Prva razina

Geometrijska progresija. Sveobuhvatni vodič s primjerima (2019.)

Niz brojeva

Dakle, sjednimo i počnimo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete pisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva napisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Niz brojeva je skup brojeva od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj specifičan je samo za jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema tri druga broja. Drugi broj (kao i th broj) uvijek je isti.

Broj s brojem naziva se n-ti član niza.

Cijeli niz obično nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član tog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju tog člana: .

U našem slučaju:

Najčešći tipovi progresije su aritmetički i geometrijski. U ovoj temi ćemo govoriti o drugoj vrsti - geometrijska progresija.

Zašto je potrebna geometrijska progresija i njezina povijest?

Još u antičko doba talijanski matematičar redovnik Leonardo iz Pise (poznatiji kao Fibonacci) bavio se praktičnim potrebama trgovine. Redovnik je bio suočen sa zadatkom da odredi koji je najmanji broj utega koji se može koristiti za vaganje proizvoda? Fibonacci u svojim radovima dokazuje da je takav sustav utega optimalan: Ovo je jedna od prvih situacija u kojoj su se ljudi morali suočiti s geometrijskom progresijom, za koju ste vjerojatno već čuli i barem opći koncept. Nakon što ste u potpunosti razumjeli temu, razmislite zašto je takav sustav optimalan?

Trenutno, u životnoj praksi, geometrijska progresija Manifestira se prilikom ulaganja novca u banku, kada se iznos kamate obračunava na iznos akumuliran na računu za prethodno razdoblje. Drugim riječima, ako oročite novac u štedionici, nakon godinu dana depozit će se povećati za prvobitni iznos, tj. novi iznos bit će jednak doprinosu pomnoženom s. Za drugu godinu taj će se iznos povećati za, t.j. tada dobiveni iznos opet će se pomnožiti sa i tako dalje. Slična situacija opisana je u problemima izračunavanja tzv zajednički interes- postotak se uzima svaki put od iznosa koji je na računu, uzimajući u obzir prethodne kamate. O ovim zadacima ćemo malo kasnije.

Postoji mnogo jednostavnijih slučajeva gdje se primjenjuje geometrijska progresija. Na primjer, širenje gripe: jedna osoba je zarazila drugu osobu, oni su zarazili drugu osobu, pa je drugi val zaraze osoba, a ona je zarazila drugu... i tako dalje. .

Usput, financijska piramida, isti MMM, jednostavan je i suh izračun koji se temelji na svojstvima geometrijske progresije. Zanimljiv? Hajdemo shvatiti.

Geometrijska progresija.

Recimo da imamo niz brojeva:

Odmah ćete odgovoriti da je to lako i naziv takvog niza je aritmetička progresija s razlikom svojih članova. Što kažeš na ovo:

Oduzmete li prethodni broj od sljedećeg broja, vidjet ćete da svaki put dobijete novu razliku (i tako redom), ali niz svakako postoji i lako ga je uočiti - svaki sljedeći broj puta je veći od prethodnog!

Ova vrsta niza brojeva naziva se geometrijska progresija i naznačen je.

Geometrijska progresija () je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom s istim brojem. Taj se broj naziva nazivnik geometrijske progresije.

Ograničenja da prvi član ( ) nije jednak i nisu slučajni. Pretpostavimo da ih nema, a prvi član je još uvijek jednak, a q je jednako, hmm.. neka bude, onda ispada:

Složite se da ovo više nije progresija.

Kao što razumijete, dobit ćemo iste rezultate ako postoji bilo koji broj osim nule, a. U tim slučajevima jednostavno neće biti progresije, budući da će cijeli niz brojeva biti ili sve nule, ili jedan broj, a svi ostali će biti nule.

Razgovarajmo sada detaljnije o nazivniku geometrijske progresije, odnosno o.

Ponovimo: - ovo je broj koliko se puta mijenja svaki naredni pojam? geometrijska progresija.

Što misliš da bi moglo biti? Tako je, pozitivno i negativno, ali ne nula (o tome smo govorili malo više).

Pretpostavimo da je naš pozitivan. Neka u našem slučaju, a. Kolika je vrijednost drugog člana i? Na to možete lako odgovoriti:

Tako je. Prema tome, ako, tada svi sljedeći termini progresije imaju isti znak - oni su pozitivni.

Što ako je negativan? Na primjer, a. Kolika je vrijednost drugog člana i?

Ovo je sasvim druga priča

Pokušajte prebrojati uvjete ove progresije. Koliko ste dobili? Imam. Dakle, ako, tada se predznaci članova geometrijske progresije izmjenjuju. To jest, ako vidite progresiju s izmjeničnim predznacima za svoje članove, tada je njen nazivnik negativan. Ovo vam znanje može pomoći da se testirate prilikom rješavanja problema na ovu temu.

Sada malo vježbajmo: pokušajte odrediti koji su brojčani nizovi geometrijska, a koji aritmetička progresija:

kužiš Usporedimo naše odgovore:

• Geometrijska progresija - 3, 6.
• Aritmetička progresija - 2, 4.
• To nije ni aritmetička ni geometrijska progresija - 1, 5, 7.

Vratimo se našoj zadnjoj progresiji i pokušajmo pronaći njezin član, baš kao u aritmetičkoj. Kao što možda pretpostavljate, postoje dva načina da ga pronađete.

Svaki član uzastopno množimo s.

Dakle, th član opisane geometrijske progresije je jednak.

Kao što ste već pogodili, sada ćete sami izvesti formulu koja će vam pomoći pronaći bilo koji član geometrijske progresije. Ili ste ga već razvili za sebe, opisujući kako korak po korak pronaći člana? Ako je tako, provjerite ispravnost svog razmišljanja.

Ilustrirajmo to primjerom nalaženja th člana ove progresije:

Drugim riječima:

Sami odredite vrijednost člana zadane geometrijske progresije.

Dogodilo se? Usporedimo naše odgovore:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno pomnožili sa svakim prethodnim članom geometrijske progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - stavimo je u opći oblik i dobijemo:

Izvedena formula je istinita za sve vrijednosti - i pozitivne i negativne. Provjerite ovo sami izračunavanjem članova geometrijske progresije sa sljedećim uvjetima: , a.

Jeste li brojali? Usporedimo rezultate:

Složite se da bi bilo moguće pronaći član progresije na isti način kao i član, međutim, postoji mogućnost pogrešnog izračuna. A ako smo već pronašli treći član geometrijske progresije, što bi onda moglo biti jednostavnije od korištenja "skraćenog" dijela formule.

Beskonačno padajuća geometrijska progresija.

Nedavno smo razgovarali o tome da bi moglo biti i više i manje od nule, međutim, postoje posebne vrijednosti za koje se zove geometrijska progresija beskonačno opadajući.

Što mislite zašto je dano ovo ime?
Prvo, zapišimo neku geometrijsku progresiju koja se sastoji od članova.
Recimo, dakle:

Vidimo da je svaki sljedeći član manji od prethodnog za faktor, ali hoće li biti ikakvog broja? Odmah ćete odgovoriti - "ne". Zato je beskonačno opadajuća - opada i opada, ali nikad ne postaje nula.

Da bismo jasno razumjeli kako to vizualno izgleda, pokušajmo nacrtati grafikon našeg napredovanja. Dakle, za naš slučaj formula ima sljedeći oblik:

Na grafovima na koje smo navikli iscrtavati ovisnosti, dakle:

Suština izraza se nije promijenila: u prvom unosu prikazali smo ovisnost vrijednosti člana geometrijske progresije o njegovom rednom broju, au drugom smo jednostavno uzeli vrijednost člana geometrijske progresije kao , a redni broj označio ne kao, nego kao. Sve što preostaje je napraviti grafikon.
Da vidimo što imaš. Evo grafikona koji sam smislio:

Vidiš li? Funkcija opada, teži nuli, ali je nikada ne prelazi, pa je beskonačno opadajuća. Označimo svoje točke na grafu, a ujedno i što znači koordinata i:

Pokušajte shematski prikazati graf geometrijske progresije ako je i njegov prvi član jednak. Analizirajte koja je razlika u odnosu na naš prethodni grafikon?

