ako. Ang mga ekspresyon kung saan maaaring gamitin ang mga numero, palatandaan ng mga operasyong aritmetika at mga bracket kasama ng mga titik ay tinatawag na mga algebraic na expression.

Mga halimbawa ng algebraic expression:

2m-n; 3 · (2a+b); 0.24x; 0.3a-b · (4a + 2b); isang 2 - 2ab;

Dahil ang isang titik sa isang algebraic na expression ay maaaring mapalitan ng ilang iba't ibang mga numero, ang titik ay tinatawag na isang variable, at ang algebraic expression mismo ay tinatawag na isang expression na may isang variable.

II. Kung sa isang algebraic expression ang mga titik (mga variable) ay pinalitan ng kanilang mga halaga at ang mga tinukoy na aksyon ay ginanap, kung gayon ang resultang numero ay tinatawag na halaga ng algebraic expression.

Mga halimbawa. Hanapin ang halaga ng isang expression:

1) a + 2b -c para sa a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y=-5; z = 6.

Solusyon.

1) a + 2b -c para sa a = -2; b = 10; c = -3.5. Sa halip na mga variable, pinapalitan namin ang kanilang mga halaga. Nakukuha namin:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y=-5; z = 6. Pinapalitan namin ang mga tinukoy na halaga. Tandaan na ang modyul negatibong numero ay katumbas ng kabaligtaran na bilang nito, at ang modulus positibong numero katumbas ng bilang na iyon. Nakukuha namin:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Ang mga halaga ng isang titik (variable) kung saan ang algebraic expression ay may katuturan ay tinatawag na mga wastong halaga ng titik (variable).

Mga halimbawa. Sa anong mga halaga ng variable ang expression ay hindi makatwiran?

Solusyon. Alam namin na imposibleng hatiin sa zero, samakatuwid, ang bawat isa sa mga expression na ito ay hindi magkakaroon ng kahulugan sa halaga ng titik (variable) na nagiging zero ang denominator ng fraction!

Sa halimbawa 1), ito ang value na a = 0. Sa katunayan, kung sa halip na a ay papalitan natin ang 0, ang numero 6 ay kailangang hatiin ng 0, ngunit hindi ito magagawa. Sagot: expression 1) ay hindi makatwiran kapag a = 0.

Sa halimbawa 2) ang denominator x - 4 = 0 sa x = 4, samakatuwid, ang halagang ito x = 4 at hindi maaaring kunin. Sagot: expression 2) ay walang kahulugan para sa x = 4.

Sa halimbawa 3) ang denominator ay x + 2 = 0 para sa x = -2. Sagot: expression 3) ay walang kahulugan sa x = -2.

Sa halimbawa 4) ang denominator ay 5 -|x| = 0 para sa |x| = 5. At dahil |5| = 5 at |-5| \u003d 5, pagkatapos ay hindi ka maaaring kumuha ng x \u003d 5 at x \u003d -5. Sagot: expression 4) ay walang kahulugan para sa x = -5 at para sa x = 5.
IV. Ang dalawang expression ay sinasabing magkapareho kung, para sa anumang tinatanggap na mga halaga ng mga variable, ang mga katumbas na halaga ng mga expression na ito ay pantay.

Halimbawa: 5 (a - b) at 5a - 5b ay magkapareho, dahil ang pagkakapantay-pantay 5 (a - b) = 5a - 5b ay magiging totoo para sa anumang mga halaga ng a at b. Ang pagkakapantay-pantay 5 (a - b) = 5a - 5b ay isang pagkakakilanlan.

Pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na wasto para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng mga variable na kasama dito. Ang mga halimbawa ng pagkakakilanlan na alam mo na ay, halimbawa, ang mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami, ang katangian ng pamamahagi.

Ang pagpapalit ng isang ekspresyon ng isa pa, na kapareho nito, ay tinatawag na magkaparehong pagbabago o simpleng pagbabago ng isang ekspresyon. Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Mga halimbawa.

a) i-convert ang expression sa magkaparehong pantay gamit ang distributive property ng multiplication:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Solusyon. Alalahanin ang distributive property (batas) ng multiplikasyon:

(a+b) c=a c+b c(distributive law of multiplication na may kinalaman sa karagdagan: upang i-multiply ang kabuuan ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang bawat termino sa numerong ito at idagdag ang mga resulta).
(a-b) c=a c-b c(distributive law of multiplication na may kinalaman sa pagbabawas: upang i-multiply ang pagkakaiba ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang bilang na ito na binawasan at ibawas nang hiwalay at ibawas ang pangalawa sa unang resulta).

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1.5 (a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) ibahin ang anyo ng expression sa magkaparehong pantay gamit ang commutative at associative na katangian (mga batas) ng karagdagan:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Solusyon. Inilalapat namin ang mga batas (mga katangian) ng karagdagan:

a+b=b+a(displacement: hindi nagbabago ang kabuuan mula sa muling pagsasaayos ng mga termino).
(a+b)+c=a+(b+c)(nag-uugnay: upang magdagdag ng pangatlong numero sa kabuuan ng dalawang termino, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlo sa unang numero).

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

sa) ibahin ang anyo ng expression sa magkaparehong pantay gamit ang commutative at associative properties (mga batas) ng multiplication:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2y · (-isa); 9) 3a · (-3) · 2s.

Solusyon. Ilapat natin ang mga batas (properties) ng multiplikasyon:

a b=b a(displacement: hindi binabago ng permutation of factors ang produkto).
(a b) c=a (b c)(combinative: upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlo).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2y · (-1) = 7y.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Kung ang isang algebraic expression ay ibinigay bilang isang reducible fraction, pagkatapos ay gamit ang fraction reduction rule, maaari itong gawing simple, i.e. palitan ang magkaparehong katumbas nito ng isang mas simpleng expression.

Mga halimbawa. Pasimplehin sa pamamagitan ng paggamit ng fraction reduction.

Solusyon. Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator nito sa parehong numero (expression) maliban sa zero. Fraction 10) ay mababawasan ng 3b; fraction 11) bawasan ng a at fraction 12) bawasan ng 7n. Nakukuha namin:

Ginagamit ang mga algebraic expression upang bumalangkas ng mga formula.

Ang formula ay isang algebraic na expression na isinulat bilang isang pagkakapantay-pantay na nagpapahayag ng relasyon sa pagitan ng dalawa o higit pang mga variable. Halimbawa: ang formula ng landas na alam mo s=v t(s ay ang distansya na nilakbay, v ang bilis, t ang oras). Tandaan kung ano ang iba pang mga formula na alam mo.

Pahina 1 ng 1 1

Ang pagpapahayag ay ang pinakamalawak na termino sa matematika. Sa esensya, sa agham na ito ang lahat ay binubuo ng mga ito, at ang lahat ng mga operasyon ay isinasagawa din sa kanila. Ang isa pang tanong ay na, depende sa tiyak na uri, ganap iba't ibang pamamaraan at mga trick. Kaya, ang pagtatrabaho sa trigonometrya, mga fraction o logarithms ay tatlo iba't ibang aksyon. Ang isang expression na walang kahulugan ay maaaring isa sa dalawang uri: numeric o algebraic. Ngunit kung ano ang ibig sabihin ng konseptong ito, kung ano ang hitsura ng halimbawa nito, at iba pang mga punto ay tatalakayin pa.

Mga numeric na expression

Kung ang isang expression ay binubuo ng mga numero, bracket, plus at minus, at iba pang mga palatandaan ng mga operasyon ng aritmetika, maaari itong ligtas na tawaging numeric. Alin ang medyo lohikal: kailangan mo lamang tingnan ang unang pinangalanang bahagi nito.

Ang anumang bagay ay maaaring isang numerical expression: ang pangunahing bagay ay hindi ito naglalaman ng mga titik. At sa pamamagitan ng "anuman" sa kasong ito, ang lahat ay nauunawaan: mula sa isang simple, nakatayong nag-iisa, sa sarili nitong numero, hanggang sa isang malaking listahan ng mga ito at mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika na nangangailangan ng kasunod na pagkalkula ng huling resulta. Fraction din pagpapahayag ng numero, kung wala itong anumang a, b, c, d, atbp., dahil isa itong ganap na kakaibang uri, na tatalakayin sa ibang pagkakataon.

Mga kundisyon para sa isang expression na walang saysay

Kapag nagsimula ang gawain sa salitang "kalkulahin", maaari nating pag-usapan ang pagbabago. Ang bagay ay ang pagkilos na ito ay hindi palaging ipinapayong: ito ay hindi gaanong kailangan kung ang isang expression na walang katuturan ay mauuna. Ang mga halimbawa ay walang katapusang nakakagulat: kung minsan, upang maunawaan na naabutan na tayo nito, kailangan nating buksan ang mga bracket sa loob ng mahaba at nakakapagod na oras at count-count-count ...

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay ang isang expression ay walang kahulugan, na ang resulta ay nabawasan sa isang aksyon na ipinagbabawal sa matematika. Upang maging ganap na tapat, kung gayon ang pagbabagong-anyo mismo ay nagiging walang kabuluhan, ngunit upang malaman, kailangan mo munang gawin ito. Ganyan ang kabalintunaan!

Ang pinakasikat, ngunit hindi gaanong mahalaga na ipinagbabawal aksyong matematikal ay dibisyon ng zero.

Samakatuwid, halimbawa, isang expression na hindi makatwiran:

(17+11):(5+4-10+1).

Kung, sa tulong ng mga simpleng kalkulasyon, binabawasan namin ang pangalawang bracket sa isang digit, kung gayon ito ay magiging zero.

