Օ՜ Սա կանանց զուգարանը չէ՞։
-Երիտասարդ կին! Սա լաբորատորիա է հոգիների անդեֆիլական սրբության ուսումնասիրության համար նրանց երկինք համբարձվելու ժամանակ: Հալո վերևում և վերև սլաք: Էլ ի՞նչ զուգարան:

Իգական... Վերևի լուսապսակը և ներքև սլաքը արական են:

Եթե ​​դիզայներական արվեստի նման գործը օրվա ընթացքում մի քանի անգամ փայլում է ձեր աչքի առաջ,

Այնուհետև զարմանալի չէ, որ հանկարծ ձեր մեքենայում տարօրինակ պատկերակ եք գտնում.

Անձամբ ես ջանում եմ տեսնել մինուս չորս աստիճան թուխ մարդու մեջ (մեկ նկար) (մի քանի նկարներից կազմված կոմպոզիցիա. մինուս նշան, թիվ չորս, աստիճանի նշանակում): Եվ ես չեմ կարծում, որ այս աղջիկը հիմար է, ով չգիտի ֆիզիկա: Նա պարզապես ունի գրաֆիկական պատկերներ ընկալելու ուժեղ կարծրատիպ: Եվ մաթեմատիկոսները դա մեզ անընդհատ սովորեցնում են: Ահա մի օրինակ.

1A-ն «մինուս չորս աստիճան» կամ «մեկ ա» չէ: Սա «մղող մարդ» է կամ տասնվեցական նշումով «քսանվեց» թիվը: Այն մարդիկ, ովքեր անընդհատ աշխատում են այս թվային համակարգում, ավտոմատ կերպով ընկալում են թիվը և տառը որպես մեկ գրաֆիկական խորհրդանիշ։

\[(\ Large(\text(Ազատ trapezoid)))\]

Սահմանումներ

Trapezoid-ը ուռուցիկ քառանկյուն է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, իսկ մյուս երկու կողմերը զուգահեռ չեն:

Trapezoid-ի զուգահեռ կողմերը կոչվում են նրա հիմքերը, իսկ մյուս երկու կողմերը կոչվում են նրա կողային կողմերը:

Trapezoid-ի բարձրությունը մի հիմքի ցանկացած կետից մյուս հիմքն իջած ուղղահայացն է:

Թեորեմներ. trapezoid-ի հատկությունները

1) Կողքի անկյունների գումարը \(180^\circ\) է:

2) Անկյունագծերը տրապեզը բաժանում են չորս եռանկյունների, որոնցից երկուսը նման են, իսկ մյուս երկուսը հավասար են չափերով։

Ապացույց

1) Որովհետև \(AD\զուգահեռ BC\), այնուհետև \(\անկյուն BAD\) և \(\անկյուն ABC\) միակողմանի են այս տողերի և լայնակի \(AB\), հետևաբար, \(\անկյուն BAD +\անկյուն ABC=180^\circ\).

2) Որովհետև \(AD\զուգահեռ BC\) և \(BD\) հատված են, այնուհետև \(\անկյուն DBC=\անկյուն BDA\) ընկած են խաչաձև:
Նաև \(\անկյուն BOC=\անկյուն AOD\) որպես ուղղահայաց:
Հետեւաբար, երկու տեսանկյունից \(\եռանկյուն BOC \sim \եռանկյուն AOD\).

Ապացուցենք դա \(S_(\եռանկյուն AOB)=S_(\եռանկյուն COD)\). Թող \(h\) լինի trapezoid-ի բարձրությունը: Հետո \(S_(\եռանկյունի ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\եռանկյուն ACD)\). Ապա. \

Սահմանում

Trapezoid-ի միջին գիծը կողմերի միջնակետերը միացնող հատված է:

Թեորեմ

Trapezoid-ի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց կիսագումարին։

Ապացույց*

1) Ապացուցենք զուգահեռությունը.

Եկեք \(M\) կետի միջով գծենք \(MN"\զուգահեռ AD\) (\(N"\CD-ում\) ուղիղ գիծը): Այնուհետև, ըստ Թալեսի թեորեմի (քանի \(MN"\զուգահեռ AD\զուգահեռ BC, AM=MB\)) կետը \(N"\) \(CD\) հատվածի միջինն է: Սա նշանակում է, որ \(N\) և \(N"\) կետերը կհամընկնեն:

2) Եկեք ապացուցենք բանաձևը.

Եկեք անենք \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Թող \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Այնուհետև, Թալեսի թեորեմով, \(M"\) և \(N"\) համապատասխանաբար \(BB"\) և \(CC"\ հատվածների միջնակետերն են: Սա նշանակում է, որ \(MM"\) \(\եռանկյունու ABB"\) միջին գիծն է, \(NN"\) \(\եռանկյունու DCC"\) միջին գիծը: Ահա թե ինչու. \

Որովհետև \(MN\զուգահեռ AD\զուգահեռ BC\)և \(BB", CC"\perp AD\), ապա \(B"M"N"C"\) և \(BM"N"C\) ուղղանկյուններ են: Համաձայն Թալեսի թեորեմի՝ \(MN\զուգահեռ AD\) և \(AM=MB\)-ից հետևում է, որ \(B"M"=M"B\) , հետևաբար, \(B"M"N"C. "\) և \(BM"N"C\) հավասար ուղղանկյուններ են, հետևաբար, \(M"N"=B"C"=BC\) .

Այսպիսով.

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\աջ)\]

Թեորեմ՝ կամայական trapezoid-ի հատկություն

Հիմքերի միջնակետերը, տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետը և կողային կողմերի երկարացումների հատման կետը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա։

Ապացույց*
«Եռանկյունների նմանություն» թեման ուսումնասիրելուց հետո խորհուրդ է տրվում ծանոթանալ ապացույցին:

1) Ապացուցենք, որ \(P\), \(N\) և \(M\) կետերը գտնվում են նույն ուղիղի վրա:

Գծենք ուղիղ գիծ \(PN\) (\(P\) կողային կողմերի երկարությունների հատման կետն է, \(N\) \(BC\)-ի միջնամասը)։ Թող այն հատի \(AD\) կողմը \(M\) կետում: Եկեք ապացուցենք, որ \(M\) \(AD\)-ի միջնակետն է:

Դիտարկենք \(\triangle BPN\) և \(\triangle APM\) . Նրանք նման են երկու անկյան տակ (\(\անկյուն APM\) – ընդհանուր, \(\անկյուն PAM=\անկյուն PBN\), քանի որ համապատասխանում է \(AD\զուգահեռ BC\) և \(AB\) սեկենտում): Նշանակում է. \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Դիտարկենք \(\եռանկյունի CPN\) և \(\եռանկյունի DPM\) . Նրանք նման են երկու անկյան տակ (\(\անկյուն DPM\) – ընդհանուր, \(\անկյուն PDM=\անկյուն PCN\), քանի որ համապատասխանում են \(AD\զուգահեռ BC\) և \(CD\) հատվածում): Նշանակում է. \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Այստեղից \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Բայց \(BN=NC\) հետևաբար \(AM=DM\) .

