Fungsi adalah salah satu konsep matematik yang paling penting. Fungsi - ketergantungan berubah di dari pemboleh ubah xsekiranya setiap nilai x sepadan dengan satu-satunya nilai di... Pembolehubah x disebut pemboleh ubah bebas atau hujah. Pembolehubah di dipanggil pemboleh ubah bersandar. Semua nilai pemboleh ubah bebas (pemboleh ubah x) bentuk domain definisi fungsi. Semua nilai bahawa pemboleh ubah bersandar (pemboleh ubah y, bentuk julat nilai fungsi.

Graf fungsi himpunan semua titik satah koordinat disebut, abses yang sama dengan nilai argumen, dan ordinat sama dengan nilai fungsi yang sesuai, iaitu nilai pemboleh ubah diplotkan sepanjang paksi absis x, dan ordinat mewakili nilai pemboleh ubah y... Untuk memplot grafik fungsi, anda perlu mengetahui sifat fungsi tersebut. Sifat utama fungsi akan dibincangkan kemudian!

Untuk membuat grafik fungsi, kami mengesyorkan menggunakan program kami - Fungsi Grafik Dalam Talian. Sekiranya anda mempunyai sebarang pertanyaan semasa mempelajari bahan di halaman ini, anda selalu boleh bertanya di forum kami. Juga, forum ini akan membantu anda menyelesaikan masalah dalam matematik, kimia, geometri, teori kebarangkalian dan banyak subjek lain!

Sifat asas fungsi.

1) Domain fungsi dan domain nilai fungsi.

Skop fungsi adalah sekumpulan semua nilai argumen yang sah x (pemboleh ubah x) yang mana fungsi y \u003d f (x) ditakrifkan.
Julat fungsi adalah sekumpulan semua nilai sebenar ybahawa fungsi itu diterima.

Dalam matematik sekolah rendah, fungsi dipelajari hanya pada set nombor nyata.

2) Sifar fungsi.

Nilai-nilai xdi mana y \u003d 0dipanggil sifar fungsi... Ini adalah abses titik persilangan graf fungsi dengan paksi Ox.

3) Selang keteguhan fungsi.

Selang fungsi tanda tetap - selang nilai seperti itu x, di mana nilai fungsi y sama ada positif, atau negatif sahaja, disebut selang pemalar fungsi.

4) Monotonik fungsi.

Fungsi yang meningkat (dalam selang waktu tertentu) adalah fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari selang ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Fungsi penurunan (dalam selang waktu tertentu) - fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari selang ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

5) Fungsi pariti (ganjil).

Fungsi genap adalah fungsi yang definisi domainnya simetri mengenai asal usul dan untuk mana-mana x f (-x) \u003d f (x)... Graf fungsi sekata adalah simetri mengenai paksi ordinat.

Fungsi ganjil adalah fungsi yang definisi domainnya simetri mengenai asal usul dan mana-mana x dari domain definisi, persamaan f (-x) \u003d - f (x). Graf fungsi ganjil adalah simetri mengenai asal usul.

Malah berfungsi
1) Domain definisi adalah simetri mengenai titik (0; 0), iaitu jika titik a tergolong dalam domain definisi, maka intinya -a juga tergolong dalam domain definisi.
2) Untuk sebarang nilai x f (-x) \u003d f (x)
3) Graf fungsi sekata adalah simetri mengenai paksi Oy.

Fungsi ganjil mempunyai sifat berikut:
1) Domain definisi adalah simetri mengenai titik (0; 0).
2) untuk sebarang nilai xkepunyaan domain definisi, persamaan f (-x) \u003d - f (x)
3) Graf fungsi ganjil adalah simetri mengenai asal usul (0; 0).

Tidak setiap fungsi ganjil atau genap. Fungsi pandangan umum tidak sama rata dan ganjil.

6) Fungsi terhad dan tidak terhad.

Fungsi dipanggil terikat jika terdapat nombor positif M sehingga | f (x) | ≤ M untuk semua nilai x. Sekiranya tidak ada nombor tersebut, maka fungsinya tidak terhad.

7) Berkala fungsi.

Fungsi f (x) adalah berkala jika terdapat nombor bukan nol T sehingga bagi mana-mana x dari domain fungsi berikut ini berlaku: f (x + T) \u003d f (x). Bilangan terkecil ini disebut tempoh fungsi. Semua fungsi trigonometri berkala. (Formula trigonometri).

Fungsi f disebut berkala jika ada bilangan sedemikian untuk mana-mana x dari domain, persamaan f (x) \u003d f (x-T) \u003d f (x + T). T adalah tempoh fungsi.

Apa-apa fungsi berkala mempunyai jangka masa yang tidak terhingga. Dalam praktiknya, tempoh positif terpendek biasanya dipertimbangkan.

Nilai fungsi berkala diulang selepas selang sama dengan noktah. Ini digunakan semasa membina grafik.

Untuk melakukan ini, gunakan kertas graf atau kalkulator grafik. Pilih pelbagai nilai pemboleh ubah penjelasan angka x (\\ gaya paparan x) dan pasangkannya ke fungsi untuk mengira nilai pemboleh ubah bersandar y (\\ gaya paparan y)... Lukiskan koordinat titik-titik yang terdapat pada satah koordinat, dan kemudian sambungkan titik-titik ini untuk membina graf fungsi.

• Gantikan nilai numerik positif ke dalam fungsi x (\\ gaya paparan x) dan nilai numerik negatif yang sepadan. Contohnya, diberi fungsi. Masukkan nilai berikut x (\\ gaya paparan x):
  • f (1) \u003d 2 (1) 2 + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3 (\\ gaya paparan f (1) \u003d 2 (1) ^ (2) + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3) (1, 3) (\\ gaya paparan (1,3)).
  • f (2) \u003d 2 (2) 2 + 1 \u003d 2 (4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9 (\\ gaya paparan f (2) \u003d 2 (2) ^ (2) + 1 \u003d 2 (4) +1 \u003d 8 + 1 \u003d 9)... Mendapat titik dengan koordinat (2, 9) (\\ gaya paparan (2.9)).
  • f (- 1) \u003d 2 (- 1) 2 + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3 (\\ displaystyle f (-1) \u003d 2 (-1) ^ (2) + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3)... Mendapat titik dengan koordinat (- 1, 3) (\\ gaya tampilan (-1,3)).
  • f (- 2) \u003d 2 (- 2) 2 + 1 \u003d 2 (4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9 (\\ displaystyle f (-2) \u003d 2 (-2) ^ (2) + 1 \u003d 2 ( 4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9)... Mendapat titik dengan koordinat (- 2, 9) (\\ displaystyle (-2.9)).

Ketergantungan pemboleh ubah y pada pemboleh ubah x, di mana setiap nilai x sepadan dengan satu nilai y disebut fungsi. Notasi ialah y \u003d f (x). Setiap fungsi mempunyai sebilangan sifat asas, seperti monotonik, paritas, berkala, dan lain-lain.

Pertimbangkan harta pariti dengan lebih terperinci.

Fungsi y \u003d f (x) dipanggil walaupun memenuhi dua syarat berikut:

2. Nilai fungsi pada titik x milik domain fungsi mestilah sama dengan nilai fungsi pada titik -x. Iaitu, untuk mana-mana titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut mesti dipenuhi f (x) \u003d f (-x).

Graf fungsi genap

Sekiranya anda membina graf fungsi genap, simetri akan paksi Oy.

Contohnya, fungsi y \u003d x ^ 2 adalah genap. Mari kita periksa. Kawasan definisi adalah paksi nombor keseluruhan, yang bermaksud bahawa ia adalah simetri mengenai titik O.

Ambil sewenang-wenangnya x \u003d 3. f (x) \u003d 3 ^ 2 \u003d 9.

f (-x) \u003d (- 3) ^ 2 \u003d 9. Oleh itu f (x) \u003d f (-x). Oleh itu, kedua-dua syarat itu dipenuhi, sehingga fungsinya sama rata. Di bawah adalah graf fungsi y \u003d x ^ 2.

Rajah menunjukkan bahawa graf itu simetri mengenai paksi Oy.

Graf fungsi ganjil

Fungsi y \u003d f (x) dipanggil ganjil jika memenuhi dua syarat berikut:

1. Domain fungsi ini mestilah simetri berkenaan dengan titik O. Maksudnya, jika beberapa titik a termasuk dalam domain fungsi, maka titik yang sesuai -a juga harus termasuk dalam domain fungsi yang diberikan.

2. Untuk titik x apa pun, dari domain fungsi, persamaan berikut mesti dipenuhi f (x) \u003d -f (x).

Graf fungsi ganjil adalah simetri mengenai titik O - asal. Contohnya, fungsi y \u003d x ^ 3 adalah ganjil. Mari kita periksa. Kawasan definisi adalah paksi nombor keseluruhan, yang bermaksud bahawa ia adalah simetri mengenai titik O.

Ambil sewenang-wenang x \u003d 2. f (x) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.

f (-x) \u003d (- 2) ^ 3 \u003d -8. Oleh itu f (x) \u003d -f (x). Oleh itu, kedua-dua syarat itu dipenuhi, yang bermaksud bahawa fungsinya ganjil. Di bawah adalah graf fungsi y \u003d x ^ 3.

Rajah menunjukkan dengan jelas bahawa fungsi ganjil y \u003d x ^ 3 adalah simetri mengenai asal usulnya.

Keseragaman dan keanehan fungsi adalah salah satu sifat utamanya, dan keseimbangan menduduki bahagian yang mengagumkan dalam kursus matematik sekolah. Ini sebahagian besarnya menentukan sifat tingkah laku fungsi dan sangat memudahkan pembinaan graf yang sesuai.

Mari tentukan pariti fungsi. Secara amnya, fungsi yang dikaji dipertimbangkan walaupun untuk nilai bertentangan pemboleh ubah bebas (x) yang berada dalam domain definisi, nilai y (fungsi) yang sesuai berubah menjadi sama.

Mari kita memberikan definisi yang lebih ketat. Pertimbangkan beberapa fungsi f (x), yang ditentukan dalam domain D. Ia akan berlaku walaupun untuk titik x yang terletak di domain definisi:

• -x (titik bertentangan) juga terdapat dalam skop ini,

• f (-x) \u003d f (x).

Definisi di atas menyiratkan syarat yang diperlukan untuk domain definisi fungsi tersebut, iaitu, simetri mengenai titik O, yang merupakan asal, kerana jika beberapa titik b terkandung dalam domain fungsi genap, maka titik - b yang sesuai juga terletak pada domain ini. Oleh itu, kesimpulan berikut dari perkara di atas: fungsi genap mempunyai bentuk simetri berkenaan dengan paksi ordinat (Oy).

Bagaimana untuk menentukan pariti fungsi dalam praktik?

Biarkan ia diberikan dengan menggunakan formula h (x) \u003d 11 ^ x + 11 ^ (- x). Mengikuti algoritma yang mengikuti secara langsung dari definisi, pertama-tama kita menyiasat domain definisi. Jelas, ia ditentukan untuk semua nilai argumen, iaitu syarat pertama dipenuhi.

Langkah seterusnya adalah menggantikan nilai lawannya (-x) dengan argumen (x).
Kita mendapatkan:
h (-x) \u003d 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Oleh kerana penambahan memenuhi undang-undang komutatif (tergantikan), jelas bahawa h (-x) \u003d h (x) dan kebergantungan fungsional yang diberikan adalah sama.

Periksa keseimbangan fungsi h (x) \u003d 11 ^ x-11 ^ (- x). Mengikuti algoritma yang sama, kita mendapat h (-x) \u003d 11 ^ (- x) -11 ^ x. Mengeluarkan tolak, pada akhirnya, kita ada
h (-x) \u003d - (11 ^ x-11 ^ (- x)) \u003d - h (x). Oleh itu, h (x) adalah ganjil.

Ngomong-ngomong, harus diingat bahawa ada fungsi yang tidak dapat diklasifikasikan menurut kriteria ini, mereka tidak disebut genap atau ganjil.

Malah fungsi mempunyai sejumlah sifat menarik:

• hasil penambahan fungsi tersebut, fungsi genap diperoleh;
• akibat pengurangan fungsi tersebut, fungsi genap diperoleh;
• genap, juga sekata;
• sebagai hasil pendaraban dua fungsi tersebut, satu genap diperoleh;
• sebagai hasil penggandaan fungsi ganjil dan genap, yang ganjil diperolehi;
• sebagai hasil pembahagian fungsi ganjil dan genap, yang ganjil diperolehi;
• terbitan fungsi sedemikian adalah ganjil;
• jika kita mengunakan fungsi ganjil, kita akan mendapat fungsi genap

Fungsi pariti boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan.

Untuk menyelesaikan persamaan jenis g (x) \u003d 0, di mana sisi kiri persamaan adalah fungsi genap, cukup untuk mencari penyelesaiannya untuk nilai bukan negatif pemboleh ubah. Akar persamaan yang dihasilkan mesti digabungkan dengan nombor yang berlawanan. Salah satunya tertakluk kepada pengesahan.

Ini juga berjaya digunakan untuk menyelesaikan masalah bukan standard dengan parameter.

Sebagai contoh, adakah nilai untuk parameter a yang persamaan 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 \u003d 1 akan mempunyai tiga punca?

Sekiranya kita mengambil kira bahawa pemboleh ubah dimasukkan dalam persamaan dalam kuasa genap, maka jelas bahawa menggantikan x dengan - x tidak mengubah persamaan yang diberikan. Ini menunjukkan bahawa jika beberapa nombor adalah akarnya, maka nombor yang berlawanan juga sama. Kesimpulannya jelas: akar persamaan bukan sifar memasukkan set penyelesaiannya dalam "pasangan".

Jelas bahawa nombor 0 itu sendiri bukan, iaitu, jumlah punca persamaan seperti itu hanya dapat genap dan, secara semula jadi, tanpa nilai parameter, ia tidak boleh mempunyai tiga akar.

Tetapi bilangan punca persamaan 2 ^ x + 2 ^ (- x) \u003d ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 boleh jadi ganjil, dan untuk sebarang nilai parameter. Memang mudah untuk memeriksa bahawa set akar persamaan ini mengandungi penyelesaian dalam "pasangan". Mari kita periksa sama ada 0 adalah punca. Semasa menggantikannya ke dalam persamaan, kita mendapat 2 \u003d 2. Oleh itu, sebagai tambahan kepada "berpasangan", 0 juga merupakan akar, yang membuktikan bilangan ganjilnya.

Menukar carta.

Huraian lisan fungsi.

Cara grafik.

Kaedah grafik untuk menentukan fungsi adalah yang paling visual dan sering digunakan dalam teknologi. Dalam analisis matematik, kaedah grafik untuk menentukan fungsi digunakan sebagai ilustrasi.

Graf fungsi f adalah sekumpulan semua titik (x; y) satah koordinat, di mana y \u003d f (x), dan x "melintasi" seluruh domain fungsi ini.

Subset satah koordinat adalah graf fungsi mana-mana jika mempunyai paling banyak titik bersama dengan garis lurus yang selari dengan paksi-y.

Contohnya. Adakah graf fungsi bentuk ditunjukkan di bawah?

Kelebihan tugas grafik adalah kejelasannya. Anda dapat dengan segera melihat bagaimana fungsi tersebut berfungsi, di mana fungsi tersebut meningkat, di mana fungsi tersebut menurun. Beberapa ciri penting fungsi dapat dikenali dengan segera dari grafik.

Secara amnya, kaedah analisis dan grafik untuk menentukan fungsi berjalan seiringan. Bekerja dengan formula membantu membina graf. Grafik sering menunjukkan penyelesaian yang anda tidak akan perhatikan dalam formula.

Hampir mana-mana pelajar mengetahui tiga cara menentukan fungsi yang baru sahaja kita lihat.

Mari cuba jawab soalan: "Apakah ada cara lain untuk menentukan fungsi?"

Ada cara seperti itu.

Fungsinya dapat dinyatakan dengan jelas dalam perkataan.

Sebagai contoh, fungsi y \u003d 2x dapat ditentukan dalam keterangan lisan berikut: setiap nilai sebenar argumen x dikaitkan dengan nilai dua kali ganda. Peraturan ditetapkan, fungsi ditetapkan.

Lebih-lebih lagi, adalah mungkin untuk menentukan fungsi secara lisan, yang sangat sukar, jika tidak mustahil, untuk ditentukan dengan formula.

Contohnya: setiap nilai argumen semula jadi x dikaitkan dengan jumlah digit yang membentuk nilai x. Contohnya, jika x \u003d 3, maka y \u003d 3. Sekiranya x \u003d 257, maka y \u003d 2 + 5 + 7 \u003d 14. Dan lain-lain. Adalah bermasalah untuk menuliskannya dengan formula. Tetapi tandanya senang dibuat.

Kaedah penerangan secara lisan adalah kaedah yang agak jarang digunakan. Tetapi kadang-kadang ia berlaku.

Sekiranya terdapat hukum korespondensi satu-ke-satu antara x dan y, maka ada fungsi. Undang-undang apa, dalam bentuk apa yang dinyatakan - dengan formula, tablet, jadual, kata - tidak mengubah intipati perkara itu.

Pertimbangkan fungsi yang definisi domainnya simetri mengenai asal usulnya, iaitu. untuk sesiapa x dari domain, nombor (- x) juga tergolong dalam domain definisi. Antara fungsi tersebut adalah genap dan ganjil.

Definisi.Fungsi f dipanggil sekatajika ada x dari skopnya

Contohnya. Pertimbangkan fungsinya

Dia sama rata. Mari kita periksa.

Untuk sesiapa x persamaan yang ada

Oleh itu, kedua-dua syarat itu dipenuhi, sehingga fungsinya sama rata. Berikut adalah graf fungsi ini.

Definisi.Fungsi f dipanggil ganjiljika ada x dari skopnya

Contohnya. Pertimbangkan fungsinya

Dia ganjil. Mari kita periksa.

Kawasan definisi adalah paksi nombor keseluruhan, yang bermaksud bahawa ia adalah simetri mengenai titik (0; 0).

Untuk sesiapa x persamaan yang ada

Oleh itu, kedua-dua syarat itu dipenuhi, yang bermaksud bahawa fungsinya ganjil. Berikut adalah graf fungsi ini.

Grafik yang ditunjukkan pada angka pertama dan ketiga adalah simetri mengenai paksi ordinat, dan grafik yang ditunjukkan pada angka kedua dan keempat adalah simetri mengenai asal usul.

Fungsi manakah yang grafnya ditunjukkan dalam gambar genap dan yang ganjil?