Sa parehong prinsipyo, ang "honorary title" ay ibinibigay sa expression na ito:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebraic expression

Ito ang parehong numeric na expression kung magdagdag ka ng mga ipinagbabawal na titik dito. Pagkatapos ito ay magiging isang ganap na algebraic. Dumarating din ito sa lahat ng laki at hugis. Ang algebraic expression ay isang mas malawak na konsepto, kabilang ang nauna. Ngunit makatuwiran na magsimula ng isang pag-uusap hindi sa kanya, ngunit sa isang numero, upang ito ay maging mas malinaw at mas madaling maunawaan. Pagkatapos ng lahat, may kahulugan ba ang isang algebraic expression - ang tanong ay hindi masyadong kumplikado, ngunit mayroon itong higit pang mga paglilinaw.

Bakit ganon?

Ang isang literal na expression o isang expression na may mga variable ay kasingkahulugan. Ang unang termino ay madaling ipaliwanag: pagkatapos ng lahat, ito, pagkatapos ng lahat, ay naglalaman ng mga titik! Ang pangalawa ay hindi rin isang misteryo ng siglo: sa halip na mga titik, maaari mong palitan magkaibang numero, bilang isang resulta kung saan ang halaga ng expression ay magbabago. Madaling hulaan na ang mga titik sa kasong ito ay mga variable. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang mga numero ay pare-pareho.

At dito bumalik tayo sa pangunahing tema: walang kabuluhan?

Mga halimbawa ng mga algebraic na expression na hindi makatwiran

Ang kundisyon para sa kawalang-kabuluhan ng isang algebraic na expression ay kapareho ng para sa isang numerical, na may isang pagbubukod lamang, o, upang maging mas tumpak, isang karagdagan. Kapag nagko-convert at nagkalkula ng panghuling resulta, kailangang isaalang-alang ang mga variable, kaya ang tanong ay hindi ibinibigay bilang "anong expression ang hindi makatuwiran?", ngunit "para sa aling halaga ng variable ang expression na ito ay hindi magkakaroon ng kahulugan?" at "May halaga ba para sa variable na ginagawang walang kahulugan ang expression?"

Halimbawa, (18-3):(a+11-9).

Ang expression sa itaas ay walang kahulugan kapag ang isang ay -2.

Ngunit tungkol sa (a + 3): (12-4-8) ligtas nating masasabi na ito ay isang pagpapahayag na hindi makatwiran para sa alinmang a.

Katulad nito, anuman ang b mong ipalit sa expression (b - 11):(12+1), magkakaroon pa rin ito ng kahulugan.

Mga karaniwang gawain sa paksang "Isang pagpapahayag na hindi makatwiran"

Ang grade 7 ay pinag-aaralan ang paksang ito sa matematika, bukod sa iba pa, at ang mga takdang-aralin tungkol dito ay madalas na matatagpuan kaagad pagkatapos ng kaukulang aralin, at bilang isang "panlinlang" na tanong sa mga module at pagsusulit.

Iyon ang dahilan kung bakit ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng mga tipikal na gawain at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Halimbawa 1

May katuturan ba ang expression:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Kinakailangang gawin ang buong pagkalkula sa mga bracket at dalhin ang expression sa form:

Ang huling resulta ay naglalaman samakatuwid ang expression ay walang kahulugan.

Halimbawa 2

Anong mga expression ang hindi makatuwiran?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Dapat kalkulahin panghuling halaga para sa bawat isa sa mga expression.

Sagot: 1; 2.

Halimbawa 3

Hanapin ang hanay ng mga wastong halaga para sa mga sumusunod na expression:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga (ODZ) ay ang lahat ng mga numerong iyon, kapag pinapalitan ang alin sa halip na variable na pagpapahayag magkakaroon ng kahulugan.

Iyon ay, ang gawain ay parang: maghanap ng mga halaga kung saan walang paghahati sa zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), o b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), o b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Halimbawa 4

Sa anong mga halaga hindi magkakaroon ng kahulugan ang sumusunod na expression?

Ang pangalawang panaklong ay zero kapag ang y ay -3.

Sagot: y=-3

Halimbawa 4

Alin sa mga expression ang hindi makatuwiran para lamang sa x = -14?

1) 14: (x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 at 3, dahil sa unang kaso, kung papalitan natin sa halip na x = -14, kung gayon ang pangalawang bracket ay magiging katumbas ng -28, at hindi zero, tulad ng tunog sa kahulugan ng isang expression na walang kahulugan.

Halimbawa 5

Pag-isipan at isulat ang isang expression na hindi makatuwiran.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebraic expression na may dalawang variable

Sa kabila ng katotohanan na ang lahat ng mga expression na walang kahulugan ay may parehong kakanyahan, may iba't ibang antas ng kanilang pagiging kumplikado. Kaya, maaari nating sabihin na ang mga numerical na halimbawa ay simple, dahil mas madali ang mga ito kaysa sa algebraic. Ang mga paghihirap para sa solusyon ay idinagdag ng bilang ng mga variable sa huli. Ngunit hindi sila dapat magmukhang pareho: ang pangunahing bagay ay tandaan ang pangkalahatang prinsipyo ng solusyon at ilapat ito kahit na ang halimbawa ay katulad ng isang karaniwang problema o may ilang hindi kilalang mga karagdagan.

Halimbawa, maaaring lumitaw ang tanong kung paano lutasin ang gayong gawain.

Maghanap at isulat ang isang pares ng mga numero na hindi wasto para sa expression:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

Mga pagpipilian sa sagot:

Ngunit sa katunayan, ito ay mukhang nakakatakot at masalimuot, dahil sa katunayan ay naglalaman ito ng matagal nang kilala: mga numero ng squaring at cube, ilang mga operasyon sa aritmetika tulad ng dibisyon, pagpaparami, pagbabawas at pagdaragdag. Para sa kaginhawahan, sa pamamagitan ng paraan, maaari naming bawasan ang problema sa isang fractional form.

Ang numerator ng resultang fraction ay hindi masaya: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Ito ay katotohanan. Ngunit may isa pang dahilan para sa kaligayahan: hindi mo na kailangang hawakan ito upang malutas ang gawain! Ayon sa depinisyon na tinalakay kanina, imposibleng hatiin sa zero, at kung ano ang eksaktong paghahatiin nito ay ganap na hindi mahalaga. Samakatuwid, iniiwan namin ang expression na ito na hindi nagbabago at pinapalitan ang mga pares ng mga numero mula sa mga pagpipiliang ito sa denominator. Tamang-tama na ang pangatlong punto, ginagawang zero ang isang maliit na bracket. Ngunit upang ihinto mayroong isang masamang rekomendasyon, dahil may iba pang maaaring lumabas. At sa katunayan: ang ikalimang punto ay angkop din at akma sa kondisyon.

Isulat namin ang sagot: 3 at 5.

Sa wakas

Tulad ng nakikita mo, ang paksang ito ay napaka-interesante at hindi partikular na kumplikado. Hindi ito magiging mahirap na malaman ito. Ngunit gayon pa man, hindi kailanman masakit na gumawa ng ilang mga halimbawa!

Ang pagpapahayag ay ang pinakamalawak na termino sa matematika. Sa esensya, sa agham na ito ang lahat ay binubuo ng mga ito, at ang lahat ng mga operasyon ay isinasagawa din sa kanila. Ang isa pang tanong ay, depende sa partikular na species, ganap na magkakaibang mga pamamaraan at pamamaraan ang ginagamit. Kaya, ang pagtatrabaho sa trigonometrya, mga fraction o logarithms ay tatlong magkakaibang aksyon. Ang isang expression na walang kahulugan ay maaaring isa sa dalawang uri: numeric o algebraic. Ngunit kung ano ang ibig sabihin ng konseptong ito, kung ano ang hitsura ng halimbawa nito, at iba pang mga punto ay tatalakayin pa.

Mga numeric na expression

Kung ang isang expression ay binubuo ng mga numero, bracket, plus at minus, at iba pang mga palatandaan ng mga operasyon ng aritmetika, maaari itong ligtas na tawaging numeric. Alin ang medyo lohikal: kailangan mo lamang tingnan ang unang pinangalanang bahagi nito.

Ang anumang bagay ay maaaring isang numerical expression: ang pangunahing bagay ay hindi ito naglalaman ng mga titik. At sa pamamagitan ng "anuman" sa kasong ito, ang lahat ay nauunawaan: mula sa isang simple, nakatayong nag-iisa, sa sarili nitong numero, hanggang sa isang malaking listahan ng mga ito at mga palatandaan ng mga operasyong aritmetika na nangangailangan ng kasunod na pagkalkula ng huling resulta. Ang isang fraction ay isa ring numeric na expression kung wala itong anumang a, b, c, d, atbp., dahil ito ay ganap na naiibang uri, na tatalakayin sa ibang pagkakataon.

Mga kundisyon para sa isang expression na walang saysay

Kapag nagsimula ang gawain sa salitang "kalkulahin", maaari nating pag-usapan ang pagbabago. Ang bagay ay ang pagkilos na ito ay hindi palaging ipinapayong: ito ay hindi gaanong kailangan kung ang isang expression na walang katuturan ay mauuna. Ang mga halimbawa ay walang katapusang nakakagulat: kung minsan, upang maunawaan na naabutan na tayo nito, kailangan nating buksan ang mga bracket sa loob ng mahaba at nakakapagod na oras at count-count-count ...

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay ang isang expression ay walang kahulugan, na ang resulta ay nabawasan sa isang aksyon na ipinagbabawal sa matematika. Upang maging ganap na tapat, kung gayon ang pagbabagong-anyo mismo ay nagiging walang kabuluhan, ngunit upang malaman, kailangan mo munang gawin ito. Ganyan ang kabalintunaan!

Ang pinakatanyag, ngunit hindi gaanong mahalaga na ipinagbabawal na operasyon ng matematika ay paghahati sa pamamagitan ng zero.

Samakatuwid, halimbawa, isang expression na hindi makatwiran:

(17+11):(5+4-10+1).

Kung, sa tulong ng mga simpleng kalkulasyon, binabawasan namin ang pangalawang bracket sa isang digit, kung gayon ito ay magiging zero.

Sa parehong prinsipyo, ang "honorary title" ay ibinibigay sa expression na ito:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebraic expression

Ito ang parehong numeric na expression kung magdagdag ka ng mga ipinagbabawal na titik dito. Pagkatapos ito ay magiging isang ganap na algebraic. Dumarating din ito sa lahat ng laki at hugis. Ang algebraic expression ay isang mas malawak na konsepto, kabilang ang nauna. Ngunit makatuwiran na magsimula ng isang pag-uusap hindi sa kanya, ngunit sa isang numero, upang ito ay maging mas malinaw at mas madaling maunawaan. Pagkatapos ng lahat, may kahulugan ba ang isang algebraic expression - ang tanong ay hindi masyadong kumplikado, ngunit mayroon itong higit pang mga paglilinaw.

Bakit ganon?

Ang isang literal na expression o isang expression na may mga variable ay kasingkahulugan. Ang unang termino ay madaling ipaliwanag: pagkatapos ng lahat, ito, pagkatapos ng lahat, ay naglalaman ng mga titik! Ang pangalawa ay hindi rin isang misteryo ng siglo: ang iba't ibang mga numero ay maaaring palitan para sa mga titik, bilang isang resulta kung saan ang kahulugan ng expression ay magbabago. Madaling hulaan na ang mga titik sa kasong ito ay mga variable. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang mga numero ay pare-pareho.

At narito tayo ay bumalik sa pangunahing paksa: ano ang isang expression na hindi makatwiran?

Mga halimbawa ng mga algebraic na expression na hindi makatwiran

Ang kundisyon para sa kawalang-kabuluhan ng isang algebraic na expression ay kapareho ng para sa isang numerical, na may isang pagbubukod lamang, o, upang maging mas tumpak, isang karagdagan. Kapag nagko-convert at nagkalkula ng panghuling resulta, kailangang isaalang-alang ang mga variable, kaya ang tanong ay hindi ibinibigay bilang "anong expression ang hindi makatuwiran?", ngunit "para sa aling halaga ng variable ang expression na ito ay hindi magkakaroon ng kahulugan?" at "May halaga ba para sa variable na ginagawang walang kahulugan ang expression?"

Halimbawa, (18-3):(a+11-9).

Ang expression sa itaas ay walang kahulugan kapag ang isang ay -2.

Ngunit tungkol sa (a + 3): (12-4-8) ligtas nating masasabi na ito ay isang pagpapahayag na hindi makatwiran para sa alinmang a.

Katulad nito, anuman ang b mong ipalit sa expression (b - 11):(12+1), magkakaroon pa rin ito ng kahulugan.

Mga karaniwang gawain sa paksang "Isang pagpapahayag na hindi makatwiran"

Ang grade 7 ay pinag-aaralan ang paksang ito sa matematika, bukod sa iba pa, at ang mga takdang-aralin tungkol dito ay madalas na matatagpuan kaagad pagkatapos ng kaukulang aralin, at bilang isang "panlinlang" na tanong sa mga module at pagsusulit.

Iyon ang dahilan kung bakit ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng mga tipikal na gawain at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Halimbawa 1

May katuturan ba ang expression:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Kinakailangang gawin ang buong pagkalkula sa mga bracket at dalhin ang expression sa form:

Ang huling resulta ay naglalaman ng isang dibisyon sa pamamagitan ng zero, kaya ang expression ay walang kahulugan.

Halimbawa 2

Anong mga expression ang hindi makatuwiran?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Dapat mong kalkulahin ang panghuling halaga para sa bawat isa sa mga expression.

Sagot: 1; 2.

Halimbawa 3

Hanapin ang hanay ng mga wastong halaga para sa mga sumusunod na expression:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga (ODZ) ay ang lahat ng mga numerong iyon, kapag pinapalitan kung saan sa halip na mga variable, ang expression ay magkakaroon ng kahulugan.

Iyon ay, ang gawain ay parang: maghanap ng mga halaga kung saan walang paghahati sa zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), o b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), o b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Halimbawa 4

Sa anong mga halaga hindi magkakaroon ng kahulugan ang sumusunod na expression?

Ang pangalawang panaklong ay zero kapag ang y ay -3.

Sagot: y=-3

Halimbawa 4

Alin sa mga expression ang hindi makatuwiran para lamang sa x = -14?

1) 14: (x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 at 3, dahil sa unang kaso, kung papalitan natin sa halip na x = -14, kung gayon ang pangalawang bracket ay magiging katumbas ng -28, at hindi zero, tulad ng tunog sa kahulugan ng isang expression na walang kahulugan.

Halimbawa 5

Pag-isipan at isulat ang isang expression na hindi makatuwiran.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebraic expression na may dalawang variable

Sa kabila ng katotohanan na ang lahat ng mga expression na walang kahulugan ay may parehong kakanyahan, may iba't ibang antas ng kanilang pagiging kumplikado. Kaya, maaari nating sabihin na ang mga numerical na halimbawa ay simple, dahil mas madali ang mga ito kaysa sa algebraic. Ang mga paghihirap para sa solusyon ay idinagdag ng bilang ng mga variable sa huli. Ngunit hindi rin sila dapat malito sa kanilang hitsura: ang pangunahing bagay ay alalahanin ang pangkalahatang prinsipyo ng solusyon at ilapat ito kahit na ang halimbawa ay katulad ng isang karaniwang problema o may ilang hindi kilalang mga karagdagan.

Halimbawa, maaaring lumitaw ang tanong kung paano lutasin ang gayong gawain.

Maghanap at isulat ang isang pares ng mga numero na hindi wasto para sa expression:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Mga pagpipilian sa sagot:

Ngunit sa katunayan, ito ay mukhang nakakatakot at masalimuot, dahil sa katunayan ay naglalaman ito ng matagal nang kilala: mga numero ng squaring at cube, ilang mga operasyon sa aritmetika tulad ng dibisyon, pagpaparami, pagbabawas at pagdaragdag. Para sa kaginhawahan, sa pamamagitan ng paraan, maaari naming bawasan ang problema sa isang fractional form.

Ang numerator ng resultang fraction ay hindi masaya: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Ito ay katotohanan. Ngunit may isa pang dahilan para sa kaligayahan: hindi mo na kailangang hawakan ito upang malutas ang gawain! Ayon sa depinisyon na tinalakay kanina, imposibleng hatiin sa zero, at kung ano ang eksaktong paghahatiin nito ay ganap na hindi mahalaga. Samakatuwid, iniiwan namin ang expression na ito na hindi nagbabago at pinapalitan ang mga pares ng mga numero mula sa mga pagpipiliang ito sa denominator. Tamang-tama na ang pangatlong punto, ginagawang zero ang isang maliit na bracket. Ngunit upang ihinto mayroong isang masamang rekomendasyon, dahil may iba pang maaaring lumabas. At sa katunayan: ang ikalimang punto ay angkop din at akma sa kondisyon.

Isulat namin ang sagot: 3 at 5.

Sa wakas

Tulad ng nakikita mo, ang paksang ito ay napaka-interesante at hindi partikular na kumplikado. Hindi ito magiging mahirap na malaman ito. Ngunit gayon pa man, hindi kailanman masakit na gumawa ng ilang mga halimbawa!

Kapag pinag-aaralan ang paksa ng numerical, literal na mga expression at expression na may mga variable, kinakailangang bigyang pansin ang konsepto halaga ng pagpapahayag. Sa artikulong ito, sasagutin natin ang tanong, ano ang halaga ng isang numeric na expression, at kung ano ang tinatawag na halaga ng isang literal na expression at isang expression na may mga variable para sa mga napiling halaga ng mga variable. Upang linawin ang mga kahulugang ito, nagbibigay kami ng mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang halaga ng isang numeric na expression?

Ang kakilala sa mga numerical na expression ay nagsisimula halos mula sa mga unang aralin ng matematika sa paaralan. Halos kaagad, ang konsepto ng "halaga ng isang numerical expression" ay ipinakilala. Ito ay tumutukoy sa mga expression na binubuo ng mga numero na konektado sa pamamagitan ng arithmetic signs (+, −, ·, :). Bigyan natin ng angkop na kahulugan.

Kahulugan.

Ang halaga ng isang numeric na expression- ito ang numerong nakukuha pagkatapos isagawa ang lahat ng aksyon sa orihinal na numeric na expression.

Halimbawa, isaalang-alang ang numeric na expression 1+2 . Pagkatapos isagawa , makuha namin ang numero 3 , ito ay ang halaga ng numerical expression 1+2 .

Kadalasan sa pariralang "halaga ng isang numerical na expression", ang salitang "numerical" ay tinanggal, at sinasabi lang nila ang "halaga ng expression", dahil malinaw pa rin kung aling expression ang ibig sabihin.

Ang kahulugan sa itaas ng kahulugan ng isang expression ay nalalapat din sa mga numerical na expression ng isang mas kumplikadong anyo, na pinag-aaralan sa mataas na paaralan. Dito dapat tandaan na ang isang tao ay maaaring makatagpo ng mga numerical na expression, ang mga halaga na hindi matukoy. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa ilang mga expression imposibleng maisagawa ang mga naitala na aksyon. Halimbawa, samakatuwid hindi namin matukoy ang halaga ng expression 3:(2−2) . Ang ganitong mga numerical expression ay tinatawag mga ekspresyong walang katuturan.

Kadalasan sa pagsasagawa, hindi gaanong ang numerical expression ang interesante kundi ang halaga nito. Iyon ay, ang gawain ay lumitaw, na binubuo sa pagtukoy ng halaga ng expression na ito. Sa kasong ito, karaniwang sinasabi nila na kailangan mong hanapin ang halaga ng expression. Sa artikulong ito, ang proseso ng paghahanap ng halaga ng mga numerical na expression ng iba't ibang uri ay sinusuri nang detalyado, at maraming mga halimbawa na may mga detalyadong paglalarawan ng mga solusyon ang isinasaalang-alang.

Kahulugan ng literal at variable na mga expression

Bilang karagdagan sa mga numerical na expression, pinag-aaralan nila ang mga literal na expression, iyon ay, mga expression kung saan ang isa o higit pang mga titik ay naroroon kasama ng mga numero. Ang mga titik sa isang literal na expression ay maaaring tumayo para sa iba't ibang mga numero, at kung ang mga titik ay papalitan ng mga numerong ito, ang literal na expression ay magiging isang numeric.

Kahulugan.

Tinatawag ang mga numerong pumapalit sa mga titik sa literal na pagpapahayag ang mga kahulugan ng mga titik na ito, at ang halaga ng resultang numerical expression ay tinatawag ang halaga ng literal na pagpapahayag na ibinigay ang mga halaga ng mga titik.

Kaya, para sa mga literal na pagpapahayag, ang isang tao ay nagsasalita hindi lamang tungkol sa kahulugan ng isang literal na pagpapahayag, ngunit tungkol sa kahulugan ng isang literal na pagpapahayag para sa ibinigay (ibinigay, ipinahiwatig, atbp.) na mga halaga ng mga titik.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Kunin natin ang literal na ekspresyong 2·a+b . Hayaang ibigay ang mga halaga ng mga titik a at b, halimbawa, a=1 at b=6 . Ang pagpapalit ng mga titik sa orihinal na expression sa kanilang mga halaga, makakakuha tayo ng numerical expression ng form 2 1+6 , ang halaga nito ay 8 . Kaya, ang numero 8 ay ang halaga ng literal na expression na 2·a+b na ibinigay sa mga halaga ng mga titik a=1 at b=6 . Kung ang iba pang mga halaga ng titik ay ibinigay, pagkatapos ay makukuha natin ang halaga ng literal na pagpapahayag para sa mga halaga ng titik na iyon. Halimbawa, sa a=5 at b=1 mayroon tayong halaga 2 5+1=11 .

Sa mataas na paaralan, kapag nag-aaral ng algebra, ang mga titik sa literal na mga expression ay pinapayagan na magkaroon ng iba't ibang kahulugan, ang mga naturang titik ay tinatawag na mga variable, at ang mga literal na expression ay mga expression na may mga variable. Para sa mga expression na ito, ang konsepto ng halaga ng isang expression na may mga variable ay ipinakilala para sa mga napiling halaga ng mga variable. Alamin natin kung ano ito.

Kahulugan.

Ang halaga ng isang expression na may mga variable para sa mga napiling halaga ng mga variable ang halaga ng isang numeric na expression ay tinatawag, na nakuha pagkatapos na palitan ang mga napiling halaga ng mga variable sa orihinal na expression.

Ipaliwanag natin ang tunog na kahulugan na may isang halimbawa. Isaalang-alang ang isang expression na may mga variable na x at y ng anyong 3·x·y+y . Kunin natin ang x=2 at y=4 , palitan ang mga variable na halaga na ito sa orihinal na expression, makuha natin ang numerical expression 3 2 4+4 . Kalkulahin natin ang halaga ng expression na ito: 3 2 4+4=24+4=28 . Ang nahanap na halaga 28 ay ang halaga ng orihinal na expression na may mga variable na 3·x·y+y na may mga napiling value ng mga variable na x=2 at y=4 .

Kung pipiliin mo ang iba pang mga halaga ng mga variable, halimbawa, x=5 at y=0 , kung gayon ang mga napiling halaga ng mga variable ay tumutugma sa halaga ng expression na may mga variable na katumbas ng 3 5 0+0=0 .

Mapapansin na kung minsan ang pantay na mga halaga ng expression ay maaaring makuha para sa iba't ibang napiling mga halaga ng mga variable. Halimbawa, para sa x=9 at y=1, ang halaga ng expression na 3 x y+y ay 28 (dahil 3 9 1+1=27+1=28 ), at sa itaas ay ipinakita namin na ang parehong halaga ay expression na may ang mga variable ay nasa x=2 at y=4 .

Ang mga variable na halaga ay maaaring mapili mula sa kani-kanilang mga hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Kung hindi, ang pagpapalit ng mga halaga ng mga variable na ito sa orihinal na expression ay magreresulta sa isang numerical na expression na hindi makatwiran. Halimbawa, kung pipiliin mo ang x=0 , at papalitan ang value na iyon sa expression na 1/x , makukuha mo ang numeric na expression 1/0 , na hindi makatuwiran dahil hindi natukoy ang paghahati sa zero.

Nananatili lamang na idagdag na may mga expression na may mga variable na ang mga halaga ay hindi nakasalalay sa mga halaga ng kanilang mga variable na bumubuo. Halimbawa, ang halaga ng isang expression na may variable na x ng form na 2+x−x ay hindi nakasalalay sa halaga ng variable na ito, ito ay katumbas ng 2 para sa anumang napiling halaga ng variable na x mula sa hanay ng mga wastong halaga nito, na sa kasong ito ay ang set ng lahat ng tunay na numero.

Bibliograpiya.