2) Փաստենք, որ \(N, O, M\) կետերը գտնվում են նույն ուղիղի վրա:

Թող \(N\) լինի \(BC\) միջնակետը, իսկ \(O\) անկյունագծերի հատման կետը: Եկեք ուղիղ գծենք \(NO\) , այն կհատի \(AD\) կողմը \(M\) կետում: Եկեք ապացուցենք, որ \(M\)-ը \(AD\)-ի միջնակետն է:

\(\եռանկյունի BNO\sim \եռանկյունի DMO\)երկու անկյունների երկայնքով (\(\անկյուն OBN=\անկյուն ODM\) խաչաձև ընկած \(BC\զուգահեռ AD\) և \(BD\) հատվածում; \(\անկյուն BON=\անկյուն DOM\) որպես ուղղահայաց): Նշանակում է. \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Նմանապես \(\եռանկյունի CON\sim \եռանկյունի AOM\). Նշանակում է. \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Այստեղից \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Բայց \(BN=CN\) հետևաբար \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Isosceles trapezoid)))\]

Սահմանումներ

Trapezoid-ը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա անկյուններից մեկը ուղիղ է:

Trapezoid-ը կոչվում է հավասարաչափ, եթե նրա կողմերը հավասար են:

Թեորեմներ՝ հավասարաչափ տրապիզոնի հատկությունները

1) Հավասարսուռ trapezoid ունի հավասար հիմք անկյունները.

2) Հավասարաչափ տրապեզի անկյունագծերը հավասար են.

3) Շեղանկյուններից և հիմքից կազմված երկու եռանկյունները հավասարաչափ են:

Ապացույց

1) Դիտարկենք հավասարաչափ trapezoid \(ABCD\) .

\(B\) և \(C\) գագաթներից մենք \(BM\) և \(CN\) ուղղանկյունները գցում ենք համապատասխանաբար \(AD\) կողմին: Քանի որ \(BM\perp AD\) և \(CN\perp AD\) , ապա \(BM\parallel CN\) ; \(AD\զուգահեռ BC\) , ապա \(MBCN\) զուգահեռագիծ է, հետևաբար, \(BM = CN\) .

Դիտարկենք \(ABM\) և \(CDN\) ուղղանկյուն եռանկյունները: Քանի որ նրանց հիպոթենուսները հավասար են, իսկ \(BM\) ոտքը հավասար է \(CN\) ոտքին, ուրեմն այս եռանկյունները հավասար են, հետևաբար, \(\անկյուն DAB = \անկյուն CDA\) .

2)

Որովհետև \(AB=CD, \անկյուն A=\անկյուն D, AD\)- ընդհանուր, ապա ըստ առաջին նշանի. Հետևաբար, \(AC=BD\) .

3) Որովհետև \(\եռանկյուն ABD=\եռանկյուն ACD\), ապա \(\անկյուն BDA=\անկյուն CAD\) . Հետևաբար, \(\եռանկյուն AOD\) եռանկյունը հավասարաչափ է: Նմանապես, ապացուցված է, որ \(\BOC եռանկյունը\) հավասարաչափ է:

Թեորեմներ՝ հավասարաչափ տրապիզոնի նշաններ

1) Եթե trapezoid-ն ունի հիմքի հավասար անկյուններ, ապա այն հավասարաչափ է:

2) Եթե trapezoid-ն ունի հավասար անկյունագծեր, ապա այն հավասարաչափ է:

Ապացույց

Դիտարկենք trapezoid \(ABCD\) այնպես, որ \(\անկյուն A = \անկյուն D\) .

Եկեք լրացնենք trapezoid-ը մինչև \(AED\) եռանկյունին, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Քանի որ \(\անկյուն 1 = \անկյուն 2\) , ապա \(AED\) եռանկյունը հավասարաչափ է և \(AE = ED\) . \(1\) և \(3\) անկյունները հավասար են \(AD\) և \(BC\) զուգահեռ ուղիղների և հատվածի \(AB\) համապատասխան անկյուններին: Նմանապես, \(2\) և \(4\) անկյունները հավասար են, բայց \(\անկյուն 1 = \անկյուն 2\), ապա \(\անկյուն 3 = \անկյուն 1 = \անկյուն 2 = \անկյուն 4\), հետևաբար, \(BEC\) եռանկյունը նույնպես հավասարաչափ է և \(BE = EC\) .

Ի վերջո \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), այսինքն՝ \(AB = CD\), ինչն ապացուցման կարիք ուներ։

2) Թող \(AC=BD\) . Որովհետև \(\եռանկյուն AOD\sim \եռանկյուն BOC\), ապա դրանց նմանության գործակիցը նշանակում ենք \(k\) ։ Ապա եթե \(BO=x\) , ապա \(OD=kx\) . Նման է \(CO=y \Rightarrow AO=ky\)-ին:

Որովհետև \(AC=BD\) , ապա \(x+kx=y+ky \Աջ սլաք x=y\) . Սա նշանակում է, որ \(\եռանկյունը AOD\) հավասարաչափ է և \(\անկյուն OAD=\անկյուն ODA\) .

Այսպիսով, ըստ առաջին նշանի \(\եռանկյուն ABD=\եռանկյուն ACD\) (\(AC=BD, \անկյուն OAD=\անկյուն ODA, AD\)- ընդհանուր): Այսպիսով, \(AB=CD\) , ինչու:

Այս հոդվածում մենք կփորձենք հնարավորինս լիարժեք արտացոլել trapezoid-ի հատկությունները: Մասնավորապես, մենք կխոսենք ընդհանուր նշաններեւ trapezoid-ի հատկությունները, ինչպես նաեւ ներգծված trapezoid-ի եւ trapezoid-ի մեջ ներգծված շրջանագծի հատկությունների մասին: Կանդրադառնանք նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoid.

