Navzkrižno množenje

Metoda skupnega delitelja

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Če želite oceniti, koliko razlike naredi metoda najmanjšega skupnega večkratnika, poskusite te iste primere izračunati z navzkrižno metodo.

Skupni imenovalec ulomkov

Seveda brez kalkulatorja. Mislim, da bodo po tem komentarji nepotrebni.

Poglej tudi:

Sprva sem želel vključiti metode oddajanja skupni imenovalec v razdelku »Seštevanje in odštevanje ulomkov«. Vendar se je izkazalo, da je toliko informacij in da je njihov pomen tako velik (navsezadnje nimajo le številčni ulomki skupnih imenovalcev), da je bolje to vprašanje preučiti ločeno.

Torej, recimo, da imamo dva ulomka z različne imenovalce. Želimo zagotoviti, da bodo imenovalci enaki. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki, naj vas spomnim, zveni takole:

Ulomek se ne spremeni, če njegov števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, ki ni nič.

Torej, če pravilno izberete faktorje, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta proces se imenuje. In pokličejo se zahtevana števila, ki "izravnajo" imenovalce.

Zakaj moramo ulomke zreducirati na skupni imenovalec? Tukaj je le nekaj razlogov:

1. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Ni drugega načina za izvedbo te operacije;
2. Primerjanje ulomkov. Včasih redukcija na skupni imenovalec močno poenostavi to nalogo;
3. Reševanje problemov z ulomki in odstotki. Odstotki so v bistvu običajni izrazi, ki vsebujejo ulomke.

Obstaja veliko načinov za iskanje števil, pri katerih bodo imenovalci ulomkov enaki, če jih pomnožimo. Upoštevali bomo le tri izmed njih - po naraščajoči kompleksnosti in v nekem smislu učinkovitosti.

Navzkrižno množenje

Najenostavnejši in zanesljiv način, ki garantirano izenači imenovalce. Delovali bomo »glavoglavo«: prvi ulomek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugega pa z imenovalcem prvega. Posledično bosta imenovalca obeh ulomkov postala enaka produktu prvotnih imenovalcev. Poglej:

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Kot dodatne dejavnike upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:

Da, tako preprosto je. Če šele začenjate preučevati ulomke, je bolje delati po tej metodi - na ta način se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo boste dobili rezultat.

Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, saj se imenovalci množijo »do konca«, rezultat pa so lahko zelo velike številke. To je cena za zanesljivost.

Metoda skupnega delitelja

Ta tehnika pomaga znatno zmanjšati izračune, vendar se na žalost uporablja zelo redko. Metoda je naslednja:

1. Preden greste naravnost naprej (tj. z uporabo metode navzkriž), si oglejte imenovalce. Morda je eden od njih (tisti, ki je večji) razdeljen na drugega.
2. Število, ki izhaja iz te delitve, bo dodaten faktor za ulomek z manjšim imenovalcem.
3. V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer – tu je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Upoštevajte, da je 84: 21 = 4; 72 : 12 = 6. Ker v obeh primerih en imenovalec brez ostanka delimo z drugim, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:

Upoštevajte, da drugi ulomek sploh ni bil pomnožen z ničemer. Pravzaprav smo prepolovili količino računanja!

Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel po naključju. Če vas zanima, jih poskusite prešteti po metodi navzkriž. Po znižanju bodo odgovori enaki, a dela bo veliko več.

To je moč metode skupnih deliteljev, vendar jo je mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar se zgodi precej redko.

Najmanj pogosta večkratna metoda

Ko reduciramo ulomke na skupni imenovalec, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato temu številu prinesemo imenovalca obeh ulomkov.

Takšnih števil je veliko in ni nujno, da bo najmanjše od njih enako neposrednemu produktu imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se predvideva v metodi "navzkrižno".

Na primer, za imenovalce 8 in 12 je številka 24 povsem primerna, saj je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. To število je veliko manjše od produkta 8 12 = 96.

Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od imenovalcev, se imenuje njihov (LCM).

Zapis: Najmanjši skupni večkratnik a in b je označen z LCM(a; b). Na primer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Če vam uspe najti takšno številko, bo skupni znesek izračunov minimalen. Oglejte si primere:

Kako najti najmanjši skupni imenovalec

Poiščite pomene izrazov:

Upoštevajte, da je 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktorja 2 in 3 sta soprosta (nimata skupnih faktorjev razen 1), faktor 117 pa je skupen. Zato je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Podobno je 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta enako praštevilna, faktor 5 pa je skupen. Zato je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Zdaj pa spravimo ulomke na skupne imenovalce:

Opazite, kako koristno je bilo faktorizirati prvotne imenovalce:

1. Ko smo odkrili enake faktorje, smo takoj prišli do najmanjšega skupnega večkratnika, kar je na splošno netrivialen problem;
2. Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri faktorji "manjkajo" v vsakem ulomku. Na primer, 234 · 3 = 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.

Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Srečujejo se ves čas in zgornje naloge niso meja!

Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih se vse najde v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", a na splošno je to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tukaj se tega ne bomo dotikali.

Poglej tudi:

Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec

Prvotno sem želel vključiti tehnike skupnega imenovalca v razdelek Seštevanje in odštevanje ulomkov. Vendar se je izkazalo, da je toliko informacij in da je njihov pomen tako velik (navsezadnje nimajo le številčni ulomki skupnih imenovalcev), da je bolje to vprašanje preučiti ločeno.

Torej, recimo, da imamo dva ulomka z različnima imenovalcema. Želimo zagotoviti, da bodo imenovalci enaki. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki, naj vas spomnim, zveni takole:

Ulomek se ne spremeni, če njegov števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, ki ni nič.

Torej, če pravilno izberete faktorje, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta proces se imenuje. In pokličejo se zahtevana števila, ki "izravnajo" imenovalce.

Zakaj moramo ulomke zreducirati na skupni imenovalec?

Skupni imenovalec, koncept in definicija.

Tukaj je le nekaj razlogov:

1. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Ni drugega načina za izvedbo te operacije;
2. Primerjanje ulomkov. Včasih redukcija na skupni imenovalec močno poenostavi to nalogo;
3. Reševanje problemov z ulomki in odstotki. Odstotki so v bistvu običajni izrazi, ki vsebujejo ulomke.

Obstaja veliko načinov za iskanje števil, pri katerih bodo imenovalci ulomkov enaki, če jih pomnožimo. Upoštevali bomo le tri izmed njih - po naraščajoči kompleksnosti in v nekem smislu učinkovitosti.

Navzkrižno množenje

Najenostavnejša in najbolj zanesljiva metoda, ki zajamčeno izenači imenovalce. Delovali bomo »glavoglavo«: prvi ulomek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugega pa z imenovalcem prvega. Posledično bosta imenovalca obeh ulomkov postala enaka produktu prvotnih imenovalcev. Poglej:

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Kot dodatne dejavnike upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:

Da, tako preprosto je. Če šele začenjate preučevati ulomke, je bolje delati po tej metodi - na ta način se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo boste dobili rezultat.

Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, saj se imenovalci množijo »do konca«, rezultat pa so lahko zelo velike številke. To je cena za zanesljivost.

Metoda skupnega delitelja

Ta tehnika pomaga znatno zmanjšati izračune, vendar se na žalost uporablja zelo redko. Metoda je naslednja:

1. Preden greste naravnost naprej (tj. z uporabo metode navzkriž), si oglejte imenovalce. Morda je eden od njih (tisti, ki je večji) razdeljen na drugega.
2. Število, ki izhaja iz te delitve, bo dodaten faktor za ulomek z manjšim imenovalcem.
3. V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer – tu je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Upoštevajte, da je 84: 21 = 4; 72 : 12 = 6. Ker v obeh primerih en imenovalec brez ostanka delimo z drugim, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:

Upoštevajte, da drugi ulomek sploh ni bil pomnožen z ničemer. Pravzaprav smo prepolovili količino računanja!

Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel po naključju. Če vas zanima, jih poskusite prešteti po metodi navzkriž. Po znižanju bodo odgovori enaki, a dela bo veliko več.

To je moč metode skupnih deliteljev, vendar jo je mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar se zgodi precej redko.

Najmanj pogosta večkratna metoda

Ko reduciramo ulomke na skupni imenovalec, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato temu številu prinesemo imenovalca obeh ulomkov.

Takšnih števil je veliko in ni nujno, da bo najmanjše od njih enako neposrednemu produktu imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se predvideva v metodi "navzkrižno".