• Math: pag-aaral. para sa 5 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21st ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: may sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: aklat-aralin para sa 7 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Numeric na expression ay anumang talaan ng mga numero, arithmetic sign at bracket. Ang isang numeric na expression ay maaari ding binubuo ng isang numero lamang. Alalahanin na ang mga pangunahing operasyon ng aritmetika ay "pagdaragdag", "pagbabawas", "pagpaparami" at "paghahati". Ang mga pagkilos na ito ay tumutugma sa mga palatandaan na "+", "-", "∙", ":".

Siyempre, para makakuha tayo ng numerical expression, dapat na makabuluhan ang notation mula sa mga numero at arithmetic sign. Kaya, halimbawa, ang naturang entry 5: + ∙ ay hindi matatawag na numeric na expression, dahil ito ay isang random na hanay ng mga character na hindi makatwiran. Sa kabaligtaran, ang 5 + 8 ∙ 9 ay isa nang tunay na numerical expression.

Ang halaga ng isang numeric na expression.

Sabihin natin kaagad na kung gagawin natin ang mga aksyon na ipinahiwatig sa isang numerical expression, pagkatapos ay bilang isang resulta makakakuha tayo ng isang numero. Ang numerong ito ay tinatawag ang halaga ng isang numeric na expression.

Subukan nating kalkulahin kung ano ang nakukuha natin bilang resulta ng pagsasagawa ng mga aksyon ng ating halimbawa. Ayon sa pagkakasunud-sunod ng pagsasagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, ginagawa muna namin ang pagpaparami ng pagpaparami. I-multiply ang 8 sa 9. Nakukuha namin ang 72. Ngayon ay nagdaragdag kami ng 72 at 5. Nakukuha namin ang 77.
Kaya, 77 - ibig sabihin numerical expression 5 + 8 ∙ 9.

Pagkakapantay-pantay ng numero.

Maaari mo itong isulat sa ganitong paraan: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Dito muna namin ginamit ang sign na "=" ("Equal"). Ang nasabing notasyon, kung saan ang dalawang numerical na expression ay pinaghihiwalay ng sign na "=", ay tinatawag pagkakapantay-pantay ng numero. Bukod dito, kung ang mga halaga ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay pareho, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay tinatawag tapat. 5 + 8 ∙ 9 = 77 ang tamang pagkakapantay-pantay.
Kung isusulat natin ang 5 + 8 ∙ 9 = 100, magiging ganito na maling pagkakapantay-pantay, dahil ang mga halaga ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay hindi na nagtutugma.

Dapat tandaan na sa isang numeric na expression, maaari din tayong gumamit ng mga panaklong. Naaapektuhan ng mga panaklong ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkilos. Kaya, halimbawa, binabago natin ang ating halimbawa sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga bracket: (5 + 8) ∙ 9. Ngayon kailangan muna nating magdagdag ng 5 at 8. Makukuha natin ang 13. At pagkatapos ay i-multiply ang 13 sa 9. Nakuha natin ang 117. Kaya, (5) + 8) ∙ 9 = 117.
117 – ibig sabihin numerical expression (5 + 8) ∙ 9.

Upang basahin nang tama ang isang expression, kailangan mong matukoy kung aling aksyon ang huling ginawa upang kalkulahin ang halaga ng isang ibinigay na numeric na expression. Kaya, kung ang huling aksyon ay isang pagbabawas, kung gayon ang expression ay tinatawag na "pagkakaiba". Alinsunod dito, kung ang huling aksyon ay ang kabuuan - "sum", dibisyon - "pribado", multiplikasyon - "produkto", exponentiation - "degree".

Halimbawa, ang numerical expression (1 + 5) (10-3) ay ganito: "ang produkto ng kabuuan ng mga numero 1 at 5 at ang pagkakaiba sa pagitan ng mga numero 10 at 3."

Mga halimbawa ng mga numeric na expression.

Narito ang isang halimbawa ng isang mas kumplikadong numeric expression:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Sa mga bracket mayroon kaming expression na $\frac(1)(4)+3.75$ . I-convert natin ang decimal fraction na 3.75 sa isang ordinaryo.

$3.75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Kaya, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Dagdag pa, sa numerator ng fraction \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\] mayroon tayong expression na 1.25 + 3.47 + 4.75-1.47. Upang pasimplehin ang expression na ito, inilalapat namin ang commutative law ng karagdagan, na nagsasabing: "Ang kabuuan ay hindi nagbabago mula sa isang pagbabago sa mga lugar ng mga termino." Ibig sabihin, 1.25+3.47+4.75-1.47=1.25+4.75+3.47-1.47=6+2=8.

Sa denominator ng fraction, ang expression $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Nakukuha namin $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Kailan walang saysay ang mga numeric na expression?

Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Sa denominator ng isang fraction $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ ang halaga ng expression na $3\centerdot 3-9$ ay 0. At, tulad ng alam natin, imposible ang paghahati sa zero. Samakatuwid, ang fraction na $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ ay walang halaga. Ang mga numeric na expression na walang kahulugan ay sinasabing "walang kahulugan".

Kung gagamit tayo ng mga titik bilang karagdagan sa mga numero sa isang numerical expression, makukuha natin