Այս հաշվիչը հաշվարկել է 2192 խնդիր «Տրապեզոիդի տարածք» թեմայով

ՏՐԱՊԵԶՈՒԻ ՏԱՐԱԾՔ

Ընտրեք trapezoid-ի տարածքը հաշվարկելու բանաձևը, որը նախատեսում եք օգտագործել ձեզ հանձնարարված խնդիրը լուծելու համար.

Տրապիզոնի տարածքը հաշվարկելու ընդհանուր տեսություն.

Trapezoid - Սա հարթ գործիչ է, որը բաղկացած է չորս կետերից, որոնցից երեքը չեն գտնվում նույն գծի վրա, և չորս հատվածները (կողմերը), որոնք զույգերով միացնում են այս չորս կետերը, որոնցում երկու հակառակ կողմերը զուգահեռ են (պառկում են զուգահեռ գծերի վրա), և մյուս երկուսը զուգահեռ չեն:

Կետերը կոչվում են trapezoid-ի գագաթները և նշվում են լատինատառ մեծատառերով։

Հատվածները կոչվում են trapezoid կողմերը և նշվում են մի զույգ մեծատառերով Լատինական տառերհամապատասխան գագաթներին, որոնք միացնում են հատվածները:

Trapezoid-ի երկու զուգահեռ կողմերը կոչվում են trapezoid հիմքերը .

Տրապիզոնի երկու ոչ զուգահեռ կողմերը կոչվում են trapezoid-ի կողմերը .

Նկար թիվ 1. Trapezoid ABCD

Նկար 1-ում ներկայացված է ABCD տրապիզոիդը գագաթները A, B,C, D և կողմերը AB, BC, CD, DA:

AB ǁ DC - ABCD trapezoid-ի հիմքերը:

AD, BC - ABCD trapezoid-ի կողային կողմերը:

AB և AD ճառագայթների կողմից ձևավորված անկյունը կոչվում է A գագաթի անկյուն: Այն նշվում է որպես ÐA կամ ÐBAD կամ ÐDAB:

BA և BC ճառագայթների կողմից ձևավորված անկյունը կոչվում է B գագաթի անկյուն: Այն նշվում է որպես ÐB կամ ÐABC կամ ÐCBA:

CB և CD ճառագայթների կողմից ձևավորված անկյունը կոչվում է գագաթային անկյուն C: Այն նշվում է որպես ÐC կամ ÐDCB կամ ÐBCD:

AD և CD ճառագայթների կողմից ձևավորված անկյունը կոչվում է D գագաթային անկյուն: Այն նշվում է որպես ÐD կամ ÐADC կամ ÐCDA:

Նկար թիվ 2. Trapezoid ABCD

Նկար 2-ում կոչվում է կողային կողմերի միջնակետերը միացնող MN հատվածը trapezoid-ի միջին գիծը.

Trapezoid-ի միջին գիծհիմքերին զուգահեռ և հավասար դրանց կիսագումարին: Այսինքն՝ .

Նկար No 3. Isosceles trapezoid ABCD

Նկար 3-ում AD=BC.

Trapezoid կոչվում է հավասարաչափ (հավասարաչափ), եթե նրա կողմերը հավասար են։

Նկար թիվ 4. ուղղանկյուն trapezoid ABCD

Նկար 4-ում D անկյունը ուղիղ է (հավասար է 90°):

Trapezoid կոչվում է ուղղանկյուն,եթե կողմի անկյունը ուղիղ է.

Տարածք S բնակարանթվերը, որոնք ներառում են trapezoid, կոչվում են սահմանափակ փակ տարածություն հարթության վրա: Քառակուսի հարթ գործիչցույց է տալիս այս գործչի չափը:

Տարածքն ունի մի քանի հատկություններ.

1. Այն չի կարող բացասական լինել։

2. Եթե հարթության վրա տրված է որոշակի փակ տարածք, որը կազմված է իրար չհատվող մի քանի թվերից (այսինքն՝ ֆիգուրները չունեն ընդհանուր ներքին կետեր, բայց կարող են դիպչել միմյանց), ապա տարածքը. նման տարածքը հավասար է դրա բաղկացուցիչ թվերի մակերեսների գումարին։

3. Եթե երկու թվեր հավասար են, ապա նրանց մակերեսները հավասար են:

4. Միավոր հատվածի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը հավասար է մեկի։

Համար միավոր չափումներ տարածքվերցրեք քառակուսու մակերեսը, որի կողմը հավասար է միավոր չափումներհատվածներ.

Խնդիրները լուծելիս հաճախ օգտագործվում են trapezoid-ի տարածքը հաշվարկելու հետևյալ բանաձևերը.

