Logično je preiti na pogovor dejanja z algebrskimi ulomki... Z algebrskimi ulomki, naslednja dejanja: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje in dvig na naravna stopnja... Poleg tega so vsa ta dejanja zaprta v smislu, da se kot rezultat njihovega izvajanja dobi algebraični ulomek. Oglejmo si vsakega od njih po vrsti.

Da, takoj je treba omeniti, da so dejanja z algebrskimi ulomki posplošitve ustreznih dejanj z navadnimi ulomki. Zato ustrezna pravila skoraj dobesedno sovpadajo s pravili za izvajanje seštevanja in odštevanja, množenja, deljenja in stopnjevanja. navadni ulomki.

Navigacija po straneh.

Seštevanje algebraičnih ulomkov

Seštevanje poljubnih algebraičnih ulomkov ustreza enemu od naslednjih dveh primerov: v prvem ulomke z enaki imenovalci, v drugem - z različnimi. Začnimo s pravilom seštevanja ulomkov z enakim imenovalcem.

Če želite sešteti algebraične ulomke z enakim imenovalcem, dodajte števce in pustite imenovalec enak.

Zvočno pravilo vam omogoča, da od seštevanja algebraičnih ulomkov preidete na seštevanje polinomov v števcih. Na primer, .

Če želite sešteti algebraične ulomke z različni imenovalci ravnati morate po naslednjem pravilu: pripeljite jih do skupni imenovalec, nato pa nastale ulomke seštej z enakimi imenovalci.

Na primer, pri dodajanju algebrskih ulomkov in jih je treba najprej zmanjšati na skupni imenovalec, bodo posledično imeli obliko in oziroma, po katerem se izvede seštevanje teh ulomkov z enakimi imenovalci:.

Odštevanje

Naslednji korak - odštevanje algebraičnih ulomkov - se izvede na enak način kot seštevanje. Če so imenovalci prvotnih algebrskih ulomkov enaki, morate samo odšteti polinome v števcih in pustiti imenovalec enak. Če so imenovalci različni, se najprej izvede redukcija na skupni imenovalec, nato pa se izvede odštevanje dobljenih ulomkov z enakimi imenovalci.

Tukaj je nekaj primerov.

Izvedemo odštevanje algebraičnih ulomkov in so zato njihovi imenovalci enaki. Nastali algebraični ulomek se lahko dodatno zmanjša: .

Zdaj pa odštejmo ulomek od ulomka. To so algebraični ulomki z različnimi imenovalci, zato jih najprej pripeljemo do skupnega imenovalca, ki je v tem primeru 5 x (x-1), imamo in ... Ostaja še izvesti odštevanje:

Množenje algebraičnih ulomkov

Algebraične ulomke je mogoče pomnožiti. To dejanje se izvaja podobno kot množenje navadnih ulomkov po naslednjem pravilu: če želite pomnožiti algebraične ulomke, morate ločeno pomnožiti števce in ločeno imenovalce.

Dajmo primer. Pomnožimo algebraični ulomek z ulomkom. Po navedenem pravilu imamo ... Ostaja še pretvoriti nastali ulomek v algebraični ulomek, za to je v tem primeru potrebno izvesti množenje monoma in polinoma (in v splošni primer- množenje polinomov) v števcu in imenovalcu: .

Omeniti velja, da je pred množenjem algebrskih ulomkov zaželeno, da polinome faktoriziramo v njihovih števcih in imenovalcih. To je posledica možnosti zmanjšanja nastale frakcije. na primer
.

To dejanje je podrobneje obravnavano v članku.

divizije

Pojdimo na operacije z algebrskimi ulomki. Naslednji korak je delitev algebraičnih ulomkov. Naslednje pravilo reducira deljenje algebraičnih ulomkov na množenje: če želite en algebraični ulomek deliti z drugim, morate prvi ulomek pomnožiti z obratnim od drugega.

Algebraični ulomek, inverzen danemu ulomku, razumemo kot ulomek s preurejenimi mesti števca in imenovalca. Z drugimi besedami, dva algebraična ulomka veljata za medsebojno inverzna, če je njun produkt identično enak eni (po analogiji z).

Dajmo primer. Naredimo delitev ... Delitelju je inverzni ulomek. Tako,.

Za več informacij glejte članek, omenjen v prejšnjem odstavku o množenju in delitvi algebrskih ulomkov.

Eksponentacija algebraičnega ulomka

Na koncu se obrnemo na zadnjo dejanje z algebrskimi ulomki - dvig na naravno potenco. , kot tudi način, na katerega smo definirali množenje algebrskih ulomkov, nam omogoča, da zapišemo pravilo za dvig algebraičnega ulomka na potencio: števec morate dvigniti na to potenco posebej, ločeno pa - imenovalec.

Pokažimo primer izvajanja tega dejanja. Dvignimo algebraični ulomek na drugo potenco. Po zgornjem pravilu imamo ... Ostaja še dvigniti monom v števcu na potenco in tudi povišati polinom v imenovalcu na potenco, kar bo dalo algebraični ulomek oblike .

Rešitev drugih tipičnih primerov je prikazana v članku, ki algebraični ulomek dvigne na potenco.

Bibliografija.

• algebra:študij. za 8 cl. Splošna izobrazba. ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2008 .-- 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovič algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del. Učbenik za dijake izobraževalne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 str.: Ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Učbenik. priročnik - M .; višje. šk., 1984.-351 str., ilustr.

Avtorske pravice pametnih študentov

Vse pravice pridržane.
Zaščiteno z zakonom o avtorskih pravicah. Noben del spletnega mesta www.site, vključno z notranji materiali in zunanji dizajn, ni dovoljeno reproducirati v kakršni koli obliki ali uporabljati brez predhodnega pisnega dovoljenja imetnika avtorskih pravic.

Cilji: ponoviti pravilo množenja navadnih ulomkov in naučiti, kako uporabiti to pravilo za množenje poljubnih ulomkov; utrditi veščine zmanjševanja ulomkov in lastnosti stopinj z enakimi osnovami med vajo.

Med poukom

I. Analiza kontrolnega dela.

1. Navedite napake, ki so jih učenci naredili pri testu.

2. Reši naloge, ki so učencem povzročale težave.

II. Ustno delo.

1. Ponovite lastnosti stopinj z istimi osnovami:

2. Predstavljena kot stopnja z bazo

Ponovite osnovno lastnost ulomka in to lastnost uporabite za zmanjšanje ulomkov.

III. Pojasnila novega gradiva.

1. Dokažimo, da je enakost

velja za vse dopustne vrednosti spremenljivk, to je za b ≠ 0 in d ≠ 0.

2. Pravilo: Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti njihove števce in pomnožiti njihove imenovalce ter prvi produkt zapisati kot števec, drugega pa kot imenovalec ulomka.

3. Razmislite o reševanju primerov 1, 2, 3 in 4 na straneh 26–27 vadnice.

4. Za zmnožek treh ali več faktorjev velja pravilo množenja ulomkov.

Na primer:

1. Reši # 108 (ustno).

2. Reši številko 109 (a, c, e) na tabli in v zvezkih.

Učenci se odločijo sami, nato se rešitev preveri.

3. Reši št. 112 (c; d; f).

Domača naloga: študijska točka 5 (1-4); reši št. 109 (b; d; f),

št. 112 (a; b; e), št. 118 (a; c; e), št. 119 (b; d), št. 120 (a; c).

2. lekcija

Cilji: izpeljati pravilo za dvig ulomka na pottenek in učence naučiti uporabljati to pravilo pri izvajanju vaj; utrditi pravilo množenja ulomkov in veščine zmanjševanja ulomkov, razvijati logično mišljenje učencev.

Med poukom

I. Ustno delo.

4. Preverite Domača naloga po zvezkih selektivno.

II. Učenje nove snovi.

1. Razmislite o vprašanju dviga ulomka na potenco. Dokažimo to

2. Pravilo... Če želite ulomek dvigniti na potencio, je treba števec in imenovalec dvigniti na to stopnjo, prvi rezultat pa zapisati v števec, drugega pa v imenovalec ulomka.

3. Razčlenite rešitev primera 5 na strani 28 vadnice:

III. Vaja.

1. Odločite št. 115 ustno.

2. Odločite se za št. 116 samostojno s preverjanjem ali s pripombami na kraju samem.

IV. Samostojno delo (10 min).

V. Povzetek lekcije.

1. Oblikujte pravilo za množenje ulomkov.

2. Oblikujte pravilo za dvig ulomka na stepen.

Domača naloga: spoznajo pravila 5. člena; rešiti št. 117, št. 121 (a; d), št. 122 (a; c), št. 123 (a), št. 124, št. 130 (a; b).

Očitno je mogoče seštevati števila s potenji, tako kot druge količine , tako da jih dodamo enega za drugim z njihovimi znaki.

Torej je vsota a 3 in b 2 a 3 + b 2.
Vsota a 3 - b n in h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kvote enake stopnje istih spremenljivk se lahko doda ali odšteje.

Torej je vsota 2a 2 in 3a 2 5a 2.

Očitno je tudi, da če vzamete dva kvadrata a, tri kvadratke a ali pet kvadratov a.

Ampak stopinje različne spremenljivke in različne stopnje identične spremenljivke, je treba dodati z njihovim dodatkom s svojimi znaki.

Torej je vsota 2 in 3 vsota 2 + a 3.

Očitno je, da kvadrat a in kocka a ni enaka dvakratnemu kvadratu a, ampak dvakratnemu kvadratu a.

Vsota a 3 b n in 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odštevanje stopinj se izvaja na enak način kot seštevanje, le da je treba predznake odštetega ustrezno spremeniti.

ali:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Množenje stopinj

Števila s potenci lahko pomnožimo, tako kot druge količine, tako, da jih zapišemo eno za drugo, z ali brez znaka množenja med njimi.

Torej je rezultat množenja a 3 z b 2 a 3 b 2 ali aaabb.

ali:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat v zadnjem primeru je mogoče urediti z dodajanjem istih spremenljivk.
Izraz bo imel obliko: a 5 b 5 y 3.

Če primerjamo več števil (spremenljivk) s potenci, lahko vidimo, da če pomnožimo kateri koli dve od njih, je rezultat število (spremenljivka) s potekom, ki je enaka Vsota stopnje izrazov.

Torej, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Tukaj je 5 moč rezultata množenja, enaka 2 + 3, vsota potenk členov.

Torej, a n .a m = a m + n.

Za n se a vzame kot faktor tolikokrat, kolikor je moč n enaka;

In m je vzet kot faktor tolikokrat, kot je moč m;

Zato, stopinje z enakimi stebli se lahko pomnožijo z seštevanjem eksponentov.

Torej, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. In x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

ali:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožimo (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

To pravilo velja tudi za števila, katerih eksponenti so - negativno.

1. Torej, a -2 .a -3 = a -5. To lahko zapišemo kot (1 / aa).(1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Če a + b pomnožimo z a - b, je rezultat a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja vsote ali razlike dveh števil je enak vsoti ali razliki njunih kvadratov.

Če se vsota in razlika dveh števil dvigneta na kvadratni, bo rezultat enak vsoti ali razliki teh številk v četrti stopnje.

Torej, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Delitev stopenj

Števila moči lahko delimo, tako kot druga števila, z odštevanjem od delitelja ali tako, da jih postavimo v ulomno obliko.

Torej je a 3 b 2 deljeno z b 2 enako a 3.

ali:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

5, deljeno s 3, izgleda kot $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Toda to je enako 2. V nizu številk
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
katero koli število lahko delimo z drugim in eksponent bo enak Razlika eksponenti deljivih števil.

Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi kazalniki odštejejo..

Torej, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. To pomeni, da je $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

In a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. To pomeni, da je $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

ali:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravilo velja tudi za števila s negativno vrednosti stopinj.
Rezultat delitve -5 z -3 je -2.
Tudi $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 ali $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Množenje in deljenje stopinj je treba zelo dobro obvladati, saj se takšne operacije v algebri zelo pogosto uporabljajo.

Primeri reševanja primerov z ulomki, ki vsebujejo števila s potenci

1. Zmanjšaj eksponente v $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Odgovor: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Zmanjšaj eksponente v $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Odgovor: $ \ frac (2x) (1) $ ali 2x.

3. Zmanjšaj eksponenta a 2 / a 3 in a -3 / a -4 in ju pripeljemo do skupnega imenovalca.
a 2 .a -4 je prvi števec -2.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi števec.
a 3 .a -4 je -1, skupni števec.
Po poenostavitvi: a -2 / a -1 in 1 / a -1.

4. Zmanjšaj eksponenta 2a 4 / 5a 3 in 2 / a 4 in ju pripeljemo do skupnega imenovalca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 in 5a 5 / 5a 7 ali 2a 3 / 5a 2 in 5 / 5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b) / b 4 z (a - b) / 3.

6. Pomnožite (a 5 + 1) / x 2 z (b 2 - 1) / (x + a).

7. Pomnožite b 4 / a -2 s h -3 / x in a n / y -3.

8. Delite 4 / y 3 s 3 / y 2. Odgovor: a / y.

9. Delite (h 3 - 1) / d 4 z (d n + 1) / h.

Formule moči se uporabljajo v procesu reduciranja in poenostavljanja kompleksnih izrazov, pri reševanju enačb in neenakosti.

Številka c je n--ta moč števila a kdaj:

Operacije z diplomami.

1. Če pomnožimo stopinje z isto bazo, se njihovi kazalci seštejejo:

a mA n = a m + n.

2. Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi kazalniki odštejejo:

3. Stopnja produkta dveh ali več faktorjev je enaka zmnožku stopenj teh faktorjev:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. Moč ulomka je enaka razmerju med potenci delitelja in delitelja:

(a / b) n = a n / b n.

5. Z dvigom stopnje na stopnjo se eksponenti pomnožijo:

(a m) n = a m n.

Vsaka od zgornjih formul velja od leve proti desni in obratno.

Na primer. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Korenske operacije.

1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenin teh faktorjev:

2. Koren razmerja je enak razmerju dividende in delitelja korenov:

3. Ko korenino dvignemo na potenco, je dovolj, da korensko številko dvignemo na to stopnjo:

4. Če povečate stopnjo korena v n enkrat in hkrati vgraditi n-th potenco korenske številke, potem se korenska vrednost ne bo spremenila:

5. Če zmanjšate stopnjo korenine v n enkrat in hkrati izvlecite koren n--ta moč radikalnega števila, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

Stopnja z negativnim eksponentom. Moč števila z nepozitivnim (celoštevilnim) eksponentom je definirana kot ena, deljena s potekom istega števila z eksponentom enakim absolutna vrednost nepozitiven kazalnik:

Formula a m: a n = a m - n se lahko uporablja ne samo za m> n, ampak tudi pri m< n.

Na primer. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Torej formula a m: a n = a m - n postal pošten, ko m = n, je potrebna prisotnost ničelne stopnje.

Ničelna ocena. Moč katerega koli neničelnega števila z ničelnim eksponentom je enaka ena.

Na primer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Delni eksponent. Postaviti pravo številko a do stopnje m / n, morate izvleči koren n-. stopnja m--ta moč tega števila a.

Lekcija na temo: "Pravila za množenje in deljenje stopinj z enakimi in različnimi eksponenti. Primeri"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, ocen, želja. Vsi materiali so bili preverjeni s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 7. razred
Priročnik za učbenik Yu.N. Makarycheva Priročnik za učbenik A.G. Mordkovich

Namen lekcije: naučiti se izvajati dejanja s številskimi potenci.

Za začetek se spomnimo pojma "stopnja števila". Izraz, kot je $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $, je lahko predstavljen kot $ a ^ n $.

Velja tudi obratno: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

Ta enakost se imenuje "zapis stopnje kot produkta". Pomagal nam bo določiti, kako množiti in deliti stopnje.
Zapomni si:
a Je osnova diplome.
n- eksponent.
Če n = 1, torej številka a vzel enkrat in temu primerno: $ a ^ n = 1 $.
Če n = 0, potem je $ a ^ 0 = 1 $.

Zakaj se to zgodi, lahko ugotovimo, ko se seznanimo s pravili množenja in delitve pooblastil.

Pravila množenja

Primer.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

To lastnost je priročno uporabiti za poenostavitev dela pri dvigu števila na veliko moč.
Primer.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Če so stopnje pomnožene z različnimi osnovami, vendar z istim eksponentom.
Za $ a ^ n * b ^ n $ zapišite stopnje kot produkt: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( m) $.
Če zamenjamo množitelje in preštejemo nastale pare, dobimo: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

Torej, $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

Primer.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Pravila delitve

Torej je potrebno $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $, kje n> m.

Zapišimo potence kot ulomek:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

Zdaj pa prekličemo ulomek.

Izkazalo se je: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
pomeni, $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

Ta lastnost bo pomagala razložiti situacijo z dvigom števila na nič. Predpostavimo, da n = m, potem $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

Primeri.
$ \ frac (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ frac (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

b) Osnove stopnje so različne, kazalniki so enaki.
Recimo, da potrebujete $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $. Zapišimo moči števil kot ulomek:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

Primer.
$ \ frac (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.