Քննարկված հատկությունների միջոցով խնդիրը լուծելու օրինակը կօգնի ձեզ դասավորել այն ձեր գլխում և ավելի լավ հիշել նյութը:

Trapeze և բոլոր-բոլոր-բոլորը

Սկսելու համար, եկեք համառոտ հիշենք, թե ինչ է trapezoid- ը և ինչ այլ հասկացություններ են կապված դրա հետ:

Այսպիսով, trapezoid- ը քառանկյուն պատկեր է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են միմյանց (դրանք հիմքերն են): Եվ երկուսը զուգահեռ չեն՝ սրանք կողմերն են։

Trapezoid- ում բարձրությունը կարող է իջեցվել `ուղղահայաց հիմքերին: Կենտրոնական գիծը և անկյունագծերը գծված են: Հնարավոր է նաև կիսաչափ նկարել տրապեզիի ցանկացած անկյունից:

Մոտ տարբեր հատկություններ, կապված այս բոլոր տարրերի և դրանց համակցությունների հետ, մենք այժմ կխոսենք:

Trapezoid diagonals- ի հատկությունները

Այն ավելի պարզ դարձնելու համար, մինչ դուք կարդում եք, ուրվագծեք ACME տրապեզոիդը թղթի վրա և դրա մեջ գծեք անկյունագծեր:

1. Եթե ​​գտնեք շեղանկյուններից յուրաքանչյուրի միջնակետերը (այս կետերը կոչենք X և T) և միացնեք դրանք, կստանաք հատված: Trapezoid-ի անկյունագծերի հատկություններից մեկն այն է, որ HT հատվածը գտնվում է միջին գծի վրա: Իսկ դրա երկարությունը կարելի է ստանալ՝ հիմքերի տարբերությունը երկուսի բաժանելով. ХТ = (a – b)/2.
2. Մեր առաջ նույն trapezoid ACME-ն է: Անկյունագծերը հատվում են O կետում: Դիտարկենք AOE և MOK եռանկյունները, որոնք ձևավորվում են անկյունագծերի հատվածներով՝ տրապեզի հիմքերի հետ միասին: Այս եռանկյունները նման են. Եռանկյունների նմանության k գործակիցը արտահայտվում է տրապեզի հիմքերի հարաբերությամբ. k = AE/KM:
   AOE և MOK եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը նկարագրվում է k 2 գործակցով:
3. Նույն trapezoid, նույն անկյունագծերը հատվում են O կետում: Միայն այս անգամ մենք կդիտարկենք այն եռանկյունները, որոնք շեղանկյունների հատվածները կազմել են trapezoid-ի կողմերի հետ միասին: AKO և EMO եռանկյունների մակերեսները չափերով հավասար են. նրանց մակերեսները նույնն են:
4. Trapezoid- ի մեկ այլ հատկություն ներառում է անկյունագծերի կառուցումը: Այսպիսով, եթե դուք շարունակեք AK-ի և ME-ի կողմերը ավելի փոքր հիմքի ուղղությամբ, ապա վաղ թե ուշ դրանք կհատվեն որոշակի կետում: Հաջորդը, ուղիղ գիծ գծեք trapezoid-ի հիմքերի միջով: Այն հատում է հիմքերը X և T կետերում:
   Եթե ​​հիմա երկարացնենք XT գիծը, ապա այն իրար կմիացնի O trapezoid-ի անկյունագծերի հատման կետը, այն կետը, որտեղ հատվում են X և T հիմքերի կողերի երկարացումները և միջնամասը։
5. Անկյունագծերի հատման կետով մենք գծելու ենք մի հատված, որը կմիացնի տրապեզի հիմքերը (T-ն ընկած է KM փոքր հիմքի վրա, X-ը՝ ավելի մեծ AE-ի): Անկյունագծերի հատման կետը այս հատվածը բաժանում է հետևյալ հարաբերությամբ. TO/OX = KM/AE.
6. Այժմ, անկյունագծերի հատման կետով, մենք գծելու ենք տրապեզի (a և b) հիմքերին զուգահեռ հատված։ Խաչմերուկը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի: Դուք կարող եք գտնել հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով բանաձևը 2ab/(a + b).

Trapezoid-ի միջին գծի հատկությունները

Միջին գիծը տրապիզոիդում գծի՛ր նրա հիմքերին զուգահեռ:

1. Տրապիզոնի միջին գծի երկարությունը կարելի է հաշվարկել հիմքերի երկարությունները ավելացնելով և դրանք կիսով չափ բաժանելով. m = (a + b)/2.
2. Եթե ​​որևէ հատված (օրինակ՝ բարձրություն) գծեք տրապիզոնի երկու հիմքերի միջով, միջին գիծը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի։

Trapezoid bisector հատկությունը

Ընտրեք տրապեզի ցանկացած անկյուն և գծեք կիսորդ: Վերցնենք, օրինակ, մեր trapezoid ACME-ի KAE անկյունը: Ինքներդ ավարտելով շինարարությունը, կարող եք հեշտությամբ ստուգել, ​​որ բիսեկտորը կտրում է հիմքից (կամ դրա շարունակությունը ուղիղ գծի վրա հենց նկարից դուրս) նույն երկարության հատվածը, ինչ կողմը:

Trapezoid անկյունների հատկությունները

1. Կողքին հարակից երկու զույգ անկյուններից որն էլ ընտրեք, զույգի անկյունների գումարը միշտ 180 0 է՝ α + β = 180 0 և γ + δ = 180 0:
2. Տրապիզոնի հիմքերի միջնակետերը միացնենք TX հատվածի հետ։ Հիմա եկեք նայենք տրապիզոնի հիմքերի անկյուններին: Եթե ​​դրանցից որևէ մեկի համար անկյունների գումարը 90 0 է, ապա TX հատվածի երկարությունը կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել՝ հիմնվելով հիմքերի երկարությունների տարբերության վրա՝ բաժանված կիսով չափ. TX = (AE – KM)/2.
3. Եթե ​​տրապիզոիդ անկյան կողմերի միջով զուգահեռ գծեր են գծվում, դրանք անկյան կողմերը կբաժանեն համամասնական հատվածների:

Հավասարասրուն (հավասարակողմ) trapezoid-ի հատկությունները

1. Հավասարսուռ trapezoid-ում ցանկացած հիմքի անկյունները հավասար են:
2. Այժմ նորից կառուցեք trapezoid, որպեսզի ավելի հեշտ լինի պատկերացնել, թե ինչի մասին ենք խոսում: Ուշադիր նայեք AE հիմքին - հակառակ M հիմքի գագաթը նախագծված է AE պարունակող գծի որոշակի կետի վրա: Հեռավորությունը A գագաթից մինչև M գագաթի ելքային կետը և հավասարաչափ տրապիզոնի միջին գիծը հավասար են:
3. Մի քանի խոսք հավասարաչափ trapezoid-ի անկյունագծերի հատկության մասին. նրանց երկարությունները հավասար են: Եվ նաև այս անկյունագծերի թեքության անկյունները դեպի տրապիզոիդի հիմքը նույնն են։
4. Միայն հավասարաչափ տրապեզիի շուրջը կարելի է նկարագրել շրջան, քանի որ քառանկյունի հակառակ անկյունների գումարը 180 0 է, սա նախապայման է:
5. Հավասարաչափ տրապիզոնի հատկությունը բխում է նախորդ պարբերությունից. եթե շրջանագիծ կարելի է նկարագրել տրապեզիի մոտ, ապա այն հավասարաչափ է:
6. Հավասարասրուն տրապեզի հատկանիշներից հետևում է տրապեզի բարձրության հատկությանը. եթե նրա անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ, ապա բարձրության երկարությունը հավասար է հիմքերի գումարի կեսին. h = (a + b)/2.
7. Կրկին գծեք TX հատվածը տրապիզոնի հիմքերի միջնակետերի միջով. Եվ միևնույն ժամանակ TX-ը հավասարաչափ տրապեզի համաչափության առանցքն է։
8. Այս անգամ իջեցրեք բարձրությունը trapezoid-ի հակառակ գագաթից ավելի մեծ հիմքի վրա (եկեք այն անվանենք a): Դուք կստանաք երկու հատված. Մեկի երկարությունը կարելի է գտնել, եթե հիմքերի երկարությունները գումարվեն և բաժանվեն կիսով չափ. (a + b)/2. Երկրորդը ստանում ենք, երբ փոքրը հանում ենք մեծ հիմքից և ստացված տարբերությունը բաժանում ենք երկուսի. (ա – բ)/2.

Շրջանակով գծագրված տրապիզոնի հատկությունները

Քանի որ մենք արդեն խոսում ենք շրջանագծով ներգծված տրապիզոնի մասին, եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք այս հարցին։ Մասնավորապես, որտեղ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է trapezoid-ի նկատմամբ: Այստեղ նույնպես խորհուրդ է տրվում ժամանակ հատկացնել մատիտ վերցնելու և նկարելու այն, ինչ կքննարկվի ստորև։ Այսպես ավելի արագ կհասկանաք և ավելի լավ կհիշեք։

1. Շրջանակի կենտրոնի գտնվելու վայրը որոշվում է տրապեզիի անկյունագծի թեքության անկյունով դեպի իր կողմը: Օրինակ, շեղանկյունը կարող է ձգվել տրապեզիի վերևից ուղիղ անկյան տակ դեպի կողմը: Այս դեպքում ավելի մեծ հիմքը հատում է շրջանագծի կենտրոնը հենց մեջտեղում (R = ½AE):
2. Շեղանկյունն ու կողմը կարող են հանդիպել նաև տակ սուր անկյուն– ապա շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է trapezoid-ի ներսում:
3. Շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը կարող է լինել տրապիզոիդից դուրս՝ նրա ավելի մեծ հիմքից այն կողմ, եթե տրապիզոնի անկյունագծի և կողմի միջև կա բութ անկյուն։
4. Trapezoid ACME-ի անկյունագծով և մեծ հիմքով ձևավորված անկյունը (ներգրված անկյուն) իրեն համապատասխանող կենտրոնական անկյան կեսն է. MAE = ½ MOE.
5. Հակիրճ՝ սահմանափակ շրջանագծի շառավիղը գտնելու երկու եղանակի մասին։ Մեթոդ առաջին. ուշադիր նայեք ձեր նկարին. ի՞նչ եք տեսնում: Դուք հեշտությամբ կարող եք նկատել, որ անկյունագիծը տրապիզոիդը բաժանում է երկու եռանկյունի: Շառավիղը կարելի է գտնել եռանկյան կողմի և հակառակ անկյան սինուսի հարաբերությամբ՝ բազմապատկելով երկուսով։ Օրինակ՝ R = AE / 2 * sinAME. Բանաձևը կարելի է գրել նույն ձևով երկու եռանկյունների ցանկացած կողմի համար:
6. Մեթոդ երկրորդ. Գտեք շրջագծված շրջանագծի շառավիղը եռանկյունու տարածքի միջով, որը ձևավորվում է տրապիզոնի անկյունագծով, կողմով և հիմքով. R = AM * ME * AE / 4 * S AME.

Շրջանակով շրջագծված տրապիզոնի հատկությունները

Դուք կարող եք շրջանագիծ տեղադրել trapezoid-ի մեջ, եթե բավարարված է մեկ պայման: Կարդացեք ավելին դրա մասին ստորև: Եվ միասին թվերի այս համադրությունը մի շարք հետաքրքիր հատկություններ ունի։

1. Եթե ​​շրջանագիծը գրված է տրապիզոիդում, ապա նրա միջին գծի երկարությունը հեշտությամբ կարելի է գտնել՝ ավելացնելով կողմերի երկարությունները և ստացված գումարը կիսով չափ բաժանելով. m = (c + d)/2.
2. Շրջանի մասին նկարագրված ACME-ի տրապեզոիդների համար հիմքերի երկարությունների գումարը հավասար է կողմերի երկարությունների գումարին. AK + ME = KM + AE.
3. Trapezoid-ի հիմքերի այս հատկությունից հետևում է հակառակ պնդումը. տրապեզիում կարելի է մակագրել շրջան, որի հիմքերի գումարը հավասար է նրա կողմերի գումարին:
4. R շառավղով շրջանագծի շոշափող կետը, որը ներգծված է տրապեզիում, բաժանում է կողմը երկու հատվածի, եկեք դրանք անվանենք a և b։ Շրջանի շառավիղը կարելի է հաշվարկել բանաձևով. r = √ab.
5. Եվ ևս մեկ գույք. Շփոթմունքից խուսափելու համար այս օրինակն էլ ինքներդ նկարեք։ Մենք ունենք հին լավ trapezoid ACME, որը նկարագրված է շրջանագծի շուրջ: Այն պարունակում է անկյունագծեր, որոնք հատվում են O կետում: Շեղանկյունների հատվածներից և կողային կողմերից ձևավորված AOK և EOM եռանկյունները ուղղանկյուն են:
   Այս եռանկյունների բարձրությունները՝ իջեցված մինչև հիպոթենուսները (այսինքն՝ տրապիզոիդի կողային կողմերը), համընկնում են ներգծված շրջանագծի շառավղների հետ։ Իսկ trapezoid-ի բարձրությունը համընկնում է ներգծված շրջանագծի տրամագծի հետ։

