5.1. Koncept povprečna velikost

Povprečna vrednost - To je splošen kazalnik, ki označuje tipično stopnjo pojava. Izraža vrednost značilnosti na enoto populacije.

Povprečje vedno posplošuje kvantitativno variacijo lastnosti, tj. v povprečnih vrednostih so izločene individualne razlike med enotami v populaciji zaradi naključnih okoliščin. Za razliko od povprečja absolutna vrednost, ki označuje stopnjo značilnosti posamezne enote populacije, ne omogoča primerjave vrednosti značilnosti med enotami, ki pripadajo različnim populacijam. Torej, če morate primerjati ravni plačil delavcev v dveh podjetjih, potem na tej podlagi ne morete primerjati dveh zaposlenih v različnih podjetjih. Plačila delavcev, izbranih za primerjavo, morda niso značilna za ta podjetja. Če primerjamo obseg plačnih skladov v obravnavanih podjetjih, število zaposlenih ni upoštevano, zato ni mogoče ugotoviti, kje je višina plač višja. Navsezadnje je mogoče primerjati le povprečne kazalnike, tj. Koliko v povprečju zasluži en zaposleni v posameznem podjetju? Zato je treba izračunati povprečno vrednost kot posplošljivo značilnost populacije.

Izračun povprečja je ena od pogostih tehnik posploševanja; kazalnik povprečje zanika skupno (tipično) vsem enotam proučevane populacije, hkrati pa zanemarja razlike posameznih enot. V vsakem pojavu in njegovem razvoju je kombinacija naključja in nuje. Pri izračunu povprečij se zaradi delovanja zakona velikih števil naključnost izniči in uravnovesi, zato je možno abstrahirati od nepomembnih lastnosti pojava, od kvantitativnih vrednosti značilnosti v vsakem konkretnem primeru. . Zmožnost abstrahiranja od naključnosti posameznih vrednosti in nihanj je znanstvena vrednost povprečij kot splošnih značilnosti agregatov.

Da bi bilo povprečje resnično reprezentativno, mora biti izračunano ob upoštevanju določenih načel.

Poglejmo nekaj splošna načela uporaba povprečnih vrednosti.
1. Povprečje je treba določiti za populacije, sestavljene iz kvalitativno homogenih enot.
2. Povprečje je treba izračunati za populacijo, ki jo sestavlja dovolj veliko število enote.
3. Povprečje je treba izračunati za populacijo, katere enote so v normalnem, naravnem stanju.
4. Povprečje je treba izračunati ob upoštevanju ekonomske vsebine proučevanega kazalnika.

5.2. Vrste povprečij in metode za njihov izračun

Oglejmo si zdaj vrste povprečnih vrednosti, značilnosti njihovega izračuna in področja uporabe. Povprečne vrednosti so razdeljene v dva velika razreda: povprečja moči, strukturna povprečja.

TO povprečna moč Ti vključujejo najbolj znane in pogosto uporabljene vrste, kot so geometrična sredina, aritmetična sredina in kvadratna sredina.

Kot strukturna povprečja upoštevata se način in mediana.

Osredotočimo se na povprečja moči. Povprečja moči so glede na predstavitev izvornih podatkov lahko enostavna ali utežena. Preprosto povprečje Izračuna se na podlagi nezdruženih podatkov in ima naslednjo splošno obliko:

kjer je X i različica (vrednost) povprečne značilnosti;

n – možnost števila.

Povprečna teža se izračuna na podlagi združenih podatkov in ima splošen videz

,

kjer je X i varianta (vrednost) povprečne značilnosti ali srednja vrednost intervala, v katerem se meri varianta;
m – povprečni indeks stopnje;
f i – frekvenca, ki kaže, kolikokrat se pojavi i-e vrednost značilnost povprečenja.

Kot primer navedimo izračun povprečne starosti študentov v skupini 20 ljudi:

Povprečno starost izračunamo po preprosti povprečni formuli:

Združimo izvorne podatke. Dobimo naslednja vrstica distribucije:

Kot rezultat združevanja dobimo nov kazalnik - frekvenca, ki kaže na število učencev, starih X let. Zato bo povprečna starost učencev v skupini izračunana po formuli tehtanega povprečja:

Splošne formule za izračun povprečij moči imajo eksponent (m). Glede na vrednost, ki jo sprejme, ločimo naslednje vrste povprečij moči:
harmonična sredina, če je m = -1;
geometrična sredina, če je m –> 0;
aritmetična sredina, če je m = 1;
srednji kvadrat, če je m = 2;
povprečna kubična, če je m = 3.

Formule za povprečje moči so podane v tabeli. 4.4.

Če izračunate vse vrste povprečij za iste začetne podatke, se bodo njihove vrednosti izkazale za drugačne. Tukaj velja pravilo večine povprečij: z naraščanjem eksponenta m narašča tudi ustrezna povprečna vrednost:

V statistični praksi se aritmetične sredine in harmonične utežene sredine uporabljajo pogosteje kot druge vrste uteženih povprečij.