Na primer, za imenovalce 8 in 12 je številka 24 povsem primerna, saj je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. To število je veliko manjše od produkta 8 12 = 96.

Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od imenovalcev, se imenuje njihov (LCM).

Zapis: Najmanjši skupni večkratnik a in b je označen z LCM(a; b). Na primer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Če vam uspe najti takšno številko, bo skupni znesek izračunov minimalen. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Upoštevajte, da je 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktorja 2 in 3 sta soprosta (nimata skupnih faktorjev razen 1), faktor 117 pa je skupen. Zato je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Podobno je 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta enako praštevilna, faktor 5 pa je skupen. Zato je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Zdaj pa spravimo ulomke na skupne imenovalce:

Opazite, kako koristno je bilo faktorizirati prvotne imenovalce:

1. Ko smo odkrili enake faktorje, smo takoj prišli do najmanjšega skupnega večkratnika, kar je na splošno netrivialen problem;
2. Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri faktorji "manjkajo" v vsakem ulomku. Na primer, 234 · 3 = 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.

Če želite oceniti, koliko razlike naredi metoda najmanjšega skupnega večkratnika, poskusite te iste primere izračunati z navzkrižno metodo. Seveda brez kalkulatorja. Mislim, da bodo po tem komentarji nepotrebni.

Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Srečujejo se ves čas in zgornje naloge niso meja!

Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih se vse najde v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", a na splošno je to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tukaj se tega ne bomo dotikali.

Poglej tudi:

Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec

Prvotno sem želel vključiti tehnike skupnega imenovalca v razdelek Seštevanje in odštevanje ulomkov. Vendar se je izkazalo, da je toliko informacij in da je njihov pomen tako velik (navsezadnje nimajo le številčni ulomki skupnih imenovalcev), da je bolje to vprašanje preučiti ločeno.

Torej, recimo, da imamo dva ulomka z različnima imenovalcema. Želimo zagotoviti, da bodo imenovalci enaki. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki, naj vas spomnim, zveni takole:

Ulomek se ne spremeni, če njegov števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, ki ni nič.

Torej, če pravilno izberete faktorje, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta proces se imenuje. In pokličejo se zahtevana števila, ki "izravnajo" imenovalce.

Zakaj moramo ulomke zreducirati na skupni imenovalec? Tukaj je le nekaj razlogov:

1. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Ni drugega načina za izvedbo te operacije;
2. Primerjanje ulomkov. Včasih redukcija na skupni imenovalec močno poenostavi to nalogo;
3. Reševanje problemov z ulomki in odstotki. Odstotki so v bistvu običajni izrazi, ki vsebujejo ulomke.

Obstaja veliko načinov za iskanje števil, pri katerih bodo imenovalci ulomkov enaki, če jih pomnožimo. Upoštevali bomo le tri izmed njih - po naraščajoči kompleksnosti in v nekem smislu učinkovitosti.

Navzkrižno množenje

Najenostavnejša in najbolj zanesljiva metoda, ki zajamčeno izenači imenovalce. Delovali bomo »glavoglavo«: prvi ulomek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugega pa z imenovalcem prvega. Posledično bosta imenovalca obeh ulomkov postala enaka produktu prvotnih imenovalcev.

Poglej:

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Kot dodatne dejavnike upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:

Da, tako preprosto je. Če šele začenjate preučevati ulomke, je bolje delati po tej metodi - na ta način se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo boste dobili rezultat.

Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, saj se imenovalci množijo »do konca«, rezultat pa so lahko zelo velike številke. To je cena za zanesljivost.

Metoda skupnega delitelja

Ta tehnika pomaga znatno zmanjšati izračune, vendar se na žalost uporablja zelo redko. Metoda je naslednja:

1. Preden greste naravnost naprej (tj. z uporabo metode navzkriž), si oglejte imenovalce. Morda je eden od njih (tisti, ki je večji) razdeljen na drugega.
2. Število, ki izhaja iz te delitve, bo dodaten faktor za ulomek z manjšim imenovalcem.
3. V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer – tu je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Upoštevajte, da je 84: 21 = 4; 72 : 12 = 6. Ker v obeh primerih en imenovalec brez ostanka delimo z drugim, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:

Upoštevajte, da drugi ulomek sploh ni bil pomnožen z ničemer. Pravzaprav smo prepolovili količino računanja!

Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel po naključju. Če vas zanima, jih poskusite prešteti po metodi navzkriž. Po znižanju bodo odgovori enaki, a dela bo veliko več.

To je moč metode skupnih deliteljev, vendar jo je mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar se zgodi precej redko.

Najmanj pogosta večkratna metoda

Ko reduciramo ulomke na skupni imenovalec, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato temu številu prinesemo imenovalca obeh ulomkov.

Takšnih števil je veliko in ni nujno, da bo najmanjše od njih enako neposrednemu produktu imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se predvideva v metodi "navzkrižno".

Na primer, za imenovalce 8 in 12 je številka 24 povsem primerna, saj je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. To število je veliko manjše od produkta 8 12 = 96.

Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od imenovalcev, se imenuje njihov (LCM).

Zapis: Najmanjši skupni večkratnik a in b je označen z LCM(a; b). Na primer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Če vam uspe najti takšno številko, bo skupni znesek izračunov minimalen. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Upoštevajte, da je 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktorja 2 in 3 sta soprosta (nimata skupnih faktorjev razen 1), faktor 117 pa je skupen. Zato je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Podobno je 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta enako praštevilna, faktor 5 pa je skupen. Zato je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Zdaj pa spravimo ulomke na skupne imenovalce:

Opazite, kako koristno je bilo faktorizirati prvotne imenovalce:

1. Ko smo odkrili enake faktorje, smo takoj prišli do najmanjšega skupnega večkratnika, kar je na splošno netrivialen problem;
2. Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri faktorji "manjkajo" v vsakem ulomku. Na primer, 234 · 3 = 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.

Če želite oceniti, koliko razlike naredi metoda najmanjšega skupnega večkratnika, poskusite te iste primere izračunati z navzkrižno metodo. Seveda brez kalkulatorja. Mislim, da bodo po tem komentarji nepotrebni.

Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Srečujejo se ves čas in zgornje naloge niso meja!

Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih se vse najde v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", a na splošno je to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tukaj se tega ne bomo dotikali.

Poglej tudi:

Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec

Prvotno sem želel vključiti tehnike skupnega imenovalca v razdelek Seštevanje in odštevanje ulomkov. Vendar se je izkazalo, da je toliko informacij in da je njihov pomen tako velik (navsezadnje nimajo le številčni ulomki skupnih imenovalcev), da je bolje to vprašanje preučiti ločeno.

Torej, recimo, da imamo dva ulomka z različnima imenovalcema. Želimo zagotoviti, da bodo imenovalci enaki. Na pomoč priskoči osnovna lastnost ulomka, ki, naj vas spomnim, zveni takole:

Ulomek se ne spremeni, če njegov števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, ki ni nič.

Torej, če pravilno izberete faktorje, bodo imenovalci ulomkov postali enaki - ta proces se imenuje. In pokličejo se zahtevana števila, ki "izravnajo" imenovalce.

Zakaj moramo ulomke zreducirati na skupni imenovalec? Tukaj je le nekaj razlogov:

1. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. Ni drugega načina za izvedbo te operacije;
2. Primerjanje ulomkov. Včasih redukcija na skupni imenovalec močno poenostavi to nalogo;
3. Reševanje problemov z ulomki in odstotki. Odstotki so v bistvu običajni izrazi, ki vsebujejo ulomke.

Obstaja veliko načinov za iskanje števil, pri katerih bodo imenovalci ulomkov enaki, če jih pomnožimo. Upoštevali bomo le tri izmed njih - po naraščajoči kompleksnosti in v nekem smislu učinkovitosti.

Navzkrižno množenje

Najenostavnejša in najbolj zanesljiva metoda, ki zajamčeno izenači imenovalce. Delovali bomo »glavoglavo«: prvi ulomek pomnožimo z imenovalcem drugega ulomka, drugega pa z imenovalcem prvega. Posledično bosta imenovalca obeh ulomkov postala enaka produktu prvotnih imenovalcev. Poglej:

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Kot dodatne dejavnike upoštevajte imenovalce sosednjih ulomkov. Dobimo:

Da, tako preprosto je. Če šele začenjate preučevati ulomke, je bolje delati po tej metodi - na ta način se boste zavarovali pred številnimi napakami in zagotovo boste dobili rezultat.

Edina pomanjkljivost te metode je, da morate veliko šteti, saj se imenovalci množijo »do konca«, rezultat pa so lahko zelo velike številke.

Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec

To je cena za zanesljivost.

Metoda skupnega delitelja

Ta tehnika pomaga znatno zmanjšati izračune, vendar se na žalost uporablja zelo redko. Metoda je naslednja:

1. Preden greste naravnost naprej (tj. z uporabo metode navzkriž), si oglejte imenovalce. Morda je eden od njih (tisti, ki je večji) razdeljen na drugega.
2. Število, ki izhaja iz te delitve, bo dodaten faktor za ulomek z manjšim imenovalcem.
3. V tem primeru ulomka z velikim imenovalcem sploh ni treba pomnožiti z ničemer – tu je prihranek. Hkrati se verjetnost napake močno zmanjša.

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Upoštevajte, da je 84: 21 = 4; 72 : 12 = 6. Ker v obeh primerih en imenovalec brez ostanka delimo z drugim, uporabimo metodo skupnih faktorjev. Imamo:

Upoštevajte, da drugi ulomek sploh ni bil pomnožen z ničemer. Pravzaprav smo prepolovili količino računanja!

Mimogrede, ulomkov v tem primeru nisem vzel po naključju. Če vas zanima, jih poskusite prešteti po metodi navzkriž. Po znižanju bodo odgovori enaki, a dela bo veliko več.

To je moč metode skupnih deliteljev, vendar jo je mogoče uporabiti le, če je eden od imenovalcev deljiv z drugim brez ostanka. Kar se zgodi precej redko.

Najmanj pogosta večkratna metoda

Ko reduciramo ulomke na skupni imenovalec, v bistvu poskušamo najti število, ki je deljivo z vsakim imenovalcem. Nato temu številu prinesemo imenovalca obeh ulomkov.

Takšnih števil je veliko in ni nujno, da bo najmanjše od njih enako neposrednemu produktu imenovalcev prvotnih ulomkov, kot se predvideva v metodi "navzkrižno".

Na primer, za imenovalce 8 in 12 je številka 24 povsem primerna, saj je 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. To število je veliko manjše od produkta 8 12 = 96.

Najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od imenovalcev, se imenuje njihov (LCM).

Zapis: Najmanjši skupni večkratnik a in b je označen z LCM(a; b). Na primer, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Če vam uspe najti takšno številko, bo skupni znesek izračunov minimalen. Oglejte si primere:

Naloga. Poiščite pomene izrazov:

Upoštevajte, da je 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktorja 2 in 3 sta soprosta (nimata skupnih faktorjev razen 1), faktor 117 pa je skupen. Zato je LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Podobno je 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktorja 3 in 4 sta enako praštevilna, faktor 5 pa je skupen. Zato je LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Zdaj pa spravimo ulomke na skupne imenovalce:

Opazite, kako koristno je bilo faktorizirati prvotne imenovalce:

1. Ko smo odkrili enake faktorje, smo takoj prišli do najmanjšega skupnega večkratnika, kar je na splošno netrivialen problem;
2. Iz nastale razširitve lahko ugotovite, kateri faktorji "manjkajo" v vsakem ulomku. Na primer, 234 · 3 = 702, zato je za prvi ulomek dodatni faktor 3.

Če želite oceniti, koliko razlike naredi metoda najmanjšega skupnega večkratnika, poskusite te iste primere izračunati z navzkrižno metodo. Seveda brez kalkulatorja. Mislim, da bodo po tem komentarji nepotrebni.

Ne mislite, da v resničnih primerih ne bo tako zapletenih ulomkov. Srečujejo se ves čas in zgornje naloge niso meja!

Edina težava je, kako najti prav ta NOC. Včasih se vse najde v nekaj sekundah, dobesedno "na oko", a na splošno je to zapletena računska naloga, ki zahteva ločeno obravnavo. Tukaj se tega ne bomo dotikali.

Če želite rešiti primere z ulomki, morate znati najti najmanjši skupni imenovalec. Spodaj so podrobna navodila.

Kako najti najmanjši skupni imenovalec – koncept

Najmanjši skupni imenovalec (LCD) s preprostimi besedami– to je najmanjše število, ki je deljivo z imenovalci vseh ulomkov ta primer. Z drugimi besedami se imenuje najmanjši skupni večkratnik (LCM). NOS se uporablja le, če sta imenovalca ulomkov različna.

Kako najti najmanjši skupni imenovalec - primeri

Poglejmo si primere iskanja NOC.

Izračunaj: 3/5 + 2/15.

Rešitev (zaporedje dejanj):

• Ogledamo si imenovalce ulomkov, pazimo, da so različni in da so izrazi čim bolj skrajšani.
• Najdemo najmanjše število, ki je deljivo s 5 in 15. To število bo 15. Tako je 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Ugotovili smo imenovalec. Kaj bo v števcu? Dodatni množitelj nam bo pomagal ugotoviti to. Dodaten faktor je število, ki ga dobimo, če NZ delimo z imenovalcem določenega ulomka. Za 3/5 je dodatni faktor 3, ker je 15/5 = 3. Za drugi ulomek je dodatni faktor 1, ker je 15/15 = 1.
• Ko ugotovimo dodatni faktor, ga pomnožimo s števci ulomkov in dodamo dobljene vrednosti. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Odgovor: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Če v primeru nista dodana ali odvzeta 2, ampak 3 ali več ulomkov, je treba NCD iskati po toliko ulomkih, kot je danih.

Izračunajte: 1/2 – 5/12 + 3/6

Rešitev (zaporedje dejanj):

• Iskanje najmanjšega skupnega imenovalca. Najmanjše število, deljivo z 2, 12 in 6, je 12.
• Dobimo: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Iščemo dodatne multiplikatorje. Za 1/2 – 6; za 5/12 – 1; za 3/6 – 2.
• Pomnožimo s števci in priredimo ustrezne predznake: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Odgovor: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Kako najti LCM (najmanjši skupni večkratnik)

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil je najmanjše od vseh celih števil, ki je deljivo z obema danima številoma brez ostanka.

1. metoda. LCM lahko najdete po vrsti za vsako od danih števil, tako da v naraščajočem vrstnem redu zapišete vsa števila, ki jih dobite, če jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 itd.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot lahko vidite, bo LCM za številki 6 in 9 enak 18.

Ta metoda je priročna, kadar sta obe števili majhni in ju je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. Vendar pa obstajajo primeri, ko morate najti LCM za dvomestna ali trimestna števila, pa tudi, ko so začetna števila tri ali celo več.

Metoda 2. LCM lahko najdete tako, da prvotne številke razstavite na glavni dejavniki.
Po razčlenjevanju je treba iz nastalega niza prafaktorjev prečrtati enaka števila. Preostale številke prvega števila bodo množitelj za drugo, preostale številke drugega pa bodo množitelj za prvo.

Primer za številki 75 in 60.
Najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60 lahko poiščemo, ne da bi zaporedoma zapisali večkratnike teh števil. Če želite to narediti, faktorizirajmo 75 in 60 na preproste faktorje:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot lahko vidite, se faktorja 3 in 5 pojavita v obeh vrsticah. Miselno jih »prečrtamo«.
Zapišimo preostale faktorje, vključene v razširitev vsakega od teh števil. Pri razčlenjevanju števila 75 nam ostane število 5, pri razčlenjevanju števila 60 pa 2 * 2.
To pomeni, da moramo za določitev LCM za števili 75 in 60 pomnožiti preostala števila iz razširitve 75 (to je 5) s 60 in pomnožiti števila, ki ostanejo iz razširitve 60 (to je 2 * 2) s 75. To pomeni, da zaradi lažjega razumevanja rečemo, da množimo "navzkrižno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za števili 60 in 75. To je število 300.

Primer. Določite NKM za števila 12, 16, 24
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Toda najprej, kot vedno, faktorizirajmo vse številke
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše od vseh števil (to je število 12) in gremo zaporedno skozi njegove faktorje ter jih prečrtamo, če v vsaj eni od drugih vrstic števil naletimo na enak faktor, ki še ni prečrtano.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh serijah števil. Prečrtajmo jih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. korak. V prafaktorjih števila 12 ostane samo število 3, prisotno pa je v prafaktorjih števila 24. Število 3 prečrtamo iz obeh vrstic, medtem ko za število 16 ne pričakujemo nobenih dejanj. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot lahko vidite, smo pri razgradnji števila 12 "prečrtali" vse številke. To pomeni, da je ugotovitev LOC zaključena. Ostaja le še izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzemite preostale faktorje števila 16 (naslednji v naraščajočem vrstnem redu)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, ta metoda vam omogoča, da to storite hitreje. Vendar sta obe metodi iskanja LCM pravilni.

Ta članek pojasnjuje kako najti najmanjši skupni imenovalec in kako zreducirati ulomke na skupni imenovalec. Najprej sta podani definiciji skupnega imenovalca ulomkov in najmanjšega skupnega imenovalca ter prikazano, kako najdemo skupni imenovalec ulomkov. Spodaj je pravilo zmanjševanja ulomkov na skupni imenovalec in obravnavani so primeri uporabe tega pravila. Za zaključek primeri prinašanja treh in več ulomke na skupni imenovalec.

Navigacija po straneh.

Kaj imenujemo reduciranje ulomkov na skupni imenovalec?

Zdaj lahko rečemo, kaj pomeni reducirati ulomke na skupni imenovalec. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec- To je množenje števcev in imenovalcev danih ulomkov s takimi dodatnimi faktorji, da so rezultat ulomki z enakimi imenovalci.

Skupni imenovalec, definicija, primeri

Zdaj je čas, da določimo skupni imenovalec ulomkov.

Povedano drugače, skupni imenovalec določene množice navadnih ulomkov je vsako naravno število, ki je deljivo z vsemi imenovalci teh ulomkov.

Iz navedene definicije sledi, da ima dana množica ulomkov neskončno veliko skupnih imenovalcev, saj obstaja neskončno število skupnih večkratnikov vseh imenovalcev prvotne množice ulomkov.

Določanje skupnega imenovalca ulomkov vam omogoča, da poiščete skupne imenovalce danih ulomkov. Recimo, da sta ulomka 1/4 in 5/6 njuna imenovalca 4 oziroma 6. Pozitivni skupni večkratniki števil 4 in 6 so števila 12, 24, 36, 48, ... Vsako od teh števil je skupni imenovalec ulomkov 1/4 in 5/6.

Za utrjevanje snovi razmislite o rešitvi naslednjega primera.

Primer.

Ali je mogoče ulomke 2/3, 23/6 in 7/12 skrčiti na skupni imenovalec 150?

rešitev.

Za odgovor na vprašanje moramo ugotoviti, ali je število 150 skupni večkratnik imenovalcev 3, 6 in 12. Za to preverimo, ali je 150 deljivo z vsakim od teh števil (če je treba, glej pravila in primere deljenja naravnih števil ter pravila in primere deljenja naravnih števil z ostankom): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (preostalih 6) .

Torej, 150 ni enakomerno deljivo z 12, zato 150 ni skupni večkratnik 3, 6 in 12. Zato število 150 ne more biti skupni imenovalec prvotnih ulomkov.

odgovor:

To je prepovedano.

Najmanjši skupni imenovalec, kako ga najti?

V množici števil, ki so skupni imenovalec danih ulomkov, je najmanjše naravno število, ki ga imenujemo najmanjši skupni imenovalec. Oblikujmo definicijo najmanjšega skupnega imenovalca teh ulomkov.

Opredelitev.

Najmanjši skupni imenovalec je najmanjše število vseh skupnih imenovalcev teh ulomkov.

Ostaja še reševanje vprašanja, kako najti najmanjšega skupni delilnik.

Ker je najmanjši pozitivni skupni delitelj dane množice števil, LCM imenovalcev danih ulomkov predstavlja najmanjši skupni imenovalec danih ulomkov.

Tako se iskanje najmanjšega skupnega imenovalca ulomkov zmanjša na imenovalce teh ulomkov. Poglejmo rešitev primera.

Primer.

Poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov 3/10 in 277/28.

rešitev.

Imenovalca teh ulomkov sta 10 in 28. Želeni najmanjši skupni imenovalec najdemo kot LCM števil 10 in 28. V našem primeru je enostavno: ker je 10=2·5 in 28=2·2·7, potem je LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

odgovor:

140 .

Kako zreducirati ulomke na skupni imenovalec? Pravilo, primeri, rešitve

Običajno navadni ulomki vodi do najmanjšega skupnega imenovalca. Sedaj bomo zapisali pravilo, ki pojasnjuje, kako zreducirati ulomke na njihov najmanjši skupni imenovalec.

Pravilo zmanjševanja ulomkov na najmanjši skupni imenovalec je sestavljen iz treh korakov:

• Najprej poiščite najmanjši skupni imenovalec ulomkov.
• Drugič, za vsak ulomek se izračuna dodatni faktor tako, da se najmanjši skupni imenovalec deli z imenovalcem vsakega ulomka.
• Tretjič, števec in imenovalec vsakega ulomka se pomnoži z njegovim dodatnim faktorjem.

Uporabimo navedeno pravilo za rešitev naslednjega primera.

Primer.

Zmanjšajte ulomka 5/14 in 7/18 na njun najmanjši skupni imenovalec.

rešitev.

Opravimo vse korake algoritma za zmanjševanje ulomkov na najmanjši skupni imenovalec.

Najprej poiščemo najmanjši skupni imenovalec, ki je enak najmanjšemu skupnemu večkratniku števil 14 in 18. Ker je 14=2·7 in 18=2·3·3, potem je LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Sedaj izračunamo dodatne faktorje, s pomočjo katerih bosta ulomka 5/14 in 7/18 zmanjšana na imenovalec 126. Za ulomek 5/14 je dodatni faktor 126:14=9, za ulomek 7/18 pa je dodatni faktor 126:18=7.

Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov 5/14 in 7/18 z dodatnimi faktorji 9 oziroma 7. Imamo in .

Torej je redukcija ulomkov 5/14 in 7/18 na najmanjši skupni imenovalec končana. Nastala ulomka sta bila 45/126 in 49/126.

Da bi razumeli, kako izračunati LCM, morate najprej določiti pomen izraza "več".

Večkratnik A je naravno število, ki je deljivo z A brez ostanka. Število, ki je večkratnik števila 5, lahko štejemo za 15, 20, 25 itd.

Obstajajo lahko delilniki določenega števila omejena količina, vendar obstaja neskončno število večkratnikov.

Skupni večkratnik naravna števila- število, ki je z njimi deljivo brez ostanka.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik števil

Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil (dva, tri ali več) je najmanjše naravno število, ki je deljivo z vsemi temi števili.

Če želite najti LOC, lahko uporabite več metod.

Za majhna števila je priročno zapisati vse večkratnike teh števil v črto, dokler med njimi ne najdete nekaj skupnega. Večkratnike označujemo z veliko črko K.

Na primer, večkratnike števila 4 lahko zapišemo takole:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Tako lahko vidite, da je najmanjši skupni večkratnik števil 4 in 6 število 24. Ta zapis je narejen na naslednji način:

LCM(4, 6) = 24

Če so številke velike, poiščite skupni večkratnik treh ali več števil, potem je bolje uporabiti drugo metodo izračuna LCM.

Za dokončanje naloge morate dana števila razložiti na prafaktorje.

Najprej morate na črto zapisati razgradnjo največjega števila, pod njim pa ostalo.

Razčlenitev vsakega števila lahko vsebuje različno število faktorjev.

Na primer, razložimo števili 50 in 20 na prafaktorje.

Pri razširitvi manjšega števila izpostavite faktorje, ki manjkajo pri razširitvi prvega največjega števila, in jih nato dodajte k temu. V predstavljenem primeru manjka dvojka.

Zdaj lahko izračunate najmanjši skupni večkratnik 20 in 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tako bo zmnožek prafaktorjev večjega števila in faktorjev drugega števila, ki niso bili vključeni v razširitev večjega števila, najmanjši skupni večkratnik.

Če želite najti LCM treh ali več števil, jih morate vse razložiti na prafaktorje, kot v prejšnjem primeru.

Kot primer lahko poiščete najmanjši skupni večkratnik števil 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tako le dve dvojki iz razširitve šestnajstice nista bili vključeni v faktorizacijo večjega števila (ena je v razširitvi štiriindvajsetice).

Tako jih je treba razširitvi dodati večje število.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Obstajajo posebni primeri določanja najmanjšega skupnega večkratnika. Torej, če je mogoče eno od števil brez ostanka deliti z drugim, potem bo večje od teh števil najmanjši skupni večkratnik.

Na primer, LCM za dvanajst in štiriindvajset je štiriindvajset.

Če morate najti najmanjši skupni večkratnik drug drugega praštevila, ki nimajo enakih deliteljev, bo njihov LCM enak njihovemu produktu.

Na primer, LCM (10, 11) = 110.