Jeste li uspjeli? Evo grafikona koji sam smislio:

Sada kada ste u potpunosti razumjeli osnove teme geometrijske progresije: znate što je to, znate kako pronaći njen član, a također znate što je beskonačno padajuća geometrijska progresija, prijeđimo na njeno glavno svojstvo.

Svojstvo geometrijske progresije.

Sjećate li se svojstva članova aritmetičke progresije? Da, da, kako pronaći vrijednost određenog broja progresije kada postoje prethodne i sljedeće vrijednosti članova ove progresije. Sjećaš li se? Ovaj:

Sada se suočavamo s potpuno istim pitanjem za uvjete geometrijske progresije. Da bismo izveli takvu formulu, počnimo crtati i razmišljati. Vidjet ćete, vrlo je lako, a ako zaboravite, možete ga sami izvaditi.

Uzmimo još jednu jednostavnu geometrijsku progresiju, u kojoj znamo i. Kako pronaći? S aritmetičkom progresijom je lako i jednostavno, ali što je ovdje? Zapravo, ni u geometriji nema ništa komplicirano - samo trebate zapisati svaku vrijednost koja nam je dana prema formuli.

Možda ćete se pitati što sada trebamo učiniti u vezi s tim? Da, vrlo jednostavno. Prvo, prikažimo ove formule slikom i pokušajmo s njima raditi razne manipulacije kako bismo došli do vrijednosti.

Apstrahirajmo se od brojeva koji su nam zadani, usredotočimo se samo na njihov izraz kroz formulu. Moramo pronaći istaknutu vrijednost naranča, poznavajući članove koji su uz njega. Pokušajmo proizvoditi s njima razne akcije, uslijed čega možemo dobiti.

Dodatak.
Pokušajmo zbrojiti dva izraza i dobit ćemo:

Iz ovog izraza, kao što vidite, ne možemo ga izraziti ni na koji način, stoga ćemo pokušati drugu opciju - oduzimanje.

Oduzimanje.

Kao što vidite, ni to ne možemo izraziti, stoga pokušajmo pomnožiti ove izraze jedan s drugim.

Množenje.

Sada pažljivo pogledajte što imamo množenjem članova geometrijske progresije koji su nam dati u usporedbi s onim što treba pronaći:

Pogodite o čemu govorim? Tako je, da bismo pronašli moramo uzeti Korijen iz brojeva geometrijske progresije susjednih željenom pomnoženih jedan s drugim:

Izvoli. Sami ste izveli svojstvo geometrijske progresije. Pokušajte napisati ovu formulu opći pogled. Dogodilo se?

Zaboravili ste uvjet za? Razmislite zašto je to važno, na primjer, pokušajte sami izračunati. Što će se dogoditi u ovom slučaju? Tako je, potpuna besmislica jer formula izgleda ovako:

U skladu s tim, ne zaboravite ovo ograničenje.

Sada izračunajmo čemu je to jednako

Točan odgovor - ! Ako tijekom računanja niste zaboravili drugu moguću vrijednost, onda ste super i možete odmah prijeći na trening, a ako ste zaboravili, pročitajte o čemu se govori u nastavku i obratite pozornost zašto je potrebno zapisati oba korijena u odgovoru.

Nacrtajmo obje naše geometrijske progresije - jednu s vrijednošću, a drugu s vrijednošću i provjerimo imaju li obje pravo na postojanje:

Da bismo provjerili postoji li takva geometrijska progresija ili ne, potrebno je vidjeti jesu li svi njeni zadani članovi isti? Izračunajte q za prvi i drugi slučaj.

Vidite zašto moramo napisati dva odgovora? Jer predznak pojma koji tražite ovisi o tome je li pozitivan ili negativan! A budući da ne znamo što je to, moramo napisati oba odgovora s plusom i minusom.

Sada kada ste savladali glavne točke i izveli formulu za svojstvo geometrijske progresije, pronađite, znajući i

Usporedite svoje odgovore s točnima:

Što mislite, što ako nam nisu dane vrijednosti članova geometrijske progresije uz željeni broj, već jednako udaljene od njega. Na primjer, trebamo pronaći, i dano i. Možemo li koristiti formulu koju smo izveli u ovom slučaju? Pokušajte potvrditi ili opovrgnuti ovu mogućnost na isti način, opisujući od čega se svaka vrijednost sastoji, kao što ste učinili kada ste izvorno izvodili formulu, na.
Što si dobio?

Sada ponovno pažljivo pogledajte.
i prema tome:

Iz ovoga možemo zaključiti da formula djeluje ne samo sa susjednim sa željenim članovima geometrijske progresije, ali i sa jednako udaljena od onoga što članovi traže.

Dakle, naša početna formula ima oblik:

Odnosno, ako smo u prvom slučaju to rekli, sada kažemo da može biti jednak bilo kojem prirodnom broju koji je manji. Glavno je da je isti za oba navedena broja.

Vježbajte dalje konkretni primjeri, samo budite izuzetno oprezni!

1. , . Pronaći.
2. , . Pronaći.
3. , . Pronaći.

Odlučio? Nadam se da ste bili iznimno pažljivi i da ste primijetili malu začkoljicu.

Usporedimo rezultate.

U prva dva slučaja mirno primijenimo gornju formulu i dobijemo sljedeće vrijednosti:

U trećem slučaju, nakon pažljivog pregleda serijskih brojeva brojeva koji su nam dani, shvaćamo da oni nisu jednako udaljeni od broja koji tražimo: to je prethodni broj, ali je uklonjen na mjestu, tako da je nije moguće primijeniti formulu.

Kako to riješiti? Zapravo nije tako teško kao što se čini! Zapišimo od čega se sastoji svaki broj koji nam je dan i broj koji tražimo.

Dakle, imamo i. Da vidimo što možemo učiniti s njima? Predlažem dijeljenje sa. Dobivamo:

Zamjenjujemo naše podatke u formulu:

Sljedeći korak koji možemo pronaći - za ovo moramo poduzeti kockasti korijen od rezultirajućeg broja.

Sada pogledajmo ponovno što imamo. Imamo ga, ali ga trebamo pronaći, a on je zauzvrat jednak:

Pronašli smo sve potrebne podatke za izračun. Zamijenite u formulu:

Naš odgovor: .

Pokušajte sami riješiti drugi sličan problem:
Dano: ,
Pronaći:

Koliko ste dobili? Imam - .

Kao što vidite, u suštini vam je potrebno zapamti samo jednu formulu- . Sve ostalo možete sami povući bez ikakvih poteškoća u bilo kojem trenutku. Da biste to učinili, jednostavno napišite najjednostavniju geometrijsku progresiju na komad papira i zapišite čemu je svaki od njegovih brojeva jednak, prema gore opisanoj formuli.

Zbroj članova geometrijske progresije.

Sada pogledajmo formule koje nam omogućuju brzo izračunavanje zbroja članova geometrijske progresije u zadanom intervalu:

Da biste izveli formulu za zbroj članova konačne geometrijske progresije, pomnožite sve dijelove gornje jednadžbe s. Dobivamo:

Pažljivo pogledajte: što zadnje dvije formule imaju zajedničko? Tako je, obični članovi, na primjer, i tako dalje, osim prvog i zadnjeg člana. Pokušajmo oduzeti 1. od 2. jednadžbe. Što si dobio?

Sada izrazite član geometrijske progresije kroz formulu i zamijenite dobiveni izraz u našu posljednju formulu:

Grupirajte izraz. Trebali biste dobiti:

Sve što treba učiniti je izraziti:

Sukladno tome, u ovom slučaju.

Što ako? Koja formula onda funkcionira? Zamislimo geometrijsku progresiju na. Kakva je ona? Niz identičnih brojeva je točan, pa će formula izgledati ovako:

Mnogo je legendi o aritmetičkoj i geometrijskoj progresiji. Jedan od njih je i legenda o Setu, tvorcu šaha.

Mnogi ljudi znaju da je igra šaha izumljena u Indiji. Kad ju je hinduistički kralj upoznao, bio je oduševljen njezinom duhovitošću i raznolikošću mogućih položaja u njoj. Saznavši da ga je izumio jedan od njegovih podanika, kralj ga je odlučio osobno nagraditi. Pozvao je izumitelja k sebi i naredio mu da od njega traži sve što želi, obećavši ispuniti i najvještiju želju.

Seta je zatražio vremena za razmišljanje, a kada se sljedeći dan Seta pojavio pred kraljem, iznenadio je kralja neviđenom skromnošću svog zahtjeva. Tražio je zrno pšenice za prvo polje šahovske ploče, zrno pšenice za drugo, zrno pšenice za treće, četvrto itd.

Kralj se naljutio i otjerao Setha, rekavši da slugin zahtjev nije vrijedan kraljeve velikodušnosti, ali je obećao da će sluga dobiti svoje zrnje za sva polja na ploči.

A sada pitanje: koristeći formulu za zbroj članova geometrijske progresije, izračunajte koliko bi Seth zrna trebao dobiti?

Počnimo zaključivati. Budući da je Seth prema uvjetu tražio zrno pšenice za prvo polje šahovske ploče, za drugo, za treće, za četvrto itd., onda vidimo da je u zadatku govorimo o o geometrijskoj progresiji. Čemu je to jednako u ovom slučaju?
Pravo.

Ukupni broj polja šahovske ploče. Odnosno,. Imamo sve podatke, samo ih treba ubaciti u formulu i izračunati.

Da bismo barem približno zamislili "ljestvicu" danog broja, transformiramo koristeći svojstva stupnja:

Naravno, ako želite, možete uzeti kalkulator i izračunati koji broj ćete na kraju dobiti, a ako ne, morat ćete mi vjerovati na riječ: bit će konačna vrijednost izraza.
To je:

kvintilijun kvadrilijun trilijun milijardi milijuna tisuća.

Fuj) Ako želite zamisliti golemost ovog broja, onda procijenite kolika bi ambar bila potrebna za smještaj cjelokupne količine žitarica.
Ako je štala m visoka i m široka, njezina duljina bi se morala protezati za km, tj. dvostruko više nego od Zemlje do Sunca.

Da je kralj bio jak u matematici, mogao je i samog znanstvenika pozvati da prebroji zrna, jer da bi prebrojao milijun zrna trebao bi barem jedan dan neumornog brojanja, a s obzirom da je potrebno brojati kvintilione, zrna morao bi se brojati kroz cijeli život.

Sada riješimo jednostavan problem koji uključuje zbroj članova geometrijske progresije.
Učenik 5A razreda Vasya razbolio se od gripe, ali nastavlja ići u školu. Svakog dana Vasya zarazi dvije osobe, koje zauzvrat zaraze još dvije osobe, i tako dalje. U razredu su samo ljudi. Za koliko će dana cijeli razred biti bolestan od gripe?

Dakle, prvi član geometrijske progresije je Vasya, odnosno osoba. Treći član geometrijske progresije je dvoje ljudi koje je zarazio prvog dana svog dolaska. ukupni iznosčlanova progresije jednak je broju učenika u 5A. Prema tome, govorimo o progresiji u kojoj:

Zamijenimo naše podatke u formulu za zbroj članova geometrijske progresije:

Cijeli razred će se razboljeti za nekoliko dana. Ne vjerujete formulama i brojevima? Pokušajte sami prikazati “zaraženost” učenika. Dogodilo se? Pogledajte kako to kod mene izgleda:

Izračunajte sami koliko bi dana trebalo učenicima da obole od gripe da svaki zarazi po jednu osobu, a u razredu je samo jedna osoba.

Koju vrijednost ste dobili? Ispostavilo se da su se svi počeli razboljeti nakon jednog dana.

Kao što vidite, takav zadatak i crtež za njega nalikuju piramidi, u kojoj svaki sljedeći "donosi" nove ljude. Međutim, prije ili kasnije dođe trenutak kada ovo drugo ne može nikoga privući. U našem slučaju, ako zamislimo da je klasa izolirana, osoba iz zatvara lanac (). Dakle, ako je osoba bila uključena u financijsku piramidu u kojoj se novac davao ako ste doveli druga dva sudionika, tada je osoba (ili opći slučaj) ne bi doveli nikoga, pa bi time izgubili sve što su uložili u ovu financijsku prijevaru.

Sve što je gore rečeno odnosi se na opadajuću ili rastuću geometrijsku progresiju, ali, kao što se sjećate, imamo posebnu vrstu - beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju. Kako izračunati zbroj njegovih članova? I zašto ova vrsta progresije ima određene karakteristike? Shvatimo to zajedno.

Dakle, prvo, pogledajmo ponovno ovaj crtež beskonačno padajuće geometrijske progresije iz našeg primjera:

Sada pogledajmo formulu za zbroj geometrijske progresije, izvedenu malo ranije:
ili

Čemu težimo? Tako je, graf pokazuje da teži nuli. To jest, at, bit će gotovo jednak, odnosno, kada izračunamo izraz koji ćemo dobiti gotovo. S tim u vezi, smatramo da se pri računanju zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije ovu zagradu može zanemariti, jer će biti jednaka.

- formula je zbroj članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

VAŽNO! Formulu za zbroj članova beskonačno padajuće geometrijske progresije koristimo samo ako uvjet izričito kaže da trebamo pronaći zbroj beskonačan broj članova.

Ako je naveden određeni broj n, tada koristimo formulu za zbroj n članova, čak i ako je ili.

Sada vježbajmo.

1. Nađite zbroj prvih članova geometrijske progresije s i.
2. Pronađite zbroj članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije s i.

Nadam se da ste bili izuzetno oprezni. Usporedimo naše odgovore:

Sada znate sve o geometrijskoj progresiji i vrijeme je da prijeđete s teorije na praksu. Najčešći problemi geometrijske progresije koji se susreću na ispitu su problemi izračunavanja kamata. To su oni o kojima ćemo govoriti.

Problemi izračunavanja složenih kamata.

Vjerojatno ste čuli za takozvanu formulu složenih kamata. Razumiješ li što to znači? Ako ne, idemo shvatiti, jer kad jednom shvatite sam proces, odmah ćete shvatiti kakve veze ima geometrijska progresija s njim.

Svi idemo u banku i znamo da ih ima različitim uvjetima na depozite: ovo je rok, i dodatna usluga, i kamata s dva različiti putevi svoje izračune – jednostavne i složene.

S jednostavna kamata sve je više-manje jasno: kamata se obračunava jednom na kraju roka depozita. Odnosno, ako kažemo da deponujemo 100 rubalja na godinu, tada će oni biti kreditirani tek na kraju godine. Sukladno tome, do kraja depozita dobit ćemo rublje.

Zajednički interes- ovo je opcija u kojoj se pojavljuje kapitalizacija kamata, tj. njihov dodatak iznosu depozita i naknadni izračun prihoda ne od početnog, već od akumuliranog iznosa depozita. Kapitalizacija se ne pojavljuje stalno, već s određenom učestalošću. Ta su razdoblja u pravilu jednaka i banke najčešće koriste mjesec, tromjesečje ili godinu.

Pretpostavimo da deponiramo iste rublje godišnje, ali s mjesečnom kapitalizacijom depozita. Što radimo?

Razumijete li sve ovdje? Ako ne, idemo to shvatiti korak po korak.

Donijeli smo rublje u banku. Do kraja mjeseca trebali bismo imati iznos na našem računu koji se sastoji od naših rublja plus kamate na njih, to jest:

Slažem se?

Možemo ga izvaditi iz zagrada i onda ćemo dobiti:

Slažem se, ova je formula već sličnija onome što smo napisali na početku. Sve što je ostalo je izračunati postotke

U opisu problema rečeno nam je o godišnjim stopama. Kao što znate, mi ne množimo sa - pretvaramo postotke u decimale, to je:

Pravo? Sad se možete zapitati odakle taj broj? Jako jednostavno!
Ponavljam: izjava o problemu govori o GODIŠNJI kamate koje se nakupljaju MJESEČNO. Kao što znate, u skladu s tim u godini dana banka će nam naplatiti dio godišnje kamate mjesečno:

Shvatio? Pokušajte sada napisati kako bi ovaj dio formule izgledao kada bih rekao da se kamata obračunava dnevno.
Jeste li uspjeli? Usporedimo rezultate:

Dobro napravljeno! Vratimo se našem zadatku: napišite koliko će biti odobreno našem računu u drugom mjesecu, uzimajući u obzir da se kamata obračunava na akumulirani iznos depozita.
Evo što sam dobio:

Ili, drugim riječima:

Mislim da ste već uočili obrazac i vidjeli geometrijsku progresiju u svemu tome. Napišite čemu će biti jednak njegov član, odnosno koliki ćemo iznos novca dobiti na kraju mjeseca.
Jeste? Provjerimo!

Kao što vidite, ako stavite novac u banku na godinu dana po jednostavnoj kamatnoj stopi, dobit ćete rublje, a ako po složenoj kamatnoj stopi, dobit ćete rublje. Korist je mala, ali to se događa samo tijekom te godine, ali za duže razdoblje kapitalizacija je mnogo isplativija:

Pogledajmo drugu vrstu problema koji uključuje složene kamate. Nakon ovoga što ste shvatili bit će vam elementarno. Dakle, zadatak:

Tvrtka Zvezda počela je ulagati u industriju 2000. godine, s kapitalom u dolarima. Svake godine od 2001. ostvaruje dobit jednaku kapitalu prethodne godine. Koliku će dobit imati poduzeće Zvezda na kraju 2003. godine da se dobit ne povlači iz optjecaja?

Kapital poduzeća Zvezda 2000.
- kapital poduzeća Zvezda 2001. godine.
- kapital poduzeća Zvezda 2002. godine.
- kapital poduzeća Zvezda 2003. godine.

Ili možemo kratko napisati:

Za naš slučaj:

2000., 2001., 2002. i 2003. godine.

Odnosno:
rubalja
Napominjemo da u ovom zadatku nemamo podjelu niti na niti na, jer je postotak dan GODIŠNJE i izračunava se GODIŠNJE. Odnosno, kada čitate problem o složenim kamatama, obratite pozornost na to koji je postotak dan iu kojem razdoblju se izračunava, a tek onda prijeđite na izračune.
Sada znate sve o geometrijskoj progresiji.

Trening.

1. Nađite član geometrijske progresije ako je poznato da, i
2. Nađite zbroj prvih članova geometrijske progresije ako je poznato da, i
3. Tvrtka MDM Capital počela je ulagati u industriju 2003. godine, s kapitalom u dolarima. Svake godine od 2004. ostvaruje dobit jednaku kapitalu prethodne godine. Tvrtka MSK Cash Flows počela je ulagati u industriju 2005. godine u iznosu od 10.000 USD, a 2006. počela je ostvarivati ​​dobit u iznosu od. Za koliko je dolara veći kapital jedne tvrtke od druge na kraju 2007. godine, ako dobit nije povučena iz optjecaja?

odgovori:

1. Budući da se u tvrdnji problema ne kaže da je progresija beskonačna i da je potrebno pronaći zbroj određenog broja njezinih članova, izračun se provodi prema formuli:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003., 2004., 2005., 2006., 2007. godine.
   - povećava se za 100%, odnosno 2 puta.
   Odnosno:
   rubalja
   Tvrtka MSK Cash Flows:

   2005., 2006., 2007. godine.
   - povećava se za, odnosno puta.
   Odnosno:
   rubalja
   rubalja

Sažmimo.

1) Geometrijska progresija ( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Taj se broj naziva nazivnik geometrijske progresije.

2) Jednadžba članova geometrijske progresije je .

3) može uzeti bilo koju vrijednost osim i.

• ako, tada svi sljedeći članovi progresije imaju isti predznak - oni su pozitivni;
• ako, onda svi sljedeći uvjeti progresije alternativni znakovi;
• kada - progresiju nazivamo beskonačno opadajućom.

4) , s - svojstvo geometrijske progresije (susjedni članovi)

ili
, na (jednako udaljeni izrazi)

Kad ga pronađete, ne zaboravite to trebala bi biti dva odgovora.

Na primjer,

5) Zbroj članova geometrijske progresije izračunava se po formuli:
ili

Ako je progresija beskonačno opadajuća, tada:
ili

VAŽNO! Formulu za zbroj članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije koristimo samo ako uvjet eksplicitno kaže da trebamo pronaći zbroj beskonačnog broja članova.

6) Problemi koji uključuju složene kamate također se izračunavaju pomoću formule za th član geometrijske progresije, pod uvjetom da unovčiti nisu povučeni iz prometa:

GEOMETRIJSKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Geometrijska progresija( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se zove nazivnik geometrijske progresije.

Nazivnik geometrijske progresije može uzeti bilo koju vrijednost osim i.

• Ako, tada svi sljedeći članovi progresije imaju isti predznak - pozitivni su;
• ako, tada svi sljedeći članovi progresije izmjenjuju znakove;
• kada - progresiju nazivamo beskonačno opadajućom.

Jednadžba članova geometrijske progresije - .

Zbroj članova geometrijske progresije izračunava se formulom:
ili

Formula za n-ti član geometrijske progresije vrlo je jednostavna. I po značenju i po općem izgledu. Ali ima svakakvih problema na formuli n-tog člana - od vrlo primitivnih do prilično ozbiljnih. I u procesu našeg poznanstva, svakako ćemo razmotriti oboje. Pa, da se upoznamo?)

Dakle, za početak, zapravo formulan

evo je:

b n = b 1 · qn -1

Formula je samo formula, ništa nadnaravno. Izgleda još jednostavnije i kompaktnije od slične formule za. Značenje formule također je jednostavno poput filcanih čizama.

Ova formula vam omogućuje da pronađete BILO KOJI član geometrijske progresije PO NJEGOVOM BROJU " n".

Kao što vidite, značenje je potpuna analogija s aritmetičkom progresijom. Znamo broj n - možemo računati i na član pod tim brojem. Koji god želimo. Bez uzastopnog množenja s "q" mnogo, mnogo puta. To je cijela poanta.)

Razumijem da bi vam na ovoj razini rada s progresijama već trebale biti jasne sve količine uključene u formulu, ali ipak smatram svojom dužnošću dešifrirati svaku od njih. Za svaki slučaj.

Dakle, idemo:

b 1 – prvičlan geometrijske progresije;

q – ;

n– broj člana;

b n – n-ti (nth)član geometrijske progresije.

Ova formula povezuje četiri glavna parametra bilo koje geometrijske progresije - bn, b 1 , q I n. I svi problemi napredovanja vrte se oko ove četiri ključne figure.

"Kako se uklanja?"– čujem zanimljivo pitanje... Elementarno! Izgled!

Što je jednako drugičlan progresije? Nema problema! Pišemo direktno:

b 2 = b 1 ·q

Što je s trećim članom? Nije problem! Drugi član množimo još jednom naq.

Kao ovo:

B 3 = b 2 q

Sjetimo se sada da je drugi član jednak b 1 ·q i zamijenimo ovaj izraz u našu jednakost:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dobivamo:

B 3 = b 1 ·q 2

Sada pročitajmo naš unos na ruskom: trećičlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in drugi stupnjeva. shvaćate li Ne još? U redu, još jedan korak.

Što je četvrti pojam? Sve isto! Pomnožiti prethodni(tj. treći član) na q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Ukupno:

B 4 = b 1 ·q 3

I opet prevodimo na ruski: Četvrtačlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in treći stupnjeva.

I tako dalje. Pa kako je? Jeste li uhvatili uzorak? Da! Za bilo koji izraz s bilo kojim brojem, broj identičnih faktora q (tj. stupanj nazivnika) uvijek će biti jedan manje od broja željenog članan.

Stoga će naša formula biti, bez opcija:

b n =b 1 · qn -1

To je sve.)

Pa, riješimo probleme, valjda?)

Rješavanje problema s formulamančlan geometrijske progresije.

Počnimo, kao i obično, s izravnom primjenom formule. Evo tipičnog problema:

U geometrijskoj progresiji poznato je da b 1 = 512 i q = -1/2. Pronađite deseti član progresije.

Naravno, ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula. Izravno u smislu geometrijske progresije. Ali moramo se zagrijati s formulom za n-ti član, zar ne? Evo nas na zagrijavanju.

Naši podaci za primjenu formule su sljedeći.

Prvi član je poznat. Ovo je 512.

b 1 = 512.

Poznat je i nazivnik progresije: q = -1/2.

Ostaje još samo otkriti koliki je broj članova n. Nema problema! Zanima li nas deseti mandat? Dakle, zamijenimo deset umjesto n u opću formulu.

I pažljivo izračunajte aritmetiku:

Odgovor: -1

Kao što vidite, deseti član progresije pokazao se kao minus. Ništa iznenađujuće: naš nazivnik progresije je -1/2, tj. negativan broj. A to nam govori da se znakovi našeg napredovanja izmjenjuju, da.)

Ovdje je sve jednostavno. Ovdje je sličan problem, ali malo kompliciraniji u smislu izračuna.

U geometrijskoj progresiji poznato je da:

b 1 = 3

Pronađite trinaesti član progresije.

Sve je isto, samo je ovaj put nazivnik progresije iracionalan. Korijen iz dva. Pa, to je u redu. Formula je univerzalna stvar, može se nositi s bilo kojim brojevima.

Radimo izravno prema formuli:

Formula je, naravno, funkcionirala kako treba, ali... tu nekima zapne. Što dalje učiniti s rootom? Kako podići korijen na dvanaestu potenciju?

Kako-kako... Morate shvatiti da je svaka formula, naravno, dobra stvar, ali znanje sve prethodne matematike nije poništeno! Kako graditi? Da, zapamtite svojstva stupnjeva! Pretvorimo korijen u razlomački stupanj i – prema formuli za podizanje stupnja na stupanj.

Kao ovo:

Odgovor: 192

I to je sve.)

Koja je glavna poteškoća u izravnoj primjeni formule n-tog člana? Da! Glavna poteškoća je rad s diplomama! Naime, potenciranje negativni brojevi, razlomci, korijeni i slične strukture. Pa oni koji s tim imaju problema neka ponove stupnjeve i njihova svojstva! Inače ćeš usporiti i ovu temu, da...)

Sada riješimo tipične probleme pretraživanja jedan od elemenata formule, ako su svi ostali dati. Za uspješno rješavanje ovakvih problema recept je jedinstven i užasno jednostavan - napiši formulun-ti član uopće! Odmah u bilježnicu pored stanja. I onda iz stanja skužimo što nam je dano, a što nedostaje. I izražavamo iz formule traženu vrijednost. Svi!

Na primjer, takav bezopasni problem.

Peti član geometrijske progresije s nazivnikom 3 je 567. Pronađite prvi član ove progresije.

Ništa komplicirano. Radimo izravno prema čaroliji.

Napišimo formulu za n-ti član!

b n = b 1 · qn -1

Što nam je dano? Prvo je dan nazivnik progresije: q = 3.

Štoviše, dano nam je peti član: b 5 = 567 .

Svi? Ne! Dobili smo i broj n! Ovo je pet: n = 5.

Nadam se da ste već shvatili što je na snimci b 5 = 567 dva su parametra skrivena odjednom - ovo je sam peti izraz (567) i njegov broj (5). Već sam govorio o tome u sličnoj lekciji, ali mislim da je vrijedno spomenuti i ovdje.)

Sada zamijenimo naše podatke u formulu:

567 = b 1 ·3 5-1

Radimo aritmetiku, pojednostavljujemo i dobivamo nešto jednostavno Linearna jednadžba:

81 b 1 = 567

Rješavamo i dobivamo:

b 1 = 7

Kao što vidite, nema problema s pronalaženjem prvog člana. Ali pri traženju nazivnika q i brojevima n Može biti i iznenađenja. I također morate biti spremni na njih (iznenađenja), da.)

Na primjer, ovaj problem:

Peti član geometrijske progresije s pozitivnim nazivnikom je 162, a prvi član ove progresije je 2. Odredite nazivnik progresije.

Ovaj put su nam dani prvi i peti član, a od nas se traži da nađemo nazivnik progresije. Idemo.

Zapisujemo formulunti član!

b n = b 1 · qn -1

Naši početni podaci bit će sljedeći:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nedostaje vrijednost q. Nema problema! Pronađimo ga sada.) Sve što znamo zamijenimo u formulu.

Dobivamo:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Jednostavna jednadžba četvrtog stupnja. A sada - pažljivo! Na u ovoj fazi rješenja, mnogi učenici odmah radosno vade korijen (četvrtog stupnja) i dobivaju odgovor q=3 .

Kao ovo:

q4 = 81

q = 3

Ali zapravo, ovo je nedovršen odgovor. Točnije, nepotpuna. Zašto? Poanta je da odgovor q = -3 također prikladno: (-3) 4 će također biti 81!

To je zato što jednadžba snage x n = a uvijek ima dva suprotna korijena na čakn . Sa plusom i minusom:

Oba su prikladna.

Na primjer, kada odlučujete (tj. drugi stupnjevi)

x 2 = 9

Iz nekog razloga niste iznenađeni izgledom dva korijeni x=±3? I ovdje je isto. I s bilo kojom drugom čak stupanj (četvrti, šesti, deseti itd.) bit će isti. Detalji su u temi o

Zato ispravno rješenje bit će ovako:

q 4 = 81

q= ±3

U redu, sredili smo znakove. Što je točno - plus ili minus? Pa, pročitajmo ponovno izjavu problema u potrazi za dodatne informacije. Naravno, možda ne postoji, ali u ovom problemu takve informacije dostupno. Naš uvjet navodi u običnom tekstu da je dana progresija pozitivni nazivnik.

Stoga je odgovor očit:

q = 3

Ovdje je sve jednostavno. Što mislite da bi se dogodilo da je izjava problema ovakva:

Peti član geometrijske progresije je 162, a prvi član ove progresije je 2. Nađite nazivnik progresije.

Koja je razlika? Da! U stanju Ništa ne spominje se znak nazivnika. Ni izravno ni neizravno. I tu bi već problem imao dva rješenja!

q = 3 I q = -3

Da da! I s plusom i s minusom.) Matematički bi ta činjenica značila da postoje dvije progresije, koji odgovaraju uvjetima problema. I svaki ima svoj nazivnik. Za zabavu, vježbajte i napišite prvih pet članova svakog.)

Sada vježbajmo pronaći broj člana. Ovaj problem je najteži, da. Ali i kreativniji.)

S obzirom na geometrijsku progresiju:

3; 6; 12; 24; …

Koji je broj u ovoj progresiji broj 768?

Prvi korak je i dalje isti: napiši formulunti član!

b n = b 1 · qn -1

I sada, kao i obično, u njega zamjenjujemo podatke koje znamo. Hm... ne ide! Gdje je prvi član, gdje je nazivnik, gdje je sve ostalo?!

Gdje, gdje... Zašto nam trebaju oči? Mlatanje trepavicama? Ovaj put progresija nam je dana izravno u obrascu sekvence. Možemo li vidjeti prvog člana? Mi vidimo! Ovo je trojka (b 1 = 3). Što je s nazivnikom? Još ga ne vidimo, ali je vrlo lako prebrojati. Ako, naravno, razumijete...

Pa računamo. Izravno prema značenju geometrijske progresije: uzmemo bilo koji od njegovih članova (osim prvog) i podijelimo s prethodnim.

Bar ovako:

q = 24/12 = 2

Što još znamo? Također znamo neki član ove progresije, jednak 768. Pod nekim brojem n:

b n = 768

Ne znamo njegov broj, ali naš zadatak je upravo pronaći ga.) Dakle, tražimo. Već smo preuzeli sve potrebne podatke za zamjenu u formulu. Nesvjesni sebe.)

Ovdje zamjenjujemo:

768 = 3 2n -1

Napravimo one elementarne - obje strane podijelimo s tri i prepišemo jednadžbu u uobičajenom obliku: nepoznato je lijevo, poznato je desno.

Dobivamo:

2 n -1 = 256

Ovo je zanimljiva jednadžba. Moramo pronaći "n". Što, neobično? Da, ne raspravljam. Zapravo, ovo je najjednostavnija stvar. Tako se zove jer nepoznato (u u ovom slučaju ovaj broj n) košta u indikator stupnjeva.

U fazi učenja o geometrijskoj progresiji (ovo je deveti razred) ne uče vas rješavati eksponencijalne jednadžbe, da... Ovo je tema za srednju školu. Ali nema ništa strašno. Čak i ako ne znate kako se takve jednadžbe rješavaju, pokušajmo pronaći našu n, vođeni jednostavnom logikom i zdravim razumom.

Počnimo razgovarati. S lijeve strane imamo dvojku do određenog stupnja. Još ne znamo koja je to točno diploma, ali to nije strašno. Ali pouzdano znamo da je taj stupanj jednak 256! Pa se sjećamo u kojoj mjeri nam dvojka daje 256. Sjećate li se? Da! U osmi stupnjeva!

256 = 2 8

Ako se ne sjećate ili imate problema s prepoznavanjem stupnjeva, onda je i to u redu: samo redom kvadrirajte dva, kocku, četvrtinu, peticu i tako dalje. Selekcija, zapravo, ali na ovoj razini će funkcionirati sasvim dobro.

Na ovaj ili onaj način, dobivamo:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Dakle, 768 je devetičlan naše progresije. To je to, problem riješen.)

Odgovor: 9

Što? dosadno? Umorni ste od elementarnih stvari? Slažem se. I ja isto. Prijeđimo na sljedeću razinu.)

Složeniji zadaci.

Sada riješimo zahtjevnije probleme. Ne baš super cool, ali one koje zahtijevaju malo rada da bi se došlo do odgovora.

Na primjer, ovaj.

Nađite drugi član geometrijske progresije ako je četvrti član -24, a sedmi član 192.

Ovo je klasik žanra. Poznata su dva različita termina progresije, ali treba pronaći drugi termin. Štoviše, svi članovi NISU susjedi. Što je u početku zbunjujuće, da...

Kao i kod, za rješavanje takvih problema razmotrit ćemo dvije metode. Prva metoda je univerzalna. Algebarski. Radi besprijekorno s bilo kojim izvornim podacima. Dakle, tu ćemo početi.)

Svaki pojam opisujemo formulom nti član!

Sve je potpuno isto kao i kod aritmetičke progresije. Samo ovaj put radimo sa još opća formula. To je sve.) Ali bit je ista: uzimamo i jedan po jedan Zamijenimo naše početne podatke u formulu za n-ti član. Za svakog člana - svoje.

Za četvrti član pišemo:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Jesti. Jedna jednadžba je spremna.

Za sedmi član pišemo:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Ukupno smo dobili dvije jednadžbe za ista progresija .

Od njih sastavljamo sustav:

Unatoč prijetećem izgledu, sustav je prilično jednostavan. Najočitije rješenje je jednostavna zamjena. Izražavamo b 1 iz gornje jednadžbe i zamijenite je u donju:

Nakon što smo malo petljali s donjom jednadžbom (smanjujući potencije i dijeleći s -24), dobivamo:

q 3 = -8

Usput, do te iste jednadžbe može se doći i na jednostavniji način! Koji? Sada ću vam pokazati još jednu tajnu, ali vrlo lijepu, moćnu i koristan način rješenja za takve sustave. Takvi sustavi čije jednadžbe uključuju samo radi. Barem u jednom. Nazvana metoda podjele jedna jednadžba u drugu.

Dakle, pred nama je sustav:

U obje jednadžbe s lijeve strane - raditi, a desno je samo broj. Ovo je vrlo dobar znak.) Uzmimo i... podijelimo, recimo, donju jednadžbu s gornjom! Što znači, podijelimo jednu jednadžbu s drugom? Jako jednostavno. Uzmimo ga lijeva strana jedna jednadžba (niža) i podijeliti njoj na lijeva strana druga jednadžba (gornja). Desna strana je slična: desna strana jedna jednadžba podijeliti na desna strana još.

Cijeli proces podjele izgleda ovako:

Sada, reducirajući sve što se može smanjiti, dobivamo:

q 3 = -8

Što je dobro kod ove metode? Da, jer se u procesu takve podjele sve loše i nezgodno može sigurno reducirati i ostati potpuno bezopasna jednadžba! Zbog toga je toliko važno imati samo množenje u barem jednoj od jednadžbi sustava. Nema množenja - nema se što smanjivati, da...

Općenito, ova metoda (kao i mnoge druge netrivijalne metode rješavanja sustava) čak zaslužuje zasebnu lekciju. Svakako ću to detaljnije istražiti. Jednog dana…

Međutim, nije važno kako točno rješavate sustav, u svakom slučaju, sada moramo riješiti rezultirajuću jednadžbu:

q 3 = -8

Nema problema: izvadite kockasti korijen i gotovi ste!

Imajte na umu da nema potrebe stavljati plus/minus ovdje prilikom izdvajanja. Naš korijen je neparnog (trećeg) stupnja. I odgovor je također isti, da.)

Dakle, nazivnik progresije je pronađen. Minus dva. Sjajno! Proces je u tijeku.)

Za prvi član (recimo, iz gornje jednadžbe) dobivamo:

Sjajno! Znamo prvi član, znamo nazivnik. A sada imamo priliku pronaći bilo kojeg člana progresije. Uključujući i drugu.)

Za drugi termin sve je vrlo jednostavno:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Odgovor: -6

Dakle, raščlanili smo algebarsku metodu za rješavanje problema. teško? Ne baš, slažem se. Dugo i zamorno? Da definitivno. Ali ponekad možete značajno smanjiti količinu posla. Za ovo postoji grafička metoda. Dobri stari i nama poznati.)

Nacrtajmo problem!

Da! Točno. Opet prikazujemo našu progresiju na osi brojeva. Nije potrebno slijediti ravnalo, nije potrebno održavati jednake razmake između članova (koji, usput rečeno, neće biti isti, jer je progresija geometrijska!), već jednostavno shematski Nacrtajmo naš niz.

Dobio sam ovako:

Sada pogledajte sliku i shvatite. Koliko identičnih faktora "q" razdvaja Četvrta I sedmičlanovi? Tako je, tri!

Stoga imamo puno pravo napisati:

-24·q 3 = 192

Odavde je sada lako pronaći q:

q 3 = -8

q = -2

To je super, već imamo nazivnik u džepu. Sada ponovno pogledajmo sliku: koliko takvih nazivnika sjedi između drugi I Četvrtačlanovi? Dva! Stoga, da bismo zabilježili vezu između ovih pojmova, konstruirat ćemo nazivnik na kvadrat.

Pa pišemo:

b 2 · q 2 = -24 , gdje b 2 = -24/ q 2

Naš pronađeni nazivnik zamijenimo u izraz za b 2, prebrojimo i dobijemo:

Odgovor: -6

Kao što vidite, sve je puno jednostavnije i brže nego kroz sustav. Štoviše, ovdje prvi termin uopće nismo ni trebali računati! Uopće.)

Evo tako jednostavnog i vizualnog načina svjetla. Ali ima i ozbiljan nedostatak. Jeste li pogodili? Da! Dobar je samo za vrlo kratke dijelove progresije. Oni gdje udaljenosti između članova koji nas zanimaju nisu jako velike. Ali u svim ostalim slučajevima već je teško nacrtati sliku, da... Onda problem rješavamo analitički, kroz sustav.) A sustavi su univerzalne stvari. Mogu se nositi s bilo kojim brojevima.

Još jedan epski izazov:

Drugi član geometrijske progresije je 10 veći od prvog, a treći član 30 veći od drugog. Pronađite nazivnik progresije.

Što, cool? Nikako! Sve isto. Opet prevodimo izjavu problema u čistu algebru.

1) Svaki pojam opisujemo formulom nti član!

Drugi član: b 2 = b 1 q

Treći član: b 3 = b 1 q 2

2) Zapisujemo vezu među članovima iz tvrdnje zadatka.

Čitamo uvjet: "Drugi član geometrijske progresije je 10 veći od prvog." Stanite, ovo je vrijedno!

Pa pišemo:

b 2 = b 1 +10

A ovu frazu prevodimo u čistu matematiku:

b 3 = b 2 +30

Dobili smo dvije jednadžbe. Spojimo ih u sustav:

Sustav izgleda jednostavno. Ali postoji previše različitih indeksa za slova. Zamijenimo umjesto drugog i trećeg člana njihove izraze kroz prvi član i nazivnik! Zar smo ih uzalud slikali?

Dobivamo:

Ali takav sustav više nije poklon, da... Kako to riješiti? Nažalost, ne postoji univerzalna tajna čarolija za rješavanje kompleksa nelinearni U matematici nema i ne može postojati sustava. Fantastično je! Ali prvo što bi vam trebalo pasti na pamet kada pokušavate slomiti tako tvrd orah je da shvatite Ali zar se jedna od jednadžbi sustava ne može svesti na prekrasan pogled, omogućujući, na primjer, jednostavno izražavanje jedne od varijabli u smislu druge?

Hajdemo shvatiti. Prva jednadžba sustava očito je jednostavnija od druge. Mučit ćemo ga.) Zar ne bismo trebali pokušati iz prve jednadžbe nešto izraziti kroz nešto? Budući da želimo pronaći nazivnik q, onda bi nam bilo najpovoljnije izraziti b 1 kroz q.

Dakle, pokušajmo napraviti ovaj postupak s prvom jednadžbom, koristeći stare dobre:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Svi! Tako smo izrazili nepotreban dajte nam varijablu (b 1) kroz potrebno(q). Da, to nije najjednostavniji izraz koji imamo. Nekakav razlomak... Ali naš sustav je na pristojnoj razini, da.)

Tipično. Znamo što nam je činiti.

Pišemo ODZ (Obavezno!) :

q ≠ 1

Sve množimo s nazivnikom (q-1) i poništavamo sve razlomke:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Sve dijelimo s deset, otvaramo zagrade i skupljamo sve s lijeve strane:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rješavamo rezultat i dobivamo dva korijena:

q 1 = 1

q 2 = 3

Postoji samo jedan konačan odgovor: q = 3 .

Odgovor: 3

Kao što vidite, put do rješavanja većine problema koji uključuju formulu n-tog člana geometrijske progresije uvijek je isti: pročitajte pozorno uvjet problema i pomoću formule n-tog člana prevodimo cijeli korisna informacija u čistu algebru.

Naime:

1) Svaki član zadan u zadatku opisujemo zasebno prema formulinth član.

2) Iz uvjeta zadatka vezu između članova prevodimo u matematički oblik. Sastavljamo jednadžbu ili sustav jednadžbi.

3) Rješavamo dobivenu jednadžbu ili sustav jednadžbi, pronalazimo nepoznate parametre progresije.

4) U slučaju dvosmislenog odgovora, pažljivo pročitajte navod problema u potrazi za dodatnim informacijama (ako postoje). Također provjeravamo primljeni odgovor s uvjetima DL-a (ako postoje).

Sada nabrojimo glavne probleme koji najčešće dovode do pogrešaka u procesu rješavanja problema geometrijske progresije.

1. Elementarna aritmetika. Operacije s razlomcima i negativnim brojevima.

2. Ako postoje problemi s barem jednom od ove tri točke, tada ćete neizbježno pogriješiti u ovoj temi. Nažalost... Zato ne budite lijeni i ponovite ono što je gore navedeno. I slijedite poveznice - idite. Ponekad pomaže.)

Modificirane i rekurentne formule.

Sada pogledajmo nekoliko tipičnih ispitnih problema s manje poznatim prikazom stanja. Da, da, pogodili ste! Ovaj modificiran I ponavljajući n-ti član formule. Već smo se susreli s takvim formulama i radili na aritmetičkoj progresiji. Ovdje je sve slično. Suština je ista.

Na primjer, ovaj problem iz OGE-a:

Geometrijska progresija dana je formulom b n = 3 2 n . Nađite zbroj njegovog prvog i četvrtog člana.

Ovog puta napredovanje nije uobičajeno za nas. U obliku nekakve formule. Pa što? Ova formula je također formulanti član! Vi i ja znamo da se formula za n-ti član može napisati iu općem obliku, koristeći slova, i za specifična progresija. S specifično prvi član i nazivnik.

U našem slučaju, zapravo, dana nam je opća terminska formula za geometrijsku progresiju sa sljedećim parametrima:

b 1 = 6

q = 2

Provjerimo?) Zapišimo formulu za n-ti član u općem obliku i zamijenimo je u b 1 I q. Dobivamo:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Pojednostavljamo korištenjem faktorizacije i svojstava potencije, i dobivamo:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Kao što vidite, sve je pošteno. Ali naš cilj nije pokazati izvođenje određene formule. Ovo je tako, lirska digresija. Čisto za razumijevanje.) Cilj nam je riješiti problem prema formuli koja nam je dana u uvjetu. Shvaćate?) Stoga radimo izravno s modificiranom formulom.

Računamo prvi termin. Zamijenimo n=1 u opću formulu:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Kao ovo. Usput, neću biti lijen i još jednom vam skrenuti pozornost na tipičnu pogrešku s izračunom prvog člana. NEMOJ, gledajući formulu b n= 3 2n, odmah požurite napisati da je prvi pojam trojka! Ovo je velika greška, da...)

Nastavimo. Zamijenimo n=4 i računajte četvrti član:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

I na kraju izračunavamo potrebnu količinu:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odgovor: 54

Drugi problem.

Geometrijska progresija određena je uvjetima:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Pronađite četvrti član progresije.

Ovdje je progresija dana rekurentnom formulom. Pa dobro.) Kako raditi s ovom formulom – znamo i mi.

Pa djelujemo. Korak po korak.

1) Brojite dva uzastopničlan progresije.

Prvi mandat nam je već dan. Minus sedam. Ali sljedeći, drugi član, može se lako izračunati pomoću formule ponavljanja. Naravno, ako razumijete princip njegovog rada.)

Dakle, računamo drugi član prema poznatom prvom:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Izračunajte nazivnik progresije

Nema ni problema. Ravno, podijelimo se drugi kurac na prvi.

Dobivamo:

q = -21/(-7) = 3

3) Napišite formulunth član u uobičajenom obliku i izračunajte traženi član.

Dakle, znamo prvi član, kao i nazivnik. Pa pišemo:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Odgovor: -189

Kao što vidite, rad s takvim formulama za geometrijsku progresiju u biti se ne razlikuje od rada za aritmetičku progresiju. Važno je samo razumjeti opću suštinu i značenje ovih formula. Pa, također morate razumjeti značenje geometrijske progresije, da.) I tada neće biti glupih pogrešaka.

Pa, odlučimo sami?)

Vrlo osnovni zadaci za zagrijavanje:

1. S obzirom na geometrijsku progresiju u kojoj b 1 = 243, a q = -2/3. Pronađite šesti član progresije.

2. Opći član geometrijske progresije dan je formulom b n = 5∙2 n +1 . Pronađite broj posljednjeg troznamenkastog člana ove progresije.

3. Geometrijska progresija dana je uvjetima:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Pronađite peti član progresije.

Malo kompliciranije:

4. S obzirom na geometrijsku progresiju:

b 1 =2048; q =-0,5

Čemu je jednak šesti negativni član?

Što se čini super teškim? Nikako. Spasit će vas logika i razumijevanje značenja geometrijske progresije. Pa, formula za n-ti član, naravno.

5. Treći član geometrijske progresije je -14, a osmi član je 112. Nađi nazivnik progresije.

6. Zbroj prvog i drugog člana geometrijske progresije je 75, a zbroj drugog i trećeg člana je 150. Nađi šesti član progresije.

Odgovori (u neredu): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

To je skoro sve. Sve što trebamo učiniti je naučiti brojati zbroj prvih n članova geometrijske progresije da otkriti beskonačno padajuća geometrijska progresija i njegovu količinu. Vrlo zanimljiva i neobična stvar, usput! Više o tome u sljedećim lekcijama.)

Ako za svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da se daje niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, niz brojeva je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti pojam sekvence , i prirodan broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 član niza a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), A a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste definirali niz, trebate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se slijed navodi pomoću n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza uspostavlja na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove ultimativno , ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan , ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove smanjujući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — rastući niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — silazni niz. ◄

Naziva se niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako postoji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - određeni broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za definiranje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

◄

Imajte na umu da n th član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja jednako razmaknutih članova te aritmetičke progresije.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi sljedeća jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova i broja članova:

Odavde, posebice, slijedi da ako trebate zbrojiti pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n IS n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• Ako d > 0 , tada se povećava;
• Ako d < 0 , tada se smanjuje;
• Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

Geometrijska progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - određeni broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana dane geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za definiranje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada nalazimo prvih pet članova niza kako slijedi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n Taj se član može pronaći pomoću formule:

b n = b 1 · qn -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća izjava:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

Dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje željenu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n Član geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni član b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · qn - k.

Na primjer,

Za b 5 može se zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za svaku geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= nb 1

Imajte na umu da ako trebate zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

Na primjer,

u geometrijskoj progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n I S n povezan s dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula, kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

• progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija izmjenična: njezini članovi s neparnim brojevima imaju isti predznak kao prvi član, a članovi s parnim brojevima imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati pomoću formule:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija zove se beskonačna geometrijska progresija čiji je nazivnik modula manji 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Odgovara prilici

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je izmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem se neograničeno približava zbroj prvih n članovi progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Pogledajmo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . - aritmetička progresija s razlikom 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijska progresija s nazivnikom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . - geometrijska progresija s nazivnikom 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Razmotrimo određenu seriju.

7 28 112 448 1792...

Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg njegovog elementa točno četiri puta veća od prethodnog. Sredstva, ovu seriju je progresija.

Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva. glavna značajka a to je da se sljedeći broj dobiva iz prethodnog množenjem s nekim određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 =a z ·q, gdje je z broj odabranog elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Razdoblje kada se u školi uči geometrijska progresija je 9. razred. Primjeri će vam pomoći razumjeti koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na temelju ove formule, nazivnik progresije može se pronaći na sljedeći način:

Ni q ni b z ne mogu biti nula. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.

U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, morate posljednji pomnožiti s q.

Da biste postavili ovu progresiju, morate navesti njen prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od sljedećih članova i njihov zbroj.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova progresija se dijeli na nekoliko vrsta:

• Ako su i a 1 i q veći od jedan, tada takav niz raste sa svakim sljedeći element geometrijska progresija. Primjer toga prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

• Ako je |q| manji od jedan, to jest, množenje njime je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima padajuća geometrijska progresija. Primjer toga prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veće od jedan, q je manje.

Tada se niz brojeva može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji slijedi.

• Izmjenični znak. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 = -3, q = -2 - oba parametra su manja od nule.

Tada se niz brojeva može napisati ovako:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Postoje mnoge formule za praktičnu upotrebu geometrijskih progresija:

• Z-term formula. Omogućuje vam izračunavanje elementa pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

Primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je prebrojati četvrti element progresije.

Riješenje:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Zbroj prvih elemenata čija je količina jednaka z. Omogućuje vam izračunavanje zbroja svih elemenata niza doa zuključivo.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednako 1.

Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz brojeva koji se beskonačno ponavljaju.

Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S5.

Riješenje:S 5 = 22 - izračun pomoću formule.

• Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.

Riješenje:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neka svojstva:

• Karakteristično svojstvo. Ako je sljedeći uvjet radi za bilo kojiz, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Također, kvadrat bilo kojeg broja u geometrijskoj progresiji nalazi se zbrajanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom nizu, ako su jednako udaljeni od tog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Gdjet- udaljenost između ovih brojeva.

• Elementirazlikuju se u qjednom.
• Logaritmi elemenata progresije također čine progresiju, ali aritmetičku, odnosno svaki od njih veći je od prethodnog za određeni broj.

Primjeri nekih klasičnih problema

Za bolje razumijevanje što je geometrijska progresija mogu pomoći primjeri s rješenjima za razred 9.

• Uvjeti:a 1 = 3, a 3 = 48. Pronađiteq.

Rješenje: svaki sljedeći element veći je od prethodnog uq jednom.Potrebno je izraziti neke elemente preko drugih pomoću nazivnika.

Stoga,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

• Uvjeti:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunajte S 6.

Riješenje:Da biste to učinili, samo pronađite q, prvi element i zamijenite ga u formulu.

a 3 = q· a 2 , stoga,q= 2

a 2 = q · a 1,Zato a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: za to je dovoljno četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primjer primjene:

• Bankovni klijent položio je depozit u iznosu od 10 000 rubalja, pod čijim se uvjetima svake godine klijentu dodaje 6% iznosa glavnice. Koliko će novca biti na računu nakon 4 godine?

Rješenje: početni iznos je 10 tisuća rubalja. To znači da će godinu dana nakon ulaganja na računu biti iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Sukladno tome, iznos na računu nakon još godinu dana bit će izražen na sljedeći način:

(10000 · 1,06) · 0,06 + 10000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je dan prvim elementom jednakim 10 tisuća i nazivnikom jednakim 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primjeri problema izračuna zbroja:

Geometrijska progresija se koristi u raznim problemima. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS 5.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih treba zamijeniti u formulu.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.

Riješenje:

U geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno za izračunavanje zbroja potrebno je znati elementa 1 i nazivnikq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično tome, trebate pronaćia 1 , znajućia 2 Iq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrijska progresija ništa manje važno u matematici u usporedbi s aritmetikom. Geometrijska progresija je niz brojeva b1, b2,..., b[n] čiji se svaki sljedeći član dobiva množenjem prethodnog s konstantnim brojem. Ovaj broj, koji također karakterizira stopu rasta ili smanjenja progresije, naziva se nazivnik geometrijske progresije i označavaju

Za potpunu specifikaciju geometrijske progresije potrebno je osim nazivnika znati odnosno odrediti njezin prvi član. Za pozitivnu vrijednost nazivnika progresija je monoton niz i ako je taj niz brojeva monotono padajući i ako je monotono rastući. Slučaj kada je nazivnik jednak jedan ne razmatra se u praksi, jer imamo niz identičnih brojeva, a njihovo zbrajanje nije od praktičnog interesa

Opći pojam geometrijske progresije izračunati po formuli

Zbroj prvih n članova geometrijske progresije određena formulom

Pogledajmo rješenja klasičnih problema geometrijske progresije. Počnimo s onima najjednostavnijima za razumijevanje.

Primjer 1. Prvi član geometrijske progresije je 27, a nazivnik mu je 1/3. Pronađite prvih šest članova geometrijske progresije.

Rješenje: Zapišimo uvjet problema u obrazac

Za izračune koristimo formulu za n-ti član geometrijske progresije

Na temelju njega nalazimo nepoznate članove progresije

Kao što vidite, izračunavanje članova geometrijske progresije nije teško. Sama progresija će izgledati ovako

Primjer 2. Zadana su prva tri člana geometrijske progresije: 6; -12; 24. Pronađite nazivnik i njegov sedmi član.

Rješenje: Izračunavamo nazivnik geometrijske progresije na temelju njezine definicije

Dobili smo izmjeničnu geometrijsku progresiju čiji je nazivnik jednak -2. Sedmi član izračunava se pomoću formule

Ovo rješava problem.

Primjer 3. Geometrijska progresija dana je s dva svoja člana . Pronađite deseti član progresije.

Riješenje:

Zapišimo zadane vrijednosti pomoću formula

Prema pravilima, trebali bismo pronaći nazivnik i zatim tražiti željenu vrijednost, ali za deseti član imamo

Ista se formula može dobiti na temelju jednostavnih manipulacija s ulaznim podacima. Podijelite šesti član niza s drugim, i kao rezultat dobivamo

Ako se dobivena vrijednost pomnoži sa šestim članom, dobit ćemo deseti

Dakle, za takve probleme, jednostavnim transformacijama na brz način možete pronaći ispravno rješenje.

Primjer 4. Geometrijska progresija dana je rekurentnim formulama

Nađite nazivnik geometrijske progresije i zbroj prvih šest članova.

Riješenje:

Napišimo zadane podatke u obliku sustava jednadžbi

Izrazite nazivnik dijeljenjem druge jednadžbe s prvom

Nađimo prvi član progresije iz prve jednadžbe

Izračunajmo sljedećih pet članova kako bismo pronašli zbroj geometrijske progresije