Tabela 5.1

Vrste močnostnih sredstev

Vrsta moči povprečje	Kazalo stopnja (m)	Formula za izračun
		Enostavno	Tehtano
Harmonično	-1
Geometrijski	0
Aritmetika	1
Kvadratični	2
Kubični	3

Harmonična sredina ima več kompleksna zasnova kot aritmetična sredina. Harmonična sredina se uporablja za izračune, kadar se kot uteži ne uporabljajo enote populacije - nosilci značilnosti, temveč zmnožek teh enot z vrednostmi značilnosti (tj. m = Xf). K povprečnemu harmoničnemu preprostemu se je treba zateči v primerih določanja, na primer, povprečnih stroškov dela, časa, materiala na enoto proizvodnje, na en del za dva (tri, štiri itd.) Podjetja, delavce, ki se ukvarjajo s proizvodnjo istega vrsto izdelka, isti del, izdelek.

Glavna zahteva za formulo za izračun povprečne vrednosti je, da imajo vse stopnje izračuna resnično smiselno utemeljitev; dobljeno povprečje bi moralo nadomestiti posamezne vrednote značilnosti za vsak objekt, ne da bi prekinili povezavo med posameznimi in zbirnimi indikatorji. Z drugimi besedami, povprečna vrednost mora biti izračunana tako, da ko se vsaka posamezna vrednost povprečenega kazalnika nadomesti z njegovo povprečno vrednostjo, ostane nek končni sumarni kazalnik nespremenjen, povezana tema ali na drug način s povprečnim . Ta vsota se imenuje definiranje saj narava njegovega razmerja s posameznimi vrednostmi določa specifično formulo za izračun povprečne vrednosti. Dokažimo to pravilo na primeru geometrijske sredine.

Formula geometrijske sredine

se najpogosteje uporablja pri izračunu povprečne vrednosti na podlagi posamezne relativne dinamike.

Geometrična sredina se uporablja, če je podano zaporedje verižne relativne dinamike, ki nakazuje na primer povečanje proizvodnje glede na raven prejšnjega leta: i 1, i 2, i 3,..., i n. Očitno je, da obseg proizvodnje v lansko leto je določena z njegovo začetno ravnjo (q 0) in poznejšim povečanjem z leti:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Če vzamemo q n kot odločilni indikator in nadomestimo posamezne vrednosti kazalnikov dinamike s povprečnimi, pridemo do razmerja

Od tod

5.3. Strukturna povprečja

Za preučevanje se uporablja posebna vrsta povprečij - strukturna povprečja notranja struktura serije porazdelitve vrednosti atributa, kot tudi za oceno povprečne vrednosti (vrste moči), če njenega izračuna ni mogoče izvesti glede na razpoložljive statistične podatke (na primer, če v obravnavanem primeru ni bilo podatkov tako o obsegu kot proizvodnje in višine stroškov za skupine podjetij) .

Indikatorji se največkrat uporabljajo kot strukturna povprečja moda - največkrat ponovljena vrednost atributa – in mediane – vrednost značilnosti, ki deli urejeno zaporedje svojih vrednosti na dva enaka dela. Posledično pri polovici enot v populaciji vrednost atributa ne presega mediane, pri drugi polovici pa ni manjša od nje.

Če ima značilnost, ki se preučuje, diskretne vrednosti, potem ni posebnih težav pri izračunu načina in mediane. Če so podatki o vrednostih atributa X predstavljeni v obliki urejenih intervalov njegove spremembe (intervalne serije), postane izračun načina in mediane nekoliko bolj zapleten. Ker vrednost mediane razdeli celotno populacijo na dva enaka dela, se le-ta znajde v enem od intervalov karakteristike X. Z interpolacijo najdemo vrednost mediane v tem intervalu mediane:

,

kjer je X Me spodnja meja medianega intervala;
h Me – njegova vrednost;
(Vsota m)/2 – polovica skupno število opazovanja ali polovica obsega kazalnika, ki se uporablja kot utež v formulah za izračun povprečne vrednosti (v absolutnem ali relativnem smislu);
S Me-1 – vsota opazovanj (ali prostornina utežnega atributa), zbranih pred začetkom medianega intervala;
m Me – število opazovanj ali obseg utežne karakteristike v medianem intervalu (tudi v absolutnem ali relativnem smislu).

V našem primeru je mogoče dobiti celo tri mediane vrednosti - na podlagi značilnosti števila podjetij, obsega proizvodnje in skupni znesek proizvodni stroški:

Tako v polovici podjetij stroški na enoto proizvodnje presegajo 125,19 tisoč rubljev, polovica celotnega obsega izdelkov se proizvede s stroški na izdelek več kot 124,79 tisoč rubljev. in 50% skupnih stroškov se oblikuje, če stroški enega izdelka presegajo 125,07 tisoč rubljev. Upoštevajte tudi, da obstaja določena težnja k povečanju stroškov, saj je Me 2 = 124,79 tisoč rubljev, povprečna raven pa je 123,15 tisoč rubljev.

