Paksi adalah arah. Ini bermakna unjuran ke paksi atau ke garisan diarahkan dianggap sama. Unjuran boleh berbentuk algebra atau geometri. Dalam istilah geometri, unjuran vektor pada paksi difahami sebagai vektor, dan dalam istilah algebra, ia difahami sebagai nombor. Iaitu, konsep unjuran vektor ke atas paksi dan unjuran berangka vektor ke paksi digunakan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jika kita mempunyai paksi L dan vektor bukan sifar A B →, maka kita boleh membina vektor A 1 B 1 ⇀, menandakan unjuran titiknya A 1 dan B 1.

A 1 B → 1 akan menjadi unjuran vektor A B → ke L.

Definisi 1

Unjuran vektor pada paksi ialah vektor yang permulaan dan penghujungnya adalah unjuran permulaan dan penghujung vektor tertentu. n p L A B → → adalah kebiasaan untuk menandakan unjuran A B → ke L. Untuk membina unjuran ke L, serenjang dijatuhkan ke L.

Contoh 1

Contoh unjuran vektor pada paksi.

hidup satah koordinat Kira-kira x y titik M 1 (x 1 , y 1) dinyatakan. Ia adalah perlu untuk membina unjuran pada O x dan O y untuk imej vektor jejari titik M 1. Kami mendapat koordinat bagi vektor (x 1, 0) dan (0, y 1).

Jika kita bercakap tentang tentang unjuran a → ke bukan sifar b → atau unjuran a → ke arah b → , maka kita maksudkan unjuran a → ke paksi yang arah b → bertepatan. Unjuran a → ke garisan yang ditakrifkan oleh b → ditetapkan n p b → a → → . Adalah diketahui bahawa apabila sudut antara a → dan b → , n p b → a → → dan b → boleh dianggap sebagai kodirectional. Dalam kes di mana sudut tumpul, n p b → a → → dan b → berada dalam arah yang bertentangan. Dalam keadaan berserenjang a → dan b →, dan a → ialah sifar, unjuran a → dalam arah b → ialah vektor sifar.

Ciri berangka unjuran vektor ke paksi ialah unjuran berangka vektor ke paksi tertentu.

Definisi 2

Unjuran berangka vektor pada paksi ialah nombor yang sama dengan hasil darab panjang vektor tertentu dan kosinus sudut antara vektor yang diberi dan vektor yang menentukan arah paksi.

Unjuran berangka A B → ke L dilambangkan n p L A B → , dan a → ke b → - n p b → a → .

Berdasarkan formula, kita memperoleh n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , dari mana a → ialah panjang vektor a → , a ⇀ , b → ^ ialah sudut antara vektor a → dan b → .

Kami memperoleh formula untuk mengira unjuran berangka: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ia terpakai untuk panjang yang diketahui a → dan b → dan sudut di antara mereka. Formula ini boleh digunakan untuk koordinat a → dan b → yang diketahui, tetapi terdapat bentuk yang dipermudahkan.

Contoh 2

Ketahui unjuran berangka a → pada garis lurus ke arah b → dengan panjang a → sama dengan 8 dan sudut antaranya 60 darjah. Dengan syarat kita mempunyai ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Jadi, mari kita gantikan nilai angka ke dalam formula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Jawapan: 4.

Dengan cos yang diketahui (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , kita mempunyai → , b → sebagai hasil darab skalar a → dan b → . Mengikuti formula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , kita boleh mencari unjuran berangka a → diarahkan sepanjang vektor b → dan dapatkan n p b → a → = a → , b → b → . Formulanya bersamaan dengan definisi yang diberikan pada permulaan perenggan.

Definisi 3

Unjuran berangka bagi vektor a → pada paksi yang bertepatan dengan arah dengan b → ialah nisbah hasil darab skalar bagi vektor a → dan b → kepada panjang b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → terpakai untuk mencari unjuran berangka a → pada garis yang bertepatan dengan arah dengan b → , dengan koordinat a → dan b → yang diketahui.

Contoh 3

Diberi b → = (- 3 , 4) . Cari unjuran berangka a → = (1, 7) pada L.

Penyelesaian

Pada satah koordinat n p b → a → = a → , b → b → mempunyai bentuk n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , dengan a → = (a x , a y ) dan b → = b x , b y . Untuk mencari unjuran berangka bagi vektor a → pada paksi L, anda memerlukan: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Jawapan: 5.

Contoh 4

Cari unjuran a → pada L, bertepatan dengan arah b →, di mana terdapat → = - 2, 3, 1 dan b → = (3, - 2, 6). Ruang tiga dimensi ditentukan.

Penyelesaian

Diberi a → = a x , a y , a z dan b → = b x , b y , b z , kita mengira hasil kali skalar: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Panjang b → didapati menggunakan formula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Ia berikutan bahawa formula untuk menentukan unjuran berangka a → ialah: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Gantikan nilai berangka: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Jawapan: - 6 7.

Mari kita lihat sambungan antara a → pada L dan panjang unjuran a → pada L. Mari kita lukis paksi L, tambahkan a → dan b → dari titik pada L, selepas itu kita lukis garis serenjang dari hujung a → ke L dan lukis unjuran ke L. Terdapat 5 variasi imej:

Pertama kes dengan a → = n p b → a → → bermaksud a → = n p b → a → → , maka n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Kedua kes itu membayangkan penggunaan n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , yang bermaksud n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Ketiga kes menjelaskan bahawa apabila n p b → a → → = 0 → kita memperoleh n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , maka n p b → a → → = 0 dan n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Keempat kes menunjukkan n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , mengikuti n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Kelima kes menunjukkan a → = n p b → a → → , yang bermaksud a → = n p b → a → → , maka kita mempunyai n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Definisi 4

Unjuran berangka vektor a → ke paksi L, yang diarahkan dengan cara yang sama seperti b →, mempunyai nilai berikut:

• panjang unjuran vektor a → ke L, dengan syarat sudut antara a → dan b → kurang daripada 90 darjah atau sama dengan 0: n p b → a → = n p b → a → → dengan keadaan 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• sifar dengan syarat a → dan b → berserenjang: n p b → a → = 0, apabila (a → , b → ^) = 90 °;
• panjang unjuran a → ke L, didarab dengan -1, apabila terdapat sudut tumpul atau lurus bagi vektor a → dan b →: n p b → a → = - n p b → a → → dengan keadaan 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Contoh 5

Diberi panjang unjuran a → ke L, sama dengan 2. Cari unjuran berangka a → dengan syarat sudut ialah 5 π 6 radian.

Penyelesaian

Daripada keadaan itu adalah jelas bahawa sudut ini adalah tumpul: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Jawapan:- 2.

Contoh 6

Diberi satah O x y z dengan panjang vektor a → sama dengan 6 3, b → (- 2, 1, 2) dengan sudut 30 darjah. Cari koordinat unjuran a → pada paksi L.

Penyelesaian

Mula-mula, kita mengira unjuran berangka bagi vektor a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Mengikut keadaan, sudut adalah akut, maka unjuran berangka a → = panjang unjuran vektor a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Kes ini menunjukkan bahawa vektor n p L a → → dan b → diarahkan bersama, yang bermaksud terdapat nombor t yang mana persamaannya adalah benar: n p L a → → = t · b → . Dari sini kita lihat bahawa n p L a → → = t · b → , yang bermaksud kita boleh mencari nilai parameter t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Kemudian n p L a → → = 3 · b → dengan koordinat unjuran vektor a → pada paksi L sama dengan b → = (- 2 , 1 , 2) , di mana perlu untuk mendarab nilai dengan 3. Kami mempunyai n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Jawapan: (- 6, 3, 6).

Adalah perlu untuk mengulangi maklumat yang telah dipelajari sebelum ini tentang keadaan kolineariti vektor.

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Biarkan dua vektor dan diberi dalam ruang. Mari kita tangguhkan dari titik sewenang-wenangnya O vektor dan . sudut antara vektor dipanggil sudut terkecil. Ditetapkan .

Pertimbangkan paksi l dan plotkan vektor unit padanya (iaitu, vektor yang panjangnya sama dengan satu).

Pada sudut antara vektor dan paksi l memahami sudut antara vektor dan .

Jadi biarlah l ialah beberapa paksi dan merupakan vektor.

Mari kita nyatakan dengan A 1 Dan B 1 unjuran ke paksi l mata masing-masing A Dan B. Mari kita berpura-pura itu A 1 mempunyai koordinat x 1, A B 1– menyelaras x 2 pada paksi l.

Kemudian unjuran vektor per paksi l dipanggil perbezaan x 1 – x 2 antara koordinat unjuran penghujung dan permulaan vektor pada paksi ini.

Unjuran vektor pada paksi l kami akan menandakan.

Adalah jelas bahawa jika sudut antara vektor dan paksi l pedas kemudian x 2> x 1, dan unjuran x 2 – x 1> 0; jika sudut ini tumpul, maka x 2< x 1 dan unjuran x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Itu x 2= x 1 Dan x 2– x 1=0.

Oleh itu, unjuran vektor ke paksi l ialah panjang segmen A 1 B 1, diambil dengan tanda tertentu. Oleh itu, unjuran vektor pada paksi ialah nombor atau skalar.

Unjuran satu vektor ke yang lain ditentukan dengan cara yang sama. Dalam kes ini, unjuran hujung vektor ini pada garis yang terletak pada vektor ke-2 ditemui.

Mari kita lihat beberapa asas sifat unjuran.

SISTEM VEKTOR BERGANTUNG LINEAR DAN LINEAR

Mari kita pertimbangkan beberapa vektor.

Gabungan linear daripada vektor ini ialah sebarang vektor dalam bentuk , di mana terdapat beberapa nombor. Nombor-nombor itu dipanggil pekali gabungan linear. Mereka juga mengatakan bahawa dalam kes ini ia dinyatakan secara linear melalui vektor ini, i.e. diperoleh daripada mereka menggunakan tindakan linear.

Sebagai contoh, jika tiga vektor diberikan, maka vektor berikut boleh dianggap sebagai gabungan linearnya:

Jika vektor diwakili sebagai gabungan linear beberapa vektor, maka ia dikatakan ditetapkan sepanjang vektor ini.

Vektor dipanggil bergantung secara linear, jika terdapat nombor, tidak semua sama dengan sifar, supaya . Adalah jelas bahawa vektor yang diberikan akan bergantung secara linear jika mana-mana vektor ini dinyatakan secara linear dari segi yang lain.

Jika tidak, i.e. apabila nisbah dilakukan hanya apabila , vektor ini dipanggil bebas linear.

Teorem 1. Mana-mana dua vektor adalah bergantung secara linear jika dan hanya jika ia adalah kolinear.

Bukti:

Teorem berikut boleh dibuktikan dengan cara yang sama.

Teorem 2. Tiga vektor bergantung secara linear jika dan hanya jika ia adalah koplanar.

Bukti.

ASAS

Asas ialah koleksi vektor bebas linear bukan sifar. Kami akan menandakan unsur asas dengan .

Dalam perenggan sebelumnya, kita melihat bahawa dua vektor bukan kolinear pada satah adalah bebas secara linear. Oleh itu, menurut Teorem 1 dari perenggan sebelumnya, asas pada satah ialah mana-mana dua vektor bukan kolinear pada satah ini.

Begitu juga, mana-mana tiga vektor bukan koplanar adalah bebas secara linear dalam ruang. Akibatnya, kami memanggil tiga vektor bukan koplanar sebagai asas dalam ruang.

Pernyataan berikut adalah benar.

Teorem. Biarkan asas diberikan dalam ruang. Kemudian mana-mana vektor boleh diwakili sebagai gabungan linear , Di mana x, y, z- beberapa nombor. Ini adalah satu-satunya penguraian.

Bukti.

Oleh itu, asas membolehkan setiap vektor dikaitkan secara unik dengan tiga nombor - pekali pengembangan vektor ini ke dalam vektor asas: . Sebaliknya juga benar, untuk setiap tiga nombor x, y, z menggunakan asas, anda boleh membandingkan vektor jika anda membuat gabungan linear .

Jika asas dan , kemudian nombor x, y, z dipanggil koordinat vektor dalam asas tertentu. Koordinat vektor dilambangkan dengan .

SISTEM KOORDINAT CARTESIAN

Biarkan satu mata diberikan dalam ruang O dan tiga vektor bukan koplanar.

Sistem koordinat kartesian dalam angkasa (di atas satah) ialah pengumpulan titik dan asas, i.e. satu set titik dan tiga vektor bukan koplanar (2 vektor bukan kolinear) yang terpancar dari titik ini.

titik O dipanggil asal usul; garis lurus yang melalui asal koordinat dalam arah vektor asas dipanggil paksi koordinat - paksi absis, ordinat dan gunaan. Satah yang melalui paksi koordinat dipanggil satah koordinat.

Pertimbangkan titik arbitrari dalam sistem koordinat yang dipilih M. Mari kita perkenalkan konsep koordinat titik M. Vektor yang menyambungkan asal ke titik M. dipanggil vektor jejari mata M.

Vektor dalam asas yang dipilih boleh dikaitkan dengan tiga nombor - koordinatnya: .

Koordinat vektor jejari titik M. dipanggil koordinat titik M. dalam sistem koordinat yang sedang dipertimbangkan. M(x,y,z). Koordinat pertama dipanggil abscissa, yang kedua ialah ordinat, dan yang ketiga ialah applicate.

Koordinat Cartesian pada satah ditentukan sama. Di sini titik hanya mempunyai dua koordinat - abscissa dan ordinat.

Adalah mudah untuk melihat bahawa untuk sistem koordinat tertentu, setiap titik mempunyai koordinat tertentu. Sebaliknya, bagi setiap tiga nombor terdapat titik unik yang mempunyai nombor ini sebagai koordinat.

Jika vektor yang diambil sebagai asas dalam sistem koordinat yang dipilih mempunyai panjang unit dan berserenjang berpasangan, maka sistem koordinat dipanggil segi empat tepat Cartesian.

Ia adalah mudah untuk menunjukkan bahawa.

Kosinus arah vektor menentukan sepenuhnya arahnya, tetapi tidak mengatakan apa-apa tentang panjangnya.

dan pada paksi atau beberapa vektor lain terdapat konsep unjuran geometri dan unjuran berangka (atau algebra). Hasil unjuran geometri akan menjadi vektor, dan hasil unjuran algebra akan menjadi nombor nyata bukan negatif. Tetapi sebelum beralih kepada konsep ini, mari kita ingat maklumat yang diperlukan.

Maklumat awal

Konsep utama ialah konsep vektor itu sendiri. Untuk memperkenalkan definisi vektor geometri, mari kita ingat apa itu segmen. Mari kita perkenalkan definisi berikut.

Definisi 1

Segmen ialah sebahagian daripada garisan yang mempunyai dua sempadan dalam bentuk titik.

Segmen boleh mempunyai 2 arah. Untuk menunjukkan arah, kami akan memanggil salah satu sempadan segmen sebagai permulaannya, dan sempadan lain sebagai penghujungnya. Arah ditunjukkan dari awal hingga akhir segmen.

Definisi 2

Vektor atau segmen terarah akan menjadi segmen yang mana ia diketahui sempadan segmen yang dianggap sebagai permulaan dan yang mana penghujungnya.

Jawatan: Dalam dua huruf: $\overline(AB)$ – (di mana $A$ ialah permulaannya dan $B$ ialah penghujungnya).

Dalam satu huruf kecil: $\overline(a)$ (Gamb. 1).

Mari kita perkenalkan beberapa lagi konsep yang berkaitan dengan konsep vektor.

Definisi 3

Kami akan memanggil dua vektor bukan sifar kolinear jika ia terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari antara satu sama lain (Rajah 2).

Definisi 4

Kami akan memanggil dua vektor bukan sifar sebagai kodirectional jika ia memenuhi dua syarat:

1. Vektor ini adalah kolinear.
2. Jika ia diarahkan ke satu arah (Rajah 3).

Notasi: $\overline(a)\overline(b)$

Definisi 5

Kami akan memanggil dua vektor bukan sifar berlawanan arah jika ia memenuhi dua syarat:

1. Vektor ini adalah kolinear.
2. Jika ia diarahkan ke arah yang berbeza (Rajah 4).

Notasi: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definisi 6

Panjang vektor $\overline(a)$ akan menjadi panjang segmen $a$.

Notasi: $|\overline(a)|$

Mari kita teruskan untuk menentukan kesamaan dua vektor

Definisi 7

Kami akan memanggil dua vektor sama jika ia memenuhi dua syarat:

1. Mereka adalah arah bersama;
2. Panjangnya adalah sama (Rajah 5).

Unjuran geometri

Seperti yang kita katakan sebelum ini, hasil unjuran geometri akan menjadi vektor.

Definisi 8

Unjuran geometri bagi vektor $\overline(AB)$ ke atas paksi ialah vektor yang diperoleh seperti berikut: Titik asal bagi vektor $A$ diunjurkan ke paksi ini. Kami memperoleh titik $A"$ - permulaan vektor yang dikehendaki. Titik akhir vektor $B$ diunjurkan ke paksi ini. Kami memperoleh titik $B"$ - penghujung vektor yang dikehendaki. Vektor $\overline(A"B")$ akan menjadi vektor yang dikehendaki.

Mari kita pertimbangkan masalahnya:

Contoh 1

Bina satu unjuran geometri $\overline(AB)$ pada paksi $l$ yang ditunjukkan dalam Rajah 6.

Mari kita lukis serenjang dari titik $A$ ke paksi $l$, kita memperoleh titik $A"$ di atasnya. Seterusnya, kita melukis serenjang dari titik $B$ ke paksi $l$, kita memperoleh titik $B "$ di atasnya (Gamb. 7).

Mengunjurkan pelbagai garisan dan permukaan ke atas satah membolehkan anda membina imej visual objek dalam bentuk lukisan. Kami akan mempertimbangkan unjuran segi empat tepat, di mana sinar unjuran adalah berserenjang dengan satah unjuran. Unjuran VEKTOR PADA PESAWAT pertimbangkan vektor = (Rajah 3.22), yang disertakan di antara serenjang yang ditinggalkan dari permulaan dan penghujungnya.

nasi. 3.23. Unjuran vektor bagi vektor pada paksi.

Dalam algebra vektor, selalunya perlu untuk menayangkan vektor pada AXIS, iaitu, pada garis lurus yang mempunyai orientasi tertentu. Reka bentuk sedemikian adalah mudah jika vektor dan paksi L terletak pada satah yang sama (Rajah 3.23). Walau bagaimanapun, tugas menjadi lebih sukar apabila syarat ini tidak dipenuhi. Mari kita bina unjuran vektor pada paksi apabila vektor dan paksi tidak terletak pada satah yang sama (Rajah 3.24).

nasi. 3.24. Mengunjurkan vektor pada paksi
secara umum.

Melalui hujung vektor kita melukis satah berserenjang dengan garis L. Di persimpangan dengan garis ini, satah ini menentukan dua titik A1 dan B1 - vektor, yang akan kita panggil unjuran vektor vektor ini. Masalah mencari unjuran vektor boleh diselesaikan dengan lebih mudah jika vektor dibawa ke dalam satah yang sama dengan paksi, yang boleh dilakukan kerana vektor bebas dianggap dalam algebra vektor.

Bersama-sama dengan unjuran vektor, terdapat juga unjuran SKALAR, yang sama dengan modulus unjuran vektor jika unjuran vektor bertepatan dengan orientasi paksi L, dan sama dengan nilai yang bertentangan jika unjuran vektor dan L paksi mempunyai orientasi yang bertentangan. Kami akan menandakan unjuran skalar:

Unjuran vektor dan skalar tidak selalu dipisahkan secara istilah secara ketat dalam amalan. Istilah "unjuran vektor" biasanya digunakan, bermaksud unjuran skalar bagi vektor. Apabila membuat keputusan, adalah perlu untuk membezakan dengan jelas antara konsep-konsep ini. Mengikuti tradisi yang telah ditetapkan, kami akan menggunakan istilah "unjuran vektor", yang bermaksud unjuran skalar, dan "unjuran vektor" - selaras dengan maksud yang ditetapkan.

Mari kita buktikan teorem yang membolehkan kita mengira unjuran skalar bagi vektor tertentu.

TEOREM 5. Unjuran vektor pada paksi L adalah sama dengan hasil darab modulusnya dan kosinus sudut antara vektor dan paksi, iaitu

(3.5)

nasi. 3.25. Mencari vektor dan skalar
Unjuran vektor pada paksi L
(dan paksi L adalah sama berorientasikan).

BUKTI. Mari kita mula-mula menjalankan pembinaan yang membolehkan kita mencari sudut G Di antara vektor dan paksi L Untuk melakukan ini, kita akan membina garis lurus MN, selari dengan paksi L dan melalui titik O - permulaan vektor (Rajah 3.25). Sudut akan menjadi sudut yang dikehendaki. Mari kita lukis dua satah melalui titik A dan O, berserenjang dengan paksi L.

Oleh kerana paksi L dan garis lurus MN adalah selari.

Mari kita serlahkan dua kes kedudukan relatif vektor dan paksi L.

1. Biarkan unjuran vektor dan paksi L adalah sama berorientasikan (Rajah 3.25). Kemudian unjuran skalar yang sepadan .

2. Biarkan dan L berorientasikan arah yang berbeza (Rajah 3.26).

nasi. 3.26. Mencari unjuran vektor dan skalar vektor pada paksi L (dan paksi L berorientasikan arah bertentangan).

Oleh itu, dalam kedua-dua kes teorem adalah benar.

TEOREM 6. Jika asal vektor dibawa ke titik tertentu pada paksi L, dan paksi ini terletak di satah s, vektor membentuk sudut dengan unjuran vektor pada satah s, dan sudut dengan vektor unjuran pada paksi L, sebagai tambahan, unjuran vektor itu sendiri membentuk sudut antara satu sama lain , Itu