Ուղղանկյուն trapezoid-ի հատկությունները

Trapezoid-ը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա անկյուններից մեկը ուղիղ է: Եվ դրա հատկությունները բխում են հենց այս հանգամանքից։

1. Ուղղանկյուն trapezoid ունի իր կողմերից մեկը ուղղահայաց իր հիմքում.
2. Հարակից տրապեզոիդի բարձրությունը և կողային կողմը ճիշտ անկյուն, հավասար են։ Սա թույլ է տալիս հաշվարկել ուղղանկյուն trapezoid-ի տարածքը (ընդհանուր բանաձև S = (a + b) * h/2) ոչ միայն բարձրությամբ, այլև աջ անկյան հարակից կողմով:
3. Ուղղանկյուն trapezoid-ի համար վերը նկարագրված trapezoid-ի անկյունագծերի ընդհանուր հատկությունները տեղին են:

Տրապիզոնի որոշ հատկությունների վկայություն

Անկյունների հավասարությունը հավասարաչափ տրապեզի հիմքում.

• Հավանաբար արդեն կռահեցիք, որ այստեղ մեզ նորից պետք կգա AKME trapezoid՝ նկարեք հավասարաչափ տրապիզոիդ: Գծե՛ք ՄՏ ուղիղ գիծ M գագաթից՝ AK-ի կողքին զուգահեռ (MT || AK):

Ստացված AKMT քառանկյունը զուգահեռագիծ է (AK || MT, KM || AT): Քանի որ ME = KA = MT, ∆ MTE-ը հավասարաչափ է, իսկ MET = MTE:

ԱԿ || MT, հետևաբար MTE = KAE, MET = MTE = KAE:

Որտեղ է AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME:

Ք.Ե.Դ.

Այժմ, հիմնվելով հավասարաչափ տրապեզի հատկության վրա (անկյունագծերի հավասարություն) մենք ապացուցում ենք, որ trapezoid ACME isosceles:

• Նախ, եկեք գծենք ուղիղ գիծ MX – MX || ԿԵ. Մենք ստանում ենք KMHE զուգահեռագիծ (հիմք – MX || KE և KM || EX):

∆AMX-ը հավասարաչափ է, քանի որ AM = KE = MX, և MAX = MEA:

ՄՀ || KE, KEA = MXE, հետևաբար MAE = MXE:

Ստացվում է, որ AKE և EMA եռանկյունները հավասար են միմյանց, քանի որ AM = KE և AE երկու եռանկյունների ընդհանուր կողմն են։ Եվ նաև MAE = MXE: Կարելի է եզրակացնել, որ AK = ME, և սրանից հետևում է, որ AKME տրապիզը հավասարաչափ է:

Վերանայել առաջադրանքը

ACME trapezoid-ի հիմքերը 9 սմ և 21 սմ են, KA կողմը, որը հավասար է 8 սմ, փոքր հիմքի հետ կազմում է 150 0 անկյուն։ Դուք պետք է գտնեք trapezoid- ի տարածքը:

Լուծում. K գագաթից իջեցնում ենք բարձրությունը մինչև տրապիզոնի ավելի մեծ հիմքը: Եվ եկեք սկսենք դիտարկել trapezoid-ի անկյունները:

AEM և KAN անկյունները միակողմանի են: Սա նշանակում է, որ ընդհանուր առմամբ տալիս են 180 0։ Հետեւաբար, KAN = 30 0 (հիմնվելով trapezoidal անկյունների հատկության վրա):

Այժմ դիտարկենք ուղղանկյուն ∆ANC-ը (կարծում եմ, որ այս կետն ակնհայտ է ընթերցողների համար առանց լրացուցիչ ապացույցների): Դրանից մենք կգտնենք KH trapezoid- ի բարձրությունը - եռանկյունու մեջ դա այն ոտքն է, որը գտնվում է 30 0 անկյան դիմաց: Հետևաբար, KH = ½AB = 4 սմ:

Մենք գտնում ենք trapezoid-ի տարածքը՝ օգտագործելով բանաձևը՝ S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 սմ 2:

Հետբառ

Եթե ​​դուք ուշադիր և մտածված ուսումնասիրել եք այս հոդվածը, չափազանց ծույլ չէիք մատիտ ձեր ձեռքերում տրված բոլոր հատկությունների համար տրապիզոիդներ նկարել և գործնականում վերլուծել դրանք, ապա պետք է լավ տիրապետեիք նյութին։

Այստեղ, իհարկե, շատ տեղեկություններ կան՝ բազմազան ու երբեմն նույնիսկ շփոթեցնող՝ նկարագրված տրապիզոնի հատկությունները մակագրվածի հատկությունների հետ շփոթելն այնքան էլ դժվար չէ։ Բայց դուք ինքներդ տեսաք, որ տարբերությունը հսկայական է։

Այժմ դուք ունեք բոլորի մանրամասն ամփոփում ընդհանուր հատկություններ trapezoids. Ինչպես նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoids-ի հատուկ հատկություններն ու բնութագրերը: Այն շատ հարմար է օգտագործել թեստերին և քննություններին պատրաստվելու համար։ Փորձեք ինքներդ և կիսվեք հղումը ձեր ընկերների հետ:

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Մեզ համար կարևոր է ձեր գաղտնիության պահպանումը: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք վերանայել մեր գաղտնիության գործելակերպը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ այդ մասին եզակի առաջարկներ, առաջխաղացումներ և այլ միջոցառումներ և առաջիկա իրադարձություններ:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ ակցիայի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Տեղեկատվության բացահայտում երրորդ անձանց