Pri izračunu modalne vrednosti značilnosti na podlagi podatkov intervalne serije je treba paziti na dejstvo, da so intervali enaki, saj je od tega odvisen indikator ponovljivosti vrednosti značilnosti X intervalna serija z enakimi intervali, se velikost modusa določi kot

kjer je X Mo spodnja vrednost modalnega intervala;
m Mo – število opazovanj ali obseg utežne karakteristike v modalnem intervalu (v absolutnem ali relativnem smislu);
m Mo -1 – enako za interval pred modalnim;
m Mo+1 – enako za interval, ki sledi modalnemu;
h – vrednost intervala spremembe značilnosti v skupinah.

Za naš primer lahko izračunamo tri modalni pomeni glede na število podjetij, obseg proizvodnje in višino stroškov. V vseh treh primerih je modalni interval enak, saj je za isti interval največje število podjetij, obseg proizvodnje in skupni znesek proizvodnih stroškov:

Tako najpogosteje obstajajo podjetja s stopnjo stroškov 126,75 tisoč rubljev, najpogosteje se izdelki proizvajajo s stopnjo stroškov 126,69 tisoč rubljev, najpogosteje pa so proizvodni stroški razloženi s stopnjo stroškov 123,73 tisoč rubljev.

5.4. Indikatorji variacije

Specifični pogoji, v katerih se nahaja vsak od preučevanih predmetov, pa tudi njihove značilnosti lasten razvoj(socialne, ekonomske itd.) so izražene z ustreznimi numeričnimi ravnmi statističnih indikatorjev. torej variacija, tiste. neskladje med ravnmi istega kazalnika v različne predmete, ima objektivno naravo in pomaga razumeti bistvo preučevanega pojava.

Obstaja več metod, ki se uporabljajo za merjenje variacije v statistiki.

Najenostavnejši je izračun indikatorja obseg variacije H kot razlika med največjo (X max) in najmanjšo (X min) opaženo vrednostjo značilnosti:

H=X max - X min.

Vendar obseg variacije kaže le ekstremne vrednosti lastnosti. Ponovljivost vmesnih vrednosti tukaj ni upoštevana.

Strožje značilnosti so indikatorji variabilnosti glede na povprečno raven lastnosti. Najenostavnejši indikator te vrste je povprečno linearno odstopanje L kot povprečje aritmetična vrednost absolutna odstopanja lastnosti od njene povprečne ravni:

Če so posamezne vrednosti X ponovljive, uporabite formulo aritmetična sredina tehtano:

(Zapomni si to algebraična vsota odstopanja od povprečne ravni nič.)

Ugotovljeno je bilo povprečno linearno odstopanje široka uporaba na praksi. Z njegovo pomočjo se na primer analizira sestava delavcev, ritem proizvodnje, enakomernost dobave materialov, razvijajo se sistemi materialnih spodbud. Toda na žalost ta kazalnik otežuje verjetnostne izračune in otežuje uporabo metod matematične statistike. Zato v statističnem znanstvena raziskava indikator, ki se najpogosteje uporablja za merjenje variacije, je odstopanja.

Varianca karakteristike (s 2) je določena na podlagi kvadratne potenčne sredine:

.

Indikator s je enak se imenuje standardni odklon.

Indikator disperzije je v splošni teoriji statistike ocena istoimenskega indikatorja teorije verjetnosti in (kot vsota kvadratov odklonov) ocena disperzije v matematični statistiki, kar omogoča uporabo določb teh teoretične discipline za analizo družbenoekonomskih procesov.

Če je variacija ocenjena iz majhnega števila opazovanj, vzetih iz neomejene populacije, potem je povprečna vrednost značilnosti določena z določeno napako. Izračunana vrednost disperzije se izkaže za pomaknjeno proti zmanjšanju. Za pridobitev nepristranske ocene je treba vzorčno varianco, dobljeno s predhodno podanimi formulami, pomnožiti z vrednostjo n / (n - 1). Posledično z majhnim številom opazovanj (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Običajno že pri n > (15÷20) postane razlika med pristransko in nepristransko oceno nepomembna. Iz istega razloga se pristranskost običajno ne upošteva v formuli za dodajanje odstopanj.

Če vzamemo več vzorcev iz generalne populacije in vsakič določimo povprečno vrednost lastnosti, nastane problem ocene variabilnosti povprečij. Ocenite varianco Povprečna vrednost možno je na podlagi samo enega vzorčnega opazovanja z uporabo formule

,

kjer je n velikost vzorca; s 2 – varianca karakteristike, izračunana iz vzorčnih podatkov.

Magnituda je poklican povprečna napaka vzorčenja in je značilnost odstopanja vzorčne povprečne vrednosti atributa X od njegove prave povprečne vrednosti. Kazalnik povprečne napake se uporablja za oceno zanesljivosti rezultatov vzorčnega opazovanja.