1. Տրապիզոնի մակերեսը հավասար է նրա հիմքերի գումարի կեսին՝ բազմապատկած բարձրության վրա.

2. Տրապիզոնի մակերեսը հավասար է նրա միջին գծի և բարձրության արտադրյալին.

3. Տրապիզոնի հիմքերի և կողմերի հայտնի երկարությունների դեպքում նրա տարածքը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

4. Հնարավոր է հաշվարկել տրապիզոիդում ներգծված շրջանագծի շառավիղի հայտնի երկարությամբ և հիմքում գտնվող անկյան հայտնի արժեքով հավասարաչափ տրապեզի մակերեսը՝ օգտագործելով հետևյալ բանաձևը.

Օրինակ 1:Հաշվի՛ր a=7, b=3 և բարձրությունը h=15 հիմքերով տրապեզիի մակերեսը։

Լուծում:

Պատասխան.

Օրինակ 2:Գտե՛ք S = 35 սմ 2, բարձրությունը h = 7 սմ և երկրորդ հիմք b = 2 սմ տրապիզոնի հիմքի կողմը:

Լուծում:

Trapezoid-ի հիմքի կողմը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը.

Այս բանաձևից եկեք արտահայտենք տրապեզի հիմքի կողմը.

Այսպիսով, մենք ունենք հետևյալը.

Պատասխան.

Օրինակ 3:Գտե՛ք S = 17 սմ 2 մակերես ունեցող trapezoid-ի բարձրությունը և a = 30 սմ, b = 4 սմ հիմքերը:

Լուծում:

Trapezoid-ի բարձրությունը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք տարածքը հաշվարկելու բանաձևը.

Այսպիսով, մենք ունենք հետևյալը.

Պատասխան.

Օրինակ 4:Հաշվե՛ք h=24 բարձրությամբ և կենտրոնական m=5 տրապիզոնի մակերեսը։

Լուծում:

Տրապեզոիդի մակերեսը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ բանաձևը՝ տարածքը հաշվարկելու համար.

Այսպիսով, մենք ունենք հետևյալը.

Պատասխան.

Օրինակ 5:Գտե՛ք S = 48 սմ 2 մակերեսով տրապիզոնի բարձրությունը և m = 6 սմ կենտրոնական գիծ:

Լուծում:

Trapezoid-ի բարձրությունը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք տրապիզոնի մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը.

Եկեք արտահայտենք trapezoid-ի բարձրությունը այս բանաձևից.

Այսպիսով, մենք ունենք հետևյալը.

Պատասխան.

Օրինակ 6:Գտե՛ք S = 56 մակերեսով և h=4 բարձրությամբ trapezoid-ի միջին գիծը:

Լուծում:

Trapezoid-ի միջին գիծը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք տրապիզոնի մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը.

Եկեք արտահայտենք trapezoid-ի միջին գիծը այս բանաձևից.

Այսպիսով, մենք ունենք հետևյալը.

Trapezoid-ը քառանկյունի հատուկ տեսակ է, որի երկու հակառակ կողմերը զուգահեռ են միմյանց, իսկ մյուս երկուսը` ոչ: Տարբեր իրական առարկաներ ունեն trapezoidal ձև, այնպես որ դուք կարող եք հաշվարկել նման երկրաչափական գործչի պարագիծը ամենօրյա կամ դպրոցական խնդիրները լուծելու համար:

Trapezoid երկրաչափություն

Trapezoid (հունարեն «trapezion» - աղյուսակ) մի հարթության վրա գտնվող պատկեր է, որը սահմանափակվում է չորս հատվածներով, որոնցից երկուսը զուգահեռ են, իսկ երկուսը ՝ ոչ: Զուգահեռ հատվածները կոչվում են տրապեզի հիմքեր, իսկ ոչ զուգահեռ հատվածները՝ նկարի կողմերը։ Կողմերը և դրանց թեքության անկյունները որոշում են տրապիզոիդի տեսակը, որը կարող է լինել թեփուկ, հավասարաչափ կամ ուղղանկյուն։ Բացի հիմքերից և կողմերից, trapezoid-ն ունի ևս երկու տարր.

• բարձրություն - գործչի զուգահեռ հիմքերի միջև հեռավորությունը.
• միջին գիծ - կողմերի միջնակետերը միացնող հատված:

Այս երկրաչափական պատկերը լայն տարածում ունի իրական կյանքում։

Trapezoid իրականում

IN առօրյա կյանքՇատ իրական առարկաներ ստանում են trapezoidal ձեւ: Դուք հեշտությամբ կարող եք գտնել trapezoids մարդկային գործունեության հետևյալ ոլորտներում.

