Շրջանակը բազմաթիվ կետերի տեսանելի հավաքածու է, որոնք գտնվում են կենտրոնից նույն հեռավորության վրա: Նրա տարածքը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ, թե ինչ են շառավիղը, տրամագիծը, π թիվը և շրջագիծը:

Շրջանակի մակերեսը հաշվարկելու մեջ ներգրավված քանակություններ

Շրջանի կենտրոնական կետով և շրջանագծի ցանկացած կետով սահմանափակված հեռավորությունը կոչվում է այս երկրաչափական պատկերի շառավիղ։ Մեկ շրջանագծի բոլոր շառավիղների երկարությունները նույնն են։ Շրջանակի 2 կետերի միջև ընկած հատված, որն անցնում է կենտրոնական կետ, կոչվում է տրամագիծ։ Տրամագծի երկարությունը հավասար է 2-ով բազմապատկած շառավղի երկարությանը։

Շրջանակի մակերեսը հաշվարկելու համար օգտագործվում է π թվի արժեքը: Այս արժեքը հավասար է շրջանագծի և շրջանագծի տրամագծի երկարության հարաբերակցությանը և ունի հաստատուն արժեք։ Π = 3,1415926: Շրջագիծը հաշվարկվում է L=2πR բանաձևով։

Գտե՛ք շրջանագծի մակերեսը՝ օգտագործելով շառավիղը

Հետևաբար, շրջանագծի մակերեսը հավասար է π թվի արտադրյալին և շրջանագծի շառավղին, որը բարձրացված է մինչև 2-րդ աստիճան: Որպես օրինակ՝ վերցնենք շրջանագծի շառավիղի երկարությունը 5 սմ, այնուհետև S շրջանագծի մակերեսը հավասար կլինի 3,14*5^2=78,5 քառակուսի մետրի։ սմ.

Շրջանակի տարածքը տրամագծով

Շրջանակի մակերեսը կարելի է նաև հաշվարկել՝ իմանալով շրջանագծի տրամագիծը: Այս դեպքում S = (π/4)*d^2, որտեղ d-ը շրջանագծի տրամագիծն է։ Վերցնենք նույն օրինակը, որտեղ շառավիղը 5 սմ է, ապա դրա տրամագիծը կլինի 5*2=10 սմ: Արդյունքը, որը հավասար է առաջին օրինակի հաշվարկների ընդհանուրին, երկու դեպքում էլ հաստատում է հաշվարկների ճիշտությունը։

Շրջանակի տարածքը շրջագծով

Եթե ​​շրջանագծի շառավիղը ներկայացված է շրջագծով, ապա բանաձևը կունենա հետևյալ ձևը՝ R=(L/2)π։ Եկեք այս արտահայտությունը փոխարինենք շրջանագծի մակերեսի բանաձևով և արդյունքում կստանանք S=(L^2)/4π: Դիտարկենք մի օրինակ, որի շրջագիծը 10 սմ է, ապա շրջանագծի մակերեսը S = (10^2)/4*3.14=7.96 քառակուսի մետր է: սմ.

Շրջանակի մակերեսը ներգծված քառակուսի կողմի երկարությամբ

Եթե ​​քառակուսին մակագրված է շրջանագծի մեջ, ապա շրջանագծի տրամագծի երկարությունը հավասար է քառակուսու անկյունագծի երկարությանը։ Իմանալով քառակուսու կողմի չափը՝ հեշտությամբ կարող եք պարզել շրջանագծի տրամագիծը՝ օգտագործելով d^2=2a^2 բանաձևը։ Այլ կերպ ասած, 2-րդ հզորության տրամագիծը հավասար է 2-ով բազմապատկած քառակուսի 2-րդ հզորության կողմին:

Հաշվելով շրջանագծի տրամագծի երկարությունը՝ կարող եք պարզել դրա շառավիղը, այնուհետև օգտագործել շրջանագծի տարածքը որոշելու բանաձևերից մեկը:

Շրջանակի հատվածի տարածքը

Սեկտորը շրջանագծի մի մասն է, որը սահմանափակված է 2 շառավղով և նրանց միջև եղած աղեղով։ Նրա տարածքը պարզելու համար անհրաժեշտ է չափել հատվածի անկյունը: Դրանից հետո դուք պետք է ստեղծեք կոտորակ, որի համարիչը կլինի հատվածի անկյան արժեքը, իսկ հայտարարը կլինի 360: Բաժնի մակերեսը հաշվարկելու համար պետք է կոտորակը բաժանելով ստացված արժեքը: բազմապատկել շրջանագծի մակերեսով, որը հաշվարկվում է վերը նշված բանաձևերից մեկի միջոցով:

- Սա հարթ գործիչ, որը կենտրոնից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի ամբողջություն է։ Նրանք բոլորը գտնվում են նույն հեռավորության վրա և կազմում են շրջան:

Այն հատվածը, որը միացնում է շրջանագծի կենտրոնը շրջագծի կետերին, կոչվում է շառավիղը. Յուրաքանչյուր շրջանակում բոլոր շառավիղները հավասար են միմյանց: Շրջանի երկու կետերը միացնող և կենտրոնով անցնող ուղիղ գիծ կոչվում է տրամագիծը. Շրջանի տարածքի բանաձևը հաշվարկվում է մաթեմատիկական հաստատուն օգտագործելով՝ π..

Սա հետաքրքիր է : Թիվ π. ներկայացնում է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի երկարության հարաբերությունը և հաստատուն արժեք է: π = 3,1415926 արժեքը օգտագործվել է Լ.Էյլերի աշխատանքից հետո 1737 թ.

Շրջանի տարածքը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով π հաստատունը: և շրջանագծի շառավիղը։ Շառավիղով շրջանագծի մակերեսի բանաձևը հետևյալն է.

Դիտարկենք շրջանագծի տարածքը շառավղով հաշվարկելու օրինակ: Եկեք մեզ տրվի R = 4 սմ շառավղով շրջան: Եկեք գտնենք նկարի մակերեսը:

Մեր շրջանի մակերեսը կկազմի 50,24 քմ։ սմ.

Կա մի բանաձեւ շրջանագծի տարածքը տրամագծով. Այն նաև լայնորեն օգտագործվում է անհրաժեշտ պարամետրերը հաշվարկելու համար։ Այս բանաձևերը կարող են օգտագործվել գտնելու համար.

Դիտարկենք շրջանագծի տարածքը տրամագծով հաշվարկելու օրինակ՝ իմանալով դրա շառավիղը: Եկեք մեզ տրվի R = 4 սմ շառավղով շրջան: Նախ, եկեք գտնենք տրամագիծը, որը, ինչպես գիտենք, երկու անգամ մեծ է:


Այժմ մենք օգտագործում ենք տվյալները վերը նշված բանաձևով շրջանագծի տարածքը հաշվարկելու օրինակով.

Ինչպես տեսնում եք, արդյունքը նույն պատասխանն է, ինչ առաջին հաշվարկներում:

Շրջանակի տարածքը հաշվարկելու ստանդարտ բանաձևերի իմացությունը կօգնի ձեզ հեշտությամբ որոշել ապագայում հատվածի տարածքըև հեշտությամբ գտնել բացակայող արժեքները:

Մենք արդեն գիտենք, որ շրջանագծի տարածքի բանաձևը հաշվարկվում է հաստատուն π արժեքը շրջանագծի շառավղի քառակուսով բազմապատկելով: Շառավիղը կարող է արտահայտվել շրջագծով և փոխարինել շրջանակի տարածքի արտահայտությունը շրջագծով.
Այժմ եկեք այս հավասարությունը փոխարինենք շրջանագծի մակերեսը հաշվարկելու բանաձևով և ստանանք շրջանագծի մակերեսը շրջագծի միջոցով գտնելու բանաձև

Դիտարկենք շրջանագծի տարածքը շրջագծով հաշվարկելու օրինակ: Թող տրվի l = 8 սմ երկարությամբ շրջանագիծը փոխարինեք ստացված բանաձևով.

Շրջանակի ընդհանուր մակերեսը կկազմի 5 քմ։ սմ.

Շրջանի տարածքը, որը շրջագծված է քառակուսու շուրջ

Շատ հեշտ է գտնել քառակուսու շուրջը շրջագծված շրջանագծի տարածքը:

Դա անելու համար անհրաժեշտ է միայն քառակուսի կողմը և պարզ բանաձևերի իմացություն: Քառակուսու անկյունագիծը հավասար կլինի շրջագծված շրջանագծի անկյունագծին: Իմանալով a կողմը, այն կարելի է գտնել օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը՝ այստեղից։
Անկյունագիծը գտնելուց հետո կարող ենք հաշվարկել շառավիղը՝ .
Եվ այնուհետև մենք ամեն ինչ կփոխարինենք քառակուսու շուրջը շրջագծված շրջանագծի տարածքի հիմնական բանաձևի մեջ.

Ինչպե՞ս գտնել շրջանագծի մակերեսը: Նախ գտեք շառավիղը: Սովորեք լուծել պարզ և բարդ խնդիրներ:

Շրջանակը փակ կոր է: Շրջանագծի ցանկացած կետ կենտրոնական կետից կլինի նույն հեռավորությունը: Շրջանակը հարթ պատկեր է, ուստի տարածքը գտնելու հետ կապված խնդիրների լուծումը հեշտ է: Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես կարելի է գտնել շրջանագծի տարածքը, որը գրված է եռանկյունու, տրապեզիի, քառակուսու մեջ և շրջագծված այս պատկերների շուրջը:

Տվյալ գործչի մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ, թե որն է π շառավիղը, տրամագիծը և թիվը:

Շառավիղ Ռշրջանագծի կենտրոնով սահմանափակված հեռավորությունն է։ Մեկ շրջանագծի բոլոր R-շառավիղների երկարությունները հավասար կլինեն:

Տրամագիծը Dգիծ է շրջանագծի ցանկացած երկու կետերի միջև, որն անցնում է կենտրոնական կետով: Այս հատվածի երկարությունը հավասար է 2-ով բազմապատկած R-շառավղի երկարությանը։

Թիվ πհաստատուն արժեք է, որը հավասար է 3,1415926-ի: Մաթեմատիկայի մեջ այս թիվը սովորաբար կլորացվում է 3,14-ի:

Շառավիղով շրջանագծի տարածքը գտնելու բանաձևը.

R-շառավիղով շրջանագծի S-տարածքը գտնելու խնդիրների լուծման օրինակներ.

Առաջադրանք.Գտե՛ք շրջանագծի մակերեսը, եթե նրա շառավիղը 7 սմ է։

Լուծում: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 սմ²:

Պատասխան.Շրջանակի մակերեսը 153,86 սմ² է։

D- տրամագծով շրջանագծի S-տարածքը գտնելու բանաձևը.

S-ը գտնելու համար առաջադրանքների լուծման օրինակներ, եթե D-ն հայտնի է.

————————————————————————————————————————-

Առաջադրանք.Գտե՛ք շրջանագծի S-ը, եթե նրա D-ն 10 սմ է:

Լուծում: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 սմ²:

Պատասխան.Հարթ շրջանաձև գործչի մակերեսը 78,5 սմ² է։

Գտնել շրջանագծի S, եթե շրջագիծը հայտնի է.

Նախ գտնում ենք, թե ինչի է հավասար շառավիղը։ Շրջանակի շրջագիծը հաշվարկվում է բանաձևով՝ L=2πR, համապատասխանաբար, R շառավիղը հավասար կլինի L/2π։ Այժմ մենք գտնում ենք շրջանագծի տարածքը, օգտագործելով բանաձևը R-ի միջոցով:

Դիտարկենք լուծումը՝ օգտագործելով խնդրի օրինակ.

———————————————————————————————————————-

Առաջադրանք.Գտե՛ք շրջանագծի մակերեսը, եթե L շրջագիծը հայտնի է՝ 12 սմ։

Լուծում:Նախ գտնում ենք շառավիղը՝ R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91։

Այժմ մենք գտնում ենք տարածքը շառավղով. S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 սմ²:

Պատասխան.Շրջանակի մակերեսը 11,46 սմ² է։

Քառակուսու մեջ ներգծված շրջանագծի մակերեսը գտնելը հեշտ է: Քառակուսու կողմը շրջանագծի տրամագիծն է։ Շառավիղը գտնելու համար պետք է կողմը բաժանել 2-ի:

Քառակուսու մեջ ներգծված շրջանագծի մակերեսը գտնելու բանաձևը.

Քառակուսու մեջ ներգծված շրջանագծի մակերեսը գտնելու խնդիրների լուծման օրինակներ.

———————————————————————————————————————

Առաջադրանք թիվ 1:Հայտնի է քառակուսի պատկերի կողմը, որը 6 սանտիմետր է։ Գտեք ներգծված շրջանագծի S տարածքը:

Լուծում: S=π(a/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 սմ²:

Պատասխան.Հարթ շրջանաձև գործչի մակերեսը 28,26 սմ² է։

————————————————————————————————————————

Առաջադրանք թիվ 2Գտե՛ք քառակուսի պատկերով ներգծված շրջանագծի S-ը և նրա շառավիղը, եթե մի կողմը a=4 սմ է:

Որոշեք այսպեսՍկզբում գտնում ենք R=a/2=4/2=2 սմ:

Հիմա եկեք գտնենք շրջանագծի մակերեսը S=3,14*2²=3,14*4=12,56 սմ²։

Պատասխան.Հարթ շրջանաձև գործչի մակերեսը 12,56 սմ² է։

Մի փոքր ավելի դժվար է գտնել քառակուսու շուրջ նկարագրված շրջանաձև գործչի տարածքը: Բայց, իմանալով բանաձևը, կարող եք արագ հաշվարկել այս արժեքը:

Քառակուսի պատկերով շրջագծված S շրջանակը գտնելու բանաձևը.

Քառակուսի պատկերի շուրջ շրջագծված շրջանագծի տարածքը գտնելու համար խնդիրների լուծման օրինակներ.

Առաջադրանք

Շրջանակը, որը գրված է եռանկյունաձև պատկերով, այն շրջանն է, որը դիպչում է եռանկյան բոլոր երեք կողմերին: Դուք կարող եք շրջանագիծ տեղավորել ցանկացած եռանկյունաձև պատկերի մեջ, բայց միայն մեկը: Շրջանակի կենտրոնը կլինի եռանկյան անկյունների կիսորդների հատման կետը:

Ներգրված շրջանագծի տարածքը գտնելու բանաձևը հավասարաչափ եռանկյուն:

Երբ շառավիղը հայտնի է, տարածքը կարող է հաշվարկվել բանաձևով. S=πR²:

Ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ ներգծված շրջանագծի մակերեսը գտնելու բանաձևը.

Խնդիրների լուծման օրինակներ.

Առաջադրանք թիվ 1

Եթե ​​այս խնդրի դեպքում անհրաժեշտ է նաև գտնել 4 սմ շառավղով շրջանագծի մակերեսը, ապա դա կարելի է անել՝ օգտագործելով S=πR² բանաձևը.

Առաջադրանք թիվ 2

Լուծում:

Այժմ, երբ շառավիղը հայտնի է, մենք կարող ենք գտնել շրջանագծի տարածքը՝ օգտագործելով շառավիղը: Տեսեք վերը նշված բանաձևը տեքստում:

Առաջադրանք թիվ 3

Ուղղանկյուն և հավասարաչափ եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի մակերեսը. բանաձև, խնդրի լուծման օրինակներ

Շրջանակի տարածքը գտնելու բոլոր բանաձևերը հանգում են նրան, որ նախ պետք է գտնել դրա շառավիղը: Երբ շառավիղը հայտնի է, ապա տարածքը գտնելը պարզ է, ինչպես նկարագրված է վերևում:

Ուղղանկյուն և հավասարաչափ եռանկյունիով շրջագծված շրջանագծի մակերեսը գտնում ենք հետևյալ բանաձևով.

Խնդիրների լուծման օրինակներ.

Ահա Հերոնի բանաձևով խնդիր լուծելու ևս մեկ օրինակ.

Նման խնդիրների լուծումը դժվար է, բայց դրանք կարելի է տիրապետել, եթե գիտեք բոլոր բանաձեւերը։ Նման խնդիրներ աշակերտները լուծում են 9-րդ դասարանում.

Ուղղանկյուն և հավասարաչափ տրապիզոիդով ներգծված շրջանագծի տարածք. բանաձև, խնդրի լուծման օրինակներ

Հավասարաչափ տրապիզոիդն ունի երկու հավասար կողմեր։ Ուղղանկյուն տրապիզոիդն ունի մեկ անկյուն, որը հավասար է 90º-ի: Եկեք նայենք, թե ինչպես կարելի է գտնել ուղղանկյուն և հավասարաչափ տրապիզոիդում ներգծված շրջանագծի տարածքը՝ օգտագործելով խնդիրների լուծման օրինակը:

Օրինակ՝ հավասարաչափ տրապիզոիդում գրված է շրջան, որը շփման կետում մի կողմը բաժանում է m և n հատվածների։

Այս խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել հետևյալ բանաձևերը.

Գտեք ներգծված շրջանագծի տարածքը ուղղանկյուն trapezoid, արտադրվում է հետևյալ բանաձևով.

Եթե ​​կողային կողմը հայտնի է, ապա շառավիղը կարելի է գտնել օգտագործելով այս արժեքը: Տրապիզոնի կողմի բարձրությունը հավասար է շրջանագծի տրամագծին, իսկ շառավիղը՝ տրամագծի կեսը։ Համապատասխանաբար, շառավիղը R=d/2 է։

Խնդիրների լուծման օրինակներ.

Trapezoid-ը կարելի է գծագրել շրջանագծի մեջ, երբ նրա հակառակ անկյունների գումարը 180º է: Հետևաբար, դուք կարող եք մակագրել միայն հավասարաչափ trapezoid: Ուղղանկյուն կամ հավասարաչափ տրապիզոիդով շրջագծված շրջանագծի մակերեսը հաշվարկելու շառավիղը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևերով.

Խնդիրների լուծման օրինակներ.

Լուծում:Խոշոր բազա այս դեպքումանցնում է կենտրոնով, քանի որ հավասարաչափ տրապիզոիդը գծագրված է շրջանագծի մեջ։ Կենտրոնը այս բազան բաժանում է ուղիղ կեսին։ Եթե ​​AB հիմքը 12 է, ապա R շառավիղը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ՝ R=12/2=6։

Պատասխան.Շառավիղը 6 է։

Երկրաչափության մեջ կարևոր է իմանալ բանաձևերը: Բայց դրանք բոլորը հիշելն անհնար է, ուստի նույնիսկ շատ քննությունների ժամանակ թույլատրվում է օգտագործել հատուկ ձևաթուղթ։ Այնուամենայնիվ, կարևոր է, որ կարողանանք գտնել որոշակի խնդիր լուծելու ճիշտ բանաձևը: Փորձեք լուծել տարբեր խնդիրներ՝ գտնելու շրջանագծի շառավիղը և տարածքը, որպեսզի կարողանաք ճիշտ փոխարինել բանաձևերը և ստանալ ճշգրիտ պատասխաններ:

Տեսանյութ՝ մաթեմատիկա | Շրջանակի և նրա մասերի մակերեսների հաշվարկը

Երկրաչափության մեջ շուրջբոլորըհարթության բոլոր կետերի որոշակի բազմություն է, որոնք հեռացված են մեկ կետից, որը կոչվում է նրա կենտրոն, տրվածից ոչ մեծ հեռավորությամբ, որը կոչվում է նրա շառավիղ: Միևնույն ժամանակ արտաքին սահմանշրջան է շրջանև այն դեպքում, եթե շառավիղի երկարությունը զրո է, շրջանդեգեներացվում է մինչև մի կետ.

Շրջանակի տարածքի որոշում

Անհրաժեշտության դեպքում շրջանագծի տարածքկարելի է հաշվարկել բանաձևով.

r- շրջանագծի շառավիղը

Դ- շրջանագծի տրամագիծը

Ս- շրջանագծի տարածքը

π - 3.14

Սա երկրաչափական պատկերշատ հաճախ հանդիպում են ինչպես տեխնոլոգիայի, այնպես էլ ճարտարապետության մեջ: Զարգանում են մեքենաների և մեխանիզմների նախագծողները տարբեր մասեր, որոնցից շատերի խաչմերուկները հենց շրջան. Օրինակ, դրանք լիսեռներ, ձողեր, ձողեր, բալոններ, առանցքներ, մխոցներ և այլն: Այս մասերի արտադրության մեջ բլանկներ են տարբեր նյութեր(մետաղներ, փայտ, պլաստմասսա), դրանց հատվածները նույնպես ճշգրիտ են ներկայացնում շրջան. Անշուշտ պետք է ասել, որ մշակողները հաճախ ստիպված են լինում հաշվարկել շրջանագծի տարածքտրամագծով կամ շառավղով, այդ նպատակով օգտագործելով հին ժամանակներում հայտնաբերված պարզ մաթեմատիկական բանաձևերը:

Հենց այդ ժամանակ կլոր տարրերսկսեց ակտիվորեն և լայնորեն կիրառվել ճարտարապետության մեջ։ Դրա ամենավառ օրինակներից է կրկեսը, որը շինության տեսակ է, որը նախատեսված է տարբեր ժամանցային միջոցառումներ անցկացնելու համար: Նրանց ասպարեզները ձևավորված են շրջան, և դրանք առաջին անգամ սկսել են կառուցվել հին ժամանակներում։ Խոսքն ինքնին» կրկես«Լատինականից թարգմանված նշանակում է» շրջան« Եթե ​​հին ժամանակներում կրկեսները հյուրընկալում էին թատերական ներկայացումներ և գլադիատորների մենամարտեր, ապա այժմ դրանք ծառայում են որպես կրկեսի ներկայացումներ մարզիչների, ակրոբատների, աճպարարների, ծաղրածուների և այլնի մասնակցությամբ: Կրկեսի ստանդարտ տրամագիծը գրեթե 13 մետր է , և դա բոլորովին պատահական չէ. փաստն այն է, որ նա է ապահովում անհրաժեշտ նվազագույնը երկրաչափական պարամետրերասպարեզ, որտեղ կրկեսի ձիերը կարող են շրջանաձև շրջել: Եթե ​​հաշվարկենք շրջանագծի տարածքտրամագծի միջոցով պարզվում է, որ կրկեսի ասպարեզի համար այս արժեքը 113,04 քմ է։

Ճարտարապետական ​​տարրերը, որոնք կարող են շրջանագծի ձև ստանալ, պատուհաններն են: Իհարկե, շատ դեպքերում դրանք ուղղանկյուն կամ քառակուսի են (մեծապես պայմանավորված է նրանով, որ դա ավելի հեշտ է և՛ ճարտարապետների, և՛ շինարարների համար), բայց որոշ շենքերում կարելի է գտնել նաև կլոր պատուհաններ: Ընդ որում, նման տրանսպորտային միջոցներ, ինչպես օդային, ծովային և գետային նավերը, դրանք ամենից հաճախ հենց այսպիսին են։

Կահույքի արտադրության համար կլոր տարրեր, ինչպիսիք են սեղաններն ու աթոռները, ոչ մի դեպքում հազվադեպ չէ: Կա նույնիսկ հայեցակարգ» կլոր սեղան », որը ենթադրում է կառուցողական քննարկում, որի ընթացքում տեղի է ունենում տարբեր կարեւոր խնդիրների համակողմանի քննարկում եւ մշակվում դրանց լուծման ուղիներ։ Ինչ վերաբերում է հենց սալիկների արտադրությանը, որոնք ունեն կլոր ձև, դրանց արտադրության համար օգտագործվում են մասնագիտացված գործիքներ և սարքավորումներ, որոնք ենթակա են բավականին բարձր որակավորում ունեցող աշխատողների մասնակցության: