Untuk menentukan luas segi tiga, anda boleh menggunakan formula yang berbeza. Daripada semua kaedah, yang paling mudah dan paling kerap digunakan ialah mendarab ketinggian dengan panjang tapak dan kemudian membahagikan hasilnya dengan dua. Walau bagaimanapun, kaedah ini jauh dari satu-satunya. Di bawah ini anda boleh membaca cara mencari luas segi tiga menggunakan formula yang berbeza.

Secara berasingan, kita akan melihat cara untuk mengira luas jenis segitiga tertentu - segi empat tepat, isosceles dan sama sisi. Kami mengiringi setiap formula dengan penjelasan ringkas yang akan membantu anda memahami intipatinya.

Kaedah universal untuk mencari luas segi tiga

Formula di bawah menggunakan tatatanda khas. Kami akan menguraikan setiap daripada mereka:

• a, b, c – panjang tiga sisi rajah yang sedang kita pertimbangkan;
• r ialah jejari bulatan yang boleh ditulis dalam segi tiga kita;
• R ialah jejari bulatan yang boleh diterangkan di sekelilingnya;
• α ialah magnitud sudut yang dibentuk oleh sisi b dan c;
• β ialah magnitud sudut antara a dan c;
• γ ialah magnitud sudut yang dibentuk oleh sisi a dan b;
• h ialah ketinggian segi tiga kami, diturunkan dari sudut α ke sisi a;
• p – separuh hasil tambah sisi a, b dan c.

Secara logiknya jelas mengapa anda boleh mencari luas segi tiga dengan cara ini. Segitiga dengan mudah boleh dilengkapkan menjadi segi empat selari, di mana satu sisi segitiga akan bertindak sebagai pepenjuru. Luas segi empat selari ditemui dengan mendarab panjang salah satu sisinya dengan nilai ketinggian yang dilukis padanya. Diagonal membahagikan segi empat selari bersyarat ini kepada 2 segi tiga yang sama. Oleh itu, agak jelas bahawa luas segi tiga asal kami mestilah sama dengan separuh luas segi empat selari tambahan ini.

S=½ a b sin γ

Menurut formula ini, luas segi tiga ditemui dengan mendarabkan panjang dua sisinya, iaitu, a dan b, dengan sinus sudut yang dibentuk oleh mereka. Formula ini secara logik diperoleh daripada yang sebelumnya. Jika kita menurunkan ketinggian dari sudut β ke sisi b, maka, mengikut sifat segi tiga tepat, apabila mendarabkan panjang sisi a dengan sinus sudut γ, kita memperoleh ketinggian segi tiga, iaitu, h.

Luas rajah yang dimaksudkan didapati dengan mendarab separuh jejari bulatan yang boleh ditulis di dalamnya dengan perimeternya. Dengan kata lain, kita dapati hasil darab separuh perimeter dan jejari bulatan yang disebutkan.

S= a b c/4R

Menurut formula ini, nilai yang kita perlukan boleh didapati dengan membahagikan hasil darab sisi rajah dengan 4 jejari bulatan yang diterangkan di sekelilingnya.

Formula ini adalah universal, kerana ia memungkinkan untuk menentukan luas mana-mana segitiga (skala, isosceles, sama sisi, segi empat tepat). Ini boleh dilakukan dengan menggunakan pengiraan yang lebih kompleks, yang tidak akan kami bincangkan secara terperinci.

Luas segi tiga dengan sifat tertentu

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga tepat? Keanehan angka ini ialah kedua-dua sisinya serentak ketinggiannya. Jika a dan b ialah kaki, dan c menjadi hipotenus, maka kita dapati kawasan seperti ini:

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga sama kaki? Ia mempunyai dua sisi dengan panjang a dan satu sisi dengan panjang b. Akibatnya, luasnya boleh ditentukan dengan membahagikan dengan 2 hasil darab segi empat sama sisi a dengan sinus sudut γ.

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga sama sisi? Di dalamnya, panjang semua sisi adalah sama dengan a, dan magnitud semua sudut ialah α. Ketinggiannya adalah sama dengan separuh hasil darab panjang sisi a dan punca kuasa dua 3. Untuk mencari luas segi tiga sekata, anda perlu mendarabkan kuasa dua sisi a dengan punca kuasa dua 3 dan bahagi dengan 4.

daripada bucu bertentangan) dan bahagikan hasil yang terhasil dengan dua. Ini kelihatan seperti ini:

S = ½ * a * h,

di mana:
S - luas segi tiga,
a ialah panjang sisinya,
h ialah ketinggian yang diturunkan ke sisi ini.

Panjang sisi dan tinggi mesti ditunjukkan dalam unit ukuran yang sama. Dalam kes ini, kawasan segitiga akan diperolehi dalam unit " " yang sepadan.

Contoh.
Pada satu sisi segitiga skala 20 cm panjang, serenjang dari bucu bertentangan 10 cm panjang diturunkan.
Kawasan segi tiga diperlukan.
Penyelesaian.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Jika panjang mana-mana dua sisi segitiga skala dan sudut di antaranya diketahui, maka gunakan formula:

S = ½ * a * b * sinγ,

di mana: a, b ialah panjang dua sisi sewenang-wenangnya, dan γ ialah sudut di antara mereka.

Dalam amalan, sebagai contoh, apabila mengukur plot tanah, penggunaan formula di atas kadang-kadang sukar, kerana ia memerlukan pembinaan tambahan dan pengukuran sudut.

Jika anda mengetahui panjang ketiga-tiga sisi segitiga skala, maka gunakan formula Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – panjang sisi segi tiga,
p – separuh perimeter: p = (a+b+c)/2.

Jika, sebagai tambahan kepada panjang semua sisi, jejari bulatan yang ditulis dalam segi tiga diketahui, maka gunakan formula padat berikut:

di mana: r – jejari bulatan tersurat (р – separuh perimeter).

Untuk mengira luas segi tiga skala dan panjang sisinya, gunakan formula:

di mana: R – jejari bulatan yang dihadkan.

Jika anda mengetahui panjang salah satu sisi segitiga dan tiga sudut (pada dasarnya, dua sudah cukup - nilai ketiga dikira daripada kesamaan jumlah tiga sudut segitiga - 180º), kemudian gunakan formulanya:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

di mana α ialah nilai sudut bertentangan dengan sisi a;
β, γ – nilai baki dua sudut segitiga.

Keperluan untuk mencari pelbagai elemen, termasuk kawasan segi tiga, muncul berabad-abad sebelum masihi di kalangan ahli astronomi yang terpelajar Yunani purba. Segi empat segi tiga boleh dikira cara yang berbeza menggunakan formula yang berbeza. Kaedah pengiraan bergantung pada elemen mana segi tiga diketahui.

Arahan

Jika dari keadaan kita tahu nilai dua sisi b, c dan sudut yang dibentuk oleh mereka?, maka luasnya segi tiga ABC didapati dengan formula:
S = (bcsin?)/2.

Jika dari keadaan kita tahu nilai dua sisi a, b dan sudut yang tidak dibentuk oleh mereka?, maka luasnya segi tiga ABC didapati seperti berikut:
Mencari sudut?, dosa? = bsin?/a, kemudian gunakan jadual untuk menentukan sudut itu sendiri.
Mencari sudut?, ? = 180°-?-?.
Kita dapati kawasan itu sendiri S = (absin?)/2.

Jika dari keadaan kita tahu nilai tiga sisi sahaja segi tiga a, b dan c, kemudian luasnya segi tiga ABC didapati dengan formula:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), dengan p ialah separuh perimeter p = (a+b+c)/2

Jika dari keadaan masalah kita tahu ketinggian segi tiga h dan sisi yang ketinggian ini diturunkan, kemudian luasnya segi tiga ABC mengikut formula:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Jika kita tahu maksud sisi segi tiga a, b, c dan jejari yang diterangkan tentang ini segi tiga R, maka kawasan ini segi tiga ABC ditentukan oleh formula:
S = abc/4R.
Jika tiga sisi a, b, c dan jejari yang tertulis dalam diketahui, maka luasnya segi tiga ABC didapati dengan formula:
S = pr, dengan p ialah separuh perimeter, p = (a+b+c)/2.

Jika ABC ialah sama sisi, maka luasnya ditemui dengan formula:
S = (a^2v3)/4.
Jika segi tiga ABC ialah sama kaki, maka luasnya ditentukan oleh formula:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, dengan c – segi tiga.
Jika segitiga ABC adalah bersudut tegak, maka luasnya ditentukan oleh formula:
S = ab/2, dengan a dan b ialah kaki segi tiga.
Jika segitiga ABC ialah segi tiga sama kaki tegak, maka luasnya ditentukan oleh formula:
S = c^2/4 = a^2/2, dengan c ialah hipotenus segi tiga, a=b – kaki.