• ինտերիերի ձևավորում և դեկոր - բազմոցներ, սեղանի սեղաններ, պատեր, գորգեր, կախովի առաստաղներ;
• լանդշաֆտային ձևավորում - սիզամարգերի և արհեստական ​​ջրամբարների սահմաններ, դեկորատիվ տարրերի ձևեր.
• նորաձևություն - հագուստի, կոշիկի և աքսեսուարների ձև;
• ճարտարապետություն - պատուհաններ, պատեր, շենքի հիմքեր;
• արտադրություն՝ տարբեր ապրանքներ և մասեր։

Տրապիզոիդների նման լայն կիրառմամբ մասնագետները հաճախ ստիպված են լինում հաշվարկել երկրաչափական պատկերի պարագիծը։

Trapezoid պարագծային

Նկարի պարագիծը թվային բնութագիր է, որը հաշվարկվում է որպես n-անկյունի բոլոր կողմերի երկարությունների գումար։ Trapezoid-ը քառանկյուն է և ընդհանուր դեպքնրա բոլոր կողմերն ունեն տարբեր երկարություններ, ուստի պարագիծը հաշվարկվում է բանաձևով.

P = a + b + c + d,

որտեղ a-ն և c-ն նկարի հիմքերն են, b-ը և d-ը նրա կողմերն են:

Չնայած տրապեզի պարագիծը հաշվարկելիս մենք կարիք չունենք իմանալու բարձրությունը, հաշվիչի կոդը պահանջում է մուտքագրել այս փոփոխականը: Քանի որ բարձրությունը չի ազդում հաշվարկների վրա, մեր առցանց հաշվիչը օգտագործելիս կարող եք մուտքագրել ցանկացած բարձրության արժեք, որը զրոյից մեծ է: Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Իրական կյանքի օրինակներ

Թաշկինակ

Ենթադրենք, դուք ունեք տրապեզոիդ ձևով շարֆ և ցանկանում եք այն կտրել ծոպերով։ Դուք պետք է իմանաք շարֆի պարագիծը, որպեսզի ավելորդ նյութ չգնեք կամ երկու անգամ խանութ չգնաք: Թող ձեր հավասարաչափ շարֆը ունենա հետևյալ պարամետրերը. a = 120 սմ, b = 60 սմ, c = 100 սմ, d = 60 սմ Մենք մուտքագրում ենք այս տվյալները առցանց ձևի մեջ և ստանում ենք պատասխանը:

Այսպիսով, շարֆի պարագիծը 340 սմ է, և հենց այսքանն է ծայրային հյուսի երկարությունը այն ավարտելու համար։

Լանջեր

Օրինակ, դուք որոշել եք լանջեր պատրաստել ոչ ստանդարտի համար մետաղապլաստե պատուհաններ, որոնք ունեն trapezoidal ձեւ։ Նման պատուհանները լայնորեն կիրառվում են շենքերի նախագծման մեջ՝ ստեղծելով մի քանի թևերի կոմպոզիցիա։ Ամենից հաճախ նման պատուհանները պատրաստվում են ձևով ուղղանկյուն trapezoid. Եկեք պարզենք, թե որքան նյութ է անհրաժեշտ նման պատուհանի լանջերը պատրաստելու համար: Ստանդարտ պատուհանն ունի հետևյալ պարամետրերը a = 140 սմ, b = 20 սմ, c = 180 սմ, d = 50 սմ Մենք օգտագործում ենք այս տվյալները և ստանում ենք արդյունքը ձևով

Հետևաբար, տրապեզոիդ պատուհանի պարագիծը 390 սմ է, և ահա թե որքան պետք է գնել: պլաստիկ վահանակներլանջերի ձեւավորման համար.

Եզրակացություն

Trapezoid-ը հայտնի կերպար է առօրյա կյանքում, որի պարամետրերի որոշումը կարող է անհրաժեշտ լինել ամենաանսպասելի իրավիճակներում: Տրապեզոիդային պարագծերի հաշվարկն անհրաժեշտ է շատ մասնագետների համար՝ ինժեներներից և ճարտարապետներից մինչև դիզայներներ և մեխանիկներ: Առցանց հաշվիչների մեր կատալոգը թույլ կտա հաշվարկներ կատարել ցանկացածի համար երկրաչափական ձևերև հեռ.