Indikatorji relativne disperzije. Za karakterizacijo mere variabilnosti proučevane značilnosti se kazalniki variabilnosti izračunajo v relativnih vrednostih. Omogočajo primerjavo narave disperzije v različnih distribucijah (različne enote opazovanja iste značilnosti v dveh populacijah, z različne pomene povprečja, ko primerjamo različne populacije). Izračun indikatorjev relativne mere disperzije se izvede kot razmerje med absolutnim indikatorjem disperzije in aritmetično sredino, pomnoženo s 100%.

1. Koeficient nihanja odraža relativno nihanje skrajnih vrednosti značilnosti okoli povprečja

.

2. Relativna linearna zaustavitev označuje delež povprečne vrednosti znaka absolutnih odstopanj od povprečne vrednosti

.

3. Koeficient variacije:

je najpogostejša mera variabilnosti, ki se uporablja za oceno tipičnosti povprečnih vrednosti.

V statistiki se populacije s koeficientom variacije, večjim od 30–35 %, obravnavajo kot heterogene.

Ta metoda ocenjevanja variacije ima tudi pomembno pomanjkljivost. Recimo, recimo, da se prvotna populacija delavcev s povprečnimi izkušnjami 15 let, s standardnim odklonom s = 10 let, »postara« še za 15 let. Zdaj = 30 let in povprečje standardni odklonše vedno enaka 10. Prej heterogena populacija (10/15 × 100 = 66,7 %), kar se je sčasoma izkazalo za precej homogeno (10/30 × 100 = 33,3 %).

Boyarsky A.Ya. Teoretični študij statistike: sob. Znanstveno Trudov. – M.: Statistika, 1974. strani 19–57.

Najpomembnejša lastnost povprečja je, da odraža tisto, kar je skupno vsem enotam proučevane populacije. Vrednosti značilnosti posameznih enot populacije se spreminjajo pod vplivom številnih dejavnikov, med katerimi so lahko osnovni in naključni. Bistvo povprečja je v tem, da medsebojno kompenzira odstopanja vrednosti atributa, ki so posledica delovanja naključnih dejavnikov, in akumulira (upošteva) spremembe, ki jih povzroči delovanje glavnih dejavnikov. . To omogoča, da povprečje odraža tipično raven lastnosti in jo abstrahira posamezne značilnosti, lastne posameznim enotam.

Da bi bilo povprečje resnično reprezentativno, mora biti izračunano ob upoštevanju določenih načel.

Osnovna načela uporabe povprečij.

1. Povprečje je treba določiti za populacije, sestavljene iz kvalitativno homogenih enot.

2. Povprečje je treba izračunati za populacijo, ki jo sestavlja dovolj veliko število enot.

3. Povprečje je treba izračunati za populacijo v stacionarnih razmerah (ko se vplivni dejavniki ne spreminjajo ali se bistveno ne spreminjajo).

4. Povprečje je treba izračunati ob upoštevanju ekonomske vsebine proučevanega kazalnika.

Izračun večine specifičnih statističnih kazalcev temelji na uporabi:

· povprečni agregat;

· povprečna moč (harmonična, geometrijska, aritmetična, kvadratna, kubična);

· povprečno kronološko (glej poglavje).

Vsa povprečja, razen agregatnega povprečja, je mogoče izračunati na dva načina - kot uteženo ali neuteženo.

Povprečen agregat. Uporabljena formula je:

Kje w i= x i* f i;

x i- i-ta možnost značilnost je povprečna;

f i, - utež jaz- th možnost.

Srednja moč. IN splošni pogled formula za izračun:

kje je diploma k– tip srednje moči.

Vrednosti povprečij, izračunanih na podlagi povprečij moči za iste začetne podatke, niso enake. Z naraščanjem eksponenta k narašča tudi ustrezna povprečna vrednost:

Povprečno kronološko. Za časovno vrsto trenutka z enakimi intervali med datumi se izračuna po formuli:

,

Kje x 1 in Xn vrednost indikatorja na začetni in končni datum.

Formule za izračun povprečij moči

Primer. Glede na tabelo. 2.1 zahteva izračun povprečne plače za tri podjetja kot celoto.

Tabela 2.1

Plače JSC podjetij

Specifično formula za izračun odvisno od podatkov v tabeli. 7 je originalnih. V skladu s tem so možne naslednje možnosti: podatki iz stolpcev 1 (število zaposlenih) in 2 (mesečna plačilna lista); ali - 1 (število PPP) in 3 (povprečna plača); ali 2 (mesečna plačilna lista) in 3 (povprečna plača).

Če so na voljo samo podatki iz stolpcev 1 in 2. Rezultati teh stolpcev vsebujejo potrebne vrednosti za izračun želenega povprečja. Uporabljena je povprečna agregatna formula:

Če so na voljo samo podatki iz stolpcev 1 in 3, potem je imenovalec prvotnega razmerja znan, njegov števec pa ni znan. Plačni sklad pa lahko dobimo tako, da povprečno plačo pomnožimo s številom pedagoških delavcev. Zato je mogoče skupno povprečje izračunati s formulo aritmetično povprečje tehtano:

Upoštevati je treba, da teža ( f i) je lahko v nekaterih primerih produkt dveh ali celo treh vrednosti.

Poleg tega se povprečje uporablja tudi v statistični praksi. aritmetično neobtežen:

kjer je n obseg prebivalstva.

To povprečje se uporabi, ko se uteži ( f i) so odsotne (vsaka različica lastnosti se pojavi samo enkrat) ali so med seboj enake.

Če so samo podatki iz stolpcev 2 in 3., tj. števec prvotnega razmerja je znan, imenovalec pa ni znan. Število zaposlenih v vsakem podjetju je mogoče dobiti tako, da se plačilna lista deli s povprečno plačo. Nato se po formuli izračuna povprečna plača za tri podjetja kot celoto utežena harmonična sredina:

Če sta uteži enaki ( f i) izračun povprečja lahko naredite z harmonična sredina, neutežena:

V našem primeru smo uporabili različne oblike povprečno, a dobil enak odgovor. To je posledica dejstva, da je bilo za določene podatke vsakič uporabljeno isto začetno razmerje povprečja.

Povprečne kazalnike je mogoče izračunati z uporabo diskretnih in intervalnih variacijskih serij. V tem primeru se izračun izvede z uporabo tehtanega aritmetičnega povprečja. Za diskretno serijo se ta formula uporablja na enak način kot v zgornjem primeru. V nizu intervalov so za izračun določene sredine intervalov.

Primer. Glede na tabelo. 2.2 določimo višino povprečnega denarnega dohodka na prebivalca na mesec v pogojni regiji.

Tabela 2.2

Začetni podatki (različice)

Da bi našli povprečno vrednost v Excelu (ne glede na to, ali gre za številsko, besedilno, odstotno ali drugo vrednost), obstaja veliko funkcij. In vsak od njih ima svoje značilnosti in prednosti. V tej nalogi so lahko določeni pogoji.

Na primer, povprečne vrednosti serije števil v Excelu se izračunajo s statističnimi funkcijami. Svojo formulo lahko vnesete tudi ročno. Razmislimo o različnih možnostih.

Kako najti aritmetično sredino števil?

Da bi našli aritmetično sredino, morate sešteti vsa števila v nizu in vsoto deliti s količino. Na primer, študentove ocene iz računalništva: 3, 4, 3, 5, 5. Kaj je vključeno v četrtino: 4. Aritmetično sredino smo našli po formuli: =(3+4+3+5+5) /5.

Kako to hitro narediti z uporabo Excelovih funkcij? Vzemimo za primer serijo naključna števila v vrsti:

Ali: naredite aktivno celico in preprosto ročno vnesite formulo: =POVPREČJE(A1:A8).

Zdaj pa poglejmo, kaj še lahko naredi funkcija AVERAGE.

Poiščimo aritmetično sredino prvih dveh in zadnjih treh števil. Formula: =POVPREČJE(A1:B1,F1:H1). rezultat:

Stanje povprečno

Pogoj za iskanje aritmetične sredine je lahko numerični ali besedilni kriterij. Uporabili bomo funkcijo: =AVERAGEIF().

Poiščite aritmetično sredino števil, ki so večja ali enaka 10.

Funkcija: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Tretji argument - "Razpon povprečenja" - je izpuščen. Prvič, to ni potrebno. Drugič, obseg, ki ga analizira program, vsebuje SAMO številske vrednosti. Celice, podane v prvem argumentu, bodo preiskane v skladu s pogojem, podanim v drugem argumentu.

Pozor!

Iskalni kriterij lahko določite v celici. In naredite povezavo do tega v formuli.

Poiščimo povprečno vrednost števil s pomočjo besedilnega kriterija. Na primer, povprečna prodaja izdelka "mize".

Funkcija bo videti takole: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Obseg – stolpec z imeni izdelkov. Iskalni kriterij je povezava do celice z besedo »tabele« (lahko vstavite besedo »tabele« namesto povezave A7). Obseg povprečenja – tiste celice, iz katerih bodo vzeti podatki za izračun povprečne vrednosti.

Kot rezultat izračuna funkcije dobimo naslednjo vrednost:

Pozor!

Za besedilni kriterij (pogoj) je treba določiti obseg povprečenja.

Kako izračunati tehtano povprečno ceno v Excelu?

S formulo SUMPRODUCT ugotovimo skupni prihodek po prodaji celotne količine blaga. Funkcija SUM pa sešteje količino blaga. Z delitvijo celotnega prihodka od prodaje blaga s skupnim številom enot blaga smo ugotovili tehtano povprečno ceno. Ta indikator upošteva "težo" vsake cene. Njegov delež v skupni masi vrednosti.

Standardni odklon: formula v Excelu

Obstajajo standardna odstopanja za splošno populacijo in vzorec. V prvem primeru je to koren splošne variance. V drugem iz vzorčne variance.

Za izračun tega statističnega indikatorja se sestavi disperzijska formula. Iz njega se izloči korenina. Toda v Excelu obstaja že pripravljena funkcija za iskanje standardnega odklona.

Standardni odklon je vezan na lestvico izvornih podatkov. To ni dovolj za figurativno predstavitev variacije analiziranega razpona. Za pridobitev relativne stopnje razpršenosti podatkov se izračuna koeficient variacije:

standardni odklon / aritmetična sredina

Formula v Excelu izgleda takole:

STDEV (razpon vrednosti) / AVERAGE (razpon vrednosti).

Koeficient variacije se izračuna kot odstotek. Zato v celici nastavimo odstotno obliko.

Značilnosti enot statističnih agregatov so različne po pomenu, na primer plače delavcev istega poklica v podjetju niso enake za isto časovno obdobje, tržne cene za iste izdelke, pridelek v okrožju kmetije itd. Zato se za določitev vrednosti značilnosti, ki je značilna za celotno populacijo preučevanih enot, izračunajo povprečne vrednosti.
Povprečna vrednost – to je splošna značilnost nabora posameznih vrednosti neke kvantitativne značilnosti.

Kvantitativno proučevano populacijo sestavljajo posamezne vrednosti; so pod vplivom pogosti razlogi in individualni pogoji. V povprečni vrednosti se odstopanja, značilna za posamezne vrednosti, izničijo. Povprečje, ki je funkcija nabora posameznih vrednosti, predstavlja celoten agregat z eno vrednostjo in odraža tisto, kar je skupno vsem njegovim enotam.

Povprečje, izračunano za populacije, sestavljene iz kvalitativno homogenih enot, se imenuje tipično povprečje. Izračunate lahko na primer povprečno mesečno plačo zaposlenega v določeni poklicni skupini (rudar, zdravnik, knjižničar). Seveda se višine mesečnih plač rudarjev zaradi razlik v njihovi izobrazbi, delovni dobi, delovnem času na mesec in številnih drugih dejavnikih razlikujejo med seboj in od višine povprečnih plač. Vendar povprečna raven odraža glavne dejavnike, ki vplivajo na višino plače, razlike, ki nastanejo zaradi individualnih značilnosti zaposlenega, pa so izničene. Povprečna plača odraža tipično raven plačila za določeno vrsto delavcev. Pred pridobitvijo tipičnega povprečja je treba analizirati, kako kvalitativno homogena je dana populacija. Če je niz sestavljen iz njih posamezne dele, ga je treba razdeliti v tipične skupine (povprečna temperatura v bolnišnici).

Imenujejo se povprečne vrednosti, ki se uporabljajo kot značilnosti za heterogene populacije sistemska povprečja. Na primer povprečni bruto domači proizvod (BDP) na prebivalca, povprečna potrošnja razne skupine blaga na osebo in druge podobne vrednosti, ki predstavljajo splošne značilnosti države kot enotnega gospodarskega sistema.

Povprečje je treba izračunati za populacije, sestavljene iz dovolj velikega števila enot. Skladnost s tem pogojem je potrebna za uveljavitev zakona velikih števil, zaradi česar se medsebojno izničijo naključna odstopanja posameznih vrednosti od splošnega trenda.

Vrste povprečij in metode za njihov izračun

Izbira vrste povprečja je odvisna od ekonomske vsebine določenega kazalnika in izvornih podatkov. Vendar pa je treba vsako povprečno vrednost izračunati tako, da se, ko nadomesti vsako različico povprečne značilnosti, končna, posplošljiva ali, kot se običajno imenuje, ne spremeni. opredelitveni indikator, ki je povezan s povprečnim indikatorjem. Na primer, pri zamenjavi dejanskih hitrosti na posameznih odsekih poti z njihovo povprečno hitrostjo se skupna prevožena razdalja ne sme spremeniti vozilo ob istem času; pri nadomestitvi dejanskih plač posameznih zaposlenih v podjetju s povprečno plačo se sklad plač ne sme spreminjati. Posledično v vsakem posameznem primeru, odvisno od narave razpoložljivih podatkov, obstaja samo ena prava povprečna vrednost kazalnika, ki ustreza lastnostim in bistvu proučevanega družbeno-ekonomskega pojava.
Najpogosteje uporabljene so aritmetična sredina, harmonična sredina, geometrična sredina, kvadratna sredina in kubična sredina.
Navedena povprečja sodijo v razred umirjeno povprečja in so združeni s splošno formulo:
,
kjer je povprečna vrednost značilnosti, ki se proučuje;
m – povprečni indeks stopnje;
– trenutna vrednost (varianta) karakteristike, ki se povpreči;
n – število lastnosti.
Glede na vrednost eksponenta m ločimo naslednje vrste povprečij moči:
pri m = -1 – harmonična sredina;
pri m = 0 – geometrična sredina;
za m = 1 – aritmetična sredina;
za m = 2 – povprečni kvadratni koren;
pri m = 3 – povprečna kubična.
Pri uporabi istih začetnih podatkov, večji kot je eksponent m v zgornji formuli, tem večjo vrednost povprečna velikost:
.
Ta lastnost potenčnih povprečij, da naraščajo z naraščajočim eksponentom definirajoče funkcije, se imenuje pravilo večine povprečij.
Vsako od označenih povprečij ima lahko dve obliki: preprosto in tehtano.
Enostavna srednja oblika uporablja se, ko je povprečje izračunano iz primarnih (nezdruženih) podatkov. Utežena oblika– pri izračunu povprečja na podlagi sekundarnih (združenih) podatkov.

Aritmetična sredina

Aritmetična sredina se uporablja, kadar je obseg populacije vsota vseh posameznih vrednosti različnih značilnosti. Upoštevati je treba, da če vrsta povprečja ni podana, se predpostavlja aritmetično povprečje. Njegova logična formula izgleda takole:

Preprosta aritmetična sredina izračunano na podlagi nezdruženih podatkov po formuli:
ali,
kje so posamezne vrednosti značilnosti;
j je zaporedna številka enote opazovanja, ki jo označuje vrednost ;
N – število enot opazovanja (obseg populacije).
Primer. Predavanje »Povzetek in združevanje statističnih podatkov« je preučilo rezultate opazovanja delovnih izkušenj ekipe 10 ljudi. Izračunajmo povprečne delovne izkušnje delavcev ekipe. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Z uporabo preproste formule aritmetične sredine lahko tudi izračunamo povprečja v kronoloških serijah, če so časovni intervali, za katere so predstavljene karakteristične vrednosti, enaki.
Primer. Obseg prodanih izdelkov za prvo četrtletje je znašal 47 den. enot, za drugo 54, za tretjo 65 in za četrto 58 den. enote Povprečni četrtletni promet je (47+54+65+58)/4 = 56 den. enote
Če so trenutni kazalniki podani v kronološkem nizu, se pri izračunu povprečja nadomestijo s polovičnimi vsotami vrednosti na začetku in koncu obdobja.
Če sta trenutka več kot dva in so intervali med njima enaki, se povprečje izračuna po formuli za povprečno kronološko

,
kjer je n število časovnih točk
V primeru, ko so podatki razvrščeni po značilnih vrednostih (tj. konstruirana je bila diskretna serija variacijske porazdelitve) s aritmetično povprečje tehtano izračunano z uporabo bodisi frekvenc ali frekvenc opazovanja specifičnih vrednosti značilnosti, katerih število (k) je pomembno manjše število opažanja (N) .
,
,
kjer je k število skupin variacijske serije,
i – številka skupine variacijske serije.
Ker , a , dobimo formule, ki se uporabljajo za praktične izračune:
in
Primer. Izračunajmo povprečno delovno dobo delovnih skupin v združeni vrsti.
a) z uporabo frekvenc:

b) z uporabo frekvenc:

V primeru, da so podatki razvrščeni po intervalih , tj. so predstavljene v obliki nizov intervalne porazdelitve; pri izračunu aritmetične sredine se kot vrednost značilnosti vzame sredina intervala, ki temelji na predpostavki, da enakomerna porazdelitev enot populacije na danem intervalu. Izračun se izvede po formulah:
in
kjer je sredina intervala: ,
kjer sta in spodnja in zgornja meja intervalov (pod pogojem, da zgornja meja danega intervala sovpada s spodnjo mejo naslednjega intervala).

Primer. Izračunajmo aritmetično sredino intervalne variacijske serije, konstruirane na podlagi rezultatov študije letnih plač 30 delavcev (glej predavanje “Povzetek in združevanje statističnih podatkov”).
Tabela 1 – Porazdelitev serije intervalnih variacij.

UAH oz UAH
Aritmetične sredine, izračunane na podlagi izvornih podatkov in nizov intervalnih variacij, morda ne sovpadajo zaradi neenakomerne porazdelitve vrednosti atributov znotraj intervalov. V tem primeru za natančnejši izračun utežene aritmetične sredine ne bi smeli uporabiti sredin intervalov, temveč preproste aritmetične sredine, izračunane za vsako skupino ( skupinska povprečja). Povprečje, izračunano iz skupinskih povprečij z uporabo utežene formule za izračun, se imenuje generalna povprečja.
Aritmetična sredina ima številne lastnosti.
1. Vsota odstopanj od povprečne možnosti je nič:
.
2. Če se vse vrednosti opcije povečajo ali zmanjšajo za znesek A, se povprečna vrednost poveča ali zmanjša za enak znesek A:

3. Če se vsaka možnost poveča ali zmanjša za B-krat, se bo tudi povprečna vrednost povečala ali zmanjšala za enako število-krat:
oz
4. Vsota zmnožkov opcije po frekvencah je enaka zmnožku povprečne vrednosti z vsoto frekvenc:

5. Če vse frekvence delimo ali pomnožimo s poljubnim številom, se aritmetična sredina ne spremeni:

6) če so v vseh intervalih frekvence med seboj enake, potem je tehtana aritmetična sredina enaka enostavni aritmetični sredini:
,
kjer je k število skupin variacijske serije.

Uporaba lastnosti povprečja vam omogoča poenostavitev njegovega izračuna.
Predpostavimo, da so vse možnosti (x) najprej zmanjšane za isto število A, nato pa zmanjšane za faktor B. Največjo poenostavitev dosežemo, če za A izberemo vrednost sredine intervala z najvišjo frekvenco, vrednost intervala (za serije z enakimi intervali) pa za B. Količina A se imenuje izvor, zato se ta način izračuna povprečja imenuje način b ohm referenca od pogojne ničle oz način trenutkov.
Po takšni transformaciji dobimo novo variacijsko porazdelitveno vrsto, katere različice so enake . Njihova aritmetična sredina, imenovana trenutek prvega reda, je izražena s formulo in glede na drugo in tretjo lastnost je aritmetična sredina enaka sredini prvotne različice, zmanjšani najprej za A, nato pa za B-krat, tj.
Za pridobitev realno povprečje(povprečje prvotne serije) morate moment prvega reda pomnožiti z B in dodati A:

Izračun aritmetične sredine po metodi momentov ponazarjajo podatki v tabeli. 2.
Tabela 2 – Porazdelitev delavcev v trgovini po delovni dobi

Iskanje trenutka prvega naročila . Potem, če vemo, da je A = 17,5 in B = 5, izračunamo povprečno delovno dobo delavcev v delavnici:
leta

Harmonično povprečje
Kot je prikazano zgoraj, se aritmetična sredina uporablja za izračun povprečne vrednosti značilnosti v primerih, ko so znane njene različice x in njihove frekvence f.
Če statistični podatki ne vsebujejo frekvenc f za posamezne možnosti x populacije, ampak so predstavljeni kot njihov produkt, se uporabi formula utežena harmonična sredina. Za izračun povprečja označimo kje . Če te izraze nadomestimo v formulo za aritmetično tehtano povprečje, dobimo formulo za harmonično tehtano povprečje:
,
kjer je obseg (teža) vrednosti atributa indikatorja v intervalu z i (i=1,2, …, k).

Tako se harmonično povprečje uporablja v primerih, ko se seštevajo ne same možnosti, temveč njihove recipročne vrednosti: .
V primerih, ko je teža vsake opcije enaka ena, tj. posamezne vrednosti inverzne karakteristike se pojavijo enkrat, uporabljene pomeni harmonično preprosto:
,
kjer so posamezne različice inverzne karakteristike, ki se pojavijo enkrat;
N – možnost števila.
Če obstajajo harmonična povprečja za dva dela populacije, se skupno povprečje za celotno populacijo izračuna po formuli:

in se imenuje uteženo harmonično povprečje skupinskih povprečij.

Primer. Pri trgovanju na borzi so bili v prvi uri poslovanja sklenjeni trije posli. Podatki o količini prodaje grivne in tečaju grivne glede na ameriški dolar so podani v tabeli. 3 (stolpca 2 in 3). Določite povprečni menjalni tečaj grivne glede na ameriški dolar v prvi uri trgovanja.
Tabela 3 – Podatki o poteku trgovanja na borzi

Povprečni menjalni tečaj dolarja je določen z razmerjem med količino grivne, prodane med vsemi transakcijami, in količino dolarjev, pridobljenih kot rezultat istih transakcij. Končni znesek prodaje grivne je znan iz stolpca 2 tabele, število dolarjev, kupljenih v vsaki transakciji, pa se določi tako, da se znesek prodaje grivne deli z njenim menjalnim tečajem (stolpec 4). Med tremi transakcijami je bilo kupljenih skupaj 22 milijonov dolarjev. To pomeni, da je bil povprečni menjalni tečaj grivna za en dolar
.
Dobljena vrednost je resnična, ker zamenjava z dejanskimi menjalnimi tečaji grivne v transakcijah ne bo spremenila končnega zneska prodaje grivne, ki služi kot opredelitveni indikator: milijon UAH
Če bi za izračun uporabili aritmetično sredino, tj. grivna, nato pa po menjalnem tečaju za nakup 22 milijonov dolarjev. bilo bi potrebno porabiti 110,66 milijona UAH, kar ne drži.

Geometrijska sredina
Geometrična sredina se uporablja za analizo dinamike pojavov in omogoča določitev povprečnega koeficienta rasti. Pri izračunu geometrične sredine so posamezne vrednosti značilnosti relativni kazalniki dinamike, zgrajene v obliki verižnih vrednosti, kot razmerje med vsako stopnjo in prejšnjo.
Preprosta geometrična sredina se izračuna po formuli:
,
kje je znak izdelka,
N – število povprečnih vrednosti.
Primer.Število registriranih kaznivih dejanj v 4 letih se je povečalo za 1,57-krat, od tega za 1. – 1,08-krat, za 2. – 1,1-krat, za 3. – 1,18-krat in za 4. – 1,12-krat. Potem je povprečna letna stopnja rasti števila kaznivih dejanj: , tj. število registriranih kaznivih dejanj se je letno povečalo v povprečju za 12 %.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96