Sa isa sa mga naunang artikulo, nabanggit na namin ang antas ng bilang. Ngayon susubukan naming iakma ang ating sarili sa proseso ng paghanap ng kahulugan nito. Siyentipikong pagsasalita, malalaman natin kung paano maayos na mapataas ang isang kapangyarihan. Malalaman natin kung paano isinasagawa ang prosesong ito, sa parehong oras ay makikipag-ugnay kami sa lahat ng mga posibleng tagapagpahiwatig ng degree: natural, hindi makatuwiran, makatuwiran, buo.

Tingnan natin nang mabuti ang mga solusyon sa mga halimbawa at alamin kung ano ang kahulugan nito:

1. Kahulugan ng konsepto.
2. Nakataas sa negatibong sining.
3. Buong tagapagpahiwatig.
4. Pagtataas ng isang numero sa hindi makatuwiran degree.

Narito ang isang kahulugan na tumpak na sumasalamin sa kahulugan: "Ang exponentiation ay ang kahulugan ng kahulugan ng lakas ng bilang."

Alinsunod dito, itataas ang bilang a kay Art. r at ang proseso ng paghahanap ng halaga ng exponent a na may exponent r ay magkatulad na mga konsepto. Halimbawa, kung ang gawain ay upang kalkulahin ang halaga ng lakas (0.6) 6 ″, pagkatapos ay maaaring gawing simple sa ekspresyong "Itaas ang bilang 0.6 sa lakas ng 6".

Pagkatapos nito, maaari kang magpatuloy nang direkta sa mga patakaran sa konstruksyon.

Negatibong pagpapalawak

Para sa kalinawan, dapat mong bigyang-pansin ang sumusunod na kadena ng mga expression:

110 \u003d 0.1 \u003d 1 * 10 sa minus 1 st.,

1100 \u003d 0.01 \u003d 1 * 10 sa minus 2 na hakbang.,

11000 \u003d 0.0001 \u003d 1 * 10 minus 3 st.,

110000 \u003d 0.00001 \u003d 1 * 10 sa minus 4 na degree.

Salamat sa mga halimbawang ito, malinaw mong nakikita ang kakayahang agad na kalkulahin ang 10 sa anumang minus na lakas. Para sa hangaring ito, medyo corny na ilipat ang decimal sangkap:

• 10 hanggang -1 degree - bago ang unit na 1 zero;
• sa -3 - tatlong mga zero bago ang isa;
• sa -9 ay 9 zero at iba pa.

Ito ay tulad ng madaling maunawaan ayon sa pamamaraan na ito kung magkano ang magiging 10 hanggang sa minus 5 tbsp. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Paano taasan ang isang natural na numero

Naaalala ang kahulugan, isinasaalang-alang namin na ang natural na numero a sa Art. n ay katumbas ng produkto ng n mga kadahilanan, ang bawat isa ay katumbas ng a. Ilarawan natin: (a * a * ... a) n, kung saan n ang bilang ng mga bilang na pinarami. Alinsunod dito, upang maiangat ang isang hanggang n, kinakailangang kalkulahin ang produkto ng sumusunod na form: a * a * ... at hatiin ng n beses.

Mula dito nagiging malinaw na pagtayo sa natural art. umaasa sa kakayahang dumami (Ang materyal na ito ay sakop sa seksyon sa pag-multiply ng totoong mga numero). Tingnan natin ang problema:

Itayo -2 sa ika-4 st.

Nakikipag-usap kami sa isang natural na tagapagpahiwatig. Alinsunod dito, ang kurso ng desisyon ay ang mga sumusunod: (-2) sa art. 4 \u003d (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Ngayon ay nananatili lamang ito upang maisakatuparan ang pagpaparami ng buong mga numero: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Nakakakuha tayo ng 16.

Sagot sa problema:

(-2) sa sining. 4 \u003d 16.

Halimbawa:

Kalkulahin ang halaga: tatlong puntos dalawang pito na parisukat.

Ang halimbawang ito ay katumbas ng sumusunod na produkto: tatlong buong dalawang ikapitong beses na pinarami ng tatlong buong dalawang ikapito. Naaalala kung paano isinasagawa ang pagpaparami ng mga halo-halong numero, nakumpleto namin ang konstruksyon:

• 3 point 2 ikapito dumami ng kanilang mga sarili;
• katumbas ng 23 ikapitong beses 23 ikapitong;
• katumbas ng 529 apatnapu't siyam;
• pinapaikli at nakakakuha tayo ng 10 tatlumpu't siyam apatnapu't siyam.

Sagot: 10 39/49

Tungkol sa isyu ng pagtaas sa isang hindi makatuwiran na tagapagpahiwatig, dapat pansinin na ang mga kalkulasyon ay nagsisimulang isagawa matapos ang pagkumpleto ng paunang pag-ikot ng batayan ng degree sa anumang kategorya na magpapahintulot sa pagkuha ng halaga na may isang naibigay na kawastuhan. Halimbawa, kailangan nating parisukat ang bilang P (pi).

Nagsisimula kami sa pamamagitan ng pag-ikot ng P hanggang sa mga sandaandaan at makuha ang:

P parisukat \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596. Gayunpaman, kung babawasan natin ang P hanggang sampung libo, makakakuha tayo ng P \u003d 3.14159. Pagkatapos ang pagkuha ng parisukat ay nakakakuha ng isang ganap na naiibang numero: 9.8695877281.

Dapat pansinin dito na sa maraming mga problema ay hindi na kailangang itaas ang mga hindi makatuwiran na numero sa isang kapangyarihan. Bilang isang patakaran, ang sagot ay nakasulat alinman sa anyo ng isang degree, halimbawa, ang ugat ng 6 sa lakas ng 3, o, kung payagan ang ekspresyon, isinasagawa ang pagbabago nito: ang ugat ng 5 hanggang sa ika-7 na lakas \u003d 125 ugat ng 5.

Paano itaas ang isang numero sa isang buong lakas

Angkop ang pagmamanipula ng algebraic na ito isaalang-alang ang mga sumusunod na kaso:

• para sa buong numero;
• para sa isang zero tagapagpahiwatig;
• para sa isang buong positibong tagapagpahiwatig.

Dahil halos lahat ng mga positibong integer ay nagsabay sa dami ng natural na mga numero, ang pagtatakda sa isang positibong degree na integer ay ang parehong proseso tulad ng pagtatakda sa Art. natural. Inilarawan namin ang prosesong ito sa nakaraang talata.

Ngayon pag-usapan natin ang tungkol sa pagkalkula ng Art. wala. Nalaman na natin sa itaas na ang zero degree ng numero a ay maaaring matukoy para sa anumang nonzero a (real), habang ang isang sa Art. 0 ay katumbas ng 1.

Alinsunod dito, ang pagtaas ng anumang tunay na numero sa zero Art. ay magbibigay ng isa.

Halimbawa, 10 sa st. 0 \u003d 1, (-3.65) 0 \u003d 1, at 0 sa st. 0 ay hindi matukoy.

Upang makumpleto ang pagtaas sa isang buong lakas, nananatili itong magpasya sa mga pagpipilian para sa mga negatibong halagang integer. Naaalala namin ang Art na iyon. mula sa isang may integer exponent -z ay matutukoy bilang isang maliit na bahagi. Ang denominator ng maliit na bahagi ay st. na may positibong halaga ng integer, ang halaga na natutunan na nating hanapin. Ngayon ay nananatili lamang ito upang isaalang-alang ang isang halimbawa ng konstruksyon.

Halimbawa:

Kalkulahin ang halaga ng bilang 2 sa isang kubo na may integer negatibong tagapagpahiwatig.

Proseso ng solusyon:

Ayon sa kahulugan ng isang degree na may isang negatibong tagapagpahiwatig, ipinapahiwatig namin: dalawa sa minus 3 tbsp. katumbas ng isa hanggang dalawa sa pangatlong degree.

Ang denominator ay kinakalkula nang simple: dalawang cubed;

3 = 2*2*2=8.

Sagot: dalawa sa minus ika-3 tbsp. \u003d ikawalo.

Sa loob ng balangkas ng materyal na ito, susuriin namin kung ano ang antas ng isang numero. Bilang karagdagan sa pangunahing mga kahulugan, bubuo kami ng kung anong mga degree ang may natural, buo, makatuwiran at hindi makatuwiran na mga exponent. Tulad ng dati, ang lahat ng mga konsepto ay ilalarawan sa mga halimbawa ng mga gawain.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Una, bumubuo kami ng isang pangunahing kahulugan ng isang degree na may isang likas na exponent. Upang magawa ito, kailangan nating tandaan ang mga pangunahing alituntunin ng pagpaparami. Linawin natin nang maaga na sa ngayon ay kukuha kami ng isang tunay na numero bilang isang batayan (ipahiwatig ito sa pamamagitan ng titik a), at bilang isang tagapagpahiwatig - isang natural na numero (ipahiwatig ito ng titik n).

Kahulugan 1

Ang lakas ng bilang a na may natural na exponent n ay ang produkto ng n -th bilang ng mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng bilang a. Ang degree ay nakasulat tulad nito: isang n, at sa anyo ng isang pormula, ang komposisyon nito ay maaaring kinatawan bilang mga sumusunod:

Halimbawa, kung ang exponent ay 1 at ang base ay a, kung gayon ang unang lakas ng a ay nakasulat bilang isang 1... Dahil sa ang a ay ang halaga ng multiplier at ang 1 ay ang bilang ng mga kadahilanan, maaari nating tapusin iyon isang 1 \u003d a.

Sa pangkalahatan, maaari nating sabihin na ang degree ay isang maginhawang anyo ng pagsulat ng isang malaking bilang ng mga pantay na kadahilanan. Kaya, isang entry ng form 8 8 8 8 maaaring mabawasan sa 8 4 ... Sa halos katulad na paraan, ang isang piraso ay tumutulong sa amin na maiwasan ang pagsusulat isang malaking bilang mga term (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 4); tinalakay na natin ito sa artikulong pagpaparami natural na numero.

Paano basahin nang tama ang tala ng degree? Ang pangkalahatang tinatanggap na pagpipilian ay "a sa kapangyarihan ng n". O maaari mong sabihin ang "n -th degree ng isang" o "isang n -th degree". Kung, sabihin, ang halimbawa ay naglalaman ng entry 8 12 , mababasa natin ang "8 to the 12th power", "8 to the 12th power" o "12th power by 8th".

Ang pangalawa at pangatlong kapangyarihan ng bilang ay mayroong maayos na pangalan: parisukat at kubo. Kung nakikita natin ang pangalawang degree, halimbawa, ang bilang 7 (7 2), maaari nating sabihin na "7 parisukat" o "parisukat ng bilang 7". Katulad nito, ang pangatlong degree ay nabasa nang ganito: 5 3 Ay isang "kubo ng bilang 5" o "5 sa isang kubo". Gayunpaman, posible ring gamitin ang karaniwang pagbabalangkas "sa pangalawa / pangatlong degree", hindi ito magiging isang pagkakamali.

Halimbawa 1

Tingnan natin ang isang halimbawa ng isang degree na may isang likas na tagapagpahiwatig: para sa 5 7 lima ang magiging batayan at pito ang magiging tagapagpahiwatig.

Ang batayan ay hindi kailangang maging isang integer: para sa degree (4 , 32) 9 ang base ay ang maliit na bahagi 4, 32, at ang exponent ay siyam. Bigyang pansin ang panaklong: ang gayong pagpasok ay ginawa para sa lahat ng mga degree, ang mga base ay naiiba mula sa natural na mga numero.

Halimbawa: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Para saan ang panaklong? Tumutulong ang mga ito upang maiwasan ang mga pagkakamali sa pagkalkula. Sabihin nating mayroon kaming dalawang mga entry: (− 2) 3 at − 2 3 ... Ang ibig sabihin ng una negatibong numero minus dalawa na itinaas sa isang natural na exponent three; ang pangalawa ay ang bilang na naaayon sa kabaligtaran na halaga ng kuryente 2 3 .

Minsan sa mga libro maaari kang makahanap ng isang bahagyang naiibang pagbaybay ng antas ng bilang - a ^ n (kung saan ang base at n ang tagapagtaguyod). Iyon ay, ang 4 ^ 9 ay kapareho ng 4 9 ... Kung ang n ay isang multi-digit na numero, nakapaloob ito sa mga panaklong. Halimbawa, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Ngunit gagamitin namin ang notasyon isang nbilang mas karaniwan.

Madaling hulaan kung paano makalkula ang halaga ng isang degree na may isang likas na exponent mula sa kahulugan nito: kailangan mo lamang i-multiply ang isang n -th na bilang ng mga beses. Sumulat pa kami tungkol dito sa isa pang artikulo.

Ang konsepto ng isang degree ay ang kabaligtaran ng isa pang konsepto ng matematika - ang ugat ng isang numero. Kung alam natin ang halaga ng degree at exponent, maaari nating kalkulahin ang base nito. Ang degree ay may ilang mga tukoy na katangian na kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga problema na tinalakay sa isang magkahiwalay na materyal.

Sa mga exponent, hindi lamang mga natural na numero ang maaaring tumayo, ngunit sa pangkalahatan ang anumang mga halaga ng integer, kabilang ang mga negatibong at zero, sapagkat kabilang din sila sa hanay ng mga integer.

Kahulugan 2

Ang lakas ng isang numero na may positibong exponent ng integer ay maaaring ipakita bilang isang formula: .

Bukod dito, ang n ay anumang positibong integer.

Harapin natin ang konsepto ng zero degree. Upang magawa ito, gumagamit kami ng isang diskarte na isinasaalang-alang ang pag-aari ng quient para sa mga degree na may pantay na mga base. Ito ay formulated tulad ng sumusunod:

Kahulugan 3

Pagkakapantay-pantay isang m: a n \u003d a m - n ay totoo sa ilalim ng mga kundisyon: m at n ay natural na mga numero, m< n , a ≠ 0 .

Ang huling kondisyon ay mahalaga sapagkat iniiwasan nito ang paghahati ng zero. Kung ang mga halaga ng m at n ay pantay, nakukuha namin ang sumusunod na resulta: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0

Ngunit sa parehong oras ang isang n: a n \u003d 1 ay ang kabuuan pantay na bilang isang n at a. Ito ay lumalabas na ang zero degree ng anumang numero na nonzero ay katumbas ng isa.

Gayunpaman, ang naturang patunay ay hindi nalalapat sa zero hanggang degree zero. Para sa mga ito kailangan namin ng isa pang pag-aari ng degree - ang pag-aari ng mga produkto ng degree na may pantay na mga base. Parang ganito: a m a n \u003d a m + n .

Kung mayroon t t pantay sa 0, kung gayon isang m a 0 \u003d isang m (ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapatunay din sa atin na isang 0 \u003d 1). Ngunit kung ang a ay zero din, ang aming pagkakapantay-pantay ay kumukuha ng form 0 m 0 0 \u003d 0 m, Ito ay magiging totoo para sa anumang natural na halaga ng n, at hindi mahalaga kung ano ang eksaktong halaga ng degree 0 0 , iyon ay, maaari itong maging katumbas ng anumang bilang, at hindi ito makakaapekto sa katapatan ng pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, isang notasyon ng form 0 0 ay walang espesyal na kahulugan, at hindi namin ito ipatungkol sa kanya.

Kung ninanais, madali itong suriin isang 0 \u003d 1 nagtatagpo sa degree na pag-aari (a m) n \u003d a m n sa kondisyon na ang batayan ng degree ay hindi zero. Kaya, ang antas ng anumang numero na hindi nol na may zero exponent ay katumbas ng isa.

Halimbawa 2

Tingnan natin ang isang halimbawa na may tukoy na mga numero: Kaya, 5 0 - unit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 \u003d 1, at ang halaga 0 0 hindi natukoy.

Matapos ang zero degree, nananatili sa amin upang malaman kung ano ang negatibong degree. Upang magawa ito, kailangan namin ang parehong pag-aari ng produkto ng mga degree na may pantay na mga base, na ginamit na namin sa itaas: a m · a n \u003d a m + n.

Ipakilala natin ang kundisyon: m \u003d - n, kung gayon ang isang a ay hindi dapat katumbas ng zero. Sumusunod ito sa a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... Lumabas na isang n at a - n mayroon kaming kabaligtaran na mga numero.

Bilang isang resulta, ang isang hanggang sa isang integer negatibong lakas ay walang iba kundi isang maliit na bahagi 1 a n.

Kinukumpirma ng pagbabalangkas na para sa isang degree na may isang integer negatibong exponent, ang lahat ng parehong mga pag-aari ay may bisa bilang isang degree na may isang natural na exponent (sa kondisyon na ang base ay hindi zero).

Halimbawa 3

Ang lakas ng a na may negatibong integer n ay maaaring kinatawan bilang isang maliit na bahagi 1 a n. Kaya, a - n \u003d 1 a n sa ilalim ng kundisyon isang ≠ 0 at n ay anumang natural na numero.

Ilarawan natin ang ating kaisipan sa mga tiyak na halimbawa:

Halimbawa 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Sa huling bahagi ng talata, susubukan naming ilarawan ang lahat ng malinaw na sinabi sa isang pormula:

Kahulugan 4

Ang lakas ng bilang a na may natural na exponent z ay: az \u003d az, e na may l at z - integer positibo 1, z \u003d 0 at isang ≠ 0, (para sa at z \u003d 0 at a \u003d 0, nakukuha natin ang 0 0, ang mga halaga ng pagpapalawak ay 0 0 hindi KAHULUGAN) 1 az, kung at z ay isang integer at isang ≠ 0 (kung ang z ay isang integer at ang isang \u003d 0 ay magbubunga ng 0 z, ang ego z n sa n e n n d e d e n t)

Ano ang mga makatuwiran na degree na exponent

Sinuri namin ang mga kaso kung ang exponent ay naglalaman ng isang integer. Gayunpaman, maaari mo ring itaas ang isang numero sa isang lakas kapag mayroong isang praksyonal na numero sa exponent nito. Tinawag itong degree c makatuwirang tagapagpahiwatig... Sa subseksyon na ito mapatunayan namin na mayroon itong parehong mga katangian tulad ng iba pang mga degree.

Ano ang mga makatuwirang numero? Kasama sa kanilang hanay ang parehong buo at mga praksyonal na numero, habang ang mga numero ng praksyonal ay maaaring kinatawan bilang ordinaryong mga praksyon (parehong positibo at negatibo). Bumalangkas tayo sa kahulugan ng degree ng isang bilang a na may praksyonal na exponent m / n, kung saan ang n ay isang natural na numero at ang m ay isang integer.

Mayroon kaming ilang degree na may fractional exponent a m n. Upang masiyahan ang pag-aari ng degree hanggang degree, ang pagkakapantay-pantay a m n n \u003d a m n n \u003d a m ay dapat na totoo.

Dahil sa kahulugan ng nth root at na isang m n n \u003d a m, maaari nating tanggapin ang kundisyon a m n \u003d a m n kung ang isang m n ay may katuturan para sa mga ibinigay na halaga ng m, n at a.

Ang mga katangiang nasa itaas ng isang degree na may isang integer exponent ay wasto na ibinigay ng isang m n \u003d a m n.

Ang pangunahing konklusyon mula sa aming pangangatuwiran ay ang mga sumusunod: ang lakas ng ilang numero a na may praksyonal na exponent m / n ay ang n na ugat ng bilang a sa lakas ng m Ito ay totoo kung, para sa mga naibigay na halagang m, n, at a, ang pananalitang a m n ay mananatiling makabuluhan.

1. Maaari nating paghigpitan ang halaga ng base ng degree: kumuha ng isang, na para sa positibong halaga ng m ay magiging mas malaki sa o katumbas ng 0, at para sa mga negatibong halaga - mahigpit na mas mababa (dahil para sa m kumuha ka 0 m, ngunit ang degree na ito ay hindi tinukoy). Sa kasong ito, ang kahulugan ng isang degree na may isang maliit na exponent ay magiging ganito:

Ang lakas na may maliit na exponent m / n para sa ilang positibong numero a ay ang nth na ugat ng isang itataas sa lakas ng m. Sa anyo ng isang pormula, maaaring ito ay kinatawan bilang mga sumusunod:

Para sa isang degree na may zero base, ang posisyon na ito ay angkop din, ngunit kung ang exponent nito ay isang positibong numero.

Ang isang degree na may base zero at isang praksyonal na positibong exponent m / n ay maaaring ipahayag bilang

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 sa ilalim ng kundisyon ng positibong integer m at natural n.

Na may negatibong ratio m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Tandaan natin ang isang punto. Dahil ipinakilala namin ang kundisyon na ang a ay mas malaki sa o katumbas ng zero, pagkatapos ay bumagsak kami ng ilang mga kaso.

Ang expression na isang m n minsan ay may katuturan para sa ilang mga negatibong halaga ng a at ilang m. Kaya, ang mga entry (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 ay tama, kung saan ang base ay negatibo.

2. Ang pangalawang diskarte ay upang isaalang-alang nang magkahiwalay ang ugat ng isang n n na may pantay at kakaibang mga exponents. Pagkatapos ay kailangan nating ipakilala ang isa pang kundisyon: ang exponent a, sa exponent kung saan mayroong isang nakanselang ordinaryong maliit na bahagi, ay itinuturing na kapangyarihan ng a, sa exponent kung saan mayroong kaukulang irreducible maliit na bahagi. Mamaya ipapaliwanag namin kung bakit kailangan namin ang kondisyong ito at kung bakit ito napakahalaga. Kaya, kung mayroon kaming isang talaan ng isang m k n k, pagkatapos ay maaari nating bawasan ito sa isang m n at gawing simple ang mga kalkulasyon.

Kung ang n ay kakatwa at m ay positibo, ang a ay anumang hindi negatibong numero, kung gayon ang isang m n ay may katuturan. Ang kondisyon para sa isang hindi negatibong a ay kinakailangan, dahil ang isang pantay na ugat ng isang negatibong numero ay hindi nakuha. Kung ang halaga ng m ay positibo, pagkatapos ang isang ay maaaring maging negatibo o zero, mula noon ang isang kakatwang ugat ay maaaring makuha mula sa anumang tunay na numero.

Pagsamahin natin ang lahat ng kahulugan sa itaas ng data sa isang talaan:

Dito ang m / n ay nangangahulugang isang hindi mababawas na maliit na bahagi, ang m ay anumang integer, at ang n ay anumang natural na numero.

Kahulugan 5

Para sa anumang ordinaryong cancellable maliit na bahagi m · k n · k, ang degree ay maaaring mapalitan ng isang m n.

Ang kapangyarihan ng isang numero na may isang hindi mabawas na praksyonal na exponent m / n - ay maaaring ipahayag bilang isang m n sa mga sumusunod na kaso: - para sa anumang tunay na, integers positibong halaga m at kakaibang mga likas na halaga n. Halimbawa: 2 5 3 \u003d 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 \u003d 0 5 19.

Para sa anumang nonzero real a, negatibong integer m, at kakaibang n, halimbawa, 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7

Para sa anumang hindi negatibong a, positibong integer m at kahit n, halimbawa, 2 1 4 \u003d 2 1 4, (5, 1) 3 2 \u003d (5, 1) 3, 0 7 18 \u003d 0 7 18.

Para sa anumang positibong a, integer negatibong m at kahit n, halimbawa, 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 \u003d (5, 1) - 3,.

Para sa iba pang mga halaga, hindi tinukoy ang exponent ng praksyonal. Mga halimbawa ng mga nasabing degree: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Ipaliwanag natin ngayon ang kahalagahan ng kondisyong nabanggit sa itaas: bakit palitan ang maliit na bahagi ng isang nakanselang exponent na may isang maliit na bahagi na hindi maibabalik. Kung hindi namin ito ginawa, makukuha natin ang mga ganitong sitwasyon, sabihin nating, 6/10 \u003d 3/5. Kung gayon dapat itong totoo (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5, ngunit - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1, at (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.

Ang kahulugan ng degree na may isang praksyonal na tagapagpahiwatig, na ibinigay namin ang una, ay mas maginhawa upang magamit sa pagsasanay kaysa sa pangalawa, kaya't patuloy naming itong gagamitin.

Kahulugan 6

Kaya, ang antas ng isang positibong numero a na may isang praksyonal na exponent m / n ay tinukoy bilang 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0. Sa kaso ng negatibo a walang kabuluhan ang notasyong a m n. Kapangyarihan ng zero para sa mga positibong tagapakita ng praksyonal m / n ay tinukoy bilang 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0, para sa mga negatibong tagalabas ng exponents hindi namin tinukoy ang antas ng zero.

Sa mga konklusyon, tandaan namin na ang anumang tagapagpahiwatig ng praksyonal ay maaaring nakasulat tulad ng sa form halo-halong numero, at sa form maliit na bahagi ng decimal: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Kapag nagkakalkula, mas mahusay na palitan ang exponent ng isang ordinaryong praksyon at pagkatapos ay gamitin ang kahulugan ng isang exponent sa isang exponent na praksyonal. Para sa mga halimbawa sa itaas, nakukuha namin ang:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Ano ang mga degree na may isang hindi makatuwiran at wastong exponent

Ano ang mga totoong numero? Kasama sa kanilang hanay ang parehong makatuwiran at hindi makatuwiran na mga numero. Samakatuwid, upang maunawaan kung ano ang isang degree na may isang tunay na tagapagpahiwatig, kailangan nating tukuyin ang mga degree na may makatuwiran at hindi makatwiran na mga tagapagpahiwatig. Nabanggit na namin ang mga makatuwiran sa itaas. Makitungo tayo sa mga hindi makatuwirang tagapagpahiwatig nang paunahin.

Halimbawa 5

Ipagpalagay na mayroon kaming isang hindi makatuwiran na numero a at isang pagkakasunud-sunod ng mga decimal na pagtatantya nito sa isang 0, isang 1, isang 2,. ... ... ... Halimbawa, kunin natin ang halagang a \u003d 1.67175331. ... ... tapos

isang 0 \u003d 1.6, isang 1 \u003d 1.67, isang 2 \u003d 1.671 ,. ... ... , isang 0 \u003d 1.67, isang 1 \u003d 1.6717, isang 2 \u003d 1.671753 ,. ... ...

Maaari naming maiugnay ang isang pagkakasunud-sunod ng mga pagtatantya sa isang pagkakasunud-sunod ng mga degree a a 0, a a 1, a a 2,. ... ... ... Kung naalala mo ang sinabi natin kanina tungkol sa pagtataas ng mga numero sa isang makatuwirang kapangyarihan, maaari nating kalkulahin ang mga halaga ng mga kapangyarihang ito mismo.

Kumuha halimbawa a \u003d 3, pagkatapos ay isang a 0 \u003d 31.67, isang a 1 \u003d 31.6717, a a 2 \u003d 31.671753 ,. ... ... atbp.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga degree ay maaaring mabawasan sa isang numero, na kung saan ay ang halaga ng degree na may isang batayang a at isang hindi makatuwiran exponent a. Bilang isang resulta: isang degree na may isang hindi makatuwiran exponent tulad ng 3 1, 67175331. ... maaaring mabawasan sa bilang 6, 27.

Kahulugan 7

Ang antas ng isang positibong numero a na may isang hindi makatuwiran exponent a ay nakasulat bilang isang a. Ang halaga nito ay ang hangganan ng pagkakasunud-sunod a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... , kung saan ang isang 0, isang 1, isang 2,. ... ... ay sunud-sunod na approximations ng decimal na numero ng a. Ang degree na may zero base ay maaari ring matukoy para sa mga positibong tagapagpahiwatig na hindi makatuwiran, habang 0 a \u003d 0 Kaya, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. At para sa mga negatibo, hindi ito magagawa, dahil, halimbawa, ang halagang 0 - 5, 0 - 2 π ay hindi tinukoy. Ang isang yunit na itinaas sa anumang hindi katwirang lakas ay mananatiling isang yunit, halimbawa, at ang 1 2, 1 5 sa 2 at 1 - 5 ay katumbas ng 1.

Kung napansin mo ang isang error sa teksto, mangyaring piliin ito at pindutin ang Ctrl + Enter

Ang isa sa mga pangunahing katangian sa algebra, at sa lahat ng matematika, ay ang degree. Siyempre, sa ika-21 siglo, ang lahat ng mga kalkulasyon ay maaaring isagawa sa isang online calculator, ngunit mas mahusay para sa pag-unlad ng talino upang malaman kung paano mo ito gawin.

Sa artikulong ito, isasaalang-alang namin ang pinakamahalagang mga katanungan tungkol sa kahulugan na ito. Pangalanan, mauunawaan natin kung ano ito sa pangkalahatan at kung ano ang mga pangunahing pag-andar nito, kung anong mga katangian ang nasa matematika.

Tingnan natin ang mga halimbawa ng hitsura ng pagkalkula, ano ang pangunahing mga formula. Tingnan natin ang mga pangunahing uri ng dami at kung paano sila naiiba mula sa iba pang mga pagpapaandar.

Unawain natin kung paano malutas ang iba't ibang mga problema gamit ang halagang ito. Ipakita natin sa mga halimbawa kung paano itaas hanggang zero na lakas, hindi makatuwiran, negatibo, atbp

Exponentiation calculator sa online

Ano ang degree ng isang numero

Ano ang ibig sabihin ng ekspresyong "itaas ang isang bilang sa isang kapangyarihan"?

Ang lakas n ng bilang a ay ang produkto ng mga kadahilanan ng isang halaga n beses sa isang hilera.

Sa matematika, ganito ang hitsura:

a n \u003d a * a * a *… a n.

Halimbawa:

• 2 3 \u003d 2 sa pangatlong hakbang. \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 8;
• 4 2 \u003d 4 sa hakbang. dalawa \u003d 4 * 4 \u003d 16;
• 5 4 \u003d 5 sa hakbang. apat \u003d 5 * 5 * 5 * 5 \u003d 625;
• 10 5 \u003d 10 sa 5 mga hakbang. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 100000;
• 10 4 \u003d 10 sa 4 na mga hakbang. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 10000.

Sa ibaba ay magiging isang talahanayan ng mga parisukat at cubes mula 1 hanggang 10.

Talaan ng grado mula 1 hanggang 10

Sa ibaba ay bibigyan ang mga resulta ng pagtaas ng natural na mga numero sa mga positibong kapangyarihan - "mula 1 hanggang 100".

Mga katangian ng kuryente

Ano ang katangian ng naturang pag-andar sa matematika? Isaalang-alang natin ang pangunahing mga katangian.

Itinatag ng mga siyentista ang sumusunod mga palatandaan na katangian ng lahat ng mga degree:

• a n * a m \u003d (a) (n + m);
• a n: a m \u003d (a) (n-m);
• (a b) m \u003d (a) (b * m).

Suriin natin ang mga halimbawa:

2 3 * 2 2 \u003d 8 * 4 \u003d 32. Sa kabilang banda 2 5 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32.

Katulad nito: 2 3: 2 2 \u003d 8/4 \u003d 2. Kung hindi man 2 3-2 \u003d 2 1 \u003d 2.

(2 3) 2 \u003d 8 2 \u003d 64. At kung ito ay naiiba? 2 6 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32 * 2 \u003d 64.

Tulad ng nakikita mo, gumagana ang mga panuntunan.

Ngunit paano na na may karagdagan at pagbabawas? Simple lang. Una, ang exponentiation ay ginaganap, at pagkatapos lamang ang pagdaragdag at pagbabawas.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 \u003d 25 - 9 \u003d 16. Tandaan: ang patakaran ay hindi ipapatupad kung ibawas mo muna: (5 - 3) 2 \u003d 2 2 \u003d 4.

Ngunit sa kasong ito, dapat mo munang kalkulahin ang karagdagan, dahil may mga pagkilos sa mga braket: (5 + 3) 3 \u003d 8 3 \u003d 512.

Paano gumawa mga kalkulasyon sa higit pa mahirap na kaso ? Ang pamamaraan ay pareho:

• kung may mga braket - kailangan mong magsimula sa kanila;
• pagkatapos exponentiation;
• pagkatapos ay isagawa ang mga pagkilos ng pagpaparami, paghahati;
• pagkatapos ng pagdaragdag, pagbabawas.

Mayroong mga tiyak na katangian na hindi katangian ng lahat ng degree:

1. Ang n-th na ugat ng bilang a hanggang sa m na kapangyarihan ay isusulat bilang: a m / n.
2. Kapag tumataas ang isang maliit na bahagi sa isang kapangyarihan: kapwa ang numerator at ang denominator nito ay napapailalim sa pamamaraang ito.
3. Kapag nagtatayo ng isang trabaho magkakaibang numero sa isang kapangyarihan, ang expression ay tumutugma sa produkto ng mga numerong ito sa isang naibigay na lakas. Iyon ay: (a * b) n \u003d a n * b n.
4. Kapag tumataas ang isang numero sa isang negatibong hakbang., Kailangan mong hatiin ang 1 sa isang numero sa parehong st-no, ngunit may tanda na "+".
5. Kung ang denominator ng maliit na bahagi ay nasa isang negatibong lakas, kung gayon ang expression na ito ay magiging katumbas ng produkto ng numerator at ng denominator sa positibong lakas.
6. Anumang numero sa degree 0 \u003d 1, at sa hakbang. 1 \u003d sa sarili mo.

Ang mga patakarang ito ay mahalaga sa mga indibidwal na kaso, isasaalang-alang namin ang mga ito nang mas detalyado sa ibaba.

Degree na may negatibong exponent

Ano ang dapat gawin kapag ang degree ay minus, ibig sabihin kapag ang exponent ay negatibo?

Batay sa mga pag-aari 4 at 5 (tingnan ang punto sa itaas), kinalabasan:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

At kabaliktaran:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

At kung ang isang maliit na bahagi?

(A / B) (- n) \u003d (B / A) n, (3/5) (-2) \u003d (5/3) 2 \u003d 25/9.

Likas na antas ng exponent

Nauunawaan ito bilang isang degree na may mga tagapagpahiwatig na katumbas ng mga integer.

Bagay na dapat alalahanin:

Isang 0 \u003d 1, 1 0 \u003d 1; 2 0 \u003d 1; 3.15 0 \u003d 1; (-4) 0 \u003d 1 ... atbp.

A 1 \u003d A, 1 1 \u003d 1; 2 1 \u003d 2; 3 1 \u003d 3 ... atbp.

Bilang karagdagan, kung (-a) 2 n +2, n \u003d 0, 1, 2 ... kung gayon ang resulta ay magkakaroon ng isang "+" sign. Kung ang isang negatibong numero ay naitaas sa isang kakatwang kapangyarihan, pagkatapos ay kabaligtaran.

Ang mga pangkalahatang katangian, at lahat ng mga tukoy na tampok na inilarawan sa itaas, ay katangian din ng mga ito.

Fractional degree

Ang pananaw na ito ay maaaring nakasulat sa pamamagitan ng pamamaraan: A m / n. Binabasa ito bilang: n-th na ugat ng bilang A hanggang sa m na lakas.

Maaari mong gawin ang nais mo sa isang praksyonal ng praksyonal: bawasan ito, mabulok ito sa mga bahagi, itaas ito sa ibang antas, atbp.

Hindi makatuwiran na grado

Hayaan ang isang maging hindi makatuwiran na numero at A ˃ 0.

Upang maunawaan ang kakanyahan ng isang degree na may tulad na isang tagapagpahiwatig, isaalang-alang ang iba't ibang mga posibleng kaso:

• A \u003d 1. Ang resulta ay magiging katumbas ng 1. Dahil mayroong isang axiom - 1 sa lahat ng degree ay katumbas ng isa;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - mga makatuwirang numero;

• 0˂˂˂1.

Sa kasong ito, sa kabaligtaran: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 sa ilalim ng parehong mga kundisyon tulad ng sa ikalawang talata.

Halimbawa, ang exponent ay π. Ito ay makatuwiran.

r 1 - sa kasong ito ay katumbas ng 3;

r 2 - magiging katumbas ng 4.

Pagkatapos, para sa A \u003d 1, 1 π \u003d 1.

A \u003d 2, pagkatapos 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

А \u003d 1/2, pagkatapos (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Para sa mga ganoong degree, lahat pagpapatakbo ng matematika at ang mga tukoy na pag-aari na inilarawan sa itaas.

Konklusyon

Upang buod - para saan ang mga halagang ito, ano ang kalamangan ng mga ganitong pag-andar? Siyempre, una sa lahat, pinapasimple nila ang buhay ng mga matematiko at programmer kapag lumulutas ng mga halimbawa, dahil pinapayagan ka nilang i-minimize ang mga kalkulasyon, bawasan ang mga algorithm, systematize ang data, at marami pa.

Saan pa maaaring maging kapaki-pakinabang ang kaalamang ito? Kahit papaano specialty sa pagtatrabaho: gamot, parmasyolohiya, pagpapagaling ng mga ngipin, konstruksyon, inhenyeriya, inhinyeriya, disenyo, atbp

Mga formula ng kuryente ay ginagamit sa proseso ng pagbawas at pagpapagaan ng mga kumplikadong ekspresyon, sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Bilang c ay isang n-ang lakas ng bilang a kailan:

Mga operasyon na may degree.

1. Pagdaragdag ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay nagdagdag ng:

isang mA n \u003d a m + n.

2. Sa paghahati ng mga degree na may parehong base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay binawas:

3. Ang antas ng produkto ng 2 o higit pang mga kadahilanan ay katumbas ng produkto ng mga degree ng mga kadahilanang ito:

(abc ...) n \u003d a n b n c n ...

4. Ang lakas ng isang maliit na bahagi ay katumbas ng ratio ng mga kapangyarihan ng dividend at ng tagahati:

(a / b) n \u003d a n / b n.

5. Ang pagtaas ng degree sa isang degree, ang mga exponent ay pinarami:

(a m) n \u003d a m n.

Ang bawat isa sa pormula sa itaas ay totoo mula kaliwa hanggang kanan at kabaligtaran.

halimbawa. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2 · · 3 · 5 / / 15 \u003d \u003d 900/225 \u003d 4.

Root operasyon.

1. Ang ugat ng produkto ng maraming mga kadahilanan ay katumbas ng produkto ng mga ugat ng mga kadahilanang ito:

2. Ang ugat ng pakikipag-ugnay ay katumbas ng ratio ng dividend at ang namamahagi ng mga ugat:

3. Kapag tumataas ang isang ugat sa isang kapangyarihan, sapat na upang itaas ang root number sa lakas na ito:

4. Kung taasan ang antas ng ugat sa n sabay at sabay na build in n-th kapangyarihan ng root number, pagkatapos ang root root ay hindi magbabago:

5. Kung bawasan ang antas ng ugat sa n sabay at sabay na kunin ang ugat n-th kapangyarihan ng root number, pagkatapos ang root root ay hindi magbabago:

Degree na may negatibong exponent.Ang lakas ng isang numero na may isang hindi positibo (buong) exponent ay tinukoy bilang isang yunit na hinati ng lakas ng parehong numero na may isang exponent na katumbas ng ganap na halaga tagapagpahiwatig na hindi positibo:

Pormula isang m: a n \u003d a m - n maaaring magamit hindi lamang para sa m> n , ngunit din sa m< n.

halimbawa. a 4: a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.

Kaya't ang formula isang m: a n \u003d a m - n naging patas nang m \u003d n, ang pagkakaroon ng isang zero degree ay kinakailangan.

Zero grade.Ang lakas ng anumang hindi bilang na numero na may zero exponent ay katumbas ng isa.

halimbawa. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Fractional exponent.Upang magtayo ng isang tunay na numero at sa degree m / n, kailangan mong kunin ang ugat n-th degree ng m-ang lakas ng bilang na ito at.

Ang pagpapatuloy ng pag-uusap tungkol sa antas ng isang numero, lohikal na malaman kung paano makahanap ng halaga ng degree. Ang prosesong ito ay pinangalanan pagpapalawak... Sa artikulong ito, pag-aaralan lamang natin kung paano ginaganap ang exponentiation, habang hinahawakan ang lahat ng mga posibleng exponents - natural, buo, makatuwiran at hindi makatuwiran. At ayon sa tradisyon, isasaalang-alang namin nang detalyado ang mga solusyon ng mga halimbawa ng pagtaas ng bilang sa iba't ibang mga kapangyarihan.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang ibig sabihin ng exponentiation?

Dapat kang magsimula sa pamamagitan ng pagpapaliwanag kung ano ang tinatawag na exponentiation. Narito ang naaangkop na kahulugan.

Kahulugan

Exponentiation - ito ay ang paghahanap ng halaga ng lakas ng isang numero.

Kaya, ang paghahanap ng halaga ng lakas ng isang bilang a na may exponent r at pagtaas ng numero a sa lakas r ay pareho. Halimbawa, kung ang problema ay "kalkulahin ang halaga ng degree (0.5) 5", pagkatapos ay maaari itong repormahin tulad ng sumusunod: "Itaas ang bilang na 0.5 sa lakas ng 5".

Ngayon ay maaari kang direktang pumunta sa mga patakaran kung saan isinagawa ang exponentiation.

Pagtaas ng isang numero sa isang likas na kapangyarihan

Sa pagsasagawa, ang pagkakapantay-pantay sa batayan ay karaniwang inilalapat sa form. Iyon ay, kapag tinaasan ang bilang a sa isang praksyonal na lakas m / n, ang nth na ugat ng bilang a ay unang nakuha, pagkatapos na ang resulta ay itinaas sa isang integer power m.

Isaalang-alang natin ang mga solusyon ng mga halimbawa ng pagtaas sa isang lakas na praksyonal.

Halimbawa.

Kalkulahin ang exponent na halaga.

Desisyon.

Magpapakita kami ng dalawang paraan upang malutas ito.

Ang unang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan, isang tagapagpahiwatig ng praksyonal. Kinakalkula namin ang halaga ng degree sa ilalim ng root sign, pagkatapos na kumuha kami ugat ng kubiko: .

Pangalawang paraan. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may isang maliit na exponent at batay sa mga katangian ng mga ugat, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo ... Kinukuha namin ngayon ang ugat sa wakas, itaas sa isang buong kapangyarihan .

Malinaw na, ang nakuha na mga resulta ng pagtaas sa isang praksyonal na lakas ay nag-tutugma.

Sagot:

Tandaan na ang isang exponent na praksyonal ay maaaring nakasulat sa anyo ng isang decimal maliit na bahagi o isang halo-halong numero, sa mga kasong ito dapat itong mapalitan ng kaukulang ordinaryong praksyon, at pagkatapos ay itinaas sa isang lakas.

Halimbawa.

Kalkulahin (44.89) 2.5.

Desisyon.

Isulat natin ang exponent sa form karaniwang praksiyon (tingnan ang artikulo kung kinakailangan): ... Nagsasagawa kami ngayon ng praksyonal na pagpapalawak:

Sagot:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Dapat ding sabihin na ang pagtaas ng mga numero sa mga nakapangangatwiran na kapangyarihan ay sapat matrabahong proseso (lalo na kung may sapat na malalaking numero sa numerator at denominator ng praksyonal na tagapaglabas), na karaniwang isinasagawa gamit ang teknolohiya ng computer.

Bilang pagtatapos ng puntong ito, mag-isip muna tayo sa pagtaas ng bilang na zero sa isang praksyonal na lakas. Ibinigay namin ang sumusunod na kahulugan sa praksyonal na degree na zero ng form: para sa, mayroon kami , at sa zero sa lakas ng m / n ay hindi natukoy. Kaya, zero sa isang praksyonal na positibong lakas ay zero, halimbawa, ... At ang zero sa isang praksyonal na negatibong lakas ay walang katuturan, halimbawa, ang mga expression at 0 -4.3 ay walang katuturan.

Hindi makatuwirang pagpapalawak

Minsan ito ay kinakailangan upang malaman ang halaga ng lakas ng isang numero na may isang hindi makatuwiran exponent. Sa kasong ito, para sa mga praktikal na layunin, karaniwang sapat upang makuha ang halaga ng degree na tumpak sa isang tiyak na pag-sign. Napansin namin kaagad na sa pagsasagawa ang halagang ito ay kinakalkula gamit ang mga elektronikong computer, dahil ang pagtaas sa isang hindi makatuwiran na kapangyarihan nang manu-mano ay nangangailangan ng maraming mga kumplikadong kalkulasyon. Ngunit gayon pa man, ilalarawan namin sa pangkalahatang mga termino ang kakanyahan ng mga aksyon.

Upang makakuha ng isang tinatayang halaga ng lakas ng bilang a na may isang hindi makatuwiran na exponent, ang ilang decimal na approximation ng exponent ay kinuha, at ang halaga ng exponent ay kinakalkula. Ang halagang ito ay isang tinatayang halaga ng lakas ng bilang a na may isang hindi makatuwirang exponent. Ang mas tumpak na decimal na approximation ng numero ay kukuha ng una, mas tumpak ang halaga ng degree ay sa huli.

Bilang isang halimbawa, kalkulahin natin ang tinatayang halaga ng lakas ng 2 1.174367 .... Kunin natin ang sumusunod na approximation ng decimal hindi makatwirang tagapagpahiwatig:. Ngayon itaas namin ang 2 sa nakapangangatwiran na kapangyarihan ng 1.17 (inilarawan namin ang kakanyahan ng prosesong ito sa nakaraang talata), nakukuha namin ang 2 1.17 ≈2.250116. Kaya, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... Kung kukuha kami ng isang mas tumpak na approximation ng decimal ng isang hindi makatuwirang exponent, halimbawa, makakakuha kami ng isang mas tumpak na halaga ng orihinal na exponent: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Listahan ng mga sanggunian.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Aklat para sa matematikaZh para sa ika-5 baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-7 baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang libro para sa baitang 8. institusyong pang-edukasyon.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-9 na baitang. institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa. Algebra at ang simula ng pagtatasa: Teksbuk para sa 10 - 11 mga marka ng mga institusyong pang-edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (isang gabay para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).