Trapezoid-ի տարածքը. Ողջույններ: Այս հրապարակման մեջ մենք կանդրադառնանք նշված բանաձևին. Ինչու է նա հենց այսպիսին և ինչպես հասկանալ նրան: Եթե ​​կա ըմբռնում, ուրեմն պետք չէ դա սովորեցնել։ Եթե ​​դուք պարզապես ցանկանում եք նայել այս բանաձևին և շտապ, ապա կարող եք անմիջապես ոլորել էջը))

Այժմ մանրամասն և կարգով:

Trapezoid-ը քառանկյուն է, այս քառանկյան երկու կողմերը զուգահեռ են, մյուս երկուսը` ոչ: Նրանք, որոնք զուգահեռ չեն, տրապեզի հիմքերն են։ Մյուս երկուսը կոչվում են կողմեր:

Եթե ​​կողմերը հավասար են, ապա տրապեզը կոչվում է հավասարաչափ: Եթե ​​կողմերից մեկն ուղղահայաց է հիմքերին, ապա նման տրապիզը կոչվում է ուղղանկյուն։

IN դասական տեսքՏրապիզոիդը պատկերված է հետևյալ կերպ՝ ավելի մեծ հիմքը ներքևում է, իսկ փոքրը՝ վերևում։ Բայց ոչ ոք չի արգելում նրան պատկերել և հակառակը։ Ահա էսքիզները.

Հաջորդ կարևոր հայեցակարգը.

Trapezoid-ի միջին գիծը մի հատված է, որը միացնում է կողմերի միջնակետերը: Միջին գիծը զուգահեռ է տրապիզոնի հիմքերին և հավասար է դրանց կիսագումարին։

Հիմա եկեք ավելի խորանանք: Ինչո՞ւ է սա այդպես։

Դիտարկենք հիմքերով trapezoid ա և բև միջին գծով լ, և կատարեք մի քանի լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ. հիմքերի միջով ուղիղ գծեր գծեք, իսկ միջին գծի ծայրերով՝ ուղղահայացներ, մինչև դրանք հատվեն հիմքերի հետ.

*Գագաձևերի և այլ կետերի տառերի նշանակումները դիտավորյալ չեն ներառված՝ ավելորդ նշումներից խուսափելու համար:

Տեսեք, 1 և 2 եռանկյունները հավասար են եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանի համաձայն, 3 և 4 եռանկյունները նույնն են: Եռանկյունների հավասարությունից հետևում է տարրերի, այն է՝ ոտքերի հավասարությունը (դրանք համապատասխանաբար նշված են կապույտ և կարմիր գույներով)։

Հիմա ուշադրություն! Եթե ​​մտովի «կտրենք» կապույտ և կարմիր հատվածները ստորին հիմքից, ապա մեզ կմնա միջին գծին հավասար հատված (սա ուղղանկյունի կողմն է)։ Հաջորդը, եթե կտրված կապույտ և կարմիր հատվածները «սոսնձենք» տրապիզոնի վերին հիմքին, ապա կստանանք նաև տրապիզոնի միջնագծին հավասար հատված (սա նաև ուղղանկյան կողմն է):

Հասկացա՞ր: Ստացվում է, որ հիմքերի գումարը հավասար կլինի trapezoid-ի երկու միջին գծերին.

Դիտեք մեկ այլ բացատրություն

Անենք հետևյալը՝ կառուցենք տրապիզոնի ստորին հիմքով անցնող ուղիղ և ուղիղ գիծ, ​​որը կանցնի A և B կետերով.

Ստանում ենք 1 և 2 եռանկյուններ, դրանք հավասար են կողքի և հարակից անկյունների երկայնքով (եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը): Սա նշանակում է, որ ստացված հատվածը (ուրվագծում այն ​​նշված է կապույտ գույնով) հավասար է trapezoid-ի վերին հիմքին։

Հիմա հաշվի առեք եռանկյունը.

*Այս trapezoid-ի միջնագիծը և եռանկյան միջին գիծը համընկնում են:

Հայտնի է, որ եռանկյունը հավասար է իրեն զուգահեռ հիմքի կեսին, այսինքն.

Լավ, մենք դա պարզեցինք: Այժմ trapezoid-ի տարածքի մասին:

Trapezoid տարածքի բանաձևը.

Ասում են՝ տրապեզոիդի մակերեսը հավասար է նրա հիմքերի և բարձրության գումարի կեսի արտադրյալին։

Այսինքն՝ ստացվում է, որ այն հավասար է կենտրոնական գծի և բարձրության արտադրյալին.

Դուք հավանաբար արդեն նկատել եք, որ դա ակնհայտ է։ Երկրաչափական առումով սա կարելի է արտահայտել այսպես. եթե մտովի կտրենք 2 և 4 եռանկյունները տրապիզոիդից և տեղադրենք համապատասխանաբար 1 և 3 եռանկյունների վրա.

Այնուհետև մենք կստանանք ուղղանկյուն, որի մակերեսը հավասար է մեր trapezoid-ի մակերեսին: Այս ուղղանկյան մակերեսը հավասար կլինի կենտրոնական գծի և բարձրության արտադրյալին, այսինքն՝ կարող ենք գրել.

Բայց այստեղ խոսքը ոչ թե գրավոր, այլ հասկանալու մեջ է։

Ներբեռնեք (դիտեք) հոդվածի նյութը *pdf ձևաչափով

Այսքանը: Հաջողություն ձեզ:

Հարգանքներով՝ Ալեքսանդր։

Հրահանգներ

Երկու մեթոդներն էլ ավելի հասկանալի դարձնելու համար կարող ենք մի քանի օրինակ բերել։

Օրինակ 1. Trapezoid-ի միջին գծի երկարությունը 10 սմ է, դրա մակերեսը 100 սմ²: Այս trapezoid-ի բարձրությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է անել.

h = 100/10 = 10 սմ

Պատասխան՝ այս trapezoid-ի բարձրությունը 10 սմ է

Օրինակ 2. տրապիզոնի մակերեսը 100 սմ² է, հիմքերի երկարությունը՝ 8 սմ և 12 սմ Այս տրապիզոնի բարձրությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է կատարել հետևյալ գործողությունը.

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 սմ

Պատասխան՝ այս trapezoid-ի բարձրությունը 20 սմ է

Խնդրում ենք նկատի ունենալ

Կան մի քանի տեսակի trapezoids:
Հավասարաչափ տրապիզը այն տրապիզն է, որի կողմերը հավասար են միմյանց:
Ուղղանկյուն trapezoid է trapezoid, որի մեկը ներքին անկյուններըհավասար է 90 աստիճանի:
Հարկ է նշել, որ ուղղանկյուն trapezoid-ում բարձրությունը համընկնում է այն կողմի երկարության հետ, երբ ճիշտ անկյուն.
Դուք կարող եք շրջանագիծ գծել trapezoid-ի շուրջ կամ տեղավորել այն տվյալ գործչի ներսում: Շրջանակը կարելի է գրել միայն այն դեպքում, եթե դրա հիմքերի գումարը հավասար է հակառակ կողմերի գումարին: Շրջանակը կարելի է նկարագրել միայն հավասարաչափ տրապիզոնի շուրջ:

Օգտակար խորհուրդ

Զուգահեռագիծը տրապիզոնի հատուկ դեպք է, քանի որ տրապեզի սահմանումը ոչ մի կերպ չի հակասում զուգահեռագծի սահմանմանը։ Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զուգահեռ են միմյանց: Trapezoid-ի համար սահմանումը վերաբերում է միայն նրա զույգ կողմերին: Հետևաբար, ցանկացած զուգահեռագիծ նույնպես տրապիզոիդ է։ Հակառակ պնդումը ճիշտ չէ։

Աղբյուրներ:

• ինչպես գտնել trapezoid բանաձեւի տարածքը

Հուշում 2. Ինչպես գտնել trapezoid-ի բարձրությունը, եթե տարածքը հայտնի է

Trapezoid-ը քառանկյուն է, որի չորս կողմերից երկուսը զուգահեռ են միմյանց: Զուգահեռ կողմերը տրվածի հիմքերն են, մյուս երկուսը՝ տրվածի կողային կողմերը։ trapezoids. Գտեք բարձրությունը trapezoids, եթե հայտնի է քառակուսի, դա շատ հեշտ կլինի։

Հրահանգներ

Դուք պետք է պարզեք, թե ինչպես հաշվարկել քառակուսիօրիգինալ trapezoids. Դրա համար կան մի քանի բանաձևեր՝ կախված սկզբնական տվյալներից՝ S = ((a+b)*h)/2, որտեղ a-ն և b-ն հիմքեր են։ trapezoids, իսկ h-ը նրա բարձրությունն է (Բարձ trapezoids- ուղղահայաց, իջեցված մեկ հիմքից trapezoidsմյուսին);
S = m*h, որտեղ m-ը ուղիղ է trapezoids(Միջին գիծը հիմքերով հատված է trapezoidsև միացնելով նրա կողմերի միջնակետերը):

Ավելի պարզ դարձնելու համար կարելի է դիտարկել նմանատիպ խնդիրներ. Օրինակ 1. Տրված է trapezoid with քառակուսի 68 սմ², որի միջին գիծը 8 սմ է, պետք է գտնել բարձրությունըտրված trapezoids. Այս խնդիրը լուծելու համար հարկավոր է օգտագործել նախկինում ստացված բանաձևը.
h = 68/8 = 8,5 սմ Պատասխան՝ սրա բարձրությունը trapezoids 8,5 սմ է Օրինակ 2. Թող y trapezoids քառակուսիհավասար է 120 սմ², դրա հիմքերի երկարությունը trapezoids 8 սմ և 12 սմ համապատասխանաբար, դուք պետք է գտնեք բարձրությունըսա trapezoids. Դա անելու համար հարկավոր է կիրառել ստացված բանաձևերից մեկը.
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 սմՊատասխան՝ տրված բարձրություն trapezoidsհավասար է 12 սմ

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Խնդրում ենք նկատի ունենալ

Ցանկացած trapezoid ունի մի շարք հատկություններ.

Trapezoid-ի միջին գիծը հավասար է նրա հիմքերի գումարի կեսին.

Trapezoid-ի անկյունագծերը միացնող հատվածը հավասար է նրա հիմքերի տարբերության կեսին.

Եթե ​​հիմքերի միջնակետերի միջով ուղիղ գիծ է գծվում, ապա այն կհատի տրապիզոիդի անկյունագծերի հատման կետը.

Շրջանագիծը կարելի է մակագրել տրապեզիում, եթե տրապիզոնի հիմքերի գումարը հավասար է նրա կողմերի գումարին։

Օգտագործեք այս հատկությունները խնդիրներ լուծելիս:

Հուշում 3. Ինչպես գտնել trapezoid-ի տարածքը, եթե հիմքերը հայտնի են

Ըստ երկրաչափական սահմանում Trapezoid-ը քառանկյուն է, որն ունի միայն մեկ զույգ զուգահեռ: Այս կողմերն իրենն են պատճառները. Միջև հեռավորությունը պատճառներըկոչվում է բարձրություն trapezoids. Գտեք քառակուսի trapezoidsհնարավոր է օգտագործել երկրաչափական բանաձևեր.

Հրահանգներ

Չափել հիմքերը և trapezoids ABCD. Սովորաբար դրանք տրվում են առաջադրանքներում։ Ներս թողեք այս օրինակումառաջադրանքների հիմնադրամ AD (ա) trapezoidsհավասար կլինի 10 սմ, հիմքը BC (b) - 6 սմ, բարձրությունը trapezoids BK (h) - 8 սմ Օգտագործեք երկրաչափական տարածքը trapezoids, եթե հայտնի են նրա հիմքերի և բարձրությունների երկարությունները - S= 1/2 (a+b)*h, որտեղ՝ - a - հիմքի չափը AD. trapezoids ABCD, - b - BC հիմքի արժեքը, - h - BK բարձրության արժեքը:

Անցյալ տարվա միասնական պետական ​​քննության և պետական ​​քննության պրակտիկան ցույց է տալիս, որ երկրաչափության խնդիրները շատ դպրոցականների համար դժվարություններ են առաջացնում։ Դուք կարող եք հեշտությամբ գլուխ հանել դրանցից, եթե անգիր սովորեք բոլոր անհրաժեշտ բանաձեւերը և զբաղվեք խնդիրների լուծմանը։

Այս հոդվածում դուք կտեսնեք բանաձևեր՝ տրապեզոիդի տարածքը գտնելու համար, ինչպես նաև լուծումների հետ կապված խնդիրների օրինակներ։ Նույնը կարող եք հանդիպել KIM-ներում սերտիֆիկացման քննությունների կամ օլիմպիադաների ժամանակ: Հետեւաբար, ուշադիր վերաբերվեք նրանց:

Ի՞նչ պետք է իմանաք trapezoid-ի մասին:

Սկզբից եկեք հիշենք դա trapezoidկոչվում է քառանկյուն, որի երկու հակադիր կողմերը, որոնք կոչվում են նաև հիմքեր, զուգահեռ են, իսկ մյուս երկուսը` ոչ:

Trapezoid-ում բարձրությունը (հիմքին ուղղահայաց) կարող է նաև իջեցվել: Միջին գիծը գծված է - սա ուղիղ գիծ է, որը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց գումարի կեսին: Ինչպես նաև անկյունագծերը, որոնք կարող են հատվել՝ ձևավորելով սուր և բութ անկյուններ։ Կամ, որոշ դեպքերում, ճիշտ անկյան տակ: Բացի այդ, եթե trapezoid-ը հավասարաչափ է, ապա դրա մեջ կարելի է շրջանագիծ գրել։ Եվ նկարագրեք նրա շուրջը մի շրջան:

Trapezoid տարածքի բանաձեւեր

Նախ, եկեք նայենք տրապիզոիդի տարածքը գտնելու ստանդարտ բանաձևերին: Ստորև մենք կքննարկենք հավասարաչափ և կորագիծ տրապիզոիդների տարածքը հաշվարկելու ուղիները:

Այսպիսով, պատկերացրեք, որ դուք ունեք a և b հիմքերով trapezoid, որի բարձրությունը h իջեցված է ավելի մեծ հիմքի վրա: Ֆիգուրի մակերեսը հաշվարկելն այս դեպքում նույնքան հեշտ է, որքան տանձը ռմբակոծելը: Պարզապես պետք է հիմքերի երկարությունների գումարը բաժանել երկուսի և արդյունքը բազմապատկել բարձրությամբ. S = 1/2 (a + b) * h.

Վերցնենք մեկ այլ դեպք՝ ենթադրենք, տրապիզոիդում, բացի բարձրությունից, կա միջին գիծ m. Մենք գիտենք միջին գծի երկարությունը գտնելու բանաձևը՝ m = 1/2(a + b): Հետևաբար, մենք իրավամբ կարող ենք պարզեցնել տրապիզոիդի տարածքի բանաձևը հետևյալ ձևով. S = m* h. Այլ կերպ ասած, trapezoid-ի տարածքը գտնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել կենտրոնի գիծը բարձրությամբ:

Դիտարկենք մեկ այլ տարբերակ՝ trapezoid-ը պարունակում է d 1 և d 2 անկյունագծեր, որոնք չեն հատվում α ուղիղ անկյան տակ։ Նման trapezoid-ի տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է բաժանել անկյունագծերի արտադրյալը երկուսի և արդյունքը բազմապատկել նրանց միջև եղած անկյան մեղքով. S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Այժմ հաշվի առեք տրապեզոիդի մակերեսը գտնելու բանաձևը, եթե դրա մասին ոչինչ հայտնի չէ, բացի նրա բոլոր կողմերի երկարություններից՝ a, b, c և d: Այն ծավալուն է և բարդ բանաձև, բայց ձեզ համար օգտակար կլինի հիշել այն, միայն թե. S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Ի դեպ, վերը նշված օրինակները ճիշտ են նաև այն դեպքում, երբ ձեզ անհրաժեշտ է ուղղանկյուն տրապիզոնի տարածքի բանաձևը: Սա trapezoid է, որի կողմը միացված է հիմքերին ուղիղ անկյան տակ:

Isosceles trapezoid

Trapezoid-ը, որի կողմերը հավասար են, կոչվում է հավասարաչափ: Մենք կքննարկենք մի քանի տարբերակ հավասարաչափ տրապիզոնի տարածքի բանաձևի համար:

Առաջին տարբերակ. այն դեպքում, երբ r շառավղով շրջան գրված է հավասարաչափ տրապիզոնի ներսում, իսկ կողային և ավելի մեծ հիմքը ձևավորվում է. սուր անկյունα. Շրջանագիծը կարելի է գծագրել տրապիզոիդում, պայմանով, որ դրա հիմքերի երկարությունների գումարը հավասար է կողմերի երկարությունների գումարին։

Հավասարաչափ տրապեզոիդի մակերեսը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ. ներգծված շրջանագծի շառավիղի քառակուսին բազմապատկեք չորսով և այն ամբողջը բաժանեք sinα-ով. S = 4r 2 /sinα. Տարածքի մեկ այլ բանաձև հատուկ դեպք է այն տարբերակի համար, երբ մեծ հիմքի և կողմի միջև անկյունը 30 0 է: S = 8r2.

Երկրորդ տարբերակ. այս անգամ մենք կվերցնենք isosceles trapezoid, որում ի լրումն գծված են d 1 և d 2 անկյունագծերը, ինչպես նաև h բարձրությունը։ Եթե ​​տրապեզուի անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են, ապա բարձրությունը հիմքերի գումարի կեսն է՝ h = 1/2(a + b): Իմանալով դա՝ հեշտ է ձեզ արդեն ծանոթ trapezoid-ի տարածքի բանաձևը վերածել այս ձևի. S = h2.

Կոր տրապիզոնի տարածքի բանաձևը

Եկեք սկսենք պարզել, թե ինչ է կոր trapezoid-ը: Պատկերացրեք կոորդինատային առանցք և շարունակական և ոչ բացասական f ֆունկցիայի գրաֆիկ, որը չի փոխում նշանը x առանցքի տրված հատվածում: y = f(x) ֆունկցիայի գծապատկերով ձևավորվում է կորագիծ տրապիզոիդ՝ վերևում, x առանցքը ներքևում է (հատված), իսկ կողքերում՝ a և b կետերի միջև գծված ուղիղ գծեր և գրաֆիկի: ֆունկցիան։

Վերոհիշյալ մեթոդներով անհնար է հաշվարկել նման ոչ ստանդարտ գործչի տարածքը: Այստեղ դուք պետք է կիրառեք մաթեմատիկական վերլուծություն և օգտագործեք ինտեգրալը: Մասնավորապես՝ Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը. S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Այս բանաձևում F-ն ընտրված հատվածի մեր ֆունկցիայի հակաածանցյալն է: Իսկ կորագիծ trapezoid-ի մակերեսը համապատասխանում է տվյալ հատվածի հակաածանցյալի ավելացմանը:

Նմուշի խնդիրներ

Այս բոլոր բանաձևերը ձեր գլխում ավելի հեշտ հասկանալու համար, ահա տրապիզոիդի տարածքը գտնելու խնդիրների օրինակներ: Լավագույնը կլինի, եթե նախ փորձեք ինքներդ լուծել խնդիրները, նոր միայն ստացած պատասխանը համեմատեք պատրաստի լուծման հետ։

Առաջադրանք թիվ 1:Տրված է trapezoid. Նրա ավելի մեծ հիմքը 11 սմ է, փոքրը՝ 4 սմ։ Trapezoid-ն ունի անկյունագծեր՝ մեկը 12 սմ երկարությամբ, երկրորդը՝ 9 սմ։

Լուծում. Կառուցեք trapezoid AMRS: Գծե՛ք РХ ուղիղ գիծ P գագաթի միջով այնպես, որ այն զուգահեռ լինի MC անկյունագծով և հատի AC ուղիղը X կետում: Դուք կստանաք APХ եռանկյուն:

Մենք կդիտարկենք այս մանիպուլյացիաների արդյունքում ստացված երկու պատկեր՝ APX եռանկյուն և CMRX զուգահեռագիծ:

Զուգահեռագծի շնորհիվ մենք սովորում ենք, որ PX = MC = 12 սմ և CX = MR = 4 սմ: Որտեղից կարող ենք հաշվել ARX եռանկյան AX կողմը՝ AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 սմ:

Կարող ենք նաև ապացուցել, որ APX եռանկյունը ուղղանկյուն է (դա անելու համար կիրառեք Պյութագորասի թեորեմը՝ AX 2 = AP 2 + PX 2): Եվ հաշվարկեք դրա մակերեսը՝ S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 սմ 2:

Հաջորդը ձեզ հարկավոր է ապացուցել, որ AMP և PCX եռանկյունները հավասար են մակերեսով: Հիմքը կլինի կողմերի MR և CX հավասարությունը (վերևում արդեն ապացուցված): Եվ նաև այն բարձրությունները, որոնք դուք իջեցնում եք այս կողմերից, դրանք հավասար են AMRS trapezoid-ի բարձրությանը:

Այս ամենը թույլ կտա ասել, որ S AMPC = S APX = 54 սմ 2:

Առաջադրանք թիվ 2:Տրված է trapezoid KRMS. Նրա կողային կողմերում կան O և E կետերը, իսկ OE-ն և KS-ը զուգահեռ են: Հայտնի է նաև, որ ORME և OKSE trapezoids-ի տարածքները գտնվում են 1:5 հարաբերակցությամբ։ RM = a և KS = b: Դուք պետք է գտնեք OE:

Լուծում. M կետով RK-ին զուգահեռ ուղիղ գծե՛ք, իսկ OE-ի հետ հատման կետը նշանակե՛ք T: A-ն E կետով գծված գծի հատման կետն է, որը գծված է RK-ին զուգահեռ KS հիմքի հետ:

Ներկայացնենք ևս մեկ նշում՝ OE = x: Եվ նաև բարձրությունը h 1 եռանկյունու TME-ի համար և h 2 բարձրությունը AEC եռանկյունու համար (դուք կարող եք ինքնուրույն ապացուցել այս եռանկյունների նմանությունը):

Մենք կենթադրենք, որ b > a. ORME և OKSE trapezoids-ի մակերեսները գտնվում են 1:5 հարաբերակցությամբ, ինչը մեզ իրավունք է տալիս ստեղծել հետևյալ հավասարումը. (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2: Եկեք փոխակերպենք և ստանանք՝ h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)):

Քանի որ TME և AEC եռանկյունները նման են, մենք ունենք h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x): Եկեք միացնենք երկու մուտքերը և ստանանք՝ (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Այսպիսով, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6:

Եզրակացություն

Երկրաչափությունը գիտություններից ամենահեշտը չէ, բայց դուք, անշուշտ, կարող եք հաղթահարել քննական հարցերը: Բավական է մի փոքր հաստատակամություն ցուցաբերել նախապատրաստման մեջ։ Եվ, իհարկե, հիշեք բոլոր անհրաժեշտ բանաձեւերը։

Մենք փորձեցինք հավաքել տրապիզոնի մակերեսը հաշվարկելու բոլոր բանաձևերը մեկ տեղում, որպեսզի կարողանաք դրանք օգտագործել քննություններին պատրաստվելիս և նյութը վերանայելիս:

Համոզվեք, որ ձեր դասընկերներին և ընկերներին պատմեք այս հոդվածի մասին: սոցիալական ցանցեր. Թող ավելի լավ գնահատականներ լինեն միասնական պետական ​​քննության և պետական ​​քննությունների համար:

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին: