumbas ng 12. (10A + B) ² ay ang lugar ng buong parisukat, 100A²- ang lugar ng malaking panloob na parisukat, B²- ang lugar ng maliit na panloob na parisukat, 10A × B ay ang lugar ng bawat isa sa dalawang mga parihaba. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng inilarawan na mga hugis, mahahanap mo ang lugar ng orihinal na parisukat.

Panuto

Upang itaas ang isang numero sa 1/3 lakas, ipasok ang numerong iyon, pagkatapos ay mag-click sa pindutan ng exponentiation at i-type ang tinatayang halaga ng 1/3 - 0.333. Ang katumpakan na ito ay sapat na para sa karamihan ng mga kalkulasyon. Gayunpaman, ang kawastuhan ng mga kalkulasyon ay napakadaling mapabuti - magdagdag lamang ng maraming mga triple dahil magkakasya ito sa tagapagpahiwatig ng calculator (halimbawa, 0.333333333333333333). Pagkatapos ay pindutin ang pindutang "=".

Upang makalkula ang ugat ng pangatlong lakas gamit ang iyong computer, simulan ang programa ng calculator ng Windows. Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng ugat ng pangatlong degree ay ganap na katulad ng nailarawan sa itaas. Ang pagkakaiba lamang ay sa disenyo ng pindutang exponentiation. Ito ay may label na "x ^ y" sa virtual keyboard ng calculator.

Ang ugat ng pangatlong degree ay maaari ring kalkulahin sa MS Excel. Upang magawa ito, ipasok ang "=" sa anumang cell at piliin ang icon na "insert" (fx). Piliin ang pagpapaandar na "DEGREE" sa window na lilitaw at pindutin ang pindutang "OK". Sa lalabas na window, ipasok ang halaga ng numero kung saan mo nais kalkulahin ang ugat ng pangatlong lakas. Sa "Degree" ipasok ang bilang na "1/3". I-dial ang numero na 1/3 sa form na ito - tulad ng dati. Pagkatapos nito, i-click ang pindutang "OK". Ang cube root ng ibinigay na numero ay lilitaw sa cell ng talahanayan kung saan ito nilikha.

Kung ang ugat ng pangatlong lakas ay dapat na kinakalkula nang tuluy-tuloy, pagkatapos ay bahagyang mapabuti ang pamamaraang inilarawan sa itaas. Tulad ng bilang mula sa kung saan mo nais kunin ang ugat, tukuyin hindi ang numero mismo, ngunit ang cell ng talahanayan. Pagkatapos nito, sa bawat oras lamang na ipasok ang orihinal na numero sa cell na ito - ang cube root nito ay lilitaw sa cell na may formula.

Mga Kaugnay na Video

tandaan

Konklusyon. Sa papel na ito, isinasaalang-alang ang iba't ibang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga halaga ng cube root. Ito ay naka-out na ang mga halaga ng cube root ay maaaring matagpuan gamit ang paraan ng pag-ulit, maaari mo ring tantyahin ang cube root, itaas ang isang numero sa lakas ng 1/3, hanapin ang mga halaga ng root ng pangatlong kapangyarihan gamit ang Microsoft Office Ecxel, na tumutukoy sa mga formula sa mga cell.

Nakatutulong na payo

Ang mga ugat ng pangalawa at pangatlong degree ay ginagamit lalo na madalas at samakatuwid ay may mga espesyal na pangalan. Kuwadradong ugat: Sa kasong ito, ang exponent ay karaniwang tinatanggal, at ang salitang "ugat" nang hindi tinukoy ang exponent na madalas na nagpapahiwatig ng square root. Praktikal na pagkalkula ng mga ugat Algorithm para sa paghahanap ng ugat ng ika-n degree. Ang mga ugat ng square at cubic ay karaniwang matatagpuan sa lahat ng mga calculator.

Pinagmulan:

• pangatlong ugat
• Paano kumuha ng square root sa N power sa Excel

Ang pagpapatakbo ng paghahanap ng ugat pangatlo degree karaniwang tinatawag na pagkuha ng root na "cube", ngunit binubuo ito sa paghahanap ng isang tunay na numero, ang kubo na kung saan ay magbibigay ng isang halaga na katumbas ng root number. Ang pagpapatakbo ng pagkuha ng ugat ng arithmetic ng anumang degree n ay katumbas ng exponentiation 1 / n. Mayroong maraming mga paraan upang makalkula ang cube root sa pagsasanay.