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Անհրաժեշտության դեպքում՝ օրենքով, դատական ​​կարգով, ք դատավարություն, և/կամ հիմնվելով Ռուսաստանի Դաշնության պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ հարցումների վրա՝ բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե մենք որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային նշանակության այլ նպատակների համար:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան իրավահաջորդ երրորդ կողմին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Հարգելով ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության չափանիշները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Այս հոդվածում մենք կփորձենք հնարավորինս լիարժեք արտացոլել trapezoid-ի հատկությունները: Մասնավորապես կխոսենք տրապիզոնի ընդհանուր բնութագրերի և հատկությունների, ինչպես նաև ներգծված տրապիզոնի և տրապիզոնի մեջ ներգծված շրջանագծի հատկությունների մասին։ Կանդրադառնանք նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoid-ի հատկություններին։

Քննարկված հատկությունների միջոցով խնդիրը լուծելու օրինակը կօգնի ձեզ դասավորել այն ձեր գլխում և ավելի լավ հիշել նյութը:

Trapeze և բոլոր-բոլոր-բոլորը

Սկսելու համար, եկեք համառոտ հիշենք, թե ինչ է trapezoid- ը և ինչ այլ հասկացություններ են կապված դրա հետ:

Այսպիսով, trapezoid- ը քառանկյուն պատկեր է, որի երկու կողմերը զուգահեռ են միմյանց (դրանք հիմքերն են): Եվ երկուսը զուգահեռ չեն՝ սրանք կողմերն են։

Trapezoid- ում բարձրությունը կարող է իջեցվել `ուղղահայաց հիմքերին: Կենտրոնական գիծը և անկյունագծերը գծված են: Հնարավոր է նաև կիսաչափ նկարել տրապեզիի ցանկացած անկյունից:

Այժմ մենք կխոսենք այս բոլոր տարրերի հետ կապված տարբեր հատկությունների և դրանց համակցությունների մասին:

Trapezoid diagonals- ի հատկությունները

Այն ավելի պարզ դարձնելու համար, մինչ դուք կարդում եք, ուրվագծեք ACME տրապեզոիդը թղթի վրա և դրա մեջ գծեք անկյունագծեր:

1. Եթե ​​գտնեք շեղանկյուններից յուրաքանչյուրի միջնակետերը (այս կետերը կոչենք X և T) և միացնեք դրանք, կստանաք հատված: Trapezoid-ի անկյունագծերի հատկություններից մեկն այն է, որ HT հատվածը գտնվում է միջին գծի վրա: Իսկ դրա երկարությունը կարելի է ստանալ՝ հիմքերի տարբերությունը երկուսի բաժանելով. ХТ = (a – b)/2.
2. Մեր առաջ նույն trapezoid ACME-ն է: Անկյունագծերը հատվում են O կետում: Դիտարկենք AOE և MOK եռանկյունները, որոնք ձևավորվում են անկյունագծերի հատվածներով՝ տրապեզի հիմքերի հետ միասին: Այս եռանկյունները նման են. Եռանկյունների նմանության k գործակիցը արտահայտվում է տրապեզի հիմքերի հարաբերությամբ. k = AE/KM:
   AOE և MOK եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը նկարագրվում է k 2 գործակցով:
3. Նույն trapezoid, նույն անկյունագծերը հատվում են O կետում: Միայն այս անգամ մենք կդիտարկենք այն եռանկյունները, որոնք շեղանկյունների հատվածները կազմել են trapezoid-ի կողմերի հետ միասին: AKO և EMO եռանկյունների մակերեսները չափերով հավասար են. նրանց մակերեսները նույնն են:
4. Trapezoid- ի մեկ այլ հատկություն ներառում է անկյունագծերի կառուցումը: Այսպիսով, եթե դուք շարունակեք AK-ի և ME-ի կողմերը ավելի փոքր հիմքի ուղղությամբ, ապա վաղ թե ուշ դրանք կհատվեն որոշակի կետում: Հաջորդը, ուղիղ գիծ գծեք trapezoid-ի հիմքերի միջով: Այն հատում է հիմքերը X և T կետերում:
   Եթե ​​հիմա երկարացնենք XT գիծը, ապա այն իրար կմիացնի O trapezoid-ի անկյունագծերի հատման կետը, այն կետը, որտեղ հատվում են X և T հիմքերի կողերի երկարացումները և միջնամասը։
5. Անկյունագծերի հատման կետով մենք գծելու ենք մի հատված, որը կմիացնի տրապեզի հիմքերը (T-ն ընկած է KM փոքր հիմքի վրա, X-ը՝ ավելի մեծ AE-ի): Անկյունագծերի հատման կետը այս հատվածը բաժանում է հետևյալ հարաբերությամբ. TO/OX = KM/AE.
6. Այժմ, անկյունագծերի հատման կետով, մենք գծելու ենք տրապեզի (a և b) հիմքերին զուգահեռ հատված։ Խաչմերուկը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի: Դուք կարող եք գտնել հատվածի երկարությունը՝ օգտագործելով բանաձևը 2ab/(a + b).

Trapezoid-ի միջին գծի հատկությունները

Միջին գիծը տրապիզոիդում գծի՛ր նրա հիմքերին զուգահեռ:

1. Տրապիզոնի միջին գծի երկարությունը կարելի է հաշվարկել հիմքերի երկարությունները ավելացնելով և դրանք կիսով չափ բաժանելով. m = (a + b)/2.
2. Եթե ​​որևէ հատված (օրինակ՝ բարձրություն) գծեք տրապիզոնի երկու հիմքերի միջով, միջին գիծը այն կբաժանի երկու հավասար մասերի։

Trapezoid bisector հատկությունը

Ընտրեք տրապեզի ցանկացած անկյուն և գծեք կիսորդ: Վերցնենք, օրինակ, մեր trapezoid ACME-ի KAE անկյունը: Ինքներդ ավարտելով շինարարությունը, կարող եք հեշտությամբ ստուգել, ​​որ բիսեկտորը կտրում է հիմքից (կամ դրա շարունակությունը ուղիղ գծի վրա հենց նկարից դուրս) նույն երկարության հատվածը, ինչ կողմը:

Trapezoid անկյունների հատկությունները

1. Կողքին հարակից երկու զույգ անկյուններից որն էլ ընտրեք, զույգի անկյունների գումարը միշտ 180 0 է՝ α + β = 180 0 և γ + δ = 180 0:
2. Տրապիզոնի հիմքերի միջնակետերը միացնենք TX հատվածի հետ։ Հիմա եկեք նայենք տրապիզոնի հիմքերի անկյուններին: Եթե ​​դրանցից որևէ մեկի համար անկյունների գումարը 90 0 է, ապա TX հատվածի երկարությունը կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել՝ հիմնվելով հիմքերի երկարությունների տարբերության վրա՝ բաժանված կիսով չափ. TX = (AE – KM)/2.
3. Եթե ​​տրապիզոիդ անկյան կողմերի միջով զուգահեռ գծեր են գծվում, դրանք անկյան կողմերը կբաժանեն համամասնական հատվածների:

Հավասարասրուն (հավասարակողմ) trapezoid-ի հատկությունները

1. Հավասարսուռ trapezoid-ում ցանկացած հիմքի անկյունները հավասար են:
2. Այժմ նորից կառուցեք trapezoid, որպեսզի ավելի հեշտ լինի պատկերացնել, թե ինչի մասին ենք խոսում: Ուշադիր նայեք AE հիմքին - հակառակ M հիմքի գագաթը նախագծված է AE պարունակող գծի որոշակի կետի վրա: Հեռավորությունը A գագաթից մինչև M գագաթի ելքային կետը և հավասարաչափ տրապիզոնի միջին գիծը հավասար են:
3. Մի քանի խոսք հավասարաչափ trapezoid-ի անկյունագծերի հատկության մասին. նրանց երկարությունները հավասար են: Եվ նաև այս անկյունագծերի թեքության անկյունները դեպի տրապիզոիդի հիմքը նույնն են։
4. Միայն հավասարաչափ տրապեզիի շուրջը կարելի է նկարագրել շրջան, քանի որ քառանկյունի հակառակ անկյունների գումարը 180 0 է, սա նախապայման է:
5. Հավասարաչափ տրապիզոնի հատկությունը բխում է նախորդ պարբերությունից. եթե շրջանագիծ կարելի է նկարագրել տրապեզիի մոտ, ապա այն հավասարաչափ է:
6. Հավասարասրուն տրապեզի հատկանիշներից հետևում է տրապեզի բարձրության հատկությանը. եթե նրա անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ, ապա բարձրության երկարությունը հավասար է հիմքերի գումարի կեսին. h = (a + b)/2.
7. Կրկին գծեք TX հատվածը տրապիզոնի հիմքերի միջնակետերի միջով. Եվ միևնույն ժամանակ TX-ը հավասարաչափ տրապեզի համաչափության առանցքն է։
8. Այս անգամ իջեցրեք բարձրությունը trapezoid-ի հակառակ գագաթից ավելի մեծ հիմքի վրա (եկեք այն անվանենք a): Դուք կստանաք երկու հատված. Մեկի երկարությունը կարելի է գտնել, եթե հիմքերի երկարությունները գումարվեն և բաժանվեն կիսով չափ. (a + b)/2. Երկրորդը ստանում ենք, երբ փոքրը հանում ենք մեծ հիմքից և ստացված տարբերությունը բաժանում ենք երկուսի. (ա – բ)/2.

Շրջանակով գծագրված տրապիզոնի հատկությունները

Քանի որ մենք արդեն խոսում ենք շրջանագծով ներգծված տրապիզոնի մասին, եկեք ավելի մանրամասն անդրադառնանք այս հարցին։ Մասնավորապես, որտեղ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է trapezoid-ի նկատմամբ: Այստեղ նույնպես խորհուրդ է տրվում ժամանակ հատկացնել մատիտ վերցնելու և նկարելու այն, ինչ կքննարկվի ստորև։ Այսպես ավելի արագ կհասկանաք և ավելի լավ կհիշեք։

1. Շրջանակի կենտրոնի գտնվելու վայրը որոշվում է տրապեզիի անկյունագծի թեքության անկյունով դեպի իր կողմը: Օրինակ, շեղանկյունը կարող է ձգվել տրապեզիի վերևից ուղիղ անկյան տակ դեպի կողմը: Այս դեպքում ավելի մեծ հիմքը հատում է շրջանագծի կենտրոնը հենց մեջտեղում (R = ½AE):
2. Շեղանկյունը և կողմը կարող են հանդիպել նաև սուր անկյան տակ, այնուհետև շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է trapezoid-ի ներսում:
3. Շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը կարող է լինել տրապիզոիդից դուրս՝ նրա ավելի մեծ հիմքից այն կողմ, եթե տրապիզոնի անկյունագծի և կողմի միջև կա բութ անկյուն։
4. Trapezoid ACME-ի անկյունագծով և մեծ հիմքով ձևավորված անկյունը (ներգրված անկյուն) իրեն համապատասխանող կենտրոնական անկյան կեսն է. MAE = ½ MOE.
5. Հակիրճ՝ սահմանափակ շրջանագծի շառավիղը գտնելու երկու եղանակի մասին։ Մեթոդ առաջին. ուշադիր նայեք ձեր նկարին. ի՞նչ եք տեսնում: Դուք հեշտությամբ կարող եք նկատել, որ անկյունագիծը տրապիզոիդը բաժանում է երկու եռանկյունի: Շառավիղը կարելի է գտնել եռանկյան կողմի և հակառակ անկյան սինուսի հարաբերությամբ՝ բազմապատկելով երկուսով։ Օրինակ՝ R = AE / 2 * sinAME. Բանաձևը կարելի է գրել նույն ձևով երկու եռանկյունների ցանկացած կողմի համար:
6. Մեթոդ երկրորդ. Գտեք շրջագծված շրջանագծի շառավիղը եռանկյունու տարածքի միջով, որը ձևավորվում է տրապիզոնի անկյունագծով, կողմով և հիմքով. R = AM * ME * AE / 4 * S AME.

Շրջանակով շրջագծված տրապիզոնի հատկությունները

Դուք կարող եք շրջանագիծ տեղադրել trapezoid-ի մեջ, եթե բավարարված է մեկ պայման: Կարդացեք ավելին դրա մասին ստորև: Եվ միասին թվերի այս համադրությունը մի շարք հետաքրքիր հատկություններ ունի։

1. Եթե ​​շրջանագիծը գրված է տրապիզոիդում, ապա նրա միջին գծի երկարությունը հեշտությամբ կարելի է գտնել՝ ավելացնելով կողմերի երկարությունները և ստացված գումարը կիսով չափ բաժանելով. m = (c + d)/2.
2. Շրջանի մասին նկարագրված ACME-ի տրապեզոիդների համար հիմքերի երկարությունների գումարը հավասար է կողմերի երկարությունների գումարին. AK + ME = KM + AE.
3. Trapezoid-ի հիմքերի այս հատկությունից հետևում է հակառակ պնդումը. տրապեզիում կարելի է մակագրել շրջան, որի հիմքերի գումարը հավասար է նրա կողմերի գումարին:
4. R շառավղով շրջանագծի շոշափող կետը, որը ներգծված է տրապեզիում, բաժանում է կողմը երկու հատվածի, եկեք դրանք անվանենք a և b։ Շրջանի շառավիղը կարելի է հաշվարկել բանաձևով. r = √ab.
5. Եվ ևս մեկ գույք. Շփոթմունքից խուսափելու համար այս օրինակն էլ ինքներդ նկարեք։ Մենք ունենք հին լավ trapezoid ACME, որը նկարագրված է շրջանագծի շուրջ: Այն պարունակում է անկյունագծեր, որոնք հատվում են O կետում: Շեղանկյունների հատվածներից և կողային կողմերից ձևավորված AOK և EOM եռանկյունները ուղղանկյուն են:
   Այս եռանկյունների բարձրությունները՝ իջեցված մինչև հիպոթենուսները (այսինքն՝ տրապիզոիդի կողային կողմերը), համընկնում են ներգծված շրջանագծի շառավղների հետ։ Իսկ trapezoid-ի բարձրությունը համընկնում է ներգծված շրջանագծի տրամագծի հետ։

Ուղղանկյուն trapezoid-ի հատկությունները

Trapezoid-ը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա անկյուններից մեկը ուղիղ է: Եվ դրա հատկությունները բխում են հենց այս հանգամանքից։

1. Ուղղանկյուն trapezoid ունի իր կողմերից մեկը ուղղահայաց իր հիմքում.
2. Ուղիղ անկյան կից տրապեզիի բարձրությունը և կողմը հավասար են: Սա թույլ է տալիս հաշվարկել ուղղանկյուն trapezoid-ի տարածքը (ընդհանուր բանաձև S = (a + b) * h/2) ոչ միայն բարձրությամբ, այլև աջ անկյան հարակից կողմով:
3. Ուղղանկյուն trapezoid-ի համար վերը նկարագրված trapezoid-ի անկյունագծերի ընդհանուր հատկությունները տեղին են:

Տրապիզոնի որոշ հատկությունների վկայություն

Անկյունների հավասարությունը հավասարաչափ տրապեզի հիմքում.

• Հավանաբար արդեն կռահեցիք, որ այստեղ մեզ նորից պետք կգա AKME trapezoid՝ նկարեք հավասարաչափ տրապիզոիդ: Գծե՛ք ՄՏ ուղիղ գիծ M գագաթից՝ AK-ի կողքին զուգահեռ (MT || AK):

Ստացված AKMT քառանկյունը զուգահեռագիծ է (AK || MT, KM || AT): Քանի որ ME = KA = MT, ∆ MTE-ը հավասարաչափ է, իսկ MET = MTE:

ԱԿ || MT, հետևաբար MTE = KAE, MET = MTE = KAE:

Որտեղ է AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME:

Ք.Ե.Դ.

Այժմ, հիմնվելով հավասարաչափ տրապեզի հատկության վրա (անկյունագծերի հավասարություն) մենք ապացուցում ենք, որ trapezoid ACME isosceles:

• Նախ, եկեք գծենք ուղիղ գիծ MX – MX || ԿԵ. Մենք ստանում ենք KMHE զուգահեռագիծ (հիմք – MX || KE և KM || EX):

∆AMX-ը հավասարաչափ է, քանի որ AM = KE = MX, և MAX = MEA:

ՄՀ || KE, KEA = MXE, հետևաբար MAE = MXE:

Ստացվում է, որ AKE և EMA եռանկյունները հավասար են միմյանց, քանի որ AM = KE և AE երկու եռանկյունների ընդհանուր կողմն են։ Եվ նաև MAE = MXE: Կարելի է եզրակացնել, որ AK = ME, և սրանից հետևում է, որ AKME տրապիզը հավասարաչափ է:

Վերանայել առաջադրանքը

ACME trapezoid-ի հիմքերը 9 սմ և 21 սմ են, KA կողմը, որը հավասար է 8 սմ, փոքր հիմքի հետ կազմում է 150 0 անկյուն։ Դուք պետք է գտնեք trapezoid- ի տարածքը:

Լուծում. K գագաթից իջեցնում ենք բարձրությունը մինչև տրապիզոնի ավելի մեծ հիմքը: Եվ եկեք սկսենք դիտարկել trapezoid-ի անկյունները:

AEM և KAN անկյունները միակողմանի են: Սա նշանակում է, որ ընդհանուր առմամբ տալիս են 180 0։ Հետեւաբար, KAN = 30 0 (հիմնվելով trapezoidal անկյունների հատկության վրա):

Այժմ դիտարկենք ուղղանկյուն ∆ANC-ը (կարծում եմ, որ այս կետն ակնհայտ է ընթերցողների համար առանց լրացուցիչ ապացույցների): Դրանից մենք կգտնենք KH trapezoid- ի բարձրությունը - եռանկյունու մեջ դա այն ոտքն է, որը գտնվում է 30 0 անկյան դիմաց: Հետևաբար, KH = ½AB = 4 սմ:

Մենք գտնում ենք trapezoid-ի տարածքը՝ օգտագործելով բանաձևը՝ S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 սմ 2:

Հետբառ

Եթե ​​դուք ուշադիր և մտածված ուսումնասիրել եք այս հոդվածը, չափազանց ծույլ չէիք մատիտ ձեր ձեռքերում տրված բոլոր հատկությունների համար տրապիզոիդներ նկարել և գործնականում վերլուծել դրանք, ապա պետք է լավ տիրապետեիք նյութին։

Այստեղ, իհարկե, շատ տեղեկություններ կան՝ բազմազան ու երբեմն նույնիսկ շփոթեցնող՝ նկարագրված տրապիզոնի հատկությունները մակագրվածի հատկությունների հետ շփոթելն այնքան էլ դժվար չէ։ Բայց դուք ինքներդ տեսաք, որ տարբերությունը հսկայական է։

Այժմ դուք մանրամասն նկարագրում եք տրապիզոնի բոլոր ընդհանուր հատկությունները: Ինչպես նաև հավասարաչափ և ուղղանկյուն trapezoids- ի հատուկ հատկություններ և բնութագրեր: Այն շատ հարմար է օգտագործել թեստերին և քննություններին պատրաստվելու համար։ Փորձեք ինքներդ և կիսվեք հղումը ձեր ընկերների հետ:

blog.site-ը, նյութն ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս պարտադիր է սկզբնաղբյուրի հղումը: