Unang antas

Geometric na pag-unlad. Komprehensibong gabay may mga halimbawa (2019)

Pagkakasunod-sunod ng numero

Kaya, umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa mga ito hangga't gusto mo (sa aming kaso, mayroon sila). Gaano man karaming mga numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang nakatalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa pagkakasunud-sunod. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng ika-numero) ay palaging pareho.

Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-na miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa kaso natin:

Ang pinakakaraniwang uri ng progression ay arithmetic at geometric. Sa paksang ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa pangalawang uri - geometric na pag-unlad.

Bakit kailangan ang geometric progression at ang kasaysayan nito?

Kahit noong sinaunang panahon, ang Italyano na mathematician na monghe na si Leonardo ng Pisa (mas kilala bilang Fibonacci) ay humarap sa mga praktikal na pangangailangan ng kalakalan. Ang monghe ay nahaharap sa gawain ng pagtukoy kung ano ang pinakamaliit na bilang ng mga timbang na maaaring gamitin sa pagtimbang ng isang produkto? Sa kanyang mga gawa, pinatunayan ni Fibonacci na ang gayong sistema ng mga timbang ay pinakamainam: Ito ay isa sa mga unang sitwasyon kung saan ang mga tao ay kailangang harapin ang isang geometric na pag-unlad, na marahil ay narinig mo na at mayroon nang hindi bababa sa. pangkalahatang konsepto. Kapag naunawaan mo nang lubusan ang paksa, isipin kung bakit pinakamainam ang ganitong sistema?

Sa kasalukuyan, sa pagsasanay sa buhay, geometric na pag-unlad Ito ay nagpapakita ng sarili kapag namumuhunan ng pera sa isang bangko, kapag ang halaga ng interes ay kinakalkula sa halagang naipon sa account para sa nakaraang panahon. Sa madaling salita, kung naglalagay ka ng pera sa isang time deposit sa isang savings bank, pagkatapos ng isang taon ang deposito ay tataas ng orihinal na halaga, i.e. ang bagong halaga ay magiging katumbas ng kontribusyon na pinarami ng. Sa ibang taon, ang halagang ito ay tataas ng, i.e. ang halaga na nakuha sa oras na iyon ay muling i-multiply sa at iba pa. Ang isang katulad na sitwasyon ay inilarawan sa mga problema ng pagkalkula ng tinatawag na tambalang interes- ang porsyento ay kinuha sa bawat oras mula sa halaga na nasa account, na isinasaalang-alang ang nakaraang interes. Pag-uusapan natin ang mga gawaing ito mamaya.

Marami pang mga simpleng kaso kung saan inilalapat ang geometric progression. Halimbawa, ang pagkalat ng trangkaso: ang isang tao ay nahawahan ng isa pang tao, sila naman ay nahawahan ng isa pang tao, at sa gayon ang pangalawang alon ng impeksyon ay isang tao, at sila naman ay nahawahan ng isa pa... at iba pa.. .

Sa pamamagitan ng paraan, ang isang financial pyramid, ang parehong MMM, ay isang simple at tuyo na pagkalkula batay sa mga katangian ng isang geometric na pag-unlad. Interesting? Alamin natin ito.

Geometric na pag-unlad.

Sabihin nating mayroon tayong sequence ng numero:

Sasagutin mo agad na madali lang at ang pangalan ng naturang sequence ay pag-unlad ng aritmetika sa pagkakaiba ng mga miyembro nito. Paano ito:

Kung ibawas mo ang nauna sa susunod na numero, makikita mo na sa bawat oras na makakakuha ka ng bagong pagkakaiba (at iba pa), ngunit ang pagkakasunud-sunod ay tiyak na umiiral at madaling mapansin - ang bawat kasunod na numero ay beses na mas malaki kaysa sa nauna!

Ang ganitong uri ng pagkakasunod-sunod ng numero ay tinatawag geometric na pag-unlad at itinalaga.

Ang geometric progression () ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Ang mga paghihigpit na ang unang termino ( ) ay hindi pantay at hindi random. Ipagpalagay natin na wala, at ang unang termino ay pantay pa rin, at ang q ay katumbas ng, hmm.. hayaan mo, pagkatapos ito ay lumabas:

Sumang-ayon na hindi na ito pag-unlad.

Tulad ng naiintindihan mo, makakakuha kami ng parehong mga resulta kung mayroong anumang numero maliban sa zero, a. Sa mga kasong ito, walang magiging progression, dahil ang buong serye ng numero ay magiging lahat ng mga zero, o isang numero, at ang lahat ng natitira ay magiging mga zero.

Ngayon ay pag-usapan natin nang mas detalyado ang tungkol sa denominator ng geometric progression, iyon ay, o.

Ulitin natin: - ito ang numero ilang beses nagbabago ang bawat kasunod na termino? geometric na pag-unlad.

Ano sa tingin mo ang maaaring mangyari? Tama iyon, positibo at negatibo, ngunit hindi zero (napag-usapan namin ito nang mas mataas ng kaunti).

Ipagpalagay natin na ang atin ay positibo. Hayaan sa aming kaso, a. Ano ang halaga ng ikalawang termino at? Madali mong masasagot iyan:

Tama iyan. Alinsunod dito, kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo.

Paano kung negatibo? Halimbawa, a. Ano ang halaga ng ikalawang termino at?

Ito ay isang ganap na naiibang kuwento

Subukang bilangin ang mga tuntunin ng pag-unlad na ito. Magkano ang nakuha mo? Meron akong. Kaya, kung, pagkatapos ay ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad ay kahalili. Ibig sabihin, kung makakita ka ng progression na may mga alternating sign para sa mga miyembro nito, negatibo ang denominator nito. Makakatulong sa iyo ang kaalamang ito na subukan ang iyong sarili kapag nilulutas ang mga problema sa paksang ito.

Ngayon ay magsanay tayo ng kaunti: subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang geometric na pag-unlad at kung alin ang isang pag-unlad ng aritmetika:

Nakuha ko? Ihambing natin ang ating mga sagot:

• Geometric na pag-unlad - 3, 6.
• Arithmetic progression - 2, 4.
• Ito ay hindi isang aritmetika o isang geometric na pag-unlad - 1, 5, 7.

Bumalik tayo sa ating huling pag-unlad at subukang hanapin ang miyembro nito, tulad ng sa aritmetika. Tulad ng maaaring nahulaan mo, mayroong dalawang paraan upang mahanap ito.

Sunud-sunod nating pinarami ang bawat termino sa.

Kaya, ang ika-termino ng inilarawang geometric na pag-unlad ay katumbas ng.

Tulad ng nahulaan mo na, ngayon ikaw mismo ay makakakuha ng isang formula na tutulong sa iyo na mahanap ang sinumang miyembro ng geometric progression. O binuo mo na ba ito para sa iyong sarili, na naglalarawan kung paano hanapin ang ika-miyembro nang hakbang-hakbang? Kung gayon, suriin kung tama ang iyong pangangatwiran.

Ilarawan natin ito sa halimbawa ng paghahanap ng ika-taning termino ng pag-unlad na ito:

Sa ibang salita:

Hanapin ang halaga ng termino ng ibinigay na geometric progression sa iyong sarili.

Nangyari? Ihambing natin ang ating mga sagot:

Pakitandaan na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, kapag sunud-sunod naming pinarami sa bawat nakaraang termino ng geometric na pag-unlad.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - ilagay natin ito sa pangkalahatang anyo at makuha ang:

Ang nagmula na formula ay totoo para sa lahat ng mga halaga - parehong positibo at negatibo. Suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad na may mga sumusunod na kundisyon: , a.

Nagbilang ka ba? Ihambing natin ang mga resulta:

Sumang-ayon na posibleng makahanap ng termino ng isang pag-unlad sa parehong paraan tulad ng isang termino, gayunpaman, may posibilidad na mali ang pagkalkula. At kung nahanap na natin ang ika-kataga ng geometric na pag-unlad, kung gayon ano ang maaaring mas simple kaysa sa paggamit ng "pinutol" na bahagi ng formula.

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Kamakailan lamang ay napag-usapan namin ang katotohanan na maaaring magkaroon ng parehong higit pa at mas mababa sa zero, gayunpaman, may mga espesyal na halaga kung saan tinatawag ang geometric progression walang katapusan na bumababa.

Bakit sa palagay mo ibinigay ang pangalang ito?
Una, isulat natin ang ilang geometric progression na binubuo ng mga termino.
Sabihin natin, kung gayon:

Nakikita namin na ang bawat kasunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna sa pamamagitan ng isang kadahilanan, ngunit magkakaroon ba ng anumang numero? Sasagot ka kaagad - "hindi". Iyon ang dahilan kung bakit ito ay walang katapusan na bumababa - ito ay bumababa at bumababa, ngunit hindi kailanman nagiging zero.

Upang malinaw na maunawaan kung paano ito nakikita, subukan nating gumuhit ng graph ng ating pag-unlad. Kaya, para sa aming kaso, ang formula ay tumatagal ng sumusunod na form:

Sa mga graph, nakasanayan na nating magplano ng pag-asa, samakatuwid:

Ang kakanyahan ng expression ay hindi nagbago: sa unang entry ipinakita namin ang pag-asa ng halaga ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad sa ordinal na numero nito, at sa pangalawang entry kinuha lang namin ang halaga ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad bilang , at itinalaga ang ordinal na numero hindi bilang, ngunit bilang. Ang kailangan lang gawin ay bumuo ng isang graph.
Tingnan natin kung ano ang nakuha mo. Narito ang graph na aking naisip:

Nakikita mo ba? Bumababa ang function, nagiging zero, ngunit hindi ito lumalampas, kaya walang katapusan itong bumababa. Markahan natin ang ating mga punto sa graph, at sa parehong oras kung ano ang ibig sabihin ng coordinate at:

Subukang ilarawan nang eskematiko ang isang graph ng isang geometric na pag-unlad kung ang unang termino nito ay pantay din. Suriin kung ano ang pagkakaiba sa aming nakaraang graph?

Inayos mo ba? Narito ang graph na aking naisip:

Ngayon na ganap mong naunawaan ang mga pangunahing kaalaman ng paksa ng geometric na pag-unlad: alam mo kung ano ito, alam mo kung paano hanapin ang termino nito, at alam mo rin kung ano ang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, lumipat tayo sa pangunahing pag-aari nito.

Property ng geometric progression.

Naaalala mo ba ang pag-aari ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic? Oo, oo, kung paano mahanap ang halaga ng isang tiyak na bilang ng isang pag-unlad kapag may mga nauna at kasunod na mga halaga ng mga tuntunin ng pag-unlad na ito. Naaalala mo ba? ito:

Ngayon ay nahaharap tayo sa eksaktong parehong tanong para sa mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad. Upang makuha ang gayong pormula, simulan natin ang pagguhit at pangangatwiran. Makikita mo, napakadali nito, at kung nakalimutan mo, maaari mo itong ilabas sa iyong sarili.

Kumuha tayo ng isa pang simpleng geometric progression, kung saan alam natin at. Paano hanapin? Sa pag-unlad ng aritmetika ito ay madali at simple, ngunit paano ang tungkol dito? Sa katunayan, walang kumplikado sa geometric alinman - kailangan mo lamang isulat ang bawat halaga na ibinigay sa amin ayon sa formula.

Maaari mong itanong, ano ang dapat nating gawin tungkol dito ngayon? Oo, napakasimple. Una, ilarawan natin ang mga formula na ito sa isang larawan at subukang gumawa ng iba't ibang manipulasyon sa kanila upang makarating sa halaga.

I-abstract natin ang mga numerong ibinibigay sa atin, tumutok lamang tayo sa kanilang ekspresyon sa pamamagitan ng formula. Kailangan nating hanapin ang value na naka-highlight kulay kahel, alam ang mga miyembrong katabi nito. Subukan nating gumawa sa kanila iba't ibang aksyon, bilang isang resulta kung saan maaari naming makuha.

Dagdag.
Subukan nating magdagdag ng dalawang expression at makuha natin:

Mula sa expression na ito, tulad ng nakikita mo, hindi namin maipahayag ito sa anumang paraan, samakatuwid, susubukan namin ang isa pang pagpipilian - pagbabawas.

Pagbabawas.

Tulad ng nakikita mo, hindi rin natin ito maipahayag, samakatuwid, subukan nating i-multiply ang mga expression na ito sa bawat isa.

Pagpaparami.

Ngayon tingnang mabuti kung ano ang mayroon tayo sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga termino ng geometric na pag-unlad na ibinigay sa atin kumpara sa kung ano ang kailangang matagpuan:

Hulaan mo kung ano ang sinasabi ko? Tama, para mahanap kailangan nating kunin Kuwadrado na ugat mula sa mga geometric na numero ng pag-unlad na katabi ng nais na isa na pinarami ng bawat isa:

Eto na. Ikaw mismo ang nakakuha ng pag-aari ng geometric progression. Subukang isulat ang formula na ito pangkalahatang pananaw. Nangyari?

Nakalimutan ang kondisyon para sa? Isipin kung bakit ito mahalaga, halimbawa, subukang kalkulahin ito sa iyong sarili. Ano ang mangyayari sa kasong ito? Tama, kumpletong kalokohan dahil ang formula ay ganito:

Alinsunod dito, huwag kalimutan ang limitasyong ito.

Ngayon kalkulahin natin kung ano ang katumbas nito

Tamang sagot - ! Kung hindi mo nakalimutan ang pangalawang posibleng halaga sa panahon ng pagkalkula, kung gayon ikaw ay mahusay at maaari kaagad na magpatuloy sa pagsasanay, at kung nakalimutan mo, basahin kung ano ang tinalakay sa ibaba at bigyang-pansin kung bakit kinakailangang isulat ang parehong mga ugat sa sagot.

Iguhit natin ang pareho ng ating mga geometric na pag-unlad - ang isa ay may halaga at ang isa ay may halaga at suriin kung pareho silang may karapatang umiral:

Upang masuri kung ang gayong geometric na pag-unlad ay umiiral o wala, kinakailangan upang makita kung ang lahat ng mga ibinigay na termino ay pareho? Kalkulahin ang q para sa una at pangalawang kaso.

Tingnan kung bakit kailangan nating magsulat ng dalawang sagot? Dahil ang sign ng term na hinahanap mo ay depende kung positive o negative! At dahil hindi natin alam kung ano ito, kailangan nating isulat ang parehong mga sagot na may plus at minus.

Ngayon na pinagkadalubhasaan mo ang mga pangunahing punto at nakuha ang pormula para sa pag-aari ng geometric progression, hanapin, alamin at

Ihambing ang iyong mga sagot sa mga tama:

Ano sa palagay mo, paano kung bibigyan kami ng hindi mga halaga ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad na katabi ng nais na numero, ngunit katumbas ng layo mula dito. Halimbawa, kailangan nating hanapin, at bigyan at. Maaari ba nating gamitin ang formula na nakuha natin sa kasong ito? Subukang kumpirmahin o pabulaanan ang posibilidad na ito sa parehong paraan, na naglalarawan kung ano ang binubuo ng bawat halaga, tulad ng ginawa mo noong orihinal mong hinango ang formula, sa.
Ano ang nakuha mo?

Ngayon tingnan mong mabuti.
at naaayon:

Mula dito maaari nating tapusin na gumagana ang formula hindi lang sa kapitbahay na may mga nais na termino ng geometric na pag-unlad, ngunit pati na rin sa magkapantay ang layo mula sa hinahanap ng mga miyembro.

Kaya, ang aming paunang pormula ay nasa anyo:

Ibig sabihin, kung sa unang kaso sinabi natin iyan, ngayon sasabihin natin na maaari itong maging katumbas ng anumang natural na numero na mas maliit. Ang pangunahing bagay ay pareho ito para sa parehong ibinigay na mga numero.

Magsanay sa tiyak na mga halimbawa, mag-ingat ka lang!

1. , . Hanapin.
2. , . Hanapin.
3. , . Hanapin.

Nagpasya? Umaasa ako na ikaw ay lubos na matulungin at napansin ang isang maliit na catch.

Ihambing natin ang mga resulta.

Sa unang dalawang kaso, mahinahon naming inilalapat ang formula sa itaas at makuha ang mga sumusunod na halaga:

Sa ikatlong kaso, kapag maingat naming sinusuri ang mga serial number ng mga numerong ibinigay sa amin, nauunawaan namin na ang mga ito ay hindi katumbas ng distansya mula sa numerong hinahanap namin: ito ang nakaraang numero, ngunit tinanggal sa isang posisyon, kaya ito ay hindi posible na ilapat ang formula.

Paano ito lutasin? Ito ay talagang hindi kasing hirap ng tila! Isulat natin kung ano ang binubuo ng bawat numero na ibinigay sa atin at ang numerong hinahanap natin.

Kaya mayroon kaming at. Tingnan natin kung ano ang magagawa natin sa kanila? Iminumungkahi kong hatiin sa pamamagitan ng. Nakukuha namin:

Pinapalitan namin ang aming data sa formula:

Ang susunod na hakbang na mahahanap natin - para dito kailangan nating gawin ugat ng kubo mula sa resultang numero.

Ngayon tingnan natin muli kung ano ang mayroon tayo. Mayroon tayo nito, ngunit kailangan nating hanapin ito, at ito naman, ay katumbas ng:

Natagpuan namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagkalkula. Palitan sa formula:

Ang aming sagot: .

Subukang lutasin ang isa pang katulad na problema sa iyong sarili:
Ibinigay: ,
Hanapin:

Magkano ang nakuha mo? Meron akong - .

Tulad ng nakikita mo, mahalagang kailangan mo tandaan ang isang formula lamang- . Maaari mong bawiin ang lahat ng natitira sa iyong sarili nang walang anumang kahirapan anumang oras. Upang gawin ito, isulat lamang ang pinakasimpleng geometric na pag-unlad sa isang piraso ng papel at isulat kung ano ang katumbas ng bawat isa sa mga numero nito, ayon sa formula na inilarawan sa itaas.

Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad.

Ngayon tingnan natin ang mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na kalkulahin ang kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad sa isang naibigay na agwat:

Upang makuha ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang may hangganang geometric na pag-unlad, i-multiply ang lahat ng bahagi ng equation sa itaas sa. Nakukuha namin:

Tingnang mabuti: ano ang pagkakatulad ng huling dalawang formula? Tama, mga karaniwang miyembro, halimbawa, at iba pa, maliban sa una at huling miyembro. Subukan nating ibawas ang 1st sa 2nd equation. Ano ang nakuha mo?

Ngayon ipahayag ang termino ng geometric progression sa pamamagitan ng formula at palitan ang resultang expression sa aming huling formula:

Pangkatin ang ekspresyon. Dapat kang makakuha ng:

Ang kailangan na lang gawin ay ipahayag:

Alinsunod dito, sa kasong ito.

Paano kung? Anong formula ang gumagana pagkatapos? Isipin ang isang geometric na pag-unlad sa. Ano siya? Ang isang serye ng magkatulad na mga numero ay tama, kaya ang formula ay magiging ganito:

Mayroong maraming mga alamat tungkol sa parehong arithmetic at geometric progression. Isa na rito ang alamat ni Set, ang lumikha ng chess.

Alam ng maraming tao na ang laro ng chess ay naimbento sa India. Nang makilala siya ng haring Hindu, natuwa siya sa kanyang katalinuhan at sa iba't ibang posisyon na posible sa kanya. Nang malaman na ito ay naimbento ng isa sa kanyang mga nasasakupan, nagpasya ang hari na personal siyang gantimpalaan. Ipinatawag niya ang imbentor sa kanyang sarili at inutusan siyang hilingin sa kanya ang lahat ng gusto niya, na nangangako na tuparin kahit na ang pinaka mahusay na pagnanais.

Humingi si Seta ng panahon para makapag-isip, at nang sumunod na araw ay humarap si Seta sa hari, nagulat siya sa hari sa walang katulad na kahinhinan ng kanyang kahilingan. Hiniling niya na magbigay ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, isang butil ng trigo para sa pangalawa, isang butil ng trigo para sa ikatlo, isang ikaapat, atbp.

Nagalit ang hari at itinaboy si Seth, na sinasabi na ang kahilingan ng alipin ay hindi karapat-dapat sa kabutihang-loob ng hari, ngunit nangako na tatanggapin ng alipin ang kanyang mga butil para sa lahat ng mga parisukat ng tabla.

At ngayon ang tanong: gamit ang formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad, kalkulahin kung gaano karaming mga butil ang dapat matanggap ni Seth?

Simulan na natin ang pangangatwiran. Dahil, ayon sa kondisyon, si Seth ay humingi ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, para sa pangalawa, para sa ikatlo, para sa ikaapat, atbp., pagkatapos ay makikita natin iyon sa problema. pinag-uusapan natin tungkol sa geometric progression. Ano ang katumbas nito sa kasong ito?
Tama.

Kabuuang mga parisukat ng chessboard. Kaugnay nito, . Mayroon kaming lahat ng data, ang natitira lamang ay isaksak ito sa formula at kalkulahin.

Upang isipin ang hindi bababa sa humigit-kumulang na "scale" ng isang naibigay na numero, binabago namin ang paggamit ng mga katangian ng degree:

Siyempre, kung gusto mo, maaari kang kumuha ng calculator at kalkulahin kung anong numero ang napupunta sa iyo, at kung hindi, kailangan mong kunin ang aking salita para dito: ang huling halaga ng expression ay magiging.
Yan ay:

quintillion quadrillion trillion billion million thousand.

Phew) Kung gusto mong isipin ang kalakihan ng bilang na ito, tantiyahin kung gaano kalaki ang isang kamalig na kakailanganin upang ma-accommodate ang buong dami ng butil.
Kung ang kamalig ay m mataas at m ang lapad, ang haba nito ay kailangang pahabain ng km, i.e. dalawang beses na mas malayo kaysa sa Earth hanggang sa Araw.

Kung ang hari ay malakas sa matematika, maaari niyang anyayahan ang mismong siyentipiko na magbilang ng mga butil, dahil upang mabilang ang isang milyong butil, kakailanganin niya ng hindi bababa sa isang araw ng walang kapagurang pagbibilang, at dahil kailangan na magbilang ng quintillion, ang mga butil. ay kailangang mabilang sa buong buhay niya.

Ngayon, lutasin natin ang isang simpleng problema na kinasasangkutan ng kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad.
Ang isang mag-aaral ng klase 5A Vasya ay nagkasakit ng trangkaso, ngunit patuloy na pumasok sa paaralan. Araw-araw ay nahahawa ni Vasya ang dalawang tao, na, naman, ay nakakahawa ng dalawa pang tao, at iba pa. May tao lang sa klase. Sa ilang araw magkakaroon ng trangkaso ang buong klase?

Kaya, ang unang termino ng geometric progression ay Vasya, iyon ay, isang tao. Ang ika-apat na termino ng geometric progression ay ang dalawang taong nahawahan niya sa unang araw ng kanyang pagdating. kabuuang halaga ang mga miyembro ng progression ay katumbas ng bilang ng mga mag-aaral sa 5A. Alinsunod dito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang pag-unlad kung saan:

Ipalit natin ang ating data sa formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad:

Ang buong klase ay magkakasakit sa loob ng mga araw. Hindi naniniwala sa mga formula at numero? Subukang ilarawan ang "impeksyon" ng mga mag-aaral sa iyong sarili. Nangyari? Tingnan kung ano ang hitsura nito para sa akin:

Kalkulahin para sa iyong sarili kung ilang araw ang aabutin para sa mga mag-aaral na magkasakit ng trangkaso kung ang bawat isa ay nahawahan ng isang tao, at mayroon lamang isang tao sa klase.

Anong halaga ang nakuha mo? Ito ay lumabas na ang lahat ay nagsimulang magkasakit pagkatapos ng isang araw.

Tulad ng nakikita mo, ang gayong gawain at ang pagguhit para dito ay kahawig ng isang pyramid, kung saan ang bawat kasunod na isa ay "nagdudulot" ng mga bagong tao. Gayunpaman, sa lalong madaling panahon darating ang isang sandali na ang huli ay hindi makaakit ng sinuman. Sa aming kaso, kung akala namin na ang klase ay nakahiwalay, ang tao mula sa pagsasara ng chain (). Kaya, kung ang isang tao ay kasangkot sa isang financial pyramid kung saan ibinigay ang pera kung nagdala ka ng dalawa pang kalahok, kung gayon ang tao (o pangkalahatang kaso) ay hindi magdadala ng sinuman, at samakatuwid ay mawawala ang lahat ng kanilang namuhunan sa pinansiyal na scam na ito.

Ang lahat ng sinabi sa itaas ay tumutukoy sa isang bumababa o tumataas na geometric na pag-unlad, ngunit, tulad ng naaalala mo, mayroon kaming isang espesyal na uri - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Paano makalkula ang kabuuan ng mga miyembro nito? At bakit ang ganitong uri ng pag-unlad ay may ilang mga katangian? Sabay-sabay nating alamin ito.

Kaya, una, tingnan natin muli ang pagguhit na ito ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad mula sa aming halimbawa:

Ngayon tingnan natin ang pormula para sa kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, na nakuha nang mas maaga:
o

Ano ang ating pinagsisikapan? Tama, ipinapakita ng graph na ito ay may posibilidad na maging zero. Iyon ay, sa, ay magiging halos pantay, ayon sa pagkakabanggit, kapag kinakalkula ang expression na makukuha natin halos. Kaugnay nito, naniniwala kami na kapag kinakalkula ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang bracket na ito ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay magiging pantay.

- Ang formula ay ang kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kailangan naming hanapin ang kabuuan walang hanggan bilang ng mga miyembro.

Kung ang isang tiyak na numero n ay tinukoy, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng n termino, kahit na o.

Ngayon ay magsanay tayo.

1. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng geometric progression na may at.
2. Hanapin ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na may at.

Sana ay naging maingat ka. Ihambing natin ang ating mga sagot:

Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression, at oras na para lumipat mula sa teorya patungo sa pagsasanay. Ang pinakakaraniwang problema sa geometric progression na nakatagpo sa pagsusulit ay mga problema sa pagkalkula ng compound interest. Ito ang mga pag-uusapan natin.

Mga problema sa pagkalkula ng tambalang interes.

Marahil ay narinig mo na ang tinatawag na compound interest formula. Naiintindihan mo ba ang ibig sabihin nito? Kung hindi, alamin natin ito, dahil kapag naunawaan mo ang proseso mismo, mauunawaan mo kaagad kung ano ang kinalaman ng geometric na pag-unlad dito.

Pumunta kaming lahat sa bangko at alam namin na mayroon iba't ibang kondisyon sa mga deposito: ito ang termino, at karagdagang serbisyo, at interes na may dalawa iba't ibang paraan ang mga kalkulasyon nito - simple at kumplikado.

SA simpleng interes ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: ang interes ay naipon nang isang beses sa pagtatapos ng termino ng deposito. Iyon ay, kung sasabihin namin na nagdeposito kami ng 100 rubles para sa isang taon, pagkatapos ay mai-kredito lamang sila sa katapusan ng taon. Alinsunod dito, sa pagtatapos ng deposito makakatanggap kami ng mga rubles.

Pinagsamang interes- ito ay isang opsyon kung saan ito nangyayari capitalization ng interes, ibig sabihin. ang kanilang pagdaragdag sa halaga ng deposito at kasunod na pagkalkula ng kita hindi mula sa inisyal, ngunit mula sa naipon na halaga ng deposito. Ang capitalization ay hindi nangyayari palagi, ngunit may ilang dalas. Bilang isang patakaran, ang mga naturang panahon ay pantay-pantay at kadalasan ang mga bangko ay gumagamit ng isang buwan, quarter o taon.

Ipagpalagay natin na nagdedeposito tayo ng parehong rubles taun-taon, ngunit may buwanang capitalization ng deposito. Anong gagawin natin?

Naiintindihan mo ba ang lahat dito? Kung hindi, alamin natin ito nang hakbang-hakbang.

Nagdala kami ng mga rubles sa bangko. Sa pagtatapos ng buwan, dapat mayroon tayong halaga sa ating account na binubuo ng ating mga rubles kasama ang interes sa kanila, iyon ay:

Sumasang-ayon?

Maaari naming alisin ito sa mga bracket at pagkatapos ay makukuha namin:

Sumang-ayon, ang pormula na ito ay mas katulad ng isinulat namin sa simula. Ang natitira na lang ay alamin ang mga porsyento

Sa pahayag ng problema ay sinabihan kami tungkol sa taunang mga rate. Tulad ng alam mo, hindi kami dumarami sa - nagko-convert kami ng mga porsyento sa mga decimal, yan ay:

tama? Ngayon ay maaari mong itanong, saan nagmula ang numero? Napakasimple!
Uulitin ko: ang pahayag ng problema ay nagsasabi tungkol sa TAON interes na naipon MONTHLY. Tulad ng alam mo, sa isang taon ng mga buwan, nang naaayon, sisingilin kami ng bangko ng isang bahagi ng taunang interes bawat buwan:

Napagtanto ito? Ngayon subukang isulat kung ano ang magiging hitsura ng bahaging ito ng formula kung sinabi ko na ang interes ay kinakalkula araw-araw.
Inayos mo ba? Ihambing natin ang mga resulta:

Magaling! Bumalik tayo sa ating gawain: isulat kung magkano ang maikredito sa ating account sa ikalawang buwan, na isinasaalang-alang na ang interes ay naipon sa naipon na halaga ng deposito.
Narito ang nakuha ko:

O, sa madaling salita:

Sa tingin ko, napansin mo na ang isang pattern at nakakita ka ng geometric na pag-unlad sa lahat ng ito. Isulat kung ano ang magiging katumbas ng miyembro nito, o, sa madaling salita, kung anong halaga ng pera ang matatanggap natin sa katapusan ng buwan.
ginawa? Suriin natin!

Tulad ng nakikita mo, kung naglalagay ka ng pera sa isang bangko sa loob ng isang taon sa isang simpleng rate ng interes, makakatanggap ka ng mga rubles, at kung sa isang compound na rate ng interes, makakatanggap ka ng mga rubles. Ang benepisyo ay maliit, ngunit ito ay nangyayari lamang sa ika-taon, ngunit para sa mas mahabang panahon ang capitalization ay mas kumikita:

Tingnan natin ang isa pang uri ng problema na kinasasangkutan ng tambalang interes. Pagkatapos ng iyong naisip, ito ay magiging elementarya para sa iyo. Kaya, ang gawain:

Ang kumpanya ng Zvezda ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2000, na may kapital sa dolyar. Bawat taon mula noong 2001, nakatanggap ito ng tubo na katumbas ng kapital noong nakaraang taon. Magkano ang kita na matatanggap ng kumpanya ng Zvezda sa katapusan ng 2003 kung ang mga kita ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon?

Kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2000.
- kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2001.
- kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2002.
- kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2003.

O maaari tayong sumulat nang maikli:

Para sa aming kaso:

2000, 2001, 2002 at 2003.

Ayon sa pagkakabanggit:
rubles
Pakitandaan na sa problemang ito wala kaming dibisyon alinman sa pamamagitan o ni, dahil ang porsyento ay ibinibigay TAUN-TAON at ito ay kinakalkula TAUN-TAON. Iyon ay, kapag nagbabasa ng isang problema sa tambalang interes, bigyang-pansin kung anong porsyento ang ibinigay at sa anong panahon ito kinakalkula, at pagkatapos ay magpatuloy lamang sa mga kalkulasyon.
Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression.

Pagsasanay.

1. Hanapin ang termino ng geometric progression kung ito ay kilala na, at
2. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng geometric progression kung alam na, at
3. Ang kumpanya ng MDM Capital ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2003, na may kapital sa dolyar. Bawat taon mula noong 2004, nakatanggap ito ng tubo na katumbas ng kapital noong nakaraang taon. Ang kumpanya ng MSK Cash Flows ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2005 sa halagang $10,000, na nagsimulang kumita noong 2006 sa halagang. Sa pamamagitan ng kung gaano karaming mga dolyar ay ang kapital ng isang kumpanya ay mas malaki kaysa sa isa sa katapusan ng 2007, kung ang mga kita ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon?

Mga sagot:

1. Dahil ang pahayag ng problema ay hindi nagsasabi na ang pag-unlad ay walang hanggan at kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng isang tiyak na bilang ng mga termino nito, ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa pormula:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - tumataas ng 100%, ibig sabihin, 2 beses.
   Ayon sa pagkakabanggit:
   rubles
   Kumpanya ng MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - tumataas ng, iyon ay, sa pamamagitan ng mga oras.
   Ayon sa pagkakabanggit:
   rubles
   rubles

I-summarize natin.

1) Ang geometric progression ( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

2) Ang equation ng mga termino ng geometric progression ay .

3) maaaring kumuha ng anumang mga halaga maliban sa at.

• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo;
• kung, pagkatapos ay ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad kahaliling mga palatandaan;
• kapag - ang pag-unlad ay tinatawag na walang katapusan na pagbaba.

4), na may - property ng geometric progression (katabing termino)

o
, sa (magkaparehong mga termino)

Kapag nahanap mo ito, huwag kalimutan iyon dapat dalawa ang sagot.

Halimbawa,

5) Ang kabuuan ng mga tuntunin ng geometric progression ay kinakalkula ng formula:
o

Kung ang pag-unlad ay walang katapusan na bumababa, kung gayon:
o

MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kailangan naming hanapin ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino.

6) Ang mga problemang kinasasangkutan ng tambalang interes ay kinakalkula din gamit ang pormula para sa ika-taning termino ng isang geometric na pag-unlad, sa kondisyon na cash ay hindi inalis mula sa sirkulasyon:

GEOMETRIC PROGRESSION. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Geometric na pag-unlad( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Denominator ng geometric progression maaaring tumagal ng anumang halaga maliban sa at.

• Kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo;
• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay kahaliling mga palatandaan;
• kapag - ang pag-unlad ay tinatawag na walang katapusan na pagbaba.

Equation ng mga termino ng geometric progression - .

Kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad kinakalkula ng formula:
o

Ang formula para sa ika-1 na termino ng isang geometric na pag-unlad ay napaka-simple. Parehong sa kahulugan at sa pangkalahatang hitsura. Ngunit mayroong lahat ng mga uri ng mga problema sa formula ng nth term - mula sa napaka primitive hanggang sa medyo seryoso. At sa proseso ng aming pagkakakilala, tiyak na isasaalang-alang namin ang pareho. Well, magkakilala tayo?)

Kaya, sa simula, talaga pormulan

Narito siya:

b n = b 1 · qn -1

Ang formula ay formula lang, walang supernatural. Mukhang mas simple at mas compact kaysa sa isang katulad na formula para sa. Ang kahulugan ng formula ay kasing simple din ng felt boots.

Binibigyang-daan ka ng formula na ito na mahanap ang ANUMANG miyembro ng isang geometric na pag-unlad NG NITO NUMERO " n".

Tulad ng makikita mo, ang kahulugan ay kumpletong pagkakatulad sa isang pag-unlad ng aritmetika. Alam natin ang numero n - mabibilang din natin ang termino sa ilalim ng numerong ito. Alin man ang gusto natin. Nang walang paulit-ulit na pagpaparami ng "q" nang marami, maraming beses. Iyon ang buong punto.)

Nauunawaan ko na sa antas na ito ng pagtatrabaho sa mga pag-unlad, dapat na malinaw na sa iyo ang lahat ng dami na kasama sa formula, ngunit itinuturing ko pa rin na tungkulin kong tukuyin ang bawat isa. Kung sakali.

Kaya, narito tayo:

b 1 – una termino ng geometric progression;

q – ;

n- numero ng miyembro;

b n – nth (nika) termino ng isang geometric na pag-unlad.

Ang formula na ito ay nag-uugnay sa apat na pangunahing mga parameter ng anumang geometric na pag-unlad - bn, b 1 , q At n. At ang lahat ng mga problema sa pag-unlad ay umiikot sa apat na pangunahing figure na ito.

"Paano ito tinanggal?"– Naririnig kong tanong ng usisero... Elementary! Tingnan mo!

Ano ang katumbas ng pangalawa miyembro ng progreso? Walang problema! Direkta kaming sumulat:

b 2 = b 1 ·q

Paano ang ikatlong miyembro? Hindi rin problema! Paramihin natin ang pangalawang termino muli saq.

Ganito:

B 3 = b 2 q

Alalahanin natin ngayon na ang pangalawang termino, naman, ay katumbas ng b 1 ·q at palitan ang ekspresyong ito sa ating pagkakapantay-pantay:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Nakukuha namin:

B 3 = b 1 ·q 2

Ngayon basahin natin ang aming entry sa Russian: pangatlo ang termino ay katumbas ng unang termino na pinarami ng q in pangalawa degrees. Nakuha mo ba? Hindi pa? Okay, isang hakbang pa.

Ano ang ikaapat na termino? Lahat pare-pareho! Paramihin dati(i.e. ang ikatlong termino) sa q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Kabuuan:

B 4 = b 1 ·q 3

At muli, isinalin namin sa Russian: pang-apat ang termino ay katumbas ng unang termino na pinarami ng q in pangatlo degrees.

At iba pa. O kamusta ba iyon? Nahuli mo ba ang pattern? Oo! Para sa anumang termino na may anumang numero, ang bilang ng magkaparehong mga salik q (i.e. ang antas ng denominator) ay palaging magiging mas mababa ng isa sa bilang ng gustong miyembron.

Samakatuwid, ang aming formula ay magiging, nang walang mga pagpipilian:

b n =b 1 · qn -1

Iyon lang.)

Well, lutasin natin ang mga problema, sa palagay ko?)

Paglutas ng mga problema sa formulanika-kataga ng isang geometric na pag-unlad.

Magsimula tayo, gaya ng dati, sa direktang aplikasyon ng formula. Narito ang isang karaniwang problema:

Sa geometric progression, ito ay kilala na b 1 = 512 at q = -1/2. Hanapin ang ikasampung termino ng progression.

Siyempre, ang problemang ito ay maaaring malutas nang walang anumang mga formula. Direkta sa kahulugan ng geometric na pag-unlad. Pero kailangan nating magpainit sa formula ng nth term diba? Dito tayo nag-iinit.

Ang aming data para sa paglalapat ng formula ay ang mga sumusunod.

Ang unang miyembro ay kilala. Ito ay 512.

b 1 = 512.

Ang denominator ng pag-unlad ay kilala rin: q = -1/2.

Ang natitira na lang ay upang malaman kung ano ang bilang ng miyembro n. Walang problema! Interesado ba tayo sa ikasampung termino? Kaya pinapalitan namin ang sampu sa halip na n sa pangkalahatang formula.

At maingat na kalkulahin ang aritmetika:

Sagot: -1

Tulad ng nakikita mo, ang ikasampung termino ng pag-unlad ay naging minus. Walang nakakagulat: ang aming progression denominator ay -1/2, i.e. negatibo numero. At ito ay nagsasabi sa amin na ang mga palatandaan ng aming pag-unlad ay kahalili, oo.)

Simple lang ang lahat dito. Narito ang isang katulad na problema, ngunit medyo mas kumplikado sa mga tuntunin ng mga kalkulasyon.

Sa geometric progression, alam na:

b 1 = 3

Hanapin ang ikalabintatlong termino ng progression.

Ang lahat ay pareho, tanging sa pagkakataong ito ang denominator ng pag-unlad ay hindi makatwiran. ugat ng dalawa. Well, okay lang. Ang formula ay isang unibersal na bagay, maaari itong makayanan ang anumang mga numero.

Direkta kaming nagtatrabaho ayon sa formula:

Ang formula, siyempre, ay gumana ayon sa nararapat, ngunit... dito ang ilang mga tao ay natigil. Ano ang susunod na gagawin sa ugat? Paano itaas ang isang ugat sa ikalabindalawang kapangyarihan?

Paano-paano... Dapat mong maunawaan na ang anumang formula, siyempre, ay isang magandang bagay, ngunit ang kaalaman sa lahat ng nakaraang matematika ay hindi kinansela! Paano bumuo? Oo, tandaan ang mga katangian ng mga degree! Gawin natin ang ugat sa fractional degree at – ayon sa pormula para sa pagtataas ng isang degree sa isang degree.

Ganito:

Sagot: 192

At iyon lang.)

Ano ang pangunahing kahirapan sa direktang paglalapat ng nth term formula? Oo! Ang pangunahing kahirapan ay nagtatrabaho sa mga degree! Ibig sabihin, exponentiation mga negatibong numero, mga fraction, ugat at mga katulad na istruktura. Kaya't ang mga may problema dito, mangyaring ulitin ang mga degree at ang kanilang mga ari-arian! Kung hindi, babagal mo rin ang paksang ito, oo...)

Ngayon, lutasin natin ang mga karaniwang problema sa paghahanap isa sa mga elemento ng formula, kung lahat ng iba ay ibinigay. Upang matagumpay na malutas ang mga naturang problema, ang recipe ay pare-pareho at napaka-simple - isulat ang formulan-ika-miyembro sa pangkalahatan! Nasa notebook na katabi ng kundisyon. At pagkatapos ay mula sa kondisyon ay nalaman natin kung ano ang ibinigay sa atin at kung ano ang kulang. At ipinapahayag namin mula sa formula ang kinakailangang halaga. Lahat!

Halimbawa, ang gayong hindi nakakapinsalang problema.

Ang ikalimang termino ng isang geometric progression na may denominator 3 ay 567. Hanapin ang unang termino ng progression na ito.

Walang kumplikado. Direkta kaming nagtatrabaho ayon sa spell.

Isulat natin ang formula para sa nth term!

b n = b 1 · qn -1

Ano ang ibinigay sa atin? Una, ang denominator ng pag-unlad ay ibinigay: q = 3.

Bukod dito, binibigyan tayo ikalimang miyembro: b 5 = 567 .

Lahat? Hindi! Binigyan din kami ng number n! Lima ito: n = 5.

Sana maintindihan mo na kung ano ang nasa recording b 5 = 567 dalawang parameter ang nakatago nang sabay-sabay - ito ang ikalimang termino mismo (567) at ang numero nito (5). Napag-usapan ko na ito sa isang katulad na aralin, ngunit sa palagay ko ito ay nagkakahalaga din na banggitin dito.)

Ngayon ay pinapalitan namin ang aming data sa formula:

567 = b 1 ·3 5-1

Ginagawa namin ang aritmetika, pinasimple at nakakakuha ng isang bagay na simple linear equation:

81 b 1 = 567

Malutas namin at makuha:

b 1 = 7

Tulad ng nakikita mo, walang mga problema sa paghahanap ng unang termino. Ngunit kapag naghahanap para sa denominator q at mga numero n Maaaring may mga sorpresa din. At kailangan mo ring maging handa para sa kanila (mga sorpresa), oo.)

Halimbawa, ang problemang ito:

Ang ikalimang termino ng isang geometric progression na may positibong denominator ay 162, at ang unang termino ng progression na ito ay 2. Hanapin ang denominator ng progression.

Sa pagkakataong ito, binibigyan tayo ng una at ikalimang termino, at hinihiling na hanapin ang denominator ng pag-unlad. Dito na tayo.

Sinusulat namin ang formulanika miyembro!

b n = b 1 · qn -1

Ang aming paunang data ay ang mga sumusunod:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nawawalang halaga q. Walang problema! Hanapin natin ito ngayon.) Pinapalitan natin ang lahat ng alam natin sa formula.

Nakukuha namin:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Isang simpleng equation ng ikaapat na antas. At ngayon - maingat! Naka-on sa puntong ito solusyon, maraming mga mag-aaral ang agad na masayang kunin ang ugat (ng ikaapat na antas) at makuha ang sagot q=3 .

Ganito:

q4 = 81

q = 3

Ngunit sa totoo lang, ito ay isang hindi natapos na sagot. Mas tiyak, hindi kumpleto. Bakit? Ang punto ay ang sagot q = -3 angkop din: (-3) 4 ay magiging 81 din!

Ito ay dahil ang power equation x n = a laging meron dalawang magkasalungat na ugat sa kahitn . May plus at minus:

Parehong angkop.

Halimbawa, kapag nagpapasya (i.e. pangalawa degrees)

x 2 = 9

Para sa ilang kadahilanan hindi ka nagulat sa hitsura dalawa mga ugat x=±3? Ganun din dito. At sa iba pa kahit degree (ikaapat, ikaanim, ikasampu, atbp.) ay magiging pareho. Ang mga detalye ay nasa paksa tungkol sa

kaya lang tamang solusyon magiging ganito:

q 4 = 81

q= ±3

Okay, inayos na namin ang mga palatandaan. Alin ang tama - plus o minus? Buweno, basahin natin muli ang pahayag ng problema sa paghahanap ng karagdagang impormasyon. Siyempre, maaaring hindi ito umiiral, ngunit sa problemang ito ang naturang impormasyon magagamit. Ang aming kundisyon ay nagsasaad sa payak na teksto na ang isang pag-unlad ay ibinigay kasama positibong denominador.

Samakatuwid ang sagot ay malinaw:

q = 3

Simple lang ang lahat dito. Ano sa palagay mo ang mangyayari kung ang pahayag ng problema ay ganito:

Ang ikalimang termino ng isang geometric progression ay 162, at ang unang termino ng progression na ito ay 2. Hanapin ang denominator ng progression.

Ano ang pagkakaiba? Oo! Sa kondisyon Wala walang binanggit ang sign ng denominator. Hindi direkta o hindi direkta. At narito na ang problema dalawang solusyon!

q = 3 At q = -3

Oo Oo! Parehong may plus at may minus.) Sa matematika, ang katotohanang ito ay nangangahulugan na mayroong dalawang pag-unlad, na akma sa mga kondisyon ng problema. At bawat isa ay may kanya-kanyang denominator. Para lang masaya, magsanay at isulat ang unang limang termino ng bawat isa.)

Ngayon ay magsanay tayo sa paghahanap ng numero ng miyembro. Ang problemang ito ang pinakamahirap, oo. Ngunit mas malikhain din.)

Ibinigay ang isang geometric na pag-unlad:

3; 6; 12; 24; …

Anong numero sa progression na ito ang numerong 768?

Ang unang hakbang ay pareho pa rin: isulat ang formulanika miyembro!

b n = b 1 · qn -1

At ngayon, gaya ng dati, pinapalitan namin ang data na alam namin dito. Hm... hindi gumagana! Nasaan ang unang termino, nasaan ang denominator, nasaan ang lahat?!

Saan, saan... Bakit kailangan natin ng mata? Pag-flap ng iyong mga pilikmata? Sa pagkakataong ito, ang pag-unlad ay direktang ibinibigay sa amin sa anyo mga pagkakasunod-sunod. Maaari ba nating makita ang unang miyembro? Nakikita namin! Ito ay isang triple (b 1 = 3). Paano ang denominator? Hindi pa namin nakikita, ngunit napakadaling bilangin. Kung, siyempre, naiintindihan mo ...

Kaya binibilang namin. Direkta ayon sa kahulugan ng isang geometric na pag-unlad: kinukuha namin ang alinman sa mga termino nito (maliban sa una) at hinahati sa nauna.

Hindi bababa sa ganito:

q = 24/12 = 2

Ano pa ba ang alam natin? Alam din natin ang ilang termino ng pag-unlad na ito, katumbas ng 768. Sa ilalim ng ilang bilang n:

b n = 768

Hindi namin alam ang kanyang numero, ngunit ang aming gawain ay tiyak na hanapin siya.) Kaya hinahanap namin. Na-download na namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagpapalit sa formula. Lingid sa iyong kaalaman.)

Dito namin pinapalitan:

768 = 3 2n -1

Gawin natin ang mga elementarya - hatiin ang magkabilang panig ng tatlo at muling isulat ang equation sa karaniwang anyo: ang hindi alam ay nasa kaliwa, ang kilala ay nasa kanan.

Nakukuha namin:

2 n -1 = 256

Ito ay isang kawili-wiling equation. Kailangan nating hanapin ang "n". Ano, hindi karaniwan? Oo, hindi ako nakikipagtalo. Sa totoo lang, ito ang pinakasimpleng bagay. Tinatawag itong gayon dahil ang hindi kilala (sa sa kasong ito itong numero n) gastos sa tagapagpahiwatig degrees.

Sa yugto ng pag-aaral tungkol sa geometric progression (ito ay ika-siyam na baitang), hindi ka nila tinuturuan kung paano lutasin ang mga exponential equation, oo... Ito ay isang paksa para sa mataas na paaralan. Pero walang nakakatakot. Kahit na hindi mo alam kung paano nalulutas ang mga naturang equation, subukan nating hanapin ang ating n, ginagabayan ng simpleng lohika at sentido komun.

Magsimula na tayong mag-usap. Sa kaliwa ay mayroon kaming isang deuce sa isang tiyak na antas. Hindi pa namin alam kung ano ang eksaktong degree na ito, ngunit hindi iyon nakakatakot. Ngunit alam nating sigurado na ang degree na ito ay katumbas ng 256! Kaya naaalala natin kung hanggang saan ang binibigay sa atin ng dalawa 256. Naaalala mo ba? Oo! SA ikawalo degrees!

256 = 2 8

Kung hindi mo matandaan o may mga problema sa pagkilala sa mga degree, okay lang din: sunod-sunod na square two, cube, fourth, fifth, at iba pa. Ang pagpili, sa katunayan, ngunit sa antas na ito ay gagana nang maayos.

Sa isang paraan o iba pa, makukuha natin:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Kaya 768 ay ikasiyam miyembro ng ating pag-unlad. Iyon lang, nalutas ang problema.)

Sagot: 9

Ano? Nakakatamad? Pagod na sa elementarya? Sumang-ayon. At ako rin. Lumipat tayo sa susunod na antas.)

Mas kumplikadong mga gawain.

Ngayon, lutasin natin ang mas mapanghamong mga problema. Hindi eksaktong sobrang cool, ngunit ang mga nangangailangan ng kaunting trabaho upang makuha ang sagot.

Halimbawa, ang isang ito.

Hanapin ang pangalawang termino ng isang geometric progression kung ang ikaapat na termino nito ay -24 at ang ikapitong termino nito ay 192.

Ito ay isang klasiko ng genre. Ang ilang dalawang magkaibang termino ng pag-unlad ay kilala, ngunit ang isa pang termino ay kailangang mahanap. Bukod dito, ang lahat ng miyembro ay HINDI magkapitbahay. Na nakakalito sa una, oo...

Tulad ng sa, upang malutas ang mga naturang problema ay isasaalang-alang namin ang dalawang pamamaraan. Ang unang paraan ay unibersal. Algebraic. Gumagana nang walang kamali-mali sa anumang source data. Kaya diyan tayo magsisimula.)

Inilalarawan namin ang bawat termino ayon sa formula nika miyembro!

Ang lahat ay eksaktong kapareho ng sa isang pag-unlad ng aritmetika. Ngayon lang kami nagtatrabaho isa pa pangkalahatang pormula. Iyon lang.) Ngunit ang esensya ay pareho: kunin namin at isa-isa Pinapalitan namin ang aming paunang data sa pormula para sa ika-n na termino. Para sa bawat miyembro - kanilang sarili.

Para sa ikaapat na termino, isinulat namin:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Kumain. Handa na ang isang equation.

Para sa ikapitong termino isinusulat namin:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Sa kabuuan, nakakuha kami ng dalawang equation para sa ang parehong pag-unlad .

Nag-ipon kami ng isang sistema mula sa kanila:

Sa kabila ng nakakatakot na hitsura nito, ang sistema ay medyo simple. Ang pinaka-halatang solusyon ay simpleng pagpapalit. Nagpapahayag kami b 1 mula sa itaas na equation at palitan ito sa ibaba:

Pagkatapos ng kalikot sa ilalim ng equation ng kaunti (pagbabawas ng mga kapangyarihan at paghahati ng -24), nakukuha natin:

q 3 = -8

Sa pamamagitan ng paraan, ang parehong equation na ito ay maaaring maabot sa isang mas simpleng paraan! Alin? Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang isa pang lihim, ngunit napakaganda, makapangyarihan at kapaki-pakinabang na paraan mga solusyon para sa mga naturang sistema. Ang ganitong mga sistema, ang mga equation na kinabibilangan gumagana lang. Hindi bababa sa isa. Tinawag paraan ng paghahati isang equation sa isa pa.

Kaya, mayroon kaming isang sistema bago sa amin:

Sa parehong mga equation sa kaliwa - trabaho, at sa kanan ay isang numero lamang. Ito ay lubhang magandang senyas.) Kunin natin at... hatiin, sabihin nating, ang lower equation sa upper one! Ano ang ibig sabihin, hatiin natin ang isang equation sa isa pa? Napakasimple. Kunin natin kaliwang bahagi isang equation (mas mababa) at hatiin sa kanya kaliwang bahagi isa pang equation (itaas). Ang kanang bahagi ay magkatulad: kanang bahagi isang equation hatiin sa kanang bahagi isa pa.

Ang buong proseso ng paghahati ay ganito:

Ngayon, binabawasan ang lahat ng maaaring bawasan, nakukuha natin:

q 3 = -8

Ano ang mabuti sa pamamaraang ito? Oo, dahil sa proseso ng naturang dibisyon ang lahat ng masama at hindi maginhawa ay maaaring ligtas na mabawasan at ang isang ganap na hindi nakakapinsalang equation ay nananatili! Ito ang dahilan kung bakit napakahalaga na magkaroon pagpaparami lamang sa hindi bababa sa isa sa mga equation ng system. Walang multiplikasyon - walang bawasan, oo...

Sa pangkalahatan, ang pamamaraang ito (tulad ng maraming iba pang mga di-maliit na pamamaraan ng paglutas ng mga sistema) ay nararapat sa isang hiwalay na aralin. Tiyak na titingnan ko ito nang mas detalyado. Ilang araw…

Gayunpaman, hindi mahalaga kung gaano mo eksaktong lutasin ang system, sa anumang kaso, ngayon kailangan nating lutasin ang resultang equation:

q 3 = -8

Walang problema: kunin ang cube root at tapos ka na!

Pakitandaan na hindi na kailangang maglagay ng plus/minus dito kapag nag-extract. Ang ating ugat ay kakaiba (ikatlong) antas. At pareho din ang sagot, oo.)

Kaya, ang denominator ng pag-unlad ay natagpuan. Minus dalawa. Malaki! Ang proseso ay patuloy.)

Para sa unang termino (sabihin, mula sa itaas na equation) nakukuha natin:

Malaki! Alam natin ang unang termino, alam natin ang denominator. At ngayon ay mayroon kaming pagkakataon na mahanap ang sinumang miyembro ng pag-unlad. Kasama ang pangalawa.)

Para sa pangalawang termino, ang lahat ay medyo simple:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Sagot: -6

Kaya, pinaghiwa-hiwalay namin ang algebraic na pamamaraan para sa paglutas ng problema. Mahirap? Hindi naman, pumayag ako. Mahaba at nakakapagod? Oo, tiyak. Ngunit kung minsan maaari mong makabuluhang bawasan ang dami ng trabaho. Para dito mayroong graphic na pamamaraan. Matanda at pamilyar sa amin.)

Gumuhit tayo ng problema!

Oo! Eksakto. Muli naming inilalarawan ang aming pag-unlad sa axis ng numero. Hindi kinakailangang sundin ang isang pinuno, hindi kinakailangan na mapanatili ang pantay na agwat sa pagitan ng mga termino (na, sa pamamagitan ng paraan, ay hindi magiging pareho, dahil ang pag-unlad ay geometric!), Ngunit simpleng eskematiko Iguhit natin ang ating pagkakasunod-sunod.

Nakuha ko ito ng ganito:

Ngayon tingnan ang larawan at alamin ito. Ilang magkaparehong salik na "q" ang hiwalay pang-apat At ikapito miyembro? Tama, tatlo!

Samakatuwid, mayroon kaming lahat ng karapatan na magsulat:

-24·q 3 = 192

Mula dito, madali nang mahanap q:

q 3 = -8

q = -2

Iyan ay mahusay, mayroon na tayong denominator sa ating bulsa. Ngayon tingnan natin muli ang larawan: kung gaano karaming mga denominador ang nakaupo sa pagitan pangalawa At pang-apat miyembro? Dalawa! Samakatuwid, upang maitala ang koneksyon sa pagitan ng mga terminong ito, bubuo tayo ng denominator parisukat.

Kaya sumulat kami:

b 2 · q 2 = -24 , saan b 2 = -24/ q 2

Pinapalitan namin ang aming nahanap na denominator sa expression para sa b 2, bilangin at makuha ang:

Sagot: -6

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay mas simple at mas mabilis kaysa sa pamamagitan ng system. Bukod dito, hindi na namin kinailangan pang bilangin ang unang termino! Sa lahat.)

Narito ang isang simple at visual na way-light. Ngunit mayroon din itong malubhang sagabal. nahulaan mo ba? Oo! Ito ay mabuti lamang para sa napakaikling piraso ng pag-unlad. Yaong kung saan ang mga distansya sa pagitan ng mga miyembro ng interes sa amin ay hindi masyadong malaki. Ngunit sa lahat ng iba pang mga kaso mahirap na gumuhit ng isang larawan, oo... Pagkatapos ay malulutas namin ang problema nang analytical, sa pamamagitan ng system.) At ang mga sistema ay mga unibersal na bagay. Kakayanin nila ang anumang numero.

Isa pang epikong hamon:

Ang pangalawang termino ng geometric progression ay 10 higit pa kaysa sa una, at ang ikatlong termino ay 30 higit pa kaysa sa pangalawa. Hanapin ang denominator ng progression.

Ano, cool? Hindi talaga! Lahat pare-pareho. Muli naming isinasalin ang pahayag ng problema sa purong algebra.

1) Inilalarawan namin ang bawat termino ayon sa formula nika miyembro!

Pangalawang termino: b 2 = b 1 q

Ikatlong termino: b 3 = b 1 q 2

2) Isinulat namin ang koneksyon sa pagitan ng mga miyembro mula sa pahayag ng problema.

Nabasa namin ang kondisyon: "Ang pangalawang termino ng geometric progression ay 10 mas malaki kaysa sa una." Tumigil, ito ay mahalaga!

Kaya sumulat kami:

b 2 = b 1 +10

At isinasalin namin ang pariralang ito sa purong matematika:

b 3 = b 2 +30

Nakakuha kami ng dalawang equation. Pagsamahin natin sila sa isang sistema:

Ang sistema ay mukhang simple. Ngunit napakaraming iba't ibang mga indeks para sa mga titik. Ipalit natin sa halip na pangalawa at pangatlong termino ang kanilang mga ekspresyon sa pamamagitan ng unang termino at ang denominator! Was it in vain that we painted them?

Nakukuha namin:

Ngunit ang ganitong sistema ay hindi na isang regalo, oo... Paano ito malulutas? Sa kasamaang palad, walang unibersal na lihim na spell para sa paglutas ng kumplikado nonlinear Walang mga sistema sa matematika at hindi maaari. Ito ay hindi kapani-paniwala! Ngunit ang unang bagay na dapat dumating sa iyong isip kapag sinusubukang pumutok tulad ng isang matigas nut ay upang malaman Ngunit hindi ba isa sa mga equation ng system ang mababawasan magandang tanawin, na nagpapahintulot, halimbawa, na madaling ipahayag ang isa sa mga variable sa mga tuntunin ng isa pa?

Alamin natin ito. Ang unang equation ng system ay malinaw na mas simple kaysa sa pangalawa. Pahirapan natin siya.) Di ba dapat subukan natin from the first equation isang bagay ipahayag sa pamamagitan ng isang bagay? Dahil gusto naming hanapin ang denominator q, kung gayon ito ay higit na kapaki-pakinabang para sa amin na ipahayag b 1 sa pamamagitan ng q.

Kaya't subukan nating gawin ang pamamaraang ito gamit ang unang equation, gamit ang magagandang mga luma:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Lahat! Kaya nagpahayag kami hindi kailangan bigyan kami ng variable (b 1) hanggang kailangan(q). Oo, hindi ito ang pinakasimpleng ekspresyon na nakuha namin. Ilang uri ng fraction... Ngunit ang aming sistema ay nasa isang disenteng antas, oo.)

Karaniwan. Alam namin ang gagawin.

Nagsusulat kami ng ODZ (Kailangan!) :

q ≠ 1

I-multiply namin ang lahat sa denominator (q-1) at kanselahin ang lahat ng mga fraction:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Hinahati namin ang lahat sa sampu, buksan ang mga bracket, at kinokolekta ang lahat mula sa kaliwa:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Nalulutas namin ang resulta at nakakuha ng dalawang ugat:

q 1 = 1

q 2 = 3

Mayroon lamang isang huling sagot: q = 3 .

Sagot: 3

Tulad ng nakikita mo, ang landas sa paglutas ng karamihan sa mga problema na kinasasangkutan ng formula ng ika-1 na termino ng isang geometric na pag-unlad ay palaging pareho: basahin matulungin kalagayan ng problema at gamit ang pormula ng nth term na isinasalin natin ang kabuuan kapaki-pakinabang na impormasyon sa purong algebra.

Namely:

1) Inilalarawan namin nang hiwalay ang bawat termino na ibinigay sa problema ayon sa formulanika miyembro.

2) Mula sa mga kondisyon ng problema, isinasalin namin ang koneksyon sa pagitan ng mga miyembro sa mathematical form. Bumubuo kami ng isang equation o sistema ng mga equation.

3) Nilulutas namin ang nagresultang equation o sistema ng mga equation, hanapin ang hindi kilalang mga parameter ng pag-unlad.

4) Sa kaso ng isang hindi maliwanag na sagot, maingat na basahin ang mga kondisyon ng gawain sa paghahanap ng karagdagang impormasyon (kung mayroon man). Sinusuri din namin ang natanggap na tugon sa mga tuntunin ng DL (kung mayroon man).

Ngayon ilista natin ang mga pangunahing problema na kadalasang humahantong sa mga pagkakamali sa proseso ng paglutas ng mga problema sa geometric progression.

1. Elementarya aritmetika. Mga operasyong may mga fraction at negatibong numero.

2. Kung may mga problema sa hindi bababa sa isa sa tatlong puntong ito, hindi maiiwasang magkamali ka sa paksang ito. Sa kasamaang palad... Kaya huwag maging tamad at ulitin ang nabanggit sa itaas. At sundin ang mga link - pumunta. Minsan nakakatulong ito.)

Binago at paulit-ulit na mga formula.

Ngayon tingnan natin ang ilang karaniwang problema sa pagsusulit na may hindi gaanong pamilyar na presentasyon ng kundisyon. Oo, oo, nahulaan mo ito! Ito binago At paulit-ulit nth term formula. Nakatagpo na kami ng mga naturang formula at nagtrabaho sa pag-unlad ng aritmetika. Lahat ay katulad dito. Ang kakanyahan ay pareho.

Halimbawa, ang problemang ito mula sa OGE:

Ang geometric progression ay ibinibigay ng formula b n = 3 2 n . Hanapin ang kabuuan ng una at ikaapat na termino nito.

Sa pagkakataong ito ang pag-unlad ay hindi tulad ng dati para sa amin. Sa anyo ng ilang uri ng formula. E ano ngayon? Ang formula na ito ay isang formula dinnika miyembro! Alam mo at ko na ang pormula para sa ika-1 na termino ay maaaring isulat sa pangkalahatan, gamit ang mga titik, at para sa tiyak na pag-unlad. SA tiyak unang termino at denominador.

Sa aming kaso, kami ay, sa katunayan, ay binibigyan ng pangkalahatang terminong formula para sa isang geometric na pag-unlad na may mga sumusunod na parameter:

b 1 = 6

q = 2

Suriin natin?) Isulat natin ang formula para sa ika-n term sa pangkalahatang anyo at palitan ito b 1 At q. Nakukuha namin:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Pinapasimple namin ang paggamit ng factorization at mga katangian ng mga kapangyarihan, at nakukuha namin ang:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay patas. Ngunit ang aming layunin ay hindi ipakita ang derivation ng isang partikular na formula. Ito ay gayon, isang lyrical digression. Purely for understanding.) Ang layunin natin ay malutas ang problema ayon sa formula na ibinigay sa atin sa kondisyon. Naiintindihan mo ba?) Kaya direkta kaming nagtatrabaho sa binagong formula.

Binibilang namin ang unang termino. Palitan natin n=1 sa pangkalahatang formula:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Ganito. Sa pamamagitan ng paraan, hindi ako magiging tamad at muling iguhit ang iyong pansin sa isang karaniwang pagkakamali sa pagkalkula ng unang termino. HUWAG, tumitingin sa formula b n= 3 2n, agad-agad na sumulat na ang unang termino ay isang tatlo! Ito ay isang malaking pagkakamali, oo...)

Ituloy natin. Palitan natin n=4 at bilangin ang ikaapat na termino:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

At sa wakas, kinakalkula namin ang kinakailangang halaga:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Sagot: 54

Isa pang problema.

Ang geometric progression ay tinukoy ng mga kondisyon:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Hanapin ang ikaapat na termino ng progression.

Dito ang pag-unlad ay ibinibigay ng paulit-ulit na formula. Well, okay.) Paano gamitin ang formula na ito - alam din namin.

Kaya kumilos kami. Hakbang-hakbang.

1) Magbilang ng dalawa magkasunod miyembro ng progreso.

Ang unang termino ay naibigay na sa atin. Minus pito. Ngunit ang susunod, pangalawang termino, ay madaling kalkulahin gamit ang formula ng pag-ulit. Kung naiintindihan mo ang prinsipyo ng pagpapatakbo nito, siyempre.)

Kaya binibilang namin ang pangalawang termino ayon sa kilalang una:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Kalkulahin ang denominator ng pag-unlad

Wala ring problema. Diretso, hatiin natin pangalawa titi sa una.

Nakukuha namin:

q = -21/(-7) = 3

3) Isulat ang formulanika miyembro sa karaniwang anyo at kalkulahin ang kinakailangang miyembro.

Kaya, alam natin ang unang termino, at gayon din ang denominator. Kaya sumulat kami:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Sagot: -189

Tulad ng nakikita mo, ang pagtatrabaho sa gayong mga formula para sa isang geometric na pag-unlad ay mahalagang hindi naiiba mula sa para sa isang pag-unlad ng aritmetika. Mahalaga lamang na maunawaan ang pangkalahatang kakanyahan at kahulugan ng mga formula na ito. Well, kailangan mo ring maunawaan ang kahulugan ng geometric progression, oo.) At pagkatapos ay walang mga hangal na pagkakamali.

Well, magdesisyon tayo sa ating sarili?)

Mga pangunahing gawain para sa pag-init:

1. Nabigyan ng geometric progression kung saan b 1 = 243, a q = -2/3. Hanapin ang ikaanim na termino ng progression.

2. Ang pangkalahatang termino ng geometric progression ay ibinibigay ng formula b n = 5∙2 n +1 . Hanapin ang bilang ng huling tatlong-digit na termino ng pag-unlad na ito.

3. Ang geometric progression ay ibinibigay ng mga kundisyon:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Hanapin ang ikalimang termino ng progression.

Medyo mas kumplikado:

4. Dahil sa isang geometric na pag-unlad:

b 1 =2048; q =-0,5

Ano ang katumbas ng ikaanim na negatibong termino?

Ano ang tila napakahirap? Hindi talaga. Ang lohika at pag-unawa sa kahulugan ng geometric na pag-unlad ay magliligtas sa iyo. Well, ang formula para sa nth term, siyempre.

5. Ang ikatlong termino ng geometric progression ay -14, at ang ikawalong termino ay 112. Hanapin ang denominator ng progression.

6. Ang kabuuan ng una at ikalawang termino ng geometric progression ay 75, at ang kabuuan ng pangalawa at ikatlong termino ay 150. Hanapin ang ikaanim na termino ng progression.

Mga sagot (magulo): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Halos lahat yan. Ang kailangan lang nating gawin ay matutong magbilang ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad oo matuklasan walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad at ang dami nito. Isang napaka-kawili-wili at hindi pangkaraniwang bagay, sa pamamagitan ng paraan! Higit pa tungkol dito sa susunod na mga aralin.)

Kung para sa bawat natural na numero n tumugma sa isang tunay na numero isang n , tapos sinasabi nila na binigay na pagkakasunud-sunod ng numero :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n , . . . .

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng numero ay isang function ng natural na argumento.

Numero a 1 tinawag unang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 2 — ikalawang termino ng pagkakasunod-sunod , numero a 3 — pangatlo at iba pa. Numero isang n tinawag nth term mga pagkakasunod-sunod , at isang natural na numero n — number niya .

Mula sa dalawang magkatabing miyembro isang n At isang n +1 miyembro ng pagkakasunud-sunod isang n +1 tinawag kasunod (patungo isang n ), A isang n — dati (patungo isang n +1 ).

Upang tukuyin ang isang sequence, kailangan mong tukuyin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang isang miyembro ng sequence na may anumang numero.

Kadalasan ang pagkakasunod-sunod ay tinukoy gamit nth term formula , iyon ay, isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang isang miyembro ng isang sequence sa pamamagitan ng numero nito.

Halimbawa,

isang pagkakasunud-sunod ng mga positibong kakaibang numero ay maaaring ibigay ng formula

isang n= 2n- 1,

at ang pagkakasunod-sunod ng alternating 1 At -1 - pormula

b n = (-1)n +1 . ◄

Maaaring matukoy ang pagkakasunud-sunod paulit-ulit na formula, iyon ay, isang pormula na nagpapahayag ng sinumang miyembro ng pagkakasunud-sunod, simula sa ilan, sa pamamagitan ng nakaraang (isa o higit pa) na mga miyembro.

Halimbawa,

Kung a 1 = 1 , A isang n +1 = isang n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kung a 1= 1, a 2 = 1, isang n +2 = isang n + isang n +1 , pagkatapos ay ang unang pitong termino ng numerical sequence ay itinatag gaya ng sumusunod:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

isang 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ang mga pagkakasunud-sunod ay maaaring pangwakas At walang katapusan .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag panghuli , kung ito ay may hangganan na bilang ng mga miyembro. Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang katapusan , kung mayroon itong walang katapusang maraming miyembro.

Halimbawa,

pagkakasunud-sunod ng dalawang-digit na natural na mga numero:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

pangwakas.

Pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

walang katapusan. ◄

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag dumarami , kung ang bawat isa sa mga miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas malaki kaysa sa nauna.

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag bumababa , kung ang bawat miyembro nito, simula sa pangalawa, ay mas mababa kaysa sa nauna.

Halimbawa,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - pagtaas ng pagkakasunud-sunod;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — pagbaba ng pagkakasunod-sunod. ◄

Ang isang pagkakasunud-sunod na ang mga elemento ay hindi bumababa habang tumataas ang bilang, o, sa kabaligtaran, ay hindi tumataas, ay tinatawag monotonous sequence .

Ang mga monotonic na sequence, sa partikular, ay ang pagtaas ng mga sequence at ang pagbaba ng mga sequence.

Arithmetic progression

Arithmetic progression ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, kung saan idinaragdag ang parehong numero.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , isang n, . . .

ay isang arithmetic progression kung para sa alinman natural na numero n natugunan ang kondisyon:

isang n +1 = isang n + d,

saan d - isang tiyak na numero.

Kaya, ang pagkakaiba sa pagitan ng kasunod at nakaraang mga termino ng isang naibigay na pag-unlad ng arithmetic ay palaging pare-pareho:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = isang n +1 - isang n = d.

Numero d tinawag pagkakaiba ng pag-unlad ng aritmetika.

Upang tukuyin ang isang pag-unlad ng aritmetika, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at pagkakaiba nito.

Halimbawa,

Kung a 1 = 3, d = 4 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Para sa isang pag-unlad ng arithmetic na may unang termino a 1 at ang pagkakaiba d kanya n

isang n = a 1 + (n- 1)d.

Halimbawa,

hanapin ang ika-tatlumpung termino ng pag-unlad ng aritmetika

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

isang 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

isang n-1 = a 1 + (n- 2)d,

isang n= a 1 + (n- 1)d,

isang n +1 = a 1 + nd,

tapos obvious naman

Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga miyembro.

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang pag-unlad ng arithmetic kung at kung ang isa sa mga ito ay katumbas ng arithmetic mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

isang n = 2n- 7 , ay isang arithmetic progression.

Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

isang n = 2n- 7,

isang n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

isang n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kaya naman,

◄

Tandaan na n Ang ika-apat na termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng a 1 , ngunit pati na rin ang anumang nakaraan isang k

isang n = isang k + (n- k)d.

Halimbawa,

Para sa a 5 maaaring isulat

isang 5 = a 1 + 4d,

isang 5 = a 2 + 3d,

isang 5 = a 3 + 2d,

isang 5 = a 4 + d. ◄

isang n = isang n-k + kd,

isang n = isang n+k - kd,

tapos obvious naman

sinumang miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng pantay na espasyong miyembro ng arithmetic progression na ito.

Bilang karagdagan, para sa anumang pag-unlad ng aritmetika ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay pinanghahawakan:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = isang 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) isang 10= 28 = (19 + 37)/2 = (isang 7 + isang 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kasi

isang 2 + isang 12= 4 + 34 = 38,

isang 5 + isang 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ isang n,

una n Ang mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga matinding termino at ang bilang ng mga termino:

Mula dito, sa partikular, ito ay sumusunod na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

isang k, isang k +1 , . . . , isang n,

pagkatapos ay pinapanatili ng nakaraang formula ang istraktura nito:

Halimbawa,

sa pag-unlad ng aritmetika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kung ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay, kung gayon ang mga dami a 1 , isang n, d, n AtS n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Ang pag-unlad ng aritmetika ay isang monotonic sequence. kung saan:

• Kung d > 0 , pagkatapos ito ay tumataas;
• Kung d < 0 , pagkatapos ito ay bumababa;
• Kung d = 0 , kung gayon ang pagkakasunud-sunod ay magiging nakatigil.

Geometric na pag-unlad

Geometric na pag-unlad ay isang pagkakasunud-sunod kung saan ang bawat miyembro, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna na pinarami ng parehong numero.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ay isang geometric na pag-unlad kung para sa anumang natural na numero n natugunan ang kondisyon:

b n +1 = b n · q,

saan q ≠ 0 - isang tiyak na numero.

Kaya, ang ratio ng kasunod na termino ng isang ibinigay na geometric na pag-unlad sa nauna ay isang pare-parehong numero:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numero q tinawag denominator ng geometric progression.

Upang tukuyin ang isang geometric na pag-unlad, sapat na upang ipahiwatig ang unang termino at denominator nito.

Halimbawa,

Kung b 1 = 1, q = -3 , pagkatapos ay makikita natin ang unang limang termino ng pagkakasunud-sunod tulad ng sumusunod:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 at denominador q kanya n Ang ika-apat na termino ay matatagpuan gamit ang formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Halimbawa,

hanapin ang ikapitong termino ng geometric progression 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tapos obvious naman

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

bawat miyembro ng geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng geometric mean (proporsyonal) ng nauna at kasunod na mga miyembro.

Dahil ang kabaligtaran ay totoo rin, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay:

ang mga numerong a, b at c ay sunud-sunod na termino ng ilang geometric progression kung at kung ang parisukat ng isa sa mga ito ay katumbas ng produkto ng iba pang dalawa, iyon ay, ang isa sa mga numero ay ang geometric na mean ng dalawa pa.

Halimbawa,

Patunayan natin na ang pagkakasunod-sunod na ibinigay ng formula b n= -3 2 n , ay isang geometric na pag-unlad. Gamitin natin ang pahayag sa itaas. Meron kami:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kaya naman,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

na nagpapatunay sa nais na pahayag. ◄

Tandaan na n Ang ika-kataga ng isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan hindi lamang sa pamamagitan ng b 1 , ngunit gayundin ang sinumang nakaraang miyembro b k , kung saan sapat na ang paggamit ng formula

b n = b k · qn - k.

Halimbawa,

Para sa b 5 maaaring isulat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tapos obvious naman

b n 2 = b n - k· b n + k

ang parisukat ng anumang termino ng isang geometric progression, simula sa pangalawa, ay katumbas ng produkto ng mga termino ng progression na ito na katumbas ng layo mula dito.

Bilang karagdagan, para sa anumang geometric na pag-unlad ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kasi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

una n mga miyembro ng isang geometric na progression na may denominator q ≠ 0 kinakalkula ng formula:

At kailan q = 1 - ayon sa formula

S n= nb 1

Tandaan na kung kailangan mong isama ang mga tuntunin

b k, b k +1 , . . . , b n,

pagkatapos ay ginamit ang formula:

Halimbawa,

sa geometric na pag-unlad 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kung ang isang geometric na pag-unlad ay ibinigay, kung gayon ang mga dami b 1 , b n, q, n At S n konektado ng dalawang formula:

Samakatuwid, kung ang mga halaga ng alinman sa tatlo sa mga dami na ito ay ibinigay, kung gayon ang mga katumbas na halaga ng iba pang dalawang dami ay tinutukoy mula sa mga formula na ito, na pinagsama sa isang sistema ng dalawang equation na may dalawang hindi alam.

Para sa isang geometric na pag-unlad na may unang termino b 1 at denominador q magaganap ang mga sumusunod mga katangian ng monotonicity :

• ang pag-unlad ay tumataas kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At q> 1;

b 1 < 0 At 0 < q< 1;

• Ang pag-unlad ay bumababa kung ang isa sa mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:

b 1 > 0 At 0 < q< 1;

b 1 < 0 At q> 1.

Kung q< 0 , pagkatapos ay ang geometric na pag-usad ay papalit-palit: ang mga termino nito na may mga kakaibang numero ay may parehong tanda sa unang termino nito, at ang mga terminong may even na numero ay may kabaligtaran na tanda. Ito ay malinaw na ang isang alternating geometric progression ay hindi monotonic.

Produkto ng una n Ang mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Halimbawa,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad tinatawag na walang katapusang geometric progression na ang denominator modulus ay mas mababa 1 , yan ay

|q| < 1 .

Tandaan na ang isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad ay maaaring hindi isang pababang pagkakasunod-sunod. Akma ito sa okasyon

1 < q< 0 .

Sa gayong denominator, ang pagkakasunod-sunod ay papalit-palit. Halimbawa,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad pangalanan ang bilang kung saan lumalapit ang kabuuan ng mga una nang walang limitasyon n mga miyembro ng isang pag-unlad na may walang limitasyong pagtaas sa bilang n . Ang numerong ito ay palaging may hangganan at ipinapahayag ng formula

Halimbawa,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relasyon sa pagitan ng arithmetic at geometric progressions

Ang mga aritmetika at geometric na pag-unlad ay malapit na nauugnay. Tingnan natin ang dalawang halimbawa lamang.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Iyon

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Halimbawa,

1, 3, 5, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba 2 At

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometric progression na may denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometric progression na may denominator q , Iyon

mag-log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba log aq .

Halimbawa,

2, 12, 72, . . . - geometric progression na may denominator 6 At

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - pag-unlad ng aritmetika na may pagkakaiba lg 6 . ◄

Isaalang-alang natin ang isang tiyak na serye.

7 28 112 448 1792...

Ito ay ganap na malinaw na ang halaga ng alinman sa mga elemento nito ay eksaktong apat na beses na mas malaki kaysa sa nauna. Ibig sabihin, seryeng ito ay isang pag-unlad.

Ang geometric progression ay isang walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero. pangunahing tampok na ang susunod na numero ay nakuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagpaparami ng ilang partikular na numero. Ito ay ipinahayag ng sumusunod na pormula.

a z +1 =a z ·q, kung saan ang z ay ang bilang ng napiling elemento.

Alinsunod dito, ang z ∈ N.

Ang panahon kung kailan pinag-aralan ang geometric progression sa paaralan ay ika-9 na baitang. Tutulungan ka ng mga halimbawa na maunawaan ang konsepto:

0.25 0.125 0.0625...

Batay sa formula na ito, ang denominator ng pag-unlad ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Ang alinman sa q o b z ay hindi maaaring maging zero. Gayundin, ang bawat isa sa mga elemento ng pag-unlad ay hindi dapat katumbas ng zero.

Alinsunod dito, upang malaman ang susunod na numero sa isang serye, kailangan mong i-multiply ang huli sa q.

Upang itakda ang pag-unlad na ito, dapat mong tukuyin ang unang elemento at denominator nito. Pagkatapos nito, posibleng mahanap ang alinman sa mga kasunod na termino at ang kanilang kabuuan.

Mga uri

Depende sa q at a 1, ang pag-unlad na ito ay nahahati sa ilang uri:

• Kung pareho ang isang 1 at q ay mas malaki kaysa sa isa, ang ganoong pagkakasunod-sunod ay tumataas sa bawat isa susunod na elemento geometric na pag-unlad. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: a 1 =3, q=2 - ang parehong mga parameter ay mas malaki kaysa sa isa.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng numero ay maaaring isulat tulad nito:

3 6 12 24 48 ...

• Kung |q| ay mas mababa sa isa, iyon ay, ang pagpaparami nito ay katumbas ng paghahati, pagkatapos ang isang pag-unlad na may katulad na mga kondisyon ay isang bumababa na geometric na pag-unlad. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ay mas malaki kaysa sa isa, q ay mas mababa.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng numero ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

6 2 2/3 ... - anumang elemento ay 3 beses na mas malaki kaysa sa elementong sumusunod dito.

• Alternating sign. Kung q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Halimbawa: a 1 = -3, q = -2 - parehong mga parameter ay mas mababa sa zero.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng numero ay maaaring isulat tulad nito:

3, 6, -12, 24,...

Mga pormula

Mayroong maraming mga formula para sa maginhawang paggamit ng mga geometric na pag-unlad:

• Z-term na formula. Binibigyang-daan kang kalkulahin ang isang elemento sa ilalim ng isang partikular na numero nang hindi kinakalkula ang mga nakaraang numero.

Halimbawa:q = 3, a 1 = 4. Kinakailangang bilangin ang ikaapat na elemento ng progression.

Solusyon:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Ang kabuuan ng mga unang elemento na ang dami ay katumbas ng z. Binibigyang-daan kang kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng elemento ng isang sequence hanggang saisang zkasama.

Mula noong (1-q) ay nasa denominator, pagkatapos ay (1 - q)≠ 0, samakatuwid ang q ay hindi katumbas ng 1.

Tandaan: kung q=1, kung gayon ang pag-unlad ay isang serye ng mga numerong walang katapusan na umuulit.

Kabuuan ng geometric progression, mga halimbawa:a 1 = 2, q= -2. Kalkulahin ang S5.

Solusyon:S 5 = 22 - pagkalkula gamit ang formula.

• Halaga kung |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Halimbawa:a 1 = 2 , q= 0.5. Hanapin ang halaga.

Solusyon:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ilang pag-aari:

• Katangiang ari-arian. Kung ang sumusunod na kondisyon gumagana para sa anumangz, kung gayon ang ibinigay na serye ng numero ay isang geometric na pag-unlad:

isang z 2 = isang z -1 · az+1

• Gayundin, ang parisukat ng anumang numero sa isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga parisukat ng anumang dalawang iba pang mga numero sa isang naibigay na serye, kung ang mga ito ay katumbas ng layo mula sa elementong ito.

isang z 2 = isang z - t 2 + isang z + t 2 , Saant- ang distansya sa pagitan ng mga numerong ito.

• Mga elementonaiiba sa qminsan.
• Ang logarithms ng mga elemento ng isang progression ay bumubuo rin ng isang progression, ngunit isang aritmetika, iyon ay, ang bawat isa sa kanila ay mas malaki kaysa sa nauna sa pamamagitan ng isang tiyak na numero.

Mga halimbawa ng ilang klasikong problema

Upang mas maunawaan kung ano ang isang geometric na pag-unlad, makakatulong ang mga halimbawa na may mga solusyon para sa klase 9.

• Kundisyon:a 1 = 3, a 3 = 48. Hanapinq.

Solusyon: ang bawat kasunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna saq minsan.Ito ay kinakailangan upang ipahayag ang ilang mga elemento sa mga tuntunin ng iba gamit ang isang denominator.

Kaya naman,a 3 = q 2 · a 1

Kapag nagpapalitq= 4

• Kundisyon:a 2 = 6, a 3 = 12. Kalkulahin ang S 6.

Solusyon:Upang gawin ito, hanapin lamang ang q, ang unang elemento at palitan ito sa formula.

a 3 = q· a 2 , samakatuwid,q= 2

a 2 = q · isang 1,kaya lang a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Hanapin ang ikaapat na elemento ng progression.

Solusyon: upang gawin ito, sapat na upang ipahayag ang ikaapat na elemento sa pamamagitan ng una at sa pamamagitan ng denominator.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Halimbawa ng aplikasyon:

• Ang isang kliyente sa bangko ay nagdeposito sa halagang 10,000 rubles, sa ilalim ng mga tuntunin kung saan bawat taon ang kliyente ay magkakaroon ng 6% nito na idinagdag sa pangunahing halaga. Magkano ang pera sa account pagkatapos ng 4 na taon?

Solusyon: Ang paunang halaga ay 10 libong rubles. Nangangahulugan ito na isang taon pagkatapos ng pamumuhunan ang account ay magkakaroon ng halagang katumbas ng 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Alinsunod dito, ang halaga sa account pagkatapos ng isa pang taon ay ihahayag tulad ng sumusunod:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Iyon ay, bawat taon ang halaga ay tumataas ng 1.06 beses. Nangangahulugan ito na upang mahanap ang halaga ng mga pondo sa account pagkatapos ng 4 na taon, sapat na upang mahanap ang ikaapat na elemento ng pag-unlad, na ibinibigay ng unang elemento na katumbas ng 10 libo at ang denominator na katumbas ng 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Mga halimbawa ng mga problema sa pagkalkula ng kabuuan:

Ginagamit ang geometric progression sa iba't ibang problema. Ang isang halimbawa para sa paghahanap ng kabuuan ay maaaring ibigay tulad ng sumusunod:

a 1 = 4, q= 2, kalkulahinS 5.

Solusyon: ang lahat ng data na kinakailangan para sa pagkalkula ay kilala, kailangan mo lamang na palitan ang mga ito sa formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Kalkulahin ang kabuuan ng unang anim na elemento.

Solusyon:

Sa geom. pag-unlad, ang bawat susunod na elemento ay q beses na mas malaki kaysa sa nauna, iyon ay, upang kalkulahin ang kabuuan na kailangan mong malaman ang elementoa 1 at denominadorq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Katulad nito, kailangan mong hanapina 1 , alama 2 Atq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometric na pag-unlad hindi gaanong mahalaga sa matematika kumpara sa aritmetika. Ang geometric progression ay isang sequence ng mga numero b1, b2,..., b[n], ang bawat susunod na termino ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng nauna sa isang pare-parehong numero. Ang numerong ito, na nagpapakilala rin sa rate ng paglago o pagbaba ng pag-unlad, ay tinatawag denominator ng geometric progression at magpakilala

Upang ganap na tukuyin ang isang geometric na pag-unlad, bilang karagdagan sa denominator, kinakailangang malaman o matukoy ang unang termino nito. Para sa isang positibong halaga ng denominator, ang pag-unlad ay isang monotonikong pagkakasunud-sunod, at kung ang pagkakasunud-sunod ng mga numero ay monotonikong bumababa at kung ito ay monotonikong tumataas. Ang kaso kapag ang denominator ay katumbas ng isa ay hindi isinasaalang-alang sa pagsasanay, dahil mayroon tayong pagkakasunud-sunod ng magkaparehong mga numero, at ang kanilang pagsusuma ay walang praktikal na interes

Pangkalahatang termino ng geometric progression kinakalkula ng formula

Kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad tinutukoy ng formula

Tingnan natin ang mga solusyon sa mga klasikong problema sa pag-unlad ng geometriko. Magsimula tayo sa pinakasimpleng maintindihan.

Halimbawa 1. Ang unang termino ng isang geometric progression ay 27, at ang denominator nito ay 1/3. Hanapin ang unang anim na termino ng geometric progression.

Solusyon: Isulat natin ang kondisyon ng problema sa form

Para sa mga kalkulasyon ginagamit namin ang formula para sa ika-n na termino ng isang geometric na pag-unlad

Batay dito, nakita namin ang hindi kilalang mga termino ng pag-unlad

Tulad ng nakikita mo, ang pagkalkula ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad ay hindi mahirap. Ang pag-unlad mismo ay magiging ganito

Halimbawa 2. Ang unang tatlong termino ng geometric progression ay ibinigay: 6; -12; 24. Hanapin ang denominator at ang ikapitong termino nito.

Solusyon: Kinakalkula namin ang denominator ng geomitric progression batay sa kahulugan nito

Nakakuha kami ng alternating geometric progression na ang denominator ay katumbas ng -2. Ang ikapitong termino ay kinakalkula gamit ang formula

Malulutas nito ang problema.

Halimbawa 3. Ang isang geometric na pag-unlad ay ibinibigay ng dalawa sa mga termino nito . Hanapin ang ikasampung termino ng progression.

Solusyon:

Isulat natin ang ibinigay na mga halaga gamit ang mga formula

Ayon sa mga patakaran, kakailanganin nating hanapin ang denominator at pagkatapos ay hanapin ang nais na halaga, ngunit para sa ikasampung termino mayroon tayong

Ang parehong formula ay maaaring makuha batay sa mga simpleng manipulasyon sa input data. Hatiin ang ikaanim na termino ng serye sa isa pa, at bilang resulta ay nakukuha natin

Kung ang resultang halaga ay pinarami ng ikaanim na termino, makukuha natin ang ikasampu

Kaya, para sa mga ganitong problema, gamit ang mga simpleng pagbabago sa mabilis na paraan, mahahanap mo ang tamang solusyon.

Halimbawa 4. Ang geometric progression ay ibinibigay ng mga paulit-ulit na formula

Hanapin ang denominator ng geometric progression at ang kabuuan ng unang anim na termino.

Solusyon:

Isulat natin ang ibinigay na data sa anyo ng isang sistema ng mga equation

Ipahayag ang denominator sa pamamagitan ng paghahati ng pangalawang equation sa una

Hanapin natin ang unang termino ng progression mula sa unang equation

Kalkulahin natin ang sumusunod na limang termino upang mahanap ang kabuuan ng geometric progression