Persamaan pembezaan perintah pertama. Contoh penyelesaian. Persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang memisahkan. Menyelesaikan persamaan perbezaan dalam talian

Bahagian tapak

Pilihan Editor:

Mengiklankan

yang utama - Juruelektrik

permohonan

Menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian ke laman web untuk mengikat bahan kepada pelajar yang diluluskan. Dan melatih kemahiran praktikal anda. Persamaan pembezaan dalam talian. Difura dalam talian, penyelesaian matematik dalam talian. Penyelesaian langkah demi langkah tugas matematik dalam talian. Perintah, atau tahap persamaan pembezaan - perintah tertinggi derivatif yang termasuk di dalamnya. Persamaan pembezaan dalam talian. Proses menyelesaikan persamaan pembezaan dipanggil integrasi. Tugas untuk mengintegrasikan persamaan pembezaan dianggap dapat diselesaikan jika fungsi yang tidak diketahui dikesan untuk membawa kepada kuadratur, tanpa mengira sama ada yang diperolehi yang diperoleh akhirnya dinyatakan melalui fungsi yang diketahui atau tidak. Penyelesaian langkah demi langkah persamaan pembezaan dalam talian. Semua persamaan pembezaan boleh dibahagikan kepada biasa (ODU), yang merangkumi hanya fungsi (dan derivatif mereka) dari satu hujah, dan persamaan dengan derivatif persendirian (DRRD) di mana fungsi masuk bergantung kepada banyak pembolehubah. Persamaan pembezaan dalam talian. Terdapat juga persamaan pembezaan stokastik (SDU), termasuk proses rawak. Penyelesaian langkah demi langkah persamaan pembezaan dalam talian. Bergantung kepada kombinasi derivatif, fungsi, pembolehubah bebas, persamaan pembezaan dibahagikan kepada linear dan tidak linear, dengan koefisien tetap atau berubah-ubah, homogen atau tidak berdaya. Oleh kerana kepentingan aplikasi dalam kelas berasingan, persamaan pembezaan dalam derivatif persendirian yang terpencil. Keputusan persamaan pembezaan dibahagikan kepada penyelesaian yang sama dan swasta. Persamaan pembezaan dalam talian. Penyelesaian umum termasuk pemalar yang tidak ditentukan, dan untuk persamaan dalam derivatif persendirian - fungsi sewenang-wenang dari pembolehubah bebas, yang boleh diperhalusi dari syarat-syarat tambahan untuk integrasi (keadaan awal untuk persamaan pembezaan biasa, keadaan awal dan sempadan untuk persamaan dalam derivatif persendirian). Penyelesaian langkah demi langkah persamaan pembezaan dalam talian. Selepas menentukan spesies fungsi tetap dan tidak terbatas, penyelesaian menjadi peribadi. Mencari penyelesaian persamaan pembezaan biasa membawa kepada penubuhan kelas fungsi khas - sering dijumpai dalam aplikasi fungsi yang tidak dinyatakan melalui fungsi asas yang diketahui. Persamaan pembezaan dalam talian. Ciri-ciri mereka dipelajari secara terperinci, jadual nilai telah disediakan, hubungan bersama telah ditentukan, dan sebagainya. . Pelbagai nombor tersenarai boleh diterokai. Jawapan yang terbaik untuk tugas itu. Bagaimana untuk mencari dalam penghampiran pertama vektor yang keluar ke rantau penumpuan mengenai persamaan pembezaan tanpa mencari asas yang dijumpai. Pilihannya adalah jelas untuk meningkatkan fungsi matematik. Terdapat kaedah yang progresif ke atas tahap penyelidikan. Align atas keadaan awal tugas, penyelesaian pembezaan akan membantu untuk mencari nilai yang dipilih yang tidak jelas. Ia mungkin supaya tidak diketahui dengan serta-merta. Seperti dalam contoh terdahulu, pada petunjuk penyelesaian untuk masalah matematik, persamaan pembezaan linear mempunyai jawapan kepada tugas yang ditetapkan secara khusus pada masa yang ditetapkan. Secara tempatan tidak menentukan prosedur penyelidikan. Ia akan menjadi contoh yang ditemui untuk setiap pelajar dan penyelesaian persamaan pembezaan akan menentukan minimum yang diberikan kepada pelukis yang bertanggungjawab sekurang-kurangnya dua nilai. Mengambil beberapa segmen fungsi nilai umum dan memberi amaran di mana paksi akan menjadi rehat. Selepas mengkaji persamaan pembezaan dalam talian, adalah mungkin untuk menunjukkan berapa banyak hasil yang penting, jika itu disediakan dari keadaan awal. Potong kawasan dari definisi fungsi tidak mungkin, kerana tidak ada definisi untuk tugas itu. Ditemui dari sistem persamaan, tindak balas mengandungi pembolehubah yang dikira dalam erti kata umum, tetapi untuk menyelesaikan persamaan pembezaan secara online secara semula jadi akan berjaya tanpa tindakan ini untuk menentukan keadaan di atas. Di sebelah segmen segmen ini dapat dilihat sebagai penyelesaian persamaan pembezaan dalam talian yang mampu mempromosikan hasil penyelidikan dalam sisi positif pada masa pemotongan pengetahuan pelajar. Yang terbaik tidak selalu diperolehi oleh pendekatan umum yang diterima untuk perniagaan. Pada tahap zum berganda, anda boleh menggunakan semua persamaan pembezaan linear yang diperlukan dalam pandangan semula jadi, tetapi keupayaan untuk mengira nilai angka akan membawa kepada peningkatan pengetahuan. Menurut sebarang teknik dalam matematik terdapat persamaan pembezaan yang dibentangkan dalam pelbagai ungkapan dalam intipati mereka, seperti homogen atau kompleks. Selepas menjalankan analisis umum fungsi fungsi, ia menjadi jelas bahawa penyelesaian perbezaan sebanyak mungkin adalah kesilapan yang jelas dalam nilai-nilai tersebut. Kebenaran di dalamnya terletak di dalam ruang di atas garisan abscissa. Di suatu tempat dalam definisi fungsi yang kompleks pada titik tertentu definisi, persamaan pembezaan linear akan dapat mengemukakan jawapan dalam bentuk analisis. Iaitu, secara umum, sebagai intipati. Tiada apa-apa yang akan berubah apabila menggantikan pemboleh ubah. Walau bagaimanapun, adalah perlu untuk melihat minat khusus sebagai tindak balas. Perubahan pada intipati kalkulator sebagai hasilnya, iaitu, sebagai penyelesaian persamaan pembezaan yang berkadar dengan nilai global dilambangkan dalam had penyelesaian yang dikehendaki. Dalam sesetengah kes, amaran ralat besar tidak dapat dielakkan. Persamaan Pembezaan dalam talian Melaksanakan pandangan keseluruhan tugas, tetapi pada akhirnya anda perlu menyediakan sisi positif produk vektor secepat mungkin. Dalam matematik, tidak ada kes-kes yang jarang berlaku dalam teori nombor. Pasti memerlukan cek. Sememangnya, adalah lebih baik untuk memberikan hak ini kepada profesional dalam perniagaan mereka dan menyelesaikan persamaan pembezaan dalam talian akan membantu mereka, kerana pengalaman mereka adalah yang besar dan positif. Perbezaan pada permukaan angka dan kawasan sedemikian rupa sehingga tidak penyelesaian persamaan pembezaan dalam talian akan membolehkan anda melihat, dan set objek yang tidak bersilang adalah sedemikian rupa sehingga garis selari dengan paksi. Akibatnya, anda boleh mendapatkan dua kali lebih banyak nilai. Tidak jelas, idea kami tentang ketepatan rekod secara rasmi menyediakan persamaan pembezaan linear baik di kawasan tontonan dan untuk mengatasi masalah yang disengajakan terhadap kualiti hasilnya. Beberapa kali ia ternyata perbincangan mengenai topik itu, menarik kepada semua pelajar. Sepanjang kajian mengenai kuliah penuh, kami akan menunjukkan perhatian kami terhadap persamaan pembezaan dan bidang pengajian sains, jika ada yang tidak bertentangan dengan kebenaran. Banyak peringkat boleh dielakkan pada permulaan jalan. Sekiranya keputusan berbeza masih pada asasnya sesuatu yang baru untuk pelajar, yang lama tidak dilupakan sama sekali, tetapi berkembang ke masa depan pada kadar pembangunan yang tinggi. Pada mulanya, syarat-syarat untuk tugas dalam matematik menyimpang, tetapi ini ditetapkan dalam perenggan yang betul. Selepas masa definisi yang dinyatakan, kemungkinan hasil yang bergantung pada pelbagai pesawat pergerakan vektor tidak dikecualikan. Kes yang mudah juga diperbetulkan seperti yang dijelaskan persamaan pembezaan linier pada kalkulator secara umum, ia akan lebih cepat dan pengiraan pengiraan tidak akan membawa kepada pendapat yang salah. Hanya lima kes yang dinamakan oleh teori boleh menggerakkan wajah apa yang sedang berlaku. Secara manual mengira nilai dalam nombor akan membantu penyelesaian kami persamaan pembezaan yang sudah ada di peringkat pertama penguraian ruang berfungsi. Di tempat yang betul, perlu mengemukakan satu titik hubungan dengan empat baris dalam nilai umum. Tetapi jika anda perlu mengusir tugas itu, maka ia akan menjadi mudah untuk menyamakan. Data sumber cukup untuk merekabentuk katek dan persamaan pembezaan yang bersebelahan dalam talian di tepi kiri dan permukaan adalah arah satu sisi ke vektor rotan. Di atas had atas adalah nilai berangka yang melebihi keadaan yang ditetapkan. Mengambil kira formula matematik dan menyelesaikan persamaan kebezaan dalam talian kerana ketiga-tiga yang tidak diketahui dalam nilai keseluruhan perkadaran yang mungkin. Kaedah pengiraan tempatan diiktiraf sah. Sistem koordinat adalah segi empat tepat dalam pergerakan relatif pesawat. Penyelesaian umum persamaan pembezaan dalam talian membolehkan anda untuk menyimpulkan kesimpulan yang memihak kepada giliran yang dikira melalui definisi matriks di seluruh baris, yang terletak di atas graf yang dinyatakan dalam bentuk yang jelas. Penyelesaiannya disekat jika vektor gerakan digunakan pada titik hubungan tiga hemisfera. Silinder diperoleh dengan berputar persegi panjang di sekitar sisi dan persamaan pembezaan linear akan dapat menunjukkan arah pergerakan titik mengikut ungkapan yang dinyatakan dalam undang-undang pergerakannya. Data awal adalah setia dan tugas dalam matematik boleh ditukar dengan satu keadaan mudah. Walau bagaimanapun, disebabkan oleh keadaan, memandangkan kerumitan subtask yang diadakan, persamaan pembezaan mempermudahkan proses pengiraan ruang berangka pada tahap ruang tiga dimensi. Adalah mudah untuk membuktikan sebaliknya, tetapi ini boleh dielakkan seperti dalam contoh di atas. Perkara-perkara berikut disediakan dalam matematik tertinggi: apabila tugas diberikan kepada bentuk yang mudah, ia harus diagihkan sebanyak mungkin oleh pelajar yang mungkin. Memegang garisan yang dikenakan ke atas satu sama lain. Keputusan perbezaan masih memperbaharui kelebihan kaedah tersebut pada lengkung baris. Sekiranya tidak perlu mengenali pada permulaan, formula matematik akan menjadi nilai baru ungkapan. Matlamatnya adalah pendekatan yang optimum untuk menyelesaikan tugas yang ditetapkan oleh profesor. Ia tidak sepatutnya diandaikan bahawa persamaan pembezaan linear dalam bentuk yang mudah akan melebihi hasil yang diharapkan. Pada permukaan permukaan yang terbatas akan diletakkan tiga vektor. ortogonal satu sama lain. Hitung kerja. Kami menjalankan penambahan bilangan watak yang lebih besar dan dari ekspresi yang dihasilkan semua fungsi berubah-ubah. Terdapat perkadaran. Beberapa tindakan yang mendahului penghitungan, tindak balas yang jelas terhadap penyelesaian persamaan pembezaan tidak akan dibenarkan dengan serta-merta, tetapi hanya selepas tamat masa pada paksi ordinat. Di sebelah kiri titik jurang yang diberikan dalam bentuk tersirat dari fungsi, kami menjalankan paksi, ortogonal yang lebih baik meningkatkan vektor dan persamaan pembezaan dalam talian dengan meletakkan sepanjang nilai sempadan terkecil muka yang lebih rendah objek matematik. Hujah yang berlebihan untuk menyambung fungsi di kawasan pecah. Di sebelah kanan lokasi titik garis garisan untuk menyelesaikan persamaan kebezaan dalam talian akan membantu kami dengan formula membawa kepada penyebut biasa. Satu-satunya pendekatan yang tepat akan membawa yang terang pada tugas yang tidak dapat diselesaikan dari teori itu menjadi amalan, secara umum, pasti. Garis-garis ke arah koordinat mata yang ditentukan tidak pernah menutup kedudukan yang melampau di dataran, tetapi penyelesaian persamaan pembezaan dalam talian akan membantu dalam kajian matematik dan pelajar, dan kami, dan hanya orang yang baru di kawasan ini. Kami bercakap tentang kemungkinan penggantian hujah nilai ke dalam semua yang penting di bawah garis satu bidang. Pada dasarnya, seperti yang diharapkan, persamaan pembezaan linear kami adalah sesuatu yang berasingan dalam konsep yang bersatu dalam erti kata. Untuk membantu pelajar, salah satu kalkulator terbaik di kalangan perkhidmatan yang sama. Lengkapkan semua kursus dan pilih yang terbaik untuk diri sendiri.

6.1. Konsep dan definisi asas

Apabila menyelesaikan pelbagai masalah matematik dan fizik, biologi dan ubat, ia agak kerap mungkin untuk segera mewujudkan pergantungan fungsional dalam formula yang mengikat pembolehubah yang menggambarkan proses yang sedang dikaji. Ia juga perlu menggunakan persamaan yang mengandungi, kecuali untuk pembolehubah bebas dan fungsi yang tidak diketahui, dan derivatifnya.

Definisi.Persamaan yang menghubungkan pembolehubah bebas, fungsi yang tidak diketahui dan derivatif pelbagai pesanan, dipanggil perbezaan.

Fungsi tidak diketahui biasanya ditetapkan y (x)atau ringkas y,dan derivatifnya - y ", y "dan lain-lain.

Jawatan lain adalah mungkin, sebagai contoh: jika y.\u003d x (t) x "(t), x" "(t)- derivatifnya, dan t.- Pembolehubah bebas.

Definisi.Jika fungsi bergantung kepada satu pembolehubah, persamaan pembezaan dipanggil biasa. Bentuk umum persamaan pembezaan biasa:

atau

FUNGSI F.dan f.mungkin tidak mengandungi beberapa hujah, tetapi agar persamaan menjadi berbeza, kehadiran derivatif.

Definisi.Perintah persamaan pembezaanperintah derivatif yang lebih tua termasuk di dalamnya dipanggil.

Sebagai contoh, x 2 y "- y.\u003d 0, y "+ dosa x.\u003d 0 - persamaan pesanan pertama, dan y "+ 2 y "+ 5 y.= x.- Persamaan pesanan kedua.

Apabila menyelesaikan persamaan pembezaan, operasi integrasi digunakan, yang dikaitkan dengan penampilan yang berterusan. Sekiranya tindakan integrasi digunakan n.sekali, maka, jelas, dalam keputusan itu akan terkandung n.malengan sewenang-wenangnya.

6.2. Persamaan pembezaan pesanan pertama

Bentuk umum persamaan pembezaan pertamaditentukan oleh ungkapan

Persamaan mungkin tidak mengandungi secara jelas x.dan y,tetapi semestinya mengandungi. "

Sekiranya persamaan boleh ditulis sebagai

ia diperolehi oleh persamaan pembezaan pertama, yang dibenarkan berbanding dengan derivatif.

Definisi.Penyelesaian umum persamaan pembezaan pertama (6.3) (atau (6.4)) adalah pelbagai penyelesaian. di mana sahaja Dari- Pemalar sewenang-wenangnya.

Carta menyelesaikan persamaan pembezaan dipanggil lengkung integral.

Memberi pemalar sewenang-wenangnya Daripelbagai nilai, anda boleh mendapatkan penyelesaian peribadi. Di Surface. xoy.penyelesaian umum adalah keluarga lengkung penting yang sepadan dengan setiap penyelesaian persendirian.

Jika anda menetapkan titik A (x 0, y 0),di mana lengkung integral harus diadakan, maka, sebagai peraturan, dari pelbagai fungsi Anda boleh memperuntukkan satu - penyelesaian tertentu.

Definisi.Keputusan peribadipersamaan pembezaan adalah penyelesaian yang tidak mengandungi pemalar sewenang-wenangnya.

Sekiranya adalah penyelesaian umum maka dari keadaan

boleh didapati kekal Dari.Mengedarkan keadaan awal.

Tugas mencari penyelesaian peribadi persamaan pembezaan (6.3) atau (6.4) memuaskan keadaan awal untuk dipanggil tugas Cauchy.Adakah tugas ini sentiasa mempunyai penyelesaian? Jawapannya mengandungi teorem berikut.

Teorem Cauchy.(Teorem kewujudan dan keunikan keputusan). Katakan dalam persamaan pembezaan y "= f (x, y)fungsi f (x, y)dan dia

derivatif peribadi. ditakrifkan dan berterusan dalam sesetengah orang

kawasan D,mengandungi titik Kemudian di kawasan itu D.wujud

satu-satunya penyelesaian kepada persamaan yang memuaskan keadaan awal untuk

The Cauchy Teorem berpendapat bahawa di bawah keadaan tertentu terdapat satu lengkung integral tunggal y.= f (x),lulus melalui titik Mata di mana syarat-syarat teorem tidak dipenuhi

Cauchy, dipanggil khas.Pada titik-titik ini bertolak ansur dengan rehat f.(x, y) atau.

Melalui titik khas, sama ada beberapa lengkung penting atau mana-mana pihak.

Definisi.Jika keputusan (6.3), (6.4) yang terdapat dalam bentuk f.(x, y, C)\u003d 0, tidak dibenarkan relatif kepada y, maka ia dipanggil praktikal bersamapersamaan pembezaan.

Theorem Cauchy hanya menjamin bahawa penyelesaian wujud. Oleh kerana tidak ada satu kaedah untuk mencari penyelesaian, kami akan mempertimbangkan hanya beberapa jenis persamaan pembezaan pertama yang boleh digalakkan quadratures.

Definisi.Persamaan pembezaan dipanggil terganggu dalam quadratures.sekiranya penemuannya dikurangkan kepada integrasi fungsi.

6.2.1. Persamaan pembezaan pesanan pertama dengan pemisahan pembolehubah

Definisi.Persamaan pembezaan pesanan pertama dipanggil persamaan dengan pembolehubah dibahagikan.

Sisi kanan persamaan (6.5) adalah produk dari dua fungsi, yang masing-masing hanya bergantung kepada satu pembolehubah.

Sebagai contoh, persamaan adalah persamaan dengan pemisahan

pembolehubah MISI.
persamaan

tidak boleh dikemukakan sebagai (6.5).

Mempertimbangkan itu , menulis semula (6.5) dalam bentuk

Dari persamaan ini, kami memperoleh persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang dipisahkan, di mana terdapat fungsi dengan perbezaan bergantung hanya pada pemboleh ubah yang sepadan:

Mengintegrasikan tanah yang kita ada

di mana c \u003d. C 2 - C 1 - Pemalar sewenang-wenangnya. Ungkapan (6.6) adalah persamaan yang sama persamaan (6.5).

Berkongsi kedua-dua bahagian persamaan (6.5), kita boleh kehilangan penyelesaian tersebut di mana Sesungguhnya, jika untuk

itu jelas sekali, penyelesaian persamaan (6.5).

Contoh 1.Cari penyelesaian persamaan penyelesaian

keadaan: y.\u003d 6 O. x.= 2 (y.(2) = 6).

Keputusan.Menggantikannya u "onde. . Majukan kedua-dua bahagian pada

dx,kerana dengan integrasi selanjutnya tidak boleh ditinggalkan dX.dalam penyebut:

dan kemudian membahagikan kedua-dua bahagian pada kami memperoleh persamaan,

yang boleh diintegrasikan. Kami mengintegrasikan:

Kemudian ; Potentiation, kami memperoleh y \u003d c. (x + 1) -

penyelesaian.

Menurut data utama, kami menentukan pemalar sewenang-wenang, menggantikan mereka ke dalam keputusan umum

Akhirnya get. y.\u003d 2 (x + 1) - penyelesaian peribadi. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian penyelesaian dengan pembolehubah yang memisahkan.

Contoh 2.Cari penyelesaian kepada persamaan

Keputusan.Mempertimbangkan itu , Get. .

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan, kita akan ada

dari

Contoh 3.Cari penyelesaian kepada persamaan Keputusan.Kami membahagikan kedua-dua bahagian persamaan pada faktor-faktor tersebut, yang bergantung kepada pembolehubah, yang tidak sepadan dengan pembolehubah di bawah tanda perbezaan, iaitu pada dan mengintegrasikan. Kemudian kami gari

dan akhirnya

Contoh 4.Cari penyelesaian kepada persamaan

Keputusan.Mengetahui, mengejar. Pemisahan

pembolehubah Lim. Kemudian

Mengintegrasikan, Dapatkan

Komen.Dalam contoh 1 dan 2, fungsi yang dikehendaki y.dinyatakan secara nyata (penyelesaian umum). Dalam contoh 3 dan 4 - secara tersirat (integral bersama). Pada masa akan datang, bentuk keputusan tidak akan ditentukan.

Contoh 5.Cari penyelesaian kepada persamaan Keputusan.

Contoh 6.Cari penyelesaian kepada persamaan memuaskan

keadaan y (e)= 1.

Keputusan.Kami menulis persamaan dalam bentuk

Mendarabkan kedua-dua bahagian persamaan dX.dan pada, kita dapat

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan (yang penting di sebelah kanan diambil di bahagian), kita dapat

Tetapi dengan syarat y.\u003d 1. x.= e.. Kemudian

Substitut nilai yang ditemui Darisecara umum:

Ekspresi yang dihasilkan dipanggil penyelesaian persendirian persamaan pembezaan.

6.2.2. Persamaan Pembezaan Perintah Pertama Seragam

Definisi.Persamaan pembezaan pertama dipanggil homogeneous.sekiranya ia boleh diwakili sebagai

Marilah kita memberi algoritma untuk menyelesaikan persamaan homogen.

1. Mudah. y.kami memperkenalkan fungsi baru dan oleh itu,

2. Dalam terma fungsi u.persamaan (6.7) mengambil

i.E. Penggantian mengurangkan persamaan homogen ke persamaan dengan pembolehubah yang memisahkan.

3. Persamaan (6.8), kita mula-mula mencari anda, dan kemudian y.\u003d UX.

Contoh 1.Menyelesaikan persamaan Keputusan.Kami menulis persamaan dalam bentuk

Kami menghasilkan penggantian:
Kemudian

Menggantikannya

Multiply on dx: Kita dibahagikan x.dan pada kemudian

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan mengikut pembolehubah yang sepadan, kita akan mempunyai

atau, kembali ke pembolehubah lama, akhirnya dapatkan

Contoh 2.Menyelesaikan persamaan Keputusan.Biarkan kemudian

Kami membahagikan kedua-dua bahagian persamaan x 2: Kami akan mendedahkan kurungan dan berkumpul semula istilah:

Beralih kepada pembolehubah lama, kami akan datang ke hasil akhir:

Contoh 3.Cari penyelesaian kepada persamaan Memandangkan itu

Keputusan.Melakukan penggantian standard. menerima

atau

Ini bermakna penyelesaian tertentu mempunyai bentuk Contoh 4. Cari penyelesaian kepada persamaan

Keputusan.

Contoh 5.Cari penyelesaian kepada persamaan Keputusan.

Kerja bebas

Cari penyelesaian persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang memisahkan (1-9).

Cari penyelesaian kepada persamaan pembezaan homogen (9-18).

6.2.3. Sesetengah aplikasi persamaan pembezaan pertama

Tugas mengenai kerosakan radioaktif

Kadar kerosakan RA (radium) pada setiap saat adalah berkadar dengan jisim tunai. Cari undang-undang kerosakan radioaktif RA, jika diketahui bahawa pada masa awal terdapat juga separuh hayat RA sama dengan 1590 tahun.

Keputusan.Biarkan ra pada masa ini x.= x (t)g, dan Maka kadar kerosakan ra adalah sama

Di bawah keadaan tugas

di mana sahaja k.

Dipisahkan dalam pembolehubah persamaan terakhir dan mengintegrasikan, kami dapat

dari

Untuk menentukan C.kami menggunakan keadaan awal: bila .

Kemudian dan, ini bermakna

Koefisien proporsional. k.tentukan dari keadaan tambahan:

Telah

Dari sini dan formula yang dikehendaki

Masalah untuk pembiakan bakteria

Kadar pembiakan bakteria adalah berkadar dengan nombor mereka. Pada masa awal terdapat 100 bakteria. Selama 3 jam, jumlah mereka dua kali ganda. Cari ketergantungan bilangan bakteria dari semasa ke semasa. Berapa kali bilangan bakteria meningkat selama 9 jam?

Keputusan.Biarkan x.- Bilangan bakteria pada masa itu t.Kemudian, mengikut keadaan,

di mana sahaja k.- Koefisien Proportionality.

Dari sini Dari keadaan itu diketahui itu . Ia bermaksud

Dari keadaan tambahan . Kemudian

Fungsi:

Jadi, untuk t.= 9 x.\u003d 800, iaitu, selama 9 jam, bilangan bakteria meningkat 8 kali.

Tugas meningkatkan jumlah enzim

Dalam budaya ragi Beer, kelajuan enzim yang ada adalah berkadar dengan nombor awalnya x.Jumlah awal enzim a.selama satu jam dua kali ganda. Cari ketagihan

x (t).

Keputusan.Dengan syarat, persamaan pembezaan proses itu adalah

dari sini

Tetapi . Ia bermaksud C.= a.dan kemudian

Ia juga diketahui bahawa

Dengan itu,

6.3. Persamaan pembezaan perintah kedua

6.3.1. Konsep asas

Definisi.Persamaan pesanan kedua berbezanisbah yang mengikat pembolehubah bebas, fungsi yang dikehendaki dan derivatif pertama dan kedua dipanggil.

Dalam kes tertentu, mungkin tidak ada x, w.atau y ". Walau bagaimanapun, persamaan pesanan kedua mestilah mengandungi U". Dalam kes umum, persamaan pembezaan pesanan kedua ditulis dalam bentuk:

atau, jika boleh, dalam bentuk, diselesaikan relatif kepada derivatif kedua:

Seperti dalam kes persamaan pesanan pertama, persamaan pesanan kedua mungkin wujud dalam penyelesaian yang sama dan swasta. Penyelesaian umum mempunyai bentuk:

Mencari penyelesaian peribadi

di bawah keadaan awal - Ditanya

nombor) dipanggil. tugas Cauchy.Secara geometri, ini bermakna ia perlu mencari keluk bersepadu. w.= y (x),lulus melalui titik tertentu dan mempunyai titik ini menyentuh

nikmati arah paksi yang positif Lembu.ditetapkan. e. (Rajah 6.1). Masalah Cauchy mempunyai keputusan tunggal jika sebelah kanan persamaan (6.10), pemberontak

rovena dan mempunyai derivatif persendirian yang berterusan y, u "dalam sesetengah kejiranan titik permulaan

Untuk mencari malar. termasuk dalam penyelesaian tertentu, anda perlu menyelesaikan sistem

Rajah. 6.1.Lengkung penting

I. Persamaan pembezaan biasa

1.1. Konsep dan definisi asas

Persamaan pembezaan dipanggil persamaan yang menghubungkan pemboleh ubah bebas x., fungsi yang dikehendaki y. dan derivatif atau perbezaannya.

Persamaan perbezaan secara simbolik ditulis seperti berikut:

F (x, y, y ") \u003d 0, f (x, y, y") \u003d 0, f (x, y, y, y, y, .., y (n)) \u003d 0

Persamaan pembezaan dipanggil biasa jika fungsi yang dikehendaki bergantung kepada satu pemboleh ubah bebas.

Dengan menyelesaikan persamaan pembezaan Ciri ini dipanggil yang menarik persamaan ini kepada identiti.

Perintah persamaan pembezaan dipanggil perintah yang mendalam yang lebih tua masuk dalam persamaan ini

Contoh.

1. Pertimbangkan persamaan pembezaan pertama

Dengan penyelesaian persamaan ini, fungsi y \u003d 5 ln x. Benar, menggantikannya y " Dalam persamaan, kita memperoleh - identiti.

Dan ini bermakna bahawa fungsi y \u003d 5 ln x adalah penyelesaian persamaan pembezaan ini.

2. Pertimbangkan persamaan pembezaan pesanan kedua y "- 5Y" + 6Y \u003d 0. Fungsi ini adalah penyelesaian persamaan ini.

Sesungguhnya.

Menggantikan ungkapan-ungkapan ini kepada persamaan, kita mendapat:, - identiti.

Dan ini bermakna fungsi itu adalah penyelesaian persamaan pembezaan ini.

Mengintegrasikan persamaan pembezaan Proses mencari penyelesaian persamaan pembezaan dipanggil.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan dipanggil jenis jenis yang merangkumi begitu banyak pemalar sewenang-wenangnya, apakah perintah persamaan.

Penyelesaian khas persamaan pembezaan Penyelesaian yang diperoleh daripada penyelesaian keseluruhan dipanggil dengan pelbagai nilai berangka pemalar sewenang-wenangnya. Nilai-nilai pemalar sewenang-wenang adalah di bawah nilai awal tertentu hujah dan fungsi.

Carta penyelesaian persendirian persamaan pembezaan dipanggil lengkung penting.

Contoh

1.iti penyelesaian persendirian persamaan pembezaan pertama

xdx + ydy \u003d 0, sekiranya y.\u003d 4. x. = 3.

Keputusan. Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan, kita dapat

Komen. Pemalar sewenang-wenangnya dengan integrasi yang terhasil boleh diwakili dalam apa-apa bentuk yang mudah untuk transformasi selanjutnya. Dalam kes ini, dengan mengambil kira Persamaan Bulatan Canonical sebagai pemalar sewenang-wenang dengan mudah hadir dalam bentuk.

- Penyelesaian umum persamaan pembezaan.

Persamaan penyelesaian persendirian yang memuaskan keadaan awal y. \u003d 4. x. \u003d 3 adalah dari jumlah penggantian keadaan awal dalam Penyelesaian Umum: 3 2 + 4 2 \u003d C 2; C \u003d 5.

Menggantikan c \u003d 5 dalam penyelesaian umum, kita dapat x 2 + y 2 = 5 2 .

Ini adalah penyelesaian tertentu untuk persamaan pembezaan yang diperoleh dari penyelesaian umum di bawah keadaan awal yang ditentukan.

2. Cari penyelesaian umum persamaan pembezaan

Dengan penyelesaian persamaan ini adalah fungsi spesies di mana C adalah pemalar sewenang-wenangnya. Sesungguhnya penggantian dalam persamaan, kita dapat :,.

Oleh itu, persamaan pembezaan ini mempunyai satu set penyelesaian yang tidak terhingga, kerana pada nilai-nilai yang berlainan yang berterusan dengan kesamaan menentukan pelbagai penyelesaian persamaan.

Sebagai contoh, anda boleh memastikan bahawa fungsi boleh disahkan. adalah penyelesaian persamaan.

Tugas di mana ia dikehendaki untuk mencari penyelesaian tertentu persamaan y "\u003d f (x, y) memuaskan keadaan utama y (x 0) \u003d y 0, dipanggil tugas Cauchy.

Persamaan penyelesaian. y "\u003d f (x, y)memuaskan keadaan awal y (x 0) \u003d y 0dipanggil penyelesaian masalah Cauchy.

Penyelesaian masalah Cauchy mempunyai makna geometri yang mudah. Sesungguhnya, mengikut definisi ini, untuk menyelesaikan tugas Cauchy y "\u003d f (x, y) Memandangkan itu y (x 0) \u003d y 0bermaksud mencari lengkung persamaan penting y "\u003d f (x, y) yang melewati titik yang ditentukan M 0 (x 0,y 0.).

Ii. Persamaan pembezaan pesanan pertama

2.1. Konsep asas

Persamaan pembezaan pesanan pertama dipanggil persamaan spesies F (x, y, y ") \u003d 0.

Persamaan pembezaan pertama-pesanan termasuk derivatif pertama dan tidak termasuk derivatif pesanan yang lebih tinggi.

Persamaan itu y "\u003d f (x, y) Ia dipanggil persamaan pesanan pertama, yang dibenarkan relatif kepada derivatif.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan pesanan pertama dipanggil fungsi bentuk yang mengandungi satu pemalar sewenang-wenangnya.

Contohnya.Pertimbangkan persamaan pembezaan pesanan pertama.

Dengan menyelesaikan persamaan ini adalah fungsi.

Sesungguhnya, menggantikan persamaan ini, maknanya, kita dapat

I.E. 3x \u003d 3x.

Akibatnya, fungsi ini adalah penyelesaian umum persamaan untuk mana-mana yang berterusan C.

Cari penyelesaian peribadi persamaan ini yang memenuhi syarat awal y (1) \u003d 1 Menggantikan keadaan awal x \u003d 1, y \u003d 1 Dalam penyelesaian umum persamaan, kita dapat dari mana C \u003d 0..

Oleh itu, penyelesaian tertentu untuk mendapatkan dari penggantian umum kepada persamaan ini yang diperolehi C \u003d 0. - Penyelesaian persendirian.

2.2. Persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang memisahkan

Persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang memisahkan dipanggil persamaan bentuk: y "\u003d f (x) g (y) atau melalui perbezaan di mana f (x) dan g (y)- Fungsi yang ditentukan.

Bagi mereka y.yang persamaannya y "\u003d f (x) g (y) bersamaan dengan persamaan di mana pemboleh ubah itu y. Ia hanya terdapat di sebelah kiri, dan pembolehubah X hanya di bahagian yang betul. Mereka berkata "dalam persamaan y "\u003d f (x) g (y Kami berpecah pembolehubah. "

Lihat persamaan dipanggil persamaan dengan pembolehubah yang dipisahkan.

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan oleh x., Get. G (y) \u003d f (x) + c- Penyelesaian umum persamaan di mana G (y) dan F (x) - beberapa fungsi primitif dan f (x), C. malengan sewenang-wenangnya.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan pembezaan pesanan pertama dengan pemisahan pembolehubah

Contoh 1.

Menyelesaikan persamaan y "\u003d xy

Keputusan. Fungsi yang diperolehi y " Gantikan pada

kami berpecah pembolehubah

kami mengintegrasikan kedua-dua bahagian kesaksamaan:

Contoh 2.

2yy "\u003d 1- 3x 2, sekiranya y 0 \u003d 3 untuk x 0 \u003d 1

Persamaan ini dengan pembolehubah yang dipisahkan. Bayangkan dalam perbezaan. Untuk melakukan ini, tulis semula persamaan ini dalam bentuk Dari sini

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian kesamaan terakhir, kita akan dapati

Menggantikan nilai-nilai awal x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3cari Dari 9=1-1+C.. C \u003d 9.

Akibatnya, integral peribadi yang dikehendaki akan menjadi atau

Contoh 3.

Membuat persamaan lengkung yang melewati titik M (2; -3) dan mempunyai tangen dengan pekali sudut

Keputusan. Mengikut keadaan

Ini adalah persamaan dengan pembolehubah yang memisahkan. Berkongsi pembolehubah, dapatkan:

Mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan, kita dapat:

Menggunakan keadaan awal x \u003d 2. dan y \u003d - 3 Cari C.:

Akibatnya, persamaan yang dikehendaki adalah

2.3. Persamaan Pembezaan Linear Perintah Pertama

Persamaan pembezaan linear dari pesanan pertama dipanggil persamaan pandangan y "\u003d f (x) y + g (x)

di mana sahaja f (x) dan g (x) - Beberapa fungsi yang ditentukan.

Sekiranya g (x) \u003d 0persamaan pembezaan linear dipanggil homogen dan mempunyai bentuk: y "\u003d f (x) y

Sekiranya persamaan itu y "\u003d f (x) y + g (x) dipanggil tidak berperikemanusiaan.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan homogen linear y "\u003d f (x) y Ditakrifkan oleh Formula: Di mana Dari - Pemalar sewenang-wenangnya.

Khususnya, jika C \u003d 0,kemudian penyelesaiannya adalah y \u003d 0. Sekiranya persamaan homogen linear mempunyai bentuk y "\u003d ky Di mana sahaja k. - Sesetengah tetap, penyelesaian amnya mempunyai bentuk :.

Penyelesaian umum persamaan pembezaan linear linear y "\u003d f (x) y + g (x) Formula yang ditakrifkan ,

mereka. Sama-sama jumlah penyelesaian keseluruhan persamaan homogen linear yang sama dan penyelesaian khusus persamaan ini.

Untuk persamaan pandangan yang tidak diingini linear y "\u003d kx + b,

di mana sahaja k. dan b.- Sesetengah nombor dan penyelesaian peribadi akan menjadi fungsi yang berterusan. Oleh itu, penyelesaian umum mempunyai bentuk.

Contohnya. Menyelesaikan persamaan y "+ 2y +3 \u003d 0

Keputusan. Bayangkan persamaan dalam bentuk y "\u003d -2y - 3 Di mana sahaja k \u003d -2, b \u003d -3 Penyelesaian umum diberikan oleh formula.

Akibatnya, di mana C adalah pemalar sewenang-wenangnya.

2.4. Penyelesaian persamaan pembezaan linear dari pesanan pertama oleh Bernoulli

Mencari penyelesaian umum persamaan pembezaan linear perintah pertama y "\u003d f (x) y + g (x) Ia datang untuk menyelesaikan dua persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang dipisahkan dengan penggantian y \u003d uv.di mana sahaja u. dan v. - Fungsi tidak diketahui dari x.. Kaedah penyelesaian ini dipanggil kaedah Bernoulli.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan pembezaan linier dari pesanan pertama

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Masukkan penggantian y \u003d uv..

2. Membezakan kesaksamaan ini y "\u003d u" v + uv "

3. Pengganti y. dan y " Dalam persamaan ini: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)atau u "V + UV" + F (X) UV \u003d G (X).

4. Ganjil ahli-ahli persamaan supaya itu u. Ambil untuk pendakap:

5. Dari kurungan, menyamakannya kepada sifar, mencari ciri

Ini adalah persamaan dengan pembolehubah yang memisahkan:

Kami membahagikan pembolehubah dan dapatkan:

Dari . .

6. Gantikan nilai v.dalam persamaan (dari tuntutan 4):

dan cari fungsi persamaan pembolehubah yang berpisah:

7. Rekod penyelesaian umum dalam bentuk: . .

Contoh 1.

Cari penyelesaian persendirian persamaan y "\u003d -2y +3 \u003d 0 sekiranya y \u003d 1. untuk x \u003d 0.

Keputusan. Saya menyelesaikannya dengan penggantian y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Menggantikannya y.dan y " Dalam persamaan ini, kita dapat

Grumping istilah kedua dan ketiga bahagian kiri persamaan, saya akan meringkaskan kilang itu u. untuk penyokong gigi

Ungkapan dalam kurungan sama dengan sifar dan, setelah menyelesaikan persamaan yang diperoleh, kita dapati fungsi v \u003d v (x)

Menerima persamaan dengan pembolehubah yang dipisahkan. Kami mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan ini: Cari fungsi v.:

Kami menggantikan nilai v. Kami akan mendapat persamaan:

Ini adalah persamaan dengan pembolehubah yang dipisahkan. Kami mengintegrasikan kedua-dua bahagian persamaan: Cari ciri u \u003d u (x, c) Cari penyelesaian umum: Cari penyelesaian peribadi yang memenuhi syarat-syarat awal y \u003d 1. untuk x \u003d 0.:

Iii. Persamaan pembezaan pesanan yang lebih tinggi

3.1. Konsep dan definisi asas

Persamaan pembezaan pesanan kedua dipanggil persamaan yang mengandungi derivatif yang tidak lebih tinggi daripada pesanan kedua. Dalam kes umum, persamaan pembezaan pesanan kedua ditulis dalam bentuk: F (x, y, y ", y") \u003d 0

Penyelesaian umum persamaan pembezaan pesanan kedua dipanggil fungsi bentuk di mana dua pemalar sewenang-wenangnya C 1. dan C 2..

Penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan perintah kedua dipanggil penyelesaian yang diperoleh dari umum dengan beberapa nilai yang berterusan sewenang-wenangnya C 1. dan C 2..

3.2. Persamaan pembezaan kedua-dua homogen linear dengan pekali kekal.

Persamaan pembezaan kedua-dua homogen secara linear dengan pekali yang berterusan Dipanggil Persamaan Paparan y "+ py" + qy \u003d 0di mana sahaja p.dan t.- Nilai tetap.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan pembezaan kedua-dua homogen dengan koefisien yang berterusan

1. Rekod persamaan pembezaan dalam bentuk: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. Buat persamaan ciri, menunjukkan y " melalui r 2., y " melalui r., y.dalam 1: r 2 + PR + Q \u003d 0

Atau sudah diselesaikan berbanding dengan derivatif, atau mereka boleh diselesaikan relatif kepada derivatif .

Penyelesaian umum persamaan pembezaan jenis pada selang waktu X.yang dinyatakan boleh didapati dengan mengambil integral kedua-dua bahagian kesamaan ini.

Menerima .

Sekiranya anda melihat sifat-sifat penting yang tidak menentu, kami akan mendapati penyelesaian umum yang diingini:

y \u003d f (x) + c,

di mana sahaja F (x) - salah satu fungsi primitif f (x) Pada selang waktu X., tetapi Dari - Pemalar sewenang-wenangnya.

Ambil perhatian bahawa dalam kebanyakan tugas selang X. Tidak menunjukkan. Ini bermakna keputusan itu mesti dijumpai untuk semua x.di mana fungsi yang dikehendaki y., dan persamaan awal masuk akal.

Sekiranya anda perlu mengira penyelesaian tertentu persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal y (x 0) \u003d y 0, kemudian selepas mengira integral umum y \u003d f (x) + cmasih perlu menentukan nilai malar C \u003d c 0Menggunakan keadaan awal. Mereka., Constanta C \u003d c 0 Menentukan dari persamaan F (x 0) + c \u003d y 0, dan penyelesaian peribadi persamaan yang dikehendaki akan mengambil bentuk:

y \u003d f (x) + c 0.

Pertimbangkan contoh:

Kami mendapati penyelesaian umum persamaan pembezaan, periksa ketepatan hasilnya. Kami mendapati penyelesaian peribadi persamaan ini, yang akan memenuhi syarat awal.

Keputusan:

Selepas kami menyepadukan persamaan pembezaan yang ditentukan, kami memperoleh:

Ambil integral ini dengan integrasi oleh bahagian:

So. Ia adalah penyelesaian umum persamaan pembezaan.

Untuk memastikan bahawa hasilnya sah, buat cek. Untuk melakukan ini, kami menggantikan penyelesaian yang kami dapati dalam persamaan yang ditentukan:

Iaitu, bila Persamaan awal bertukar menjadi identiti:

oleh itu, penyelesaian keseluruhan persamaan pembezaan telah ditentukan dengan betul.

Penyelesaian yang kami dapati adalah penyelesaian umum persamaan pembezaan untuk setiap nilai yang sah dari hujah. x..

Ia tetap untuk mengira keputusan peribadi ODU, yang akan memenuhi syarat awal. Dalam erti kata lain, adalah perlu untuk mengira nilai yang berterusan Daridi mana kesaksamaan akan benar:

Kemudian, menggantikannya C \u003d 2. Secara umum, keputusan ODU, kami memperoleh penyelesaian khusus kepada persamaan pembezaan, yang memenuhi syarat asal:

Persamaan pembezaan biasa. boleh diselesaikan relatif kepada derivatif, membahagikan 2 bahagian kesamaan pada f (x). Transformasi ini akan bersamaan jika f (x) tidak berubah menjadi sifar tidak x. Dari selang integrasi persamaan pembezaan X..

Keadaan ini mungkin apabila dengan beberapa nilai hujah x. ∈ X. FUNGSI f (x) dan g (x)pada masa yang sama berubah menjadi sifar. Untuk nilai-nilai tersebut x. Penyelesaian umum persamaan pembezaan akan menjadi apa-apa fungsi y.yang ditakrifkan di dalamnya, kerana .

Jika untuk beberapa nilai hujah x. ∈ X. Keadaan ini dijalankan, ini bermakna dalam kes ini tidak ada penyelesaian.

Untuk semua yang lain x. Dari selang waktu X. Penyelesaian umum persamaan pembezaan ditentukan dari persamaan yang ditukar.

Kami akan menganalisis contoh-contoh:

Contoh 1.

Kami mendapati keputusan umum Ode: .

Keputusan.

Dari sifat-sifat fungsi asas asas, jelas bahawa fungsi logaritma semula jadi ditakrifkan untuk nilai-nilai bukan negatif hujah, jadi skop penentuan ungkapan ln (x + 3) Terdapat selang x. > -3 . Ia bermakna bahawa persamaan pembezaan yang ditentukan masuk akal x. > -3 . Dengan nilai-nilai ini hujah, ungkapan itu x + 3. tidak berpaling kepada sifar, jadi anda boleh menyelesaikan relatif ode ke derivatif, memisahkan 2 bahagian pada x + 3..

Menerima .

Seterusnya, kami mengintegrasikan persamaan pembezaan yang terhasil yang diselesaikan berbanding dengan derivatif: . Untuk mengambil integral ini, kami menggunakan kaedah untuk merumuskan tanda perbezaan.

BACA:

Kuasa bermotor evolusi manusia The Elder Scrolls V: Skyrim The Elder Scrolls V: Skyrim Undeath - Tips untuk lulus Skyrim tidak bermula 5. Skyrim tidak bermula. The Elder Scrolls V: Edisi Khas Skyrim tidak bermula