Video mengenai topik

Sumber:

• cara mengukur luas segi tiga

Petua 3: Bagaimana untuk mencari luas segi tiga jika sudut diketahui

Mengetahui hanya satu parameter (sudut) tidak mencukupi untuk mencari kawasan tre segi empat sama . Jika terdapat sebarang dimensi tambahan, maka untuk menentukan kawasan anda boleh memilih salah satu formula di mana nilai sudut juga digunakan sebagai salah satu pembolehubah yang diketahui. Beberapa formula yang paling kerap digunakan diberikan di bawah.

Arahan

Jika, sebagai tambahan kepada saiz sudut (γ) yang dibentuk oleh kedua-dua belah tre segi empat sama , panjang sisi ini (A dan B) juga diketahui, kemudian segi empat sama(S) suatu rajah boleh ditakrifkan sebagai separuh hasil darab panjang sisi dan sinus bagi sudut yang diketahui ini: S=½×A×B×sin(γ).

Kawasan segitiga - formula dan contoh penyelesaian masalah

Di bawah adalah formula untuk mencari luas segi tiga sewenang-wenangnya yang sesuai untuk mencari luas mana-mana segi tiga, tanpa mengira sifat, sudut atau saiznya. Formula dibentangkan dalam bentuk gambar, dan penjelasan penggunaan atau justifikasi untuk ketepatannya juga disediakan di sini. Surat-menyurat juga ditunjukkan dalam angka yang berasingan sebutan surat dalam formula dan simbol grafik pada lukisan itu.

Catatan . Jika segi tiga mempunyai sifat khas(sama kaki, segi empat tepat, sama sisi), anda boleh menggunakan formula yang diberikan di bawah, serta formula khas tambahan yang hanya sah untuk segi tiga dengan sifat ini:

• "Rumus untuk luas segi tiga sama sisi"

Rumus luas segi tiga

Penjelasan untuk formula:
a, b, c- panjang sisi segi tiga yang luasnya kita ingin cari
r- jejari bulatan yang tertulis dalam segi tiga
R- jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga
h- ketinggian segi tiga diturunkan ke sisi
hlm- separuh perimeter segi tiga, 1/2 jumlah sisinya (perimeter)
α - sudut bertentangan dengan sisi a segitiga
β - sudut bertentangan dengan sisi b segi tiga itu
γ - sudut bertentangan dengan sisi c segitiga itu
h a, h b , h c- ketinggian segi tiga diturunkan ke sisi a, b, c

Sila ambil perhatian bahawa notasi yang diberikan sepadan dengan rajah di atas, supaya apabila menyelesaikan masalah geometri sebenar, secara visual lebih mudah untuk anda menggantikan nilai yang betul di tempat yang betul dalam formula.

• Luas segi tiga ialah separuh hasil darab ketinggian segi tiga dan panjang sisi yang mana ketinggian ini diturunkan(Formula 1). Ketepatan formula ini boleh difahami secara logik. Ketinggian yang diturunkan ke pangkal akan membelah segitiga sembarangan kepada dua segi empat tepat. Jika anda membina setiap daripada mereka menjadi segi empat tepat dengan dimensi b dan h, maka jelas luas segi tiga ini akan sama dengan tepat separuh luas segi empat tepat (Spr = bh)
• Luas segi tiga ialah separuh hasil darab kedua-dua sisinya dan sinus sudut di antaranya(Formula 2) (lihat contoh penyelesaian masalah menggunakan formula ini di bawah). Walaupun pada hakikatnya ia kelihatan berbeza daripada yang sebelumnya, ia boleh dengan mudah diubah ke dalamnya. Jika kita menurunkan ketinggian dari sudut B ke sisi b, ternyata hasil darab sisi a dan sinus sudut γ, mengikut sifat sinus dalam segi tiga tepat, adalah sama dengan ketinggian segitiga yang kita lukis. , yang memberikan kita formula sebelumnya
• Kawasan segi tiga sewenang-wenangnya boleh didapati melalui kerja separuh jejari bulatan yang tertulis di dalamnya dengan hasil tambah panjang semua sisinya(Formula 3), secara ringkasnya, anda perlu mendarab separuh perimeter segi tiga dengan jejari bulatan bertulis (ini lebih mudah diingati)
• Luas segi tiga arbitrari boleh didapati dengan membahagikan hasil darab semua sisinya dengan 4 jejari bulatan yang dihadkan di sekelilingnya (Formula 4)
• Formula 5 mencari luas segi tiga melalui panjang sisinya dan separuh perimeternya (separuh jumlah semua sisinya)
• Formula Heron(6) ialah perwakilan formula yang sama tanpa menggunakan konsep separuh perimeter, hanya melalui panjang sisi
• Luas segi tiga arbitrari adalah sama dengan hasil darab segi empat sama sisi segi tiga dan sinus sudut yang bersebelahan dengan sisi ini dibahagikan dengan sinus berganda sudut bertentangan dengan sisi ini (Formula 7)
• Luas segi tiga arbitrari boleh didapati sebagai hasil darab dua segi empat sama bulatan yang dikelilingi oleh sinus setiap sudutnya. (Formula 8)
• Jika panjang satu sisi dan nilai dua sudut bersebelahan diketahui, maka luas segi tiga boleh didapati sebagai segi empat sama sisi ini dibahagikan dengan hasil tambah ganda kotangen sudut-sudut ini (Formula 9)
• Jika hanya panjang setiap ketinggian segi tiga diketahui (Formula 10), maka luas segi tiga tersebut adalah berkadar songsang dengan panjang ketinggian ini, seperti menurut Formula Heron.
• Formula 11 membolehkan anda mengira luas segi tiga berdasarkan koordinat bucunya, yang dinyatakan sebagai nilai (x;y) untuk setiap bucu. Sila ambil perhatian bahawa nilai yang terhasil mesti diambil modulo, kerana koordinat individu (atau semua) bucu mungkin berada dalam kawasan nilai negatif

Catatan. Berikut adalah contoh penyelesaian masalah geometri untuk mencari luas segi tiga. Jika anda perlu menyelesaikan masalah geometri yang tidak serupa di sini, tulis mengenainya dalam forum. Dalam penyelesaian, bukannya simbol " Punca kuasa dua"fungsi sqrt() boleh digunakan, di mana sqrt ialah simbol punca kuasa dua, dan ungkapan radikal ditunjukkan dalam kurungan.Kadang-kadang untuk ungkapan radikal mudah simbol boleh digunakan √

Tugasan. Cari luas yang diberi dua sisi dan sudut di antara mereka

Sisi segi tiga ialah 5 dan 6 cm Sudut di antaranya ialah 60 darjah. Cari luas segi tiga itu.

Penyelesaian.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula nombor dua daripada bahagian teori pelajaran.
Luas segi tiga boleh didapati melalui panjang dua sisi dan sinus sudut di antara mereka dan akan sama dengan
S=1/2 ab sin γ

Oleh kerana kami mempunyai semua data yang diperlukan untuk penyelesaian (mengikut formula), kami hanya boleh menggantikan nilai dari keadaan masalah ke dalam formula:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Dalam jadual nilai fungsi trigonometri Mari cari dan gantikan nilai sinus 60 darjah ke dalam ungkapan. Ia akan sama dengan punca tiga kali dua.
S = 15 √3 / 2

Jawab: 7.5 √3 (bergantung kepada keperluan guru, anda mungkin boleh meninggalkan 15 √3/2)

Tugasan. Cari luas segi tiga sama sisi

Cari luas segi tiga sama sisi dengan sisi 3 cm.

Penyelesaian .

Luas segi tiga boleh didapati menggunakan formula Heron:

S = 1/4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Oleh kerana a = b = c, formula untuk luas segitiga sama sisi mengambil bentuk:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Jawab: 9 √3 / 4.

Tugasan. Tukar kawasan apabila menukar panjang sisi

Berapa kali luas segitiga akan bertambah jika sisinya ditambah 4 kali?

Penyelesaian.

Oleh kerana dimensi sisi segitiga tidak diketahui oleh kami, untuk menyelesaikan masalah kami akan menganggap bahawa panjang sisi masing-masing adalah sama. nombor sewenang-wenangnya a, b, c. Kemudian, untuk menjawab persoalan masalah, kita akan mencari luas segitiga yang diberikan, dan kemudian kita akan mencari luas segitiga yang sisinya empat kali lebih besar. Nisbah luas segi tiga ini akan memberi kita jawapan kepada masalah tersebut.

Di bawah ini kami memberikan penjelasan teks mengenai penyelesaian masalah langkah demi langkah. Walau bagaimanapun, pada akhirnya, penyelesaian yang sama ini dibentangkan dalam bentuk grafik yang lebih mudah. Mereka yang berhajat boleh segera turun penyelesaiannya.

Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan formula Heron (lihat di atas dalam bahagian teori pelajaran). Ia kelihatan seperti ini:

S = 1/4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lihat baris pertama gambar di bawah)

Panjang sisi segitiga arbitrari ditentukan oleh pembolehubah a, b, c.
Jika sisi ditambah sebanyak 4 kali, maka luas segitiga baru c ialah:

S 2 = 1/4 persegi((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(lihat baris kedua dalam gambar di bawah)

Seperti yang anda lihat, 4 ialah faktor biasa yang boleh diambil daripada kurungan daripada keempat-empat ungkapan mengikut peraturan umum matematik.
Kemudian

S 2 = 1/4 persegi(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - pada baris ketiga gambar
S 2 = 1/4 persegi(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - baris keempat

Punca kuasa dua nombor 256 diekstrak dengan sempurna, jadi mari kita keluarkan dari bawah akar
S 2 = 16 * 1/4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 persegi((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lihat baris kelima gambar di bawah)

Untuk menjawab soalan yang ditanya dalam masalah, kita hanya perlu membahagikan kawasan segitiga yang terhasil dengan luas yang asal.
Mari kita tentukan nisbah luas dengan membahagikan ungkapan dengan satu sama lain dan mengurangkan pecahan yang terhasil.

Arahan

parti dan sudut dianggap sebagai elemen asas A. Segitiga ditakrifkan sepenuhnya oleh mana-mana elemen asas berikut: sama ada tiga sisi, atau satu sisi dan dua sudut, atau dua sisi dan sudut di antara mereka. Untuk kewujudan segi tiga diberikan oleh tiga pihak a, b, c, adalah perlu dan mencukupi untuk memenuhi ketaksamaan yang dipanggil ketaksamaan segi tiga:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Untuk bangunan segi tiga pada tiga sisi a, b, c, adalah perlu dari titik C segmen CB = a untuk melukis bulatan jejari b menggunakan kompas. Kemudian, dengan cara yang sama, lukis bulatan dari titik B dengan jejari sama dengan sisi c. Titik persilangan mereka A ialah bucu ketiga bagi yang dikehendaki segi tiga ABC, dengan AB=c, CB=a, CA=b - sisi segi tiga. Masalahnya mempunyai , jika sisi a, b, c, memenuhi ketaksamaan segi tiga dinyatakan dalam langkah 1.

Kawasan S dibina dengan cara ini segi tiga ABC dengan sisi yang diketahui a, b, c, dikira menggunakan formula Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
di mana a, b, c ialah sisi segi tiga, p – separuh perimeter.
p = (a+b+c)/2

Jika segitiga adalah sama sisi, iaitu, semua sisinya adalah sama (a=b=c).Luas segi tiga dikira dengan formula:
S=(a^2 v3)/4

Jika segi tiga itu bersudut tegak, iaitu, salah satu sudutnya adalah sama dengan 90°, dan sisi yang membentuknya ialah kaki, sisi ketiga ialah hipotenus. DALAM dalam kes ini segi empat sama sama dengan hasil darab kaki dibahagikan dua.
S=ab/2

Untuk mencari segi empat sama segi tiga, anda boleh menggunakan salah satu daripada banyak formula. Pilih formula bergantung pada data yang sudah diketahui.

Anda perlu

• pengetahuan tentang formula untuk mencari luas segi tiga

Arahan

Jika anda mengetahui saiz salah satu sisi dan nilai ketinggian yang diturunkan ke sisi ini dari sudut yang bertentangan dengannya, maka anda boleh mencari luas menggunakan yang berikut: S = a*h/2, di mana S ialah luas daripada segi tiga, a ialah salah satu sisi segi tiga, dan h - tinggi, ke sisi a.

Terdapat kaedah yang diketahui untuk menentukan luas segi tiga jika tiga sisinya diketahui. Ia adalah formula Heron. Untuk memudahkan rakamannya, nilai perantaraan diperkenalkan - separuh perimeter: p = (a+b+c)/2, di mana a, b, c - . Maka formula Heron adalah seperti berikut: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ eksponen.

Mari kita andaikan bahawa anda mengetahui salah satu sisi segitiga dan tiga sudut. Maka mudah untuk mencari luas segi tiga: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), di mana β ialah sudut yang bertentangan dengan sisi a, dan α dan γ ialah sudut yang bersebelahan dengan sisi.

Video mengenai topik

Nota

Formula paling umum yang sesuai untuk semua kes ialah formula Heron.

Sumber:

Petua 3: Bagaimana untuk mencari luas segi tiga berdasarkan tiga sisi

Mencari luas segi tiga adalah salah satu masalah yang paling biasa dalam planimetri sekolah. Mengetahui tiga sisi segitiga sudah cukup untuk menentukan luas mana-mana segi tiga. Dalam kes khas segitiga sama sisi, cukup untuk mengetahui panjang dua dan satu sisi, masing-masing.

Anda perlu

• panjang sisi segi tiga, formula Heron, teorem kosinus

Arahan

Rumus bangau untuk luas segi tiga adalah seperti berikut: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Jika kita menulis separuh perimeter p, kita dapat: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Anda boleh memperoleh formula untuk luas segi tiga daripada pertimbangan, contohnya, dengan menggunakan teorem kosinus.

Dengan teorem kosinus, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Menggunakan tatatanda yang diperkenalkan, ini juga boleh ditulis dalam bentuk: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Oleh itu, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Luas segi tiga juga ditemui dengan formula S = a*c*sin(ABC)/2 menggunakan dua sisi dan sudut di antaranya. Sinus sudut ABC boleh dinyatakan melaluinya menggunakan identiti trigonometri asas: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Dengan menggantikan sinus ke dalam formula untuk luas dan menulisnya , anda boleh sampai pada formula untuk luas segi tiga ABC.

Video mengenai topik

Untuk kerja pembaikan mungkin perlu diukur segi empat sama dinding Ini memudahkan untuk mengira jumlah cat atau kertas dinding yang diperlukan. Untuk ukuran, sebaiknya gunakan pita pengukur atau pita pengukur. Pengukuran hendaklah diambil selepas dinding telah diratakan.

Anda perlu

• -rolet;
• -tangga.

Arahan

Untuk mengira segi empat sama dinding, anda perlu mengetahui ketinggian tepat siling, dan juga mengukur panjang di sepanjang lantai. Ini dilakukan seperti berikut: ambil satu sentimeter dan letakkan di atas papan tiang. Biasanya satu sentimeter tidak mencukupi untuk keseluruhan panjang, jadi selamatkannya di sudut, kemudian lepaskannya panjang maksimum. Pada ketika ini, letakkan tanda dengan pensil, tuliskan hasil yang diperoleh dan lakukan pengukuran selanjutnya dengan cara yang sama, bermula dari titik pengukuran terakhir.

Siling standard dalam yang biasa - 2 meter 80 sentimeter, 3 meter dan 3 meter 20 sentimeter, bergantung pada rumah. Sekiranya rumah itu dibina sebelum 50-an, kemungkinan besar ketinggian sebenar adalah lebih rendah sedikit daripada yang ditunjukkan. Jika anda sedang mengira segi empat sama untuk kerja pembaikan, maka bekalan kecil tidak akan menyakitkan - pertimbangkan berdasarkan standard. Jika anda masih perlu tahu ketinggian sebenar- ambil ukuran. Prinsipnya serupa dengan mengukur panjang, tetapi anda memerlukan tangga.

Darabkan penunjuk yang terhasil - ini segi empat sama milik anda dinding. Benar, apabila kerja-kerja lukisan atau untuk itu perlu untuk menolak segi empat sama pintu dan bukaan tingkap. Untuk melakukan ini, letakkan satu sentimeter di sepanjang pembukaan. Jika kita bercakap tentang tentang pintu yang akan anda ubah kemudiannya, kemudian jalankannya dengan yang dikeluarkan bingkai pintu, mempertimbangkan sahaja segi empat sama terus ke pembukaan itu sendiri. Kawasan tingkap dikira sepanjang perimeter bingkainya. Selepas segi empat sama tingkap dan pintu dikira, tolak hasil daripada jumlah kawasan yang terhasil dari bilik.

Sila ambil perhatian bahawa mengukur panjang dan lebar bilik dilakukan oleh dua orang, ini memudahkan untuk menetapkan sentimeter atau pita pengukur dan, dengan itu, mendapatkan hasil yang lebih tepat. Ambil ukuran yang sama beberapa kali untuk memastikan nombor yang anda dapat adalah tepat.

Video mengenai topik

Mencari isipadu segi tiga adalah benar-benar tugas yang tidak remeh. Hakikatnya ialah segitiga ialah angka dua dimensi, i.e. ia terletak sepenuhnya dalam satu satah, yang bermaksud bahawa ia tidak mempunyai isipadu. Sudah tentu, anda tidak dapat mencari sesuatu yang tidak wujud. Tetapi jangan kita berputus asa! Kita boleh menerima andaian berikut: isipadu rajah dua dimensi ialah luasnya. Kami akan mencari kawasan segitiga.

Anda perlu

• helaian kertas, pensel, pembaris, kalkulator

Arahan

Lukis pada sekeping kertas menggunakan pembaris dan pensel. Dengan teliti memeriksa segi tiga, anda boleh memastikan bahawa ia benar-benar tidak mempunyai segitiga, kerana ia dilukis pada satah. Labelkan sisi segitiga: biarkan satu sisi menjadi sisi "a", sisi lain "b", dan sisi ketiga "c". Labelkan bucu segitiga dengan huruf "A", "B" dan "C".

Ukur mana-mana sisi segi tiga dengan pembaris dan tuliskan hasilnya. Selepas ini, pulihkan serenjang ke sisi yang diukur dari bucu yang bertentangan dengannya, serenjang sedemikian akan menjadi ketinggian segi tiga. Dalam kes yang ditunjukkan dalam rajah, "h" berserenjang dipulihkan ke sisi "c" dari bucu "A". Ukur ketinggian yang terhasil dengan pembaris dan tuliskan hasil pengukuran.

Mungkin sukar untuk anda memulihkan serenjang yang tepat. Dalam kes ini, anda harus menggunakan formula yang berbeza. Ukur semua sisi segi tiga dengan pembaris. Selepas ini, kira separuh perimeter segi tiga "p" dengan menambah panjang sisi yang terhasil dan membahagikan jumlahnya kepada separuh. Mempunyai nilai separuh perimeter yang anda boleh gunakan, anda boleh menggunakan formula Heron. Untuk melakukan ini, anda perlu mengambil punca kuasa dua berikut: p(p-a)(p-b)(p-c).

awak terima nilai yang diperlukan luas segi tiga. Masalah mencari isipadu segi tiga belum selesai, tetapi seperti yang dinyatakan di atas, isipadunya tidak. Anda boleh menemui volum yang pada asasnya adalah segi tiga dalam dunia tiga dimensi. Jika kita membayangkan bahawa segitiga asal kita telah menjadi piramid tiga dimensi, maka isipadu piramid tersebut akan menjadi hasil darab panjang tapaknya dengan luas segi tiga yang telah kita perolehi.

Nota

Lebih teliti anda mengukur, lebih tepat pengiraan anda.

Sumber:

• Kalkulator "Semuanya untuk segala-galanya" - portal untuk nilai rujukan
• volum segi tiga pada 2019

Tiga titik yang mentakrifkan segi tiga secara unik dalam sistem koordinat Cartes ialah bucunya. Mengetahui kedudukan mereka berbanding setiap paksi koordinat, anda boleh mengira mana-mana parameter ini angka rata, termasuk dan dihadkan oleh perimeternya segi empat sama. Ini boleh dilakukan dalam beberapa cara.

Arahan

Gunakan formula Heron untuk mengira luas segi tiga. Ia melibatkan dimensi tiga sisi rajah, jadi mulakan pengiraan anda dengan . Panjang setiap sisi mestilah sama dengan punca hasil tambah kuasa dua panjang unjurannya ke paksi koordinat. Jika kita menyatakan koordinat A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) dan C(X₃,Y₃,Z₃), panjang sisinya boleh dinyatakan seperti berikut: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Untuk memudahkan pengiraan, perkenalkan pembolehubah tambahan - semiperimeter (P). Daripada fakta bahawa ini adalah separuh jumlah panjang semua sisi: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Anda boleh menemui lebih daripada 10 formula untuk mengira luas segi tiga di Internet Banyak daripadanya digunakan dalam masalah dengan sisi dan sudut segitiga yang diketahui. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa contoh yang kompleks di mana, mengikut syarat tugasan, hanya satu sisi dan sudut segitiga diketahui, atau jejari bulatan berhad atau bersurat dan satu lagi ciri. Dalam kes sedemikian, formula mudah tidak boleh digunakan.

Formula yang diberikan di bawah akan membolehkan anda menyelesaikan 95 peratus masalah yang anda perlukan untuk mencari luas segi tiga.
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan formula kawasan sepunya.
Pertimbangkan segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah di bawah

Dalam rajah dan di bawah dalam formula, sebutan klasik semua cirinya diperkenalkan.
a,b,c – sisi segi tiga,
R - jejari bulatan yang dihadkan,
r - jejari bulatan bertulis,
h[b],h[a],h[c] – ketinggian yang dilukis mengikut sisi a,b,c.
alfa, beta, hamma – sudut berhampiran bucu.

Formula asas untuk luas segi tiga

1. Luasnya adalah sama dengan separuh hasil darab sisi segi tiga dan tingginya diturunkan ke sisi ini. Dalam bahasa rumus, definisi ini boleh ditulis seperti berikut

Oleh itu, jika sisi dan ketinggian diketahui, maka setiap pelajar akan mencari luasnya.
Dengan cara ini, dari formula ini seseorang boleh memperoleh satu hubungan yang berguna antara ketinggian

2. Jika kita mengambil kira bahawa ketinggian segi tiga melalui sisi bersebelahan dinyatakan oleh pergantungan

Kemudian formula kawasan pertama diikuti oleh formula kedua daripada jenis yang sama

Lihat dengan teliti pada formula - ia mudah diingat, kerana kerja itu melibatkan dua sisi dan sudut di antara mereka. Jika kita menetapkan sisi dan sudut segitiga dengan betul (seperti dalam rajah di atas), kita akan mendapat dua sisi a,b dan sudut disambungkan kepada yang ketiga Dengan (hamma).

3. Bagi sudut segitiga, hubungannya adalah benar

Pergantungan membolehkan anda menggunakan formula berikut untuk luas segi tiga dalam pengiraan:

Contoh pergantungan ini sangat jarang berlaku, tetapi anda mesti ingat bahawa terdapat formula sedemikian.

4. Jika sisi dan dua sudut yang bersebelahan diketahui, maka luasnya ditemui dengan rumus

5. Formula bagi luas dari segi sisi dan kotangen sudut bersebelahan adalah seperti berikut

Dengan menyusun semula indeks anda boleh mendapatkan kebergantungan untuk pihak lain.

6. Rumus luas di bawah digunakan dalam masalah apabila bucu segitiga ditentukan pada satah mengikut koordinat. Dalam kes ini, kawasan adalah sama dengan separuh penentu yang diambil modulo.

7. Formula Heron digunakan dalam contoh dengan sisi segitiga yang diketahui.
Mula-mula cari separuh perimeter segi tiga itu

Dan kemudian tentukan kawasan menggunakan formula

atau

Ia agak kerap digunakan dalam kod program kalkulator.

8. Jika semua ketinggian segi tiga diketahui, maka luasnya ditentukan oleh formula

Sukar untuk mengira pada kalkulator, tetapi dalam pakej MathCad, Mathematica, Maple kawasan itu adalah "masa dua".

9. Formula berikut menggunakan jejari yang diketahui bagi bulatan bersurat dan berhad.

Khususnya, jika jejari dan sisi segi tiga, atau perimeternya, diketahui, maka luasnya dikira mengikut formula

10. Dalam contoh di mana sisi dan jejari atau diameter bulatan berbatas diberi, luas didapati menggunakan formula

11. Formula berikut menentukan luas segi tiga dari segi sisi dan sudut segi tiga.

Dan akhirnya - kes khas:
Luas segi tiga tepat dengan kaki a dan b sama dengan separuh hasil darabnya

Formula untuk luas segi tiga sama sisi (sekata).=

= satu perempat hasil darab segi empat sama sisi dan punca tiga.